SUR LA SOLUTION DES PROBLÈMES INDÉTERMINÉS DU SECOND DEGRÉ[1].
(Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, t. XXIII, 1769.)
Lorsque l’équation finale à laquelle conduit la solution d’une question renferme plus d’une inconnue, le Problème est indéterminé ; et envisagé généralement, il est susceptible d’une infinité de solutions. Mais si la nature de la question exige que les quantités cherchées soient rationnelles, ou même qu’elles soient exprimées par des nombres entiers, alors le nombre des solutions peut être très-limité ; et la difficulté se réduit à trouver, parmi toutes les solutions possibles, celles qui peuvent satisfaire à la condition prescrite. Quand l’équation finale n’est que du premier degré, toutes les solutions sont rationnelles par la nature même de cette équation ; et si l’on veut de plus que les inconnues soient des nombres entiers, on peut les déterminer facilement par la méthode des fractions continues (voyez plus bas le no 8). Il n’en est pas de même des équations qui passent le premier degré, et qui conduisent naturellement à des expressions irrationnelles. On n’a point de méthode directe et générale pour trouver les nombres commensurables qui peuvent satisfaire à ces équations lors même qu’elles ne sont qu’au second degré ; et il faut avouer que cette branche de l’Analyse, quoique peut-être une des plus importantes, est néanmoins une de celles que les Géomètres paraissent avoir le plus négligées, ou du moins dans lesquelles ils ont fait jusqu’à présent le moins de progrès.
Diophante et ses commentateurs ont à la vérité résolu un grand nombre de Problèmes indéterminés du second, du troisième et même du quatrième degré ; mais la plupart de leurs solutions n’étant que particulières, il n’est pas étonnant qu’il se trouve encore des cas d’ailleurs fort simples, et en même temps fort étendus, pour lesquels les méthodes de Diophante soient absolument insuffisantes.
S’il s’agissait, par exemple, de résoudre l’équation en supposant et des nombres entiers non carrés, c’est-à-dire de trouver une valeur rationnelle de telle que devînt un carré, on verrait aisément que tous les artifices connus de l’Analyse de Diophante seraient en défaut pour ce cas ; or, c’est précisément à ce cas que se réduit la solution générale des Problèmes indéterminés du second degré à deux inconnues, comme on le verra ci-après. Personne que je sache ne s’est occupé de ce Problème, si l’on en excepte M. Euler qui en a fait l’objet de deux excellents Mémoires qui se trouvent parmi ceux de l’Académie de Pétersbourg (t. VI des anciens Commentaires et t. IX des nouveaux) ; mais il s’en faut encore beaucoup que la matière soit épuisée. Car : 1o M. Euler n’a considéré, dans l’équation que le cas où est un nombre positif, et où et doivent être des nombres entiers ; 2o dans ce cas même, M. Euler suppose qu’on connaisse déjà une solution de l’équation et il donne le moyen d’en déduire une infinité d’autres. Ce n’est pas que ce grand Géomètre n’ait tâché de donner aussi quelques règles pour connaître a priori si l’équation proposée est résoluble ou non ; mais, outre que ces règles ne sont fondées que sur des principes précaires et tirés seulement de l’induction, elles ne sont d’ailleurs d’aucune utilité pour la recherche de la première solution, qui doit être supposée connue (voyez le premier Mémoire du t. IX des nouveaux Commentaires de Pétersbourg, et surtout la conclusion de ce Mémoire, p. 38) ; 3o les formules que M. Euler donne pour trouver une infinité de solutions, dès qu’on en connaît une seule, ne renferment pas toujours et ne sauraient renfermer toutes les solutions possibles, à moins que ne soit un nombre premier (voyez plus bas le no 45).
Les recherches que j’ai faites depuis quelque temps sur cette matière m’ont conduit à des méthodes directes, générales et nouvelles, pour résoudre les équations de la forme et en général toutes les équations du second degré à deux inconnues, soit que les inconnues puissent être des nombres quelconques entiers ou fractionnaires, soit qu’elles doivent être des nombres entiers. Ce sont ces méthodes qui font l’objet de ce Mémoire ; je les crois d’autant plus dignes de l’attention des Mathématiciens qu’elles laissent encore un vaste champ à leurs recherches.
§ I. — De la manière de ramener toute équation du second degré à deux inconnues à cette forme et des cas dans lesquels les équations de cette forme peuvent se résoudre par les méthodes connues.
1. Soit
l’équation générale proposée dans laquelle et soient des nombres donnés entiers, positifs ou négatifs (il est évident que si les coefficients n’étaient pas des nombres entiers, on pourrait toujours les rendre tels en faisant évanouir tous les dénominateurs par la multiplication), et où et soient les deux inconnues qu’il s’agit de déterminer, en sorte qu’elles soient exprimées par des nombres rationnels. Qu’on tire de cette équation la valeur de l’une des deux inconnues, comme et l’on aura
d’où l’on voit que la question se réduit à déterminer en sorte que la
quantité soit un carré. Soient, pour abréger,
et il faudra que soit un carré ; soit donc
on aura par la résolution de cette équation
de sorte qu’il ne s’agira plus que de rendre carré. Soit encore
et toute la difficulté se réduira à satisfaire à cette équation
étant des nombres entiers donnés, et et devant être des nombres rationnels.
2. Puisque nous avons supposé
on aura
d’où
(les signes ambigus de et de pouvant être pris à volonté), par où l’on déterminera et dès que l’on connaîtra et
On voit aussi par là que, si et doivent être des nombres entiers, il faut que et soient entiers aussi ; mais il faudra de plus que soit divisible par et que soit divisible par Si l’on voulait seulement que et fussent des nombres rationnels, il suffirait que et fussent aussi rationnels.
3. Si l’un des nombres ou était carré, l’équation serait susceptible des méthodes de Diophante.
Car : 1o soit on supposera et l’équation deviendra, en ôtant ce qui se détruit,
d’où l’on tire
de sorte qu’on pourra prendre pour un nombre quelconque. Cependant, si l’on voulait que et fussent des nombres entiers, il ne faudrait prendre pour que des nombres entiers tels, que fût divisible par mais, comme la recherche des nombres qui auraient cette propriété pourrait être longue et pénible, on considérera que l’équation donne
d’où l’on voit d’abord que et doivent être des facteurs du nombre donné de sorte qu’il n’y aura qu’à résoudre ce nombre en deux facteurs de toutes les manières possibles, et prendre ensuite l’un des facteurs pour et l’autre pour on aura par ce moyen deux équations à l’aide desquelles on déterminera et et l’on choisira entre toutes les valeurs de et que chaque couple de facteurs aura fournies, celles qui seront des nombres entiers. De cette manière on sera assuré d’avoir toujours les solutions possibles en entiers de l’équation proposée.
2o Supposons que l’on ait on fera et l’on aura, en substituant et effaçant ce qui se détruit,
ou bien, en divisant par et tirant ensuite la valeur de
où l’on pourra prendre pour tout ce que l’on voudra. Si et devaient être entiers, il faudrait que fût entier et tel que fût divisible par ainsi, on pourrait supposer d’abord ce qui donnerait et mais, pour avoir une solution générale, on considérera l’équation laquelle donne
et nous apprend que et doivent être des facteurs de Soit et étant deux facteurs quelconques de on pourra déterminer et en supposant
d’où l’on tire
ainsi, l’équation ne sera résoluble en nombres entiers, au moins par cette méthode, que lorsque sera divisible par je dis par cette méthode, car il est évident que la supposition de et n’est que particulière, et qu’on pourrait faire aussi, en supposant
ce qui donnerait
équation qui rentre, comme on voit, dans le cas général du no 1.
Ce sont là les seules méthodes qu’on ait eues jusqu’à présent pour résoudre les équations de la forme de méthodes qui ne sont absolument applicables qu’aux cas où et sont des nombres carrés ; dans tous les autres cas, on en était réduit au simple tâtonnement, moyen non-seulement long et pénible, mais presque impraticable, à moins que les quantités cherchées ne soient renfermées dans de certaines limites ; or, c’est ce qui n’a lieu que dans le cas où, étant positif, est négatif ; car, puisque doit être entier et positif, il est clair que devra être moindre que et que par conséquent devra nécessairement être moindre que de sorte qu’il n’y aura dans ce cas qu’à substituer successivement, au lieu de tous les nombres positifs moindres que (il serait inutile de substituer des nombres négatifs, le carré étant le même, soit que soit positif ou négatif), et choisir ceux qui rendront égal à un carré ; il n’en est pas de même lorsque est positif, parce qu’alors peut augmenter à l’infini ; et en général, soit que soit positif ou négatif, le nombre des substitutions à essayer sera toujours nécessairement indéfini, dès qu’on voudra admettre des nombres rompus ; ce qui prouve d’autant plus la nécessité d’avoir pour cet objet des méthodes directes et analytiques telles que celles que nous allons donner.
§ II. — Résolution de l’équation lorsque et peuvent être des nombres quelconques entiers ou fractionnaires.
4. Supposons en général que et soient des fractions quelconques, lesquelles, étant réduites au même dénominateur et aux moindres termes possibles, soient représentées par et en sorte que l’on ait et l’équation
deviendra
de sorte que la question sera réduite à trouver des nombres entiers qui, étant substitués pour et satisfassent à cette équation.
Nous pouvons supposer de plus que l’équation soit telle, que ni ni ne contiennent aucun facteur carré. Car, si l’on avait l’équation deviendrait
ou bien, en faisant
laquelle est de la même forme que la précédente.
En général, au lieu de faire simplement et on fera dans ce cas et et les facteurs carrés et disparaîtront par la division. Ainsi, il suffira de résoudre l’équation
dans l’hypothèse que ni ni ne contiennent aucun facteur carré.
Nous supposerons encore que ne soit pas égal à ni que l’on ait à la fois et car, outre que ces cas n’ont point de difficulté, nous nous réservons d’en donner la solution plus bas (19).
Enfin, nous supposerons que soit toujours plus grand que En effet, il est clair :
1o Que, si était moindre que il n’y aurait qu’à transposer les termes et et échanger en et en
2o Si était égal à alors, comme est supposé ne contenir aucun facteur carré, il faudrait nécessairement que fût divisible par de sorte qu’en faisant on aurait, après avoir divisé par
laquelle rentre dans l’équation générale en faisant or, si le signe inférieur a lieu, on aura déjà le cas du no 19 ; et si c’est le signe supérieur qui ait lieu, alors on aura aussi le cas du no 19 si de sorte que nous supposerons ici et par conséquent
De cette manière, la résolution de l’équation proposée se réduira toujours à celle d’une équation de la forme
où devront être des nombres entiers, et où et seront des nombres entiers donnés non carrés, ni contenant des facteurs carrés, et dont l’un sera plus grand que l’autre
5. Je dis maintenant que les nombres et doivent être premiers entre eux : car, s’ils avaient un commun diviseur il faudrait que fût aussi divisible par mais, comme les fractions et sont supposées réduites à leurs moindres termes, il est clair que et n’auront aucun diviseur commun, et qu’ainsi ne sera point divisible par d’ailleurs, il est clair que si et avaient un diviseur commun, on en pourrait toujours faire abstraction, parce que ce diviseur s’en irait de lui-même par la division ; donc, il faudra que soit divisible par ce qui ne se peut à cause que est supposé ne contenir aucun facteur carré.
6. Cela posé, je remarque d’abord que, pour que l’équation
puisse subsister, il faut que soit un diviseur d’un nombre de cette forme étant un nombre entier, c’est-à-dire que soit le résidu de la division d’un carré quelconque par Car, si l’on multiplie l’équation dont il s’agit par
on aura
or,
se réduit à cette forme
comme il est facile de s’en assurer par le développement de ces deux expressions ; donc, si l’on prend pour et des nombres entiers tels, que soit ou ce qui est toujours possible à cause que et sont premiers entre eux (numéro précédent), et qu’on fasse
on aura
par conséquent, sera un diviseur de
7. Pour trouver les nombres et qui peuvent satisfaire à la condition on réduira la fraction en une fraction continue, d’où l’on déduira, comme on sait, une suite de fractions convergentes vers et alternativement plus grandes ou plus petites que cette même fraction (voyez plus bas le no 29), et l’on prendra pour le numérateur de la fraction qui précédera immédiatement la fraction et pour le dénominateur de la même fraction ; si la fraction est plus petite que la fraction on aura
et si on aura
8. Cette méthode est utile pour résoudre en général toutes les équations du premier degré à deux inconnues, lorsque ces inconnues doivent être des nombres entiers. Car, soit l’équation
dans laquelle et soient des nombres entiers premiers entre eux ; je dis premiers entre eux, car il est évident que si et avaient un diviseur commun il faudrait que fût aussi divisible par pour que les nombres et pussent être des nombres entiers ; donc, divisant toute l’équation par on aurait une nouvelle équation de la forme
dans laquelle et seraient nécessairement premiers entre eux.
Qu’on cherche, comme ci-dessus, la fraction telle que
et l’on aura, en multipliant par
donc, retranchant cette équation de la proposée ou l’y ajoutant, on aura celle-ci
d’où l’on tire
Or, et étant premiers entre eux, la fraction sera déjà réduite à ses moindres termes, de sorte que comme et doivent être des nombres entiers, il faudra qu’on ait
étant un nombre quelconque entier ; d’où l’on tirera
Ce sont les expressions générales de tous les nombres entiers et qui
peuvent satisfaire à l’équation
Ainsi, pour satisfaire en général à l’équation
qui est celle du numéro précédent, on prendra et l’on aura
les signes ambigus étant à volonté aussi bien que le nombre
9. La réduction que nous avons faite (6) de la quantité
à
doit être bien remarquée, parce que nous en ferons un fréquent usage dans la suite de ce Mémoire ; il résulte de là que le produit de deux nombres quelconques de la forme est encore de la même forme, et que par conséquent le produit d’autant de nombres qu’on voudra de la forme sera aussi de la même forme. En effet, on a
où l’on observera, à l’égard des signes ambigus, de les prendre les mêmes dans les deux quantités et et
On aura de même
en faisant
et en général, si l’on fait
on aura
ou bien
10. Nous avons démontré plus haut (6) que l’équation
ne peut avoir lieu à moins que ne soit un diviseur d’un nombre de cette forme or, je dis que l’on peut toujours supposer que le nombre soit moindre que la moitié du nombre En effet, soit un nombre tel que soit divisible par il est clair qu’en faisant étant un nombre quelconque entier, sera aussi divisible par d’autre part il est facile de voir qu’on peut toujours déterminer le nombre et le signe ambigu de en sorte que soit donc, s’il existe un nombre quelconque tel que soit divisible par il doit exister aussi un nombre qui ait la même propriété.
On doit conclure de là que, pour que l’équation
soit résoluble, il faut nécessairement que soit un diviseur d’un nombre tel que étant un nombre moindre que
On essayera donc successivement pour tous les nombres naturels depuis jusqu’à et si l’on n’en trouve aucun qui satisfasse à la condition dont il s’agit, ce sera une marque sûre que l’équation proposée n’admet aucune solution rationnelle.
Nous donnerons plus bas (voyez le § IV) des moyens directs pour pouvoir reconnaître si un nombre donné peut être un diviseur d’un nombre de la forme étant aussi donné ; il nous suffit ici qu’on puisse toujours s’en assurer par un tâtonnement fort simple.
Au reste, il faut remarquer, pour éviter toute équivoque, que quand nous disons que doit être nous entendons que et soient pris positivement, quoiqu’ils puissent être d’ailleurs positifs ou négatifs ; de sorte qu’on ne doit avoir égard, dans cette comparaison des nombres et qu’à leur valeur absolue.
11. Reprenons maintenant l’équation
(A)
et supposons qu’on ait trouvé un nombre entier (abstraction faite des signes de et ), tel que soit divisible par dénotons par le quotient de la division de par on aura l’équation
Qu’on fasse étant un nombre quelconque entier, et qu’on prenne le nombre et le signe de en sorte que l’on ait (abstraction faite des signes de et ), ce qui est évidemment toujours possible, comme nous l’avons déjà observé plus haut ; il est clair que, puisque est déjà divisible par le sera aussi, de sorte qu’en dénotant le quotient de cette division par on aura cette équation analogue à la précédente
Faisant de même et prenant et le signe de en sorte que l’on ait (les nombres et étant considérés comme positifs), on aura divisible par de sorte qu’en dénotant le quotient de cette division par on aura cette troisième équation
et ainsi de suite.
12. De cette manière on pourra trouver une suite d’équations telles que
dans lesquelles on ait (en considérant les nombres comme positifs)
Or, je dis que les nombres formeront nécessairement une suite décroissante, jusqu’à ce que l’on arrive à un terme comme l’indice dénotant le quantième du terme lequel soit ou abstraction faite des signes de et de Pour prouver cette proposition, il est à propos de distinguer les deux cas de positif et de négatif.
13. Supposons d’abord que soit un nombre positif ; dans ce cas il est clair que pourra être positif ou négatif.
1o Soit positif et soit il est clair que sera aussi positif ; or, puisque on aura aussi et à plus forte raison
donc et par conséquent ( et étant positifs)
De même, puisque est positif, si on aura aussi positif, et l’on prouvera pareillement que et ainsi de suite, jusqu’à ce que l’on arrive à une équation telle que
dans laquelle ne soit pas or, puisque il est clair que les nombres iront nécessairement en diminuant, ainsi que les nombres de sorte qu’on parviendra nécessairement à l’équation
où ou mais, à cause que est supposé non carré, et différent de l’unité (4), on ne saurait avoir de sorte qu’il faudra que l’on ait Ainsi sera nécessairement un nombre moindre que ou tout au plus égal à si donc, puisque doit être un diviseur de il est clair que sera aussi nécessairement moindre que ou tout au plus égal à
2o Soit négatif et égal à étant un nombre positif, et soit aussi il est clair que devra être négatif ; or, en prenant positif, on aura (par hypothèse), donc et faisant ( étant positif), on aura aussi et par conséquent
De même, en supposant on aura négatif, et faisant ( étant positif), on aura et et ainsi de suite. Ainsi l’on prouvera, comme ci-dessus, que les nombres iront en diminuant ainsi que les nombres jusqu’à ce que l’on arrive à un nombre comme qui soit moindre que ou tout au plus égal à
14. Soit, en second lieu, égal à un nombre négatif comme étant positif, il est clair d’abord que dans ce cas tous les nombres seront positifs, parce que l’on aura par les équations (A) et (a)
or, si l’équation donnera à cause de et de donc
De même, si l’équation donnera, à cause de et par conséquent
et ainsi de suite ; d’où l’on voit que les nombres décroîtront continuellement jusqu’à ce que l’on arrive à un terme égal à ou moindre que b.
Si il est clair qu’on parviendra nécessairement à un terme car, puisque les nombres ne peuvent jamais devenir nuls, à cause des équations ne pourra pas être par conséquent il sera nécessairement égal à
15. Au reste, quoiqu’on puisse toujours pousser la suite jusqu’à un terme égal ou moindre que cependant, si l’on en trouve un qui, étant encore plus grand que soit en même temps carré ou multiple d’un carré, mais tel, qu’étant divisé par le plus grand carré qui le mesure il laisse un quotient égal ou moindre que alors on pourra s’arrêter à ce terme.
En général, nous supposerons que la suite soit poussée jusqu’à un terme de cette forme étant un nombre quelconque, et un nombre qui ne soit ni carré ni multiple d’un carré et qui soit en même temps égal ou moindre que abstraction faite des signes de et de
Ainsi, si il faudra nécessairement que l’on ait
16. Cela posé, si l’on multiplie ensemble toutes les équations (a) du no 12, jusqu’à l’équation
on aura (9) une équation dont le premier membre sera et dont le second membre sera de cette forme de sorte qu’à cause de on aura l’équation
laquelle étant encore multipliée par l’équation (A) deviendra de cette forme
ou bien, en faisant de la forme
c’est-à-dire
(B)
D’où l’on voit que si l’équation (A) est résoluble, il faut aussi que celle-ci le soit.
Réciproquement, si l’équation (B) est résoluble, on pourra résoudre aussi l’équation (A). En effet, en mettant l’équation (B) sous cette forme
et la multipliant successivement par chacune des équations (a), à commencer par l’équation
qui est la dernière, on aura, à cause de une équation de cette forme
c’est-à-dire, en faisant de la forme
qui est l’équation (A) même.
Donc la résolution de l’équation (A) se réduira à celle de l’équation (B), dans laquelle est et ou de sorte que cette dernière est plus simple que la première.
Or, si l’équation (B) sera déjà dans le cas que nous résoudrons plus bas (19) ; ainsi nous supposerons que si est positif, il soit encore plus grand que l’unité.
Nous appellerons dans la suite les équations (A), (B) et les autres équations analogues à celles-ci équations principales, et les équations (a), ainsi que les autres équations semblables qu’on pourra trouver, équations secondaires ; ainsi nous nommerons l’équation (A) la première des équations principales, l’équation (B) la deuxième des équations principales, et ainsi des autres ; nous nommerons de même les équations (a) la première suite d’équations secondaires, et ainsi du reste.
17. Or, l’équation
étant semblable à l’équation
on pourra la traiter de la même manière ; en effet, si il faudra que soit aussi divisible par de sorte qu’en faisant on aura l’équation
c’est-à-dire
Ainsi cette équation sera déjà dans le cas du no 19 si le signe inférieur a lieu ; et quand le signe supérieur aura lieu, alors, à cause de par hypothèse, elle rentrera dans la forme générale
étant Donc, puisque est ou égal à ou moindre que on aura toujours à résoudre une équation de cette forme
dans laquelle ni ni ne contiendront aucun facteur carré, et où sera On commencera donc par chercher de nouveau un nombre
(en regardant et comme positifs) et tel, que soit divisible par et si l’on n’en trouve aucun qui satisfasse à cette condition, ce sera une marque certaine que l’équation
ne sera point résoluble rationnellement, et par conséquent que la proposée ne le sera pas non plus ; je supposerai donc qu’on ait trouvé un tel nombre en sorte qu’en nommant le quotient de la division de par on ait on pourra former cette seconde suite d’équations secondaires
dans lesquelles les nombres formeront une suite décroissante qu’on continuera jusqu’à ce que l’on parvienne à un terme de cette forme étant égal à ou moindre que (abstraction faite des signes de et ), ce qui arrivera nécessairement, comme nous l’avons prouvé plus haut ; et par le moyen de ces équations on parviendra, en opérant comme dans le no 16, à une nouvelle équation de la forme
(C)
dont la résolution dépendra de celle de l’équation
et vice versâ ; de sorte que, cette équation étant résolue, on pourra, en remontant, résoudre la proposée.
18. En suivant toujours le même procédé, on trouvera cette suite d’équations principales
dans lesquelles les nombres formeront une série décroissante jusqu’à ce qu’on parvienne à un terme égal à l’unité prise positivement ou négativement ; car, comme ces nombres ne sont ni carrés ni multiples de carrés par l’hypothèse, il est impossible qu’on parvienne à un terme égal à zéro avant d’être parvenu à un terme égal à l’unité ; en effet, si on aura donc donc, puisque les termes deviennent toujours plus petits, il est évident qu’on arrivera nécessairement à un terme égal à ou à
Soit, par exemple, alors la dernière équation sera
c’est-à-dire de la forme
Mais, si alors on pourra continuer encore les mêmes opérations, et l’on parviendra nécessairement à une nouvelle équation principale telle que
dans laquelle, à cause de on aura nécessairement (15) ; de sorte que la dernière des équations principales sera, dans ce cas, de la forme
laquelle rentre dans la formule précédente en faisant
Or, nous avons démontré que si l’équation
est résoluble, les équations suivantes
doivent l’être aussi, et réciproquement que si l’une de celles-ci peut se résoudre, toutes les précédentes pourront se résoudre aussi (16) ; donc, la résolution de l’équation
se réduira toujours par ce moyen à celle d’une équation de la forme
étant un nombre donné.
19. Or, l’équation
est facile à résoudre par la méthode même du no 3 ; mais, pour avoir pour et des expressions sans fractions, on fera et l’on aura donc de sorte qu’il faudra que soit divisible par Soit la plus grande mesure commune de et en sorte que et et étant premiers entre eux, et l’on aura donc et par conséquent et étant deux facteurs quelconques de or, soit la plus grande commune mesure de et et comme doit être égal à un carré, il est clair que et ne pourront être que de cette forme et et étant des nombres quelconques entiers ; ainsi l’on aura
donc
mais, comme il est inutile d’avoir dans les expressions de et un multiplicateur commun, parce qu’il est visible que, dans l’équation
on peut toujours multiplier à volonté et par un nombre quelconque, on fera pour plus de simplicité ou bien pour faire disparaître le dénominateur de et de et l’on aura en général
et étant des nombres quelconques entiers, et et deux facteurs
quelconques de en sorte que Ainsi, si a plusieurs facteurs parmi lesquels il faudra toujours compter l’unité, on aura autant de différentes expressions de et qu’il y aura de manières de partager le nombre en deux facteurs.
exemples.
20. Appliquons maintenant notre méthode à quelques Exemples.
Exemple I. — Soit proposé de résoudre l’équation
En mettant au lieu de et au lieu de elle deviendra
(A)
de sorte qu’on aura et car, comme ces deux nombres ne renferment aucun facteur carré, il n’y aura aucune réduction à y faire.
Il faudra donc chercher un nombre entier moindre que et tel, que soit divisible par mais pour cela, au lieu d’essayer successivement pour tous les nombres naturels moindres que il sera beaucoup plus commode de chercher un multiple de qui soit de la forme c’est-à-dire qui, étant augmenté de devienne un carré.
En général, on remarquera que dans l’équation
à laquelle il s’agit de satisfaire, doit être lorsque est positif, et lorsque est négatif (13 et 14), de sorte qu’il n’y aura qu’à essayer successivement pour tous les nombres naturels moindres que pris positivement ou négativement suivant que sera positif ou négatif (numéros cités), et s’il ne s’en trouve aucun dont le produit par étant augmenté de devienne un carré, ce sera une marque certaine que le Problème n’admet point de solution rationnelle.
On en usera de même à l’égard des autres équations de condition
dans lesquelles il faudra aussi que
Dans l’exemple proposé on trouve d’abord de sorte qu’on aura et comme est déjà la première suite d’équations secondaires se réduira à cette seule équation (12)
Ainsi l’on fera.(15) de sorte que la seconde équation principale sera
(B)
Il faudra donc satisfaire à l’équation
étant et l’on trouvera de sorte que, comme est déjà la seconde suite d’équations secondaires, que nous avons désignée par (b) au no 17, se réduira à cette équation unique
On fera donc et la troisième équation principale sera
(C)
laquelle est déjà, comme on voit, dans le cas du no 19.
Comparant donc cette dernière équation à l’équation
on aura donc et par conséquent
ainsi, il n’y aura plus qu’à remonter de l’équation (C) à l’équation (B), et de celle-ci à l’équation proposée (A) par la méthode du no 16.
Pour cela, on changera d’abord l’équation (C) en celle-ci
et on la multipliera par l’équation (b) [s’il y avait plus d’une de ces équations secondaires (b), il faudrait multiplier l’équation dont il s’agit successivement par chacune de ces équations] ; on aura, par les formules du no 9, l’équation
laquelle, étant comparée à l’équation (B), donnera
les signes ambigus étant à volonté.
On changera de même l’équation (B) en
et on la multipliera ensuite par l’équation (a), ce qui donnera
et, comparant cette équation avec l’équation (A), on aura enfin
de sorte qu’il n’y aura plus qu’a substituer successivement les valeurs de et ensuite celles de
Les valeurs de et étant ainsi trouvées, on aura et et l’équation proposée
sera résolue.
Exemple II. — Qu’on propose maintenant l’équation suivante
Puisque le nombre est divisible par le carré 9, je supposerai (4)
et ce qui donnera l’équation
(A)
Or, en suivant le même procédé que dans l’Exemple précédent, et marquant les équations analogues par les mêmes lettres, on trouvera les équations suivantes
dont la dernière est, comme on le voit, dans le cas du no 19. On aura donc et donc et par conséquent,
Ensuite on mettra la même équation (C) sous la forme des équations en transposant les termes et en sorte que l’on ait et l’on multipliera successivement cette équation par les deux équations Pour cela, on fera d’abord le produit de ces deux-ci, qui sera exprimé par ou bien simplement c’est-à-dire, en divisant par donc, multipliant l’équation précédente par celle-ci, et comparant le produit à l’équation (B), on aura
On transposera de même le premier et le dernier terme de l’équation (B) pour la réduire à la forme de l’équation et on la multipliera ensuite par cette dernière équation, ce qui donnera une équation semblable à l’équation (A), de sorte qu’on aura enfin
Ainsi l’équation proposée sera résolue.
Exemple III. — Si l’équation proposée était
dans laquelle et ne renferment aucun facteur carré, on ferait pour avoir
et il faudrait d’abord satisfaire à l’équation
mais, en essayant pour tous les nombres naturels jusqu’à c’est-à-dire jusqu’à on n’en trouve aucun qui, étant multiplié par et augmenté de devienne un carré ; d’où il s’ensuit que l’équation proposée n’admet aucune solution rationnelle.
Exemple IV. — Soit encore proposée l’équation
comme est un nombre premier, on fera d’abord pour avoir l’équation
(A)
Ayant donc ici il faudra d’abord trouver un nombre et tel que soit divisible par ou bien un nombre et tel que soit égal à un carré, comme nous l’avons dit dans l’Exemple I.
Après quelques essais, je trouve et et à l’aide de ces valeurs je forme cette première suite d’équations secondaires (12)
Donc, puisque est on fera (15), et j’aurai cette seconde
équation principale
(B)
laquelle est déjà, comme on voit, dans le cas du no 19.
J’aurai donc et donc, puisque on aura ou ou ou enfin de sorte qu’on aura
Ayant ainsi et on mettra l’équation (B) sous cette forme
et on la multipliera successivement par chacune des équations Pour faire cette multiplication plus aisément, on multipliera d’abord la deuxième et la troisième de ces équations ensemble, et faisant, pour abréger, on aura
ensuite on multipliera cette équation par la première des équations et faisant encore on aura
équation qui, étant multipliée maintenant par l’équation
donnera celle-ci
laquelle, étant comparée à l’équation (A), donnera enfin
Exemple V. — Si l’on avait l’équation
on ferait toujours et ce qui donnerait celle-ci
(A)
et en opérant comme ci-dessus, on trouverait d’abord les équations
mais, comme il faudrait ensuite satisfaire à l’équation
en prenant pour un nombre c’est-à-dire en faisant ou et que ni l’une ni l’autre de ces deux valeurs étant multipliée par et augmentée de ne donne un carré, on en conclura que l’équation proposée n’est susceptible d’aucune solution rationnelle ; ainsi, quoique le nombre puisse être un diviseur d’une infinité de nombres de la forme cependant il est impossible que le quotient de cette division soit jamais un carré.
21. Ces Exemples peuvent suffire pour faire connaître l’esprit et l’usage de notre méthode. Nous allons voir maintenant comment il faudra s’y prendre lorsqu’il s’agira d’avoir des solutions en nombres entiers ; car quoique les solutions que fournit la méthode précédente soient générales et renferment par conséquent tous les nombres soit entiers, soit fractionnaires, qui peuvent satisfaire à l’équation cependant, comme les valeurs générales de et de se présentent toujours sous une forme fractionnaire, il serait souvent difficile et presque impossible de les réduire à des nombres entiers. De sorte que, pour ne rien laisser à désirer sur cette matière, il est nécessaire de donner aussi une méthode particulière pour résoudre l’équation lorsque et doivent être des nombres entiers.
§ III. — Résolution de l’équation lorsque et doivent être des nombres entiers.
22. Je remarque d’abord que si le nombre n’a aucun facteur carré, les nombres et doivent être nécessairement premiers entre eux ; car, si ces nombres avaient un commun diviseur il est clair que puisque et seraient divisibles par il faudrait aussi que le fût. On voit par là que les nombres et ne sauraient avoir d’autres diviseurs communs que ceux dont les carrés sont aussi des diviseurs de
Ainsi, si ne contient qu’un seul facteur carré, comme si étant un nombre premier et un nombre qui ne contient aucun facteur carré, les nombres et pourront être premiers entre eux ou bien pourront avoir le nombre pour commun diviseur ; et dans ce dernier cas, faisant l’équation deviendra
et étant premiers entre eux. Si et étant des nombres premiers, alors et pourront être premiers entre eux ou bien pourront être divisibles tous les deux par ou par ou par de sorte qu’en faisant successivement et on aura
et étant toujours premiers entre eux. En général, si le nombre donné
est divisible par un ou plusieurs nombres carrés, et qu’on désigne chacun de ces nombres par on fera et l’équation
se réduira à des équations de la forme
où et seront nécessairement premiers entre eux ; ainsi, donnant successivement à toutes les valeurs possibles dont la première sera toujours l’unité, on aura toutes les transformées de l’équation proposée, et par ce moyen on n’aura plus à résoudre que des équations de la forme
et étant premiers entre eux.
23. Soit donc proposée l’équation
dans laquelle et doivent être des nombres entiers et premiers entre eux. Si est un nombre positif, nous supposerons :
1o Que ne soit pas carré, le cas de pouvant toujours se résoudre par la méthode du no 3 ;
2o Nous supposerons d’abord que pris positivement soit et nous donnerons ensuite la méthode pour résoudre l’équation proposée lorsque (nos 29 et suiv.).
Si est un nombre négatif alors nous supposerons toujours que soit autrement, l’équation
ne saurait subsister qu’en faisant ou de sorte que ce cas n’aurait aucune difficulté (voyez plus bas le no 27).
Enfin, nous supposerons que et n’aient aucun diviseur commun carré ; car si et étaient divisibles à la fois par il est clair que devrait être aussi divisible par de sorte que le facteur commun s’évanouirait de lui-même par la division.
Cela posé, si l’on multiplie l’équation
par et qu’on prenne pour et des nombres entiers tels, que l’on ait
on aura, comme dans le no 6,
ou bien, en faisant
on aura l’équation
Or, soit la fraction que nous avons désignée (7) par et l’on aura (8), dans l’équation
pour les valeurs générales de et
étant un nombre quelconque entier.
Donc, substituant ces valeurs dans l’expression de on aura
ou bien, en faisant
De sorte qu’on pourra toujours prendre (10), ce qui rendra
si est positif, et si est négatif (13 et 14), et par conséquent toujours en regardant et comme positifs.
De là il s’ensuit que, pour que l’équation proposée puisse avoir lieu, c’est-à-dire que le nombre soit de la forme il faut que ce nombre soit un diviseur d’un nombre tel que étant (abstraction faite des signes de et de ), et que, de plus, le quotient de la division de par soit aussi de la forme
Donc si, parmi les nombres naturels moindres que on n’en trouve aucun dont le carré diminué de soit divisible par on en conclura que l’équation est impossible.
Si l’on en trouve un, on prendra ce nombre pour et l’on aura à résoudre une nouvelle équation de cette forme
dans laquelle sera
Si cette dernière équation est résoluble, alors, connaissant les valeurs de et on trouvera celles de et par les deux équations
lesquelles donnent, à cause de
Et si ces expressions donnent des nombres entiers, on aura la résolution de l’équation proposée ; sinon elle ne sera pas résoluble.
Si l’on trouvait plusieurs nombres qu’on pût prendre pour alors chacun d’eux donnerait une équation de la forme
et chacune de ces équations pourrait donner ensuite une ou plusieurs solutions de la proposée ; d’où l’on voit que, pour avoir toutes les solu-
tions possibles, il est nécessaire de connaître tous les nombres qui, étant sont tels que soit divisible par et d’examiner en particulier chacune des équations qui en résulteront.
Au reste, lorsqu’on aura trouvé un seul nombre qui ait les conditions requises, on pourra par son moyen trouver tous les autres.
24. Supposons en effet qu’on ait trouvé un nombre et tel que soit divisible par et soit une autre valeur de en sorte que l’on ait et divisible par ( et étant supposés positifs) ; il est clair que, puisque et sont divisibles en même temps par il faudra que le soit aussi, c’est-à-dire que soit divisible par
Donc :
1o Si est un nombre premier, il faudra que l’un ou l’autre des facteurs soit divisible par ce qui ne se peut tant que et donc, dans ce cas, il ne pourra absolument y avoir qu’un seul nombre qui ait les conditions requises ;
2o Si est composé, en sorte que l’on ait et étant deux facteurs quelconques de alors il suffit que l’un des facteurs soit divisible par et l’autre par
Je remarque d’abord qu’on ne peut prendre pour et que des nombres premiers entre eux, ou au moins dont le plus grand commun diviseur soit
Car, si et avaient un commun diviseur autre que il faudrait que et fussent aussi divisibles par donc, étant divisible par et par il est clair que devrait être aussi divisible par de sorte que et seraient divisibles à la fois par ce qui est contre l’hypothèse (23).
Supposons donc en premier lieu que et soient premiers entre eux, on fera et l’on aura Soit la fraction la plus proche de (8), et les nombres et seront exprimés en général de cette manière
étant un nombre quelconque entier, et le signe supérieur ou l’inférieur ayant lieu suivant que ou Donc, puisque et on aura
Ainsi, faisant pour plus de simplicité
le signe supérieur étant pour le cas où et l’inférieur pour celui où on aura
Si, au lieu de supposer on suppose on trouvera de la même manière
De sorte que la considération des deux facteurs premiers et donnera en général
et il n’y aura plus qu’à déterminer et le signe de en sorte que soit ce qui peut toujours se faire, mais d’une seule manière, comme nous l’avons déjà remarqué plus haut.
On voit par là que chaque couple de facteurs de premiers entre eux donnera un nouveau nombre et n’en donnera absolument qu’un seul ; de sorte que si est un nombre premier ou une puissance d’un nombre premier, il ne pourra y avoir qu’une seule valeur de si a deux facteurs premiers ou qui soient des puissances quelconques de deux nombres premiers, il pourra y avoir seulement deux valeurs de si contient trois facteurs premiers ou qui soient des puissances quelconques de trois nombres premiers, il ne pourra y avoir que quatre valeurs de et ainsi de suite ; d’où il s’ensuit en général que, si le nombre des facteurs premiers de est soit que ces facteurs soient des nombres premiers ou des puissances quelconques de nombres premiers, le nombre des valeurs de sera ou nul, ou égal à
Supposons en second lieu que et aient pour plus grand commun diviseur le nombre et faisons et étant premiers entre eux, en sorte que l’on ait
Dans ce cas, on pourra faire et sans que et soient divisibles par puisqu’il n’y a qu’à supposer et impairs ; on aura donc d’où, en supposant que soit la fraction la plus proche de et faisant, pour abréger,
le signe supérieur étant pour le cas où et le signe inférieur pour le cas où on trouvera
Ici il est visible qu’on peut déterminer le nombre et le signe de de deux manières différentes, en sorte que l’on ait ce qui donnera par conséquent deux valeurs de mais il peut arriver que ces valeurs se trouvent déjà comprises dans celles qui résultent de la considération des facteurs premiers de on pourrait même déterminer en général le cas où les valeurs de résultantes de cette dernière formule seront toutes, ou en partie seulement, identiques avec celles qu’on pourra déduire de la formule précédente ; mais ce détail nous mènerait trop loin, et d’ailleurs il serait plus curieux qu’utile.
Nous nous contenterons de remarquer que, lorsque le nombre est divisible par alors, si est une des valeurs de en sera toujours une aussi ; car, soient et divisible par prenant au lieu de le nombre on aura
qui est évidemment divisible par
25. Considérons maintenant l’équation du no 23,
et comme les nombres et de cette équation sont déterminés (23) par la condition que
il est facile devoir que ces nombres seront nécessairement premiers entre eux ; de sorte que l’équation dont il s’agit sera parfaitement analogue à l’équation précédente
et par conséquent sera susceptible d’opérations semblables. Donc :
1o Si est positif et que considéré comme positif, soit cette équation sera déjà dans le cas que nous traiterons plus bas (29) ;
2o Si est négatif et égal à et que ou on aura le cas du no 27.
Ainsi, nous supposerons encore ici que regardé comme positif, soit dans le cas de positif, et dans le cas de et l’on pourra traiter l’équation
comme on a fait ci-dessus l’équation
On multipliera donc cette équation par et l’on déterminera et en sorte que l’on ait
ce qui, en faisant, pour abréger,
donnera l’équation
Or, puisqu’on a déjà (23)
on aura, en ajoutant cette équation à celle-ci
ou, en l’en retranchant,
d’où
et par conséquent
étant un nombre entier quelconque.
Si l’on substitue ces valeurs de et dans l’expression de on aura
ou bien
Ainsi l’on pourra déterminer en sorte que ce qui rendra (13 et 14), en regardant et comme positifs pour éviter toute équivoque ; et il est facile de voir qu’on ne saurait satisfaire à cette condition que d’une seule manière, de sorte que la valeur de et le signe de se trouveront par là entièrement déterminés ; et comme les signes ambigus de et dans les expressions de et doivent être les mêmes que celui de dans l’expression de il ne restera plus rien d’arbitraire dans ces expressions.
Par ce moyen la résolution de l’équation
sera réduite à celle de l’équation
dans laquelle (abstraction faite des signes de et de )
En effet, dès qu’on aura trouvé les valeurs de et de il n’y aura qu’à chercher celles de et à l’aide des équations
lesquelles donnent
si ces expressions donnent (en prenant à volonté les signes supérieurs ou inférieurs) des nombres entiers, alors on aura par les expressions de et trouvées ci-dessus
et le Problème sera résolu.
Mais, si les expressions de et ne donnent que des nombres rompus, ce sera une marque que l’équation proposée n’est point résoluble en entiers.
Maintenant, puisque l’on a il est visible que et seront premiers entre eux ; d’où il s’ensuit que l’équation
sera parfaitement semblable à l’équation
et que par conséquent on y pourra appliquer les mêmes raisonnements et les mêmes opérations que nous venons de faire sur celle-ci, et ainsi de suite.
26. Donc, si l’on fait comme dans le no 12
c’est-à-dire en regardant comme tous positifs, on aura cette suite d’équations
dans lesquelles
où il faudra toujours se souvenir que les signes ambigus de et doivent être les mêmes, ainsi que ceux de
De plus on aura aussi, en général, les équations
les signes ambigus étant à volonté, pourvu qu’on les prenne de même dans les deux équations.
Donc, si l’on peut résoudre une quelconque des équations comme
c’est-à-dire trouver les valeurs de et on pourra trouver aussi par les équations les valeurs des quantités précédentes et et, ces quatre valeurs étant connues, on pourra par le moyen des formules remonter aux valeurs de et qui résolvent l’équation
et qui seront nécessairement des nombres entiers si et le sont.
Réciproquement, si l’équation
n’admet point de solution en nombres entiers, ou que les expressions de ne donnent point de nombres entiers, on en devra conclure que l’équation
n’est point résoluble en nombres entiers.
Au reste, il faut remarquer que, comme on peut prendre également positif ou négatif, chaque valeur de donnera deux suites différentes de formules telles que et qu’il faudra considérer chacune en particulier pour avoir toutes les solutions possibles de l’équation
mais, sans être obligé de foire un nouveau calcul, il suffira d’observer qu’en prenant négatif, les formules resteront les mêmes en changeant simplement les signes de et de d’où il s’ensuit qu’il n’y aura d’autre changement à faire aux formules que de prendre avec des signes contraires.
Analyse du cas où est négatif.
27. Considérons d’abord le cas de négatif, parce qu’il est plus facile à résoudre que celui de positif, et l’on prouvera, comme on a fait (14), que la série des quantités pourra être continuée jusqu’à ce que l’on arrive à un terme comme lequel soit égal ou moindre que considéré comme positif, c’est-à-dire qu’en supposant on aura ou
1o Soit et l’équation
ne pourra subsister, à moins que ne soit divisible par donc, si on aura nécessairement et l’équation
deviendra, en divisant par
laquelle donne ou et par conséquent et ou et c’est-à-dire et donc de sorte que ce second cas ne peut avoir lieu à moins que ne soit carré ; or, si l’on cherche dans ce même cas les valeurs de et par les formules du numéro précédent, on trouvera d’où l’on voit que ne saurait être un nombre entier, à moins que ne soit égal à et qu’ainsi le Problème ne peut être résolu dans le cas dont il s’agit que lorsque ce qui donne et Or, lorsque il est clair que dans l’équation
les quantités et peuvent s’échanger entre elles, et que la même chose a lieu aussi à l’égard des autres équations analogues ; de sorte que la supposition de et rentre dans celle de et que nous allons examiner.
On aura donc en général, lorsque et d’où l’on trouvera (numéro précédent)
de sorte qu’il faudra dans ce cas, pour que le Problème soit résoluble,
que soit divisible par si cette condition a lieu, alors on aura
et l’on pourra en remontant trouver les valeurs de et sur quoi il est bon de remarquer que, quoique l’on ait trouvé il serait cependant inutile de faire parce qu’il est facile de voir qu’à cause de les valeurs de ne différeraient que par les signes de celles qu’on a en faisant
2o Soit dans ce cas il est visible que l’équation
ne saurait avoir lieu, à moins que l’on n’ait et ce qui donnera
d’où l’on voit qu’à moins que l’on n’aita et par conséquent aussi les valeurs de et de ne pourront être des nombres entiers.
Donc, si l’on pousse la série des nombres jusqu’à ce que l’on parvienne à un terme moindre que et que ce terme soit différent de l’unité, on en devra conclure que l’équation proposée
n’est point résoluble en nombres entiers.
Si au contraire on a alors on aura, en ne donnant à que le signe par une raison semblable à celle que nous avons dite ci-dessus à l’égard de
et l’on pourra en remontant trouver les valeurs cherchées de et
De là on voit que chaque valeur de (23) ne pourra donner qu’une seule solution de l’équation
lorsque est négatif, de sorte que, comme le nombre des valeurs que peut avoir la quantité est nécessairement limité, celui des solutions de l’équation
le sera aussi.
Ainsi, si est un nombre premier ou une puissance quelconque d’un nombre premier autre que l’équation
ne pourra avoir qu’une seule solution en nombres entiers (voyez plus haut le no 24).
Quant aux valeurs négatives de il est facile de voir, par les formules qu’en changeant les signes de et de les valeurs de et demeureront les mêmes ou changeront simplement de signe, à cause que l’on a
ou
Ainsi la considération de négatif sera tout à fait inutile lorsque est un nombre négatif.
Analyse du cas où est positif.
28. Supposons présentement que soit un nombre positif ; on prouvera d’abord, par un raisonnement semblable à celui du no 13, que les nombres iront en diminuant jusqu’à ce que l’on arrive à un nombre comme qui soit ou mais, comme est supposé non carré (23), il est impossible que de sorte qu’on aura nécessairement
On aura donc (26) une équation de cette forme
dans laquelle, à cause de il est clair que les nombres et devront être de signes différents, et que de plus l’un de ces nombres, abstraction faite de son signe, devra être
Faisons pour plus de simplicité et nommons l’un des nombres et l’autre, et étant des nombres positifs et étant en sorte que l’on ait l’équation
et comme on a, par les formules
il est clair que les nombres et seront de ces formes
Ainsi la question se réduit à résoudre ces deux équations dans lesquelles en effet, les valeurs de et étant connues, on aura celles de et l’on pourra à l’aide des formules remonter aux valeurs de et
Il suffit même de résoudre l’une de ces deux équations ; car il est facile de voir par les nos 23 et_25 que les quantités et doivent être telles que l’on ait
par où l’on pourra déterminer et dès qu’on aura et ou vice versâ.
Il faut remarquer ici que l’ambiguïté des signes dans l’équation
n’est point arbitraire, mais qu’elle doit répondre à celle de l’équation
en effet cette équation, étant combinée avec l’équation
donne
d’où l’on voit que la quantité doit être nécessairement positive ou négative suivant que l’on a le signe supérieur ou l’inférieur, dans l’équation dont il s’agit.
À l’égard de c’est-à-dire de elle peut être positive ou négative, et il faudra même la faire successivement positive et négative pour avoir toutes les solutions possibles de l’équation proposée (26), en ayant attention, comme nous l’avons fait observer dans ce numéro, de changer les signes de dans les formules lorsqu’on prendra négative, tout le reste demeurant d’ailleurs le même.
29. Considérons donc l’équation
dans laquelle et supposons pour un moment que l’on connaisse déjà les nombres entiers et qui y satisfont ; il est d’abord clair que ces nombres seront premiers entre eux en vertu de la première des équations du numéro précédent ; ensuite il est facile de prouver que l’on pourra toujours former deux suites décroissantes de nombres entiers comme et dont la première commence par et se termine par et dont la seconde commence par et se termine par et qui soient de plus telles que l’on ait
car, si l’on divise le nombre par le nombre il est clair que doit être à cause que l’équation donne et que qu’ensuite on divise par le reste de la première division,
et qu’on continue toujours de diviser le reste précédent par le dernier reste jusqu’à ce que l’on arrive à une division exacte, et qu’on nomme les quotients qui en résultent, on aura, comme on sait,
où l’on remarquera qu’à cause que les nombres et sont premiers entre eux le dernier reste sera nécessairement l’unité, et par conséquent le dernier quotient sera plus grand que l’unité, de sorte qu’on aura ou
Cette fraction continue étant coupée successivement au premier, au second, au troisième, … de ses termes, donnera autant de fractions particulières, lesquelles, en y ajoutant au commencement la fraction formeront cette suite de fractions
ou l’on aura
de sorte qu’on aura aussi
De plus, ces fractions seront convergentes vers la fraction avec cette
différence que les fractions qui occupent les pldcés impaires, seront toujours plus grandes que et qu’au contraire les fractions qui occupent les places paires, comme seront toujours plus petites que comme il est facile de le démontrer par la nature même de ces fractions. Au reste, nous n’aurons pas besoin de trouver ces fractions ; il nous suffira de considérer qu’il est toujours possible de les trouver, quelle que soit la fraction donnée
M. Huyghens est, je crois, le premier qui ait imaginé de réduire une fraction quelconque en une fraction continue, et d’en déduire une suite de fractions particulières convergentes vers la fraction donnée son Traité De Automato planetario), D’autres Géomètres ont ensuite étendu et perfectionné cette théorie, surtout M. Euler, dans son Introductio in Analysin, et dans plusieurs excellents Mémoires imprimés parmi ceux de l’Académie de Pétersbourg. Cette matière se trouve aussi très-bien développée dans l’Algèbre de M. Saunderson, qui emploie une méthode indépendante des fractions continues.
Maintenant, si, dans l’équation
c’est le signe supérieur qui a lieu, en sorte que l’on doive avoir
et que le nombre des termes dans la série
soit impair, il est clair qu’il n’y aura qu’à faire
mais, si le nombre des termes est pair, alors on fera
en effet, on aura dans ce cas donc
or, comme et et comme ou on aura, en faisant
étant un nombre positif.
On résoudra de même le cas où ce serait le signe inférieur qui devrait avoir lieu, et l’on en conclura qu’il est toujours possible de trouver des nombres qui aient les propriétés requises, et que ces nombres peuvent être supposés tels, que l’on ait
étant des nombres entiers et positifs.
On voit de plus que les deux derniers termes de la série seront étant le nombre entier qui approchera le plus de la fraction et que les deux derniers termes de la série seront de sorte que, si l’on connaissait les nombres avec le nombre on pourrait, en remontant par les formules précédentes, trouver les nombres cherchés et
Les conditions par lesquelles on doit déterminer les nombres sont que ces nombres soient tous entiers positifs et tels, que l’on ait
en prenant les signes supérieurs ou inférieurs, suivant que l’on aura le signe supérieur ou l’inférieur dans l’équation
Or, il est facile de voir que si la première équation
a lieu, les suivantes auront lieu d’elles-mêmes, en vertu des formules ; en effet, on aura par ces formules
donc
et ainsi des autres.
30. Cela posé, reprenons l’équation
et soit d’abord le signe supérieur, en sorte que l’on ait
donc, divisant par on aura
et divisant encore par
donc, puisque (par hypothèse), on aura à plus forte raison donc et
Or, l’équation
donne
donc, ayant on aura aussi mais, à cause de il est clair que donc aussi et multipliant par et par conséquent ainsi l’on aura
étant un nombre positif.
De même, l’équation
donnera celle-ci
laquelle étant ajoutée à l’équation ci-dessus
on aura
mais, ayant et il est clair que donc c’est-à-dire Or, on a aussi donc on aura encore et multipliant par et donc
étant un nombre positif.
L’équation
donnera pareillement
et ajoutant l’équation
on aura
donc puisque on aura
or, à cause de on aura
donc aussi donc donc on aura
étant un nombre positif, et ainsi de suite.
Supposons en second lieu que l’on ait
donc
donc, à cause de on aura et Or on a dans ce cas
donc
donc, à cause de on aura aussi mais, puisque on a donc donc aussi donc on aura
étant un nombre positif.
On aura ensuite
donc
donc, puisque
on aura aussi
à cause de et donc et par conséquent mais donc on aura aussi donc donc
étant un nombre positif.
On prouvera de même que l’on aura
étant positif, et ainsi de suite.
Donc, en combinant les deux cas, on aura en général les formules suivantes
dans lesquelles est positif et moindre que par l’hypothèse, et sont aussi nécessairement positifs.
31. Qu’on multiplie présentement les équations deux à deux, on aura (9) :
1o
mais on a par les formules
donc, si l’on fait
on aura l’équation
2o
mais
donc, faisant
on aura
3o Faisant de même
on trouvera
et ainsi de suite.
Maintenant on a, par les formules
donc
donc
On a de même
donc
savoir
et ainsi des autres.
De sorte qu’on aura les équations
dans lesquelles
32. Nous avons vu (30) que les nombres sont nécessairement tous positifs ; donc, pour que les équations puissent subsister, il faudra que les carrés soient tous moindres que
Or, je vais prouver d’abord que, pour que ces conditions puissent avoir lieu, il faut que les nombres dans les équations soient tous positifs.
Car : 1o supposons, s’il est possible, étant un nombre positif, on aura donc et par conséquent positif à cause de et positif ; mais il faut que donc et par conséquent mais doit être entier positif, donc il faut que or, on a
donc ne peut être que ne soit en même temps mais (par hypothèse), donc il est impossible que soit négatif.
2o Supposons étant positif, on aura et par conséquent positif ; mais on doit avoir donc il faudra que et par conséquent donc pour que puisse être entier positif, comme il le doit, il faut que or,
donc ne saurait être que ne soit et à plus forte raison mais l’équation donne, à cause de et par conséquent, puisque ce qui répugne tant que est entier positif.
Donc sera nécessairement positif, et l’on démontrera de même que les nombres dans les équations devront être aussi tous positifs.
33. Maintenant, puisqu’on doit avoir moindres que il est clair qu’il faudra que soient tous
Supposons donc que soit en effet et voyons comment on doit déterminer les nombres dans les équations pour que les nombres soient tous moindres que
1o Soit donc donc
Mais, comme doit être un nombre entier positif, il faudra que et par conséquent, à cause de
que soit ainsi, le nombre devra être et
2o Soit donc et de là
Mais, pour que puisse être entier positif, il faudra que et par conséquent, à cause de
que soit ou bien donc et par conséquent
3o Soit donc et par conséquent
Or, puisque doit être entier et positif, il faudra que par conséquent, à cause de
il faudra que c’est-à-dire donc
et par conséquent
et ainsi de suite.
Si la quantité était la dernière de la série en sorte que l’éqυation
fût la dernière des équations alors on aurait seulement, pour la détermination de la condition mais, si l’on veut de plus
que le dernier terme de la série soit alors, en supposant que ce soit on aura et à plus forte raison donc, à cause de
c’est-à-dire et par conséquent
d’où
C’est la même condition qu’on aurait par la considération de l’équation suivante
si le terme n’était pas le dernier.
Donc, en général, si la série des nombres est supposée continuée jusqu’à un terme il faudra, pour que les équations et puissent subsister en ne prenant pour et pour que des nombres entiers positifs, il faudra, dis-je, que l’on ait d’abord
et ensuite
On voit par là que les nombres seront absolument déterminés, de sorte que, les nombres et étant connus, tous les autres le seront aussi par le moyen des formules et
En effet, connaissant et on aura par l’équation
ensuite, à cause de et il est clair qu’on ne pourra prendre pour que le nombre entier qui est immédiatement plus petit que et il est facile de voir que ce nombre sera nécessairement positif ; car, à cause de (par hypothèse), on aura en vertu de l’équation
le nombre étant ainsi connu, en aura après quoi l’on tirera de l’équation
et comme et il faudra prendre nécessairement pour le nombre entier qui sera immédiatement moindre que et il est clair que ce nombre sera positif, à cause que, étant on a
et par conséquent
en vertu de l’équation
et ainsi de suite.
34. Ainsi, pour résoudre l’équation
où on commencera par chercher un nombre entier et et tel que soit divisible par si aucun des nombres qui tombent entre et ne satisfait à cette condition, ce sera une marque que l’équation proposée n’est point résoluble en entiers.
Ayant trouvé une ou plusieurs valeurs de on formera d’après chacune de ces valeurs, et par le moyen des formules du numéro précédent, les séries et et si l’équation proposée est résoluble en nombres entiers, on parviendra nécessairement à un terme de la série qui sera égal à l’unité, et qui occupera une place paire ou impaire suivant que, dans l’équation
ce sera le signe supérieur ou l’inférieur qui aura lieu. En effet, nous avons vu (29) qu’en continuant les séries des nombres et on arrivera nécessairement à des termes comme et tels que et or on a, par les formules
lorsque le quantième est pair, et
lorsque le quantième est impair ; donc on aura dans le premier cas et dans le second d’où l’on voit que le premier cas ne peut avoir lieu qu’en prenant le signe supérieur et faisant et le second ne peut avoir lieu qu’en prenant le signe inférieur et faisant de même à cause que doit être positif (30).
Donc, lorsque l’équation
peut se résoudre en nombres entiers, il doit y avoir dans la série un terme comme le quantième étant pair ou impair suivant qu’on aura le signe supérieur ou l’inférieur dans l’équation dont il s’agit ; et comme est toujours il est clair qu’on doit parvenir à ce terme par la méthode du numéro précédent, et alors on fera et De plus, il est clair par les formules que l’on doit avoir
si est pair, et
si est impair ; c’est-à-dire (à cause que le quantième doit être pair pour le signe supérieur et impair pour l’inférieur)
d’où, en faisant et on aura enfin, il est facile de voir par les formules du no 31 qu’on aura aussi
lorsque est pair, et
lorsque est impair, c’est-à-dire, par la remarque précédente,
d’où, à cause de et on aura de sorte qu’on aura ces quatre valeurs
à l’aide desquelles on pourra, en remontant par les formules du no 29, trouver les valeurs cherchées de et
35. Comme tout se réduit à trouver un terme de la série ui soit égal à l’unité, considérons plus particulièrement la loi de cette série. Et d’abord il est clair, par ce qu’on a enseigné (33), que cette série peut être poussée aussi loin que l’on veut, parce que les opérations par lesquelles les nombres et doivent être déterminés peuvent être continuées tant qu’on voudra.
D’autre part, il est évident par les formules que les nombres doivent être nécessairement moindres que de sorte que, comme ces nombres doivent être en même temps entiers, ils ne pourront avoir qu’un nombre limité de valeurs différentes, et qu’ainsi, en supposant la série poussée à l’infini, il faudra absolument que le même terme revienne une infinité de fois ; par conséquent, il faudra aussi que la même combinaison de deux termes consécutifs revienne une infinité de fois.
Supposons donc que dans la série
les deux termes consécutifs soient les mêmes que les termes c’est-à-dire que l’on ait et il est facile de voir que l’on aura aussi nécessairement
En effet, puisque et on aura, par les formules donc, par les formules et, par les formules donc, par les formules et ainsi de suite. En général, il est évident que, deux termes consécutifs étant donnés, tous les suivants le seront aussi par les formules et de sorte que, dès que la même combinaison de deux termes consécutifs reviendra après un certain nombre de termes, tous les termes suivants reviendront les mêmes aussi, et par conséquent la série ne sera plus qu’une suite de périodes identiques à la première.
Mais il y a plus : je vais démontrer qu’en supposant les termes consécutifs identiques avec les termes les termes précédents seront les mêmes aussi que les termes
Pour démontrer cette proposition, il est clair qu’il suffit de faire voir que, lorsque deux termes quelconques consécutifs comme sont donnés, tous les précédents le seront aussi. Or, il est visible par les formules que, et étant donnés, le sera aussi ; mais on doit avoir donc par les formules il faudra que et par conséquent
De même, on doit avoir donc et de là
or, devant être un nombre entier positif, il faudra que soit
donc, à cause de
il faudra que savoir et comme il faudra que d’où
On trouvera de même, par la considération de la condition ces deux conditions
Ensuite, comme est (par hypothèse), on aura à plus forte raison et par conséquent, en vertu de l’équation
savoir, à cause de d’où
Ainsi l’on aura, en considérant les séries et à rebours, les conditions suivantes
lesquelles étant combinées avec les formules et serviront à déter-
miner tous les termes de ces mêmes séries, en supposant deux termes consécutifs comme donnés. Car et étant donnés, le sera aussi ; par conséquent sera aussi donné, à cause que, devant être entier, on ne pourra prendre pour que le nombre entier qui sera immédiatement moindre que ayant ainsi on aura par la formule
et ensuite par l’équation
or, et étant donnés, le sera aussi, parce que l’on ne pourra prendre pour que le nombre entier qui sera immédiatement moindre que et ainsi de suite.
Il résulte de là que, dans la suite une combinaison quelconque de deux termes consécutifs comme ne peut revenir, que toutes les combinaisons précédentes ne soient déjà revenues, de sorte que la première combinaison devra nécessairement être aussi la première à revenir. Donc, puisqu’il est absolument nécessaire qu’une combinaison quelconque revienne, à cause du nombre limité des valeurs que peuvent avoir les nombres comme nous l’avons observé dans le numéro précédent, il est évident que la première combinaison devra revenir nécessairement, aussitôt que toutes les autres combinaisons possibles seront épuisées, et alors toute la série devra aussi revenir la même par le numéro précédent ; de sorte qu’après la première période, le reste de la série, quelque loin qu’elle soit poussée, ne sera plus composé que d’une suite de périodes identiques à la première.
Ainsi, par exemple, si l’on trouve et la série sera de cette forme
à l’infini ; de sorte que les tenues qui ne se trouveront point dans la première période ne se trouveront pas non plus dans tout le reste de la série continuée même à l’infini.
36. Donc, pour pouvoir résoudre l’équation
il ne s’agira que de continuer la série jusqu’à ce que les deux premiers termes reparaissent dans le même ordre, ce qui arrivera nécessairement avant qu’aucune autre couple de deux termes consécutifs puisse reparaître ; et si dans cette première période de la série il ne se trouve aucun terme égal à l’unité, on en devra conclure que cette équation n’admet point de solution en nombres entiers.
Mais si l’on trouve dans la première période un terme comme alors ce terme donnera d’abord une solution de l’équation proposée (34), pourvu que le quantième soit pair ou impair suivant que dans cette équation on prendra le signe supérieur ou l’inférieur. Si l’exposant du rang n’est pas tel, alors on continuera la série, et comme le terme doit reparaître dans les périodes suivantes, on verra s’il se trouve avec un exposant qui ait les conditions requises ; et alors ce nouveau terme donnera de même une solution de l’équation dont il s’agit ; ensuite, en continuant toujours la série, on pourra retrouver ce même terme autant de fois qu’on voudra, et par conséquent en tirer encore d’autres solutions à l’infini.
D’où l’on voit que si l’équation
admet une solution quelconque en nombres entiers, il faut aussi qu’elle en admette une infinité d’autres.
37. On a vu (33) que les séries et sont entièrement déterminées par les deux termes et parce que, et étant donnés, l’est aussi, et ainsi des autres ; d’où il s’ensuit que lorsque la série recommence, les deux autres doivent recommencer aussi.
Supposons donc que dans la série le terme soit égal à et le terme suivant égal à alors on aura en général (35) et par conséquent donc aussi
étant un nombre quelconque positif et entier.
De même on aura et en général
et pareillement et en général
ainsi, connaissant les termes et on connaîtra tous les termes suivants à l’infini.
Soit maintenant étant on aura donc aussi et, en général
donc, si le quantième est pair ou impair suivant que dans l’équation
on aura le signe supérieur ou l’inférieur, on pourra faire, comme dans le no 34 (en mettant à la place de ),
d’où, en rétrogradant, on trouvera et par les formules et il est clair que ces valeurs seront toujours d’autant plus grandes que sera un plus grand nombre ; de sorte que pour avoir les plus petites valeurs possibles de et il faudra prendre le plus petit possible ; ensuite, en
augmentant successivement on aura par ordre toutes les autres valeurs de et qui peuvent satisfaire à l’équation dont il s’agit, à moins que dans la première période, il ne se trouve plus d’un terme égal à l’unité, auquel cas il faudra faire successivement égal à l’exposant du quantième de ces termes.
Donc, puisque doit toujours être pair ou impair suivant que dans l’équation
on veut prendre le signe supérieur ou l’inférieur, il s’ensuit :
1o Que, si l’équation est
elle ne sera pas soluble en nombres entiers, à moins que l’on n’ait pair ou et impairs à la fois ; car il est évident que ne peut être pair, que et ne soient tous deux pairs ou impairs. Si est pair et que le soit aussi, alors pourra être un nombre quelconque entier positif ; mais si étant pair est impair, alors il faudra que soit pair, de sorte qu’on ne pourra prendre pour que des nombres positifs pairs. Mais si est impair, alors il faudra que soit aussi impair, et par conséquent que et soient tous deux impairs ; ainsi et étant impairs en même temps, on ne pourra prendre pour que des nombres quelconques positifs impairs.
2o Que, si l’équation est
alors elle ne sera pas résoluble, à moins que ne soit impair, ou que ne soit pair et impair. Car, puisque doit être impair dans ce cas, il faudra nécessairement que et soient l’un pair et l’autre impair. Donc, si est impair, il faudra que soit pair ; par conséquent, si est pair, on pourra prendre pour des nombres quelconques entiers positifs ; et si est impair, il ne faudra prendre pour que des nombres positifs pairs. Mais si est pair, alors il faudra que soit impair ; par
conséquent il faudra que et le soient aussi chacun en particulier ; de sorte que, étant pair et impair, le Problème sera résoluble, pourvu qu’on ne prenne pour que des nombres quelconques pairs positifs.
38. Nous avons vu (30 et 31 ) que et donc on aura
de même, à cause de et on aura
et pareillement
et ainsi de suite.
Donc, multipliant ces équations successivement entre elles, et faisant attention que
et ainsi des autres, on aura
et en général
les signes ambigus devant être les mêmes que dans l’équation
lorsque est pair, et différents lorsque est impair.
Supposons maintenant et l’on aura (37) pourvu que soit pair ou impair, suivant que le signe supérieur ou l’inférieur aura lieu dans l’équation donc la formule précédente deviendra, en conservant à la place de pour plus de simplicité,
équation d’où, à cause de l’ambiguïté naturelle du signe du radical on pourra tirer et
Maintenant, puisque et que nous avons vu (37) que l’on a en général et il est facile de voir que l’équation précédente peut se ramener à celle-ci
De sorte que si l’on fait, pour abréger,
(car il est évident qu’en développant les produits continuels de on doit avoir des quantités composées d’une partie toute rationnelle et d’une autre partie toute multipliée par ), on aura
Et si l’on fait de plus
ce qui donne, en général, à cause de l’ambiguïté de
on aura
savoir
d’où, en comparant la partie rationnelle avec la rationnelle et l’irrationnelle avec l’irrationnelle, on aura enfin
C’est l’expression générale des nombres et qui peuvent satisfaire à l’équation
Si l’on voulait avoir aussi les expressions de et dans l’équation suivante
il n’y aurait qu’à remarquer que, puisqu’on a trouvé ci-dessus
on aura
d’où
Donc, si l’on fait
on trouvera comme ci-dessus
d’où
Ces valeurs serviront (29) à trouver celles de et dans l’équation
comme nous le ferons voir ci-après (43).
39. Quoiqu’il soit facile de trouver les valeurs de et par le développement des produits de voici une manière beaucoup plus simple et plus commode d’y parvenir.
On a, par les formules du no 31,
donc
donc
à cause de savoir, en divisant par
De même, à cause de
on aura
donc, multipliant par mettant à la place de et divisant ensuite par on aura
Substituant de nouveau à la place de multipliant ensuite par et divisant par après avoir mis pour on aura
et ainsi de suite.
D’où il est facile de conclure que, si l’on forme la série suivante
on aura en général
40. Donc, puisqu’on a, par les formules du no 38,
si l’on fait dans la dernière formule du numéro précédent on aura
mais on a, par l’hypothèse (37), de plus, on a vu (35) que les quantités doivent être telles, que l’on ait de sorte qu’il faudra aussi qu’on ait
et par conséquent
donc, puisque doit être en même temps un nombre entier positif (32), il est clair qu’on ne peut prendre pour que le nombre entier qui est immédiatement moindre que
Donc, si l’on dénote ce nombre par en sorte que soit la racine carrée approchée de on aura et par conséquent
donc
Ainsi l’on connaîtra aisément et par le moyen des formules Il y a cependant deux cas qui paraissent devoir souffrir quelque exception ; l’un est celui où et l’autre celui où en effet, dans ces cas on aurait des exposants de négatifs, ce qui n’a point lieu dans les formules du numéro précédent.
Or : 1o si ce qui arrive lorsque on aura, dans les formules du no 38, et l’on trouvera simplement l’équation
savoir
laquelle, étant comparée à l’équation générale
donne et par conséquent Ainsi l’on aura d’abord dans ce cas et (38).
2o Si ce qui arrivera lorsque il est clair que la formule générale
se réduira à celle-ci
d’où l’on aura et et comme on aura dans ce cas et
41. Faisons maintenant et l’on aura par les formules des nos 38 et 39
Or on a, par les formules
donc, à cause de (37) et par les formules on aura
d’où
Or, quoique ces expressions de et de soient sous une forme fractionnaire, on peut néanmoins être assuré qu’elles donneront toujours des nombres entiers ; autrement, les nombres et ne seraient pas toujours entiers, ce qui est contre la nature de nos formules.
Mais, pour ne laisser aucun doute là-dessus, je vais donner d’autres expressions de et de où il n’y aura point de fractions.
Pour cela, j’observe (37) qu’à cause de
la quantité
peut se mettre aussi sous cette forme
et l’on prouvera d’une manière semblable à celle du no 39 que l’on aura
et ainsi de suite ; de sorte que si l’on considère la série
laquelle, à cause de revient à celle-ci
et qu’on la représente, pour plus de simplicité, ainsi
qu’ensuite on forme par son moyen la série suivante
on aura
Mais
donc
d’où
Il est bon de remarquer que les quantités et ne dépendent que de la valeur de et nullement de celle de de sorte que, ces quantités étant une fois trouvées, elles serviront pour résoudre toutes les équations de la forme
où la valeur de sera la même.
En effet, si l’on considère l’équation
qui est une des équations du no 31, on aura (à cause de et )
de sorte que et seront donnés indépendamment de la valeur de donc, si l’on forme par la méthode du no 33 les suites et ces suites seront aussi toutes données (35) ; donc la quantité
sera aussi donnée ; donc sera donné, par conséquent et le seront aussi.
Maintenant, je dis que les quantités et sont telles que
Car on a (38)
donc, prenant le radical en on aura aussi
donc, multipliant ces deux équations ensemble, il viendra
Mais on a, par les formules
donc
savoir
le signe supérieur étant pour le cas où est pair, et l’inférieur pour celui où est impair.
42. À l’égard des valeurs de et qui entrent dans les expressions de et on peut les trouver de la même manière que celles de et par le développement de la quantité
et il est facile de voir qu’on aura les mêmes expressions que pour et en augmentant seulement dans les formules les exposants d’une unité, c’est-à-dire en y mettant à la place de et à la place de ainsi l’on aura nécessairement pour et des nombres entiers, ainsi que pour et mais, pour ne pas avoir de nouvelles formules à calculer, il suffira de prendre l’équation du no 38, savoir
laquelle, à cause de se change en celle-ci
d’où
Ainsi, connaissant les valeurs de et on connaîtra sur-le-champ celles de et et quoique ces expressions soient sous une forme fractionnaire, on peut être assuré qu’elles donneront toujours des nombres entiers, parce que ces expressions doivent être équivalentes à celles du no 38, lesquelles donnent évidemment des nombres entiers, puisque et sont toujours des nombres entiers, comme nous venons de le voir.
43. Nous avons donc donné une méthode directe et générale pour résoudre en nombres entiers (lorsque cela est possible) toute équation de la forme
étant et et premiers entre eux, de sorte qu’on est maintenant en état de résoudre aussi toute équation de la forme
étant un nombre quelconque entier positif ou négatif (28).
Pour cela on remarquera que l’on a, par les formules et
d’où l’on tire
et de là
de sorte que, comme et sont premiers entre eux, on aura nécessairement
et de là
étant un nombre quelconque entier.
De plus on a, par les mêmes formules
donc, mettant à la place de et les valeurs précédentes, on aura
or, et (31), donc on aura
Or il faut de plus (33) que l’on ait
donc et ce qui donne ces deux conditions
par lesquelles on pourra déterminer parce que, devant être un nombre entier, il est visible qu’il ne pourra être autre chose que le nombre entier qui sera immédiatement plus petit que
Ainsi, puisque et sont connus (28), on connaîtra et sans avoir besoin d’aucun tâtonnement.
Maintenant, puisqu’on a (42)
et que
on aura
savoir, à cause de
expressions qui donneront toujours des nombres entiers, puisque, et étant entiers aussi bien que il est nécessaire que et le soient aussi. Or, connaissant et on pourra, en rétrogradant, trouver et (28).
Il faut remarquer que le signe ambigu de dans les formules précédentes se rapporte à celui de dans l’équation
mais nous avons vu (28) que, pour avoir toutes les solutions possibles de l’équation
il faut prendre successivement positif et négatif, en changeant dans ce dernier cas les signes de dans les formules de sorte que chaque valeur de donnera toujours deux valeurs de (à moins qu’elles ne reviennent au même), et par conséquent deux valeurs de de et de et d’où l’on tirera deux expressions générales de et
44. Comme on a par le no 38
et par le numéro précédent
si l’on fait, pour abréger,
on aura
et il est facile de voir, par la nature des formules que ces valeurs de et savoir de (28), donneront pour et des
expressions de cette forme
et étant des nombres entiers dépendant des nombres Donc, puisqu’on a (28)
ou bien, en développant les puissances ième,
et que peut être un nombre quelconque entier positif tel, que soit pair ou impair, suivant que le signe supérieur ou l’inférieur aura lieu (37) dans l’équation
il est clair que toute équation de la forme
étant positif, lorsqu’elle est résoluble en nombres entiers, admet nécessairement une infinité de solutions ; de sorte que le nombre des solutions de ces sortes d’équations sera toujours nul ou infini, au lieu que ce nombre est toujours nécessairement limité lorsque est négatif (27).
45. M. Euler a donné, dans le tome IX des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg, une très-belle méthode pour trouver une infinité de solutions en nombres entiers des équations de la forme
lorsqu’on en connaît une seule. Suivant cette méthode, si l’on fait pour plus de simplicité et qu’on nomme et les valeurs connues de et en sorte que l’on ait et que et soient des nombres entiers tels que on aura en général, en conservant les expressions de et du numéro précédent,
l’exposant des quantités et pouvant être un nombre quelconque, positif ou négatif.
Il ne serait pas difficile de faire voir à priori que toutes les solutions que peuvent fournir ces formules se trouveront nécessairement parmi celles que donnera notre méthode ; cela suit évidemment de ce que cette méthode doit donner, absolument toutes les solutions possibles. Mais on aurait tort de croire que les formules dont il s’agit puissent donner toujours toutes les solutions possibles lorsqu’on ne connaît qu’une seule valeur de et
Pour le faire voir d’une manière générale, nous commencerons par remarquer qu’en faisant n négatif on n’a point de nouvelles valeurs de et de mais que la quantité demeure la même, et que celle de devient simplement négative. En effet, en mettant au lieu de on aura (44)
et de même
mais on a par hypothèse donc
De sorte qu’au lieu de supposer positif et négatif, il suffira de faire positif et de prendre en plus et en moins. Cela posé, supposons que et soient de nouvelles valeurs de et dans l’équation
en sorte que l’on ait aussi
et voyons si ces valeurs seront nécessairement renfermées dans les expressions précédentes de et Soit donc
et tirant les valeurs de et on aura, à cause de
Donc, puisque les nombres et sont toujours entiers, à cause que et sont des nombres entiers par l’hypothèse, et que est aussi un nombre entier positif, il faudra que les deux quantités et soient toujours divisibles par en prenant l’un ou l’autre des signes ambigus. Or, j’observe d’abord que, si la seconde de ces quantités est divisible par la première le sera aussi ; car, puisqu’on a
on aura aussi (9)
d’où l’on voit que, si est divisible par le sera aussi. Ainsi tout se réduit à savoir si la quantité sera toujours divisible par supposé qu’on ait et or, comme ces deux équations de condition renferment le nombre qui ne se trouve point dans la quantité on aura, en chassant cette condition unique
par laquelle on voit qu’il n’est pas absolument nécessaire que l’une ou l’autre des quantités soit divisible par à moins que ne soit un nombre premier, Ainsi, toutes les fois que ne sera pas un nombre premier, l’équation
pourra avoir des solutions qui ne sauraient être contenues dans les formules de M. Euler.
Pour s’en convaincre par un Exemple, soit et supposons on aura
de sorte qu’on pourra prendre
et alors on aura
donc, pour que l’une ou l’autre de ces deux quantités soit divisible par il faudra, ou que soit divisible par ou que le soit par or c’est ce qui n’aura point lieu dans une infinité de cas, et surtout si et sont des nombres premiers différents de parce qu’alors il sera impossible, à cause des équations et que ou soit divisible par ou que ou le soit par
On voit par là que, pour que les formules de M. Euler pussent donner toutes les solutions possibles, il faudrait que les valeurs de et de pussent être rompues ; en effet, ce grand Géomètre remarque lui-même, au no 25 du premier Mémoire du tome cité, qu’en prenant, lorsque cela est possible, pour et des nombres rompus dont le dénominateur soit on trouvera souvent beaucoup plus de solutions qu’en ne prenant pour et que des nombres entiers, et il paraît croire qu’on pourra avoir de cette manière toutes les solutions possibles de l’équation dont il s’agit. Supposons donc en général que et soient des fractions dont le dénominateur soit ou bien mettons et à la place de et dans les expressions de et et il est clair que ces quantités deviendront et de sorte qu’on aura dans ce cas
ou bien
d’où, à moins que ne soit une puissance de on pourra tirer les mêmes conclusions que ci-dessus. Ainsi cette généralisation ne suffit pas encore pour avoir toutes les solutions possibles dans tous les cas.
EXEMPLES.
46. Donnons à présent quelques Exemples pour montrer l’usage des méthodes précédentes. Nous considérerons d’abord le cas où est un nombre négatif, ensuite celui où est positif.
Exemple I. — Soit proposé de résoudre l’équation
en supposant que et soient des nombres entiers.
Je remarque d’abord que, comme le nombre ne contient aucun facteur carré, les nombres et seront nécessairement premiers entre eux (22) ; ainsi l’on fera et pour avoir l’équation du no 23 ; de sorte qu’on n’aura à résoudre que cette seule équation
On commencera donc par chercher un nombre et tel que soit divisible par ou bien on cherchera un multiple de qui soit
de la forme (no 20, Exemple I), et l’on trouvera
de sorte que La valeur de étant connue, on formera une suite d’équations analogues à celles du no 26, jusqu’à ce que l’on parvienne à un terme ou et l’on aura
ensuite
et comme on a trouvé on aura (27)
Or, étant un nombre premier, il n’existe point d’autre nombre qui ait les conditions requises (24) ; donc l’équation proposée n’est susceptible que d’une seule solution en nombres entiers, laquelle est et
Exemple II. — Soit proposée l’équation
et devant être des nombres entiers.
Comme le nombre n’est pas premier, on verra d’abord s’il renferme quelque facteur carré ; or, étant premier ; ainsi, on pourra faire (22) deux suppositions, savoir ce qui donnera l’équation
(A)
ensuite et par conséquent ce qui donnera cette autre équation
(B)
Commençons par l’équation (A), et il fondra chercher un nombre tel, que soit divisible par ou, ce qui revient au même, un nombre qui, multipliant donne un carré plus (20).
Après quelques essais, je trouve et et à l’aide de ces valeurs je forme les équations suivantes, analogues à celles du no 26,
et par conséquent
et comme on aura (27)
Donc
ce qui donne cette première solution de l’équation proposée
Maintenant, comme n’est pas premier, on pourra (24) trouver encore d’autres valeurs de or, résolvant en ses facteurs premiers, on aura de sorte qu’on ne pourra faire que et ce qui ne donnera qu’une seule valeur de (numéro cité). On cherchera donc la dernière des fractions convergentes vers (29), et l’on trouvera de sorte qu’on aura et comme on aura
c’est-à-dire, à cause de
Ainsi l’on aura, à cause de
en prenant le signe inférieur et faisant afin que la valeur de devienne c’est la nouvelle valeur de et la seule qu’on puisse trouver de cette manière, de sorte qu’il serait inutile d’en chercher encore d’autres.
Mettant donc en œuvre cette valeur, on trouvera les équations
et de là
et comme on aura (27)
Donc
Ainsi l’on aura celle seconde solution
Or, comme on ne saurait trouver d’autres valeurs de l’équation (A) ne fournira pas non plus d’autres solutions ; c’est pourquoi nous passerons à l’équation (B).
Ayant ici on cherchera une valeur de telle, que soit divisible par et qui soit en même temps or, ayant déjà trouvé ci-dessus que est divisible par et par conséquent aussi par il n’y aura qu’à faire et déterminer ensuite et le signe ambigu en sorte que on fera donc et l’on prendra le signe inférieur, ce qui donnera
Au moyen de cette valeur, on formera les équations
d’où l’on voit d’abord, à cause que est moindre que et en même temps différent de l’unité, que l’équation (B) n’est point résoluble, au moins d’après la valeur de que nous venons de trouver (27), et comme le nombre est premier, il s’ensuit que l’équation (B) n’admet absolument aucune solution en nombres entiers. De sorte que l’équation proposée
n’est susceptible que des deux solutions que nous avons trouvées ci-dessus.
Supposons maintenant que soit un nombre positif.
Exemple III. — Soit proposé de résoudre l’équation de l’Exemple I du no 20, savoir
avec cette condition que et soient des nombres entiers.
Puisque est un nombre premier, on ne pourra faire que donc de sorte qu’on n’aura à résoudre que cette seule équation
Or, ayant déjà trouvé dans l’Exemple cité on aura
et de là
Donc, puisque et aussi on fera (28)
donc avec les signes supérieurs ; et par conséquent
de sorte qu’on aura à résoudre l’équation
Or, ayant et on aura (43) et donc, à cause que la racine approchée de est
Ayant trouvé on formera, à l’aide des formules et des nos 31 et 32, les séries suivantes, où le signe indique qu’il faut prendre le nombre entier qui est immédiatement moindre,
Donc, puisque et on fera (37) savoir et comme on fera savoir donc, à cause que l’on a pris les signes supérieurs et que est pair, on en conclura que l’équation est résoluble (37).
On cherchera donc les valeurs de comme dans les formules du no 39, et l’on aura
d’où, par les formules des nos 40 et 41, on trouvera d’abord, à cause de qui est le nombre entier immédiatement moindre que
donc (38)
où pourra être un nombre quelconque positif entier tel que soit pair, c’est-à-dire que soit pair, d’où l’on voit que pourra être un nombre quelconque entier positif. Donc (38)
et ensuite, par le no 44, en prenant toujours les signes supérieurs,
de sorte qu’on aura
Donc, puisque on aura
Nous avons pris c’est-à-dire positif ; prenons maintenant et l’on aura dans ce cas (43)
Or, faisant on aura et donc
comme plus haut ; ainsi on aura les mêmes valeurs de et de et par conséquent de et de
Maintenant on aura
donc
d’où l’on trouvera encore
ou bien, en changeant les signes,
Or, comme est un nombre premier, on ne pourra trouver aucune autre valeur de (24), de sorte que les expressions précédentes renfermeront nécessairement toutes les solutions possibles de l’équation proposée.
Exemple IV. — Soit proposée l’équation
Comme est un nombre premier, on ne pourra faire que
de sorte qu’on n’aura que l’équation
On cherchera donc un nombre et tel que soit divisible
par ou bien on cherchera, comme dans l’Exemple IV du no 20, un nombre dont le produit par étant augmenté de soit un carré, et l’on trouvera et moyennant quoi on formera les équations
et de là
Or, puisque et que et sont aussi chacun on fera
donc et avec les signes supérieurs. Ensuite on fera
et l’on aura à résoudre l’équation
Maintenant, à cause de et on aura (43) et donc
Ayant ainsi on formera les séries suivantes (31 et 33)
Donc, comme et on fera (37) c’est-à-dire et comme on a en même temps on fera savoir ce qui donnera sur-le-champ et par conséquent (40).
On formera donc la série (39)
et l’on aura (41), à cause de les valeurs suivantes
donc (38)
étant tel que savoir soit pair, de sorte que pourra être un nombre entier positif quelconque (37). Maintenant, puisque et on aura (44)
d’où
Donc, ayant
on trouvera en remontant
Faisons maintenant négatif (43), c’est-à-dire et l’on aura
dans ce cas
Ensuite on aura donc
comme ci-dessus ; de sorte que les valeurs de et seront les mêmes que nous avons déjà trouvées. À l’égard de et on aura (à cause de )
donc
donc
Ainsi, en combinant les deux formules, on aura en général
Et comme est un nombre premier, il n’y aurait pas d’autres solutions que celles que nous venons de trouver.
Exemple V — Étant proposée l’équation
dont on connaît déjà cette solution : et on demande toutes les autres solutions possibles en nombres entiers.
Comme ne contient aucun facteur carré, et devront être toujours premiers entre eux (22) ; ainsi l’on fera
de sorte que l’équation à résoudre sera
Maintenant, puisqu’on connaît déjà une valeur de et savoir et , on pourra s’en servir pour trouver la valeur de dans l’équation
Pour cela, il n’y aura qu’à chercher la fraction qui précédera immédiatement la fraction dans la suite des fractions convergentes vers (29), et faisant on aura en général (23)
Divisant par ensuite par le reste et ainsi successivement, on aura les quotients
à l’aide desquels on formera les fractions
ainsi l’on aura donc de sorte que, comme est on fera et l’on aura et de là on trouvera On formera donc les équations suivantes
et par conséquent
Donc, puisque et que est aussi on fera
donc avec les signes supérieurs. Ensuite on fera
et l’on aura à résoudre l’équation
Or, puisque on aura (43) et donc
Ayant on formera (31 et 33) les séries suivantes, où le signe indique qu’il faut prendre les nombres entiers qui sont immédiatement plus petits,
Donc, puisque et on fera savoir et comme on fera savoir
On formera donc, par les formules du no 39, la série jusqu’à en cette sorte
et l’on aura (40, 41)
savoir, à cause de
Donc, supposant en général
on aura (38)
et l’exposant pourra être quelconque, pourvu que soit positif et pair ; de sorte que pourra être un nombre quelconque entier positif (37).
Maintenant on aura (44), en prenant les signes supérieurs,
et par conséquent
Donc, puisque on aura
Faisons à présent négatif (43), et l’on aura dans ce cas et donc
Ainsi, en prenant et on formera de nouvelles séries semblables aux précédentes.
Mais, sans se donner cette peine, il suffira de remarquer que les valeurs de et de répondent à celles de et de des séries précédentes ; d’où il s’ensuit que celles de et dont il s’agit ici, répondront à celles de et des séries déjà trouvées, et qu’ainsi il n’y aura qu’à diminuer dans ces mêmes séries tous les exposants de pour les accommoder au cas présent ; et comme les termes qui ont et pour exposants sont les mêmes que ceux qui ont et il est évident que pour continuer les séries il n’y aura qu’à les recommencer après les termes dont l’exposant sera (voyez l’Exemple suivant et la Remarque du no 47) ; de cette manière on trouvera dans le cas présent
et
donc et comme plus haut. Or, puisque les quantités et sont toujours les mêmes pour la même valeur de (41), il suffira de chercher et en faisant la série
d’où l’on aura
et par conséquent
l’exposant pouvant être de même un nombre quelconque entier positif, à cause que est toujours pair.
Or, à cause de on aura et donc
Donc (28)
Les expressions de et que nous venons de trouver résultent de la supposition de or, comme le nombre n’est pas premier, il est clair qu’on pourra encore trouver d’autres valeurs de (24). Pour cela, on décomposera le nombre en deux facteurs et premiers entre eux, et comme on aura
de sorte qu’on pourra trouver encore sept autres valeurs de
1o Soit on cherchera, suivant la méthode que nous avons déjà pratiquée ci-dessus, la fraction qui précédera immédiatement la fraction donnée et l’on trouvera et comme on aura
donc
donc, faisant et prenant le signe pour que la valeur de soit on aura
2o Soit on trouvera et comme on aura
donc
et, faisant et prenant le signe inférieur,
3o Soit on trouvera donc, comme on aura
donc
donc, faisant et prenant le signe on aura comme dans le premier cas.
4o Soit on trouvera donc, puisque on aura
donc
donc, prenant avec le signe supérieur, on aura
5o Soit on trouvera donc, comme on aura
donc
et prenant avec le signe supérieur, on aura comme dans le deuxième cas.
6o Soit on trouvera donc, à cause que
donc
donc, prenant avec le signe inférieur, on aura comme dans le quatrième cas.
7o Soit on trouvera et comme on aura
donc
donc, faisant et prenant le signe inférieur, on aura
Ainsi les valeurs de c’est-à-dire les nouvelles valeurs de seront (en excluant qui est la valeur de dont nous avons déjà fait usage) et et mettant ces valeurs dans l’équation
on trouvera que les valeurs correspondantes de seront et
Faisons en premier lieu et on aura les équations
et
Donc, comme et on fera
et par conséquent, en prenant les signes supérieurs, ensuite on fera
et l’on aura à résoudre l’équation
Or on a (43) et donc
Ayant donc et on verra si dans les séries précédentes il se trouve deux termes comme tels que (voyez plus bas la Remarque du no 47) ; or, on trouve précisément et de sorte que ainsi il n’y aura qu’a diminuer dans ces séries tous les indices de à l’imitation de ce que nous avons déjà fait ci-dessus ; de cette manière on aura pour le cas présent
donc et ensuite
donc
donc
et par conséquent
Or
donc
Donc, puisque on aura
À l’égard de l’exposant de et il pourra être un nombre quelconque entier positif, à cause que est égal à et que est toujours égal à comme nous le démontrerons en général (47) ; de sorte que sera toujours pair.
Soit maintenant négatif et égal à on aura et or on trouve dans les séries précédentes donc, diminuant tous les indices de et recommençant les séries après les termes comme nous l’avons déjà dit plus haut, on aura dans le cas présent
par conséquent et
donc
donc
et de là
Or, à cause de on aura
donc
donc
Quant à l’exposant il pourra être de même un nombre quelconque entier positif, à cause que et sont pairs.
Faisons en second lieu on trouvera les équations
et par conséquent
Donc, ayant et on fera
et par conséquent et avec les signes inférieurs ; ensuite de quoi on fera
et la nouvelle équation à résoudre sera
Or, puisqu’on a ici les signes inférieurs, on aura et donc
En examinant les séries précédentes, on trouvera justement et ainsi il n’y aura qu’a diminuer tous les indices de et l’on aura dans le cas présent
donc et ensuite
donc
donc
et de là
Or, ayant pris les signes inférieurs, on aura
donc
Donc, comme on aura
Quant à l’exposant des quantités et il faudra que soit impair, à cause qu’on a pris les signes inférieurs (37) ; or, est toujours égal à comme on peut s’en assurer en continuant la série jusqu’à ce que l’on retrouve les deux premiers termes (voyez aussi plus bas le no 47), et est égal à d’où l’on voit que, quelque valeur entière qu’on donne à sera toujours impair ; ainsi pourra être un nombre quelconque entier positif.
Prenons à présent négatif, savoir on aura et Or, dans les séries précédentes, on trouve et donc, diminuant tous les indices de on aura pour le cas présent
donc et ensuite
d’où
donc
et de là
Or
donc
donc
Ici l’exposant pourra être aussi un nombre quelconque entier positif, à cause que et que ce qui rendra toujours impair.
Soit enfin et on aura
et
Donc, comme et sont on fera
donc avec les signes supérieurs ; ensuite on fera
et l’on aura à résoudre l’équation
Or, ayant on aura d’abord donc (40) et de là
De plus on aura
donc
Donc
Faisant ensuite négatif et égal à on aura toujours et par conséquent
mais on trouvera
Quant à l’exposant il pourra être de même un nombre quelconque entier positif, à cause de et de ce qui rendra toujours pair.
Rassemblant toutes les formules que nous venons de trouver, on aura, pour la solution de l’équation proposée
les expressions suivantes
où
étant un nombre quelconque entier positif.
Et ces formules renfermeront nécessairement toutes les solutions possibles de l’équation dont il s’agit.
Si l’on fait on aura et et les valeurs de et deviendront
qui sont les plus petites qui puissent avoir lieu ; ensuite, faisant successivement on trouvera des valeurs de et toujours plus grandes.
Exemple VI. — Soit encore proposée l’équation
Puisque ne contient aucun facteur carré, et qu’il est en même temps on fera d’abord
et l’on aura une équation de l’espèce de celle du no 34.
Suivant la méthode de ce numéro, on cherchera premièrement un ou plusieurs nombres et tels que soit divisible par donc, puisque est à peu près égal à il est clair, par les deux premières conditions, que devra être et ainsi, en essayant pour tous les nombres naturels depuis jusqu’à inclusivement, on n’en trouvera que deux qui satisfassent à la troisième condition, lesquels sont et de sorte qu’il faudra faire successivement et .
1o Soit \varepsilon=11, on formera les séries suivantes
Donc, puisque on aura c’est-à-dire et comme on aura et par conséquent de sorte que l’équation est résoluble (37).
Ainsi l’on formera, suivant les formules la série jusqu’au terme et l’on trouvera
Donc : 1o on aura, par le no 40,
c’est-à-dire, à cause de racine approchée de
2o On aura, par le no 41,
savoir, à cause de et
Donc, faisant
on aura en général (38)
étant un nombre quelconque positif entier, tel que savoir soit pair, de sorte que pourra être un nombre positif entier quelconque.
2o Soit on formera de même les séries
Or, comme les termes et sont les mêmes que les termes et des séries précédentes, il est clair que tous les termes suivants seront les mêmes aussi (35), de sorte que, pour avoir les valeurs de dans le cas de il n’y aura qu’à prendre celles que nous avons trouvées ci-dessus en diminuant tous les indices de afin que le terme devienne mais, comme les deux premiers termes de et sont ici et il faudra continuer les séries précédentes jusqu’à ce qu’on retrouve les mêmes termes. Or, pour cela il suffit de remarquer que, puisque les deux derniers termes et sont les mêmes que les deux premiers le terme sera le même que le terme et ainsi des autres. De là il est aisé de voir qu’en prenant pour pour on aura par conséquent et et que les valeurs de jusqu’à seront
à l’aide desquelles, si l’on forme la nouvelle série
on aura
et par conséquent, étant égal à
d’où
À l’égard des valeurs de et elles seront les mêmes que ci-dessus, car et sont toujours les mêmes pour une même valeur de (41), et, quant au nombre il pourra être de même un nombre quelconque entier positif, parce que, à cause de et sera toujours pair comme il le faut (37).
On voit par là que les plus petits nombres qui résolvent l’équation proposée sont
qui résultent de la première formule en y faisant ce qui donne et ensuite, en faisant de même dans la seconde formule, on aura les nombres immédiatement plus grands qui peuvent résoudre la même équation, et qui sont
et l’on peut être assuré qu’entre ces nombres-ci et ceux-là il n’y en a pas d’autres qui puissent satisfaire à l’équation dont il s’agit.
Au reste, puisqu’on a trouvé et pairs à la fois, il s’ensuit que cette équation
n’est point résoluble en nombres entiers (37).
47. Remarque. — Quand on a une fois trouvé, pour une équation quelconque,
les valeurs de jusqu’à ( étant égal à et ), ainsi que celles de et que dans la période il se trouve un terme égal à l’unité, ce qui est nécessaire pour que l’équation soit résoluble, alors les mêmes valeurs peuvent servir pour résoudre aussi toute autre équation comme
étant Car nous avons déjà démontré (41) que les valeurs de et de sont toujours les mêmes pour une même valeur de et nous y avons vu que la série ( étant égal à ) est toujours aussi nécessairement la même, pour la même valeur de d’où il s’ensuit, à cause de que la série sera aussi toujours la même, et que par conséquent la série contiendra toujours nécessairement les mêmes termes, quel que soit le premier terme pourvu qu’il s’y trouve un terme comme égal à l’unité.
Ainsi, étant proposée l’équation
on verra si le nombre se trouve parmi les valeurs de si l’on trouve, par exemple, alors il n’y aura qu’à prendre ce terme le premier, et continuer la suite jusqu’à ce qu’on retrouve deux termes consécutifs identiques avec et en recommençant toujours la série quand on sera parvenu au dernier terme ou bien, pour que le premier terme soit toujours désigné
par il n’y aura qu’à diminuer, dans la série déjà trouvée tous les indices du nombre en les augmentant de lorsqu’ils deviendront négatifs.
On en fera de même à l’égard de la série correspondante et l’on aura par ce moyen les nouvelles séries et relatives à l’équation
et à l’aide desquelles on cherchera seulement les nombres et puisqu’on connaît déjà les nombres et Il faudra cependant, pour que le Problème soit soluble, que les nouveaux indices et aient les conditions requises (37) ; c’est ce qu’il faudra d’abord examiner pour ne pas faire des calculs inutiles. Quant à il aura toujours la même valeur, parce que chaque période de la série contenant toujours nécessairement les mêmes termes, il faudra aussi que le nombre de ces termes soit toujours le même ; ainsi il ne s’agira que d’avoir Or, si l’on appelle l’exposant du terme qui était égal à l’unité dans la première série, il est clair qu’on aura si ou si de cette manière on connaîtra sur-le-champ si la nouvelle équation est résoluble ou non.
Si au, contraire le nombre ne se trouve point dans la série alors ce sera une marque sûre que l’équation
n’est point résoluble ; car si l’on formait d’après le nombre la série analogue à la série on n’y trouverait point de terme égal à l’unité.
Il s’ensuit aussi de ce que nous venons de dire que, lorsqu’on a calculé la série d’après une valeur de alors on peut se dispenser de chercher d’autres valeurs de (34), et il n’y aura qu’à voir si dans cette série il y a d’autres termes égaux à et former ensuite de nouvelles séries dont ces termes soient les premiers, comme nous venons de l’expliquer ; par exemple, si étant on diminuera tous les indices de en ajoutant lorsque les restes deviendront négatifs, et l’on aura les nouvelles séries à l’aide desquelles on trouvera de nouvelles valeurs de et c’est ainsi que nous en avons déjà usé dans l’Exemple V.
Ayant résolu plus haut l’équation
supposons maintenant qu’il s’agisse de résoudre encore l’équation
Je trouve, en examinant les valeurs des termes trouvées ci-dessus, que or, comme on avait et la nouvelle valeur de sera (à cause de et ) d’où je conclus que l’équation dont il s’agit est résoluble (37).
Je diminuerai donc tous les indices de en y ajoutant lorsqu’il viendra des restes négatifs, et j’aurai les valeurs suivantes de jusqu’à c’est-à-dire qui sont les seules dont nous ayons besoin pour trouver et
Ainsi, à cause de on trouvera
de sorte qu’on aura ici
les valeurs de et étant exprimées comme dans l’Exemple VI.
De même, si j’avais à résoudre l’équation
je verrais si le nombre se trouve dans la série de l’Exemple IV : et comme il ne s’y trouve point, j’en conclus sur-le-champ qu’une telle équation n’est point résoluble en nombres entiers.
En effet, si l’on fait et qu’on cherche les termes suivants par la méthode générale, il faudra d’abord trouver un nombre et et qui soit tel que soit divisible par d’où l’on voit qu’on ne peut prendre que Soient donc
où l’on voit que dans la série il n’y a aucun terme égal à l’unité.
Application à l’équation étant un nombre positif non carré.
48. Comme est cette équation sera toujours dans le cas de celle du no 34, en faisant
On commencera donc par chercher un nombre entier positif et tel que soit divisible par d’où l’on voit que ne pourra être que le nombre entier qui est immédiatement moindre, que et que nous avons déjà désigné en général par (40), de sorte qu’on aura nécessairement
Connaissant ainsi et on formera les séries et à l’aide des formules et et l’on poussera ces séries jusqu’à ce que l’on trouve deux termes consécutifs comme identiques avec les deux premiers ce qui arrivera toujours nécessairement, comme nous l’avons démontré en général dans le no 35 ; alors il n’y aura plus qu’à chercher les valeurs de et par les formules du no 41, et comme on a et par conséquent (37), savoir on remarquera que la série sera la même que la série et que par conséquent la série sera aussi la même que la série du no 39 ; de sorte qu’ayant formé cette dernière série par les formules on aura sur-le-champ
Or, puisque on aura (40)
et de là
donc on aura en général (38)
étant un nombre entier positif tel, que soit pair ou impair, suivant que l’équation sera (37)
Donc : 1o si l’équation est
devra être pair ; donc, si est pair, on pourra prendre pour un
nombre quelconque entier positif ; si
\mu
est impair, il ne faudra prendre pour que des nombres pairs ; ainsi, toute équation de la forme
est toujours résoluble en nombres entiers.
2o Si l’équation est
il faudra que soit impair, ce qui ne saurait être à moins que ne soit aussi impair, d’où il s’ensuit que si l’indice ou le quantième est un nombre pair, alors l’équation
n’est jamais résoluble en nombres entiers ; au contraire, si l’indice est impair, alors l’équation peut se résoudre par les formules précédentes, en ne prenant pour que des nombres impairs.
49. J’avais déjà donné ailleurs (voyez le tome IV des Recueils de l’Académie de Turin)[2] une démonstration de cette proposition, que toute équation de la forme
étant positif non carré, est toujours résoluble en nombres entiers d’une infinité de manières ; et j’y avais aussi joint une méthode générale pour trouver en même temps toutes les solutions dont une telle équation peut être susceptible. Celle que je viens de donner est non-seulement plus directe et plus simple, mais elle a encore l’avantage de faire voir que l’équation dont il s’agit est toujours résoluble quel que soit ce que je n’avais pu démontrer alors que par un assez long circuit.
Au reste, il est clair que les séries et qui résultent de la supposition de serviront pour résoudre absolument toutes les équations de la forme
quelle que soit la valeur de pourvu qu’elle soit par la Remarque du no 47, parce que, dans ce cas, l’unité se trouve nécessairement parmi les termes de la période
§ IV. — Méthode générale pour reconnaître quand un nombre quelconque donné peut être un diviseur d’un nombre de la forme étant aussi donné, et pour trouver la valeur de dans un très-grand nombre de cas.
50. Les méthodes que nous venons de donner dans les §§ II et III demandent toujours qu’on trouve un nombre moindre que et tel que soit divisible par pour y parvenir, nous avons proposé d’essayer successivement pour tous les nombres naturels moindres que ce qui est très-facile ; mais, comme cette opération serait souvent très-longue, surtout lorsqu’il n’existe point de pareil nombre auquel cas il faudrait essayer successivement tous les nombres moindres que pour pouvoir assurer qu’aucun d’eux ne puisse être pris pour j’ai cru qu’il ne serait pas inutile de donner ici quelques règles générales pour reconnaître à priori si un nombre quelconque donné peut être un diviseur de nous y joindrons d’ailleurs une méthode pour trouver la valeur de dans un très-grand nombre de cas.
51. Il est d’abord évident que, si n’est pas un nombre premier, il faut que soit divisible par chacun des facteurs premiers de en particulier. Voyons donc à quel caractère on peut connaître si un nombre premier donné peut être un diviseur d’un nombre de cette forme étant un nombre donné positif ou négatif.
Si est un diviseur de il est visible qu’il peut l’être aussi de puisqu’il ne s’agit que de prendre pour un multiple de De plus, si est égal à et que soit impair, il est clair aussi que peut toujours être divisible par car il n’y aura qu’à prendre pour un nombre quelconque impair.
Ainsi, la difficulté se réduit au cas où est un nombre premier qui ne soit pas un diviseur de et qui soit en même temps différent de
Or je dis que, dans ce cas, ne peut être divisible par à moins que ne le soit aussi.
Pour démontrer ce théorème, je fais et je multiplie par la quantité suivante.
que je nommerai j’aurai
Or, puisque (par hypothèse) n’est pas divisible par il est clair que, pour que soit divisible par ne doit pas l’être : de plus, est un nombre premier (par hypothèse), donc, par le théorème connu de Fermat (voyez la page 163 de ses Œuvres mathématiques), que M. Euler a démontré dans les Commentaires de Pétersbourg, le nombre sera toujours divisible par donc, si est divisible par il faudra nécessairement que ou bien le soit aussi.
Il en sera de même si doit être divisible par , en supposant et premiers à car mettant à la place de on aura d’abord divisible par mais est toujours divisible par donc il faudra que le soit aussi.
52. Je dis maintenanl que, si est tel que soit divisible par , on pourra toujours trouver un nombre tel que soit aussi divisible par En effet, l’équation
du numéro précédent fait voir que, si est divisible par , le sera aussi, à cause que est toujours divisible par donc, puisque est un nombre premier, il finit que l’un ou l’autre des deux facteurs et soit divisible par par conséquent, si l’on peut trouver une valeur de telle que ne soit pas divisible par , cette valeur rendra nécessairement divisible par ce même nombre
Or, en mettant à la place de on a
qu’on substitue successivement dans cette quantité les nombres jusqu’à à la place de et qu’on désigne les valeurs correspondantes de par il est facile de voir par la théorie des différences que l’on aura
Donc, si tous les nombres jusqu’à inclusivement étaient divisibles par il faudrait que le nombre le fût aussi ; ce qui ne pouvant être, à cause que est un nombre premier, il s’ensuit qu’il y aura nécessairement quelqu’un des nombres qui ne sera pas divisible par par conséquent, il y aura toujours nécessairement au moins un nombre moindre que lequel étant pris pour rendra non divisible par donc ce nombre sera tel que sera divisible par
Ces deux théorèmes sont dus à M. Euler (voyez les tomes I et VI des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg), mais il ne paraît pas que ce grand Géomètre ait jamais pensé à l’usage dont ils peuvent être dans la résolution des équations de la forme (voyez le tome IX des mêmes Commentaires).
53. Nommons cette valeur de il est clair que, si sera à cause de ainsi l’on trouvera toujours une autre valeur de moindre que En général, quel que soit il n’y aura qu’à prendre (10), et l’on pourra toujours déterminer le nombre indéterminé et le signe de en sorte que soit moindre que
Ainsi, dès qu’on aura reconnu que est divisible par on sera sûr qu’il existe toujours un nombre tel que soit divisible par de sorte que, pour trouver ce nombre, il n’y aura qu’a essayer successivement tous les nombres naturels moindres que
54. Si est de la forme alors comme est divisible par le sera ; donc le sera aussi ; donc, si l’on fait
on trouvera par la formule une valeur de telle que soit divisible par ainsi l’on peut toujours dans ce cas trouver la valeur de il n’en est pas de même lorsque est de la forme de à moins que l’on ne trouve par hasard une puissance impaire de comme telle que soit divisible par auquel cas on pourra faire
55. Supposons maintenant que l’on ait trouvé un nombre tel que soit divisible par (nous supposons toujours que est différent de et qu’il n’est pas un diviseur de ), je dis qu’on pourra toujours trouver un nombre tel que soit divisible par
Car, soit
on aura
or, étant divisible par on a donc
d’où l’on voit que cette quantité sera divisible par si est un multiple de c’est-à-dire si ainsi il ne s’agira que de déterminer et en sorte qu’ils satisfassent à cette équation
ce qui, à cause de et premiers entre eux, est toujours possible par la méthode du no 8.
On pourra trouver de même, à l’aide du nombre un autre nombre tel que soit divisible par car, soit et qu’on fasse
on aura
de sorte qu’il n’y aura qu’à déterminer en sorte que l’on ait
laquelle, à cause de et premiers entre eux, est susceptible de la même méthode du no 8.
Donc, en général, on pourra toujours trouver un nombre tel que soit divisible par et faisant ensuite
on aura aussi divisible par de sorte qu’on pourra toujours prendre moindre que
56. Si n’est pas premier à c’est-à-dire si est divisible par ou en général par une puissance quelconque de que je dénoterai par il est clair que, tant que ne sera pas plus grand que sera divisible par en prenant tel que soit divisible par
Mais, lorsque sera il faudra distinguer deux cas, l’un où est un nombre pair et l’autre où est impair.
1o Soit et puisque est divisible par il faudra que le soit aussi, et par conséquent que soit divisible par faisant donc
on aura
expression qui devant être divisible par il faudra que soit divisible par de sorte que, comme n’est pas divisible par la question sera réduite au cas du numéro précédent.
2o Soit et il faudra de même que soit divisible par ce qui ne peut être à moins que ne soit divisible par donc, faisant
on aura
de sorte que, pour que cette quantité soit divisible par il faudra que le soit par par conséquent devra être d’abord divisible par ce qui est impossible à cause que le terme est divisible par et que l’autre terme ne l’est pas. Donc il sera impossible dans ce cas de trouver un nombre tel que soit divisible par
57. Il reste encore à examiner le cas où serait égal à Or, soit d’abord impair, il est clair que devra être impair aussi ; ainsi l’on fera
ce qui donnera
quantité qui doit être divisible par
Pour cela on remarquera que, comme est toujours nécessairement un nombre pair, soit que soit pair ou impair, le terme sera toujours divisible par c’est-à-dire par d’où il s’ensuit que, tant que ne surpassera pas il faudra que soit aussi divisible par et que lorsque surpassera il faudra que soit d’abord divisible par sans cela il sera impossible de trouver un nombre qui satisfasse à la question.
Soient maintenant et divisible par étant aussi il est clair que, si n’est pas il suffira de prendre pour un nombre de cette forme étant un nombre quelconque.
Si il faudra d’abord que soit divisible par c’est-à-dire que le soit par donc
donc, faisant il faudra que soit divisible par c’est-à-dire que soit divisible par
Donc, si n’est pas c’est-à-dire si n’est pas il suffira que soit divisible par par conséquent
étant un nombre entier quelconque.
Si c’est-à-dire si il faudra d’abord que soit divisible par et par conséquent que
ce qui, étant substitué dans l’expression
donnera
ce qui devant être divisible par il faudra que c’est-à-dire soit divisible par
Donc, si n’est pas c’est-à-dire si n’est pas il suffira que soit divisible par c’est-à-dire que l’on ait
Si savoir si alors il faudra d’abord que soit divisible par ce qui donnera
ensuite il faudra que c’est-à-dire
soit divisible par donc,…
Enfin, si était un nombre pair, comme on aurait le cas du no 51 ; ainsi, faisant si n’est pas il suffira de prendre tel que soit divisible par si et impair, il n’y aura aucun nombre qui puisse être pris pour et si et pair, on fera et la question se réduira à déterminer en sorte que soit divisible par étant maintenant un nombre impair ; de sorte que ce cas rentre dans celui que nous venons d’examiner plus haut.
58. Maintenant, soient et deux nombres quelconques premiers entre eux, et supposons que soit divisible par et que le soit par Qu’on prenne
et il est clair que sera divisible à la fois par et par et par conséquent par à cause que et sont premiers entre eux. Ainsi il ne s’agira que de déterminer et en sorte que l’on ait
les signes de et de étant à volonté ; ce qui, à cause de et premiers entre eux, se fera aisément par la méthode du no 8.
Donc, lorsqu’on aura trouvé des nombres tels que soient divisibles respectivement par étant premiers entre eux, on pourra trouver un nombre tel que soit divisible par Ainsi, faisant
on aura divisible par et l’on pourra déterminer en sorte qu’il soit
59. De là, et de ce que nous avons démontré plus haut, je tire les conclusions suivantes.
Pour savoir s’il est possible de trouver un nombre tel que soit divisible par ( et étant donnés), on résoudra le nombre en ses facteurs premiers, et supposant que soit un quelconque de ces facteurs, lequel soit élevé à la puissance on distinguera trois cas suivant que sera égal à ou différent de et premier à ou non.
1o Lorsque est différent de et premier à il faudra que soit divisible par , c’est-à-dire que le reste de la division de élevé à la puissance soit l’unité. Si cette condition n’a point lieu par rapport à chacun des facteurs dont nous parlons, il sera impossible que soit divisible par quel que soit par conséquent, on sera d’abord assuré que l’équation
n’admet absolument aucune solution rationnelle.
2o Lorsque sera égal à ou qu’il sera un diviseur de on verra, par les règles données dans les nos 56 et_57, si l’on peut trouver un nombre tel que soit divisible par si cela ne se peut pas, on en conclura pareillement qu’il n’y aura aucun nombre tel que soit divisible par et qu’ainsi l’équation
ne sera susceptible d’aucune solution rationnelle.
Supposons maintenant que l’on ait reconnu que chacun des diviseurs premiers du nombre a les conditions prescrites ; alors on sera assuré de pouvoir trouver un nombre moindre que et qui soit tel que soit divisible par
De plus, lorsque, parmi les facteurs premiers de qui ne sont pas communs à il ne s’en trouve aucun de la forme de on pourra toujours trouver le nombre dont il s’agit, sans tâtonnement, par les méthodes que nous avons données plus haut (nos 54 et suiv.). Et quand, parmi les facteurs dont nous parlons, il s’en trouvera un ou plusieurs de la forme de alors il suffira de chercher, en tâtonnant, par rapport à chacun d’eux, un nombre moindre que la moitié du facteur donné, et tel que soit divisible par ce même facteur. Après quoi on pourra trouver le nombre par les méthodes données (nos 55 et suiv.). On pourra même souvent s’exempter du tâtonnement, lorsqu’on aura trouvé une puissance impaire de qui, étant divisée par le facteur dont il s’agit, donnera l’unité de reste (54).
60. Soient, par exemple, et comme dans le no 20 ; puisque il faudra voir si est divisible par et si est divisible par c’est-à-dire si est divisible par et par or et par conséquent divisible par et qui n’est pas divisible par parce qu’il donne de reste ; donc il n’existe point de nombre tel que soit divisible par
Si, étant toujours égal à était égal à il faudrait voir si est divisible par et si l’est par c’est-à-dire si est divisible par et si est divisible par et comme ni l’une ni l’autre de ces divisions n’est possible, c’est une marque qu’il n’existe pas non plus de nombre tel que soit divisible par
61. Il est bon de remarquer que, pour savoir si est divisible par on aurait pu se dispenser de chercher la puissance huitièmede d’en retrancher l’unité et de diviser le reste par comme nous avons fait, ce qui exige des opérations assez longues et pénibles ; car, comme tout se réduit à voir si la puissance huitième de étant divisée par donne de reste, il n’y aura qu’à considérer d’abord le carré de qui est et qui, étant divisé par donne le reste ou bien complément de à pour avoir un reste plus petit ; donc le carré de c’est-à-dire la quatrième puissance de étant divisée par le même nombre donnera pour reste le carré de c’est-à-dire et enfin le carré de cette dernière puissance, c’est-à-dire la puissance huitième de donnera pour reste le carré de c’est-à-dire d’où l’on voit que n’est pas divisible par le reste de cette division étant comme on l’a trouvé plus haut.
Cette opération est fondée, comme on voit, sur ce principe que, si étant divisé par donne le reste étant divisé aussi par donnera le reste (j’entends par reste en général tout nombre qui, étant retranché du dividende, rend la division possible, d’où l’on voit que le reste peut être augmenté ou diminué à volonté d’un multiple quelconque du diviseur). En effet, puisque
étant le quotient de la division de par on aura
à cause que tous les termes de sont divisibles par à l’exception du dernier
En général, soient le reste de la division de par et le reste de la division de par sera celui de la division de par car
donc
62. Soient encore et comme est un nombre premier, il faudra voir si étant divisé par donne le reste
Pour cela je décompose l’exposant en ses facteurs premiers qui sont et je commence par prendre le cube de qui est et qui, étant divisé par donne le reste je prends ensuite le cube de ce reste qui est et qui donnera ou bien de reste ; je prends derechef le cube de qui est et j’aurai pour reste ou bien enfin je prends le carré de ce dernier reste, et j’ai encore qui sera par conséquent le reste de la division de par de sorte que sera nécessairement divisible par
Au reste, quoique soit un nombre premier de la forme et que par conséquent on ne puisse pas faire usage directement de la méthode du no 51, pour trouver un nombre tel que soit divisible par cependant, comme on a trouvé que le reste de la division de par est on pourra faire ou bien égal au reste de la division de par
Pour trouver ce reste, je me rappelle que donne de reste et que donne de reste ; d’où il s’ensuit que donnera un reste égal à or, le reste de la division de par est ou bien de sorte que sera aussi le reste de la division de par or, étant égal à on multipliera encore par et le produit ou plutôt le reste de la division de par sera aussi le reste de la division de par le même nombre ainsi l’on aura ce qui s’accorde avec ce que nous avons trouvé dans le no 20.
On voit par là que, lorsqu’il s’agira de chercher le reste de la division de par le nombre premier il sera toujours plus utile de commencer par chercher les restes des puissances impaires de dont les exposants sont des diviseurs de parce que, si l’on en trouve une qui donne de reste, on pourra ensuite par son moyen trouver le nombre
§ V. — Manière de trouver toutes les solutions possibles en nombres entiers des équations du second degré à deux inconnues.
63. Nous avons donné dans le § III la méthode de trouver toutes les solutions possibles en nombres entiers, dont une équation quelconque de la forme
peut être susceptible ; mais, lorsqu’il s’agit de résoudre en nombres entiers une équation quelconque du second degré à deux inconnues, telle que celle du no 1, il ne suffit pas que, dans la réduite et soient des nombres entiers ; il faut de plus que ces deux nombres soient tels que soit divisible par et que le soit par les signes ambigus de et étant à volonté (2).
Or, lorsque est un nombre négatif, nous avons vu (27) que le nombre des solutions de l’équation
est toujours limité ; de sorte qu’il n’y aura qu’à essayer successivement toutes les valeurs de et de qu’on aura trouvées, et l’on verra s’il y en a quelques-unes qui satisfassent aux conditions dont il s’agit ; si aucune n’y satisfait, on en pourra conclure que l’équation proposée n’est point résoluble en nombres entiers.
Il n’en est pas de même lorsque est un nombre positif : car dans ce cas nous avons vu (44) que le nombre des solutions possibles est toujours ou nul ou infini. Il est vrai que, quand l’équation
est résoluble, on peut trouver par nos méthodes des formules générales qui renferment absolument toutes les solutions possibles ; ainsi la ques-
tion se réduit à trouver, parmi cette infinité de valeurs de et toutes celles qui peuvent satisfaire aux conditions prescrites ; c’est l’objet des recherches suivantes.
64. Je remarque d’abord que l’on a en général
étant un facteur quelconque de (22), et les nombres et étant de ces formes (44)
où et sont des nombres entiers donnés, et et sont exprimés par
et étant aussi donnés, et pouvant être un nombre quelconque entier positif, pair ou impair, ou seulement pair, ou seulement impair ; de sorte que toute la difficulté consiste à trouver la valeur qu’il faut donner à l’exposant pour que les deux nombres
soient entiers.
Je remarque, en second lieu, que lorsque le quantième se trouve pair, l’exposant peut toujours être un nombre quelconque entier positif (37), et que dans ce cas on a (41)
Mais, si le quantième est impair, alors l’exposant ne pourra être que pair ou impair, et l’on aura (numéros cités)
Supposons que l’exposant doive être toujours impair, on aura donc donc, en supposant
on aura
et, par conséquent,
expressions qui sont de la même forme que les précédentes, mais dans lesquelles l’exposant de sera toujours pair.
Or, le cas où cet exposant est toujours un nombre pair se ramène aisément au cas où il peut être un nombre quelconque pair ou impair : en effet, puisqu’on a
il est clair que si l’on fait
on aura en général
de sorte qu’il n’y aura dans ce cas qu’à mettre et à la place de et et alors l’exposant pourra être un nombre quelconque pair ou impair.
De plus, on aura
comme dans le cas où l’indice est pair.
De là il s’ensuit que, soit que soit pair ou impair, les quantités et peuvent toujours se réduire à la forme
les quantités et étant exprimées comme ci-dessus, l’exposant pouvant être un nombre quelconque entier positif, et les quantités et étant telles que
65. Cela posé, nous allons examiner en général quel doit être l’exposant pour qu’un nombre quelconque de la forme soit divisible par un nombre quelconque entier ( étant des nombres quelconques entiers donnés, et non divisibles par ).
Pour cela il faut démontrer le théorème suivant :
Soient un nombre premier quelconque, et et des nombres entiers tels que je dis que : 1o si est divisible par le sera aussi ; 2o si n’est pas divisible par (auquel cas le sera nécessairement par le théorème de Fermat), je distingue deux cas, l’un lorsque sera divisible par et l’autre lorsque le sera (car, puisque est premier, il est clair que ne peut être divisible par à moins que l’un ou l’autre de ses deux facteurs ne le soit). Dans le premier cas, je dis que sera divisible par et dans le second, je dis que le sera.
Qu’on considère la quantité et qu’on la développe en série suivant le théorème de Newton, on aura, à cause que est impair,
Or, étant un nombre premier, il est facile de prouver que les coefficients du binôme sont tous divisibles par (voyez le tome I des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg, p. 22) ; donc
sera nécessairement divisible par quels que soient les nombres et Mais, par le théorème de Fermat déjà cité (51), est toujours divisible par lorsque ne l’est pas, de sorte que sera toujours divisible par quel que soit de même sera aussi toujours divisible par et par conséquent
le sera aussi ; donc, ajoutant ou ôtant ces quantités de la précédente, il s’ensuit que
sera toujours divisible par
Donc : 1o si est divisible par il faudra que le soit aussi ; donc, le produit de cette quantité par celle-ci savoir
le sera aussi ; mais on as (par hypothèse), donc sera aussi divisible par donc, ajoutant
à la quantité précédente, on aura la quantité
qui sera nécessairement divisible par
2o Si n’est pas divisible par et que le soit,
le sera aussi ; donc, ajoutant ou retranchant cette quanti té de
on aura la quantité
qui sera aussi divisible par donc, multipliant par on aura le produit
qui sera encore divisible par mais donc la quantité
sera divisible par
3o Si n’est pas divisible par le sera ( ne l’étant pas) ; donc
le sera aussi ; donc, ajoutant ou retranchant cette quantité de la quantité
on aura celle-ci
qui sera aussi divisible par donc, multipliant par le produit le sera aussi ; mais ce produit est
donc, à cause de la quantité
sera nécessairement divisible par
66. Si était égal à alors serait toujours divisible par car
à cause de
67. Nous désignerons dorénavant par l’exposant de tel que soit divisible par un nombre premier quelconque
Ainsi, si est divisible par sera égal à si n’est pas divisible par et que le soit, on aura si est divisible par on aura enfin, si on aura
68. Soit en général divisible par je dis que le sera par
le sera par
En effet, puisque est divisible par (par hypothèse), il est clair que le sera aussi, étant un nombre quelconque entier positif ; donc les quantités suivantes seront toutes divisibles par
Donc
le sera aussi. Donc
le sera ; et, comme ne peut pas l’être, à cause que l’est, il s’ensuit que
le sera nécessairement ; donc, multipliant cette quantité par qui est aussi divisible par le produit sera nécessairement divisible par
On prouvera de même que
sera divisible par de sorte qu’en multipliant cette quantité par on aura le produit qui sera divisible par et ainsi de suite.
69. Donc étant divisible par le sera par le sera par et en général
sera divisible par
70. Considérons maintenant la quantité
qui doit être divisible par (65). Il est clair que, quel que soit le nombre on peut toujours le mettre sous cette forme ( étant des nombres premiers) ; de plus, il est évident que, pour que la quantité dont il s’agit soit divisible par il faut qu’elle le soit en particulier par chacun des facteurs et vice versâ. Il est facile de voir que, dès que la même quantité sera divisible par chacun de ces facteurs, elle le sera aussi nécessairement par leur produit d’où il s’ensuit que la question se réduit à rechercher les conditions nécessaires pour que la quantité
soit divisible par autant de nombres qu’on voudra de la forme étant un nombre premier quelconque.
Or, si l’on substitue les valeurs de et et ensuite celles de et (64), la quantité dont il s’agit deviendra de cette forme
pouvant être un nombre quelconque entier positif.
Supposons qu’il y ait un nombre tel que cette quantité soit divisible par je dis que, si est plus grand que ayant la valeur que nous lui avons assignée (67), et qu’on prenne le reste de la division de par lequel soit dénoté par la même quantité sera aussi nécessairement divisible par en prenant le nombre à la place du nombre
Car, soit
étant le quotient de la division de par puisque
est divisible par (69),
le sera aussi ; donc, multipliant par le produit
sera aussi divisible par donc
seront tous les deux divisibles par donc, retranchant ces quantités de la quantité
on aura la quantité
qui sera pareillement divisible par
71. De là il s’ensuit que, si la quantité
est divisible par en donnant à l’exposant de et une certaine valeur quelconque, il faudra aussi nécessairement que la même quantité soit divisible par en prenant moindre que
Ainsi, pour reconnaître si la quantité dont il s’agit peut être divisible par il n’y aura qu’à faire successivement
et si aucune de ces suppositions ne rend la proposée divisible par ce sera une marque sûre qu’elle ne le deviendra jamais, quelque valeur qu’on puisse donner à de sorte qu’on en pourra conclure que la quantité dont il s’agit ne peut jamais être divisible par
Mais, si l’on trouve une ou plusieurs valeurs de moindres que qui rendent la quantité proposée divisible par alors, nommant l’une quelconque de ces valeurs, toutes les autres valeurs possibles de qui auront la même propriété seront comprises dans cette formule
étant un nombre quelconque entier positif.
72. Donc, pour que la quantité
puisse être divisible par il faudra (70 et 71) qu’elle le soit par en prenant par en prenant
Si une seule de ces conditions manquait, il en faudrait conclure qu’il serait impossible que la quantité dont il s’agit pût jamais être divisible par quelque valeur qu’on donnât à
Supposons donc que toutes ces conditions se trouvent remplies, et soit la valeur ou les valeurs (s’il y en a plus d’une) de moindres que qui rendent la quantité divisible par celles qui rendent la même quantité divisible par ( étant ), et ainsi des autres, on aura en général, en prenant des nombres quelconques entiers
De sorte que, pour trouver les valeurs de l’exposant qui rendront la quantité proposée divisible par il ne s’agira que de déterminer les nombres en sorte que l’on ait
ce que l’on peut exécuter par la méthode du no 8.
En général, on voit que la question se réduit à trouver on nombre qui, étant divisé par donne le reste étant divisé par donne le reste étant divisé par donne le reste et ainsi de suite. Or, on a plusieurs méthodes abrégées pour résoudre ces sortes ch » Problèmes.
La plus simple est celle-ci : soient les diviseurs en sorte que l’on ait dans notre cas et les restes On cherchera d’abord le plus petit multiple commun de tous les diviseurs et on rappellera On cherchera ensuite le plus petit multiple commun de savoir de tous les diviseurs à l’exception de et l’on appellera ce multiple on cherchera de même le plus petit multiple commun de c’est-à-dire de tous les diviseurs moins et on l’appellera et ainsi de suite. Enfin on cherchera par la méthode du no 8 des nombres entiers tels que
(le nombre de ces équations doit être égal à celui des diviseurs moins un), et faisant, pour abréger,
on aura en général
étant un nombre entier quelconque.
La démonstration est facile à déduire du no 8 ; ainsi nous ne nous y arrêterons pas.
Si les nombres et sont premiers entre eux, il est toujours possible de résoudre l’équation
et même d’une infinité de manières (8) ; mais il suffira pour notre objet d’avoir une seule valeur de pour la substituer dans la quantité
Mais, si les nombres et ne sont pas premiers entre eux, alors, pour que l’équation
soit résoluble en nombres entiers, il faudra que soit divisible par la plus grande commune mesure de et (numéro cité), de sorte que, si cette condition n’a point lieu, il en faudra conclure qu’il est impossible de trouver un nombre qui ait les propriétés requises, et que par conséquent la quantité
ne pourra jamais être divisible par On dira la même chose par rapport aux autres équations
auxquelles il faut satisfaire.
Ainsi, pour pouvoir s’assurer si la quantité
peut être divisible par et pour trouver en même temps les valeurs de l’exposant qui peuvent la rendre telle, il suffira d’examiner successivement toutes les valeurs de cette quantité qui répondent à
jusqu’au plus grand des nombres
d’où l’on voit que ce tâtonnement sera toujours limité.
73. Supposons maintenant qu’on ait une autre quantité telle que
qui doive être divisible par on trouvera de la même manière que ci-dessus que l’exposant qui peut la rendre telle (s’il y en a un), sera
exprimé en général par
et étant des nombres connus, et un nombre quelconque entier.
Donc, si l’on veut que les quantités
soient en même temps divisibles, la première par et la seconde par il faudra que soit en même temps de ces deux formes : et de sorte qu’il ne s’agira que de trouver des nombres entiers et tels que l’on ait
Problème que l’on résoudra par la méthode du no 8 ; et l’on trouvera que la valeur de sera de cette forme
étant le plus petit multiple commun de et étant un nombre donné et un nombre quelconque entier ; de sorte qu’il y aura toujours une infinité de valeurs de qui satisferont à ces deux conditions.
74. Donc, puisque les valeurs des inconnues et d’une équation quelconque du second degré (2 et 64) se réduisent toujours, lorsque et sont des nombres entiers et que est un nombre positif, à ces formes
l’exposant des quantités qui entrent dans les expressions de et pouvant être un nombre quelconque entier positif, on reconnaîtra aisément par les méthodes précédentes si les inconnues et peuvent être des nombres entiers ; et dans ce cas on trouvera aussi toutes les valeurs possibles de l’exposant qui peuvent rendre et des nombres entiers, valeurs dont le nombre sera toujours infini.
De sorte que le nombre des solutions en nombres entiers, dont une équation quelconque du second degré à deux inconnues est susceptible, sera toujours nécessairement ou nul ou infini.
Il resterait à donner quelques exemples pour montrer l’application des méthodes précédentes, mais comme elle ne peut avoir aucune difficulté, nous croyons pouvoir nous dispenser d’entrer dans ce détail, pour ne pas rendre ce Mémoire trop long.
§ VI. — Remarques particulières.
I.
La quantité peut être regardée comme le produit de ces deux-ci : et d’où il s’ensuit que, si l’on multiplie cette quantité par une autre quantité de la même forme, telle que on aura le produit de ces quatre quantités
or, le produit de par est
et celui de par est de même
c’est-à-dire qu’en faisant
ces produits sont
donc le produit de par sera égal à celui de par c’est-à-dire égal à
Si, au lieu de multiplier d’abord par et par on multipliait par et par on aurait les produits
dans lesquels
de sorte qu’on aura en général
comme nous l’avons vu (9).
Cette analyse a l’avantage défaire voir clairement pourquoi le produit de deux quantités de la forme ne peut être que deux fois de la même forme ; en effet, en réduisant l’équation
à la forme
il est visible qu’on n’y peut satisfaire que par ces deux suppositions
ou
ce qui donne les deux valeurs de et que nous avons trouvées.
Donc, puisque le produit de deux quantités de la forme est deux fois de la même forme, le produit de trois de ces quantités sera quatre fois de la même forme, le produit de quatre quantités sera huit fois de la même forme, et ainsi de suite ; à moins que quelques-unes de ces formes ne soient détruites par l’évanouissement des quantités </math> ce qui doit arriver nécessairement lorsqu’on multiplie ensemble des quantités égales.
En effet, si l’on fait et en sorte que
les doubles valeurs de et se réduiront à celles-ci
et
dont les dernières ne nous apprennent rien ; de sorte que dans ce cas on n’aura, à proprement parier, qu’une seule valeur de et une de
Mais voyons en général quelles sont les expressions de et qui peuvent satisfaire à l’équation
Suivant notre méthode, on réduira cette équation à la forme
et l’on fera
d’où l’on aura
expressions qui seront toujours rationnelles, comme il est facile de s’en assurer par le développement des puissances de et de
Si l’on faisait
on aurait les mêmes valeurs de et de que nous venons de trouver, à l’exception que celle de serait négative, ce qui est indifférent ici.
II.
Si l’on avait à multiplier ensemble deux quantités de cette forme
on pourrait démontrer par la méthode précédente que le produit serait aussi de la même forme.
Car soient
les deux quantités qu’il s’agit de multiplier l’une par l’autre : en faisant, pour abréger,
et de même
elles deviendront
dont le produit peut se réduire à cette forme
Or, il est facile de voir qu’on aura
en faisant
d’où il s’ensuit que le produit des deux quantités données sera
et par conséquent de la même forme que ces mêmes quantités.
Si l’on voulait avoir le carré de
il n’y aurait qu’à supposer dans les formules précédentes et l’on aurait, en prenant le signe supérieur,
et, en prenant l’inférieur,
On pourra trouver de même le cube et les puissances plus hautes de
lesquelles seront toujours aussi de la même forme, de sorte qu’on pourra résoudre en général l’équation
Au reste, il faut remarquer que, pour avoir toutes les valeurs possibles de et il faudra faire successivement chacune des quantités positive et négative, à cause qu’il n’y a que les carrés de ces quantités qui entrent dans la quantité donnée
III.
Si l’on voulait trouver des fonctions de plus de deux dimensions qui eussent la même propriété, que le produit de deux fonctions semblables fût aussi une fonction semblable, on y parviendrait aisément par la considération suivante.
Que l’on considère la quantité irrationnelle
étant une des racines ième de l’unité, il est facile de voir que, si l’on multiplie ensemble deux expressions semblables, le produit sera aussi de la même forme.
Or, si l’on désigne par les différentes valeurs de c’est-à-dire les différentes racines de l’équation et par les valeurs correspondantes de on sait que le produit sera toujours une quantité rationnelle ; donc cette quantité aura la propriété requise.
En effet, soit
et la quantité sera rationnelle et semblable à la quantité donc, si l’on fait
on aura mais en multipliant par et nommant le produit on trouvera, à cause de
étant des fonctions rationnelles de et donc si l’on fait de même
la quantité sera rationnelle et semblable à et à et l’on aura
De là on voit que, si l’on multiplie ensemble autant de fonctions semblables à qu’on voudra, le produit sera toujours aussi une fonction semblable.
Donc, si l’on élève à une puissance quelconque, cette puissance sera toujours aussi une fonction semblable à sa racine.
Pour trouver en général l’expression d’une puissance quelconque il faudra trouver d’abord celle de qui sera nécessairement de la forme
et alors on aura
Soit donc en général
comme cette équation doit être identique, et par conséquent avoir lieu pour toutes les valeurs de on aura celles-ci
qui seront au nombre de donc, comme les quantités sont aussi au même nombre, on pourra les déterminer à l’aide de ces mêmes équations, et il est facile de voir qu’à cause que sont les racines de l’équation dont tous les termes intermédiaires manquent, on aura
expressions qui deviendront rationnelles par la substitution des valeurs de comme il est facile de s’en convaincre par cette considération que l’on a
et ainsi de suite ; de sorte qu’on pourra avoir les valeurs de indépendamment des racines
Cette même considération suffit aussi pour faire trouver en général la valeur de sans connaître les racines car, si l’on fait
et ensuite
la quantité sera égale, comme on sait, au terme ième de la série mais il est facile de voir que les valeurs de ne peuvent contenir d’autres fonctions des racines que la somme de ces racines, ou de leurs carrés, ou de leurs cubes, etc. ; donc, etc.
En général, il est évident que la quantité n’est autre chose que, le dernier terme de l’équation dont les racines seraient c’est-à-dire de l’équation qui résultera de celle-ci
en la délivrant des quantités radicales et l’ordonnant ensuite par rapport à ou bien (ce qui revient au même) de l’équation résultante de l’élimination de dans ces deux-ci
Soit en sorte que
on trouvera
c’est le cas que nous avons examiné plus haut (1).
Soit en sorte que
on trouvera
Donc, si l’on fait de même
le produit sera de la même forme, c’est-à-dire qu’on aura
et pour avoir les valeurs de et on considérera que
d’où l’on aura
Si l’on faisait et les quantités et deviendraient
mais leur produit ne serait plus de la même forme, à cause que la quantité ne deviendrait pas nulle.
Soit en sorte que
on trouvera
et le produit d’autant de fonctions de cette forme qu’on voudra sera toujours une fonction de la même forme, et ainsi de suite.
IV.
Si l’on avait à résoudre l’équation
il est évident qu’on y parviendrait si l’on pouvait rendre chaque facteur de comme égal à une puissance ième, étant toujours une des racines de l’équation
Soit donc en général
en sorte que
il est facile de concevoir que la valeur de ne peut être exprimée que de cette manière
cette quantité étant élevée à la puissance on aura (numéro précédent)
donc
et la valeur de sera égale à
Donc le Problème sera résoluble, au moins par cette méthode, toutes les fois qu’on pourra satisfaire aux équations
mais, quoique ces équations ne soient qu’au nombre de et que les indéterminées soient au nombre de il arrivera bien souvent qu’il ne sera pas possible de les résoudre rationnellement.
Le cas de ayant déjà été examiné (1), faisons et l’on aura
Soit maintenant en sorte qu’il s’agisse de résoudre l’équation
et faisant le carré de on aura
en sorte qu’on aura
par conséquent,
et l’équation à laquelle il faudra satisfaire sera
laquelle donne sur-le-champ
de sorte qu’en substituant cette valeur de dans celles de et on aura
À l’égard de on trouvera, comme dans le numéro précédent,
ou bien, en substituant pour sa valeur
Si l’on voulait éviter les fractions, il n’y aurait qu’à multiplier et par le carré et par le cube et l’on aurait plus simplement
Soit en sorte que l’équation à résoudre soit
on fera le cube de et l’on aura
d’où
ainsi l’on aura
et il faudra qu’on ait savoir
quant à la valeur de elle sera la même que ci-dessus, savoir
Ainsi, toute la difficulté se réduit à résoudre l’équation
c’est-à-dire à trouver une valeur quelconque rationnelle de ou de ou de qui satisfasse à cette équation.
Pour la mettre sous une forme plus simple, faisons et divisant par on aura
ou bien, divisant par
soit de plus on aura
donc l’équation précédente deviendra celle-ci
c’est-à-dire
soit encore et l’on aura
c’est-à-dire que devra être un cube, et par conséquent que devra en être un aussi, dont la racine sera
Mais, comme nous ne nous proposons pas ici de traiter cette matière à fond, nous ne nous y arrêterons pas davantage quant à présent ; nous observerons seulement que M. de Fermat prétend, dans ses Remarques sur Diophante, avoir démontré en général ce théorème, que l’équation
n’est jamais résoluble d’une manière rationnelle lorsque surpasse ; mais ce Savant ne nous a pas laissé sa démonstration, et il ne paraît pas que personne l’ait encore trouvée jusqu’à présent. M. Euler a, à la vérité, démontré ce théorème dans le cas de et de par une analyse particulière et très-ingénieuse, mais qui ne paraît pas applicable en général à tous les autres cas ; ainsi, ce théorème est un de ceux qui restent encore à démontrer, et qui méritent le plus l’attention des Géomètres.