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THÉORÈMES SUR LES LIMITES

On aurait une conclusion identique dans le cas de

$\mathrm {M} =m=-\infty$.

3^o Il n’y a pas de limite. On a ${\mathrm {M} >m}$. Soient $\alpha ,\beta$ deux nombres tels que

$m<\alpha <\beta <\mathrm {M}$.

Quel que soit $p$, il y a ${\mu >p}$ et ${\nu >p}$ tels que

$u_{\mu }<\alpha$,$u_{\nu }>\beta$,

d’où résulte

$|u_{\mu }-u_{\nu }|\geqslant \beta -\alpha$.

Nous sommes maintenant en mesure d’énoncer les théorèmes suivants :

23. Théorème I. — La condition nécessaire et suffisante pour que la suite (1) ait une limite (finie) est que, à tout nombre positif $\varepsilon$ corresponde un entier $p$ tel que les conditions ${\mu >p}$, ${\nu >p}$ entraînent ${|u_{\mu }-u_{\nu }|<\varepsilon }$.

1^o La condition est nécessaire, parce que, d’après l’étude du cas 1^o (§ 22), elle est remplie si la suite a une limite finie.

2^o La condition est suffisante, car elle n’est pas remplie dans les cas 2^o et 3^o, puisqu’il y a alors un nombre positif ($\mathrm {A}$ dans le cas 2^o, ${\beta -\alpha }$ dans le cas 3^o) auquel certaines différences ${|u_{\mu }-u_{\nu }|}$ sont au moins égales, $\mu$ et $\nu$ pouvant être choisis supérieurs à tout entier $p$.

24. Théorème II. — Si l’on a deux suites

(1)	$u_{1},\;u_{2},\;\ldots ,\;u_{n},\;\ldots ,$
(2)	$v_{1},\;v_{2},\;\ldots ,\;v_{n},\;\ldots ,$

dont la première a pour limite un nombre $\lambda$, la condition nécessaire et suffisante pour que la seconde ait aussi pour limite $\lambda$ est que ${|u_{n}-v_{n}|}$ ait pour limite 0.

1^o La condition est nécessaire. Supposons que la suite (2) ait pour limite $\lambda$, comme la suite (1).