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des théorèmes mécaniques
Combinant (12) et (9), il vient :
(13) |
segm. ΒΑΔcyl. Ν = ΓΦ.ΑΘΧΑ.ΓΦ = ΑΘΧΑ. |
Mais on a vu que le segment équilibre par rapport à Α le cylindre Ν : le cylindre ayant pour centre de gravité Θ, cette égalité ne peut être vraie que si Χ est le centre de gravité du segment. C. q. f. d.[1].
- ↑ La démonstration d’Archimède est assez pénible et offre, de plus, l’inconvénient de supposer la relation ΧΑΧΗ = ΗΑ + 4 ΗΓΗΑ + 2 ΗΓ découverte on ne sait comment et d’en fournir simplement la vérification. Il semble qu’Archimède aurait pu établir directement cette relation de la manière suivante (j’emploie, pour abréger, les notations ΑΣ = R, ΑΗ = h, ΗΓ = h′ et je note tout de suite que, puisque h′ = 2 R − h, on a R = h + h′2.)
On a vu, dans la première partie de la démonstration, que : (segm. ΑΒΔ + cône ΑΕΖ) restant en place équilibrent (par rapport à Α) le cône ΑΕΖ au c.g. Θ. Appelons Ω le c.g. du système (segm. ΑΒΔ + cône ΑΕΖ). Cette relation d’équilibre implique l’égalité :
(1)
ΩΑΘΑ = cône ΑΕΖcône ΑΕΖ + segm. ΑΒΔ. Calculons segm. ΑΒΔ en fonction du cône ΑΕΖ. On a vu (Th. VII) que :
(2)
segm. ΑΒΔcône ΑΒΔ = R + h′h′. Mais :
(3)
cône ΑΒΔcône ΑΕΖ = ΗΔ²ΗΖ² = hh′h² = h′h, d’où :
(4)
segm. ΑΒΔcône ΑΕΖ = R + h′h. Remplaçant segm. ΑΒΔ par cette valeur dans (1), il vient :
