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fonction de $a$ et de $h$

$m=\pi a-{\sqrt {\pi ^{2}a^{2}-4\pi a(a-h)}}$.

Cette dernière formule est très recommandable pour les calculs numériques, mais elle présente deux inconvénients ; elle n’est pas facilement exprimable en langage ordinaire, et elle ne donne pas une idée suffisamment claire des variations de l’écart et de l’importance des primes. Les formules que nous obtiendrons, inférieures à la précédente au point de vue du calcul numérique, ont, par contre, l’avantage d’être très expressives et très simples.

41. On peut introduire dans la formule complète du n^o 39 la valeur ${l=m+h}$ de l’écart de la prime ; la formule devient alors

${\frac {h+l-a}{2}}-{\frac {(l-h)^{2}}{4\pi a}}+{\frac {(l-h)^{4}}{96\pi ^{2}a^{3}}}-{\frac {(l-h)^{6}}{1920\pi ^{3}a^{5}}}+\ldots =0$ ;

elle ne change pas si l’on remplace $l$ par $h$ et $h$ par $l$ ; donc, si l’écart de la prime dont $h$ est $l$, l’écart de la prime dont $l$ est $h$.

Ce théorème de réciprocité peut se démontrer sans faire appel à aucune formule analytique ; il suffit de supposer qu’un spéculateur achète une prime dont $h$ à l’écart $l$ et vende ferme simultanément ; on voit sans difficulté que la résultante de cette double opération est une prime à la baisse dont l’importance est $l$ et dont l’écart est $h$.

Les deux opérations composantes étant équitables, leur résultante l’est également, ce qui démontre le théorème de réciprocité.

Dans la formule complète du paragraphe 39

(1)

$h=a-{\frac {m}{2}}+{\frac {m^{2}}{4\pi a}}-{\frac {m^{4}}{96\pi ^{2}a^{3}}}+{\frac {m^{6}}{1920\pi ^{3}a^{5}}}-\ldots$,

on peut remplacer $h$ par $l$, on obtient ainsi

(2)

$l=a+{\frac {m}{2}}+{\frac {m^{2}}{4\pi a}}-{\frac {m^{4}}{96\pi ^{2}a^{3}}}+{\frac {m^{6}}{1920\pi ^{3}a^{5}}}-\ldots$.

42. L’écart d’une prime augmentant quand son importance