Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin/Sur les variations séculaires des mouvements moyens des Planètes

Joseph-Louis Lagrange

Sur les variations séculaires des mouvements moyens des Planètes

Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome V (p. 381-414).

SUR
LES VARIATIONS SÉCULAIRES
DES
MOUVEMENTS MOYENS DES PLANÈTES.

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(Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, année 1783.)

Les observations ont fait apercevoir des variations dans les révolutions de Jupiter et de Saturne, mais on n’a pu encore les expliquer par la Théorie de la gravitation. M. de Laplace, ayant calculé en détail les termes proportionnels au carré du temps que les forces perturbatrices d’une Planète peuvent introduire dans l’expression de sa longitude, trouva que ces termes se détruisaient mutuellement, du moins dans la première approximation. Ce résultat m’a donné occasion de chercher rigoureusement, et par une méthode directe, la loi des variations du grand axe de l’orbite d’une Planète troublée par l’action de plusieurs autres ; et j’ai démontré que ces variations ne pouvaient être que périodiques, et relatives aux configurations des Planètes entre elles ; d’où il s’ensuit que le mouvement moyen d’une Planète ne peut être sujet à aucune variation séculaire, en tant que cette variation dépendrait du grand axe de son orbite mais comme les autres éléments, l’excentricité, l’inclinaison, les lieux de l’aphélie et du nœud sont au contraire sujets à des variations séculaires, celles-ci ne pourraient-elles pas influer dans le mouvement moyen et y produire aussi des variations du même genre ?

Dans la Théorie que je viens de donner sur les variations périodiques, j’ai fait voir que l’effet des variations des éléments de l’orbite sur le mouvement moyen n’est que périodique tant qu’on n’a égard qu’aux premières dimensions des excentricités et des inclinaisons ; et j’ai avancé en même temps, qu’en portant la précision jusqu’aux secondes dimensions de ces quantités, on trouverait des termes qui donneraient des équations séculaires dans le mouvement moyen. Il ne s’agit donc, pour décider la question des variations séculaires des mouvements moyens des Planètes, que d’exécuter l’analyse que nous avons indiquée et d’en appliquer ensuite les résultats à chaque Planète ; c’est l’objet du présent Mémoire, qui doit être regardé comme un supplément à la Théorie générale des variations séculaires.

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section première.

formules générales pour la variation séculaire du mouvement moyen.

1. L’analyse donnée dans la première Partie de la Théorie des variations séculaires fait voir :

1^o Que l’expression du rayon vecteur, par la longitude vraie ou angle décrit par ce rayon sur un plan fixe, est la même, soit que les éléments de l’orbite soient constants ou variables ; et qu’il en est de même pour l’expression différentielle de ce rayon ;

2^o Que la même chose a lieu pour l’expression de la latitude par la longitude, ainsi que pour la différentielle de cette expression ;

3^o Qu’à l’égard de l’expression de la longitude moyenne par la longitude vraie, il n’y a que sa différentielle qui soit la même pour les éléments constants ou variables ; l’expression finie doit être différente à raison de la variabilité des éléments (29 et suivants).

2. L’équation différentielle entre la longitude moyenne $p$ et la longitude vraie $q$ est de la forme

$dp=f(q)dq.$

$f(q)$ étant une fonction algébrique de sinus et cosinus de $q,$ dans laquelle les éléments de l’orbite entrent comme coefficients. Soit $\operatorname {F} (q)$ l’intégrale de $f(q)dq,$ en regardant ces éléments comme constants ; on aura alors

$p=\operatorname {F} (q),$

d’où l’on tire

$q=\Phi (p)\,;$

c’est l’expression de la longitude vraie par la moyenne dans les orbites invariables.

Lorsque l’orbite est variable, $\operatorname {F} (q)$ ne sera plus l’intégrale exacte de $f(q)dq\,;$ car la différentielle de $\operatorname {F} (q)$ contient, outre la partie $f(q)dq$ due à la variabilité de $q,$ encore celle qui vient de la variabilité des éléments de sorte qu’en dénotant celle-ci par la caractéristique $\delta ,$ et la ditférentielle totale par la caractéristique ordinaire $d,$ on aura

$d\operatorname {F} (q)=f(q)dq+\delta \operatorname {F} (q)\,;$

donc

$f(q)dg=dp=d\operatorname {F} (q)-\delta \operatorname {F} (q),$

ou

$dp+\delta \operatorname {F} (q)=d\operatorname {F} (q),$

et, intégrant,

$p+\int \delta \operatorname {F} (q)=\operatorname {F} (q),$

équation d’où l’on tirera ensuite

$q=\Phi \left[p+\int \delta \operatorname {F} (q)\right].$

On voit par là que la variabilité des éléments de l’orbite ne fait qu’ajouter à la longitude moyenne $p$ la quantité $\int \delta \operatorname {F} (q)\,;$ c’est celle que nous avons dénotée par $\Sigma$ dans le Mémoire précédent ; en sorte que l’on aura, en général,

$d\Sigma =\delta \operatorname {F} (q).$

3. Donc la détermination du lieu d’une Planète dans une orbite variable et troublée par l’action des autres Planètes dépendra des mêmes formules que si les éléments de l’orbite étaient constants, pourvu qu’on y prenne $p+\Sigma$ pour la longitude moyenne.

Or l’angle $p$ dépend du temps et du demi-grand axe de l’ellipse de la même manière que si cet axe était constant, puisqu’on a, en nommant $r$ le demi-grand axe,

$dp={\frac {dt}{r^{\frac {3}{2}}}}\,;$

et nous avons vu que la valeur de $r$ ne saurait jamais contenir des inégalités séculaires, de sorte que la valeur de l’angle $p$ n’en saurait contenir non plus ; donc, si l’angle $p+\Sigma ,$ qui doit faire la fonction de longitude moyenne, peut contenir des variations séculaires, elles ne peuvent venir que de la quantité $\Sigma \,;$ ainsi tout se réduit à examiner si cette quantité peut contenir de pareilles inégalités.

On suivra pour cela une méthode semblable à celle par laquelle nous avons recherché les inégalités séculaires des éléments de l’orbite ; on développera la valeur de la différentielle $d\Sigma$ en séries de sinus et cosinus d’angles multiples des longitudes moyennes, et l’on ne retiendra, après toutes les substitutions et réductions, que les termes qui se trouveront débarrassés de tout sinus et cosinus de ces angles.

4. On commencera donc par chercher la valeur de la fonction $\operatorname {F} (q)\,;$ ensuite on la différentiera, en y faisant varier seulement les quantités dépendantes des éléments de l’orbite, et l’on y substituera, à la place des différentielles de ces quantités, leurs valeurs données dans la première Partie de la Théorie des variations séculaires ; on aura ainsi l’expression générale de $d\Sigma \,;$ et comme nous avons vu dans le Mémoire précédent que les termes qui peuvent donner des variations séculaires dépendent des secondes dimensions des excentricités et des inclinaisons, il faudra, dans le développement de la fonction $\operatorname {F} (q),$ pousser la précision jusqu’aux troisièmes dimensions de ces quantités inclusivement ; c’est ce qui rend le calcul long et épineux, par l’attention qu’il faut y avoir pour n’omettre aucun des termes qui peuvent donner des équations séculaires. Pour le simplifier autant qu’il est possible, nous ferons d’abord abstraction de l’inclinaison de l’orbite ; nous verrons ensuite comment les formules trouvées pour ce cas s’appliquent, en général, aux orbites dont la position est variable ; et nous donnerons même à cette occasion une nouvelle analyse pour la détermination des variations séculaires des éléments de l’orbite.

5. Ayant déjà donné dans le Mémoire précédent (1) l’expression générale de $\operatorname {F} (q),$ exacte jusqu’au degré de précision qui est nécessaire dans la recherche présente, nous nous contenterons de l’emprunter, en y effaçant seulement les termes affectés des quantités $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} ,$ lesquelles, deviennent nulles dans l’hypothèse de l’orbite non inclinée.

On aura donc

${\begin{aligned}\operatorname {F} (q)=q&-2\mathrm {M} \cos q+2\mathrm {N} \sin q-\mathrm {\frac {3MN}{2}} \cos 2q+{\frac {3\mathrm {\left(N^{2}-M^{2}\right)} }{4}}\sin 2q\\&-\mathrm {\frac {3MN^{2}-M^{3}}{3}} \cos 3q+\mathrm {\frac {N^{3}-3NM^{2}}{3}} \sin 2q,\end{aligned}}$

et la différentielle prise en faisant varier $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ et regardant $q$ comme constante sera la valeur de $d\Sigma$.

De sorte qu’on aura

${\begin{aligned}d\Sigma =&-2(\cos qd\mathrm {M} -\sin qd\mathrm {N} )-{\frac {3\mathrm {M} }{2}}(\sin 2qd\mathrm {M} +\cos 2qd\mathrm {N} )\\&+{\frac {3\mathrm {N} }{2}}(\cos 2qd\mathrm {M} -\sin 2qd\mathrm {N} )-2\mathrm {MN} (\sin 3qd\mathrm {M} +\cos 3qd\mathrm {N} )\\&+\mathrm {\left(M^{2}-N^{2}\right)} (\cos 3qd\mathrm {M} -\sin 3qd\mathrm {N} ).\end{aligned}}$

Les valeurs de $d\mathrm {M}$ et $d\mathrm {N}$ ont été données dans le n^o 41 de la Théorie des variations séculaires^[1]. Dans le cas présent, les termes qui contiennent $z$ doivent disparaître, puisque $z$ est l’ordonnée perpendiculaire au plan de projection ; les valeurs dont il s’agit se réduisent alors à la forme de celles du n^o 42 de la même Théorie ; de sorte qu’en prenant $\rho$ pour dénoter le rayon vecteur à la place de la lettre $r$ que nous conserverons pour exprimer le demi-grand axe, on aura

${\begin{aligned}d\mathrm {M} =&-{\frac {d\Omega }{dq}}\cos qd\rho +\left(2\rho {\frac {d\Omega }{dq}}\sin q-\rho ^{2}{\frac {d\Omega }{d\rho }}\cos q\right)dq,\\d\mathrm {N} \ =&{\frac {d\Omega }{dq}}\sin qd\rho +\left(2\rho {\frac {d\Omega }{dq}}\cos q+\rho ^{2}{\frac {d\Omega }{d\rho }}\sin q\right)dq\,;\end{aligned}}$

donc, faisant ces substitutions et réduisant, on aura

${\begin{aligned}d\Sigma =&2{\frac {d\Omega }{dq}}d\rho +2\rho ^{2}{\frac {d\Omega }{d\rho }}dq\\&+{\frac {3\mathrm {M} }{2}}\left({\frac {d\Omega }{dq}}\sin qd\rho -2\rho {\frac {d\Omega }{dq}}\cos qdq+\rho ^{2}{\frac {d\Omega }{d\rho }}\sin qdq\right)\\&+{\frac {3\mathrm {N} }{2}}\ \left({\frac {d\Omega }{dq}}\cos qd\rho +2\rho {\frac {d\Omega }{dq}}\sin qdq+\rho ^{2}{\frac {d\Omega }{d\rho }}\cos qdq\right)\\&+2\mathrm {MN} \left({\frac {d\Omega }{dq}}\sin 2qd\rho -2\rho {\frac {d\Omega }{dq}}\cos 2qdq+\rho ^{2}{\frac {d\Omega }{d\rho }}\sin 2qdq\right)\\&+\mathrm {\left(N^{2}-M^{2}\right)} \left({\frac {d\Omega }{dq}}\cos 2qd\rho +2\rho {\frac {d\Omega }{dq}}\sin 2qdq+\rho ^{2}{\frac {d\Omega }{d\rho }}\cos 2qdq\right),\end{aligned}}$

expression qu’on peut mettre sous cette forme

$d\Sigma =\mathrm {A} \left({\frac {d\Omega }{d\rho }}\rho ^{2}dq+{\frac {d\Omega }{dq}}d\rho \right)+\mathrm {B} {\frac {d\Omega }{dq}}\rho dq,$

en faisant

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&2+{\frac {3\mathrm {M} }{2}}\sin q+{\frac {3\mathrm {N} }{2}}\cos q+2\mathrm {MN} \sin 2q-\mathrm {\left(M^{2}-N^{2}\right)} \cos 2q,\\\mathrm {B} =&3\mathrm {N} \sin q-3\mathrm {M} \cos q-2\mathrm {\left(M^{2}-N^{2}\right)} \sin 2q-4\mathrm {MN} \cos 2q.\end{aligned}}$

6. Il faut maintenant substituer dans cette formule les valeurs de $\rho$ et $q$ exprimées par la distance moyenne $r$ et par le mouvement moyen $p\,;$ et comme nous tenons compte des secondes dimensions de $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N} ,$ il faudra aussi y avoir égard dans les valeurs dont il s’agit. Or nous pouvons emprunter pour cet objet les expressions données dans le n^o 20 du Mémoire précédent, en y changeant $x$ et $y$ en $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N} ,$ et y faisant $s,u$ nuls, puisque nous regardons l’inclinaison comme nulle.

Ainsi à la place de $q$ il faudra substituer

$p+2\mathrm {M} \cos p-2\mathrm {N} \sin p-{\frac {5\mathrm {MN} }{2}}\cos 2p-{\frac {5\mathrm {\left(M^{2}-N^{2}\right)} }{4}}\sin 2p,$

et à la place de $\rho$

$r\left(1+\mathrm {M} \sin p+\mathrm {N} \cos p+\mathrm {\frac {M^{2}-N^{2}}{2}} \cos 2p-\mathrm {MN} \sin 2p+\mathrm {\frac {M^{2}+N^{2}}{2}} \right).$

À la vérité il faudrait, d’après ce que nous avons dit au commencement de ce Mémoire, mettre dans ces expressions $p+\Sigma$ à la place de $p\,;$ mais : 1^o on peut retenir pour plus de simplicité la seule lettre $p,$ en se souvenant qu’à la rigueur elle doit être augmentée de $\Sigma \,;$ 2^o comme nous ne cherchons pas la valeur entière de $d\Sigma ,$ mais seulement les termes de cette valeur qui doivent être indépendants de tout sinus et cosinus de $p,$ il est indifférent pour le résultat du calcul de mettre $p+\Sigma$ à la place de $p$ ou non.

Pour avoir les valeurs de $dq$ et $dr,$ on différentiera les expressions précédentes, en n’y faisant varier que $p,$ puisque nous avons vu que les différentielles sont les mêmes que si les éléments étaient constants.

De sorte qu’on aura pour $dq$

$\left(1-2\mathrm {M} \sin p-2\mathrm {N} \cos p+5\mathrm {MN} \sin 2p-\mathrm {\frac {5\left(M^{2}-N^{2}\right)}{2}} \cos 2p\right)dp,$

et pour $d\rho$

$r\left(\mathrm {M} \cos p-\mathrm {N} \sin p-\mathrm {\left(M^{2}-N^{2}\right)} \sin 2p-2\mathrm {MN} \cos 2p\right)dp,$

Faisant donc ces substitutions dans les valeurs de $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ du numéro précédent, elles deviendront, aux troisièmes dimensions près de $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N} ,$

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&2+{\frac {3\mathrm {M} }{2}}\sin p+{\frac {3\mathrm {N} }{2}}\cos p-\mathrm {MN} \sin 2p+\mathrm {\frac {M^{2}-N^{2}}{2}} \cos 2p+\mathrm {\frac {3\left(M^{2}+N^{2}\right)}{2}} ,\\\mathrm {B} =&3\mathrm {N} \sin p-3\mathrm {M} \cos p+\mathrm {\left(M^{2}-N^{2}\right)} \sin 2p+2\mathrm {MN} \cos 2p.\end{aligned}}$

Ensuite on-aura pour $\rho dq$ l’expression

$r\left[1-\mathrm {M} \sin p-\mathrm {N} \cos p+2\mathrm {MN} \sin 2p-\mathrm {\left(M^{2}-N^{2}\right)} \cos 2p-\mathrm {\frac {M^{2}+N^{2}}{2}} \right],$

et pour $\rho ^{2}dq$ celle-ci

$r^{2}\left(1-\mathrm {\frac {M^{2}+N^{2}}{2}} \right)dp.$

De sorte que la quantité $\mathrm {A} \rho ^{2}dq$ deviendra, en négligeant toujours les troisièmes dimensions de $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N} ,$

$r^{2}\left(2+{\frac {3\mathrm {M} }{2}}\sin p+{\frac {3\mathrm {N} }{2}}\cos p-\mathrm {MN} \sin 2p+\mathrm {\frac {M^{2}-N^{2}}{2}} \cos 2p+\mathrm {\frac {M^{2}+N^{2}}{2}} \right)dp,$

la quantité $\mathrm {A} d\rho$ deviendra

$r\left[2\mathrm {M} \cos p-2\mathrm {N} \sin p-{\frac {5}{4}}\mathrm {\left(M^{2}-N^{2}\right)} \sin 2p-{\frac {5}{2}}\mathrm {MN} \cos 2p\right]dp,$

et la quantité $\mathrm {B} \rho dq$ deviendra

$r\left[3\mathrm {N} \sin p-3\mathrm {M} \cos p+5\mathrm {MN} \cos 2p+{\frac {5}{2}}\mathrm {\left(M^{2}-N^{2}\right)} \sin 2p\right]dp.$

Donc enfin, faisant ces substitutions dans l’expression de $d\Sigma$ du numéro précédent, on aura

${\begin{aligned}&{\frac {d\Sigma }{dp}}=\\&r^{2}{\frac {d\Omega }{d\rho }}\left(2+{\frac {3\mathrm {M} }{2}}\sin p+{\frac {3\mathrm {N} }{2}}\cos p-\mathrm {MN} \sin 2p+\mathrm {\frac {M^{2}-N^{2}}{2}} \cos 2p+\mathrm {\frac {M^{2}+N^{2}}{2}} \right)\\&\quad +r{\frac {d\Omega }{dq}}\left[\mathrm {N} \sin p-\mathrm {M} \cos p+{\frac {5}{4}}\mathrm {\left(M^{2}-N^{2}\right)} \sin 2p+{\frac {5}{2}}\mathrm {MN} \cos 2p\right].\end{aligned}}$

7. Il ne reste plus qu’à faire les mêmes substitutions dans la fonction $\Omega ,$ qui par le n^o 5 est (42, Théorie citée)

${\begin{aligned}\Omega &=\mathrm {T} '\ \left[{\frac {\rho \cos(q-q'\ )}{\rho '^{2}}}\ -{\frac {1}{\sqrt {\rho ^{2}-2\rho \rho '\ \ \cos(q-q'\ )+\rho '^{2}\ \ }}}\right]\\&+\mathrm {T} ''\ \left[{\frac {\rho \cos(q-q''\ )}{\rho ''^{2}}}-{\frac {1}{\sqrt {\rho ^{2}-2\rho \rho ''\ \cos(q-q''\ )+\rho ''\ ^{2}}}}\right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

$\mathrm {T',T''} ,\ldots$ étant les masses des Planètes perturbatrices exprimées en parties de celle du Soleil, $\rho ',q',\rho '',q'',\ldots$ désignant des quantités analogues à $\rho ,q,$ pour les Planètes $\mathrm {T',T''} ,\ldots .$

Comme cette fonction $\Omega$ n’entre dans l’expression de $d\Sigma$ que sous la forme linéaire, et qu’elle est composée d’autant de formules semblables qu’il y a de Planètes perturbatrices, il est clair que la valeur totale de $d\Sigma$ pour plusieurs Planètes perturbatrices sera toujours la somme des valeurs particulières et semblables, dues à chacune de ces Planètes ; de sorte qu’il suffira de n’avoir égard d’abord qu’à l’action d’une seule Planète.

De plus, si l’on représente par $r(1+\alpha )$ et $p+\beta$ les valeurs de $\rho$ et de $q$ données dans le numéro précédent, les quantités $\alpha$ et $\beta$ seront de l’ordre de $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N} ,$ et comme dans les substitutions dont il s’agit nous n’avons besoin que d’avoir égard aux secondes dimensions de $\mathrm {M,N} ,$ il est clair que ces substitutions se réduiront à changer d’abord dans $\Omega ,$ $\rho$ en $r,$ $q$ en $p,$ et à y faire croître ensuite $r$ de $r\alpha ,$ $p$ de $\beta ,$ en poussant la série jusqu’aux secondes dimensions de $\alpha ,\beta .$

8. On fera donc simplement

$\Omega =\mathrm {T} '\left[{\frac {r\cos(p-p')}{r'^{2}}}-{\frac {1}{\sqrt {r^{2}-2rr'\cos(p-p')+r'^{2}}}}\right],$

les quantités $r,r'$ étant les demi-axes ou les distances moyennes, et $p,p'$ les angles du mouvement moyen ; et l’on aura, pour la fonction $\Omega$ dont il s’agit, cette transformée

${\begin{aligned}\Omega &+r{\frac {d\Omega }{dr}}\alpha +r'{\frac {d\Omega }{dr'}}\alpha '+{\frac {d\Omega }{dp}}\beta +{\frac {d\Omega }{dp'}}\beta '\\&+{\frac {r^{2}}{2}}{\frac {d^{2}\Omega }{dr^{2}}}\alpha ^{2}+{\frac {r'^{2}}{2}}{\frac {d^{2}\Omega }{dr'^{2}}}\alpha '^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\Omega }{dp^{2}}}\beta ^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\Omega }{dp'^{2}}}\beta '^{2}\\&+rr'{\frac {d^{2}\Omega }{drdr'}}\alpha \alpha '+r{\frac {d^{2}\Omega }{drdp}}\alpha \beta +r{\frac {d^{2}\Omega }{drdp'}}\alpha \beta '\\&+r'{\frac {d^{2}\Omega }{dr'dp}}\alpha '\beta +r'{\frac {d^{2}\Omega }{dr'dp'}}\alpha '\beta '+{\frac {d^{2}\Omega }{dpdp'}}\beta \beta '.\end{aligned}}$

Pour avoir les transformées de ${\frac {d\Omega }{d\rho }}$ et ${\frac {d\Omega }{dwq}},$ il n’y aura qu’à changer, dans la précédente, la quantité $\Omega$ en ${\frac {d\Omega }{dr}},{\frac {d\Omega }{dp}}.$

Substituant ces valeurs dans la formule du numéro précédent, et négligeant les dimensions de $\mathrm {M,N} ,\alpha ,\beta ,\alpha ',\beta '$ au-dessus du second degré, on aura

${\begin{aligned}&{\frac {d\Sigma }{dp}}=\\&r^{2}{\frac {d\Omega }{dr}}\left(2+{\frac {3\mathrm {M} }{2}}\sin p+{\frac {3\mathrm {N} }{2}}\cos p-\mathrm {MN} \sin 2p+\mathrm {\frac {M^{2}-N^{2}}{2}} \cos 2p+\mathrm {\frac {M^{2}+N^{2}}{2}} \right)\\&+r^{2}\left(r{\frac {d^{2}\Omega }{dr^{2}}}\alpha +r'{\frac {d^{2}\Omega }{drdr'}}\alpha '+{\frac {d^{2}\Omega }{drdp}}\beta +{\frac {d^{2}\Omega }{drdp'}}\beta '\right)\left(2+{\frac {3\mathrm {M} }{2}}\sin p+{\frac {3\mathrm {N} }{2}}\cos p\right)\\&+r^{2}\left(r^{2}{\frac {d^{3}\Omega }{dr^{3}}}\alpha ^{2}+r'^{2}{\frac {d^{3}\Omega }{drdr'^{2}}}\alpha '^{2}+{\frac {d^{3}\Omega }{drdp^{2}}}\beta ^{2}+{\frac {d^{3}\Omega }{drdp'^{2}}}\beta '^{2}\right.\\&\qquad \qquad +2rr'{\frac {d^{3}\Omega }{dr^{2}dr'}}\alpha \alpha '+2r{\frac {d^{3}\Omega }{dr^{2}dp}}\alpha \beta +2r{\frac {d^{3}\Omega }{dr^{2}dp}}\alpha \beta '\\&\qquad \qquad +\left(2r'{\frac {d^{3}\Omega }{drdr'dp}}\alpha '\beta +2r'{\frac {d^{3}\Omega }{drdr'dp'}}\alpha '\beta '+2{\frac {d^{3}\Omega }{drdpdp'}}\beta \beta '\right)\\&+r{\frac {d\Omega }{dp}}\left[\mathrm {N} \sin p-\mathrm {M} \cos p+{\frac {5}{4}}\mathrm {\left(M^{2}-N^{2}\right)} \sin 2p+{\frac {5}{2}}\mathrm {MN} \cos 2p\right]\\&+r\left(r{\frac {d^{2}\Omega }{drdp}}\alpha +r'{\frac {d^{2}\Omega }{dr'dp}}\alpha '+{\frac {d^{2}\Omega }{dp^{2}}}\beta +{\frac {d^{2}\Omega }{dpdp'}}\beta '\right)(\mathrm {N} \sin p-\mathrm {M} \cos p).\end{aligned}}$

Or on a par le n^o 6

${\begin{aligned}\alpha =&\mathrm {M} \sin p+\mathrm {N} \cos p+\mathrm {\frac {M^{2}-N^{2}}{2}} \cos 2p-\mathrm {MN} \sin 2p+\mathrm {\frac {M^{2}+N^{2}}{2}} ,\\\beta =&2(\mathrm {M} \cos p-\mathrm {N} \sin p)-{\frac {5\mathrm {MN} }{2}}\cos 2p-{\frac {5\mathrm {\left(M^{2}-N^{2}\right)} }{4}}\sin 2p,\end{aligned}}$

et, marquant toutes les lettres d’un trait, on aura la valeur de $\alpha ',\beta '.$

De plus, si l’on développe la fraction irrationnelle

$\left[r^{2}-2rr'\cos(p-p')+r'^{2}\right]^{-{\frac {1}{2}}}$

en une série de cosinus de multiples de $p-p',$ et qu’on représente cette

série comme dans le Mémoire précédent par

$[r,r']+[r,r']_{1}\cos(p-p')+[r,r']_{2}\cos 2(p-p')+\ldots ,$

la fonction $\Omega$ deviendra

$-\mathrm {T} '\left[[r,r']+\left([r,r']_{1}-{\frac {r}{r'^{2}}}\right)\cos(p-p')+[r,r']_{2}\cos 2(p-p')+\ldots \right].$

Ainsi il faudra encore faire ces substitutions dans la valeur précédente de ${\frac {d\Sigma }{dp}}\,;$ mais comme nous ne cherchons que les termes exempts de sinus et cosinus, nous observerons que les différences de $\Omega$, qui se trouvent dans la valeur dont il s’agit, ne peuvent donner de ces sortes de termes qu’autant que leurs multiplicateurs contiendront des termes de la forme de ceux qui entrent dans les expressions de ces différences.

Par cette considération on pourra donc, en substituant les valeurs de $\alpha ,$ $\beta ,\alpha ',\beta ',$ réduire d’abord la valeur de ${\frac {d\Sigma }{dp}}$ à celle-ci

${\begin{aligned}&{\frac {d\Sigma }{dp}}=\\&r^{2}{\frac {d\Omega }{dr}}\left(2+\mathrm {\frac {M^{2}+N^{2}}{2}} \right)+r^{3}{\frac {d^{2}\Omega }{dr^{2}}}\mathrm {\left(M^{2}+N^{2}\right)} \\&+\left({\frac {3r^{3}}{2}}{\frac {d^{2}\Omega }{dr^{2}}}+r^{4}{\frac {d^{3}\Omega }{dr^{3}}}\right)(\mathrm {M} \sin p+\mathrm {N} \cos p)^{2}\\&+r^{2}r'{\frac {d^{2}\Omega }{drdr'}}\mathrm {\left(M'^{2}+N^{2}\right)} +r^{2}r^{'}2{\frac {d^{3}\Omega }{dr^{2}dr'}}(\mathrm {M} '\sin p'+\mathrm {N} '\cos p')^{2}\\&+\left({\frac {3r^{2}r'}{2}}{\frac {d^{2}\Omega }{drdr'}}+2r^{3}r'{\frac {d^{3}\Omega }{dr^{2}dr'}}\right)(\mathrm {M} \sin p+\mathrm {N} \cos p)(\mathrm {M} '\sin p'+\mathrm {N} '\cos p')\\&+\left(3r^{2}{\frac {d^{2}\Omega }{drdp'}}+4r^{3}{\frac {d^{3}\Omega }{dr^{2}dp'}}\right)(\mathrm {M} \sin p+\mathrm {N} \cos p)(\mathrm {M} '\sin p'-\mathrm {N} '\cos p')\\&+\left(4r^{2}r'{\frac {d^{3}\Omega }{drdr'dp}}-rr'{\frac {d^{2}\Omega }{dr'dp}}\right)(\mathrm {M} \cos p-\mathrm {N} \sin p)(\mathrm {M} '\sin p'+\mathrm {N} '\cos p')\\&+\left(8r^{2}{\frac {d^{3}\Omega }{drdpdp'}}-2r{\frac {d^{2}\Omega }{dpdp'}}\right)(\mathrm {M} \cos p-\mathrm {N} \sin p)(\mathrm {M} '\cos p'-\mathrm {N} '\sin p').\end{aligned}}$

Donc enfin, substituant la valeur ci-dessus de $\Omega ,$ développant les pro

${\begin{aligned}(2)=&-\mathrm {T} '\left(r^{2}r'{\frac {d^{2}[r,r']}{drdr'}}+{\frac {r^{2}r'^{2}}{2}}{\frac {d^{3}[r,r']}{drdr'^{2}}}\right),\\(3)=&-\mathrm {T} '\left(-{\frac {r[r,r']_{1}}{2}}+{\frac {11r^{2}}{4}}{\frac {d[r,r']_{1}}{dr}}-{\frac {rr'}{4}}{\frac {d[r,r']_{1}}{dr'}}\right.\\&\qquad \qquad \left.+r^{3}{\frac {d^{2}[r,r']_{1}}{dr^{2}}}+{\frac {11r^{2}r'}{8}}{\frac {d^{2}[r,r']_{1}}{drdr'}}+{\frac {r^{3}r'}{2}}{\frac {d^{3}[r,r']_{1}}{dr^{2}dr'}}\right).\end{aligned}}$

Cette équation donnera la variation séculaire $\Sigma$ du mouvement moyen d’une Planète $\mathrm {T}$ troublée par l’action d’une autre Planète quelconque $\mathrm {T} ',$ la masse du Soleil étant prise pour l’unité des masses des Planètes.

S’il y avait une seconde Planète perturbatrice $\mathrm {T} '',$ il n’y aurait qu’à ajouter à la valeur de ${\frac {d\Sigma }{dp}}$ une autre partie composée des mêmes termes que ceux qui répondent à la Planète $\mathrm {T} ',$ mais dans lesquels les lettres affectées d’un accent le seraient de deux, et ainsi de suite (7).

10. Pour faire usage de l’équation précédente, il n’y aura qu’à substituer pour $x,y,x',y',\ldots$ les valeurs déterminées dans la Théorie des variations séculaires, et comme $dp={\frac {dt}{r^{\frac {3}{2}}}},$ (3), on aura, en multipliant par $dt,$ une équation intégrable, puisque les distances moyennes $r,r',\ldots$ sont des quantités constantes.

Or nous avons vu dans la Théorie citée que les expressions de $x,y,$ $x',y',\ldots$ sont, en général, de la forme

${\begin{alignedat}{4}&\mathrm {A} \ \sin(at+\alpha )&+&\mathrm {B} \ \sin(bt+\beta )&+&\mathrm {C} \ \sin(ct+\gamma )&+&\ldots ,\\&\mathrm {A} \ \cos(at+\alpha )&+&\mathrm {B} \ \cos(bt+\beta )&+&\mathrm {C} \ \cos(ct+\gamma )&+&\ldots ,\\&\mathrm {A} '\sin(at+\alpha )&+&\mathrm {B} '\sin(bt+\beta )&+&\mathrm {C} '\sin(ct+\gamma )&+&\ldots ,\\&\mathrm {A} '\cos(at+\alpha )&+&\mathrm {B} '\cos(bt+\beta )&+&\mathrm {C} '\cos(ct+\gamma )&+&\ldots ,\\\end{alignedat}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,$

le nombre des termes étant toujours égal à celui des Planètes qui agissent les unes sur les autres.

Donc, faisant ces substitutions dans la valeur de ${\frac {d\Sigma }{dp}},$ il en résultera :

1^o des termes sans sinus ni cosinus ; 2^o des termes proportionnels aux cosinus des angles

$(a-b)t+\alpha -\beta ,\quad (a-c)t+\alpha -\gamma ,\quad (b-c)t+\beta -\gamma ,\ldots ,$

et qui étant multipliés par $dt$ seront tous intégrables.

Il s’ensuit de là que la valeur de $\Sigma ,$ se trouvera composée de deux sortes de termes, les uns rigoureusement proportionnels à $p,$ et qui se confondront par conséquent avec le mouvement moyen et uniforme de la Planète ; les autres proportionnels aux sinus des angles $(a-b)t+\alpha -\beta ,$ $(a-c)t+\alpha -\gamma ,$$\ldots ,$ et dont les coefficients seront beaucoup plus grands que ceux des cosinus correspondants dans l’équation différentielle, puisque l’intégration les aura augmentés dans la raison de $a-b,$ $a-c,\ldots$ à $1.$ Ces termes donneront donc de véritables équations séculaires dans le mouvement moyen de la Planète ; et il ne s’agira que de voir si elles sont assez sensibles pour être aperçues par les observations.

11. Nous avons fait abstraction jusqu’ici de l’inclinaison des orbites, de sorte que la formule trouvée n’a lieu que pour le cas où la Planète troublée et les Planètes perturbatrices seraient mues dans un même plan fixe. Il faut donc, pour ne rien laisser à désirer, voir encore ce qui peut résulter de l’inclinaison mutuelle des orbites, et surtout de la variation de cette inclinaison. On pourrait pour cela employer la valeur complète de $\operatorname {F} (q)$ donnée dans le Mémoire précédent, et avoir égard dans le calcul aux quantités $\mathrm {{\frac {P}{R}},{\frac {Q}{R}}}$ et à leurs variations déterminées dans la Théorie des variations séculaires ; mais il sera beaucoup plus simple de considérer immédiatement l’orbite réelle de la Planète, et de chercher la variation du mouvement moyen d’après celles des éléments de cette orbite. Pour cela il faut commencer par déterminer ces variations ; c’est à quoi on peut parvenir directement et facilement par les principes donnés à la fin de la première Section de la Théorie citée.

12. Soit $\rho$ le rayon vecteur de l’orbite réelle de la Planète, $q$ la longitude vraie dans cette orbite, $\varphi$ la longitude de l’aphélie prise aussi sur l’orbite, $\lambda$ l’excentricité et $\varkappa$ le demi-paramètre ; on aura, comme on sait, pour l’équation de l’orbite elliptique

${\frac {\varkappa }{\rho }}=1-\lambda \cos(q-\varphi ),$

laquelle, en faisant

$\lambda \sin \varphi =m,\quad \lambda \cos \varphi =n,$

devient

$(a)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {\varkappa }{\rho }}=1-m\sin q-n\cos q.$

De plus, cette orbite étant décrite par une force centrale ${\frac {1}{\rho ^{2}}},$ comme le sont celles des Planètes en prenant la somme des masses du Soleil et de la Planète pour l’unité, on aura, par la propriété connue des aires,

$(b)\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \rho ^{2}dq=dt{\sqrt {\varkappa }}.$

La valeur de $d\rho$ doit être la même, soit que l’orbite varie ou non ; ainsi, en différentiant l’équation (a), on aura d’un côté

$(c)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {\varkappa d\rho }{\rho ^{2}}}=(m\cos q-n\sin q)dq,$

et de l’autre

$(d)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {d\varkappa }{\rho }}=-\sin qdm-\cos qdn.$

En substituant dans l’équation (c) la valeur de $dq$ tirée de l’équation (b), elle devient

$(e)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {d\rho {\sqrt {\varkappa }}}{dt}}=m\cos q-n\sin q.$

13. Pour que cette équation appartienne à l’orbite troublée, en y regardant les éléments $\varkappa ,m,n$ comme variables, il faudra que sa différentielle satisfasse aux équations différentio-différentielles de cette orbite, l’orbite, $\lambda$ l’excentricité et $\varkappa$ le demi-paramètre ; on aura, comme on sait, pour l’équation de l’orbite elliptique

${\frac {\varkappa }{\rho }}=1-\lambda \cos(q-\varphi ),$

laquelle, en faisant

$\lambda \sin \varphi =m,\quad \lambda \cos \varphi =n,$

devient

$(a)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {\varkappa }{\rho }}=1-m\sin q-n\cos q.$

De plus, cette orbite étant décrite par une force centrale ${\frac {1}{\rho ^{2}}},$ comme le sont celles des Planètes en prenant la somme des masses du Soleil et de la Planète pour l’unité, on aura, par la propriété connue des aires,

$(b)\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \rho ^{2}dq=dt{\sqrt {\varkappa }}.$

La valeur de $d\rho$ doit être la même, soit que l’orbite varie ou non ; ainsi, en différentiant l’équation $(a),$ on aura d’un côté

$(c)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {\varkappa d\rho }{\rho ^{2}}}=(m\cos q-n\sin q)dq,$

et de l’autre

$(d)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {d\varkappa }{\rho }}=-\sin qdm-\cos qdn.$

En substituant dans l’équation $(c)$ la valeur de $dq$ tirée de l’équation $(b),$ elle devient

$(e)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {d\rho {\sqrt {\varkappa }}}{dt}}=m\cos q-n\sin q.$

13. Pour que cette équation appartienne à l’orbite troublée, en y regardant les éléments $\varkappa ,m,n$ comme variables, il faudra que sa différentielle satisfasse aux équations différentio-différentielles de cette orbite, lesquelles sont, par rapport aux coordonnées rectangles $x,y,z,$

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {x}{\rho ^{3}}}+\mathrm {X} =0,\quad {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {y}{\rho ^{3}}}+\mathrm {Y} =0,\quad {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {z}{\rho ^{3}}}+\mathrm {Z} =0,$

$\mathrm {X,Y,Z}$ étant les forces perturbatrices.

Ainsi, comme

$\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},$

et par conséquent

$d\rho ={\frac {xdx+ydy+zdz}{\rho }},$

il n’y aura qu’à substituer dans la différentielle de l’équation $(e)$ pour

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\quad {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\quad {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}$

les valeurs

$-{\frac {x}{\rho }}-\mathrm {X} ,\quad -{\frac {y}{\rho }}-\mathrm {Y} ,\quad -{\frac {z}{\rho }}-\mathrm {Z} .$

Mais, puisque la variabilité des éléments ne vient que des forces perturbatrices, il s’ensuit que les termes affectés de $d\varkappa ,dm,dn$ et de $\mathrm {X,Y,Z}$ doivent former une équation à part, celle composée des autres termes devant subsister d’elle-même, parce que l’équation dont il s’agit satisfait par l’hypothèse aux équations de l’orbite invariable.

Il n’y aura donc qu’à faire varier dans l’équation $(e)$ les éléments $\varkappa ,m,n$ et les différences $dx,dy,dz,$ et substituer simplement $\mathrm {-X,-Y,-Z}$ à la place de ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\,;$ ce qui donnera sur-le-champ celle-ci

$-{\frac {dt{\sqrt {\varkappa }}}{\rho }}(\mathrm {X} x+\mathrm {Y} y+\mathrm {Z} z)+{\frac {d\rho d\varkappa }{2dt{\sqrt {\varkappa }}}}=\cos qdm-\sin qdn,$

ou bien, en faisant, pour abréger,

$\mathrm {X} x+\mathrm {Y} y+\mathrm {Z} z=\Phi ,$

et substituant pour $dt{\sqrt {\varkappa }}$ sa valeur $\rho ^{2}dq$ de l’équation $(b)$,

$\cos qdm-\sin qdn={\frac {d\rho d\varkappa }{2\rho ^{2}dq}}-\Phi \rho dq.$

Et cette équation combinée avec l’équation $(d)$ donnera les valeurs de $dm$ et $dn$ ; on aura ainsi

$(f)\qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}dm=&-{\frac {d\varkappa }{\rho }}\sin q+\left({\frac {d\rho d\varkappa }{2\rho ^{2}dq}}-\Phi \rho dq\right)\cos q,\\dn\ =&-{\frac {d\varkappa }{\rho }}\cos q-\left({\frac {d\rho d\varkappa }{2\rho ^{2}dq}}-\Phi \rho dq\right)\sin q.\end{aligned}}\right.$

14. Il ne reste plus qu’à trouver la valeur de $d\varkappa \,;$ on la tirera de l’équation $(b)$, en y appliquant le même raisonnement que nous venons de faire sur l’équation $(e)$. Ainsi, comme

$\varkappa ={\frac {\rho ^{4}dq^{2}}{dt^{2}}},$

et que

$\rho ^{2}dq^{2}+d\rho ^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},$

puisque ces deux quantités expriment également le carré de l’élément de l’espace parcouru, que par conséquent

$\rho ^{4}dq^{2}=\rho ^{2}\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right)-(\rho d\rho )^{2},$

il s’ensuit qu’on aura la valeur de $d\varkappa ,$ en faisant varier dans

${\frac {\rho ^{2}\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right)}{dt^{2}}}-{\frac {(xdx+ydy+zdz)^{2}}{dt^{2}}}$

les différences $dx,dy,dz$ seulement et substituant ensuite $\mathrm {-X,-Y,-Z}$ pour ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}.$

Donc, faisant, pour abréger,

$\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dyd+\mathrm {Z} dz=(d\Omega ),$

on aura sur-le-champ

$(g)\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \varkappa =2\Phi \rho d\rho -2\rho ^{2}(d\Omega ),$

valeur qu’il faudra substituer dans les deux équations $(f)$ ci-dessus.

Cherchons maintenant les valeurs de $\Phi$ et de $(d\Omega ).$ En ne supposant qu’une seule Planète perturbatrice $\mathrm {T} ',$ on a

$\mathrm {X} =\mathrm {T} '\left({\frac {x-x'}{\sigma '^{3}}}+{\frac {x'}{\rho '^{3}}}\right),\ \ \mathrm {Y} =\mathrm {T} '\left({\frac {y-y'}{\sigma '^{3}}}+{\frac {y'}{\rho '^{3}}}\right),\ \ \mathrm {Z} =\mathrm {T} '\left({\frac {z-z'}{\sigma '^{3}}}+{\frac {z'}{\rho '^{3}}}\right),$

$\sigma '$ exprimant la distance rectiligne d’une Planète à l’autre, et $x',y',z',\rho '$ étant pour la Planète $\mathrm {T} '$ ce que $x,y,z,\rho$ sont pour la Planète troublée $\mathrm {T} .$ S’il y avait plusieurs Planètes perturbatrices $\mathrm {T',T''} ,\ldots ,$ chacune donnerait des formules semblables dans les valeurs de $\mathrm {X,Y,Z} .$

On aura donc, en substituant ces valeurs,

${\begin{aligned}\Phi =&\mathrm {T} '\left[{\frac {\rho ^{3}}{\sigma '^{3}}}+\left({\frac {1}{\rho '^{3}}}-{\frac {1}{\sigma '^{3}}}\right)(xx'+yy'+zz')\right],\\(d\Omega )=&\mathrm {T} '\left[{\frac {\rho d\rho }{\sigma '^{3}}}+\left({\frac {1}{\rho '^{3}}}-{\frac {1}{\sigma '^{3}}}\right)(x'dx+y'dy+z'dz)\right].\end{aligned}}$

15. Maintenant, puisque $\sigma '$ est la distance rectiligne entre la Planète $\mathrm {T}$ et la Planète $\mathrm {T} ',$ on aura, par les coordonnées rectangles,

$\sigma '^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}=\rho ^{2}+\rho '^{2}-2(xx'+yy'+zz').$

D’un autre côté, si l’on nomme $\varepsilon$ l’angle intercepté entre les deux rayons $\rho$ et $\rho ',$ en considérant le triangle rectiligne dont $\rho ,\rho ',\sigma '$ sont les trois côtés et où $\varepsilon$ est l’angle opposé au côté $\sigma ',$ on aura aussi

$\sigma '^{2}=\rho ^{2}+\rho '^{2}-2\rho \rho '\cos \varepsilon \,;$

de sorte qu’en comparant cette expression de $\sigma '^{2}$ à la précédente, on aura

$xx'+yy'+zz'=\rho \rho '\cos \varepsilon \,;$

et comme cette équation est indépendante d’aucune relation entre la position des deux Planètes, elle aura lieu aussi en supposant que la Planète $\mathrm {T}$ avance infiniment peu dans son orbite, auquel cas $x,y,z,\rho$ deviennent

$x+dx,\quad y+dy,\quad z+dz,\quad \rho +d\rho ,$

et $\cos \varepsilon$ deviendra

$\cos \varepsilon +\delta \cos \varepsilon \,;$

ainsi l’on aura par là

$x'dx+y'dy+z'dz=\rho '\cos \varepsilon d\rho +\rho \rho '\delta \cos \varepsilon \,;$

mais il faut encore déterminer la valeur de $\cos \varepsilon$ et de $\cos \varepsilon .$

Pour cela, si l’on imagine que du centre des rayons vecteurs $\rho ,\rho '$ on mène au point d’intersection des deux orbites un troisième rayon, et qu’ensuite sur la surface d’une sphère décrite du même centre on trace trois arcs de grand cercle qui joignent les trois rayons dont il s’agit, il est visible que l’un de ces arcs sera $\varepsilon ,$ que les deux autres seront les distances des deux Planètes au nœud commun de leurs orbites, et dans le triangle sphériqùe formé par ces trois arcs, l’angle opposé au côté $\varepsilon$ sera l’inclinaison mutuelle des orbites.

Par conséquent, si l’on nomme $\eta$ cette inclinaison et $\psi$ la longitude du nœud commun, en sorte que $q-\psi$ et $q'-\psi '$ soient les distances des Planètes à ce nœud, on aura, par la propriété connue des triangles sphériques,

$\cos \varepsilon =\cos(q-\psi )\cos(q'-\psi )+\cos \eta \sin(q-\psi )\sin(q'-\psi )\,;$

or, tandis que la Planète $\mathrm {T}$ se meut infiniment peu dans son orbite, il n’y a que l’angle $q$ qui varie, les autres quantités $\psi ,\eta ,q'$ demeurant constantes ; d’où il suit que la variation de $\cos \varepsilon ,$ que nous avons désignée ci-dessus par $\delta \cos \varepsilon ,$ devra être exprimée par ${\frac {d\cos \varepsilon }{dq}}dq.$

16. Substituons les valeurs qu’on vient de trouver dans les valeurs de $\Phi$ et de $(d\Omega )$ du n^o 14 ; on aura, en retenant le $\cos \varepsilon$ pour plus de simplicité,

${\begin{aligned}\Phi =&\mathrm {T} '\left({\frac {\rho ^{2}-\rho \rho '\cos \varepsilon }{\sigma '^{3}}}+{\frac {\rho \cos \varepsilon }{\rho '^{2}}}\right),\\(d\Omega )=&\mathrm {T} '\left({\frac {\rho d\rho -\rho '\cos \varepsilon d\rho -\rho \rho '{\cfrac {d\cos \varepsilon }{dq}}dq}{\sigma '^{3}}}+{\frac {\cos \varepsilon d\rho +\rho {\cfrac {d\cos \varepsilon }{dq}}dq}{\rho '^{2}}}\right).\end{aligned}}$

Si donc on fait

$\Omega =\mathrm {T} '\left({\frac {\rho \cos \varepsilon }{\rho '^{2}}}-{\frac {1}{\sigma '}}\right),$

on aura, à cause de

$\sigma '={\sqrt {\rho ^{2}-2\rho \rho '\cos \varepsilon +\rho '^{2}}}$

et de $\cos \varepsilon$ fonction de $q$ sans $\rho ,$

$\Phi =\rho {\frac {d\Omega }{d\rho }},\quad (d\Omega )={\frac {d\Omega }{d\rho }}dr+{\frac {d\Omega }{dq}}dq.$

Donc l’équation $(g)$ du n^o 14 donnera par ces substitutions

$d\chi =-\rho ^{2}{\frac {d\Omega }{dq}}dq\,;$

et enfin, substituant cette valeur de $d\chi$ ainsi que celle de dans les équations $(f)$ du même numéro, on aura

${\begin{aligned}dm=&-{\frac {d\Omega }{dq}}\cos qd\rho +\left(2\rho {\frac {d\Omega }{dq}}\sin q-\rho ^{2}{\frac {d\Omega }{d\rho }}\cos q\right)dq,\\dn\ =&{\frac {d\Omega }{dq}}\sin qd\rho +\left(2\rho {\frac {d\Omega }{dq}}\cos q+\rho ^{2}{\frac {d\Omega }{d\rho }}\sin q\right)dq,\end{aligned}}$

expressions qu’on voit être de la même forme que celles de $d\mathrm {M}$ et $d\mathrm {N}$ du n^o 5.

Et à l’égard de la fonction $\Omega ,$ on voit qu’elle est aussi de la même forme que celle du n^o 7, si ce n’est qu’à la place de l’angle $q-q'$ il y a l’angle $\varepsilon \,;$ mais ces deux angles sont d’ailleurs analogues entre eux, puisqu’ils expriment également dans les deux hypothèses la distance d’une Planète à l’autre.

17. Prenant $r$ pour représenter le demi-grand axe, comme dans les calculs ci-dessus, on a, par les propriétés de l’ellipse, le demi-paramètre

$\chi =r\left(1-\lambda ^{2}\right)=r\left(1-m^{2}-n^{2}\right).$

Ainsi l’équation $(a)$ du n^o 12 donnera

$\rho ={\frac {r\left(1-m^{2}-n^{2}\right)}{1-m\sin q-n\cos q}}\,;$

et, cette valeur substituée dans l’équation $(b)$ du même numéro, on aura

${\frac {dt}{r^{\frac {3}{2}}}}=dp={\frac {\left(1-m^{2}-n^{2}\right)^{\frac {3}{2}}dq}{(1-m\sin q-n\cos q)^{2}}}\,;$

ce sont les formules connues entre le rayon vecteur $\rho ,$ la longitude vraie $q$ dans l’orbite et la longitude moyenne $p$.

La dernière équation étant intégrée en regardant $m$ et $n$ comme constantes donnera la valeur de la fonction $\operatorname {F} (q)$ (2), et cette valeur exprimée en série sera de la même forme que celle du n^o 5, $m$ et $n$ étant ici à la place de $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N} \,;$ de là l’expression de $\delta \operatorname {F} (q)$ ou de $d\Sigma$ sera encore de la même forme que dans ce numéro, et cela aura lieu aussi après la substitution des valeurs de $dm$ et $dn,$ que nous avons vu être semblables à celles de $d\mathrm {M}$ et $d\mathrm {N} .$

De plus les valeurs de $\rho$ et $q$ en $p,$ tirées des équations précédentes, seront aussi de la même forme que celles qu’on a employées dans le n^o 6, ce qui est d’ailleurs évident par la comparaison de ces équations et de celles d’où ces valeurs ont été déduites. Donc la valeur de ${\frac {d\Sigma }{dp}}$ sera encore de la même forme que celle qui se trouve à la fin du même numéro, $m$ et $n$ étant toujours à la place de $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N} \,;$ mais la substitution de la valeur de $\Omega$ y produira une différence, à cause que l’angle $\varepsilon$ tient la place de $q-q'\,;$ et c’est uniquement de là que peut venir la différence des résultats dans les deux cas.

18. Pour déterminer cette différence, nous remarquerons d’abord qu’en mettant, dans l’expression de $\cos \varepsilon$ du n^o 15, $1-2\sin ^{2}{\frac {\eta }{2}}$ au lieu de $\cos \eta ,$ elle devient

$\cos(q-q')-2\sin ^{2}{\frac {\eta }{2}}\sin(q-\psi )\sin(q'-\psi )\,;$

de sorte que tout se réduit à augmenter, dans l’expression de $\Omega$ du n^o 7, $\cos(q-q')$ de la quantité

$-2\sin ^{2}{\frac {\eta }{2}}\sin(q-\psi )\sin(q'-\psi ).$

Or, comme représente l’inclinaison réciproque des orbites que nous supposons du même ordre que l’excentricité $\lambda$ et par conséquent que les quantités $m$ et $n,$ il est clair que la quantité dont il s’agit est déjà très-petite du seoond ordre, et qu’ainsi l’accroissement de $\Omega$ sera au quatrième ordre près

$2\mathrm {V} \sin ^{2}{\frac {\eta }{2}}\sin(q-\psi )\sin(q'-\psi ),$

en faisant

$\mathrm {V} =-\mathrm {T} '\left[{\frac {\rho }{\rho '^{2}}}-{\frac {\rho \rho '}{\left[\rho ^{2}-2\rho \rho '\cos(q-q')+\rho '^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}\right].$

Donc, puisque dans l’expression de ${\frac {d\Sigma }{dp}}$ nous avons négligé les troisièmes dimensions de $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N} ,$ il s’ensuit qu’en négligeant pareillement les troisièmes dimensions de $m,n,\eta ,$, il n’y aura que le premier terme $2r^{2}{\frac {d\Omega }{dp}}$ de cette expression dans lequel on doive avoir égard à l’accroissement de $\Omega ,$ et qu’ainsi la valeur de ${\frac {d\Sigma }{dp}}$ se trouvera par là simplement augmentée de la quantité

$4r^{2}{\frac {d\mathrm {V} }{d\rho }}\sin ^{2}{\frac {\eta }{2}}\sin(q-\psi )\sin(q'-\psi ).$

Par la même raison, puisque cette quantité est du second ordre, on pourra d’abord y substituer $r,r',p,p'$ à la place de $\rho ,\rho ',q,q',$ ce qui la réduira à

$4r^{2}{\frac {d\mathrm {V} }{dr}}\sin ^{2}{\frac {\eta }{2}}\sin(p-\psi )\sin(p'-\psi ),$

$\mathrm {V}$ étant$=-\mathrm {T} '\left[{\frac {r}{r'^{2}}}-{\frac {rr'}{\left[r^{2}-2rr'\cos(p-p')+r'^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}\right].$

Développons en série le radical irrationnel

$\left[r^{2}-2rr'\cos(p-p')+r'^{2}\right]^{\frac {3}{2}},$

et supposons, comme dans la Théorie des variations séculaires, cette série représentée par

$(r,r')+(r,r')_{1}\cos(p-p')+(r,r')_{2}\cos 2(p-p')+\ldots \,;$

on aura pour la valeur de ${\frac {d\mathrm {V} }{dr}}$

$-\mathrm {T} '\left[{\frac {1}{r'^{2}}}-{\frac {d\left[rr'(r,r')\right]}{dr}}-{\frac {d\left[rr'(r,r')_{1}\right]}{dr}}\cos(p-p')-\ldots \right].$

Substituant cette valeur dans la quantité dont il s’agit, développant les produits des sinus et cosinus, et ne retenant que les termes sans sinus ni cosinus, on aura enfin

$\mathrm {T} 'r^{2}{\frac {d\left[rr'(r,r')_{1}\right]}{dr}}\sin ^{2}{\frac {\eta }{2}}$

pour la quantité à ajouter à la valeur de ${\frac {d\Sigma }{dp}}.$

Ainsi il n’y aura qu’à ajouter ce nouveau terme au second membre de la dernière équation du n^o 8, en y changeant en même temps les quantités $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ en $m$ et $n.$

19. Nous remarquerons maintenant que les quantités $m,$ n sont au troisième ordre près égales à $\mathrm {M} ,$ $\mathrm {N} \,;$ car ces quantités, étant exprimées par $\lambda \sin \varphi ,$ $\lambda \cos \varphi ,$ où $\varphi$ est la longitude de l’aphélie dans l’orbite (12), ont par conséquent la même valeur que les quantités $\lambda \sin \Phi ,\ \lambda \cos \Phi$ du n^o 18 du Mémoire précédent ; et il est aisé de voir que celles-ci se réduisent à $\mathrm {M,N}$ en négligeant les quantités du troisième ordre, puisque

$\Omega =\int \cos id\omega =\omega -{\frac {1}{2}}\int i^{2}d\omega .$

Ainsi, comme dans la Théorie des variations séculaires nous avons nommé $x,y$ les quantités $\mathrm {M,N} ,$ on pourra également, dans l’équation précédente, changer $m,n$ en $x,y.$

De plus, on a aussi au troisième ordre près

$\sin {\frac {\eta }{2}}={\frac {\eta }{2}}={\frac {\operatorname {tang} \eta }{2}}\,;$

mais nous avons démontré, dans le n^o 18 de la seconde Partie de la Théo-

rie citée, que, pour des orbites peu inclinées, on a au troisième ordre près

$\vartheta \sin \Omega =s-s',\quad \vartheta \cos \Omega =u-u',$

$\vartheta$ étant la même chose que $\operatorname {tang} \eta .$ Donc à la place de $sin^{2}{\frac {\eta }{2}}$ on pourra substituer la quantité

${\frac {(s-s')^{2}+(u-u')^{2}}{4}}.$

D’où l’on doit conclure que la considération de l’inclinaison des orbites ne fera qu’augmenter l’expression de ${\frac {d\Sigma }{dp}}$ du n^o 9 du terme

$(4)\times \left[(s-s')^{2}+(u-u')^{2}\right]$

en supposant

$(4)=\mathrm {T} '{\frac {r^{2}}{4}}{\frac {d\left[rr'(r,r')_{1}\right]}{dr}}=\mathrm {T} '\left[{\frac {rr'(r,r')_{1}}{4}}+{\frac {r^{3}r'}{4}}{\frac {d(r,r')_{1}}{dr}}\right].$

Et s’il y a plusieurs Planètes perturbatrices, chacune d’elles fournira un pareil terme dans la valeur de ${\frac {d\Sigma }{dp}}.$

Les valeurs des quantités $s,s',\ldots ,u,u',\ldots$ ont aussi été données dans la Théorie des variations séculaires pour toutes les Planètes, et comme elles sont d’une forme semblable à celle de $x,x',\ldots ,y,y',\ldots ,$ il en résultera des termes analogues dans l’expression de la variation séculaire $\Sigma$ du mouvement moyen.

20. Pour appliquer aux Planètes les formules que nous venons de trouver, il faudra commencer par déterminer les valeurs des coefficients $(0),(1),\ldots \,;$ et l’on peut employer pour cela les méthodes et les données de la Théorie citée ; mais, comme ces coefficients contiennent les différences des fonctions $[r,r'],[r,r']_{1}$ relativement aux deux quantités $r,r',$ il sera à propos de réduire d’abord toutes les différences à la seule quantité $r,$ comme nous en avons usé dans la même Théorie.

Or, par la propriété des fonctions homogènes, telles que sont nécessairement les quantités $[r,r'],[r,r']_{1}$ on a

${\begin{aligned}r{\frac {d[r,r']\,\ }{dr}}+r'{\frac {d[r,r']\ \ }{dr'}}+[r,r']\ \ =&0,\\r{\frac {d[r,r']_{1}}{dr}}+r'{\frac {d[r,r']_{1}}{dr'}}+[r,r']_{1}=&0,\\\end{aligned}}$

donc

${\frac {d[r,r']\ }{dr'}}=-{\frac {[r,r']}{r'}}-{\frac {r}{r'}}{\frac {d[r,r']}{dr}},$

et, différentiant successivement par $r,r',$

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}[r,r']}{drdr'}}=&-{\frac {2}{r'}}{\frac {d[r,r']}{dr}}-{\frac {r}{r'}}{\frac {d^{2}[r,r']}{dr^{2}}},\\{\frac {d^{3}[r,r']}{dr^{2}dr'}}=&-{\frac {3}{r'}}{\frac {d^{2}[r,r']}{dr^{2}}}-{\frac {r}{r'}}{\frac {d^{3}[r,r']}{dr^{3}}},\\{\frac {d^{3}[r,r']}{drdr'^{2}}}=&{\frac {2}{r'^{2}}}{\frac {d[r,r']}{dr}}+{\frac {r}{r'^{2}}}{\frac {d^{2}[r,r']}{dr^{2}}}-{\frac {2}{r'}}{\frac {d^{2}[r,r']}{drdr'}}-{\frac {r}{r'}}{\frac {d^{3}[r,r']}{dr^{2}dr'}},\end{aligned}}$

ou bien, en substituant dans cette dernière formule les valeurs données par les deux précédentes,

${\frac {d^{3}[r,r']}{drdr'^{2}}}={\frac {6}{r'^{2}}}{\frac {d[r,r']}{dr}}+{\frac {6r}{r'^{2}}}{\frac {d^{2}[r,r']}{dr^{2}}}+{\frac {r^{2}}{r'^{2}}}{\frac {d^{3}[r,r']}{dr^{3}}}.$

On aura de pareilles expressions pour les différences de $[r,r']\,;$ et, faisant ces substitutions dans les valeurs des coefficients (2) et (3) données dans le n^o 9, on aura

${\begin{aligned}(2)=&-\mathrm {T} '\left[r^{2}{\frac {d[r,r']}{dr}}+2r^{3}{\frac {d^{2}[r,r']}{dr^{2}}}+{\frac {r^{4}}{2}}{\frac {d^{3}[r,r']}{dr^{3}}}\right],\\(3)=&-\mathrm {T} '\left[-{\frac {r[r,r']_{1}}{4}}+{\frac {r^{2}}{4}}{\frac {d[r,r']_{1}}{dr}}-{\frac {15r^{3}}{8}}{\frac {d^{2}[r,r']_{1}}{dr^{2}}}-{\frac {r^{4}}{2}}{\frac {d^{3}[r,r']_{1}}{dr^{3}}}\right].\end{aligned}}$

21. Les quantités $[r,r'],[r,r']_{1}$ sont évidemment les mêmes que nous avions d’abord désignées par $\mathrm {A',B'}$ dans le n^o 43 de la première Partie de la Théorie des variations séculaires, et dont nous avons ensuite, dans le n^o 45, donné les valeurs exprimées par les quantités $(r,r'),(r,r')_{1},$ ainsi que celles de leurs différences premières et secondes. On aura donc par les formules de ce dernier numéro

${\begin{alignedat}{2}&\ [r,r']&=&\left(r^{2}+r'^{2}\right)(r,r')-rr'(r,r')_{1},\\&\ [r,r']_{1}&=&4rr'(r,r')-\left(r^{2}+r'^{2}\right)(r,r')_{1},\\&{\frac {d[r,r']}{dr}}&=&-r(r,r')+{\frac {1}{2}}r'(r,r')_{1},\\&{\frac {d[r,r']_{1}}{dr}}&=&-2r'(r,r')+{\frac {r'^{2}}{r}}(r,r')_{1},\\&{\frac {d^{2}[r,r']}{dr^{2}}}&=&2(r,r')-{\frac {r'}{2r}}(r,r')_{1},\\&{\frac {d^{2}[r,r']_{1}}{dr^{2}}}&=&{\frac {6r'}{r}}(r,r')-{\frac {2r'^{2}}{r^{2}}}(r,r')_{1},\end{alignedat}}$

les quantités $(r,r'),(r,r')_{1}$ étant les mêmes que nous avons déjà employées ci-dessus.

Différentiant les deux dernières équations par $r,$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {d^{3}[r,r']}{dr^{3}}}\ \ =&2{\frac {d(r,r')}{dr}}+{\frac {r'}{2r}}{\frac {d(r,r')_{1}}{dr}},\\{\frac {d^{3}[r,r']_{1}}{dr^{3}}}=&-{\frac {6r'}{r^{2}}}(r,r')+{\frac {6r'}{r}}{\frac {d(r,r')}{dr}}+{\frac {4r'^{2}}{r^{3}}}(r,r')_{1}-{\frac {2r'^{2}}{r^{2}}}{\frac {d(r,r')}{dr}}.\end{aligned}}$

Or, si dans les formules générales du même numéro cité on fait $s={\frac {3}{2}},$ les quantités $\mathrm {A,B}$ deviennent $(r,r'),(r,r')_{1}\,;$ ainsi l’on aura par ces formules

${\begin{aligned}{\frac {d(r,r')}{dr}}\ \ =&-{\frac {6r(r,r')+r'(r,r')_{1}}{2\left(r^{2}-r'^{2}\right)}},\\{\frac {d(r,r')_{1}}{dr}}=&-{\frac {6r'(r,r')+\left(2r-{\cfrac {r'^{2}}{r}}\right)(r,r')_{1}}{r^{2}-r'^{2}}}\,;\end{aligned}}$

de sorte que par ces substitutions les formules précédentes deviendront

${\begin{aligned}{\frac {d^{3}[r,r']}{dr^{3}}}\ \ =&{\frac {\left(-6r+{\cfrac {3r'^{2}}{r}}\right)(r,r')+\left({\cfrac {r'}{2}}-{\cfrac {r'^{3}}{r^{2}}}\right)(r,r')_{1}}{r^{2}-r'^{2}}},\\{\frac {d^{3}[r,r']_{1}}{dr^{3}}}=&{\frac {\left(-24r'+{\cfrac {18r'^{3}}{r^{2}}}\right)(r,r')+\left({\cfrac {5r'^{2}}{r}}-{\cfrac {6r'^{4}}{r^{3}}}\right)(r,r')_{1}}{r^{2}-r'^{2}}}.\end{aligned}}$

22. On pourra donc exprimer tous les coefficients $(0),\ (1),\ (2),\ (3),$ $(4)$ par les seules quantités $(r,r'),(r,r')_{1}\,;$ et l’on aura ainsi

${\begin{aligned}(0)=&\mathrm {T} '\left[2r^{3}(r,r')-r^{2}r'(r,r')_{1}\right],\\(1)=&\mathrm {T} '{\frac {12r^{3}r'^{2}(r,r')+\left(3r^{4}r'-r^{2}r'^{3}\right)(r,r')_{1}}{8\left(r^{2}-r'^{2}\right)}}\\(2)=&\mathrm {T} '{\frac {6r^{3}r'^{2}(r,r')+r^{2}r'^{3}(r,r')_{1}}{4\left(r^{2}-r'^{2}\right)}},\\(3)=&\mathrm {T} '{\frac {\left(3r^{4}r'-15r^{2}r'^{3}\right)(r,r')-\left(r^{5}+6r^{3}r'^{2}-5rr'^{4}\right)(r,r')_{1}}{4\left(r^{2}-r'^{2}\right)}},\\(4)=&-\mathrm {T} '{\frac {6r^{3}r'^{2}(r,r')+r^{4}r'(r,r')_{1}}{4\left(r^{2}-r'^{2}\right)}}.\end{aligned}}$

Nous avons déjà donné, dans la Théorie des variations séculaires (n^o 48, première Partie), la manière de calculer les valeurs des quantités $(r,r'),$ $(r,r')_{1}\,;$ et nous y avons trouvé des expressions de cette forme

$(r,r')={\frac {\mathrm {M} }{r^{3}\left(1-z^{2}\right)^{2}}},\quad (r,r')_{1}={\frac {6\mathrm {N} }{r^{3}\left(1-z^{2}\right)^{2}}},$

dans lesquelles $z={\frac {r'}{r}},$ $r'$ étant supposée la plus petite des deux quantités $r,r',$ et $\mathrm {M,N}$ représentent les séries

$1+\alpha ^{2}z^{2}+\ldots ,\quad \alpha z-\alpha \beta z^{3}-\ldots ,$

comme dans le n^o 3 de la seconde Partie de la même Théorie.

Nous avons de plus donné dans le même endroit les valeurs numériques de $z,\mathrm {M,N}$ pour toutes les distances moyennes $r,r',\ldots$ des Planètes principales combinées deux à deux ; ainsi l’on pourra partir immédiatement de ces valeurs dans le calcul des coefficients de la formule trouvée pour l’altération du mouvement moyen des Planètes ; nous allons maintenant appliquer cette formule à Saturne et à Jupiter, et voir les conséquences qui en résultent relativement à leurs mouvements moyens.

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section seconde.

variation séculaire du mouvement moyen de saturne produite par l’action de jupiter.

23. Nous supposerons ici, comme nous l’avons fait dans la Théorie générale des variations séculaires, que les lettres sans trait se rapportent à Saturne, qu’avec un trait elles se rapportent à Jupiter, et ainsi de suite ; de cette manière $\mathrm {T}$ sera la masse de Saturne, $\mathrm {T} '$ celle de Jupiter, ces masses étant exprimées en parties de celle du Soleil ; il en sera de même des distances moyennes $r,r'$ et des mouvements moyens $p,p'.$

Ainsi l’altération $\Sigma$ du mouvement moyen de Saturne due à l’action de Jupiter sera déterminée par l’équation différentielle

${\frac {d\Sigma }{dp}}=(0)+(1)\left(x^{2}+y^{2}\right)+(2)\left(x'^{2}+y'^{2}\right)+(3)(xx'+yy')$

$+(4)\left[(s-s')^{2}+(u-u')^{2}\right],$

dont les coefficients seront exprimés par les quantités $z={\frac {r'}{r}},\mathrm {M,N} ,$ de la manière suivante

${\begin{aligned}(0)=&\mathrm {T} '{\frac {2\mathrm {M} -6z\mathrm {N} }{\left(1-z^{2}\right)^{2}}},\\(1)=&\mathrm {T} '{\frac {6z^{2}\mathrm {M} +3\left(3z-z^{3}\right)\mathrm {N} }{4\left(1-z^{2}\right)^{3}}},\\(2)=&\mathrm {T} '{\frac {3z^{2}\mathrm {M} +3z^{3}\mathrm {N} }{2\left(1-z^{2}\right)^{3}}},\\(3)=&\mathrm {T} '{\frac {3\left(z-5z^{3}\right)\mathrm {M} -6\left(1+6z^{2}-5z^{4}\right)\mathrm {N} }{4\left(1-z^{2}\right)^{3}}},\\(4)=&-\mathrm {T} '{\frac {3z^{2}\mathrm {M} +3z\mathrm {N} }{2\left(1-z^{2}\right)^{3}}}.\end{aligned}}$

Ces formules, en y changeant les traits des lettres $\mathrm {T} ,r,\ldots ,$ serviront aussi pour toute autre Planète en tant qu’elle sera troublée par une Planète inférieure, la quantité $z$ devant toujours être une fraction moindre que l’unité pour l’exactitude des expressions de $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N} .$

24. L’action de Jupiter sur Saturne étant, à raison des masses et des distances, infiniment plus considérable que celle des autres Planètes, il suffira de tenir compte de cette action, comme nous l’avons fait dans la Théorie des variations séculaires ; ainsi la formule précédente donnera l’altération totale du mouvement moyen de Saturne, en y substituant pour $x,y,x',y',s,u,s',u'$ les valeurs dues à la même action et qui ont été calculées dans les n^os 50 et 53 de la deuxième Partie de cette Théorie.

Par ces substitutions on aura donc en premier lieu

${\begin{aligned}x^{2}\,\ +y^{2}\ =&\mathrm {A^{2}\,+B^{2}\ +2AB\ \ } \cos \left[(a-b)t+\alpha -\beta \right],\\x'^{2}\ +y'^{2}=&\mathrm {A'^{2}+B'^{2}+2A'B'} \cos \left[(a-b)t+\alpha -\beta \right],\\xx'+yy'=&\mathrm {AA'+BB'+(AB'+A'B)} \cos \left[(a-b)t+\alpha -\beta \right].\end{aligned}}$

En second lieu on aura

$(s-s')^{2}+(u-u')^{2}=\mathrm {[} (\mathrm {B} )-(\mathrm {B} ')]^{2},$

en désignant par $\mathrm {(B),(B')}$ les coefficients $\mathrm {B,B'}$ des expressions de $s,u,$$s',u'$ pour les distinguer de ceux de $x,y,x',y'$ que nous avons représentés par les mêmes lettres.

Donc enfin, substituant ces valeurs et faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}&[0]=(0)+(1)\mathrm {\left(A^{2}+B^{2}\right)} +(2)\mathrm {\left(A'^{2}+B'^{2}\right)} +(3)\mathrm {\left(AA'+BB'\right)} \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +(4)\mathrm {\left[(B)-(B')\right]} ^{2},\\&[1]=2(1)\mathrm {AB} +2(2)\mathrm {A'B'} +(3)\mathrm {\left(AB'+A'B\right)} ,\end{aligned}}$

on aura

${\frac {d\Sigma }{dp}}=[0]+[1]\cos \left[(a-b)t+\alpha -\beta \right].$

Or $p$ représente l’angle du mouvement moyen de Saturne, et nous avons exprimé le temps $t$ en années Juliennes ; si donc on nomme $n$ le nombre d’années Juliennes de la révolution de Saturne, on aura ${\frac {dp}{dt}}={\frac {360^{\circ }}{n}}\,;$ par conséquent la formule précédente étant multipliée par $dp$ et intégrée donnera

$\Sigma =[0]p+[1]{\frac {360^{\circ }}{n(a-b)}}\sin \left[(a-b)t+\alpha -\beta \right]\,;$

c’est l’expression de l’altération du mouvement moyen et qui doit être ajoutée à ce mouvement.

25. Le terme $[0]p$ ne fait qu’augmenter le mouvement moyen primitif dans la raison de $1$ à $1+[0]\,;$ de sorte que le mouvement moyen, tel que les observations doivent le donner, sera $(1+[0])p,$ et répondra par conséquent à une distance moyenne égale à ${\frac {r}{\left(1+[0]\right)^{\frac {2}{3}}}}\,;$ ainsi, par cette distance qui est celle qui résulte de la comparaison des temps périodiques, on pourra déterminer la distance primitive $r,$ qui entre comme élément dans le calcul des perturbations ; mais la quantité $[0]$ étant une fraction infiniment petite, puisqu’elle est de l’ordre des masses des Planètes rapportées à celle du Soleil, il ne résultera de là qu’une correction insensible, et de nulle considération dans les distances moyennes. On peut donc n’avoir aucun égard à l’effet du terme dont il s’agit.

26. Il n’en est pas de même de l’autre terme qui contient le sinus de l’angle $(a-b)t+\alpha -\beta \,;$ ce terme donnera une véritable équation séculaire périodique, dont la période sera extrêmement longue. En effet, en substituant pour $a,b,\alpha ,\beta$ les valeurs données dans le n^o 50 de la deuxième Partie de la Théorie des variations séculaires, on trouve pour l’angle dont il s’agit

$180^{\circ }-83^{\circ }42'+18''{,}4054t\,;$

de sorte que la période de l’équation séculaire sera déterminée par l’équation

$18''{,}4054t=360^{\circ },$

laquelle donne

$t=70414$

pour le nombre d’années de cette période. Mais il faut voir si la valeur de cette équation est assez forte pour pouvoir être aperçue par les observations.

Pour cela il faut commencer par calculer les valeurs des coefficients $(1),(2),(3)\,;$ or, par le n^o 4 de la deuxième Partie de la Théorie des variations séculaires, on a

$z={\frac {r'}{r}}=0{,}545172,\quad \mathrm {M} =1{,}075800,\quad \mathrm {N} =0{,}262042,$

et, substituant ces valeurs dans les formules du n^o 23, il vient

$(1)=2{,}21597T',\quad (2)=1{,}56520T',\quad (3)=-3{,}26743T'.$

De plus on a par le n^o 50 du même Ouvrage

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {A} \ =&0{,}04877,\qquad \qquad &\mathrm {B} \ =0{,}03532,\\\mathrm {A} '=&-0{,}01715,&\mathrm {B} '=0{,}04321.\end{alignedat}}$

Toutes ces valeurs étant substituées dans l’expression de $[1],$ on aura

$[1]=0{,}000408\mathrm {T} ',$

et il ne s’agira plus que de multiplier cette quantité par ${\frac {360^{\circ }}{n(a-b)}},$ où $a-b=18''{,}4054$ par le même numéro, et de substituer en même temps pour $\mathrm {T} ',$ masse de Jupiter, sa valeur ${\frac {1}{1067{,}195}},$ suivant le n^o 15 de l’Ouvrage cité.

Le calcul fait, on trouve

${\frac {360^{\circ }}{a-b}}[1]=0''{,}02692,$

de sorte qu’en divisant encore par $n=30$ à peu près, on n’aura qu’un millième de seconde pour la plus grande valeur de l’équation séculaire ; quantité absolument imperceptible et inappréciable.

D’où l’on doit conclure que le mouvement moyen de Saturne est inaltérable par l’action de Jupiter ; et qu’ainsi, si ce mouvement est sujet à des variations, on en doit chercher la cause ailleurs, que dans la gravitation mutuelle des Planètes.

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section troisième.

variation séculaire du mouvement moyen de jupiter produite par l’action de saturne.

27. Calculons de la même manière l’altération du mouvement de Jupiter due à Saturne. Suivant les dénominations établies dans la Section précédente, il faudra affecter d’un trait les lettres de l’équation différentielle qui n’en ont aucun, et réciproquement effacer le trait aux autres ; de sorte que pour l’altération $\Sigma '$ du mouvement moyen de Jupiter, on aura cette équation

${\frac {d\Sigma '}{dp'}}=(0)+(1)\left(x'^{2}+y'^{2}\right)+(2)\left(x^{2}+y^{2}\right)+(3)(xx'+yy')$

$+(4)\left[(s-s')^{2}+(u-u')^{2}\right],$

dont les coefficients $(0),(1),\ldots$ seront exprimés de la même manière que dans le n^o 22, mais en y changeant $\mathrm {T} '$ en $\mathrm {T} ,$ $r$ en $r'$ et $r'$ en $r.$ Or, en faisant toujours $z={\frac {r'}{r}}$ et observant que les valeurs des quantités $(r,r'),$$(r,r')_{1}$ ne changent point en y changeant $r$ en $r',$ puisque l’expression dont le développement engendre ces quantités demeure la même par les changements dont il s’agit, on trouvera les expressions suivantes en $z,\mathrm {M,N}$

${\begin{aligned}(0)=&\mathrm {T} {\frac {2z^{3}\mathrm {M} -6z^{2}\mathrm {N} }{\left(1-z^{2}\right)^{2}}},\\(1)=&\mathrm {T} {\frac {-6z^{3}\mathrm {M} +3\left(z^{2}-3z^{4}\right)\mathrm {N} }{4\left(1-z^{2}\right)^{3}}},\\(2)=&-\mathrm {T} {\frac {3z^{3}\mathrm {M} +3z^{2}\mathrm {N} }{2\left(1-z^{2}\right)^{3}}},\\(3)=&\mathrm {T} {\frac {3\left(5z^{2}-z^{4}\right)\mathrm {M} -6\left(5z-6z^{3}-z^{5}\right)\mathrm {N} }{4\left(1-z^{2}\right)^{3}}},\\(4)=&\mathrm {T} {\frac {3z^{3}\mathrm {M} +3z^{4}\mathrm {N} }{2\left(1-z^{2}\right)^{3}}}.\end{aligned}}$

Et ces formules, en y changeant les traits des lettres $\mathrm {T} ,r,\ldots ,$ serviront aussi pour une autre Planète quelconque, en tant qu’elle sera troublée par une Planète supérieure.

28. On fera maintenant, dans l’équation différentielle, les mêmes substitutions que ci-dessus pour $x,y,x',y',\ldots \,;$ et, intégrant ensuite de la même manière, on aura

$\Sigma '=(0)p'+[1]{\frac {360^{\circ }}{n'(a-b)}}\sin \left[(a-b)t+\alpha -\beta \right],$

en supposant

${\begin{aligned}&[0]=(0)+(1)\mathrm {\left(A'^{2}+B'^{2}\right)} +(2)\mathrm {\left(A^{2}+B^{2}\right)} +(3)\mathrm {\left(AA'+BB'\right)} \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +(4)\mathrm {\left[(B)-(B')\right]} ^{2},\\&[1]=2(1)\mathrm {A'B'} +2(2)\mathrm {AB} +(3)\mathrm {\left(AB'+A'B\right)} ,\end{aligned}}$

et prenant $n'$ pour le nombre d’années Juliennes de la révolution de Jupiter.

L’expression de $\Sigma ',$ étant entièrement analogue à celle de $\Sigma$ de la Section précédente, donne lieu à des conséquences semblables ; ainsi le mouvement moyen de Jupiter sera altéré par une équation de la même forme que celle du mouvement de Saturne, mais dont la quantité est différente nous allons en déterminer la valeur numérique.

29. En conservant les données du n^o 26, on trouve

$(1)=-0{,}73508\mathrm {T} ,\quad (2)=-1{,}08980\mathrm {T} ,\quad (3)=1{,}317697\mathrm {T} ,$

et de là

$[1]=-0{,}000687\mathrm {T} .$

Or $\mathrm {T} ,$ masse de Saturne, est égale à ${\frac {1}{3358{,}4}}\,;$ substituant cette valeur et multipliant par ${\frac {360^{\circ }}{a-b}},$ on aura

${\frac {360^{\circ }}{a-b}}[1]=-0''{,}0144.$

Ce nombre divisé par $n',$ dont la valeur est à peu près $12,$ sera donc le coefficient de l’équation séculaire ; d’où l’on voit que ce coefficient ne montera guère qu’à un millième de seconde, à peu près comme celui de l’équation de Saturne, mais avec cette différence que l’un est positif et l’autre négatif.

Donc les équations séculaires des môuveinehts moyens de Saturne et de Jupiter sont également insensibles, et peuvent être réputées absolument nulles.

Ce résultat nous dispensera maintenant d’examiner aussi les équations séculaires du mouvement des autres Planètes, comme nous nous l’étions proposé ; car il est facile de prévoir que les valeurs de ces équations seront encore moindres que celles que nous venons de trouver. Ainsi l’on peut désormais regarder comme une vérité rigoureusement démontrée que l’attraction mutuelle des Planètes principales ne peut produire dans leurs mouvements moyens aucune altération sensible.

1. Voir à la page 176 de ce volume.