Mathématiques et mathématiciens/Chp 3 - Section : Philosophie
Nous passons maintenant aux exceptions, aux fantaisies et aux étrangetés qui peuvent nous intéresser aussi dans une certaine mesure.
Cette troisième partie du livre se distingue parfois assez faiblement de la précédente.
Les idées hardies et neuves, qui sont les paradoxes d’aujourd’hui, seront peut-être les vérités de demain.
PHILOSOPHIE
Qu’est-ce que la plupart de ces axiomes dont la géométrie est si orgueilleuse, si ce n’est l’expression d’une même idée simple par deux signes ou mots différents ? Celui qui dit que deux et deux font quatre a-t-il une connaissance de plus que celui qui se contenterait de dire que deux et deux font deux et deux ? Les idées de tout, de partie, de plus grand et de plus petit ne sont-elles pas, à proprement parler, la même idée simple et individuelle, puisqu’on ne saurait avoir l’une sans que les autres se présentent toutes en même temps ? Nous devons, comme l’ont observé quelques philosophes, bien des erreurs à l’abus des mots ; c’est peut-être à ces mêmes abus que nous devons les axiomes. Je ne prétends point cependant en condamner absolument l’usage : je veux seulement faire observer à quoi il se réduit ; c’est à nous rendre les idées simples plus familières, par l’habitude, et plus propres aux différents usages auxquels nous pouvons les appliquer.
J’en dis à peu près autant avec les restrictions convenables, des théorèmes mathématiques. Considérés sans préjugés, ils se réduisent à un assez petit nombre de vérités primitives. Qu’on examine une suite de propositions de géométrie déduites les unes des autres, en sorte que deux propositions voisines se touchent immédiatement et sans aucun intervalle, on s’apercevra qu’elles ne sont que la première proposition qui se défigure, pour ainsi dire, successivement et peu à peu, dans le passage d’une conséquence à la suivante, mais qui pourtant n’a point été réellement multipliée par cet enchaînement et n’a fait que recevoir différentes formes…
… On peut donc regarder l’enchaînement de plusieurs vérités géométriques comme des traductions plus ou moins différentes et plus ou moins compliquées de la même proposition, et souvent de la même hypothèse.
Ces traductions sont au reste fort avantageuses par les divers usages qu’elles nous mettent à la portée de faire du théorème qu’elles expriment ; usages plus ou moins estimables, à proportion de leur importance et de leur étendue. Mais tout en convenant du mérite réel de la traduction mathématique d’une proposition, il faut reconnaître aussi que ce mérite réside originairement dans la proposition même. C’est ce qui doit nous faire sentir combien nous sommes redevables aux génies inventeurs qui, en découvrant quelqu’une de ces vérités fondamentales, source et, pour ainsi dire, original d’un grand nombre d’autres, ont réellement enrichi la géométrie et étendu son domaine.
Les vérités mathématiques… sont moins des vérités que des outils pour en acquérir, puisque, faisant abstraction de la nature des choses, elles ne s’occupent que de leur grandeur ou de leur forme. Elles me laissent, au regard du monde, comme ferait un comptable, qui, voulant dresser l’état de sa caisse, établirait le nombre de ses billets, sans se préoccuper de leur valeur.
Les mathématiques ne développent l’esprit que sous une face. Elles ont pour unique objet la forme et la quantité. Elles s’arrêtent donc pour ainsi dire à la surface des choses, sans pénétrer jusqu’à leurs qualités essentielles, jusqu’à leurs relations internes, de beaucoup les plus importantes.
Après cette première étape, indispensable, on ira plus loin, si l’on peut.
Certains de nos contemporains d’outre-Manche ont tenté de régénérer la logique, en lui donnant un caractère mathématique.
De Morgan, après avoir rappelé que, dans toute langue, il y a des noms positifs et des noms négatifs, comme vertébré et invertébré, dit que tout nom, sans exception, doit être considéré comme pouvant être pris positivement ou négativement. Le mot homme, par exemple, s’applique positivement à Alexandre et négativement à Bucéphale, qui était un non-homme. Si U est la totalité considérée et X sa partie positive, sa partie négative U — X est désignée par x. Les propositions s’écrivent alors symboliquement sous forme d’égalités.
Boole généralise le problème de la déduction qui n’est d’abord que l’élimination d’un terme moyen dans un système de trois termes. Il considère un nombre quelconque de termes et se propose d’éliminer autant de termes moyens qu’on voudra. Le logicien s’est ainsi proposé d’appliquer l’algèbre à la logique : il adopte les symboles 1 (tout) et 0 (rien), puis x, y, z, etc., pour représenter les choses, en tant que sujets de nos conceptions, et les signes, +, –, ×, =, pour les appliquer aux opérations de l’esprit.
Enfin Stanley Jevons a imaginé, à l’instar des machines arithmétiques, une machine logique qui est un petit piano à 21 touches, les unes correspondant aux termes positifs ou négatifs (sujets ou prédicats) et les autres aux opérations : copules, etc. On raisonne pour ainsi dire mécaniquement, en jouant de ce piano.
On a vraiment lieu de s’étonner que le Calcul infinitésimal n’ait pas été inventé plus tôt, surtout quand on songe que ceux qui, par métier, se livrent à des travaux d’une certaine précision, auraient dû y être conduits comme par la main. Ainsi, tout charpentier ou tailleur de pierre est journellement à même de voir qu’il est à peu près impossible que l’outil, destiné à suivre la marque pour diviser une planche ou une pierre, entame exactement le milieu de la ligne tracée, qu’il y a presque toujours des déviations, plus ou moins sensibles autour de ce milieu, et que la somme de ces déviations peut devenir très marquée. Un marchand qui aune un morceau d’étoffe, et le coupe suivant la marque tracée, n’ignore pas combien il lui est facile de retenir à son profit une fraction de mesure qui échappe à l’œil de l’acheteur le plus vigilant ; et il sait qu’à la longue les sommes de ces quantités imperceptibles peuvent faire des aunes ou des mètres entiers. Il en est de même du détaillant qui vend les denrées au poids : des grains de poussière, salissant le plateau d’une balance, s’ajoutent au poids, et les sommes de ces infinitésimales, indéfiniment répétées, n’échappent pas à l’esprit mercantile.
Il est à regretter que ces détails de la vie matérielle, qui ont leur importance, aient toujours été jugés indignes d’un penseur. Si les philosophes, à l’époque où la philosophie comprenait toutes les connaissances humaines, avaient daigné y porter leur attention, ils auraient devancé les grands philosophes géomètres du XVIIe siècle.
Confusion entre le très petit et l’infiniment petit.
Un instituteur, après avoir fait compter des billes et autres objets matériels aux bambins, s’écria, avant de passer aux nombres isolés : « Attention, je vais faire des abstractions ! »
Le Civilisé (homme actuel) est à l’Harmonien (homme perfectionné ?) comme 12 est à 32, c’est-à-dire comme l’addition est à la multiplication, car le nombre 32 est le produit de 8 par 4, c’est-à-dire du premier cube par le premier carré, tandis que 12 n’est que la somme de ces deux chiffres.
Les attractions sont proportionnelles aux destinées.
Quelques mathématiciens philosophes se sont proposé de reconstituer la géométrie, sans admettre que par un point on ne peut mener qu’une parallèle à une droite. De là des géométries non euclidiennes où la somme des angles d’un triangle n’est plus égale à deux droits : dans celle de Riemann, elle est plus petite que deux droits et dans celle de Lobatschewski, elle est plus grande. On peut interpréter ces hypothèses singulières en prenant pour surface fondamentale l’ellipsoïde et l’hyperboloïde à deux nappes.
On a aussi parlé d’une géométrie à plus de trois dimensions et considéré ce qu’on appelle l’hyperespace. Il s’agit simplement des équations à plus de trois variables, mais les calculs ne sont susceptibles d’aucune traduction concrète.
« La géométrie euclidienne est, à leur sens, une première approximation, applicable en toute rigueur aux figures infiniment petites et, avec une approximation suffisante, aux figures finies dont les dimensions ne dépassent pas certaines limites… En dehors de ces limites, la même géométrie usuelle peut au contraire, d’après eux, tomber complètement en défaut, ou conduire aux erreurs les plus grossières pour des figures assez grandes. »
Des trois axiomes de la géométrie, le premier seul (celui de la distance et de ses propriétés essentielles) est un axiome principal, c’est-à-dire indispensable pour l’établissement d’un système quelconque de géométrie. Les deux autres (celui de l’augmentation indéfinie de la distance et celui de la parallèle unique) sont secondaires ou de simplification. Ils servent uniquement à écarter des systèmes de géométrie plus compliqués que le système usuel, mais cependant complets, logiquement possibles et conduisant en pratique aux mêmes résultats que la géométrie usitée, dans les limites de nos moyens de mesure…
La géométrie générale se divise en trois branches : la géométrie usitée, la géométrie abstraite et la géométrie doublement abstraite. Dans la seconde on ne se prive que du troisième axiome, tandis que dans la troisième on se prive aussi du second. Les trois géométries s’appellent quelquefois euclidienne, gaussienne et riemanienne.
Je ne parlerai point de la Géométrie à n dimensions ; ce n’est que de l’Analyse, sous des noms empruntés à la Géométrie. Cette étude remonte aux lieux analytiques de Cauchy, qui, du moins, ne cherchait pas à cacher sa pensée et à donner le change par des démonstrations absurdes (Comptes-rendus, 1847). Au moyen de ces espaces, dont nous ne pouvons avoir aucune idée, et aussi, peut-être, au moyen de la considération des points et des lignes à distance infinie ou imaginaire, dont je crains que les modernes n’aient un peu abusé, on dépouille la Géométrie de ce qui forme son meilleur avantage et son charme particulier, de la propriété de donner une représentation sensible aux résultats de l’Analyse et l’on remplace cette qualité par le défaut contraire, puisque des résultats qui n’auraient rien de choquant, sous leur forme analytique, n’offrent plus de prise à l’esprit ou paraissent absurdes lorsqu’on les exprime par une nomenclature géométrique, supposant des points, des lignes ou des espaces qui n’ont aucune existence réelle, et dont l’admission répugne au bon sens ou dépasse l’intelligence.
Quelqu’un a dit que les hommes pourraient douter des vérités mathématiques, s’ils y avaient intérêt ; ce n’est pas assez dire, ils peuvent en douter, par curiosité d’esprit et par simple liberté de supposer.
« Tout l’objet des néogéomètres, dit encore le même philosophe, est de s’exercer à des analyses mathématiques sur des hypothèses variées, sans se préoccuper d’aucune autre vérité que de celle du rapport des conclusions aux prémisses. »
Les géométries singulières qui ont surgi dans ces dernières années (géométries fin-de-siècle) ne doivent inquiéter aucun esprit. Ce sont de purs exercices de logique : des chercheurs paradoxaux se sont demandé ce qu’il resterait de la géométrie, si l’on refusait d’admettre le postulatum des parallèles.
La géométrie non euclidienne n’est, suivant M. Mouret, qu’un art, une sorte de poésie géométrique ou de jeu intellectuel.
L’économiste Malthus a prétendu que, tandis que la subsistance croissait en progression arithmétique, la population croissait en progression géométrique, c’està-dire beaucoup plus vite, de là une rupture d’équilibre à redouter. Le remède consisterait à ralentir l’accroissement de la population. — Crainte chimérique, la population peut croître librement. Sa vitesse d’accroissement a diminué, hélas, en France.
Pour peindre plus exactement la différence entre l’âme et la vie, Lordat fait usage d’une comparaison empruntée à la géométrie. Il représente la vie comme un fuseau, qui a un diamètre presque nul à son extrémité commençante, va en se renflant sans cesse jusqu’au milieu, puis décroît insensiblement et finit par redevenir presque nul. Au contraire, l’âme est représentée par une parabole. Partie d’un point imperceptible, la parabole se développe lentement, émettant deux lignes symétriques, qui s’allongent sans cesse pour se perdre dans l’infini.
Voir l’Alliance entre l’âme pensante et la force vitale, par Lordat. Ce médecin philosophe admet que l’âme gagne en force chez le vieillard, tandis que la vie s’affaiblit.
Ce sont des triangles, des carrés, des cercles et d’autres figures semblables ; ils les mêlent et les confondent en forme de labyrinthes. Ce sont aussi des lettres rangées comme un bataillon séparé en plusieurs compagnies : c’est par ces momeries qu’ils éblouissent les sots.
Qui pourra jamais me persuader que d’un amas confus de petites lignes, de croix, etc., de chiffres, etc., dont leurs livres sont remplis et qui peut-être sont mis au hasard (sic), on puisse jamais déduire des inventions utiles aux hommes et avantageuses à la société ?
Je te ferai voir, dans ce traité, qu’il n’y a pas moins de sujets de doute en mathématiques qu’en physique, en morale, etc.
Nous démontrons les vérités mathématiques, parce que nous les faisons.
Ce qu’on appelle vérités mathématiques se réduit à des identités d’idées, et n’a aucune réalité.
Le géomètre avance de supposition en supposition, et retournant sa pensée sous mille formes, c’est en répétant sans cesse le même est le même, qu’il opère tous ses prodiges.
« Rien n’est moins exact, dit M. Liard, que cette doctrine qui ne tendrait à rien moins qu’à faire du système entier des mathématiques une vaste tautologie, où tout progrès apparent se réduirait à une éternelle répétition. Les notions qu’unissent les propositions mathématiques ne sont pas des redites les unes des autres ; si le nombre 10 est égal à 5 + 5, il diffère de la somme 5 + 5 par la forme imposée à la réunion des 10 unités ici assemblées en un seul nombre, là groupées en deux nombres égaux ;… si la somme des trois angles d’un triangle est équivalente à deux angles droits, autre chose est tracer dans l’espace les trois angles de ce triangle, autre chose y tracer deux angles droits. »
Lorsque Archimède démontre que le cercle équivaut au triangle qui aurait pour base la circonférence et pour hauteur le rayon, il ne s’agit là ni d’identité, ni d’égalité : un cercle et un triangle ne sont pas une seule et même chose !
Ampère repoussait bien loin ce qu’il appelait « la ridicule identité ».
L’avenir tient dans le présent, comme les propriétés du triangle tiennent dans sa définition.
Aphorisme inconciliable avec la liberté humaine.
L’homme ne voit pas faux, comme le supposent les sceptiques subjectifs ; il voit borné. Il juge son univers grand et vieux ; ce n’est pourtant que a dans la formule ∞ + a ; or, dans ce cas, a = 0.
Tout nombre, c’est-à-dire toute somme d’unités réelles, est essentiellement fini ; car, puisque chacun des nombres obtenus par des additions successives ne diffère du précédent que par une unité, tous ces nombres successifs sont donc nécessairement finis à la fois, le second par le premier, le troisième par le second, etc. Tout nombre est nécessairement pair ou impair, premier ou non premier ; s’il est pair, il ne contiendra pas tous les nombres impairs ; s’il est premier, il ne contiendra pas le dernier des nombres premiers, car la série des nombres premiers est illimitée. En tous cas, qu’il soit premier ou non premier, il ne contiendra pas son carré, son cube, sa quatrième puissance ; il ne sera donc pas plus grand que tout nombre donné ; il ne sera pas infini, mais fini. Tout nombre est essentiellement fini, donc le nombre des hommes qui ont existé sur la terre est fini et il y a eu un premier homme ; donc le nombre des révolutions de la terre autour du soleil est fini et il y a eu une première révolution…
On peut dire a priori qu’il est absurde d’essayer de démontrer par l’analyse les principes de la géométrie et de la mécanique. Ces principes sont évidents ou résultent de l’expérience. Tout calcul les présuppose.
Nous admettons difficilement des géométries sans aucune figure et des mécaniques où l’on ne parle que d’équations différentielles.
Vous savez que le tout est plus grand que sa partie et que, qui ajoute choses égales à choses égales, les touts sont égaux : vous savez toutes les mathématiques…
Les tulipes qui naissent à présent étaient bien enveloppées dans celles qui fleurissaient il y a 600 ans. Ainsi les équations de l’algèbre sont-elles bien enveloppées dans les propositions que je viens de vous dire ; mais il ne tient qu’à les en tirer. Elles y sont : vous voyez les plus simples et les plus aisées en sortir, puis les autres. Je ne vous apprends rien, mais je vous fais voir jusqu’où va ce que vous saviez.
Toutes les vérités mathématiques sont implicitement contenues dans les premières notions, soit, mais il s’agit de les dégager !
La ligne courbe représente le cours de la vie pratique, toute de nécessité, de rapport avec nos proches, nos semblables, ou pleine de ménagement pour autrui. de concessions réciproques, de sacrifices mutuels. La ligne droite représente la vie théorique, l’idéal, l’idée indépendante, absolue.
Cet extrait est tiré du livre Le secret des grains de sable où l’auteur recherche « les heureuses corrélations qui relient la géométrie et le sentiment ».
On peut comparer les mathématiques à un moulin d’un travail admirable, capable de moudre à tous les degrés de finesse ; mais ce qu’on en tire dépend de ce qu’on y a mis, et comme le plus parfait moulin du monde ne peut donner de la farine de froment si l’on n’y met que des cosses de pois, de même des pages de formules ne tireront pas un résultat certain d’une donnée incertaine.
Les mathématiques sont comme un moulin à café qui moud admirablement ce qu’on lui donne à moudre, mais qui ne rend pas autre chose que ce qu’on lui a donné.
Il me semblait que résoudre un problème de géométrie par les équations, c’était jouer un air en tournant une manivelle.
Lorsqu’on raisonne, on ne peut demander aux prémisses que ce qu’elles contiennent.
Le calcul constitue une méthode rapide d’analyse, pour résoudre les problèmes. On pourrait, après coup, rétablir tous les intermédiaires.
La Géométrie sans axiomes est le titre d’un livre anglais de Perronet Thomson, traduit par Van Tenac, où les axiomes, incorporés dans les définitions, ne sont pas formellement énoncés.
Supposez maintenant que vous vous éloigniez de la terre avec une vitesse supérieure à celle de la lumière, qu’arrivera-t-il ? Vous retrouverez, à mesure que vous avancerez dans l’espace, les rayons partis avant vous, c’est-à-dire les photographies, qui, de seconde en seconde, d’instant en instant, s’envolent dans l’étendue.
Si, par exemple, vous partez en 1867 avec une vitesse égale à celle de la lumière, vous garderez éternellement l’année 1867 avec vous. Si vous allez plus vite, vous retrouverez les rayons partis aux années antérieures et qui emportent avec eux les photographies de ces années.
Pour mieux mettre en évidence la réalité de ce fait, je vous prie de considérer plusieurs rayons lumineux partis de la Terre à différentes époques. Le premier est je suppose, celui d’un instant quelconque, du 1er janvier 1807. À raison de 75 000 lieues par seconde, il a, au moment où je vous parle, déjà fait un certain trajet depuis le moment de son départ et se trouve maintenant à une certaine distance, que j’exprimerai par la lettre A. Considérons maintenant un second rayon parti de la Terre cent ans auparavant, le 1er janvier 1767 : il est de cent ans en avance sur le premier, et il se trouve à une distance beaucoup plus grande, distance que j’exprimerai par la lettre B. Un troisième rayon, celui, je suppose, du 1er janvier 1667, est encore plus loin, d’une longueur égale au trajet que parcourt la lumière en cent ans. J’appelle C le lieu où en est ce troisième rayon. Enfin, un quatrième, un cinquième, un sixième, sont respectivement des 1er janvier 1567,1467, 1367, etc., et sont échelonnés à des distances égales, D, E, F, s’enfonçant de plus en plus dans l’infini.
Voilà donc une série de photographies terrestres échelonnées sur une même ligne, de distance en distance, dans l’espace. Or l’esprit qui s’éloigne en passant successivement par les points A, B, C, D, E, F, y retrouve successivement l’histoire séculaire de la Terre à ces époques.
Un moraliste, plus ingénieux que solide, puise dans les considérations précédentes un encouragement au bien. En effet, l’image d’un meurtre ne disparaît plus et, à l’éternelle honte du meurtrier, cette image qui s’envole dans l’espace proclame le crime jusqu’aux astres les plus lointains.
Les sensations sont proportionnelles aux logarithmes des impressions ou des excitations.
C’est là un énoncé curieux et obscur attribué aussi à Fechner et qui a été généralement contesté.
« C’est le propre des phénomènes vitaux, assure Bichat, d’échapper à tous les calculs. » L’assertion est trop absolue, mais il faut être prudent en ces délicates matières.
La suite continue des nombres entiers, fractionnaires, incommensurables, où le cas simple est très exceptionnel, est une conception délicate.
Quelque petit que soit un nombre, il y a exactement autant de nombres plus petits que lui que de nombres plus grands, puisque à un nombre quelconque correspond son inverse.
On trouve dans les mathématiques des régions philosophiques — ce ne sont pas les plus claires — où se complaisent certains esprits.
Que celui qui a de l’intelligence compte le nombre de la bête… son nombre est six cent soixante-six.
Il s’agit de l’Antechrist.
Qu’est-ce que l’élément infinitésimal ? C’est la grandeur décroissante jusqu’à s’évanouir, et prise au moment où elle s’évanouit, car avant, ce serait trop tôt, et après ce serait trop tard. C’est la grandeur prise au moment où, cessant d’être quelque chose, elle n’est pas encore rien du tout, c’est-à-dire au moment où elle participe à la féconde identité de l’être et du néant.
Très subtil et peu clair.
Le mouvement dans l’espace d’un corps soumis à l’action d’une force donnée et partant d’une position aussi donnée doit être absolument déterminé. C’est donc par une sorte de paradoxe que les équations différentielles dont ce mouvement dépend peuvent être satisfaites par plusieurs équations qui remplissent en outre les conditions initiales du mouvement.
On peut rattacher à cette remarque deux travaux philosophico-mathématiques plus ingénieux que solides. 1o Accord de la liberté morale avec les lois du mécanisme, par Saint-Venant (Comptes rendus du 15 mars 1877) ; 2o Conciliation du véritable déterminisme avec l’existence de la vie et de la liberté morale, par Boussinesq (Comptes rendus du 19 février et du 5 mars 1877.)
M. J. Bertrand dit à propos de ces tentatives :
« Quand une table rigide et pesante repose par plus de trois pieds sur un sol parfaitement dur, l’effort supporté par chaque pied est indéterminé. Le calcul l’affirme mais ni les physiciens ni les géomètres ne l’ont cru un instant ; ils se sont bien gardés surtout de supposer à chaque pied la faculté de choisir, en lui prêtant une volonté devenue indispensable ».
Il y a des certitudes qui ne reposent pas sur l’expérience. Je sais qu’il y a des polygones de 7, de 11, de 13 côtés, etc., tout en sachant qu’on ne peut, actuellement du moins, les construire géométriquement. On admet qu’il y a un carré égal à un cercle donné, et personne ne s’avisera plus de chercher ce carré. Rien de plus aisé que de former une équation du me degré, en se donnant au préalable m racines réelles ou imaginaires ; l’équation une fois formée, on sait qu’elle a ces racines et pourtant on ne peut pas toujours les dégager.
Or, comment sait-on qu’il y a des polygones réguliers de 7, de 11, de 13 côtés, etc., qu’il y a un carré égal à un cercle donné… ? Par un raisonnement d’analogie et d’induction, celui-ci par exemple : Je sais diviser une droite en 7 parties égales ; si la circonférence était rectifiée, je pourrais la diviser en 7 parties égales. Y a-t-il une droite égale à une circonférence donnée ? Oui, car une circonférence est finie et peut croître indéfiniment par infiniment petits ; une ligne droite est dans le même cas, donc on peut faire croître une ligne droite de manière à lui donner la longueur de la circonférence proposée.
On peut être sûr de l’existence d’une figure sans savoir la construire, d’un nombre sans savoir le calculer.
Toutes les lacunes, tous les vides ne sont pas remplis, et ces lacunes, ces vides se font surtout sentir dans ce qui semble tenir de plus près aux connaissances préliminaires à la géométrie.
D’après le principe de continuité de Leibniz, le repos serait un mouvement infiniment petit ; la coïncidence, une distance infiniment petite ; l’égalité, la dernière des inégalités, etc.
C’était surtout la manière dont ce chien faisait une addition qui était curieuse à voir ! Des chiffres étaient marqués sur des morceaux d’os de la grandeur des dominos. Son maître lui posait trois ou quatre rangées de trois ou quatre chiffres chacun, Munito regardait, puis, s’il avait :
D’après Delbœuf, les serins ne comptent que jusqu’à trois et une chienne intelligente ne sait pas distinguer trois de quatre.
Houzeau croit que les mulets savent compter au moins jusqu’à cinq. Le garde-chasse Leroy admet cette limite supérieure pour les corbeaux. Romanes a enseigné à un chimpanzé à compter jusqu’à cinq.
Nous ne garantissons pas ces diverses assertions.
Autrefois on prenait pour base de la géométrie abstraite l’espace réel, avec les lois que l’expérience révèle, avec les trois dimensions auxquelles sont soumis tous les corps qui tombent sous nos sens. Aujourd’hui les géomètres s’affranchissent de ces conditions vulgaires ; ils supposent des espaces différents, à quatre, cinq, six dimensions ou davantage ; ils appliquent à ces hypothèses fantastiques l’analyse mathématique, et les voilà partis, dans un monde imaginaire, à la poursuite de conclusions très logiquement déduites, mais devant lesquelles l’esprit se perd.
Puis, quand ils reviennent à ce vieil espace traditionnel au sein duquel nous habitons, ils prétendent que ces lois n’ont pas, devant la raison, plus de valeur que les espaces étranges où la somme des angles d’un triangle est inférieure ou supérieure à deux angles droits, où une courbe peut servir de parallèle à une ligne droite. Le résultat de cette débauche d’analyse, c’est le scepticisme mathématique.
La pierre philosophale, le mouvement perpétuel, la quadrature du cercle, le désintéressement parfait, etc.
Vous ne rencontrez nulle part dans la nature deux objets identiques : dans l’Ordre Naturel, deux et deux ne peuvent jamais faire quatre, car il faudrait assembler des unités exactement pareilles, et vous savez qu’il est impossible de trouver deux feuilles semblables sur un même arbre… Vous pouvez ajouter le ducat du pauvre au ducat du riche, et vous dire au trésor public que ce sont deux quantités égales ; mais aux yeux du penseur l’un est certes moralement plus considérable que l’autre.
Les mathématiques sont la science des formes et des quantités ; le raisonnement mathématique n’est autre que la simple logique appliquée à la forme et à la quantité. La grande erreur consiste à supposer que les vérités qu’on nomme purement algébriques sont des vérités abstraites ou générales. Et cette erreur est si énorme, que je suis émerveillé de l’unanimité avec laquelle elle est accueillie. Les axiomes mathématiques ne sont pas des axiomes d’une vérité générale. Ce qui est vrai d’un rapport de forme ou de quantité est souvent une grossière erreur relativement à la morale. Par exemple, dans cette dernière science, il est communément faux que la somme des fractions soit égale au tout… Il y a une foule d’autres vérités mathématiques qui ne sont des vérités que dans des limites de rapport. Mais le mathématicien argumente incorrigiblement d’après ses vérités finies, comme si elles étaient d’une application générale et absolue…
Quelques-uns disent que le mouvement excentrique ou d’extension paraît indiquer une supériorité physique ou morale. Un professeur de géométrie prétend qu’il juge très vite du caractère d’un élève par sa manière de tracer spontanément une circonférence au tableau : les forts la tracent de dedans en dehors, les mous de dehors en dedans.
Kepler croyait que la terre a une âme qui la guide. « Cette âme, dit-il, a le sentiment des raisons et des proportions géométriques ; c’est ainsi que la terre peut apprécier les distances, évaluer les angles et reconnaître s’ils sont harmoniques ou incongrus. »
Le cœur sent qu’il y a trois dimensions dans l’espace, et que les nombres sont infinis ; et la raison démontre ensuite qu’il n’y a point deux nombres carrés dont l’un soit double de l’autre. Les principes se sentent, les propositions se concluent ; et le tout avec certitude, quoique par différentes voies. Et il est aussi ridicule que la raison demande au cœur des preuves de ces premiers principes pour vouloir y consentir, qu’il serait ridicule que le cœur demandât à la raison un sentiment de toutes les propositions qu’elle démontre, pour vouloir les recevoir.
Il a été donné à bien peu d’hommes de sentir aussi vivement les choses abstraites.
Qu’est-ce que les mathématiques ? Des sciences toutes formelles. L’arithmétique et l’algèbre sont la rhétorique des nombres. On raisonne et on raisonne, on déduit et on déduit, étant donné n’importe quoi dans l’abstrait. On applique les principes généraux à des problèmes particuliers et la solution de ces problèmes devient un petit talent mécanique, comme la syllogistique du moyen âge, ou comme la machine à raisonner de Raymond Lulle. La science même du mouvement, la reine du siècle, la mécanique, roule encore sur des relations formelles dans l’espace et dans le temps, et elle ne cesse pas de déduire, de raisonner à perte de vue sur une hypothèse qui est l’équivalent scientifique d’une matière de discours latin. Il est vrai que, dans un cas, il faut raisonner juste ; dans l’autre, ce n’est pas nécessaire, et même, quand la cause à soutenir est mauvaise, il est bon de déraisonner. Mais le mathématicien ne raisonnera pas mieux qu’un autre dans la vie réelle parce qu’il sera habitué à raisonner dans l’abstrait, à déduire des conséquences rectilignes d’une hypothèse, non à observer et à réunir toutes les données de l’expérience, non à induire, à deviner, à apprécier les probabilités. L’esprit mathématique, dans la vie privée et dans la vie publique, c’est l’art de ne voir qu’un des côtés de la question. Dans les sciences mathématiques, nous faisons nous-mêmes nos définitions ; dans la réalité, c’est l’expérience qui nous les impose et, sans cesse, les transforme, les corrige par des déterminations nouvelles. Nous trouvons toujours dans les résultats plus que nous n’avions mis dans nos définitions et dans nos principes. Nous avions dit : deux et deux font quatre, et nous trouvons cinq ; nos étroites formules sont débordées par la nature et par la vie.
Selon d’Alembert, pour acquérir la sagacité, cette qualité première de l’esprit, il faut s’exercer aux démonstrations rigoureuses, mais ne pas s’y borner.
La benzine, pour l’allemand, c’est C6H6, un hexagone ou un parallélépipède, puisque cette tendance amène à représenter les corps chimiques par des images géométriques ou des formules d’algèbre ; la benzine, pour l’anglais, est un produit qui sert à détacher.
On connaît le mot de Lagrange : la chimie devient aussi facile que de l’algèbre.
Dans les mathématiques le raisonnement est devenu automatique à un si haut degré, que les mathématiciens ont presque tous perdu de vue le point de départ, et qu’on les étonne beaucoup, quand on leur rappelle que les symboles des mathématiques ne sont pas de pures créations de l’esprit… qu’un symbole n’est un symbole qu’autant qu’il symbolise quelque chose, et que sous chaque signe il y a la chose signifiée.
Malgré cet oubli de la chose et le souci du signe, les raisonnements des mathématiciens sont cependant rigoureux et les résultats auxquels ils parviennent sont exacts, mais on ne peut dire qu’ils aient une notion adéquate de la science sur laquelle s’exercent leurs efforts.
Quel est le fondement de notre croyance aux axiomes ? Sur quoi repose leur évidence ? Je réponds : Ce sont des vérités expérimentales, des généralisations de l’observation.
La géométrie est fondée sur l’observation ; mais sur une observation si familière et si évidente que les notions premières qu’elle fournit pourraient sembler intuitives.
Assertions très contestables. Nous les avons déjà discutées.
Si la géométrie s’opposait autant à nos passions et à nos intérêts présents que la morale, nous ne la contesterions et nous ne la violerions guère moins, malgré toutes les démonstrations d’Euclide et d’Archimède.
La géométrie ne prouve rien du tout de l’existence des choses, mais seulement ce qu’elles sont, supposé qu’elles existent réellement.
Imaginons un être réduit à un point, mais doué d’intelligence et de sens, assujetti à pouvoir se déplacer sur une ligne droite pour fixer les idées, mais ne pouvant sortir de cette droite ; supposons que ses sens soient tels qu’ils ne lui permettent pas d’avoir conscience du monde extérieur à son domaine qui est la droite en question. Si cet être est conduit à faire de la géométrie, il ne fera que de la géométrie à une dimension ; appelons cet être A. On peut de même imaginer un être B assujetti à se mouvoir dans un monde réduit à une simple surface et n’ayant pas conscience du monde extérieur à cette surface. Si B fait de la géométrie, cette géométrie sera à deux dimensions. Nous autres, nous pouvons faire de la géométrie à trois dimensions, parce que notre espace est constitué de telle sorte que trois quantités sont nécessaires pour définir la position d’un point ; B fait de la géométrie à deux dimensions, parce que deux quantités seulement lui sont nécessaires pour définir la position d’un point dans l’espace dont il a conscience. On peut donc se demander si ce que nous considérons comme notre univers ne serait pas une variété d’un espace à plus de trois dimensions, dont l’organisation simple de nos sens nous empêcherait d’avoir connaissance.
La vie la plus belle, la mieux remplie, la moins sujette aux déceptions, est encore celle du fou sublime qui cherche à déterminer l’inconnue d’une équation à racines imaginaires.
On pourrait se passer complètement de l’idée de nombre et emprunter tout à l’idée d’espace.
L’algèbre est une symbolie ou écriture hiéroglyphique qui exprime les faits de déplacement dans des espaces à nombre variable de dimensions : l’arithmétique raconte ce qui se passe dans un espace à une dimension ; l’algèbre des fonctions algébriques dans des espaces à deux dimensions ; l’algèbre des quantités complexes, dans un espace à n dimensions.
À qui la palme ? À la symbolie ? À la graphie ? Il serait bien difficile de décider, chacun suivant son organisation cérébrale peut accorder son vote à l’une ou à l’autre. Pour éviter des discussions interminables, le mieux serait, je crois, de les marier.
C’est dans son roman Les temps difficiles que Dickens nous présente ce personnage.
« Thomas Gradgrind, monsieur, l’homme des faits, l’homme qui procède d’après le principe : deux et deux font quatre, rien de plus, et qu’aucun raisonnement n’amènera jamais à concéder une fraction en sus ! Thomas Gradgrind, monsieur, avec une règle et des balances, et une table de multiplication dans la poche, monsieur, toujours prêt à mesurer et à peser le premier colis humain venu et à vous en donner exactement la jauge… »
Un franc, considéré aujourd’hui, ne valait pas encore un franc hier et il vaudra plus d’un franc demain, du moins dans certaines questions de finance. L’hypothèse du placement continuel à intérêts composés est une fiction hardie et certains pessimistes attribuent une partie des souffrances de la société moderne, à l’exécrable fécondité de l’argent.
J’ai deux voisins ; l’un se lamente de ce que l’argent ne rapporte plus que 2 % ; l’autre réclame le prêt gratuit.
