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celles de $t$ et $u$ dont la substitution dans l’équation (1) conduira à celle de la caustique cherchée^[1].

Passons présentement aux données et aux inconnues de M. de St-Laurent. Soient $2v$ et $2v'$ les longueurs des cordes respectivement interceptées par le cercle sur les directions des rayons réfracté et incident. En continuant de représenter respectivement par $\theta$ et $\theta '$ les angles de réfraction et d’incidence, et en supposant, pour fixer les idées, que les points $(x,y),(x',y')$ sont tous deux intérieurs au cercle, ce qui est permis, puisque si, par exemple, le dernier se confondait avec son centre, le premier se confondrait avec lui ; on aura, par les premiers principes de la trigonométrie,

{\begin{aligned}v=r\operatorname {Cos} .\theta ,\qquad &x^{2}+y^{2}=r^{2}-2rz\operatorname {Cos} .\theta +z^{2},\\\\v'=r\operatorname {Cos} .\theta ',\qquad &x'^{2}+y'^{2}=r^{2}-2rz'\operatorname {Cos} .\theta '+z'^{2}\end{aligned}}

d’où on conclura par l’élimination de $\operatorname {Cos} .\theta$ et $\operatorname {Cos} .\theta ',$

x^{2}+y^{2}=r^{2}+z(z-2v),\

(11)

\quad x'^{2}+y'^{2}=r^{2}+z'(z'-2v').\

(11’)

Dans l’hypothèse contraire à celle que nous venons d’admettre $v$ et $v'$ devraient changer de signes ; mais ces quantités devant disparaître des résultats, il importe peu d’avoir égard à cette différence.

↑ Si l’on voulait procéder à l’élimination entre les équations (9) et (10), on se priverait aussitôt des avantages de la symétrie ; symétrie qui conduit à soupçonner que l’on pourrait de ces équations en déduire deux autres où il n’entrât plus que $\zeta +\zeta '$ et $\zeta \zeta '$ et où conséquemment on pourrait éliminer l’une de ces quantités sans troubler la symétrie. L’analyste qui trouverait quelque méthode abrégée pour résoudre deux équations de la forme
$\varphi (x)=\varphi (x)\qquad \psi (x)=\psi (y),$

rendrait incontestable un grand service à ceux qui s’occupent d’optique.

J. D. G.

[1] Si l’on voulait procéder à l’élimination entre les équations (9) et (10), on se priverait aussitôt des avantages de la symétrie ; symétrie qui conduit à soupçonner que l’on pourrait de ces équations en déduire deux autres où il n’entrât plus que $\zeta +\zeta '$ et $\zeta \zeta '$ et où conséquemment on pourrait éliminer l’une de ces quantités sans troubler la symétrie. L’analyste qui trouverait quelque méthode abrégée pour résoudre deux équations de la forme
$\varphi (x)=\varphi (x)\qquad \psi (x)=\psi (y),$

rendrait incontestable un grand service à ceux qui s’occupent d’optique.

J. D. G.

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