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EXTENSION DU CALCUL ALGÉBRIQUE

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EXTENSION DU CALCUL ALGÉBRIQUE

40. Montrons que les règles de calcul algébrique qui sont établies en Algèbre élémentaire dans le cas où les variables reçoivent des valeurs rationnelles s’appliquent au cas où ces variables sont quelconques.

Toutes celles de ces règles qui sont relatives à la transformation des égalités au moyen des quatre opérations élémentaires résultent d’un certain nombre de principes qu’on peut exprimer par les formules suivantes, où $x,y,z$ désignent des nombres rationnels :

(1)	$\qquad \quad \;x+y=y+x$,
(2)	$\qquad \quad \;(x+y)+z=x+(y+z)$,
(3)	$\quad \;\;x+0=x$,
(4)	$\quad \;\;x-x=0$,
(5)	$\qquad \;0-x=-x$,
(6)	$\quad \;\;\,x+(-y)=x-y$,
(7)	$\qquad \quad \,\,x\times (-y)=-(y\times x)$,
(8)	$\,(-x)\times (-y)=x\times y$,
(9)	$\quad \;\;x\times 0=0$,
(10)	$\quad \;\;x\times 1=x$,
(11)	$\qquad \quad \;x\times y=y\times x$,
(12)	$\qquad \quad \;(x\times y)\times z=x\times (y\times z)$,
(13)	$\quad \qquad \qquad \;\;\;(x+y)\times z=(x\times z)+(y\times z)$,
(14)	$\qquad \qquad \qquad \;\;\;{\frac {x}{x}}=1$,($x\neq 0$),
(15)	$\qquad \qquad \quad \;\;x\times {\frac {1}{y}}={\frac {x}{y}}$,($y\neq 0$).

Toutes les fonctions qui figurent dans l’un ou l’autre membre de l’une de ces égalités sont des fonctions continues de $x,y,z$ [en vertu, pour ce qui concerne les égalités (2), (6), (7), (8), (12), (13), (15), du § 38] ; donc, d’après le § 39, ces