Des théorèmes mécaniques (trad. Reinach)/Théorème VII

Archimède

Des théorèmes mécaniques

Traduction par Théodore Reinach.
Texte établi par Théodore Reinach, Armand Colin, 1907 (p. 53-56).

(Théorème VII).

Tout segment de sphère (à une base) est au cône [de même base et de même hauteur comme le rayon de la sphère plus la hauteur du segment supplémentaire sont à cette dernière hauteur seule^[1]].

[Coupons^[2] la sphère (fig. 9) par un plan passant par le centre qui détermine le grand cercle ΑΛΓΛ′ et coupe le segment donné suivant l’arc ΔΛΑΛ′Β. Traçons le diamètre ΑΓ passant par le sommet du segment et qui coupe la base ΔΒ en Η ; menons le
Fig. 9. diamètre perpendiculaire ΛΛ′. Tirons ΑΛ, ΑΛ′ et prolongeons-les jusqu’à leurs rencontres Ε, Ζ avec ΔΒ prolongée et Ψ, Ω avec la tangente en Γ. Imaginons enfin les cônes ayant pour sommet Α, pour bases respectives les cercles de diamètre ΔΒ, ΕΖ, ΨΩ, et le cylindre ayant pour base le cercle ΨΩ et pour axe ΑΓ, cylindre que le plan de base du segment coupe selon le cercle ϜΥ. Enfin prolongeons ΑΓ d’une longueur ΑΘ = ΑΓ et soit ΓΘ un levier ayant pour milieu fixe Α].

À l’intérieur du rectangle ΤΥ, je mène une parallèle quelconque ΜΝ à ΔΒ et fais passer par ΜΝ un plan perpendiculaire à ΑΓ. Il coupe le cylindre suivant le cercle de diamètre ΜΝ, le segment sphérique suivant le cercle ΞΟ, le cône ΑΕΖ suivant le cercle ΠΡ.

On démontrera, comme précédemment, que le cercle ΜΝ restant en place équilibrera par rapport au point Α la somme des cercles ΞΟ, ΠΡ transportés en Θ comme centre de gravité^[3]. (Il en sera de même pour toute autre position de la parallèle ΜΝ et de son plan sécant.)

Si donc l’on remplit entièrement le cylindre ΤΥ, le cône ΑΕΖ et le segment ΑΔΒ de cercles pareils, au total, ΤΥ restant en place équilibrera par rapport au point Α la somme du cône ΑΕΖ et du segment ΑΔΒ transportés en Θ.

Prenons maintenant sur ΑΓ le point Χ tel que ΑΧ = ΧΗ, et le point Φ tel que ΑΦ = 3 ΦΗ. Le point Χ, étant le milieu de l’axe ΑΗ, est le centre de gravité du cylindre ΤΥ ; de même (lemme VIII), Φ est le centre de gravité du cône ΑΕΖ.

La relation d’équilibre trouvée peut s’écrire :

(1)

cyl. ΤΥ/cône ΑΕΖ + segm. ΑΔΒ = ΘΑ/ΧΑ,[4]

[c’est-à-dire :

cyl. ΤΥ/cône ΑΕΖ + seg. ΑΔΒ = 2 R/h/2 = 4 R/h.

Mais

cyl. ΤΥ/cyl. ΕΖ = 4 R²/h² ;

donc :

cyl. ΤΥ/cône ΑΕΖ = 12 R²/h².

Or,

cône ΑΕΖ/cône ΑΔΒ = h²/hh′ = h/h′ ;

donc :

cyl. ΤΥ/cône ΑΔΒ = 12 R²/hh′.

Substituant dans (1) ces valeurs de cône ΑΕΖ et cylindre ΤΥ en fonction de cône ΑΔΒ, il vient :

cône ΑΔΒ 12 R²/hh′/cône ΑΔΒ h/h′ + seg. = 4 h/R ;

d’où :

seg. 4 R/h = cône (12 R²/hh′ − 4 R/h′) = cône 4 R/h′(3 R/h − 1)

donc

seg./cône = h/h′(3 R/h − 1) = R + h′/h′.]

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1. Énoncé restitué d’après le Traité Sphère et cylindre, II, 2 (I, p. 194, Heib.), où Archimède donne une démonstration (ou plutôt une vérification) géométrique assez simple.

   Si l’on appelle R le rayon de la sphère, h la hauteur du segment, h′ celle du segment supplémentaire, l’énoncé d’Archimède donne pour valeur du segment sphérique V = R + h′/h′ . ῶ h/3 . ΔΗ².

   Comme ΔΗ²/h′ = h et que R + h′ = 3 R − h, on voit que cette valeur revient à l’expression connue : V = ῶh² (R − h/3).

2. Tout ce commencement est perdu. Je l’ai restitué d’après les indications de la figure et la marche ultérieure de la démonstration.
3. Cette démonstration déjà été faite au théorème II, où la construction est identique.
4. Pour la fin de la démonstration, j’ai suivi la restitution de Zeuthen, en introduisant les notations R, h, h′.