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PRINCIPE D’EXTENSION

ayant respectivement pour limites les points $(x,y,\ldots )$ et $(x',y',\ldots )$, et tels que

$|x_{n}-x'_{n}|<\alpha$,$|y_{n}-y'_{n}|<\alpha$,$\ldots$.

On a donc, quel que soit $n$,

$|f(x_{n},y_{n},\ldots )-f(x'_{n},y'_{n},\ldots )|<\varepsilon$.

D’après le Théorème IV (§ 26), le premier membre a pour limite le nombre ${|\lim {f(x_{n},y_{n},\ldots )}-\lim {f(x'_{n},y'_{n},\ldots )}|}$, c’est-à-dire ${|\mathrm {F} (x_{n},y_{n},\ldots )-\mathrm {F} (x'_{n},y'_{n},\ldots )|}$. Donc

(6)

$|\mathrm {F} (x,y,\ldots )-\mathrm {F} (x',y',\ldots )|\leqslant \varepsilon$.

Cela étant, la fonction ${\mathrm {F} (x,y,\ldots )}$ est continue dans tout champ où elle se trouve définie ; car, soit une suite de points quelconques

$(x_{1},y_{1},\ldots ),\,(x_{2},y_{2},\ldots ),\,\ldots ,(x_{n},y_{n},\ldots ),\,\ldots$

ayant pour limite le point ${(x,y,\ldots )}$. Supposons $\mathrm {F}$ définie en tous ces points. Prenons un champ $\mathrm {C}$ auquel ${(x,y,\ldots )}$ soit intérieur. Soit ${\varepsilon >0}$ ; déterminons $\alpha$ de manière que les conditions (5) entraînent (6). Quand $n$ dépasse une certaine valeur $p$, le point ${(x_{n},y_{n},\ldots )}$ est intérieur à $\mathrm {C}$, et d’autre part on a

$|x-x_{n}|<\alpha$,$|y-y_{n}|<\alpha$,$\ldots$,

d’où, par suite,

$|\mathrm {F} (x,y,\ldots )-\mathrm {F} (x_{n},y_{n},\ldots )|\leqslant \varepsilon$.

ce qui montre que ${\mathrm {F} (x_{n},y_{n},\ldots )}$ a pour limite ${\mathrm {F} (x,y,\ldots )}$.

On voit en résumé que le problème proposé est résolu et conduit à une fonction bien déterminée. On dira que cette fonction $\mathrm {F}$ est la fonction $f$ étendue, et le procédé qui permet, en partant de $f$, de définir $\mathrm {F}$, sera appelé principe d’extension.

36. Puisque chacune des fonctions d’arguments rationnels : ${x+y}$, ${x-y}$, $xy$, ${\frac {x}{y}}$ est uniformément continue dans