Or l’égalité (2) donne :
donc :
(4) |
tr. ΜΝΝ′tr. ΜΞΞ′ = ΜΝΜΝ − ΛΝ = ΜΝΜΛ[1], |
c’est-à-dire : le triangle intercepté dans le prisme partiel est au triangle intercepté dans le sabot comme la parallèle ΜΝ menée dans le rectangle ΗΓΔΕ est à la partie de cette parallèle comprise entre ΕΗ et la parabole. Cette relation étant vraie pour n’importe quelle position de la parallèle, au total] la somme des triangles du prisme partiel est à la somme des triangles du sabot comme la somme des parallèles ΜΝ est à la somme de leurs sections comprises entre ΗΕ et la courbe. La première somme n’est autre que le prisme partiel, [la seconde le sabot], la troisième le rectangle ΗΓΔΕ, la quatrième le segment parabolique ΗΖΕ, donc :
(5) |
prisme partielsabot = rect. ΗΓΔΕsegm. ΕΖΗ. |
[Le rectangle ΗΓΔΕ vaut deux fois le triangle ΗΖΕ ; le segment parabolique ΗΖΕ vaut les 4/3 de ce triangle] car ceci a été montré précédemment[2] ;
- ↑ On obtiendrait plus vite cette relation en partant de l’équation de la parabole y² = Rx, d’où :
R²y² = Rx et R²R² − y² = RR − x.
Dès lors on a tr. ΜΝΝ′tr. ΜΞΞ′ = ΜΝ²ΜΞ² = R²R² − y² = RR − x = ΜΝΜΛ.
- ↑ Théorème I. On peut aussi traduire (en lisant ἐν τοῖς πρότερον ἐκδεδομένοις) « dans un ouvrage précédent », à savoir dans Quadr. parab., II, p. 251 et suiv.
