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FONCTIONS INVERSES
,
,
.
On aura
,
c’est-à-dire
.
De même, le principe d’extension, appliqué à une fonction d’argument rationnel décroissante et uniformément continue dans tout intervalle borné, donne une fonction continue décroissante.
48. Soit une fonction continue croissante dans un intervalle borné ; soient , les bornes inférieure et supérieure de . La fonction doit atteindre la valeur en un point de l’intervalle, qui ne peut être que ; ainsi ; de même . La fonction étant croissante prend, pour deux valeurs distinctes de la variable, deux valeurs différentes ; d’après le § 44, elle passe au moins une fois par toute valeur intermédiaire entre et ; donc si est tel que , il y a une valeur et une seule de pour laquelle prend la valeur .
Ces résultats s’appliquent, avec quelques modifications, si l’intervalle de variation de est non borné. Soit, par exemple, une fonction croissante dans l’intervalle ; la borne inférieure est atteinte pour ; tout nombre tel que est atteint ; la borne supérieure , qui peut être, soit finie, soit égale à , n’est pas atteinte ; mais si prend une suite de valeurs tendant vers (sens étendu de la notion de limite), tend vers . Par exemple, les fonctions croissantes , (si ), tendent vers en même temps que ; la fonction décroissante tend vers 0 quand tend vers .
Si l’intervalle de variation est , aucune des deux bornes n’est atteinte.