Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin/Sur la construction des Cartes géographiques

Joseph-Louis Lagrange

Sur la construction des Cartes géographiques

Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome IV (p. 637-692).

SUR LA
CONSTRUCTION DES CARTES GÉOGRAPHIQUES.

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(Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, année 1779.)

PREMIER MÉMOIRE.

Une Carte géographique n’est autre chose qu’une figure plane qui représente la surface de la Terre, ou une de ses parties. Cette représentation n’aurait aucune difficulté si la Terre était plate, ou si elle était un solide quelconque terminé par des surfaces planes ; il en serait de même si la Terre avait une figure courbe telle qu’elle pût se développer sur un plan, ce qui a lieu à l’égard des cônes et d’une infinité d’autres surfaces courbes. Mais la Terre étant sphérique, ou plutôt sphéroïdique, il est impossible de représenter sur un plan une partie quelconque de sa surface sans altérer les positions et les distances respectives des différents lieux ; et la plus grande perfection d’une Carte géographique doit consister dans la moindre altération de ces distances.

Dans l’impossibilité de construire des Cartes géographiques qui soient la représentation exacte des différents lieux de la Terre, les Géographes ont pensé à former des espèces de tableaux, où les mêmes lieux soient placés suivant les règles de la Perspective ; c’est ce qui a donné naissance aux différentes espèces de projections géographiques, lesquelles ne diffèrent que dans la position de l’œil et dans celle du plan de projection par rapport à la surface du globe terrestre.

Comme la situation des différents lieux de la Terre se détermine par les cercles de longitude et de latitude qui passent par ces lieux, toute la difficulté consiste dans la projection de ces cercles, et il est facile de concevoir que la projection d’un cercle quelconque du globe ne peut être qu’une section conique, formée par l’intersection du plan de projection avec le cône qui aura ce même cercle pour base, et dont le sommet sera dans le lieu de l’œil.

Si l’œil est dans le centre du globe, la projection se nomme centrale et elle a la propriété que tous les grands cercles se trouvent représentés par des lignes droites ; mais les petits cercles le sont par des cercles ou par des ellipses, suivant que leur plan est parallèle ou non au plan de projection. On se sert quelquefois de cette projection pour les Mappemondes, et l’on y suppose ordinairement que le plan de projection est parallèle à l’équateur, moyennant quoi tous les cercles de latitude deviennent aussi des cercles dans la Mappemonde ; mais elle n’est guère usitée pour les Cartes particulières qui ne représentent qu’une partie de la surface de la Terre ; elle l’est davantage pour les Cartes célestes, et c’est, en général, à cette projection que se réduit toute la Gnomonique, les lignes horaires d’un cadran quelconque n’étant autre chose que les projections centrales des cercles horaires de la sphère.

Au reste des Cartes géographiques construites d’après cette projection auraient le grand avantage que tous les lieux de la Terre, qui sont situés dans un même grand cercle du globe, se trouveraient placés en ligne droite dans la Carte ; en sorte que, pour avoir le plus court chemin d’un lieu de la Terre à l’autre, il n’y aurait qu’à joindre ces deux lieux dans la Carte par une ligne droite.

En plaçant l’œil à la surface du globe, et en prenant le plan de projection perpendiculaire au rayon visuel mené de l’œil au centre, on a la projection connue sous le nom de projection stéréographique, imaginée d’abord par Ptolémée pour la construction des astrolabes ou planisphères célestes, et adoptée ensuite par la plupart des Géographes modernes pour la construction des Cartes terrestres. La principale propriété de cette projection consiste en ce que tous les cercles du globe y sont pareillement représentés par des cercles ; en sorte qu’il suffit de déterminer la projection de trois points quelconques d’un méridien ou d’un parallèle, pour pouvoir tracer la projection entière du cercle. On trouve dans différents Traités de Géographie des règles pour tracer les méridiens et les parallèles, quelle que soit la position de l’œil sur la surface du globe. On peut aussi voir sur ce sujet un Mémoire de M. Kætner dans le Recueil de ses Dissertations physiques et mathématiques.

Cette belle propriété de la projection stéréographique a été découverte par Ptolémée, et exposée dans son Traité intitulé Sphœrœ a planetis projectio in planum, Ouvrage qui ne nous est parvenu qu’en arabe et dont Commandin a donné en 1558 une édition latine avec des Commentaires. Elle dépend, en général, de ce que la section du cône visuel est toujours antiparallèle à la base, en sorte que, celle-ci étant un cercle, la section ou projection de ce cercle doit en être un aussi.

Mais la même projection stéréographique a encore une autre propriété très-remarquable, qui ne paraît pas avoir été aperçue par Ptolémée ; c’est que les cercles de la projection se coupent sous les mêmes angles que les cercles du globe, en sorte que tous les angles formés sur la surface du globe se trouvent les mêmes dans la projection ; d’où il s’ensuit qu’une portion quelconque infiniment petite de cette surface conserve la même figure dans la projection et n’est altérée que dans la grandeur. Nous verrons dans la suite de ce Mémoire que cette propriété n’est pas particulière à la projection stéréographique, mais $a$ lieu aussi dans les Cartes marines réduites, et dans une infinité d’autres espèces de Cartes qu’on pourrait construire.

Enfin, si l’on suppose l’œil à une distance intinie du globe, en sorte que tous les rayons visuels soient des droites parallèles entre elles, et qu’on prenne le plan de projection perpendiculaire à ces rayons, on a la projection orthographique, dans laquelle les cercles du globe sont des lignes droites, ou des cercles, ou des ellipses, suivant que leur plan est parallèle, ou perpendiculaire, ou oblique aux rayons visuels. Cette espèce de projection n’est guère employée dans la Géographie, mais elle l’est beaucoup dans l’Astronomie pour le calcul des éclipses, et dans la Gnomonique pour la construction des cadrans analemmatiques.

Telles sont les espèces principales de projections, et il est clair qu’on peut en imaginer une infinité d’autres en donnant différentes positions à l’œil et au plan de projection. Mais toutes ces projections ont le défaut d’altérer plus ou moins la grandeur et la figure des divers pays qu’on y représente et M. de la Hire a trouvé que cette altération serait la moindre à quelques égards, si l’on plaçait l’œil hors du globe à une distance de sa surface égale au sinus de la huitième partie de la circonférence d’un grand cercle (voyez les Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris pour 1701) ; mais cet avantage n’a peut-être pas paru assez grand aux Géographes pour leur faire adopter une projection qui a en même temps l’inconvénient de représenter la plupart des cercles du globe par des ellipses.

L’idée de tracer les Cartes géographiquescomme des projections de la surface du globe sur un plan est très-simple et très-naturelle ; mais rien n’oblige à la suivre sans exception. Aussi plusieurs savants Géographes s’en sont écartés, et ont employé différentes manières de représenter les cercles des longitudes et des latitudes terrestres, soit par des lignes droites ou par des cercles, ou même par des lignes mécaniques. On peut en effet regarder les Cartes géographiques sous un point de vue plus général et comme des représentations quelconques de la surface du globe ; alors il n’y a qu’à tracer les méridiens et les parallèles suivant une loi quelconque donnée, et placer les divers lieux par rapport à ces lignes comme ils le sont sur la surface de la Terre par rapport aux cercles de longitude et de latitude. De cette manière la construction d’une Carte géographique devient un Problème entièrement indéterminé ; mais on peut le déterminer en l’assujettissant à certaines conditions données, indépendantes de la considération des projections. On en a un exemple dans les Cartes marines réduites ou par latitudes croissantes, dans l’invention desquelles on n’a eu d’autre but que de faire en sorte que les différents rumbs de vent y soient représentés par des lignes droites qui fassent entre elles les mêmes angles que ces rumbs font dans la rose du compas ; cette condition exige premièrement que tous les méridiens soient des lignes droites parallèles, et que tous les parallèles à l’équateur soient pareillement des lignes droites qui coupent les méridiens à angles droits ; et ensuite que les degrés de latitude et de longitude dans la Carte conservent entre eux les mêmes proportions que ces degrés ont sur la surface du globe ; de sorte que, comme les degrés de longitude sont supposés constants dans la Carte et que sur le globe ce sont les degrés de latitude qui sont constants, il faut que dans la Carte les degrés de latitude croissent dans la même raison que ceux de longitude décroissent sur le globe, c’est-à-dire en raison inverse du cosinus de la latitude, ou, ce qui revient au même, en raison directe des sécantes de la latitude ; d’où l’on conclut ensuite par le Calcul intégral que la distance entre l’équateur et un parallèle quelconque doit être proportionnelle au logarithme de la tangente du demi-complément de la latitude de ce parallèle ; ce qui est le fondement connu de la construction des Cartes réduites.

Feu M. Lambert est le premier qui ait envisagé la Théorie des Cartes géographiques sous le point de vue général que je viens d’exposer, et qui ait en conséquence eu l’idée de déterminer les lignes des méridiens et des parallèles par la seule condition que tous les angles faits dans le plan de la Carte soient égaux aux angles correspondants sur la surface du globe. Ce Problème, dont on trouve une solution générale dans le troisième Volume des Beyträge zum Gebrauche der Mathematik, etc., a depuis été résolu aussi par M. Euler dans le Volume qui vient de paraître des Actes de l’Académie de Pétersbourg pour l’année 1777 ; mais ces deux illustres Auteurs se sont contentés ensuite de faire voir que les Théories connues de la projection stéréographique et des Cartes réduites sont renfermées dans cette solution, et personne n’a encore entrepris de donner à ces Théories toute l’extension dont elles sont susceptibles, en déterminant tous les cas où la solution dont il s’agit peut donner des cercles pour les méridiens et les parallèles.

Cette recherche, également intéressante par les artifices analytiques qu’elle demande et par l’utilité dont elle peut être pour la perfection des Cartes géographiques, me paraît digne de l’attention des Géomètres et propre à fournir la matière d’un Mémoire. Je résoudrai d’abord le même Problème par une méthode différente de celle de MM. Lambert et Euler, et, si je ne me trompe, plus simple et plus générale à quelques égards ; j’appliquerai ensuite la solution générale au cas particulier dans lequel on suppose que les méridiens et les parallèles soient des cercles, qui sont les seules courbes qu’on puisse employer facilement dans la construction des Cartes géographiques ; et je résoudrai d’ailleurs quelques autres questions relatives à cet objet et d’où résultent plusieurs conséquences utiles.

1. Je suppose d’abord, pour plus de généralité, que la Terre est un sphéroïde quelconque engendré par la révolution d’une courbe donnée autour d’un axe fixe ; cette courbe sera celle de tous les méridiens de la Terre, et son axe sera en même temps l’axe de la Terre. Je rapporte la même courbe à son axe au moyen de deux coordonnées rectangles $p$ et $q,$ dont l’une $p$ soit l’abscisse prise dans l’axe depuis le pôle de la Terre, et dont l’autre $q$ soit l’ordonnée perpendiculaire à l’axe. Je nomme ensuite $s$ l’arc correspondant, c’est-à-dire l’arc d’un méridien compté depuis le pôle, et $t$ l’angle que le plan de ce méridien fait avec le premier méridien dont la position est arbitraire. Il est visible que la position d’un lieu quelconque sur la surface de là Terre sera déterminée par l’arc $s$ du méridien, qui passe par ce lieu, et par l’angle $t$ de ce méridien avec le premier méridien on voit en même temps que dans le cas de la Terre sphérique l’arc $s$ sera (en prenant le rayon de la Terre pour unité) la distance au pôle, ou le complément de la latitude du lieu, et l’angle $t$ la longitude de ce même lieu ; et l’on aura dans ce cas

$p=\cos s,\quad q=\sin s.$

En général, quelle que soit la figure de la Terre, pourvu qu’elle soit sphéroïdique, l’angle $t$ sera toujours égal à la longitude, et l’arc $s$ du méridien sera une fonction donnée de la latitude.

Cela posé, imaginons que le même lieu soit placé sur la Carte géographique de manière que sa position soit déterminée par deux coordonnées rectangles $x$ et $y,$ $x$ étant l’abscisse prise sur un axe quelconque, et $y$ l’ordonnée perpendiculaire à cet axe ; il est clair que ces deux quantités $x,y$ doivent dépendre des quantités $s,t,$ c’est-à-dire être des fonctions de ces deux dernières quantités ; et il est visible que, si dans ces fonctions on fait la variable $t$ constante, on aura les coordonnées de la courbe qui représente le méridien dont la longitude est $t\,;$ au contraire, si l’on y fait $s$ constante, on aura les coordonnées de la courbe qui représente le parallèle auquel répond l’arc du méridien $s$.

2. Considérons maintenant deux lieux infiniment proches, qui sur la surface de la Terre soient déterminés par les variables $s,t$ et $s+ds,$ $t+dt,$ et qui le soient sur la Carte par les variables correspondantes $x,y$ et $x+dx,\ y+dy\,;$ et cherchons les distances de ces deux lieux sur la surface de la Terre et sur la Carte. Il est évident que la première de ces distances sera exprimée par ${\sqrt {ds^{2}+q^{2}dt^{2}}},$ puisque $ds$ est la différence des deux arcs de méridien qui passent par les deux lieux, et que $qdt$ est l’arc du parallèle compris entre ces-deux méridiens ; et que la seconde le sera par la formule ordinaire ${\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}},$ puisque $x$ et $y$ sont des coordonnées rectilignes et rectangles.

Or la plus grande perfection d’une Carte géographique serait que ces distances fussent égales, car alors toutes les autres distances petites et grandes seraient aussi les mêmes sur la surface de la Terre que sur la Carte ; mais, pour donner à nos recherches toute la généralité possible, nous supposerons que ces distances soient entre elles dans une proportion quelconque exprimée par $1:m,$ en sorte que l’on ait

${\sqrt {ds^{2}+q^{2}dt^{2}}}:{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=1:m.$

d’où l’on tire l’équation fondamentale

$dx^{2}+dy^{2}=m^{2}\left(ds^{2}+q^{2}dt^{2}\right),$

qu’il s’agit maintenant de résoudre.

3. Pour cet effet, je remarque d’abord que l’ordonnée $q$ de la courbe des méridiens est une fonction de l’arc $s$ donnée par la nature de cette courbe ; de sorte que ${\frac {ds}{q}}$ sera une quantité intégrable, ou du moins qui peut être supposée telle, puisqu’elle ne contient qu’une variable. Faisant donc

${\frac {ds}{q}}=du,\quad mq=n,$

l’équation proposée se change en celle-ci

$dx^{2}+dy^{2}=n^{2}\left(du^{2}+dt^{2}\right),$

dans laquelle $t$ et $u$ sont deux variables indépendantes l’une de l’autre, et $n$ est une quantité jusqu’ici indéterminée. Et la question se réduit à déterminer au moyen de cette équation les valeurs de $x$ et $y$ en fonction de $t$ et $u.$

Comme l’équation dont il s’agit contient deux inconnues $dx$ et $dy,$ pour la résoudre de la manière la plus générale et la plus simple, je prends un angle indéterminé $\omega ,$ et je la multiplie par celle-ci

$1=\sin ^{2}\omega +\cos ^{2}\omega ,$

en observant que le produit des deux carrés $\sin ^{2}\omega +\cos ^{2}\omega$ par les deux carrés $du^{2}+dt^{2}$ peut de même se mettre sous la forme de deux carrés de cette manière

$(\sin \omega du-\cos \omega dt)^{2}+(\cos \omega du+\sin \omega dt)^{2}\,;$

j’aurai donc ainsi la transformée

$dx^{2}+dy^{2}=n^{2}(\sin \omega du-\cos \omega dt)^{2}+n^{2}(\cos \omega du+\sin \omega dt)^{2},$

qui à cause de l’indéterminée $\omega$ peut se partager dans ces deux-ci

${\begin{aligned}dx=&n(\sin \omega du-\cos \omega dt),\\dy=&n(\cos \omega du+\sin \omega dt).\end{aligned}}$

Et il ne restera plus qu’à faire en sorte que ces valeurs de $dx$ et de $dy$ soient des différentielles complètes ; ce qui est possible au moyen des deux indéterminées $n$ et $\omega .$

En effet si l’on fait, pour abréger,

$n\sin \omega =\alpha ,\quad n\cos \omega =\beta ,$

on aura ces deux formules

$dx=\alpha du-\beta dt,\quad dy=\beta du+\alpha dt,$

qui doivent être intégrables et auxquelles on peut appliquer la méthode connue de M. d’Alembert.

Suivant cette méthode, on multipliera la seconde par ${\sqrt {-1}},$ ensuite on l’ajoutera à la première, et on l’en retranchera, ce qui donnera ces deux-ci

${\begin{aligned}dx+dy{\sqrt {-1}}=&\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\left(du+dt{\sqrt {-1}}\right),\\dx-dy{\sqrt {-1}}=&\left(\alpha -\beta {\sqrt {-1}}\right)\left(du-dt{\sqrt {-1}}\right),\end{aligned}}$

lesquelles devant être pareillementintégrables, il s’ensuit que $\alpha +\beta {\sqrt {-1}}$ ne peut être qu’une fonction de $u+t{\sqrt {-1}},$ et $\alpha -\beta {\sqrt {-1}}$ une fonction de $u-t{\sqrt {-1}}\,;$ et ces deux fonctions étant intégrées donneront les valeurs de $x+y{\sqrt {-1}}$ et $x-y{\sqrt {-1}},$ d’où l’on tirera $x$ et $y.$

Dénotons, en général, par les caractéristiques $f$ et $\operatorname {F}$ deux fonction indéterminées quelconques, en sorte que $f(z),\operatorname {F} (z)$ soient deux fonctions quelconques de $z\,;$ dénotons de plus par $f'(z),\operatorname {F} '(z)$ les différentielles de ces fonctions, en sorte que

$f'(z)={\frac {df(z)}{dz}},\quad \operatorname {F} '(z)={\frac {d\operatorname {F} (z)}{dz}}\,;$

on fera

${\begin{aligned}\alpha +\beta {\sqrt {-1}}=&f'\left(u+t{\sqrt {-1}}\right),\\\alpha -\beta {\sqrt {-1}}=&\operatorname {F} '\left(u-t{\sqrt {-1}}\right),\end{aligned}}$

et l’on aura

${\begin{aligned}x+y{\sqrt {-1}}=&f\left(u+t{\sqrt {-1}}\right),\\x-y{\sqrt {-1}}=&\operatorname {F} \left(u-t{\sqrt {-1}}\right)\,;\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}x=&{\frac {f\left(u+t{\sqrt {-1}}\right)+\operatorname {F} \left(u-t{\sqrt {-1}}\right)}{2}},\\y=&{\frac {f\left(u+t{\sqrt {-1}}\right)-\operatorname {F} \left(u-t{\sqrt {-1}}\right)}{2{\sqrt {-1}}}},\end{aligned}}$

les fonctions désignées par $f$ et $\operatorname {F}$ demeurant arbitraires.

4. Telles sont les expressions les plus générales des coordonnées $x$ et $y$ qui déterminent sur la Carte la position que doit avoir chaque lieu de la Terre, en vertu de la condition supposée, que la distance de deux lieux quelconques infiniment proches sur la surface de la Terre soit à la distance des mêmes lieux sur la Carte dans la proportion de $1$ à $m$ (2). Or, ayant supposé (3)

$mq=n$

et ensuite

$n\sin \omega =\alpha ,\quad n\cos \omega =\beta ,$

on aura

$n={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}},$

et par conséquent

$m={\frac {\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}{q}}\,;$

mais

$\alpha ^{2}+\beta ^{2}=\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\left(\alpha -\beta {\sqrt {-1}}\right)=f'\left(u+t{\sqrt {-1}}\right)\operatorname {F} '\left(u+t{\sqrt {-1}}\right)\,;$

donc on aura

$m={\frac {\sqrt {f'\left(u+t{\sqrt {-1}}\right)\operatorname {F} '\left(u+t{\sqrt {-1}}\right)}}{q}}.$

On voit par cette formule que la valeur de $m$ est une fonction des variables finies $t$ et $u,$ c’est-à-dire de $t$ et $s,$ à cause que $u$ est une fonction de $s.$ D’où il s’ensuit que la distance de deux lieux quelconques de la Terre infiniment proches entre eux, dont l’un répond à $t$ et $s$ et l’autre à $t+dt$ e $s+ds,$ sera à la distance des mêmes lieux placés sur la Carte dans une proportion dépendant uniquement de $t$ et $s\,;$ par conséquent tous les lieux de la Terre situés autour d’un lieu donné, à des distances infiniment petites de ce lieu, se trouveront placés sur la Carte en sorte qu’ils formeront une figure semblable à celle qu’ils forment sur la surface de la Terre, les côtés homologues de ces deux figures étant dans la proportion de $1$ à $m,$ et l’étendue des mêmes figures étant dans la proportion de $1$ à $m^{2}.$ Ainsi une Carte construite d’après les expressions de $x$ et $y,$ que nous venons de trouver, aura la même propriété que nous avons déjà observé être commune aux Cartes stéréographiques et aux Cartes réduites, et qui consiste en ce que chaque portion infiniment petite de la surface de la Terre conserve sa figure sur la Carte et n’est altérée que dans sa grandeur. Et il est facile de se convaincre par notre analyse que les expressions dont il s’agit renferment nécessairement la loi de la description de toutes les Cartes géographiques dans lesquelles la même condition pourra avoir lieu.

5. Pour déterminer maintenant les fonctions inconnues qui entrent dans les expressions de $x$ et $y,$ je remarque que si dans ces expressions on suppose $t=0,$ on a les valeurs de ces coordonnées pour la courbe qui représente le premier méridien. Ces valeurs seront donc

$x={\frac {f(u)+\operatorname {F} (u)}{2}},\quad {\frac {f(u)-\operatorname {F} (u)}{2{\sqrt {-1}}}},$

lesquelles, à cause des deux fonctions arbitraires $f(u)$ et $\operatorname {F} (u)$, peuvent être, comme on voit, des fonctions quelconques de $u.$ Ainsi l’on peut supposer que le premier méridien de la Carte soit une courbe quelconque, et que de plus les changements de latitude sur ce méridien suivent aussi une loi quelconque.

En effet supposons que pour ce méridien on ait

$x=\varphi (u),\quad y=\Phi (u),$

$\varphi (u)$ et $\Phi (u)$ représentant des fonctions quelconques données de $u\,;$ on aura donc

${\frac {f(u)+\operatorname {F} (u)}{2}}=\varphi (u),\quad {\frac {f(u)-\operatorname {F} (u)}{2{\sqrt {-1}}}}=\Phi (u)\,;$

d’où l’on tire

$f(u)=\varphi (u)+\Phi (u){\sqrt {-1}},\quad \operatorname {F} (u)=\varphi (u)-\Phi (u){\sqrt {-1}}.$

Donc, mettant cette forme de fonction dans les expressions générales de $x$ et $y$, on aura

${\begin{aligned}x=&{\frac {\varphi \left(u+t{\sqrt {-1}}\right)+\varphi \left(u-t{\sqrt {-1}}\right)}{2}}+{\frac {\Phi \left(u+t{\sqrt {-1}}\right)-\Phi \left(u-t{\sqrt {-1}}\right)}{2}}{\sqrt {-1}},\\y=&{\frac {\Phi \left(u+t{\sqrt {-1}}\right)+\Phi \left(u-t{\sqrt {-1}}\right)}{2}}+{\frac {\varphi \left(u+t{\sqrt {-1}}\right)-\varphi \left(u-t{\sqrt {-1}}\right)}{2{\sqrt {-1}}}}\,;\end{aligned}}$

et ces expressions ont l’avantage que les imaginaires s’y détruisent toujours d’elles-mêmes.

6. Mais cette manière de déterminer les fonctions arbitraires, quoique la plus naturelle et la plus simple, n’est pas néanmoins celle qui convient le mieux à notre objet. En effet, ce qu’il est à propos de prendre pour donné n’est pas la position des lieux qui doivent être placés sous le premier méridien, mais la figure même des méridiens et des parallèles, parce que ce sont les lignes qu’il faut tracer sur la Carte, pour pouvoir ensuite y placer les différents lieux de la Terre. Ainsi la question se réduit à déterminer la forme des fonctions inconnues de la solution générale en sorte qu’il en résulte pour les méridiens et pour les parallèles des lignes d’une nature donnée. Cette question n’a pas encore été résolue et est en elle-même très-difficile, peut-être même impossible à résoudre en général ; mais pour les besoins de la Géographie il suffit de la résoudre dans le cas particulier où les méridiens et les parallèles doivent être des arcs de cercle, ce qui comprend à la fois les deux cas de la projection stéréographique et des Cartes réduites ; car il est naturel que dans la construction des Cartes géographiques on préfère toujours le cercle à toutes les autres courbes, à cause de la facilité et de l’exactitude avec laquelle on peut le tracer par le moyen du compas.

7. Comme la principale propriété du cercle consiste en cè que le rayon de sa courbure est constant, nous allons d’abord chercher en général l’expression des rayons osculateurs des courbes qui doivent représenter les méridiens et les parallèles d’après les formules générales du n^o 3. Or on sait que l’expression du rayon osculateur, dans les courbes rapportées aux coordonnées rectangles $x,y$ est

${\frac {\left(dx^{2}+dy^{2}\right)^{\frac {2}{2}}}{dyd^{2}x-dxd^{2}y}}\,;$

et il est facile de voir par la nature de nos formules que pour les méridiens il faudra faire varier uniquement $s$ ou $u$ dans les expressions de $x$

et $y,$ et que pour les parallèles il y faudra faire varier uniquement $t\,;$ mais on a en général (numéro cité)

$dx=\alpha du-\beta dt,\quad dy=\beta du+\alpha dt\,;$

donc pour les méridiens on aura

$dx=\alpha du,\quad dy=\beta du,\quad d^{2}x={\frac {d\alpha }{du}}du^{2},\quad d^{2}y={\frac {d\beta }{du}}du^{2}\,;$

par conséquent, si l’on nomme $r$ le rayon osculateur d’un méridien quelconque, on aura

${\frac {1}{r}}={\frac {\beta {\cfrac {d\alpha }{du}}-\alpha {\cfrac {d\beta }{du}}}{\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.$

Pour les parallèles on aura

$dx=-\beta dt,\quad dy=\alpha dt,\quad d^{2}x=-{\frac {d\beta }{dt}}dt^{2},\quad d^{2}y={\frac {d\alpha }{dt}}dt^{2}\,;$

donc, nommant $\rho$ le rayon osculateur d’un parallèle quelconque, on aura

${\frac {1}{\rho }}={\frac {\beta {\cfrac {d\alpha }{dt}}-\alpha {\cfrac {d\beta }{dt}}}{\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.$

Je remarque maintenant que, par la condition de l’intégrabilité des formules

$\alpha du-\beta dt,\quad \beta du+\alpha dt,$

on a

${\frac {d\alpha }{dt}}=-{\frac {d\beta }{du}},\quad {\frac {d\beta }{dt}}={\frac {d\alpha }{du}}\,;$

donc les expressions précédentes de ${\frac {1}{r}}$ et de ${\frac {1}{\rho }}$ peuvent se changer en celles-ci

${\frac {1}{r}}={\frac {\beta {\cfrac {d\beta }{dt}}+\alpha {\cfrac {d\alpha }{dt}}}{\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},\quad {\frac {1}{\rho }}=-{\frac {\beta {\cfrac {d\beta }{du}}+\alpha {\cfrac {d\alpha }{du}}}{\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},$

savoir

${\frac {1}{r}}=-{\frac {d{\cfrac {1}{\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}}}{dt}},\quad {\frac {1}{\rho }}=-{\frac {d{\cfrac {1}{\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}}}{du}}.$

Or nous avons trouvé plus haut (4) que

$\alpha ^{2}+\beta ^{2}=f'\left(u+t{\sqrt {-1}}\right)\operatorname {F} '\left(u-t{\sqrt {-1}}\right)\,;$

donc, substituant cette valeur et faisant pour plus de simplicité

$\Omega ={\frac {1}{\sqrt {f'\left(u+t{\sqrt {-1}}\right)\operatorname {F} '\left(u-t{\sqrt {-1}}\right)}}},$

on aura ces expressions fort simples

${\frac {1}{r}}=-{\frac {d\Omega }{dt}},\quad {\frac {1}{\rho }}={\frac {d\Omega }{du}}.$

8. Cette quantité $\Omega$ sert aussi à déterminer la valeur de $m\,;$ car il est visible qu’on aura (4)

$m={\frac {1}{q\Omega }}.$

Or, comme $q$ est une fonction de l’arc $s$ du méridien donnée par la figure de ce méridien et que

$du={\frac {ds}{q}},$

il s’ensuit qu’on peut aussi regarder $q$ comme une fonction de $u$.

Donc, si l’on voulait que la quantité $m$ fût constante ou qu’elle fût une fonction quelconque de $u$ seul, c’est-à-dire qu’elle demeurât la même dans tous les points d’un même parallèle, il faudrait que $\Omega$ fût une fonction de $u$ seul sans $t\,;$ par conséquent il faudrait que ${\frac {d\Omega }{dt}}=0\,;$ donc on aurait par le numéro précédent ${\frac {1}{r}}=0,$ savoir $r=\infty \,;$ par conséquent il faudrait que tous les méridiens de la Carte fussent des lignes droites. Mais nous verrons plus bas que la condition de $\Omega ={\frac {1}{mq}},$ dans l’hypothèse de $m$ fonction de $u$ seul, demanderaitque la Terre eût une figure donnée.

9. Supposons maintenant, en général, que tous les méridiens de la Carte soient des cercles quelconques, ce qui renferme aussi le cas précédent où ces méridiens seraient des lignes droites. Il faudra donc que la valeur de $r$ soit constante dans chaque méridien et ne varie que d’un méridien à l’autre ; donc $r$ et par conséquent ${\frac {d\Omega }{dt}}$ ne pourra être qu’une fonction de $t$ seul donc la différence de ${\frac {d\Omega }{dt}},$ en faisant varier $u$ seul, devra être nulle ; ainsi la condition pour que tous les méridiens soient des cercles sera

${\frac {d^{2}\Omega }{dtdu}}=0.$

Qu’on multiplie cette équation par $dt$ et qu’on l’intègre en faisant varier $t$ seul, on aura

${\frac {d\Omega }{du}}=\mathrm {U} ,$

$\mathrm {U}$ étant une fonctions quelconque de $u$ sans $t$ donc on aura

${\frac {1}{\rho }}=\mathrm {U} \,;$

ce qui fait voir que les paraltèles sont aussi des cercles, puisque leur rayon osculateur étant une fonction de $u$ seul doit demeurer le même dans toute l’étendue de chaque parallèle. On prouvera de la même manière qu’en supposant les parallèles circulaires les méridiens le seront aussi. Et la condition commune à la circularité des uns et des autres sera ${\frac {d^{2}\Omega }{dtdu}}=0.$ Voyons donc quelle doit être la forme des fonctions $f$ et $\operatorname {F}$ pour que cette condition soit remplie.

10. Pour faciliter cette recherche, je prends d’abord deux autres fonctions que je dénote par les caractéristiques $\varphi$ et $\Phi ,$ et que je suppose telles, que

$\varphi (z)={\frac {1}{\sqrt {f'(z)}}},\quad \Phi (z)={\frac {1}{\sqrt {\operatorname {F} '(z)}}}\,;$

il est visible qu’on aura par ce moyen

$\Omega =\varphi \left(u+t{\sqrt {-1}}\right)\Phi \left(u-t{\sqrt {-1}}\right)\,;$

je différentie maintenant cette quantité deux fois de suite, en y faisant varier d’abord $u$ et ensuite $t\,;$ j’aurai ainsi ${\biggl [}$ en dénotant par $\varphi ',\varphi ''',$ et par $\Phi ',\Phi ''$ les différences des fonctions $\varphi$ et $\Phi ,$ de manière que $\varphi '(z)={\frac {d\varphi (z)}{dz}},$ $\varphi ''(z)={\frac {d^{2}\varphi (z)}{dz^{2}}},\ \Phi '(z)={\frac {d\Phi (z)}{dz}},\ \Phi ''(z)={\frac {d^{2}\Phi (z)}{dz^{2}}}{\biggr ]}$

${\begin{aligned}&\ \ {\frac {d\Omega }{du}}\ =\varphi '\left(u+t{\sqrt {-1}}\right)\Phi \left(u-t{\sqrt {-1}}\right)+\Phi '\left(u-t{\sqrt {-1}}\right)\varphi \left(u+t{\sqrt {-1}}\right),\\\\&{\frac {d^{2}\Omega }{dudt}}=\left[\varphi ''\left(u+t{\sqrt {-1}}\right)\Phi \left(u-t{\sqrt {-1}}\right)-\varphi '\left(u+t{\sqrt {-1}}\right)\Phi '\left(u-t{\sqrt {-1}}\right)\right.\\&\left.-\Phi ''\left(u-t{\sqrt {-1}}\right)\varphi \left(u+t{\sqrt {-1}}\right)+\Phi '\left(u-t{\sqrt {-1}}\right)\varphi '\left(u+t{\sqrt {-1}}\right)\right]{\sqrt {-1}}\,;\end{aligned}}$

donc la condition de ${\frac {d^{2}\Omega }{dudt}}=0$ donnera cette équation

$\varphi ''\left(u+t{\sqrt {-1}}\right)\Phi \left(u-t{\sqrt {-1}}\right)-\Phi ''\left(u-t{\sqrt {-1}}\right)\varphi \left(u+t{\sqrt {-1}}\right)=0\,;$

par conséquent

${\frac {\varphi ''\left(u+t{\sqrt {-1}}\right)}{\varphi \left(u+t{\sqrt {-1}}\right)}}={\frac {\Phi ''\left(u-t{\sqrt {-1}}\right)}{\Phi \left(u-t{\sqrt {-1}}\right)}}\,;$

ces quantités doivent non-seulementêtre égales, mais encore identiques, c’est-à-dire qu’elles doivent être la même quantité indépendammentd’aucune équation entre $u$ et $t\,;$ donc, comme l’une est fonction de $u+t{\sqrt {-1}}$ et que l’autre est fonction de $u-t{\sqrt {-1}},$ il s’ensuit qu’elles ne peuvent devenir identiques à moins d’être égales à une même constante quelconque.

Soit donc $k$ une constante arbitraire ; on aura ces deux équations

${\frac {\varphi ''\left(u+t{\sqrt {-1}}\right)}{\varphi \left(u+t{\sqrt {-1}}\right)}}=k,\quad {\frac {\Phi ''\left(u-t{\sqrt {-1}}\right)}{\Phi \left(u-t{\sqrt {-1}}\right)}}=k,$

ou bien (étant indifférent quelle que soit la variable sous les signes des fonctions) on aura plus simplement ces deux-ci

${\frac {\varphi ''(z)}{\varphi (z)}}=k,\quad {\frac {\Phi ''(z)}{\Phi (z)}}=k,$

savoir

${\frac {d^{2}\varphi (z)}{\varphi (z)dz^{2}}}=k,\quad {\frac {d^{2}\Phi (z)}{\Phi (z)dz^{2}}}=k,$

qui sont intégrables par les règles connues.

On aura donc, en intégrant,

$\varphi (z)=\mathrm {M} e^{z{\sqrt {k}}}+\mathrm {N} e^{-z{\sqrt {k}}},\quad \Phi (z)=\mathrm {P} e^{z{\sqrt {k}}}+\mathrm {Q} e^{-z{\sqrt {k}}},$

$\mathrm {M,N,P,Q}$ étant des coefficients quelconques positifs ou négatifs, réels ou imaginaires.

Or

$\varphi (z)={\frac {1}{\sqrt {f'(z)}}},\quad \Phi (z)={\frac {1}{\sqrt {\operatorname {F} '(z)}}}\,;$

donc on aura

${\begin{aligned}f'(z)=&{\frac {1}{\left(\mathrm {M} e^{z{\sqrt {k}}}+\mathrm {N} e^{-z{\sqrt {k}}}\right)^{2}}}={\frac {e^{2z{\sqrt {k}}}}{\left(\mathrm {M} e^{2z{\sqrt {k}}}+\mathrm {N} \right)^{2}}},\\\operatorname {F} '(z)=&{\frac {1}{\left(\mathrm {P} \,e^{z{\sqrt {k}}}+\mathrm {Q} e^{-z{\sqrt {k}}}\right)^{2}}}={\frac {e^{2z{\sqrt {k}}}}{\left(\mathrm {P} e^{2z{\sqrt {k}}}+\mathrm {Q} \right)^{2}}}\,;\end{aligned}}$

mais

$f'(z)={\frac {df(z)}{dz}},\quad \operatorname {F} '(z)={\frac {d\operatorname {F} (z)}{dz}}\,;$

donc, multipliant les équations précédentes par $dz$ et intégrant, on aura

${\begin{aligned}f(z)=&-{\frac {1}{2\mathrm {M} \left(\mathrm {M} e^{2z{\sqrt {k}}}+\mathrm {N} \right){\sqrt {k}}}}+\mathrm {G} ,\\\operatorname {F} (z)=&-{\frac {1}{2\mathrm {P} \ \left(\mathrm {P} \ e^{2z{\sqrt {k}}}+\mathrm {Q} \right){\sqrt {k}}}}+\mathrm {H} ,\end{aligned}}$

$\mathrm {G}$ et $\mathrm {H}$ étant de nouvelles constantes arbitraires.

Ainsi la forme des fonctions arbitraires est déterminée, et mettant à la place de $z,$ dans $f(z),$ $u+t{\sqrt {-1}},$ et dans $\operatorname {F} (z),$ $u-t{\sqrt {-1}},$ on aura ces expressions

${\begin{aligned}f\left(u+t{\sqrt {-1}}\right)=&-{\frac {1}{2\mathrm {M} \left(\mathrm {M} e^{2u{\sqrt {k}}+2t{\sqrt {-k}}}+\mathrm {N} \right){\sqrt {k}}}}+\mathrm {G} ,\\\operatorname {F} \left(u-t{\sqrt {-1}}\right)=&-{\frac {1}{2\mathrm {P} \ \left(\mathrm {P} \ e^{2u{\sqrt {k}}-2t{\sqrt {-k}}}+\mathrm {Q} \right){\sqrt {k}}}}+\mathrm {H} ,\end{aligned}}$

qu’il ne s’agira plus que de substituer dans les valeurs de $x$ et $y$ (3).

11. Mais, avant de faire cette substitution, j’observe que, la quantité $k$ pouvant être également positive ou négative, on aura des formules différentes pour les deux cas, et que toute la différence consistera en ce que les quantités $t$ et $u$ se trouveront à la place l’une de l’autre ; cela est évident à l’égard de la valeur de $f\left(u+t{\sqrt {-1}}\right)\,;$ pour le faire voir aussi par rapport à celle de $\operatorname {F} \left(u-t{\sqrt {-1}}\right),$ j’y mets à la place de la constante arbitraire $\mathrm {H}$ la quantité aussi arbitraire ${\frac {1}{2\mathrm {PQ} {\sqrt {k}}}}+\mathrm {H} ,$ et réduisant au même dénominateur les deux fractions, divisant ensuite le haut et le bas de la fraction résultante par $e^{2u{\sqrt {k}}-2t{\sqrt {-k}}},$ j’ai

$\operatorname {F} \left(u-t{\sqrt {-1}}\right)=-{\frac {1}{2\mathrm {Q} \left(\mathrm {Q} e^{-2u{\sqrt {k}}+2t{\sqrt {-k}}}+\mathrm {P} \right)}}+\mathrm {H} ,$

expression qui résulte évidemment de la précédente en y changeant le signe de $k,$ et en y mettant $t$ à la place de $u$ et $\mathrm {P}$ à la place de $\mathrm {Q} ,$ et réciproquement. De là je conclus donc qu’il suffit de considérer le cas où $k$ est une quantité positive, et qu’il n’y aura ensuite qu’à échanger $t$ en $u$ pour avoir celui de $k$ négative. Il est facile de voir en effet par l’équation fondamentale

$dx^{2}+dy^{2}=n^{2}\left(du^{2}+dt^{2}\right)$

du n^o 3 que les variables $u$ et $t$ sont permutables.

12. Je ferai donc pour plus de simplicité $k=c^{2},$ et j’aurai

$x=-{\frac {1}{4c\mathrm {M} \left(\mathrm {M} e^{2cu+2ct{\sqrt {-1}}}+\mathrm {N} \right)}}-{\frac {1}{4c\mathrm {P} \left(\mathrm {P} e^{2cu-2ct{\sqrt {-1}}}+\mathrm {Q} \right)}}+\mathrm {\frac {G+H}{2}}$

$y=-{\frac {1}{4c\mathrm {M} \left(\mathrm {M} e^{2cu+2ct{\sqrt {-1}}}+\mathrm {N} \right){\sqrt {-1}}}}$

$+{\frac {1}{4c\mathrm {P} \left(\mathrm {P} e^{2cu-2ct{\sqrt {-1}}}+\mathrm {Q} \right){\sqrt {-1}}}}+\mathrm {\frac {G-H}{2{\sqrt {-1}}}} ,$

où il faut déterminer les constantes arbitraires $\mathrm {G,H,M,N,P,Q}$ en sorte que les imaginaires se détruisent.

On aura donc d’abord

$\mathrm {{\frac {G+H}{2}}=A,\quad {\frac {G-H}{2{\sqrt {-1}}}}=B} ,$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant des constantes réelles quelconques ; ensuite il est visible qu’en faisant pour plus de généralité

$\mathrm {M=C+D{\sqrt {-1}},\quad N=E+I{\sqrt {-1}}} ,$

$\mathrm {C,D,E,I}$ étant aussi des quantités réelles quelconques, il faudra faire

$\mathrm {P=C-D{\sqrt {-1}},\quad Q=E-I{\sqrt {-1}}} ,$

et alors les imaginaires se détruiront d’elles-mêmes dans les expressions précédentes de $x$ et $y.$ Mais au lieu des suppositions précédentes, nous ferons, ce qui revient au même,

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {M} =&a\left(\cos g+\sin g{\sqrt {-1}}\right)&=&ae^{g{\sqrt {-1}}},\\\mathrm {N} =&b\left(\cos h+\sin h{\sqrt {-1}}\right)&=&be^{h{\sqrt {-1}}},\\\mathrm {P} =&a\left(\cos g-\sin g{\sqrt {-1}}\right)&=&ae^{-g{\sqrt {-1}}},\\\mathrm {Q} =&b\left(\cos h-\sin h{\sqrt {-1}}\right)&=&be^{-h{\sqrt {-1}}},\end{alignedat}}$

$a,b,g,h$ étant des constantes arbitraires réelles ; ces substitutions faites, on aura, après les réductions usitées,

${\begin{aligned}x=&\mathrm {A} -{\frac {a\cos 2(ct+g)+b\cos 2(g+h).e^{-2cu}}{2ac\left[a^{2}e^{2cu}+2ab\cos(2ct+g-h)+b^{2}e^{-2cu}\right]}},\\y=&\mathrm {B} +{\frac {a\sin 2(ct+g)+b\sin 2(g+h).e^{-2cu}}{2ac\left[a^{2}e^{2cu}+2ab\cos(2ct+g-h)+b^{2}e^{-2cu}\right]}}.\end{aligned}}$

13. Si maintenant on élimine de ces deux équations la variable $u,$ on aura une équation en $x,y$ et $t,$ qui sera par conséquent celle de toutes les courbes qui représentent les différents méridiens correspondant aux différentes longitudes $t\,;$ et réciproquement, si l’on en élimine la variable $t,$ on aura une équation entre $x,y$ et $u,$ qui sera l’équation commune à toutes les courbes qui représentent les différents parallèles.

Pour rendre ces éliminations plus faciles, je commence par ajouter ensemble les valeurs de $(x-\mathrm {A} )^{2}$ et de $(y-\mathrm {B} )^{2}\,;$ j’ai

$(x-\mathrm {A} )^{2}+(y-\mathrm {B} )^{2}={\frac {e^{-2cu}}{4a^{2}c^{2}\left[a^{2}e^{2cu}+2ab\cos(2ct+g-h)+b^{2}e^{-2cu}\right]}},$

d’où je tire

$a^{2}e^{2cu}+2ab\cos(2ct+g-h)+b^{2}e^{-2cu}={\frac {e^{-2cu}}{4a^{2}c^{2}\left[(x-\mathrm {A} )^{2}+(y-\mathrm {B} )^{2}\right]}},$

et, substituant dans les valeurs de $x$ et $y,$ j’aurai ces équations

${\begin{aligned}{\frac {x-\mathrm {A} }{(x-\mathrm {A} )^{2}+(y-\mathrm {B} )^{2}}}=&-2ac\left[ae^{2cu}\cos 2(ct+g)+b\cos(g+h)\right],\\{\frac {y-\mathrm {B} }{(x-\mathrm {A} )^{2}+(y-\mathrm {B} )^{2}}}=&2ac\left[ae^{2cu}\sin 2(ct+g)+b\sin(g+h)\right],\end{aligned}}$

d’où il est maintenant facile d’éliminer $u$ ou $t$.

14. En éliminant d’abord la quantité $e^{2cu},$ on aura cette équation

${\frac {(x-\mathrm {A} )\sin 2(ct+g)+(y-\mathrm {B} )\cos 2(ct+g)}{(x-\mathrm {A} )^{2}+(y-\mathrm {B} )^{2}}}=-2abc\sin(2ct+g-h),$

laquelle se réduit à celle-ci

$\left[x-\mathrm {A} +{\frac {\sin 2(ct+g)}{4abc\sin(2ct+g-h)}}\right]^{2}+\left[y-\mathrm {B} +{\frac {\cos 2(ct+g)}{4abc\sin(2ct+g-h)}}\right]^{2}$

$={\frac {1}{\left[4abc\sin(2ct+g-h)\right]^{2}}},$

qu’on voit clairement être à un cercle ; et si l’on nomme $r$ le rayon de cercle, $\mathrm {X}$ l’abscisse et $\mathrm {Y}$ l’ordonnée qui déterminent la position de son centre, on aura

$r={\frac {1}{4abc\sin(2ct+g-h)}},$

$\mathrm {X=A} -r\sin 2(ct+g),\quad \mathrm {Y=B} -r\cos 2(ct+g).$

En éliminant de plus l’angle $t$ de ces deux dernières équations, on aura celle-ci

$(\mathrm {X-A} )\cos(g+h)-(\mathrm {Y-B} )\sin(g+h)+{\frac {1}{4abc}}=0,$

laquelle donnera le lieu de tous les centres dont il s’agit, c’est-à-dire de tous les centres des cercles qui représentent les méridiens ; et l’on voit que ce lieu est une ligne droite qui fait avec l’axe des abscisses un angle dont la tangente sera

${\frac {d\mathrm {Y} }{d\mathrm {X} }}=\cot(g+h),$

en sorte que cet angle sera égal à $90^{\circ }-g-h.$

15. Éliminonts maintenant l’angle $t$ dans les formules du n^o 13 pour avoir les courbes des parallèles, et l’on aura cette équation

$\left[{\frac {x-\mathrm {A} }{(x-\mathrm {A} )^{2}+(y-\mathrm {B} )^{2}}}+2abc\cos(g+h)\right]^{2}$

$+\left[{\frac {y-\mathrm {B} }{(x-\mathrm {A} )^{2}+(y-\mathrm {B} )^{2}}}-2abc\sin(g+h)\right]^{2}=4a^{2}c^{2}e^{4cu}.$

savoir

${\frac {1+4abc\cos(g+h)(x-\mathrm {A} )-4abc\sin(g+h)(y-\mathrm {B} )}{(x-\mathrm {A} )^{2}+(y-\mathrm {B} )^{2}}}$

$=4a^{2}c^{2}\left(a^{2}e^{4cu}-b^{2}\right),$

laquelle se change facilement en celle-ci

$\left[x-\mathrm {A} -{\frac {b\cos(g+h)}{2ac\left(a^{2}e^{4cu}-b^{2}\right)}}\right]^{2}+\left[y-\mathrm {B} +{\frac {b\sin(g+h)}{2ac\left(a^{2}e^{4cu}-b^{2}\right)}}\right]^{2}$

$={\frac {e^{4cu}}{4c^{2}\left(a^{2}e^{4cu}-b^{2}\right)^{2}}},$

qu’on voit aussi être à un cercle ; et, si l’on nomme $\rho$ le rayon de ce cercle, $\xi$ l’abscisse et $\eta$ l’ordonnée qui répondent au centre du même cercle, on aura

${\begin{aligned}\rho =&{\frac {e^{2cu}}{2c\left(a^{2}e^{4cu}-b^{2}\right)}},\\\xi =&\mathrm {A} +{\frac {b}{a}}\cos(g+h).\rho e^{-2cu},\\\eta =&\mathrm {B} -{\frac {b}{a}}\sin(g+h).\rho e^{-2cu}.\end{aligned}}$

Et, si l’on élimine la variable $u$ de ces dernières équations, on aura, pour le lieu de tous les centres des cercles qui représentent les parallèles, l’équation

$(\xi -\mathrm {A} )\sin(g+h)+(\eta -\mathrm {B} )\cos(g+h)=0,$

laquelle est à une ligne droite inclinée à l’axe des abscisses d’un angle dont la tangente sera

${\frac {d\eta }{d\xi }}=-\operatorname {tang} (g+h)\,;$

en sorte que cet angle sera $180^{\circ }-g-h\,;$ par conséquent cette droite sera perpendiculaire à celle qui renferme tous les centres des méridiens (numéro precédent).

16. Cherchons aussi la valeur de la quantité $m$ qui exprime la proportion, suivant laquelle chaque région de la Terre est augmentée ou diminuée dans la Carte, en gardant néanmoins sa figure naturelle.

Nous avons vu (8) que $m={\frac {1}{q\Omega }}\,;$ ainsi il n’y a qu’à chercher la valeur de la quantité $\Omega .$ Or, si dans l’expression d $\Omega$ du n^o 10 on substitue à la place des fonctions marquées par et leurs valeurs trouvées dans le même numéro, on a

$\Omega =\mathrm {MP} e^{2u{\sqrt {k}}}+\mathrm {NQ} e^{-2u{\sqrt {k}}}+\mathrm {MQ} e^{2t{\sqrt {-k}}}+\mathrm {NP} e^{-2t{\sqrt {-k}}},$

ce qui par les substitutions du n^o 12 se réduit à cette forme

$\Omega =a^{2}e^{2cu}+2ab\cos(2ct+g-h)+b^{2}e^{-2cu}\,;$

en sorte qu’on aura

$m={\frac {1}{q\left[a^{2}e^{2cu}+2ab\cos(2ct+g-h)+b^{2}e^{-2cu}\right]}}.$

17. La valeur précédente de $\Omega$ peut fournir une preuve de l’exactitude de nos formules ; car, ayant vu (7) que les rayons $r$ et $\rho$ des méridiens et des parallèles sont déterminés, en général, par les formules

${\frac {1}{r}}=-{\frac {d\Omega }{dt}},\quad {\frac {1}{\rho }}=-{\frac {d\Omega }{du}},$

il faudra qu’en substituant pour $\Omega$ sa valeur, il en résulte les mêmes valeurs de $r$ et $\rho$ que nous avons trouvées plus haut d’après les équations mêmes des cercles qui représentent les méridiens et les parallèles. Or

c’est ce qui se vérifie en effet, comme on peut s’en assurer par la différentiation de la quantité $\Omega .$

18. C’est ici le lieu d’examiner les conditions nécessaires pour que la quantité m soit constante, ou au moins une fonction de $u$ sans $t.$ Nous avons déjà vu (8) que dans ce cas tous les méridiens de la Carte devraient être des lignes droites ; ainsi les formules trouvées plus haut, pour le cas où les méridiens seraient des cercles quelconques, auront aussi lieu dans le cas présent. Il ne s’agira donc que de voir si l’expression de $m$ du n^o 16 peut devenir une fonction de $u$ seul. Donc, comme $q$ peut être censé une fonction de $u,$ il faudra que le terme $2ab\cos(2ct+g-h),$ qui renferme $t,$ disparaisse de lui-même ; ce qui ne peut arriver que lorsque

$a=0\quad {\text{ou}}\quad b=0.$

Dans le premier cas on aura

$m={\frac {1}{qb^{2}e^{-2cu}}},$

et dans l’autre

$m={\frac {1}{qa^{2}e^{2cu}}}\,;$

donc on aura, en général,

$q={\frac {\mathrm {A} e^{\mathrm {B} u}}{m}},$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant des constantes quelconques ; équation qui servira à déterminer la figure du méridien, aussitôt que $m$ sera donné en $u.$ En diffërentiant logarithmiquement, on aura

${\frac {dq}{q}}=\mathrm {B} du-{\frac {dm}{m}}\,;$

mais $du={\frac {ds}{q}}\,;$ donc

$dq+q{\frac {dm}{m}}=\mathrm {B} ds\,;$

et de là, en multipliant par $m$ et intégrant,

$mq=\mathrm {B} \int mds+\mathrm {C} \,;$

donc

$q={\frac {\mathrm {B} \int mds+\mathrm {C} }{m}}\,;$

ce qui donnera $q$ en $s,$ si $m$ est déjà donné en $s.$

Donc, si l’on voulait que $m$ fût constante, on aurait

$q=\mathrm {B} s+{\frac {\mathrm {C} }{m}}\,;$

ce qui donne évidemment une ligne droite pour les méridiens de la Terre, et par conséquent un cône droit pour la figure de la Terre.

19. Jusqu’à présent nos formules sont indépendantes de la figure des méridiens de la Terre ; mais, pour pouvoir appliquer ces formules à la construction des Cartes géographiques, il est nécessaire de connaître quelle fonction de la latitude est la variable $u,$ que nous avons supposée telle que $du={\frac {ds}{q}},$ $s$ étant l’arc du méridien compté depuis le pôle et $q$ l’ordonnée perpendiculaire à l’axe de la Terre (3).

Or, si l’on suppose la Terre sphérique, ainsi+qu’on le fait communément dans les Cartes géographiques, et qu’on prenne, pour plus de simplicité, le rayon de la Terre pour l’unité, on aura évidemment

$q=sins,$

et l’arc $s$ sera en même temps la distance au pôle ou le complément de la latitude. Donc on aura dans ce cas

$du={\frac {ds}{\sin s}},$

dont l’intégrale est

$u={\frac {1}{2}}\log {\frac {1-\cos s}{1+\cos s}}=\log \operatorname {tang} {\frac {s}{2}}\,;$

de sorte qu’en ajoutant une constante arbitraire $\log k,$ on aura en général

$u=\log \left(k\operatorname {tang} {\frac {s}{2}}\right),$

et de là

$e^{cu}=\left(k\operatorname {tang} {\frac {s}{2}}\right)^{c}\,;$

ainsi les exponentielles disparaîtront entièrement, et il n’y aura plus que des sinus et cosinus. Mais, pour donner à notre solution toute la généralité dont elle est susceptible, il est nécessaire de déterminer les valeurs de $q$ et de $u,$ sans s’astreindre à l’hypothèse de la Terre sphérique.

Nous supposerons donc que la Terre soit un sphéroïde elliptique, aplati par les pôles ; et nous ferons le rayon de l’équateur ou le demi-grand axe de l’ellipse qui forme les méridiens égal à $1,$ et le demi-petit axe de cette ellipse, c’est-à-dire le demi-axe de la Terre, égal à $\gamma .$ En prenant les abscisses $p$ dans ce demi-axe depuis son sommet, conformément aux suppositions du n^o 1, on aura pour l’équation à l’ellipse

$(1-p)^{2}+\gamma ^{2}q^{2}=\gamma ^{2},$

d’où l’on tire par la différentiation

${\frac {dp}{dq}}={\frac {\gamma ^{2}q}{1-p}}\,;$

or il est visible que ${\frac {dp}{dq}}$ est égal à la tangente de l’angle que la perpendiculaire à l’ellipse fait avec l’axe des abscisses $p\,;$ ainsi dans le cas présent ${\frac {dp}{dq}}$ sera égal à la tangente de l’angle qui exprime la distance au pôle ou le complément de la latitude.

Nommant donc, en général, $z$ la distance au pôle ou le complément de la latitude, on aura

${\frac {dp}{dq}}=\operatorname {tang} z\,;$

donc

${\frac {\gamma ^{2}q}{1-p}}=\operatorname {tang} z\,;$

donc

$q={\frac {(1-p)\operatorname {tang} z}{\gamma ^{2}}}\,;$

substituant cette valeur de $q$ dans l’équation à l’ellipse, on en tirera

$1-p={\frac {\gamma ^{2}}{\sqrt {\gamma ^{2}+\operatorname {tang} ^{2}z}}},$

et de là

$q={\frac {\operatorname {tang} z}{\sqrt {\gamma ^{2}+\operatorname {tang} ^{2}z}}}.$

Différentiant, on aura

$dp={\frac {\gamma ^{2}\operatorname {tang} zd\operatorname {tang} z}{\left(\gamma ^{2}+\operatorname {tang} ^{2}z\right)^{\frac {3}{2}}}},\quad dq={\frac {\gamma ^{2}d\operatorname {tang} z}{\left(\gamma ^{2}+\operatorname {tang} ^{2}z\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;$

donc

$ds={\sqrt {dp^{2}+dq^{2}}}={\frac {\gamma ^{2}{\sqrt {1+\operatorname {tang} ^{2}z}}}{\left(\gamma ^{2}+\operatorname {tang} ^{2}z\right)^{\frac {3}{2}}}}d\operatorname {tang} z\,;$

mais on a (3) $du={\frac {ds}{q}}\,;$ donc

$du={\frac {\gamma ^{2}{\sqrt {1+\operatorname {tang} ^{2}z}}}{\operatorname {tang} z\left(\gamma ^{2}+\operatorname {tang} ^{2}z\right)}}d\operatorname {tang} z={\frac {\gamma ^{2}dz}{\sin z\left(\gamma ^{2}\cos ^{2}z+\sin ^{2}z\right)}}.$

Soit

$1-\gamma ^{2}=\varepsilon ^{2},$

en sorte que $\varepsilon$ soit l’excentricité de l’ellipse qui forme les méridiens de la Terre ; on aura

$du={\frac {\gamma ^{2}dz}{\sin z\left(\gamma ^{2}+\varepsilon \sin ^{2}z\right)}}={\frac {dz}{\sin z}}-{\frac {\varepsilon ^{2}\sin zdz}{1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}z}}\,;$

l’intégrale de ${\frac {dz}{\sin z}}$ est

${\frac {1}{2}}\log {\frac {1-\cos z}{1+\cos z}}=\log \operatorname {tang} {\frac {z}{2}},$

l’intégrale de ${\frac {\varepsilon ^{2}\sin zdz}{1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}z}}$ est

${\frac {\varepsilon }{2}}\log {\frac {1-\varepsilon \cos z}{1+\varepsilon \cos z}}\,;$

donc on aura, en ajoutant une constante arbitraire

logsg k,

$u=\log \left[k\operatorname {tang} {\frac {z}{2}}\left({\frac {1+\varepsilon \cos z}{1-\varepsilon \cos z}}\right)^{\frac {3}{2}}\right].$

Et, si dans l’expression de $q$ on substitue aussi $1-\varepsilon ^{2}$ à la place de $\gamma ^{2},$ on aura

$q={\frac {\sin z}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}z}}}.$

Dans le cas où la Terre est sphérique on a $\varepsilon =0\,;$ donc

$u=\log \left(k\operatorname {tang} {\frac {z}{2}}\right),$

ainsi qu’on l’a trouvé ci-dessus ; or on peut rendre les deux expressions de $u$ semblables en prenant un angle $\zeta$ tel que l’on ait

$\operatorname {tang} {\frac {\zeta }{2}}=\operatorname {tang} {\frac {z}{2}}\left({\frac {1+\varepsilon \cos z}{1-\varepsilon \cos z}}\right)^{\frac {3}{2}},$

car alors on aura pareillement

$u=\log \left(k\operatorname {tang} {\frac {\zeta }{2}}\right)\,;$

en sorte qu’on pourra regarder l’angle $\zeta$ comme la distance au pôle corrigée en vertu de l’aplatissement de la Terre ; et, comme l’excentricité $\varepsilon$ est fort petite, on pourra trouver la correction dont il s’agit, c’est-à-dire la différence de $\zeta$ et de $z,$ exprimée par une série fort convergente, au moyen des formules que j’ai données dans les Nouveaux Mémoires de l’Académie royale de Berlin de 1776^[1]. On aura donc par ces formules

$\zeta =z-2\theta \sin z+{\frac {2\theta ^{2}}{2}}\sin 2z-{\frac {2\theta ^{3}}{3}}\sin 3z+\ldots ,$

en supposant

$\theta ={\frac {(1-\varepsilon \cos z)^{\frac {\varepsilon }{2}}-(1+\varepsilon \cos z)^{\frac {\varepsilon }{2}}}{(1-\varepsilon \cos z)^{\frac {\varepsilon }{2}}+(1+\varepsilon \cos z)^{\frac {\varepsilon }{2}}}},$

ou bien, en réduisant en série,

$\theta =-{\frac {\varepsilon ^{2}\cos z+{\cfrac {\varepsilon ^{4}(\varepsilon -2)(\varepsilon -4)}{4.6}}\cos ^{3}z+\ldots }{2+{\cfrac {\varepsilon ^{3}(\varepsilon -2)}{4}}\cos ^{2}z+\ldots }}.$

En négligeant les quantités de l’ordre $\varepsilon ^{4},$ on aura

$\theta =-{\frac {\varepsilon ^{2}\cos z}{2}},\quad \zeta =z-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}\sin 2z\,;$

et cette approximation a toute l’exactitude qu’on peut désirer.

20. Nous avons donc résolu d’une manière générale le Problème géographique dont la projection stéréographique ne fournit qu’une solution particulière. Ce qui rend cette projection si utile pour la construction des Cartes géographiques, ce sont les deux propriétés dont nous avons fait mention au commencement de ce Mémoire, et qui consistent : 1^o en ce que chaque partie de la surface de la Terre a sur la Carte une figure semblable à celle qu’elle a sur la Terre, et n’est altérée que dans sa grandeur ; 2^o en ce que tous les méridiens et les parallèles de la Terre se trouvent représentés sur la Carte par des cercles. Nous avons pris ces deux conditions pour les données du Problème, et nous sommes parvenus à une solution générale qui renferme nécessairement toutes les manières possibles de satisfaire à ces mêmes conditions. Comme il y a plusieurs conséquences à tirer de cette solution, nous les développerons dans la suite de ces Recherches, laquelle fera le sujet d’un second Mémoire.

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SECOND MÉMOIRE.

Parmi les différentes méthodes qu’on a imaginées pour la construction des Cartes terrestres, il y en a deux qui méritent principalement l’attention des Géomètres ; l’une est fondée sur les principes de la projection stéréographique de Ptolémée, et l’autre dépend de la Théorie des latitudes croissantes. La première est employée communémentdans les Mappemondes et dans les Cartes géographiques proprement dites, et a l’avantage que tous les méridiens et les parallèles de la Terre, et, en général, tous les cercles du globe y sont aussi représentés par des cercles ; la seconde est destinée uniquement aux Cartes marines, et diffère surtout de la précédente en ce que tous les méridiens et les parallèles de la Terre y sont représentés par des lignes droites. Mais elles ont l’une et l’autre cette propriété commune, qu’elles n’altèrent point la figure de chaque partie infiniment petite de la surface de la Terre ; en sorte que tous les angles qu’on peut former sur la Terre demeurent les mêmes dans les Cartes construites par ces méthodes.

Cette propriété, considérée en elfe-même et indépendammentde toute autre vue, donne lieu à une question analytique très-curieuse, qui consiste à déterminer la nature des courbes qu’on doit tracer sur un plan, pour représenter les méridiens et les parallèles de la Terre en sorte que la même propriété y ait toujours lieu. Il n’est pas difficile de trouver les formules générâtes qui résolvent ce Problème dans toute son étendue ; mais comme ces formules renferment des fonctions arbitraires, il en naît une nouvelle question concernant la manière de déterminer la forme de ces fonctions en sorte que les lignes qui doivent représenter les méridiens et les parallèles soient d’une nature donnée. Cette question secondaire est en quelque façon beaucoup plus difficile que la question principale, et je ne sais même si elle ne surpasse pas les forces de l’Analyse connue ; mais, pour l’utilité de la Géographie, il n’est pas nécessaire de la résoudre en général, pour des méridiens et des parallèles d’une figure quelconque ; il suffit de la résoudre dans le cas particulier où les méridiens et les parallèles doivent être des arcs de cercles, ce qui comprend à la fois la projection stéréographique et les Cartes réduites ; en effet toutes les autres solutions ne seraient que de pure curiosité, à cause de la difficulté qu’il y aurait toujours dans la pratique à tracer les courbes des méridiens et des parallèles, si elles étaient différentes du cercle. Tel est le Problème qui a fait le principal objet du Mémoire précédent, et que personne, que je sache, n’avait encore tenté de résoudre. La solution que j’en ai donnée ne laisse, ce me semble, rien à désirer du côté de l’Analyse mais comme il y a beaucoup de conséquences et d’applications à déduire de cette solution, j’ai cru qu’il était à propos de l’examiner en détail ; c’est à quoi sont destinées les Recherches suivantes, dans lesquelles je conserverai pour la commodité des citations la suite des chiffres qui distinguent les numéros.

21. Je remarque d’abord que les formules trouvées dans le premier Mémoire (12, 16) renferment deux solutions différentes, puisqu’on a vu (11) qu’il est permis d’y changer $t$ en $u$ et $u$ en $t\,;$ mais j’observe en même temps que la solution qui résulterait de cette permutation serait plus curieuse que commode pour la pratique, puisqu’elle renfermerait des exponentielles de l’angle $t$ et des sinus et cosinus de la quantité $u$ que nous avons trouvé être une quantité logarithmique (19) ; au lieu que la solution que donnent immédiatementles formules dont il s’agit ne renferme que des sinus et cosinus des angles $t$ et $z,$ à cause de

$e^{u}=k\operatorname {tang} {\frac {z}{2}}\left({\frac {1+\varepsilon \cos z}{1-\varepsilon \cos z}}\right)^{\frac {t}{2}}.$

C’est pourquoi nous nous contenterons d’examiner cette solution.

Elle renferme, comme on voit, plusieurs constantes arbitraires, dont les unes contribuent à sa généralité, mais dont les autres ne donnent qu’une généralité apparente, puisqu’elles dépendent de la position arbitraire des axes des coordonnées ; on peut donc, en déterminant ces dernières d’une manière convenable, gagner une plus grande simplicité, sans rien perdre du côté de la généralité.

Pour cela j’observe que, comme les deux lignes droites qui sont les lieux des centres de tous les méridiens et de tous les parallèles de la Carte sont perpendiculaires l’une à l’autre, on peut prendre ces lignes mêmes pour les axes des coordonnées.

Nous supposerons donc que la ligne des centres de tous les méridiens soit l’axe des coordonnéesy, et que la ligne des centres de tous les parallèles soit l’axe des abscisses $x\,;$ il faudra pour cela (14,15) : 1^o que l’angle $90^{\circ }-g-h$ soit droit, ce qui donne $g+h=0,$ et par conséquent $h=-g\,;$ 2^o que l’on ait, en général, $\mathrm {X} =0,$ ce qui donne $\mathrm {A} ={\frac {1}{4abc}}\,;$ 3^o que l’on ait aussi, en général, $\eta =0,$ ce qui donnera $\mathrm {B} =0.$ Si donc on fait ces substitutions, et qu’on mette à la place de $u$ et de $q$ leurs valeurs en $z$ du n^o 19 ; que de plus on change $a$ en ${\frac {a}{k^{c}}},$ $b$ en $bk^{c},$ $2c$ en $c,$ et $2g$ en $-cg,$ ce qui est évidemment permis, puisque $a,b,c,g,k$ sont des constantes arbitraires ; et qu’on fasse, pour abréger,

$\theta =\operatorname {tang} {\frac {\zeta }{2}}=\operatorname {tang} {\frac {z}{2}}\left({\frac {1+\varepsilon \cos z}{1-\varepsilon \cos z}}\right)^{\frac {\varepsilon }{2}},$

on aura

${\begin{aligned}x=&{\frac {a^{2}\theta ^{c}-b^{2}\theta ^{-c}}{2abc\left[a^{2}\theta ^{2}+2ab\cos \left[c(t-g)\right]+b^{2}\theta ^{-c}\right]}},\\y=&{\frac {\sin \left[c(t-g)\right]}{c\left[a^{2}\theta ^{2}+2ab\cos \left[c(t-g)\right]+b^{2}\theta ^{-c}\right]}},\\{\frac {1}{r}}=&2abc\sin \left[c(t-g)\right],\quad \mathrm {Y} =-{\frac {\cot \left[c(t-g)\right]}{2abc}},\\{\frac {1}{\rho }}=&c\left(a^{2}\theta ^{c}-b^{2}\theta ^{-c}\right),\quad \xi ={\frac {a^{2}\theta ^{c}+b^{2}\theta ^{-c}}{2abc\left(a^{2}\theta ^{c}-b^{2}\theta ^{-c}\right)}},\\m=&{\frac {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}z}}{\sin z\left[a^{2}\theta ^{2}+2ab\cos \left[c(t-g)\right]+b^{2}\theta ^{-c}\right]}}\end{aligned}}$

Dans ces formules $t$ est la longitude d’un méridien quelconque, $z$ le complément de la latitude d’un parallèle quelconque sur la surface de la Terre, $\varepsilon$ l’excentricité des méridiens de la Terre ; $a,b,c,g$ sont quatre constantes arbitraires ; $x,y$ sont l’abscisse et l’ordonnée qui déterminent sur la Carte la position d’un lieu quelconque dont la longitude est $t$ et dont le complément de la latitude est $z\,;$ $r$ est le rayon du cercle qui représente un méridien quelconque et dont le centre doit être placé dans l’axe des ordonnées à la distance $\mathrm {Y}$ de celui des abscisses ; $\rho$ est le rayon du cercle qui représente un parallèle quelconque, et dont le centre doit être placé dans l’axe des abscisses à la distance $\xi$ de celui des ordonnées ; enfin $1:m$ est la proportion suivant laquelle la grandeur de chaque région de la Terre est augmentée ou diminuée sur la Carte, en supposant le rayon de l’équateur égal à $1.$

22. En considérant les formules précédentes, il est aisé de voir qu’il en naîtra différentes espèces de projections géographiques, suivant qu’on donnera des valeurs différentes à la constante $c,$ que nous nommerions pour cela l’exposant de la projection.

Et d’abord, si l’on fait $c=0,$ on aura

${\frac {1}{r}}=0,\quad {\frac {1}{\rho }}=0\,;$

par conséquent

$r=\infty ,\quad \rho =\infty \,;$

ce qui donne des lignes droites pour les méridiens et les parallèles ; c’est le cas des Cartes réduites.

Pour déterminer donc dans ce cas la position des différents méridiens et des différents parallèles, on fera $c=0$ dans les expressions de $x$ et $y,$ ou plutôt on y supposera seulement $c$ infiniment petit, en observant que l’on a

$\theta ^{c}=1+c\log \theta ,\quad \theta ^{-c}=1-c\log \theta \,;$

et l’on trouvera

$x={\frac {a-b}{2abc(a+b)}}+{\frac {a^{2}+b^{2}}{2ab(a+b)^{2}}}\log \theta ,\quad y={\frac {t-g}{(a+b)^{2}}}\,;$

or $c$ étant nul, pour que $x$ ne soit pas infini, il faut que $a-b$ soit nul en même temps que $c\,;$ donc

$a-b=ch,\quad b=a-ch,$

$h$ étant une constante quelconque ; substituant cette valeur et faisant $c=0,$ on aura donc

$x={\frac {h}{4a^{3}}}+{\frac {\log \theta }{4a^{2}}},\quad y={\frac {t-g}{4a^{2}}},$

ou plus simplement

$x=\mathrm {A+B} \log \theta ,\quad y=\mathrm {C+B} t,$

$\mathrm {A,B,C}$ étant des constantes arbitraires.

Comme $t$ est la longitude et que $\theta$ dépend de la latitude seule, il est clair que

$y=\mathrm {C+B} t$

est l’équation commune à tous les méridiens, et que

$x=\mathrm {A+B} \log \theta$

est l’équation commune à tous les parallèles. Ainsi les premiers sont des droites parallèles à l’axe des abscisses, et dont la distance à cet axe croît proportionnellement à la longitude $t\,;$ et les derniers sont des droites parallèles à l’axe des ordonnées et dont la distance à cet axe croît proportionnellement aux logarithmes de $\theta .$

Dans les Cartes réduites ordinaires on suppose la Terre sphérique, ce qui donne $\varepsilon =0,$ et par conséquent

$\theta =\operatorname {tang} {\frac {z}{2}}\,;$

ce qui s’accorde avec la Théorie connue de \xies sortes de Cartes. Mais en tenant compte de l’aplatissement de la Terre, on aura

$\theta =\operatorname {tang} {\frac {\zeta }{2}}\,;$

ainsi il n’y aura pour lors qu’à employer la distance au pôle corrigée $\zeta$ (19) à la place de $z$.

À l’égard de la valeur de $m,$ elle sera, en mettant $\mathrm {B}$ à la place de ${\frac {1}{(a+b)^{2}}},$

$m={\frac {\mathrm {B} {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}z}}}{\sin z}}.$

23. Après avoir examiné le cas où la quantité $c$ est nulle, nous supposerons que cette quantité ait une valeur réelle quelconque ; et nous observerons d’abord, en général, qu’en faisant $c$ négatif dans les formules du n^o 21, on a le même résultat que si l’on y changeait seulement $a$ en $b.$ D’où il s’ensuit que, pour avoir tous les cas possibles, il suffit de donner à $c$ des valeurs positives.

Voyons d’abord s’il y a des méridiens et des parallèles qui soient représentés sur la Carte par des lignes droites.

Il faut chercher pour cela les valeurs de $t$ et de $\theta$ qui donnent $r=\infty$ et $\rho =\infty \,;$ et il est visible que la supposition de $r=\infty$ donnera

$\sin \left[c(t-g)\right]=0,$

et par conséquent

$t=g\quad {\text{ou}}\quad t=180^{\circ }+g\,;$

et que celle de $\rho =0$ donnera

$a^{2}\theta ^{c}-b^{2}\theta ^{-c}=0,$

d’où l’on tire

$\theta ^{c}=\pm {\frac {b}{a}}.$

En faisant ces substitutions dans les expressions de $x$ et $y,$ ellès deviennent l’une et l’autre nulles. D’où l’on conclura d’abord que l’axe des abscisses est lui-même un méridien qui répond à la longitude $t=g,$ et que l’axe des coordonnées est lui-même un parallèle qui répond à une distance au pôle corrigée $\zeta ,$ telle que

$\left(\operatorname {tang} {\frac {\zeta }{2}}\right)^{c}=\pm {\frac {b}{a}}.$

Nous nommerons, en général, centre de la Carte le point dans lequel se coupent à angles droits le méridien et le parallèle qui doivent être représentés par des lignes droites ; ce point sera l’origine des coordonnées $x,y\,;$ le méridien rectiligne sera l’axe des $x,$ et le parallèle rectiligne sera l’axe des $y$.

Comme les quantités $a,b,g$ sont arbitraires, on pourra prendre un lieu quelconque de la Terre à volonté pour le centre de la Carte. On fera la longitude de ce lieu égale à $g,$ et, la latitude étant nommée $90^{\circ }-h,$ on aura

${\frac {b}{a}}=\pm \left(\operatorname {tang} {\frac {h}{2}}\right)^{c}.$

24. Maintenant comme tous les méridiens doivent se couper dans les pôles, il s’ensuit que les pôles de la Carte seront placés dans l’axe des abscisses. Pour les déterminer il n’y aura qu’à faire $z=0$ et $z=180^{\circ }\,;$ en comptant à l’ordinaire les distances au pôle depuis le pôle boréal de la Terre, la supposition de $z=0$ donnera le pôle boréal de la Carte, et la supposition de $z=180^{\circ }$ donnera le pôle austral. Or $z=0$ donne $\theta =0,$ et $z=180^{\circ }$ donne $\theta =\infty \,;$ faisant donc ces suppositions dans les expressions de $x$ et $y,$ on aura pour le pôle boréal

$x=-{\frac {1}{2abc}},\quad y=0,$

et pour le pôle austral

$x={\frac {1}{2abc}},\quad y=0\,;$

d’où l’on voit que les deux pôles sont placés de part et d’autre du centre à distances égales.

Nous nommerons la partie de l’axe des abscisses, laquelle est entre les deux pôles et qui est divisée en deux également par le centre de la Carte, l’axe de la Carte, et nous désignerons cet axe par la quantité $2\delta .$ On aura donc $\delta ={\frac {1}{2abc}},$ et de là

$ab={\frac {1}{2\delta c}}\,;$

cette équation, étant combinée avec la précédente

${\frac {a}{b}}=\pm \left(\operatorname {tang} {\frac {h}{2}}\right)^{c},$

servira à déterminer les deux constantes $a$ et $b.$ D’où l’on voit que l’axe de la Carte est aussi arbitraire, et peut par conséquent être déterminé à volonté suivant la grandeur qu’on veut assigner à la Carte même.

25. Voyons maintenant comment on doit s’y prendre pour tracer les méridiens et les parallèles d’une Carte dont le centre et l’axe sont donnés.

Soit $\mathrm {C}$ le centre de la Carte (fig. 1), $\mathrm {B}$ son pôle boréal, en sorte que $\mathrm {BC} =\delta \,;$ du centre $\mathrm {C}$ et du rayon $\mathrm {BC}$ soit décrit le cercle $\mathrm {BDAE} ,$ et soient tirés les deux diamètres $\mathrm {BCA,DCE}$ perpendiculaires entre eux ; le point \mathrm A sera le pôle austral de la Carte ; le point $\mathrm {C}$ sera l’origine des coordonnées $x,y\,;$

construction de méridiens & parallèles quand on connait le centre et l’axe d’une carte

la ligne $\mathrm {AB}$ sera l’axe de la Carte et en même temps l’axe des abscisses $x,$ lesquelles seront positives en allant de $\mathrm {C}$ vers $\mathrm {A} ,$ et négatives en allant de $\mathrm {C}$ vers $\mathrm {B} \,;$ et la ligne $\mathrm {DE}$ sera l’axe des ordonnées $y,$ lesquelles seront positives en allant de $\mathrm {C}$ vers $\mathrm {D} ,$ et négatives en allant de $\mathrm {C}$ vers $\mathrm {E} .$ Les centres des cercles qui représenteront les différents méridiens de la Carte seront placés sur la ligne $\mathrm {DE}$ (prolongée de part et d’autre s’il est nécessaire) à la distance $\mathrm {Y}$ du point $\mathrm {C} ,$ et leurs rayons seront égaux à $r\,;$ et les centres des cercles qui représenteront les parallèles seront placés sur la ligne $\mathrm {BA}$ à la distance $\xi$ du point $\mathrm {C} ,$ et leurs rayons seront égaux à $\rho .$ Ainsi l’on pourra décrire ces différents cercles au moyen des formules du n^o 21, aussitôt qu’on aura déterminé les constantes $a,b,g$ ainsi que nous l’avons enseigné dans le numéro précédent. Mais, pour faciliter ces opérations autant qu’il est possible, nous allons les ramener à des constructions très-simples et très-commodes pour la pratique.

26. Et d’abord, pour ce qui regarde les méridiens, je vais déterminer les points où chaque méridien coupe l’axe $\mathrm {DE}$ prolongé s’il est nécessaire. Pour cela il n’y a qu’à chercher les valeurs de $y$ qui répondent à $x=0$ dans les formules du n^o 21. Or, faisant $x=0,$ on a

$a^{2}\theta ^{c}-b^{2}\theta ^{-c}=0\,;$

donc, en prenant le carré, on aura aussi

$a^{4}\theta ^{2c}-2a^{2}b^{2}+b^{4}\theta ^{-2c}=0\,;$

ajoutant de part et d’autre la quantité $4a^{2}b^{2}$ et tirant la racine carrée, on aura

$a^{2}\theta ^{c}+b^{2}\theta ^{-c}=\pm 2ab\,;$

cette valeur étant substituée dans l’expression de $y,$ elle deviendra

$y={\frac {\sin \left[c(t-g)\right]}{2abc{\bigl [}\cos \left[c(t-g)\right]\pm 1{\bigr ]}}},$

ou bien, par les formules trigonométriques connues, et à cause de ${\frac {1}{2abc}}=\delta ,$

$y=\delta \operatorname {tang} {\frac {c(t-g)}{2}}\quad {\text{ou}}\quad =-\delta \cot {\frac {c(t-g)}{2}}.$

On prendra donc les arcs $\mathrm {BT}$ et $\mathrm {AT'}$ d’un nombre de degrés égal à l’angle $c(t-g),$ $t-g$ étant la différence de longitude entre le méridien qu’il s’agit de tracer et le méridien qui passe par le lieu qu’on suppose être au centre de la Carte ; et ayant tiré du point $\mathrm {A}$ les cordes $\mathrm {AT,AT'} ,$ les points $\mathrm {M,N} ,$ où ces cordes coupent la ligne $\mathrm {DE}$ prolongée s’il le faut, seront les deux extrémités du diamètre $\mathrm {MN}$ du cercle qui représentera le méridien cherché ; en sorte qu’il n’y aura plus qu’à décrire ce cercle du centre placé au milieu de la ligne $\mathrm {MN} \,;$ et il est facile de démontrer par la Géométrie que ce cercle passera en même temps par les points $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ qui sont les pôles de la Carte. Cette construction suit évidemment de ce que l’angle $\mathrm {BAT}$ est égal à ${\frac {c(t-g)}{2}},$ et l’angle $\mathrm {BET} '$ égal à ${\frac {180^{\circ }-c(t-g)}{2}}=90^{\circ }-{\frac {c(t-g)}{2}}\,;$ de sorte que $\mathrm {CA}$ étant égal à $\delta ,$ on aura

$\mathrm {CM} =\delta \operatorname {tang} {\frac {c(t-g)}{2}},\quad \mathrm {CN} =-\delta \cot {\frac {c(t-g)}{2}}.$

27. Venons maintenant aux parallèles, et cherchons de même les points où chaque parallèle doit couper l’axe $\mathrm {BA} .$ On supposera donc $y=0,$ ce qui donnera

$\sin \left[c(t-g)\right]=0,$

et par conséquent

$c(t-g)=0\quad {\text{ou}}\quad =180^{\circ }\,;$

on fera cette substitution dans l’expression de $x$ et l’on aura

$x={\frac {a^{2}\theta ^{c}-b^{2}\theta ^{-c}}{2abc\left(a^{2}\theta ^{c}\pm 2ab+b^{2}\theta ^{-c}\right)}},$

ce qui se réduit à

$x={\frac {a^{\frac {c}{2}}\theta \mp b\theta ^{-{\frac {c}{2}}}}{2abc\left(a\theta ^{\frac {c}{2}}\pm b\theta ^{-{\frac {c}{2}}}\right)}}={\frac {\theta ^{c}\mp {\cfrac {b}{a}}}{2abc\left(\theta ^{c}\pm {\cfrac {b}{a}}\right)}}.$

Or

$\theta =\operatorname {tang} \zeta ,$

$\zeta$ étant la distance au pôle corrigée du parallèle, et

${\frac {b}{a}}=\pm \left(\operatorname {tang} {\frac {h}{2}}\right)^{c},$

$h$ étant la distance au pôle corrigée du lieu qui répond au centre de la Carte, laquelle est supposée donnée, les signes ambigus étant d’ailleurs à volonté ; donc, puisque ${\frac {1}{2abc}}=\delta ,$ on aura

$x=-\delta {\frac {\left(\operatorname {tang} {\cfrac {h}{2}}\right)^{c}\mp \left(\operatorname {tang} {\cfrac {\zeta }{2}}\right)^{c}}{\left(\operatorname {tang} {\cfrac {h}{2}}\right)^{c}\pm \left(\operatorname {tang} {\cfrac {\zeta }{2}}\right)^{c}}}.$

En prenant les signes supérieurs on aura la distance $\mathrm {CQ} ,$ et en prenant les signes inférieurs on aura la distance $\mathrm {CP} \,;$ et le cercle décrit sur le diamètre $\mathrm {PQ}$ sera le parallèle cherché.

28. Si l’on suppose $c=1,$ alors la formule précédente devient

$x=-\delta {\frac {\operatorname {tang} {\cfrac {h}{2}}\mp \operatorname {tang} {\cfrac {\zeta }{2}}}{\operatorname {tang} {\cfrac {h}{2}}\pm \operatorname {tang} {\cfrac {\zeta }{2}}}}=-\delta {\frac {\sin {\cfrac {h\mp \zeta }{2}}}{\sin {\cfrac {h\pm \zeta }{2}}}},$

laquelle est très-commode pour le calcul logarithmique. Pour la construire, on changera $\sin {\cfrac {h\mp \zeta }{2}}$ en son équivalent

$\sin \left(h-{\frac {h\pm \zeta }{2}}\right)=\sin h\cos {\frac {h\pm \zeta }{2}}-\cos h\sin {\frac {h\pm \zeta }{2}}\,;$

et substituant on aura

$x=\delta \cos h-\delta \sin h\cot {\frac {h\pm \zeta }{2}}.$

Qu’on prenne l’arc $\mathrm {AH}$ d’un nombre de degrés égal à l’angle $h,$ et les arcs $\mathrm {BZ,BZ'}$ d’un nombre de degrés égal à l’angle $\zeta \,;$ et que du point $\mathrm {H}$ on tire les sécantes $\mathrm {HZP,HQZ'} ,$ qui coupent l’axe $\mathrm {AB}$ en $\mathrm {P}$ et en $\mathrm {Q} \,;$ ces deux points seront ceux par lesquels devra passer le cercle du parallèle dont il s’agit.

En effet il est clair qu’on aura (en menant la corde $\mathrm {HGH} '$ perpendiculaire à l’axe $\mathrm {BA}$)

$\mathrm {CG} =\delta \cos h,\quad \mathrm {GH} =\delta \sin h\,;$

de plus l’angle $\mathrm {Z'HH} '$ sera ${\frac {180^{\circ }-h-\zeta }{2}},$ et l’angle $\mathrm {ZHH} '$ sera ${\frac {180^{\circ }-h+\zeta }{2}}\,;$ donc

$\mathrm {GQ} =\delta \sin h\cot {\frac {h+\zeta }{2}},\quad \mathrm {GP} =\delta \sin h\cot {\frac {h-\zeta }{2}}\,;$

par conséquent

$\mathrm {CQ} =\delta \sin h\cot {\frac {h+\zeta }{2}}-\delta \cos h.$

et

$\mathrm {CP} =\delta \sin h\cot {\frac {h-\zeta }{2}}-\delta \cos h\,;$

donc

$x=-\mathrm {CQ} \quad {\text{ou}}\quad =-\mathrm {CP} \,;$

donc, etc.

29. Si du centre $\mathrm {G}$ et du rayon $\mathrm {GH}$ on décrit le cercle $\mathrm {H} zbz'\mathrm {H} ',$ et qu’on prenne sur la circonférence l’arc $\mathrm {H} b$ d’un nombre de degrés égal à $h,$ et les arcs $bz,bz'$ d’un nombre de degrés égal à $\zeta \,;$ qu’ensuite on tire les sécantes $\mathrm {H} z,\mathrm {H} b,\mathrm {H} z'$ prolongées jusqu’à l’axe $\mathrm {AB} ,$ elles couperont cet axe dans les points $\mathrm {P,B,Q} .$ Car on aura

l’angle $b\mathrm {HG} ={\frac {180^{\circ }-h}{2}},\quad$l’angle $z'\mathrm {HG} ={\frac {180^{\circ }-h-\zeta }{2}},$

l’angle $z\mathrm {HG} ={\frac {180^{\circ }-h+\zeta }{2}}\,;$

donc

$\mathrm {GP} =\delta \sin h\cot {\frac {h-\zeta }{2}},\quad \mathrm {GQ} =\delta \sin h\cot {\frac {h+\zeta }{2}},$

$\mathrm {GB} =\delta \sin h\cot {\frac {h}{2}}=2\delta \cos ^{2}{\frac {h}{2}}=\delta +\delta \cos h\,;$

ce qui s’accorde avec les résultats ci-dessus.

Cette dernière construction sera utile lorsque la position du point $\mathrm {G}$ de la Carte sera donnée, à la place de celle du centre $\mathrm {C} \,;$ et nous verrons plus bas que ce point $\mathrm {G}$ a la propriété, que la quantité $m$ y est un minimum dans l’hypothèse de la Terre sphérique (36).

D’ailleurs, pour peu qu’on examine cette construction, il est aisé d’en voir la conformité avec celle qui résulte des principes de la projection stéréographique ordinaire ; la longitude $g$ et la distance au pôle $h$ seront celles qui répondent au lieu de l’œil sur la surface du globe et le point $\mathrm {G}$ de la Carte, qui répond à la même longitude $g$ et à la distance au pôle $180^{\circ }-h,$ sera le centre de la projection, c’est-à-dire le point du plan de projection par lequel passe le diamètre du globe qui aboutit au lieu de l’oeil ; enfin la ligne $\mathrm {GH}$ sera égale à la distance de l’œil à ce même plan.

De là on conclura donc que le cas de $c=1$ donne la projection stéréographique connue ; et qu’ainsi nos formules générales renferment à la fois les deux espèces les plus usitées de Cartes géographiques. De plus on voit par ces formules avec combien de facilité on peut tenir compte de l’aplatissement de la Terre dans la même projection, puisqu’il ne s’agit que d’y prendre, à la place de la vraie distance au pôle $z,$ la distance corrigée $\zeta ,$ que nous avons vu (19) être à très-peu près égale à

$z-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}\sin 2z.$

30. Sur la surface de la Terre la circonférence de chaque parallèle est divisée par les méridiens en parties proportionnelles aux différences de longitude ; voyons donc comment la circonférence des parallèles de la Carte sera divisée par les méridiens.

Qu’on mène du pôle $\mathrm {B}$ au point $\mathrm {R}$ la droite $\mathrm {BR} ,$ et qu’on abaisse du point $\mathrm {R}$ la perpendiculaire $\mathrm {RS}$ sur l’axe $\mathrm {AB} \,;$ il est visible que la tangente de l’angle $\mathrm {RBA}$ sera égale à $\mathrm {\frac {RS}{BS}} .$ Or

$\mathrm {RS} =y,\quad \mathrm {BC} =\delta ,\quad \mathrm {CS} =-x\,;$

donc

$\mathrm {BS} =\delta +x,$

et par conséquent

$\operatorname {tang} \mathrm {RBA} ={\frac {y}{\delta +x}}.$

Qu’on substitue pour $x$ et $y$ leurs valeurs données par les formules générales du n^o 21, et l’on trouvera, à cause de $\delta ={\frac {1}{2abc}},$

$\operatorname {tang} \mathrm {RBA} ={\frac {b\sin \left[c(t-g)\right]}{a\theta ^{c}+b\cos \left[c(t-g)\right]}}.$

Or on a dans les formules du n^o 27 (en prenant les signes supérieurs)

$\mathrm {CQ} =-x={\frac {b-a\theta ^{c}}{2abc\left(a\theta ^{c}+b\right)}}\,;$

donc

$\mathrm {BQ} =\delta -\mathrm {CQ} ={\frac {\theta ^{c}}{bc\left(a\theta ^{c}+b\right)}},\quad \mathrm {AQ} =\delta +\mathrm {CQ} ={\frac {1}{ac\left(a\theta ^{c}+b\right)}}\,;$

donc

$\mathrm {\frac {BQ}{AQ}} ={\frac {a\theta ^{c}}{b}}\,;$

cette valeur étant substituée dans l’expression précédente de $\operatorname {tang} \mathrm {RBA} ,$ on aura

$\operatorname {tang} \mathrm {RBA} ={\frac {\mathrm {AQ} \sin \left[c(t-g)\right]}{\mathrm {BQ+AQ} \cos \left[c(t-g)\right]}}\,;$

ce qui fournit la construction suivante pour trouver l’angle $\mathrm {RBA} .$

Qu’on décrive du centre $\mathrm {Q}$ et du rayon $\mathrm {QA}$ un cercle, et qu’on divise la circonférence de ce cercle à commencer du pôle $\mathrm {A}$ en parties qui répondent aux angles $c(t-g)\,;$ qu’on mène ensuite de l’autre pôle $\mathrm {B}$ à chacune de ces divisions des lignes droites $\mathrm {BR}$ prolongées s’il est nécessaire ces lignes diviseront le parallèle $\mathrm {PRQ}$ en parties $\mathrm {QR}$ correspondantes à la différence de longitude $g-t$ entre les méridiens $\mathrm {BA}$ et $\mathrm {BRA} .$

Le cercle dont il s’agit s’appelle, à cause de cette propriété, un cercle diviseur ; et dans la projection stéréographique pour laquelle on a $c=1,$ les arcs de ce cercle exprimeront précisément les différences de longitude.

31. Qu’on mène aussi du pôle $\mathrm {A}$ au même point $\mathrm {R}$ la droite $\mathrm {AR} ,$ et qu’on nomme $\lambda ,$ la droite $\mathrm {BR} ,$ $\mu$ la droite $\mathrm {AR} ,$ il est visible qu’on aura

$\lambda ={\sqrt {(\delta +x)^{2}+y^{2}}},\quad \mu ={\sqrt {(\delta -x)^{2}+y^{2}}}\,;$

qu’on substitue pour $x$ et $y$ leurs valeurs (21) en se rappelant que $\delta ={\frac {1}{2abc}},$ il viendra

${\begin{aligned}\lambda ^{2}=&{\frac {a^{2}\theta ^{2c}+2ab\theta ^{c}\cos[c(t-g)]+b^{2}}{b^{2}c^{2}{\bigl [}a^{2}\theta ^{c}+2ab\cos[c(t-g)]+b^{2}\theta ^{-c}{\bigr ]}^{2}}}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad ={\frac {\theta ^{c}}{b^{2}c^{2}{\bigl [}a^{2}\theta ^{c}+2ab\cos[c(t-g)]+b^{2}\theta ^{-c}{\bigr ]}}},\\\\\mu ^{2}=&{\frac {b^{2}\theta ^{-2c}+2ab\theta ^{-c}\cos[c(t-g)]+a^{2}}{a^{2}c^{2}{\bigl [}a^{2}\theta ^{c}+2ab\cos[c(t-g)]+b^{2}\theta ^{-c}{\bigr ]}^{2}}}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad ={\frac {\theta ^{-c}}{a^{2}c^{2}{\bigl [}a^{2}\theta ^{c}+2ab\cos[c(t-g)]+b^{2}\theta ^{-c}{\bigr ]}}}\,;\end{aligned}}$

d’où l’on tire

1^o$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {\lambda ^{2}}{\mu ^{2}}}={\frac {a^{2}\theta ^{2c}}{b^{2}}},\quad {\frac {\lambda }{\mu }}={\frac {a\theta ^{c}}{b}},$

2^o$\qquad \qquad {\frac {1}{\lambda ^{2}\mu ^{2}}}=a^{2}b^{2}c^{4}{\bigl [}a^{2}\theta ^{c}+2ab\cos \left[c(t-g)\right]+b^{2}\theta ^{-c}{\bigr ]}^{2}$

et de là

${\frac {1}{\lambda \mu }}=abc^{2}{\Bigl [}a^{2}\theta ^{c}+2ab\cos[c(t-g)]+b^{2}\theta ^{-c}{\Bigr ]}.$

Qu’on substitue dans cette dernière équation pour $\theta ^{c}$ sa valeur ${\frac {b\lambda }{a\mu }}$ tirée de la première, on aura

${\frac {1}{\lambda \mu }}=a^{2}b^{2}c^{2}\left[{\frac {\lambda }{\mu }}+2\cos[c(t-g)]+{\frac {\mu }{\lambda }}\right],$

savoir, en multipliant par $\lambda \mu$ et substituant pour $abc$ sa valeur ${\frac {1}{2\delta }},$

$4\delta ^{2}=\lambda ^{2}+2\lambda \mu \cos \left[c(t-g)\right]+\mu ^{2}.$

Or, en considérant le triangle $\mathrm {BRA} ,$ dans lequel

$\mathrm {BA} =2\delta ,\quad \mathrm {BR} =\lambda ,\quad \mathrm {AR} =\mu ,$

on a, comme on sait,

$(2\delta )^{2}=\lambda ^{2}-2\lambda \mu \cos \mathrm {BRA} +\mu ^{2}.$

Donc, en comparant cette équation à la précédente, on aura

$-\cos \mathrm {BRA} =cos\left[c(t-g)\right],$

et par conséquent

$\mathrm {BRA} =180^{\circ }-c(t-g).$

De sorte qu’on aura $t-g,$ c’est-à-dire la différence de longitude des méridiens $\mathrm {BA}$ et $\mathrm {BRA} ,$ égale à ${\frac {180^{\circ }-\mathrm {BRA} }{c}}.$

À l’égard de la première équation

${\frac {\lambda }{\mu }}={\frac {a\theta ^{c}}{b}},$

si l’on y substitue pour $\theta$ et pour ${\frac {b}{a}}$ leurs valeurs $\operatorname {tang} {\frac {\zeta }{2}}$ et $\left(\operatorname {tang} {\frac {h}{2}}\right)^{c},$ et qu’on en tire la racine $c$^ième, elle donnera

${\frac {\operatorname {tang} {\cfrac {\zeta }{2}}}{\operatorname {tang} {\cfrac {h}{2}}}}=\left({\frac {\lambda }{\mu }}\right)^{\frac {1}{c}}=\left(\mathrm {\frac {RB}{RA}} \right)^{\frac {1}{c}},$

équation par laquelle on connaîtra la distance au pôle $\zeta$ du parallèle $\mathrm {RQ} ,$ en supposant connue la distance au pôle $h$ du parallèle $\mathrm {DCE} .$

32. En général on voit par les formules précédentes que, les lieux des pôles $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ d’une Carte étant connus, et sachant de plus la longitude $t$ et la distance au pôle $\zeta$ d’un lieu quelconque $\mathrm {R} ,$ on pourra connaître

calcul de la longitude § distance au pôle

aisément la longitude $t'$ et la distance au pôle $\zeta '$ d’un autre lieu quelconque $\mathrm {R} '$ (fig. 2). Car ayant joint les droites $\mathrm {RB,RA,R'B,R'A} ,$ on aura pour le lieu $\mathrm {R}$

$t-g={\frac {180^{\circ }-\mathrm {BRA} }{c}},\quad {\frac {\operatorname {tang} {\cfrac {\zeta }{2}}}{\operatorname {tang} {\cfrac {h}{2}}}}=\left(\mathrm {\frac {RB}{RA}} \right)^{\frac {1}{c}},$

et de même pour l’autre lieu $R'$

$t'-g={\frac {180^{\circ }-\mathrm {BR'A} }{c}},\quad {\frac {\operatorname {tang} {\cfrac {\zeta '}{2}}}{\operatorname {tang} {\cfrac {h}{2}}}}=\left(\mathrm {\frac {R'B}{R'A}} \right)^{\frac {1}{c}}\,;$

donc

$t'-t={\frac {\mathrm {BRA-BR'A} }{c}}={\frac {\mathrm {R'AR-R'BR} }{c}},$

et

${\frac {\operatorname {tang} {\cfrac {\zeta '}{2}}}{\operatorname {tang} {\cfrac {\zeta }{2}}}}=\mathrm {\left({\frac {R'B}{RB}}{\frac {RA}{R'A}}\right)} ^{\frac {1}{c}},$

ou bien

$\operatorname {tang} {\frac {\zeta '}{2}}:\operatorname {tang} {\frac {\zeta }{2}}=\mathrm {\left({\frac {R'B}{R'A}}\right)} ^{\frac {1}{c}}:\mathrm {\left({\frac {RB}{RA}}\right)} ^{\frac {1}{c}}.$

33. S’il n’y avait que le lieu d’un des pôles $\mathrm {B}$ de donné, mais que l’on connût les longitudes $t,t'$ et les distances au pôle $\zeta ,\zeta '$ de deux lieux quelconques $\mathrm {R,R'} ,$ on pourrait par leur moyen trouver la longitude et la distance au pôle d’un autre lieu quelconque. Toute la difficulté se réduit, comme on voit, à trouver le lieu de l’autre pôle $\mathrm {A} .$

Ayant joint les trois lignes $\mathrm {BR,BR',RR'} ,$ il est clair que le triangle $\mathrm {BRR} '$ est donné de grandeur et de position ; soit $\mathrm {A}$ le lieu cherché de l’autre pôle, et qu’on mène aussi les droites $\mathrm {RA,R'A} \,;$ on aura d’abord par le numéro précédent

$\mathrm {R'AR=R'BR} +c(t'-t),$

de sorte que l’angle au pôle $\mathrm {R'AR}$ sera connu. Qu’on décrive donc sur la corde $\mathrm {RR} '$ un cercle $\mathrm {RR'A}$ capable de l’angle $\mathrm {RAR} ',$ et le pôle cherché $\mathrm {A}$ se trouvera nécessairement sur la circonférence de ce cercle.

On aura ensuite (32)

$\mathrm {\frac {RA}{R'A}} =\mathrm {\frac {RB}{R'B}} \left({\frac {\operatorname {tang} {\cfrac {\zeta '}{2}}}{\operatorname {tang} {\cfrac {\zeta }{2}}}}\right)^{c},$

en sorte que le rapport des lignes $\mathrm {RA,R'A}$ sera aussi connu.

Qu’on tire au point $\mathrm {A}$ la tangente $\mathrm {AV}$ au cercle, laquelle rencontre en $\mathrm {V}$ la corde $\mathrm {RR} '$ prolongée ; on sait que l’angle $\mathrm {R'AV}$ est égal à l’angle $\mathrm {VRA} ,$ et qu’ainsi les triangles $\mathrm {ARV,R'AV}$ sont semblables ; ce qui donne

$\mathrm {RA:R'A=RV:VA=VA:R'V} ,$

et par conséquent

$\mathrm {{\overline {RA}}^{2}:{\overline {R'A}}^{2}=RV:R'V} \,;\quad {\text{donc}}\quad \mathrm {{\overline {RA}}^{2}-{\overline {R'A}}^{2}:{\overline {R'A}}^{2}=RR':R'V} .$

Ainsi l’on trouvera le point $\mathrm {V}$ sur la sécante $\mathrm {RR'V} ,$ duquel tirant ensuite une tangente au cercle, le point de contact $\mathrm {A}$ sera le lieu du pôle cherché.

34. Enfin, si l’on ne connaissait que les longitudes $t,t',t''$ et les distances au pôle $\zeta ,\zeta ',\zeta ''$ de trois lieùx quelconques $\mathrm {R,R',R''}$ donnés de position sur la Carte, on pourrait déterminer les lieux des pôles $\mathrm {B}$ et $\mathrm {A} \,;$ et par leur moyen les longitudes et les latitudes de tous les autres lieux de la même Carte. Car ayant mené des trois lieux donnés $\mathrm {R,R',R''}$ aux deux pôles cherchés $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ les six droites $\mathrm {RA,R'A,R''A,RB,R'B,R''B} ,$ on aura (32)

$\mathrm {BR'A-BRA} =c(t-t'),\quad \mathrm {BR''A-BR'A} =c(t'-t),$

$\mathrm {{\frac {RB}{RA}}:{\frac {R'B}{R'A}}:{\frac {R''B}{R''A}}} =\left(\operatorname {tang} {\frac {\zeta }{2}}\right)^{c}:\left(\operatorname {tang} {\frac {\zeta '}{2}}\right)^{c}:\left(\operatorname {tang} {\frac {\zeta ''}{2}}\right)^{c}\,;$

ce qui fournit comme on voit quatre équations, lesquelles suffiront pour la détermination des deux points $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} .$

Le Problème dont il s’agit se réduit, en général, à celui-ci,: Trois points $\mathrm {R,R',R''}$ étant donnés, construire sur une même base $\mathrm {AB}$ trois triangles, dont les sommets soient aux points donnés, et qui soient tels : 1^o que les différences des angles au sommet $\mathrm {BRA,BR'A,BR''A}$ soient données ; 2^o que les raisons des côtés qui comprennent ces angles, c’est-à-dire $\mathrm {{\frac {RB}{RA}},{\frac {R'B}{R'A}},{\frac {R''B}{R''A}}} ,$ soient entre elles dans des rapports donnés.

Or ce Problème me paraît assez difficile à résoudre par la Géométrie ; et quant à la solution algébrique, je ne l’ai pas tentée, soit pour ne pas trop m’écarter de mon sujet, soit aussi parce qu’il me semble qu’elle ne serait d’aucun usage, à moins qu’on ne pût la ramener ensuite à une construction aisée.

Au reste, si l’on voulait entreprendre cette solution, on pourrait aussi se servir des formules générales du n^o 21. Car en supposant que les coordonnées $x,y$ répondent au point $\mathrm {R} ,$ et désignant par $x',y'$ les coordonnées pour le point $\mathrm {R} ',$ et par $x'',y''$ les coordonnées pour le point $\mathrm {R} '',$ on aura ces trois équations

${\begin{aligned}(x'\,-x\ )^{2}+(y'\ -y\,\ )^{2}=&\mathrm {\overline {RR'}} ^{2},\\(x''-x\ )^{2}+(y''-y\,\ )^{2}=&\mathrm {\overline {RR''}} ^{2},\\(x''-x')^{2}+\,(y''-y')^{2}=&\mathrm {\overline {R'R''}} ^{2},\\\end{aligned}}$

Substituant donc pour $x,y,x',y',x'',y''$ leurs valeurs, dans lesquelles les quantités $t,t',t'',$ ainsi que $\theta ,\theta ',\theta ''$ sont données, on aura trois équa-

tions qui serviront à déterminer les trois constantes $a,b,g\,;$ et le Problème sera résolu dès que les valeurs de ces constantes seront connues.

Par le moyen de ce Problème on pourra donc construire une Carte géographique dans laquelle trois lieux quelconques seront placés à volonté ce qui peut être utile dans quelques occasions.

35. Considérons présentement l’altération causée par la projection dans la grandeur des différents lieux de la surface de la Terre, et voyons les moyens de la diminuer. Nous avons déjà vu (21) que le rayon de l’équateur de la Terre étant supposé égal à $1,$ la grandeur naturelle de chaque lieu est augmentée ou diminuée dans la Carte suivant la proportion de $1:m,$ la quantité $m$ étant déterminée par cette formule

$m={\frac {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}z}}{\sin z{\Bigl [}a^{2}\theta ^{2}+2ab\cos \left[c(t-g)\right]+b^{2}\theta ^{-c}{\Bigr ]}}},$

laquelle, en mettant ${\frac {1}{2\delta }}$ à la place de $abc,$ $\operatorname {tang} {\frac {\zeta }{2}}$ à la place de $\theta$ et $\left(\operatorname {tang} {\frac {h}{2}}\right)^{c}$ a la place de ${\frac {b}{a}},$ se change en celle-ci

$m={\frac {2c\delta {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}z}}}{\sin z\left[\left({\cfrac {\operatorname {tang} {\cfrac {\zeta }{2}}}{\operatorname {tang} {\cfrac {h}{2}}}}\right)^{c}+2\cos \left[c(t-g)\right]+\left({\cfrac {\operatorname {tang} {\cfrac {h}{2}}}{\operatorname {tang} {\cfrac {\zeta }{2}}}}\right)^{c}\right]}}.$

Il est d’abord évident que, par rapport à la variable $t,$ la valeur de $m$ sera la plus petite lorsque $t=g,$ auquel cas la variation de $m$ sera nulle : car en faisant $t=g+\alpha ,$ on aura, tant que $\alpha$ sera très-petite,

$\cos \left[c(t-g)\right]=1-{\frac {c^{2}\alpha ^{2}}{2}}+{\frac {c^{4}\alpha ^{4}}{2.3.4}}-\ldots .$

où l’on voit que le terme qui contient la première puissance de $u$ ne se trouve pas ; quant au terme qui contient $\alpha ^{2},$ il sera impossible de le détruire, à moins de supposer $c=0,$ ce qui donne le cas des Cartes réduites (22).

Or, $g$ étant la longitude du méridien rectiligne $\mathrm {BA}$ de la Carte, il s’ensuit que les lieux placés sous ce méridien sont ceux dont la grandeur est la moins altérée en longitude par la projection ; reste donc à chercher la latitude du lieu qui sera en même temps sujet à la moindre altération en latitude. Pour cela il n’y a qu’à différentier la valeur de $m,$ en y faisant varier $z$ seul, et faire ensuite la différentielle nulle. Ce calcul n’a aucune difficulté, mais pour le simplifier davantage il sera à propos de faire abstraction de l’excentricité $\varepsilon$ de la Terre, laquelle étant en effet très-petite peut être négligée sans erreur sensible, surtout dans la recherche présente.

36. Nous allons auparavant mettre la valeur de $m$ sous une forme un peu différente et plus commode pour le calcul, en y introduisant à la place des variables $\theta$ et $t$ les distances $\lambda$ et $\mu .$ Pour cela on substituera d’abord à la place de

$a^{2}\theta ^{c}+2ab\cos \left[c(t-g)\right]+b^{2}\theta ^{-c}$

sa valeur trouvée (31) ${\frac {1}{abc^{2}\lambda \mu }},$ ou bien ${\frac {2\delta }{c\lambda \mu }}\,;$ ce qui donnera

$m={\frac {c\lambda \mu {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}z}}}{2\delta \sin z}}.$

Ensuite on aura, par le même numéro,

$\operatorname {tang} {\frac {\zeta }{2}}=\operatorname {tang} {\frac {h}{2}}\left({\frac {\lambda }{\mu }}\right)^{\frac {1}{c}}=\operatorname {tang} {\frac {z}{2}}\left({\frac {1+\varepsilon \cos z}{1-\varepsilon \cos z}}\right)^{\frac {\varepsilon }{2}}$ (21) ;

moyennant quoi on pourra éliminer l’angle $z.$

Négligeons les termes affectés du carré $\varepsilon ^{2}$ de l’excentricité des méridiens ; on aura

$m={\frac {c\lambda \mu }{2\delta \sin z}},\quad \operatorname {tang} {\frac {z}{2}}=\operatorname {tang} {\frac {h}{2}}\left({\frac {\lambda }{\mu }}\right)^{\frac {1}{c}}\,;$

or, comme on sait,

$\sin z={\frac {2\operatorname {tang} {\cfrac {z}{2}}}{1+\operatorname {tang} ^{2}{\cfrac {z}{2}}}}\,;$

donc, substituant la valeur précédente, on aura

$\sin z={\frac {1}{\mu ^{\frac {1}{c}}\lambda ^{-{\frac {1}{c}}}\cot {\cfrac {h}{2}}+\lambda ^{\frac {1}{c}}\mu ^{-{\frac {1}{c}}}\operatorname {tang} {\cfrac {h}{2}}}},$

et par conséquent

$m={\frac {c}{2\delta }}\left(\lambda ^{1+{\frac {1}{c}}}\mu ^{1-{\frac {1}{c}}}\operatorname {tang} {\frac {h}{2}}+\lambda ^{1-{\frac {1}{c}}}\mu ^{1+{\frac {1}{c}}}\cot {\frac {h}{2}}\right),$

expression générale de la valeur de $m$ pour un point quelconque $\mathrm {R}$ de la Carte, laquelle ne dépend que des deux distances $\lambda =\mathrm {RB} ,\ \mu =\mathrm {RA}$ de ce point aux deux pôles.

37. Si l’on fait $c=1$ pour avoir le cas de la projection stéréographique (29), on aura

$m={\frac {\lambda ^{2}\operatorname {tang} {\cfrac {h}{2}}+\mu ^{2}\cot {\cfrac {h}{2}}}{2\delta }}={\frac {\lambda ^{2}+\mu ^{2}-\left(\lambda ^{2}-\mu ^{2}\right)\cos h}{2\delta \sin h}}.$

Or on a (fig. 1, page 672)

${\begin{aligned}\lambda ^{2}=&\mathrm {{\overline {RB}}^{2}={\overline {RS}}^{2}+{\overline {BS}}^{2}={\overline {RS}}^{2}+{\overline {CB-CS}}^{2}} ,\\\mu ^{2}=&\mathrm {{\overline {RA}}^{2}={\overline {RS}}^{2}+{\overline {SA}}^{2}={\overline {RS}}^{2}+{\overline {CA+CS}}^{2}} \,;\end{aligned}}$

donc (à cause de $\mathrm {CA=CB}$) on aura

${\begin{aligned}\lambda ^{2}+\mu ^{2}=&\mathrm {2{\overline {RS}}^{2}+2{\overline {CA}}^{2}+2{\overline {CS}}^{2}} ,\\\lambda ^{2}-\mu ^{2}=&-4\mathrm {CA\times CS} \,;\end{aligned}}$

de plus on a

$\mathrm {CA} \cos h=\mathrm {CG} ,\quad \delta \sin h=\mathrm {CA} \sin h=\mathrm {GH} \,;$

donc

$m=\mathrm {\frac {{\overline {RS}}^{2}+{\overline {CA}}^{2}+{\overline {CS}}^{2}+2CS\times CG}{GH}} \,;$

or

$\mathrm {{\overline {CA}}^{2}={\overline {CG}}^{2}+{\overline {GH}}^{2}} \,;$

et, joignant les points $\mathrm {G,R}$ par la droite $\mathrm {GR} ,$ on a aussi

$\mathrm {{\overline {GR}}^{2}={\overline {RS}}^{2}+{\overline {SG}}^{2}={\overline {RS}}^{2}+{\overline {CS}}^{2}+2CS\times CG+{\overline {CG}}^{2}} \,;$

donc enfin on aura

$m=\mathrm {\frac {{\overline {GR}}^{2}+{\overline {GH}}^{2}}{GH}} .$

On voit par cette formule que la valeur de $m$ sera la plus petite dans le point $\mathrm {G} ,$ qui répond à une distance au pôle $z=\mathrm {BH} '=180^{\circ }-h,$ et qui est, ainsi que nous l’avons dit dans le n^o 29, le centre de la projection stéréographique ; ce qui est d’ailleurs évident par la nature de cette projection.

38. Comme l’exposant $c$ de la projection est à volonté, voyons si par son moyen on peut diminuer davantage les variations de la quantité $m$. Nous avons déjà remarqué plus haut (35) que les minimums de cette quantité doivent tomber nécessairement dans des lieux placés sur le méridien rectiligne $\mathrm {AB} .$ Or lorsque le point $\mathrm {R}$ tombe sur $\mathrm {AB} ,$ on a évidemment

$\lambda +\mu =\mathrm {AB} =2\delta \,;$

de sorte que, si la quantité $\lambda$ varie par exemple d’une quantité quelconque $\beta ,$ la quantité $\mu$ devra varier en même temps de la quantité $-\beta .$

Substituons donc, dans l’expression générale de $m$ (36), $\lambda +\beta$ à la place de $\lambda ,$ et $\mu -\beta$ à la place de $\mu \,;$ et, regardant la quantité $\beta$ comme très-petite, poussons la précision jusqu’aux $\beta ^{2}\,;$ nous aurons la formule suivante

${\begin{aligned}&m={\frac {c}{2\delta }}\left(\lambda ^{1+{\frac {1}{c}}}\mu ^{1-{\frac {1}{c}}}\operatorname {tang} {\frac {h}{2}}+\lambda ^{1-{\frac {1}{c}}}\mu ^{1+{\frac {1}{c}}}\cot {\frac {h}{2}}\right)\\&+{\frac {c\beta }{2\delta }}\left[\left({\frac {c+1}{c}}\lambda ^{\frac {1}{c}}\mu ^{1-{\frac {1}{c}}}-{\frac {c-1}{c}}\lambda ^{1+{\frac {1}{c}}}\mu ^{-{\frac {1}{c}}}\right)\operatorname {tang} {\frac {h}{2}}\right.\\&\qquad \qquad +\left.\left({\frac {c-1}{c}}\lambda ^{-{\frac {1}{c}}}\mu ^{1+{\frac {1}{c}}}-{\frac {c+1}{c}}\lambda ^{1-{\frac {1}{c}}}\mu ^{\frac {1}{c}}\right)\cot {\frac {h}{2}}\right]\\&+{\frac {c\beta ^{2}}{2\delta }}\left[\left({\frac {c+1}{2c^{2}}}\lambda ^{{\frac {1}{c}}-1}\mu ^{1-{\frac {1}{c}}}-{\frac {c^{2}-1}{c^{2}}}\lambda ^{\frac {1}{c}}\mu ^{-{\frac {1}{c}}}-{\frac {c-1}{c^{2}}}\lambda ^{1+{\frac {1}{c}}}\mu ^{-1-{\frac {1}{c}}}\right)\operatorname {tang} {\frac {h}{2}}\right.\\&\qquad +\left.\left(-{\frac {c-1}{2c^{2}}}\lambda ^{-{\frac {1}{c}}-1}\mu ^{1+{\frac {1}{c}}}-{\frac {c^{2}-1}{c^{2}}}\lambda ^{-{\frac {1}{c}}}\mu ^{\frac {1}{c}}+{\frac {c+1}{c^{2}}}\lambda ^{1-{\frac {1}{c}}}\mu ^{-1+{\frac {1}{c}}}\right)\cot {\frac {h}{2}}\right]\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Pour faire évanouir dans cette expression de $m$ les termes affectés de la première dimension de $\beta ,$ on aura l’équation suivante

$\left[(c+1)\lambda ^{\frac {1}{c}}\mu ^{1-{\frac {1}{c}}}-(c-1)\lambda ^{1+{\frac {1}{c}}}\mu ^{-{\frac {1}{c}}}\right]\operatorname {tang} {\frac {h}{2}}$

$+\left[(c-1)\lambda ^{-{\frac {1}{c}}}\mu ^{1+{\frac {1}{c}}}-(c+1)\lambda ^{1-{\frac {1}{c}}}\mu ^{\frac {1}{c}}\right]\cot {\frac {h}{2}}=0,$

savoir, en faisant ${\frac {\lambda }{\mu }}=n$ et réduisant,

$n^{\frac {1}{c}}\left[c+1-(c-1)n\right]\operatorname {tang} {\frac {h}{2}}+n^{-{\frac {1}{c}}}\left[c-1-(c+1)n\right]\cot {\frac {h}{2}}=0,$

équation qui donnera le minimum de la quantité $m,$ quelle que soit la valeur de $c$.

Si l’on veut détruire aussi les termes affectés du carré $\beta ^{2},$ on aura cette autre équation

$n^{\frac {1}{c}}\left[c+1-2\left(c^{2}-1\right)n-(c-1)n^{2}\right]\operatorname {tang} {\frac {h}{2}}$

$-n^{-{\frac {1}{c}}}\left[c-1+2\left(c^{2}-1\right)n-(c+1)n^{2}\right]\cot {\frac {h}{2}}=0\,;$

et l’on pourra satisfaire à la fois à ces deux équations au moyen des quantités $c$ et $n$ regardées comme inconnues.

39. Or si l’on nomme $\varpi$ la distance au pôle élevé, ou le complément de la latitude du lieu situé sur le méridien rectiligne $\mathrm {BA} ,$ pour lequel les deux équations dont il s’agit seront observées, on aura, en substituant dans la formule du n^o 36

$\operatorname {tang} {\frac {z}{2}}=\operatorname {tang} {\frac {h}{2}}\left({\frac {\lambda }{\mu }}\right)^{\frac {1}{c}}$

$\varpi$ à la place de $z$ et $n$ à la place de ${\frac {\lambda }{\mu }},$ on aura, dis-je,

$\operatorname {tang} {\frac {\varpi }{2}}=n^{\frac {1}{c}}\operatorname {tang} {\frac {h}{2}}\,;$

donc, à cause de

$\cot {\frac {h}{2}}={\frac {1}{\operatorname {tang} {\cfrac {h}{2}}}},$

les deux équations du numéro précédent, étant multipliées par $n^{\frac {1}{c}}\operatorname {tang} {\frac {h}{2}},$ deviendront

${\begin{aligned}&\left[c+1-(c-1)n\right]\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\varpi }{2}}+c-1-(c+1)n=0,\\&\left[c+1-2\left(c^{2}-1\right)n-(c-1)n^{2}\right]\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\varpi }{2}}-c+1\end{aligned}}$

$-2\left(c^{2}-1\right)n+(c+1)n^{2}=0.$

La première donne

$n={\frac {(c+1)\operatorname {tang} ^{2}{\cfrac {\varpi }{2}}+c-1}{(c-1)\operatorname {tang} ^{2}{\cfrac {\varpi }{2}}+c+1}},$

et, cette valeur étant substituée dans la seconde, elle deviendra, après avoir fait évanouir les fractions,

$\left[(c+1)(c-1)^{2}-(c-1)(c+1)^{2}-2\left(c^{2}-1\right)^{2}\right](1+\operatorname {tang} ^{6}{\frac {\varpi }{2}}$

$+{\biggl [}2(c-1)(c+1)^{2}-2(c+1)(c-1)^{2}-2\left(c^{2}-1\right)(c-1)^{2}{\biggr .}$

$\left.-2\left(c^{2}-1\right)(c+1)^{2}+(c+1)^{3}-(c-1)^{3}-2\left(c^{2}-1\right)^{2}\right]$

$\times \left(\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\varpi }{2}}+\operatorname {tang} ^{4}{\frac {\varpi }{2}}\right)=0,$

laquelle se réduit à celle-ci

$\left(c^{2}-1\right)\left(1+\operatorname {tang} ^{6}{\frac {\varpi }{2}}\right)+\left(3c^{2}-7\right)\left(\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\varpi }{2}}+\operatorname {tang} ^{4}{\frac {\varpi }{2}}\right)=0\,;$

d’où l’on tire

$c^{2}={\frac {1+7\operatorname {tang} ^{2}{\cfrac {\varpi }{2}}+7\operatorname {tang} ^{4}{\cfrac {\varpi }{2}}+\operatorname {tang} ^{6}{\cfrac {\varpi }{2}}}{\left(1+\operatorname {tang} ^{2}{\cfrac {\varpi }{2}}\right)^{3}}},$

savoir

$c^{2}=1+{\frac {4\operatorname {tang} ^{2}{\cfrac {\varpi }{2}}}{\left(1+\operatorname {tang} ^{2}{\cfrac {\varpi }{2}}\right)^{2}}}=1+4\sin ^{2}{\frac {\varpi }{2}}\cos ^{2}{\frac {\rho }{2}},$

ou plus simplement

$c^{2}=1+\sin ^{2}\varpi \quad {\text{et}}\quad c={\sqrt {1+\sin ^{2}\varpi }}.$

Ayant $c,$ on aura $n$ par la formule ci-dessus, laquelle peut se mettre sous cette forme plus simple

$n={\frac {c-\cos \varpi }{c+\cos \varpi }}.$

La valeur de $c$ sera l’exposant de la projection (22), et la valeur de $n$ donnera le rapport $\mathrm {\frac {BK}{AK}}$ des parties de l’axe $\mathrm {BA}$ de la Carte pour le point $\mathrm {K}$ dans lequel les conditions proposées auront lieu, et dont la longitude sera $g$ et la latitude $90^{\circ }-\varpi .$

40. Le lieu dont il s’agit aura donc la propriété, que la quantité $m$ sera à peu près constante dans tous les lieux circonvoisins ; en sorte que les régions circonvoisines seront le moins altérées qu’il est possible dans leur grandeur, et conserveront par conséquent à très-peu près leur forme naturelle, puisque d’ailleurs chaque partie infiniment petite de la projection est déjà par elle-même semblable à la partie correspondante de la figure de la Terre, en vertu de la nature de la projection (4). Ainsi il sera à propos, lorsqu’on aura une Carte quelconque à construire, de faire en sorte que ce même lieu occupe à peu près le milieu de la Carte, parce qu’alors les pays représentés dans la Carte seront le moins déformés qu’il sera possible, et toujours d’autant moins qu’ils seront plus près du milieu.

On choisira donc, dans l’étendue de pays que l’on se propose de projeter sur une Carte, un des principaux lieux, pour être placé à peu près au milieu de la Carte, et l’on fera la longitude de ce lieu égale à $g,$ et sa latitude, ou la hauteur du pôle égale à $90^{\circ }-\varpi \,;$ on aura d’abord l’exposant de la projection

$c={\sqrt {1+\sin ^{2}\varpi }}.$

Ensuite, pour construire la Carte, il n’y aura qu’à placer ce même lieu dans un point quelconque $\mathrm {K}$ qui soit vers le milieu de la Carte, et ayant mené une droite $\mathrm {BA} ,$ on prendra de part et d’autre du point $\mathrm {K}$ les parties $\mathrm {BK}$ et $\mathrm {AK}$ telles que

$\mathrm {BK:AK} =c-\cos \varpi :c+\cos \varpi \,;$

le point $\mathrm {B}$ sera le pôle boréal de la Carte et le point $\mathrm {A}$ en sera le pôle austral ; la distance $\mathrm {BA}$ sera l’axe même de la Carte, dont la longueur est arbitraire, et dépend de la grandeur ou de l’échelle qu’on veut donner à la Carte.

On cherchera de plus l’angle $h$ qui représente la distance au pôle, ou le complément de la latitude du lieu qui doit occuper le centre $\mathrm {C}$ de la Carte, par la formule

$\operatorname {tang} {\frac {\varpi }{2}}=n^{\frac {1}{c}}\operatorname {tang} {\frac {h}{2}}$

du n^o 39, dans laquelle $n=\mathrm {\frac {KB}{KA}} ,$ en sorte qu’on aura

$\operatorname {tang} {\frac {h}{2}}=\left(\mathrm {\frac {KB}{KA}} \right)^{\frac {1}{c}}\operatorname {tang} {\frac {\varpi }{2}}\,;$

et l’on aura tous les éléments nécessaires pour la construction de la Carte proposée.

41. Lorsque l’exposant $c$ de la projection est donné, comme dans la projection stéréographique où $c=1$ (29), on ne peut faire disparaître dans l’expression de $m$ que les termes affectés de la première dimension de $\beta$, en prenant (39)

$n=\mathrm {\frac {KB}{KA}} ={\frac {c-\cos \varpi }{c+\cos \varpi }}\,;$

et il est visible que la variation de $m$ et par conséquent la difformité de la Carte sera toujours plus grande dans ce cas que dans le cas précédent, où l’on donne à $c$ une valeur convenable pour faire disparaître aussi les secondes dimensions de $\beta .$

En faisant $c=1$ pour la projection stéréographique, on a

$n={\frac {1-\cos \varpi }{1+\cos \varpi }}=\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\varpi }{2}}\,;$

mais on a, en général, lorsque $c=1,$

$\operatorname {tang} {\frac {\varpi }{2}}=n^{\frac {1}{c}}\operatorname {tang} {\frac {h}{2}}=n\operatorname {tang} {\frac {h}{2}}\,;$

donc

$n=n^{2}\operatorname {tang} ^{2}{\frac {h}{2}}\quad {\text{et}}\quad n=\cot ^{2}{\frac {h}{2}}={\frac {1+\cos h}{1-\cos h}}=\mathrm {\frac {GB}{GA}} \,;$

mais $n=\mathrm {\frac {KB}{KA}} \,;$ donc le point $\mathrm {K}$ tombe en $\mathrm {G} ,$ ce qui s’accorde avec ce que nous avons vu plus haut (37).

Or, par l’expression générale de $m$ donnée dans ce numéro, il est aisé de voir que la valeur de $m$ pour les lieux placés sur l’axe $\mathrm {BA}$ à une distance quelconque $\beta$ du point $\mathrm {G}$ sera

$\mathrm {\frac {{\overline {GH}}^{2}+\beta ^{2}}{GH}} \,;$

d’où il s’ensuit que, quelque valeur que puisse avoir la quantité $\mathrm {GH} ,$ jamais la seconde dimension $\beta$ de ne pourra disparaître de la valeur de $m,$ à moins de supposer $\mathrm {GH} =\infty ,$ ce qui serait absurde, puisqu’on aurait alors aussi $m=\infty .$ Donc elle ne disparaîtra pas non plus dans le cas du n^o  39, lorsque la valeur de $\varpi$ sera telle que $c=1,$ ce qui arrive en faisant $\sin \varpi =0,$ et par conséquent $\varpi =0$ ou $=180^{\circ },$ c’est-à-dire quand l’un ou l’autre pôle doit occuper le milieu de la Carte, auquel cas on aurait la projection stéréographique polaire ; c’est aussi de quoi l’on peut se convaincre par les formules mêmes des n^os 38, 39.

En effet si l’on suppose, ce qui revient au même, $\sin \varpi$ infiniment petit et égal à $i,$ on aura

$c=1+{\frac {i^{2}}{2}},\quad \cos \varpi =1-{\frac {i^{2}}{2}},$

donc

$n={\frac {i^{2}}{2}},\quad \operatorname {tang} {\frac {\varpi }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \varpi }{1+\cos \varpi }}}={\frac {i}{2}},$

donc ${\biggl (}{\biggr .}$à cause de $\left.\operatorname {tang} {\frac {\varpi }{2}}=n^{\frac {1}{c}}\operatorname {tang} {\frac {h}{2}}\right)$ on aura

$\operatorname {tang} {\frac {h}{2}}={\frac {1}{i}},\quad \cot {\frac {h}{2}}=i.$

Or

${\frac {\lambda }{\mu }}=n,\quad \lambda +\mu =2\delta \,;$

on aura donc

$\lambda =\delta i^{2},\quad \mu =2\delta .$

Substituant ces différentes valeurs dans l’expression générale de $m$ du n^o  38 et négligeant ce qu’on doit négliger à cause de $i$ infiniment petit, on aura

$m=2\delta i-\beta i+{\frac {\beta ^{2}}{2\delta i}},$

où l’on voit que le terme affecté de $\beta$ disparaît en faisant $i=0,$ mais non pas celui qui contient $\beta ^{2}.$ C’est le seul cas où les résultats généraux du n^o  39 soient en défaut ; ce qui vient de ce que l’équation provenant de la destruction du coefficientde $\beta ^{2}$ a été multipliée par la quantité $n^{1+{\frac {1}{c}}}\operatorname {tang} {\frac {h}{2}},$ laquelle dans le cas présent devient ${\frac {i^{3}}{4}}.$ J’ai cru devoir entrer dans ce petit détail pour lever la contradiction apparente qu’on aurait pu remarquer entre les résultats des n^os 37, 39.

42. Supposons qu’il s’agisse de construire une Carte dont le milieu doive être occupé par la ville de Berlin ; on aura donc

$g=31^{\circ }2'{\frac {1}{2}},\quad 90^{\circ }-\varpi =52^{\circ }31'{\frac {1}{2}},$

par conséquent

$\varpi =37^{\circ }28'{\frac {1}{2}}\,;$

de là on trouvera

$c={\sqrt {1+\sin ^{2}\left(37^{\circ }28'{\frac {1}{2}}\right)}}=1{,}1706,$

et

$n={\frac {0{,}3770}{1{,}9642}}=0{,}19194.$

On prendra donc pour l’exposant $c$ de la projection le nombre $1{,}17,$ lequel differe peu, comme on voit, de l’unité ; en sorte que la projection ne s’éloignera pas beaucoup de la projection stéréographique ; ensuite, en supposant que Berlin soit au point $\mathrm {K} ,$ on déterminera les pôles $\mathrm {B}$ et $\mathrm {A}$ en sorte que $\mathrm {\frac {KB}{KA}} =0,192,$ c’est-à-dire qu’on prendra $\mathrm {KB:KA}$ comme $19$ à $100$ à très-peu près.

1. Œuvres de Lagrange, t. IV, p. 275.