Page:Becquerel - Exposé élémentaire de la théorie d’Einstein et de sa généralisation.djvu/143

139

RELATIVITÉ RESTREINTE

En particulier si, comme nous l’avons supposé dans le texte, $v^{\prime }$ est parallèle à $v$, on a

(6-2)

$v^{\prime \prime }={\frac {v+v^{\prime }}{1+{\dfrac {vv^{\prime }}{c^{2}}}}}\cdot$

Note 7 (p. 52).

Contraction des longueurs et dilatation du temps.

Soient $x_{1}$, $x_{2}$ et $x_{1}^{\prime }$, $x_{2}^{\prime }$ les abscisses des deux extrémités de la tige dans les systèmes $\mathrm {S}$ et $\mathrm {S^{\prime }}$ ; la première des formules de Lorentz

$x^{\prime }={\frac {1}{\alpha }}(x-vt)$

appliquée aux deux points extrémités de la tige, à un même instant $t$ du système $\mathrm {S}$, donne

(7-1)

$x_{2}^{\prime }-x_{1}^{\prime }={\frac {1}{\alpha }}(x_{2}-x_{1})\quad$ ou $\quad l=\alpha l^{\prime }$

D’autre part, considérons une horloge du système $\mathrm {S^{\prime }}$ et deux événements infiniment voisins se produisant sur cette horloge ; nous avons : invariant $ds^{2}=c^{2}dt^{\prime 2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}$ avec $dx=v\,dt$.

D’où

(7-2)

$dt={\frac {1}{\alpha }}dt^{\prime }.$

Soit maintenant une tige infiniment courte dirigée parallèlement à la vitesse, immobile dans le système $\mathrm {S^{\prime }}$ et de longueur $dx^{\prime }$ dans ce système : considérons deux événements infiniment voisins concernant cette tige ; d’après (7-1)