Mathématiques et mathématiciens/Chp 4 - Section : Mathématiques supérieures
MATHÉMATIQUES SUPÉRIEURES
Une caisse parallélépipédique, étant remplie d’un très grand nombre de petites boules égales, on demande quelle partie de la caisse est occupée par les boules.
Réponse : , environ les .
Même question, avec des cercles dans le plan
Conclure qu’on ne peut remplir le plan avec des cercles, ni l’espace avec des sphères.
Huit personnes, contentes de dîner ensemble, se proposent de s’inviter mutuellement, jusqu’à ce qu’elles aient épuisé toutes les façons de se placer à table.
Réponse : 40 320 dîners, soit 110 ans.
On casse au hasard une barre en trois morceaux ; quelle est la probabilité pour qu’on puisse former un triangle avec les trois morceaux ?
Disposer 30 prunes et 10 pêches, de façon à avoir toutes les pêches en les prenant de 12 en 12.
Réponse : Pêches aux places 7. 8. 11. 12. 21. 22. 24. 26. 37
Au jeu d’échecs, faire parcourir au cavalier les 64 cases, l’une après l’autre, sans le faire passer deux fois dans la même.
Chacun sait qu’un cavalier placé sur une case d’une certaine couleur ne peut passer que sur les cases de l’autre couleur qui sont à deux rangs de la sienne.
Deux tonneaux de capacité différente sont pleins de deux vins différents, trouver quel même nombre de litres il faut prendre dans les deux pour qu’après l’échange les deux pièces aient la même composition.
Même question en supposant une proportion différente de même vin et d’eau dans les deux tonneaux.
Le nombre des décès étant de de la population et le nombre des naissances de , on demande en combien de temps la population d’un pays sera doublée.
Pierre et Paul sont soumis à un scrutin de ballottage ; l’urne contient m bulletins favorables à Pierre ; n favorables à Paul ; m est plus grand que n, Pierre sera élu. Quelle est la probabilité pour que, pendant le dépouillement du scrutin, les bulletins sortent dans un ordre tel que Pierre ne cessera pas un seul instant d’avoir l’avantage ?
On tire à la cible. L’arme, sans être parfaite, ne présente aucun défaut systématique ; les déviations ont en tous sens la même probabilité. Quelle est la probabilité pour que le point frappé soit à une distance du but comprise entre r et r + dr ?
Données insuffisantes.
Combien y a-t-il de mots formés de neuf lettres ? (les mots peuvent n’avoir aucune signification et même ne pas être prononçables).
Réponse : 98 956 601 600 mots.
Trouver l’arc double de sa corde.
Ce problème donne lieu à une équation transcendante ; il ne peut pas être résolu avec la règle et le compas. De même pour les trois exercices suivants.
Partager un demi-cercle en deux parties équivalentes par une parallèle au diamètre.
Quelle doit être la longueur de la longe d’un cheval pour qu’en la fixant au contour d’un pré circulaire l’animal ne puisse tondre que la moitié du pré ?
Percer une voûte hémisphérique de quatre fenêtres égales de façon que le reste de la surface soit exactement carrable. (Fenêtres de Viviani.)
Dans un pays qui compte 10 millions d’électeurs, on en désigne 20 000 par un tirage au sort, pour leur faire élire un représentant. En supposant que le pays soit partagé entre deux opinions, 4 500 000 d’un côté et 5 500 000 de l’autre, quelle est la probabilité pour que le candidat élu appartienne à la minorité ?
Dans la question des intérêts composés continus, on demande ce que devient, au bout d’un nombre donné d’années, un capital placé à un taux connu, en supposant que l’intérêt se capitalise d’instant en instant.
Trouver le diamètre d’un cercle, étant données les longueurs de trois cordes formant un contour fermé terminé aux extrémités de ce diamètre.
On place, bout à bout, n couples de cartes inclinées l’une sur l’autre et une carte entre deux couples ; par dessus, on met n – 1 couples dont on assure la stabilité de même, et ainsi de suite. Combien faudra-t-il de cartes pour faire ce château ?
Même question pour un château à étages carrés, la stabilité étant obtenue en remplaçant chaque couple par un nombre de couples égal à celui des couples primitifs.
Un chien part d’un point en dehors de la route et court vers son maître qui chemine uniformément. Étudier la courbe du chien.
Trouver le lieu du point tel que le produit de ses distances à plusieurs droites données soit dans un rapport constant avec le produit de ses distances à d’autres droites données.
Ce problème, qui avait occupé les Anciens, est traité par Descartes au commencement de sa Géométrie.
Comment passer successivement sur tous les ponts de Paris, sans passer deux fois sur aucun d’eux ?
Cas où l’on ne tient pas compte du pont en bois de l’Estacade et cas où l’on en tient compte.
Donner un triangle dont les trois côtés et la surface soient représentés par des nombres entiers. Il suffit de prendre pour côtés 3, 4 et 5 ou 13, 14 et 15.
Voici une autre solution donnée par M. Catalan :
a = 12 355, b = 12 363, c = 34, s = 204 204.
Des enfants dansent en rond en se donnant la main, autour d’un autre placé au centre. Comment faut-il disposer les enfants, dans leurs rondes successives, pour que chacun d’eux se trouve une fois au centre, et deux fois voisin de tous ses camarades ?
Quinze jeunes filles se promènent journellement trois par trois ; on demande comment il faut arranger leurs promenades de telle sorte que chaque jeune fille se trouve successivement une seule fois en compagnie avec toutes les autres.
On sacrifiait à Apollon sur un autel cubique en or. Pendant une épidémie, on fit demander au dieu, pour l’apaiser, ce qu’il désirait ; l’oracle répondit : Doublez l’autel.
Les prêtres construisirent un autel de côté double, mais la peste ne cessa point.
Le problème de la duplication du cube n’est pas élémentaire, c’est-à-dire qu’il ne peut pas se résoudre avec la règle et le compas, en traçant seulement des droites et des circonférences.
Diviser un angle en trois parties égales. Problème de la trisection.
Même observation que pour la question précédente : on ne peut que procéder approximativement.
Construire le carré équivalent à un cercle de rayon donné : tel est le problème de la quadrature du cercle.
Il faudrait savoir d’abord rectifier la circonférence, c’est-à-dire tracer la droite de même longueur qu’une circonférence de rayon donné, puis prendre la moyenne proportionnelle entre cette droite et la moitié du rayon. — Voici une solution très approchée, due au jésuite polonais Koskanski : aux extrémités du diamètre d’une demi-circonférence, élevez les perpendiculaires égales au triple du rayon et au demi-côté de l’hexagone régulier, la distance des deux points obtenus a sensiblement même longueur que la demi-circonférence.
On a démontré récemment que le problème de la quadrature du cercle est impossible avec la règle et le compas. Ce n’est pas seulement parce que est incommensurable, puisqu’on sait construire rigoureusement certains nombres incommensurables.
Les Anciens avaient imaginé, pour résoudre les trois problèmes précédents, les courbes appelées cissoïde, conchoïde et quadratrice.
Un jardin circulaire renferme un puits à son centre. Le jardinier puise de l’eau dans le puits et s’en sert pour arroser le jardin. Combien mettra-t-il de temps pour l’arroser en entier ?
Un bon bourgeois fait faire dans sa cave un casier de neuf cases disposées en carrés ; la case du milieu était destinée à recevoir les bouteilles vides provenant de la consommation de soixante bouteilles pleines, qu’il disposa dans les huit autres cases en mettant six bouteilles dans chaque case des angles et neuf dans chacune des autres cases. Son domestique enleva d’abord quatre bouteilles qu’il vendit, et disposa les bouteilles restantes de manière qu’il y en eût toujours vingt et une sur chaque côté du carré. Le maître, trompé par cette disposition, pensa que son domestique n’avait fait qu’une transposition de bouteilles, et qu’il y en avait toujours le même nombre. Le domestique profita de la simplicité de son maître pour enlever de nouveau quatre bouteilles, et ainsi de suite jusqu’à ce qu’il n’y fût plus possible d’en enlever quatre sans que le nombre vingt et un cessât de se trouver sur chaque côté du carré. On demande comment il s’y prit à chaque fois et de combien de bouteilles il fit tort à son maître.
L’erreur provenait de ce que les bouteilles placées dans les coins comptaient double.
Déterminer toutes les manières possibles de placer huit reines sur l’échiquier ordinaire, de telle sorte qu’aucune des reines ne puisse être prise par une autre.
Faire rapidement la somme des piles de boulets sphériques : piles carrées, rectangulaires ou triangulaires.
Le problème du déblai et du remblai a beaucoup occupé les mathématiciens. Il s’agit de partager la tranchée à creuser et le remblai à élever en volumes élémentaires, se correspondant deux à deux, de façon qu’en multipliant la masse de chacun des volumes élémentaires du déblai par le chemin qui le sépare du volume équivalent du remblai, la somme des produits obtenus soit la plus petite possible. Les frais de transformation du déblai en remblai seront alors minimums.
Discuter l’équation de la courbe du diable :
De combien de manières peut-on replier sur un seul papier une bande d’un nombre donné de timbres-poste ?
Nous croyons qu’on n’a pas encore pu résoudre ce problème proposé par M. Em. Lemoine.
