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THÉORÈMES SUR LES FONCTIONS CONTINUES
XI
THÉORÈMES SUR LES FONCTIONS CONTINUES
43. Transformons la définition de la continuité donnée au § 29. Soit une fonction des variables , définie dans un champ , et qu’on suppose continue au point . Soit un nombre positif ; considérons le champ :
On reconnaît que si est intérieur au champ , le champ , quand est suffisamment petit, est entièrement contenu dans ; cela n’a pas lieu quand n’est pas intérieur à , mais les champs et ont toujours un certain champ commun. Il sera entendu, dans la suite, que l’on désigne par champ l’ensemble des points contenus dans et satisfaisant à (1).
Les valeurs de aux points du champ forment un ensemble de nombres qui a des bornes supérieure et inférieure et ; si on remplace par un nombre inférieur , le nouveau champ obtenu est contenu dans ; donc on a, pour les nombres , qui remplacent et ,
,
.
Soit maintenant une suite décroissante de nombres positifs tendant vers 0 : , , , , Appelons et les bornes supérieure et inférieure de dans le champ défini par les conditions (1), où l’on remplace par . On a
(2)
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