Manuscrits, édition Tannery, 1908/Papier inédits de Galois
Le mémoire qui suit a été adressé il y a environ sept mois à l’Académie des sciences de Paris, et égaré par les commissaires qui devaient l’examiner. Cet ouvrage n’a donc, pour se faire lire, acquis aucune autorité et cette raison n’était pas la dernière qui retenait l’auteur dans sa publication. S’il s’y décide, c’est par crainte que des géomètres plus habiles, en s’emparant du même champ, ne lui fassent perdre les fruits d’un long travail.
Le but que l’on s’est proposé est de déterminer des caractères pour la résolubilité des équations par radicaux. Nous pouvons affirmer qu’il n’existe pas dans l’analyse pure de matière plus obscure et peut-être plus isolée de tout le reste. La nouveauté de cette matière a exigé l’emploi de nouvelles dénominations, de nouveaux caractères. Nous ne doutons pas que cet inconvénient ne rebûte dès les premiers pas le lecteur qui pardonne à peine aux auteurs qui ont tout son crédit, de lui parler un nouveau langage. Mais enfin, force nous a été de nous conformer à la nécessité du sujet dont l’importance mérite sans doute quelque attention.
Étant donnée une équation algebrique, à coefficients quelconques, numeriques ou littéraux, reconnaître si ses racines peuvent s’exprimer en radicaux, telle est la question dont nous offrons une solution complète.
Si maintenant vous me donnez une équation que vous aurez choisie à votre gré et que vous desiriez connaître si elle est ou non soluble par radicaux, je n’aurai rien à y faire que de vous indiquer le moyen de répondre à votre question, sans vouloir charger ni moi ni personne de le faire. En un mot les calculs sont impraticables.
Il paraîtrait d’après celà qu’il n’y a aucun fruit à tirer de la solution que nous proposons.
En effet, il en serait ainsi si la question se présentait ordinairement sous ce point de vue. Mais, la plupart du tems, dans les applications de l’analyse algébrique, on est conduit à des équations dont on connaît d’avance toutes les propriétés : propriétés au moyen desquelles il sera toujours aisé de répondre à la question par les règles que nous exposerons. Il existe, en effet, pour ces sortes d’équations, un certain ordre de considérations Métaphysiques qui planent sur tous les calculs, et qui souvent les rendent inutiles. Je citerai, par exemple, les équations qui donnent la division des fonctions Elliptiques et que le célèbre Abel a résolues. Ce n’est certainement pas d’après leur forme numérique que ce géomètre y est parvenu. Tout ce qui fait la beauté et à la fois la difficulté de cette théorie, c’est qu’on a sans cesse à indiquer la marche des calculs et à prévoir les résultats sans jamais pouvoir les effectuer. Je citerai encore les équations modulaires.
Mémoire sur les conditions pour qu’une équation soit soluble par radicaux.
Mémoire sur les fonctions de la forme étant une fonction de .
Dissertation sur la classification des problèmes de Mathématiques et sur la nature des quantités et des fonctions transcendantes.
Ampère
Cauchy
Gauss
Hachette
Jacobi
Lacroix
Legendre
Poinsot
Poisson
Sturm
Vernier
Richard
Bulletin des Sciences
École normale
École Polytechnique
Institut.
Abel paraît être l’auteur qui s’est le plus occupé de cette théorie. On sait qu’après avoir cru trouver la résolution des équations (générales) du cinquième degré [3], ce géomètre a démontré l’impossibilité de cette résolution. Mais, dans le mémoire allemand publié à cet effet, l’impossibilité en question n’est prouvée que par des raisonnements relatifs au degré des équations auxiliaires et à l’époque de cette publication, il est certain qu’Abel ignorait les circonstances particulières de la résolution par radicaux. Je n’ai donc parlé de ce mémoire qu’afin de déclarer qu’il n’a aucun rapport avec ma théorie.
[Passage biffé : Depuis, une lettre particulière adressée par Abel à M. Legendre annonçait qu’il avait eu le bonheur de découvrir une règle pour reconnaître si une équation est [ou était] résoluble par radicaux ; mais la mort anticipée de ce géomètre ayant privé la science de ses recherches, promises dans cette lettre, il n’en était pas moins nécessaire de donner une solution de ce problème qu’il m’est bien pénible de posséder, puisque je dois cette possession à une des plus grandes pertes qu’aura (?) faites la science.
Dans tous les cas, il me serait aisé de prouver que j’ignorais même le nom d’Abel, quand j’ai présenté à l’Institut mes premières recherches sur la théorie des équations et que la solution d’Abel n’aurait pu paraître avant la mienne.]
............................
............................
Les calculs algébriques ont d’abord été peu nécessaires au progrès des Mathématiques, les théorèmes fort simples gagnaient à peine à être traduits dans la langue de l’analyse. Ce n’est guère que depuis Euler que cette langue plus brève est devenue indispensable à la nouvelle extension que ce grand géomètre a donnée à la Science. Depuis Euler les calculs sont devenus de plus en plus nécessaires et aussi[4] de plus en plus difficiles à mesure qu’ils s’appliquaient à des objets de science plus avancés. Dès le commencement de ce siècle, l’algorithme avait atteint un degré de complication tel que tout progrès était devenu impossible par ce moyen, sans l’élégance que les géomètres modernes ont dû imprimer à leurs recherches et au moyen de laquelle l’esprit saisit promptement et d’un seul coup un grand nombre d’opérations.
Il est évident que l’élégance si vantée et à si juste titre n’a pas d’autre but.
Du fait bien constaté que les efforts des géomètres les plus avancés ont pour objet l’élégance on peut donc conclure avec certitude qu’il devient de plus en plus nécessaire d’embrasser plusieurs opérations à la fois, parce que l’esprit n’a plus le tems de s’arrêter aux détails.
Or je crois que les simplifications produites par l’élégance des calculs (simplifications intellectuelles, s’entend ; de matérielles il n’y en a pas) ont leur limite ; je crois que le moment arrivera où les transformations algébriques prévues par les spéculations des analystes ne trouveront plus ni le tems ni la place de se reproduire ; à tel point qu’il faudra se contenter de les avoir prévues : je ne veux pas dire qu’il n’y a plus rien de nouveau pour l’analyse sans ce secours : mais je crois qu’un jour sans cela tout serait épuisé.
Sauter à pieds joints sur les calculs ; grouper les opérations, les classer suivant leurs difficultés et non suivant leurs formes ; telle est, suivant moi, la mission des géomètres futurs ; telle est la voie où je suis entré dans cet ouvrage.
Il ne faut pas confondre l’opinion que j’emets ici, avec l’affectation que certaines personnes ont d’éviter en apparence toute espèce de calcul, en traduisant par des phrases fort longues ce qui s’exprime très brièvement par l’algèbre, et ajoutant ainsi à la longueur des opérations, les longueurs d’un langage qui n’est pas fait pour les exprimer. Ces personnes sont en arrière de cent ans.
Ici rien de semblable [5] ; ici l’on fait l’analyse de l’analyse : ici les calculs les plus élevés [les fonctions elliptiques [6]] exécutés jusqu’à présent sont considérés comme des cas particuliers, qu’il a été utile, indispensable de traiter, mais qu’il serait funeste de ne pas abandonner pour des recherches plus larges. Il sera tems d’effectuer des calculs prévus par cette haute analyse et classés suivant leurs difficultés, mais non spécifiés dans leur forme, quand la spécialité d’une question les réclamera.
La thèse générale que j’avance ne pourra être bien comprise que quand on lira attentivement mon ouvrage qui en est une application, non que le point de vue théorique ait précédé l’application ; mais je me suis demandé, mon livre terminé, ce qui le rendait si étrange à la plupart des lecteurs, et rentrant en moi-même, j’ai cru observer cette tendance de mon esprit à éviter les calculs dans les sujets que je traitais, et qui plus est, j’ai reconnu une difficulté insurmontable à qui voudrait les effectuer généralement dans les matières que j’ai traitées.
On doit prévoir que, traitant des sujets aussi nouveaux, hasardé dans une voie aussi insolite, bien souvent des difficultés se sont présentées que je n’ai pu vaincre. Aussi, dans ces deux mémoires et surtout dans le second qui est le plus récent, trouvera-t-on souvent la formule « je ne sais pas ». La classe des lecteurs dont j’ai parlé au commencement[7], ne manquera pas d’y trouvera rire. C’est que, malheureusement, on ne se doute pas que le livre le plus précieux du plus savant serait celui où il dirait tout ce qu’il ne sait pas, c’est qu’on ne se doute pas qu’un auteur ne nuit[8] jamais tant à ses lecteurs que quand il dissimule une difficulté. Quand la concurrence c’est-à-dire l’égoïsme ne règnera plus dans les sciences, quand on s’associera pour étudier, au lieu d’envoyer aux académies des paquets cachetés, on s’empressera de publier les moindres observations, pour peu qu’elles soient nouvelles, et en ajoutant « je ne sais pas le reste ».
De toutes les connaissances humaines, on sait que l’Analyse pure est la plus immatérielle, la plus éminemment logique, la seule qui n’emprunte rien aux manifestations des sens. Beaucoup en concluent qu’elle est, dans son ensemble, la plus méthodique et la mieux coordonnée. Mais c’est erreur. Prenez un livre d’Algèbre, soit didactique, soit d’invention, et vous n’y verrez qu’un amas confus de propositions dont la régularité contraste bizarrement avec le désordre du tout. Il semble que les idées coûtent déjà trop à l’auteur pour qu’il se donne la peine de les lier et que son esprit épuisé par les conceptions qui sont la base de son ouvrage, ne puisse enfanter une même pensée qui préside à leur ensemble.
Que si vous rencontrez une méthode, une liaison, une coordination, tout cela est faux et artificiel. Ce sont des divisions sans fondement, des rapprochements arbitraires, un arrangement tout de convention. Ce défaut pire que l’absence de toute méthode arrive surtout dans les ouvrages didactiques, la plupart composés par des hommes qui n’ont pas l’intelligence de la science qu’ils professent.
Tout cela étonnera fort les gens du monde, qui en général ont pris le mot Mathématique pour synonyme de régulier.
Toutefois, on sera étonné si l’on réfléchit qu’ici comme ailleurs la science est l’œuvre de l’esprit humain [9], qui est plutôt destiné à étudier qu’à connaître, à chercher qu’à trouver la vérité. En effet on conçoit qu’un esprit qui aurait puissance pour percevoir d’un seul coup l’ensemble des vérités mathématiques non pas à nous connues, mais toutes les vérités possibles, pourrait les[10] déduire régulièrement et comme machinalement de quelques principes combinés par des méthodes uniformes ; alors plus d’obstacles, plus de ces difficultés que le savant [rencontre dans ses explorations[11]]. Mais il n’en est pas ainsi ; si[12] la tâche du savant est plus pénible et partant plus belle, la marche de la science est moins régulière [ : ] la science progresse par une série de combinaisons où le hazard ne joue pas le moindre rôle ; sa vie est brute et ressemble à celle des minéraux qui croissent par juxtàposition. Cela s’applique non seulement à la science telle qu’elle résulte des travaux d’une série de savants, mais aussi aux recherches particulières à chacun d’eux. En vain les analystes voudraient-ils se le dissimuler[13] : ils ne déduisent pas, ils combinent, ils comparent[14] ; quand ils arrivent à la vérité, c’est en heurtant de côté et d’autre qu’il y sont tombés.
Les ouvrages didactiques doivent partager avec les ouvrages d’invention ce défaut d’une marche sûre toutes les fois que le sujet qu’ils traitent[15] n’est pas autrement soumis à nos lumières. Ils ne pourraient donc prendre une forme vraiment méthodique que sur un bien petit nombre de matières. Pour la leur donner, il faudrait une profonde intelligence de l’analyse et l’inutilité de l’entreprise dégoûte ceux qui pourraient en supporter la difficulté.
Il serait en dehors de la gravité de cet écrit d’entrer dans une pareile lutte avec des sentiments personnels d’indulgence ou d’animosité à l’égard des savants. L’auteur des articles évitera également ces deux écueils. Si un passé pénible le garantit du premier, un amour profond de la science, qui la lui fait respecter dans ceux qui la cultivent, assurera contre le second son impartialité.
Il est pénible dans les sciences de se borner au rôle de critique : nous ne le ferons que contraint et forcé. Quand nos forces nous le permettront, après avoir blâmé, nous indiquerons ce qui à nos yeux sera mieux. Nous aurons souvent ainsi l’occasion d’appeler l’attention du lecteur sur les idées nouvelles qui nous ont conduit dans l’étude de l’analyse. Nous nous permettrons donc de l’occuper de ces idées, dans nos premiers articles, afin de n’avoir point à y revenir.
Dans des sujets moins abstraits, dans les objets d’art, il y aurait un profond ridicule à faire précéder un ouvrage de critique par ses propres œuvres : ce serait avouer par trop naïvement ce qui est presque toujours vrai au fond, que l’on se prend pour le type auquel on rapporte les objets pour les juger : mais ici, il ne s’agit pas d’exécution, il s’agit des idées les plus abstraites qu’il soit donné à l’homme de concevoir ; ici critique et discussion deviennent synonymes, et discuter, c’est mettre aux prises ses idées avec celles des autres.
Nous exposerons donc, dans quelques articles, ce qu’il y a de plus général, de plus philosophique, dans des recherches que mille circonstances ont empêché de publier plus tôt. Nous les présenterons seules, sans complications d’exemples et de hors-d’œuvre, qui chez les analystes noyent d’ordinaire les conceptions générales. Nous les exposerons surtout avec bonne foi, indiquant sans détour la voie qui nous y a conduit, et les obstacles qui nous ont arrêté. Car nous voulons que le lecteur soit aussi instruit que nous des matières que nous aurons traitées. Quand ce but aura été rempli, nous aurons conscience d’avoir bien fait, sinon par le profit qu’en retirera directement la science, du moins par l’exemple donné, d’une bonne loi qu’on n’a pas trouvé jusqu’à ce jour.
Ici comme dans toutes les sciences chaque époque a en quelque sorte ses questions du moment : il y a des questions vivantes qui fixent à la fois les esprits les plus éclairés comme malgré eux et sans que [illis.] ait présidé à ce concours. Il semble souvent que les mêmes idées apparaissent à plusieurs comme une révélation. Si l’on en cherche la cause il est aisé de la trouver dans les ouvrages de ceux qui nous ont précédés où ces idées sont présentes à l’insu de leurs auteurs.
La science n’a pas tiré, jusqu’à ce jour, grand parti de cette coïncidence observée si souvent dans les recherches des savants. Une concurrence fâcheuse, une rivalité dégradante en ont été les principaux fruits. Il n’est pourtant pas difficile de reconnaître dans ce fait la preuve que les savants ne sont pas plus que d’autres faits pour l’isolement, qu’eux aussi appartiennent à leur époque et que tôt ou tard ils décupleront leurs forces par l’association. Alors que de temps épargné pour la science !
Beaucoup de questions d’un genre nouveau occupent maintenant les analystes. C’est à découvrir [un lien entre ces questions que nous[16]] attacherons
La hiérarchie est un moyen même pour l’inférieur.
Quiconque n’est pas envieux ou a de l’ambition a besoin d’une hiérarchie factice pour vaincre l’envie ou les obstacles.
Jusqu’à ce qu’un homme ait dit : la science c’est moi, il doit avoir un nom à opposer à ceux qu’il combat. Si non, son ambition passera pour de l’envie.
Avant d’être roi il faut être aristocrate. Machiavel.
L’intrigue est un jeu. Si l’on mérite ce qu’on brigue, on y gagne tout. Si non, on perd la partie.
On combat les professeurs par l’institut, l’institut par le passé, un passé par un autre passé.
Voici la [illis.] de Victor Hugo. Renaissance, moyen âge, enfin, moi.
C’est à ce besoin de combattre un homme par un autre homme, un siècle par un autre siècle, qu’on doit attribuer les réactions littéraires ou scientifiques, qui ne sont pas de longue durée, Aristote, Ptolémée, Descartes, Laplace.
[Une ligne illisible.]
Ce jeu use celui qui s’en sert. Un homme qui n’est pas dévoué se fait éclectique.
Un homme qui a une idée peut choisir entre, avoir, sa vie durant, une réputation colossale d’homme savant, ou bien se faire une école, se taire et laisser un grand nom dans l’avenir. Le premier cas a lieu s’il pratique son idée sans l’émettre, le second s’il la publie. Il y a un troisième moyen juste milieu entre les deux autres. C’est de publier et de pratiquer, alors on est ridicule.
- ↑ Ce qui suit est un fragment du discours préliminaire destiné par Galois à être placé en tête du Mémoire sur la théorie des équations qu’il avait résolu de
publier. Ce projet formé en septembre 1830 n’a pas [eu] de suite ; des obstacles de tout genre s’y sont opposés.
(Note d’Auguste Chevalier.)
- ↑ Cette liste se trouve à droite ; à gauche est une autre liste de noms, à peu près les mêmes : tous ces noms sont biffés, sauf ceux de Sturm, de Richard et un autre que je n’ai pu déchiffrer. Parmi les noms de cette première liste, qui ne figurent pas dans la seconde, je distingue ceux de :
Blanchet, Leroy, Poullet de l’Isle, Francœur. - ↑ Même erreur est arrivée en 1828 à l’auteur (il avait seize ans). Ce n’est pas la seule analogie frappante entre le géomètre norvégien mort de faim, et le géomètre français condamné à vivre ou à mourir, comme on voudra, sous les verrous d’une prison.
(Note de l’éditeur.)
- ↑ Je suis le texte de Chevalier ; il y a dans le manuscrit de Galois un mot illisible.
- ↑ Chevalier, dans sa copie, a supprimé cette phrase : « Ici rien de semblable » et a placé cet alinéa avant le précédent. C’est ainsi qu’il est, en effet, placé dans le texte de Galois ; mais, d’une part, les mots « Ici rien de semblable » ne sont nullement biffés dans le manuscrit ; ils ont, au contraire, été ajoutés en interligne ; d’autre part, ils sont précédés d’un astérisque suivi d’un trait (assez peu distinct) dont l’extrémité indique sans doute la place où l’alinéa doit être placé ; à cette place, les mots supprimés par Chevalier ont un sens très clair ; ils n’en ont pas quand on laisse le second alinéa avant le premier : c’est évidemment la raison pour laquelle Chevalier les a supprimés.
- ↑ On sait assez que le second Mémoire est perdu : toutefois, il subsiste un morceau (non daté) où Galois traite de la division de l’argument dans les fonctions elliptiques et dont le contenu correspond assez bien à l’indication du texte ; on peut donc supposer que ce morceau pouvait rentrer dans l’ensemble que Galois voulait publier. Il sera publié dans un second article.
- ↑ Voici la phrase à laquelle Galois fait allusion :
« Tout ce qui précède, je l’ai dit pour prouver que c’est sciemment que je m’expose à la risée des sots. »
- ↑ Texte de Chevalier ; on ne distingue que la lettre n ; le reste du mot est un trou.
- ↑ Mot peu lisible, omis par Chevalier.
- ↑ Un mot illisible, je suis le texte de Chevalier.
- ↑ C’est le texte de Chevalier. Le passage est illisible ; je ne puis lire « rencontre » ; après explorations » qui est douteux, il y a les mots, douteux aussi : « et qui souvent sont imaginaires » et ceux-ci, bien nets : « Mais aussi plus de rôle au savant ». Chevalier a supprimé ce qui ne s’accordait pas avec son texte.
- ↑ Chevalier a écrit : « et la… ».
- ↑
Je suis le texte de Chevalier ; il y a ici, en interligne, une phrase dont le copiste n’a pas tenu compte, malgré son intérêt ; malheureusement, elle est en partie illisible : j’y distingue à peu près ce qui suit :
« toute immatérielle qu’elle [illis.] l’analyse n’est pas plus en notre pouvoir que d’autre [illis.]. »
- ↑ Autre addition, en interligne, supprimée par Chevalier : « il faut l’épier, la sonder, la solliciter [la vérité] ».
- ↑ Dans le manuscrit : « qu’il traite ».
- ↑ Passage biffé.