Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin/Sur l’altération des moyens mouvements des planètes

Joseph-Louis Lagrange

Sur l’altération des moyens mouvements des planètes

Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome IV (p. 255-271).

SUR L’ALTÉRATION
DES
MOYENS MOUVEMENTS DES PLANÈTES^[1].

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(Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, année 1776.)

Une des déterminations les plus importantes et en même temps les plus difficiles de la théorie des planètes est celle de leurs moyens mouvements ou de la durée de leurs révolutions. Les Astronomes, en comparant les observations modernes avec les plus anciennes dont la mémoire nous ait été conservée, ont cru remarquer que les mouvements moyens de Saturne, de Jupiter et de la Lune n’étaient pas uniformes, que celui de Saturne paraissait se ralentir de siècle en siècle, et que ceux de Jupiter et de la Lune paraissaient au contraire sujets à des accélérations continuelles ils ont en conséquence introduit dans les Tables de ces planètes des équations séculaires qui doivent s’appliquer à leurs moyens mouvements supposés uniformes.

L’équation séculaire de Saturne est, d’après les Tables de Halley, de $1'24''$ pour le premier siècle, et augmente ensuite comme les carrés des temps ; celle de Jupiter est seulement de $36''$ pour le premier siècle, et augmente de même comme les carrés des temps ; enfin l’équation séculaire de la Lune est, suivant les dernières Tables de Mayer, de $9''$ pour le premier siècle, et croît aussi comme les carrés des temps.

Quelques Astronomes avaient cru apercevoir aussi une accélération continuelle dans le mouvement moyen de la Terre ; mais soit qu’on n’ait pas regardé cette altération comme suffisamment constatée, ou que la quantité en soit assez petite pour pouvoir être négligée, il paraît qu’on n’a pas encore pensé à y avoir égard dans les Tables du Soleil.

À l’égard des mouvements moyens des autres planètes, on n’y a jusqu’à présent découvert aucune altération sensible ; du moins il n’en a jamais été question, que je sache, dans les Tables de Mars, de Vénus et de Mercure.

Comme le système de la gravitation universelle suffit pour expliquer les inégalités périodiques des planètes, il est naturel de regarder aussi cette même gravitation comme la cause de leurs inégalités séculaires ; mais il est infiniment plus difficile d’en déduire ces dernières inégalités que les premières, tant à cause de leur petitesse, que parce que le calcul le plus épineux et le plus délicat est nécessaire pour assigner et distinguer dans les équations différentielles tous les différents termes qui peuvent les produire. Aussi voyons-nous que les Géomètres qui se sont occupés jusqu’à présent de cet objet sont parvenus à des résultats différents.

M. Euler, dans sa première Pièce sur les irrégularités de Jupiter et de Saturne, n’a trouvé aucune équation séculaire ; mais, dans sa seconde Pièce sur le même sujet, il trouve une équation séculaire égale pour l’une et l’autre planète et de $2'24''$ pour le premier siècle, à compter de 1700 ; ce qui ne s’accorde guère avec les observations.

Dans l’Essai que j’ai donné sur cette matière dans le tome III des Mémoires de Turin, je suis arrivé à des résultats plus conformes aux observations, et j’ai trouvé pour Saturne une équation séculaire soustractive du moyen mouvement, dont la quantité est $14''{,}221$ au bout de la première révolution comptée de 1750, et pour Jupiter une équation séculaire additive à son moyen mouvement et qui monte à $2''{,}740$ pendant la première révolution comptée depuis la même époque^[2]. Mais M. de Laplace ayant poussé l’approximation plus loin que je n’avais fait, et ayant calculé plus exactement les différents termes qui pouvaient produire des inégalités croissantes comme les carrés des temps dans les mouvements de Jupiter et de Saturne, a reconnu le premier que ces termes se compensent et se détruisent ou entièrement ou presque entièrement, et ne laissent par conséquent qu’un résultat nul ou trop petit pour qu’on doive y avoir égard. Et comme cette compensation est indépendante des valeurs particulières des éléments des orbites de Jupiter et de Saturne, on en peut conclure, en général, que l’attraction réciproque des planètes ne saurait altérer sensiblement leurs moyens mouvements, du moins tant que leurs orbites sont supposées à très-peu près circulaires, et leurs masses très-petites vis-à-vis de celle du Soleil, ce qui est le cas de toutes les planètes de notre système.

Quant à la Lune en particulier, les Géomètres qui ont travaillé sur la théorie de cette planète n’ont jamais rencontré dans l’équation différentielle de son orbite des termes qui puissent donner une équation séculaire dans son mouvement moyen, quelque loin qu’ils aient d’ailleurs porté la précision dans leurs calculs ; il restait seulement à examiner si la figure non sphérique de la Terre et de la Lune pourrait avoir quelque influence dans le mouvement moyen de la Lune ; c’est ce que j’ai fait dans ma Pièce sur cette question, et j’ai trouvé que les termes qui pourraient produire une accélération dans le mouvement moyen de la Lune se détruisent aussi à très-peu près les uns les autres ; résultat analogue à celui de M. de Laplace pour Jupiter et Saturne. D’où l’on peut aussi conclure, en général, que la non-sphéricité des corps célestes ne peut pas non plus produire une altération sensible dans leurs moyens mouvements. Il est vrai que comme on n’est parvenu à ces résultats que par des méthodes d’approximation, on ne doit pas les regarder comme tout à fait rigoureux ; cependant, de ce que les termes qui donneraient une équation séculaire se détruisent d’eux-mêmes dans la première approximation, on est porté à penser qu’il en sera de même des termes provenant des approximations suivantes ; mais le calcul nécessaire pour s’en assurer serait si pénible par sa longueur, que personne ne sera jamais tenté de l’entreprendre ; d’ailleurs on ne pourrait jamais parvenir, par ce moyen, qu’à des conclusions approchées, et il resterait toujours douteux si la proposition est vraie en toute rigueur. Heureusement j’ai trouvé moyen de la démontrer à priori, et sans supposer que les orbites des planètes soient à très-peu près circulaires ; c’est ce que je vais développer dans ce Mémoire avec tout le détail dû à l’importance et à la difficulté de la matière.

1. On sait que si un corps se meut autour d’un centre fixe ou regardé comme fixe, en vertu d’une impulsion primitive quelconque et d’une force tendante continuellement vers ce centre, et toujours réciproquement proportionnelle au carré de sa distance au centre, on sait, dis-je, que ce corps doit décrire une ellipse ayant le centre dont il s’agit dans un de ses foyers, de manière que les aires parcourues autour de ce foyer soient proportionnelles au temps, et que la durée de chacune de ses révolutions sera proportionnelle à la racine carrée du cube de la distance moyenne ou du demi-grand axe de l’ellipse divisé par la force centrale absolue. C’est ce que Newton a démontré le premier, et une foule d’Auteurs après lui.

Mais, si à cette force se joignent d’autres forces particulières qui en altèrent la direction et la quantité, alors l’orbite du corps sera d’autant plus différente de l’ellipse qu’il aurait décrite sans ces nouvelles forces, que ces forces mêmes seront considérables vis-à-vis de la force tendante au centre et agissante en raison inverse du carré de la distance. Cependant lorsque les forces perturbatrices sont fort petites par rapport à la force principale, et que par conséquent l’orbite du corps ne doit s’éloigner que très-peu de la figure elliptique, on peut supposer que cette orbite est une véritable ellipse, mais dont les dimensions et la position varient d’un instant à l’autre.

De cette manière les dérangements produits par les forces perturbatrices reviennent à la variation des six éléments de l’orbite elliptique, lesquels sont le grand axe de l’ellipse, l’excentricité, la position du grand axe ou de la ligne des apsides, l’inclinaison du plan de l’ellipse à un autre plan donné, la position de la ligne d’intersection des deux plans ou de la ligne des nœuds, et l’époque du moyen mouvement, c’est-à-dire la valeur de la longitude moyenne pour un temps donné ; et la question se réduit à trouver la loi de ces variations, c’est-à-dire les valeurs différentielles-des éléments dont il s’agit regardés comme variables. Mais nous n’aurons pas même besoin pour notre objet de connaître les variations de tous ces éléments ; car comme dans les orbites invariables la durée des révolutions ne dépend que de la grandeur du grand axe de l’ellipse, il est naturel d’en conclure que dans les orbites variables il n’y a aussi que les variations du grand axe qui puissent influer sur la durée-du temps périodique ; en effet, quand les variations des éléments sont très-petites, on peut sans erreur sensible imaginer que ces éléments demeurent les mêmes durant chaque révolution, et qu’ils ne changent que d’une révolution à l’autre ; et dans cette hypothèse il est visible que les variations du temps périodique ne peuvent venir que de ceiles du grand axe.

2. Tout se réduit donc à déterminer les variations que doit subir le grand axe de l’orbite elliptique d’un corps mû autour d’un centre fixe, en vertu d’une force réciproquement proportionnelle au carré de la distance, et dérangé en même temps par des forces perturbatrices données et très-petites vis-à-vis de la force principale.

Pour traiter cette question d’une manière directe et générale, je rapporte à chaque instant la position du corps à trois coordonnées rectangles $x,y,z,$ dont je suppose que l’origine soit dans le centre de la force principale ; nommant $\mathrm {F}$ la valeur de cette force à la distance $1,$ et $r$ la distance du corps au centre, c’est-à-dire le rayon vecteur de l’orbite, en sorte que

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},$

j’aurai ${\frac {\mathrm {F} }{r^{2}}}$ pour l’expression générale de cette force, laquelle étant dé-

composée suivant les trois coordonnées $x,y,z,$ donnera ces trois-ci

${\frac {\mathrm {F} x}{r^{3}}},\quad {\frac {\mathrm {F} y}{r^{3}}},\quad {\frac {\mathrm {F} z}{r^{3}}}.$

Je suppose de plus que toutes les forces perturbatrices soient réduites à trois dirigées suivant les mêmes coordonnées, et je nomme $\mathrm {X,Y,Z}$ ces trois forces résultantes. On aura donc par les premiers principes de la Dynamique, en prenant l’élément du temps $dt$ pour constant, ces trois équations

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {F} x}{r^{3}}}+\mathrm {X} =&0,\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {F} y}{r^{3}}}+\mathrm {Y} =&0,\\{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {F} z}{r^{3}}}+\mathrm {Z} =&0,\end{aligned}}$

lesquelles serviront à déterminer le mouvement du corps en vertu des forces ${\frac {\mathrm {F} }{r^{2}}},\mathrm {X,Y,Z} .$

3. Supposons d’abord que les forces perturbatrices $\mathrm {X,Y,Z}$ soient nulles, on aura le cas du mouvement d’un corps attiré vers un centre fixe par une force ${\frac {\mathrm {F} }{r^{2}}}\,;$ et l’on pourra, par les formules connues, trouver les valeurs des trois coordonnées $x,y,z$ en $t\,;$ mais nous n’aurons pas même besoin de connaître ces valeurs : il nous suffit de remarquer

1^o Que ces valeurs doivent être les intégrales complètes et finies des trois équations différentio-différentielles

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {F} x}{r^{3}}}=0,\quad {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {F} y}{r^{3}}}=0,\quad {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {F} z}{r^{3}}}=0,$

et qu’elles doivent par conséquent renfermer six constantes arbitraires ;

2^o Que ces constantes seront précisément les six éléments de l’orbite elliptique dont nous avons parlé plus haut ;

3^o Que, si l’on différentie les trois intégrales dont il s’agit, on aura six équations à l’aide desquelles on pourra déterminer les six constantes arbitraires en $x,y,z,t,{\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}\,;$ de sorte qu’on aura ainsi six équations différentielles du premier ordre, dont chacune renfermera une constante arlitraire, et sera par conséquent une intégrale première des trois équations différentio-différentielles proposées.

4. Soit donc

$\mathrm {V} =k$

une de ces équations du premier ordre, $\mathrm {V}$ étant une fonction donnée de $x,y,z,t,{\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}},$ et $k$ une constante arbitraire ; on aura par la différentiation

$d\mathrm {V} =0,$

équation différentielle du second ordre qui ne contenant plus de constantes arbitraires devra être identique avec les équations différentiodifférentielles proposées ; d’où il s’ensuit que si dans l’expression de $d\mathrm {V}$ on substitue à la place des différentielles secondes

$d{\frac {dx}{dt}},\quad d{\frac {dy}{dt}},\quad d{\frac {dz}{dt}},$

leurs valeurs tirées des équations dont il s’agit, et qui sont

$-{\frac {\mathrm {F} x}{r^{3}}}dt,\quad -{\frac {\mathrm {F} y}{r^{3}}}dt,\quad -{\frac {\mathrm {F} z}{r^{3}}}dt,$

cette expression devra devenir identiquement nulle, en sorte qu’il faudra que tous ses termes se détruisent entre eux, et indépendammentde toute relation entre les quantités $x,y,z,t,{\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}$ qui composeront cette expression de $d\mathrm {V} .$ Et la même chose aura lieu également à l’égard de chacune des six équations du premier ordre qu’on aura trouvées.

5. Cela posé, si l’on veut maintenant avoir égard aux forces perturbatrices $\mathrm {X,Y,Z} ,$ il n’y aura qu’à considérer que l’effet de ces forces consiste en ce que les valeurs des différentielles secondes

$d{\frac {dx}{dt}},\quad d{\frac {dy}{dt}},\quad d{\frac {dz}{dt}}$

sont

$-{\frac {\mathrm {F} x}{r^{3}}}dt-\mathrm {X} dt,\quad -{\frac {\mathrm {F} y}{r^{3}}}dt-\mathrm {Y} dt,\quad -{\frac {\mathrm {F} z}{r^{3}}}dt-\mathrm {Z} dt\,;$

si donc on substitue ces valeurs dans l’expression de $d\mathrm {V}$ du numéro précédent, il arrivera nécessairement que tous les termes de cette expression se détruiront, à l’exception de ceux qui viennent de la substitution des quantités $-\mathrm {X} dt,$$-\mathrm {Y} dt,-\mathrm {Z} dt$ à la place de $d{\frac {dx}{dt}},\ d{\frac {dy}{dt}},\ d{\frac {dz}{dt}}\,;$ on aura donc dans ce cas

$d\mathrm {V} ={\frac {d\mathrm {V} }{d{\cfrac {dx}{dt}}}}(-\mathrm {X} dt)+{\frac {d\mathrm {V} }{d{\cfrac {dy}{dt}}}}(-\mathrm {Y} dt)+{\frac {d\mathrm {V} }{d{\cfrac {dz}{dt}}}}(-\mathrm {Z} dt).$

Or, dans le cas où les forces perturbatrices étaient nulles, on a eu $\mathrm {V} =k,$ $k$ étant un des éléments de l’orbite elliptique ; donc, si l’on veut que l’effet des forces perturbatrices consisté à faire varier ces éléments, il n’y aura qu’à regarder la quantité $k$ comme variable, ce qui donnera $d\mathrm {V} =dk\,;$ donc on aura

$dk=-\left({\frac {d\mathrm {V} }{d{\cfrac {dx}{dt}}}}\mathrm {X} +{\frac {d\mathrm {V} }{d{\cfrac {dy}{dt}}}}\mathrm {Y} +{\frac {d\mathrm {V} }{d{\cfrac {dz}{dt}}}}\mathrm {Z} \right),$

d’où l’on connaîtra les variations de $k$ en vertu des forces $\mathrm {X,Y,Z} .$

Et l’on aura des formules semblables pour les variations de chacun des six éléments de l’orbite du corps supposé elliptique.

6. On voit par là que les six équations différentielles du premier ordre, telles que $\mathrm {V} =k,$ seront de la même forme, soit que les forces perturbatrices $\mathrm {X,Y,Z}$ soient nulles on non, la seule différence étant dans la valeur des quantités $k$ qui sont constantes dans le premier cas et variables dans le second ; donc, si l’on élimine les trois différences premières ${\frac {dx}{dt}},$ ${\frac {dy}{dy}},{\frac {dz}{dy}},$ on aura trois équations finies qui seront encore de la même forme dans les deux cas ; d’où l’on doit conclure que les valeurs finies de $x,y,z,$ ainsi que celles de leurs différences premières ${\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}},$ seront toujours exprimées de la même manière par le temps $t$ et par les six éléments de l’orbite, soit que ces éléments soient constants ou variables, par conséquent on pourra toujours regarder ces éléments comme constants pendant un temps infiniment petit.

7. Appliquons maintenant cette théorie à la recherche des variations du grand axe de l’orbite elliptique. Pour cela il suffit de se rappeler que si l’on nomme $p$ le demi-paramètre de l’ellipse, $e$ son excentricité, $r$ le rayon vecteur partant d’un des foyers, $\varphi$ l’angle que le rayon $r$ fait avec une ligne fixe, et $\alpha$ l’angle que le grand axe de l’ellipse fait avec la même ligne, en sorte que $\varphi -\alpha$ soit l’angle du rayon vecteur avec le grand axe de l’ellipse, on aura par la nature de l’ellipse l’équation

$r={\frac {p}{1+e\cos(\varphi -\alpha )}}\,;$

de plus on aura par les propriétés du mouvement dans l’ellipse

$r^{2}d\varphi =dt{\sqrt {\mathrm {F} p}}\,;$

or nommant $a$ le demi-axe on a, comme l’on sait,

$p=a\left(1-e^{2}\right)\,;$

ainsi l’on aura trois constantes $a,e$ et $\alpha ,$ qu’on pourra déterminer à l’aide des trois équations

${\begin{aligned}&{\frac {1}{r}}={\frac {1+e\cos(\varphi -\alpha )}{a\left(1-e^{2}\right)}},\\&{\frac {d{\cfrac {1}{r}}}{d\varphi }}=-{\frac {e\sin(\varphi -\alpha )}{a\left(1-e^{2}\right)}},\\&{\frac {r^{4}d\varphi ^{2}}{dt^{2}}}=\mathrm {F} a\left(1-e^{2}\right).\end{aligned}}$

La première donne

$\left[{\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{r}}-1\right]^{2}=e^{2}\cos ^{2}(\varphi -\alpha ),$

la seconde donne

$\left[a\left(1-e^{2}\right){\frac {d{\cfrac {1}{r}}}{d\varphi }}\right]^{2}=e^{2}\sin ^{2}(\varphi -\alpha )\,;$

donc, ajoutant ces deux équations ensemble, on aura

$\left[{\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{r}}-1\right]^{2}+a^{2}\left(1-e^{2}\right)^{2}\left({\frac {d{\cfrac {1}{r}}}{d\varphi }}\right)^{2}=e^{2},$

ou bien, en développant les termes,

$a^{2}\left(1-e^{2}\right)^{2}\left[{\frac {1}{r^{2}}}+\left({\frac {d{\cfrac {1}{r}}}{d\varphi }}\right)^{2}\right]-{\frac {2a\left(1-e^{2}\right)}{r}}+1-e^{2}=0,$

c’est-à-dire, en divisant par $1-e^{2},$

$a^{2}\left(1-e^{2}\right)\left({\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {dr^{2}}{r^{4}d\varphi ^{2}}}\right)-{\frac {2a}{r}}+1=0\,;$

mais par la troisième équation on a

$1-e^{2}={\frac {r^{4}d\varphi ^{2}}{\mathrm {F} adt^{2}}}\,;$

donc, substituant cette valeur, il viendra

$a\left({\frac {r^{2}d\varphi ^{2}+dr^{2}}{\mathrm {F} dt^{2}}}-{\frac {2}{r}}\right)+1=0\,;$

d’où l’on tire cette équation pour la détermination de $a$

${\frac {1}{r}}-{\frac {r^{2}d\varphi ^{2}+dr^{2}}{2\mathrm {F} dt^{2}}}={\frac {1}{2a}}.$

Il ne s’agit plus maintenant que de substituer à la place de $r$ et de $\varphi$ leurs valeurs en $x,y,z\,;$ pour cela j’observe que $r^{2}d\varphi ^{2}+dr^{2}$ n’est autre chose que le carré du petit espace que le corps parcourt à chaque instant, lequel carré exprimé par les coordonnées rectangles $x,y,z$ est, comme l’on sait, $dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\,;$ d’ailleurs on a

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\,;$

donc on aura l’équation

${\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}-{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{2\mathrm {F} dt^{2}}}={\frac {1}{2a}},$

laquelle étant comparée à l’équation $\mathrm {V} =k,$ du n^o 4, donnera

$\mathrm {V} ={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}-{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{2\mathrm {F} dt^{2}}}\quad {\text{et}}\quad k={\frac {1}{2a}}.$

Faisant donc varier simplement les quantités ${\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}$ dans l’expression de $\mathrm {V} ,$ on aura

${\frac {d\mathrm {V} }{d{\cfrac {dx}{dt}}}}=-{\frac {dx}{\mathrm {F} dt}},\quad {\frac {d\mathrm {V} }{d{\cfrac {dy}{dt}}}}=-{\frac {dy}{\mathrm {F} dt}},\quad {\frac {d\mathrm {V} }{d{\cfrac {dz}{dt}}}}=-{\frac {dz}{\mathrm {F} dt}}\,;$

donc, substituant ces valeurs dans la formule du n^o 5, on aura

$d{\frac {1}{2a}}={\frac {\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz}{\mathrm {F} }}.$

8. Voilà donc, comme l’on voit, une formule fort simple pour déterminer les altérations du grand axe $2a$ de l’orbite elliptique d’un corps animé par une force centrale ${\frac {\mathrm {F} }{r^{2}}},$ et dérangé par des forces perturbatrices quelconques $\mathrm {X,Y,Z} .$

Pour appliquer cette formule à la solution de la question qui fait l’objet de ce Mémoire, il est clair qu’il faut commencer par déterminer les forces qui agissent sur chaque planète, tant en vertu de l’attraction du Soleil que de celles des autres planètes.

Pour cela, soit $\mathrm {S}$ la masse du Soleil, $\mathrm {T}$ celle de la planète dont on cherche le mouvement, $\mathrm {T',T''} ,\ldots$ les masses des planètes perturbatrices ; on sait que la planète $\mathrm {T}$ sera attirée vers le Soleil par une force égale à ${\frac {\mathrm {S+T} }{r^{2}}},$ $r$ étant sa distance au Soleil, et qu’en vertu de cette force elle décrira autour du Soleil la même orbite que si le Soleil était immobile. On peut donc regarder le Soleil comme fixe par rapport à la planète $\mathrm {T} ,$ mais il faut alors tenir compte de l’action des planètes $\mathrm {T',T''} ,\ldots$ sur le Soleil en transportant l’effet de cette action à la planète $\mathrm {T}$ en sens contraire. Ainsi, nommant $x,y,z$ les trois coordonnées rectangles de l’orbite de la planète $\mathrm {T}$ autour du Soleil, on aura d’abord $\mathrm {F=S+T}$ (n^o 2) ; ensuite, si l’on marque par un trait les quantités qui se rapportent à la planète $\mathrm {T} ',$ par deux traits celles qui se rapportent à la planète $\mathrm {T} '',$ etc. ; qu’enfin on dénote par $\delta '$ la distance rectiligne entre les corps $\mathrm {T}$ et $\mathrm {T} ',$ par $\delta ''$ la distance rectiligne entre les corps $\mathrm {T}$ et $\mathrm {T} '',$ et ainsi du reste, on trouvera :

1^o Que la force ${\frac {\mathrm {T} '}{\delta '^{2}}},$ avec laquelle le corps $\mathrm {T} '$ attire le corps $\mathrm {T}$ suivant la direction de la ligne $\delta ',$ produira ces trois forces suivant la direction des coordonnées $x,y,z,$ savoir

${\frac {\mathrm {T} '(x-x')}{\delta '^{3}}},\quad {\frac {\mathrm {T} '(y-y')}{\delta '^{3}}},\quad {\frac {\mathrm {T} '(z-z')}{\delta '^{3}}}\,;$

2^o Que la force ${\frac {\mathrm {T} '}{r'^{2}}},$ avec laquelle la planète $\mathrm {T} '$ attire le Soleil $\mathrm {S} ,$ étant transportée en sens contraire à la planète $\mathrm {T} ,$ produira encore ces trois autres forces suivant les mêmes directions, savoir

${\frac {\mathrm {T} 'x'}{r'^{3}}},\quad {\frac {\mathrm {T} 'y'}{r'^{3}}},\quad {\frac {\mathrm {T} 'z'}{r'^{3}}}.$

On trouvera de pareilles formules pour les forces résultantes de l’atfraction des autres planètes $\mathrm {T'',T'''} ,\ldots \,;$ et rassemblant respectivement toutes ces différentes forces, on aura les valeurs des forces perturbatrices $\mathrm {X,Y,Z}$ de la planète $\mathrm {T} ,$ lesquelles seront donc exprimées ainsi

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {X} =&\mathrm {T} '\left({\frac {x-x'}{\delta '^{3}}}+{\frac {x'}{r'^{3}}}\right)+&\mathrm {T} ''\left({\frac {x-x''}{\delta ''^{3}}}+{\frac {x''}{r''^{3}}}\right)+&\mathrm {T} '''\left({\frac {x-x'''}{\delta '''^{3}}}+{\frac {x'''}{r'''^{3}}}\right)+\ldots ,\\\mathrm {Y} =&\mathrm {T} '\left({\frac {y-y'}{\delta '^{3}}}+{\frac {y'}{r'^{3}}}\right)+&\mathrm {T} ''\left({\frac {y-y''}{\delta ''^{3}}}+{\frac {y''}{r''^{3}}}\right)+&\mathrm {T} '''\left({\frac {y-y'''}{\delta '''^{3}}}+{\frac {y'''}{r'''^{3}}}\right)+\ldots ,\\\mathrm {Z} =&\mathrm {T} '\left({\frac {z-z'}{\delta '^{3}}}+{\frac {z'}{r'^{3}}}\right)+&\mathrm {T} ''\left({\frac {z-z''}{\delta ''^{3}}}+{\frac {z''}{r''^{3}}}\right)+&\mathrm {T} '''\left({\frac {z-z'''}{\delta '''^{3}}}+{\frac {z'''}{r'''^{3}}}\right)+\ldots .\end{alignedat}}$

À l’égard des quantités $r',r'',\ldots$ et $\delta ',\delta '',\ldots ,$ il est clair qu’on aura

$r'={\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}},\qquad \qquad \qquad r''={\sqrt {x''^{2}+y''^{2}+z''^{2}}},\ldots ,$

$\delta '={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}},$

$\delta ''={\sqrt {(x-x'')^{2}+(y-y'')^{2}+(z-z'')^{2}}},\ldots .$

9. Si l’on substitue maintenant ces valeurs de $\mathrm {X,Y,Z}$ dans la formule $\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz,$ il en résultera une différentielle intégrable par rapport aux variables $x,y,z,$ et dont l’intégrale sera

$\mathrm {T} '\left({\frac {xx'+yy'+zz'}{r'^{3}}}-{\frac {1}{\delta '}}\right)+\mathrm {T} ''\left({\frac {xx''+yy''+zz''}{r''^{3}}}-{\frac {1}{\delta ''}}\right)$

$+\mathrm {T} '''\left({\frac {xx'''+yy'''+zz'''}{r'''^{3}}}-{\frac {1}{\delta '''}}\right)+\ldots .$

Nommant donc cette quantité $\Omega ,$ et supposant que la caractéristique $\delta$ indique une différentiation relative uniquement aux quantités $x,y,z,$ c’est-à-dire aux quantités qui se rapportent à la planète $\mathrm {T} ,$ on aura

$\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz=\delta \Omega \,;$

par conséquent, les altérations du grand axe $2a$ de l’orbite elliptique de la planète $\mathrm {T} ,$ produites par l’action d’autant d’autres planètes $\mathrm {T',T'',T'''} ,\ldots$ qu’on voudra, seront déterminées par cette formule fort simple (7)

$d{\frac {1}{2a}}={\frac {\delta \Omega }{\mathrm {S+T} }}.$

10. Soient maintenant $\theta ,\theta ',\theta '',\ldots$ les moyens mouvements des planètes $\mathrm {T,T',T''} ,\ldots$ autour du Soleil durant le temps $t,$ on pourra, par les formules connues (à cause que les excentricités des planètes sont fort petites) exprimer les valeurs de $r,x,y,z$ par des séries de sinus et cosinus de $\theta '$ et de ses multiples, et pareillement celles de $r',x',y',z'$ par de semblables séries de sinus et cosinus de $\theta '$ et de ses multiples ; et ainsi du reste. Substituant donc ces valeurs dans la quantité $\mathrm {\frac {\Omega }{S+T}} ,$ et développant les radicaux $\delta ',\delta '',\ldots$ en séries de sinus et cosinus, il est clair qu’elle se réduira à une série de termes de cette forme

$\mathrm {M} \times {\begin{aligned}&\sin \\&\cos \end{aligned}}\left(m\theta +n\theta '+p\theta ''+\ldots \right),$

$\mathrm {M}$ étant une quantité dépendante des éléments des orbites des planètes $\mathrm {T,T',T''} ,\ldots$ et $m,n,p,\ldots$ étant des nombres entiers positifs, ou négatifs, ou zéro.

Or, comme toutes les quantités qui se rapportent à la planète $\mathrm {T}$ sont exprimées par le seul angle $\theta ,$ tandis que celles qui se rapportent aux autres planètes $\mathrm {T',T''} ,\ldots$ le sont par les autres angles $\theta ',\theta '',\ldots ,$ il s’ensuit que, pour avoir la différentielle de $\mathrm {\frac {\Omega }{S+T}}$ relative aux quantités qui appartiennent à la planète $\mathrm {T} ,$ il faudra faire varier simplement l’angle $\theta ,$ en regardant les autres angles $\theta ',\theta '',\ldots$ comme constants. Donc chaque terme de la valeur de $\mathrm {\frac {\Omega }{S+T}}$ donnera dans celle de $\mathrm {\frac {\delta \Omega }{S+T}} ,$ et par conséquent dans la valeur de $d{\frac {1}{2a}},$ un terme correspondant de la forme

$\pm m\mathrm {M} \times {\begin{aligned}&\sin \\&\cos \end{aligned}}{\Bigl (}m\theta +n\theta '+p\theta ''+\ldots {\Bigr )}d\theta ,$

11. Comme les variations des éléments des orbites des planètes ne dépendent que des forces perturbatrices, et sont par conséquent très-petites de l’ordre de ces mêmes forces, il est clair que, si l’on veut négliger les quantités de l’ordre des carrés et des produits de ces forces, ainsi qu’on l’a toujours pratiqué dans les recherches des dérangements des planètes, on pourra regarder comme constants les éléments qui entrent dans les différents termes de la valeur de $d{\frac {1}{2a}}\,;$ ainsi la quantité $\mathrm {M}$ sera une constante ; de plus on aura par les Théorèmes connus (n^o 1)

$\theta :\theta ':\theta '':\ldots ={\sqrt {\frac {\mathrm {S+T} }{a^{3}}}}:{\sqrt {\frac {\mathrm {S+T'} }{a'^{3}}}}:{\sqrt {\frac {\mathrm {S+T''} }{a''^{3}}}}:\ldots$

$={\frac {1}{a^{3}}}:{\frac {1}{a'^{3}}}:{\frac {1}{a''^{3}}}:\ldots ,$

en négligeant $\mathrm {T,T',T''} ,\ldots$ vis-à-vis de $\mathrm {S} .$ Donc

$\theta '=\theta {\sqrt {\frac {a^{3}}{a'^{3}}}},\quad \theta ''=\theta {\sqrt {\frac {a^{3}}{a''^{3}}}},\ldots ,$

où l’on pourra regarder les quantités $a,a',a'',\ldots$ comme constantes.

Chaque terme de la valeur de $d{\frac {1}{2a}}$ sera donc de la forme

$\pm m\mathrm {M} \times {\begin{aligned}&\sin \\&\cos \end{aligned}}\left[\left(m+n{\sqrt {\frac {a^{3}}{a'^{3}}}}+p{\sqrt {\frac {a^{3}}{a''^{3}}}}+\ldots \right)\theta \right]d\theta ,$

lequel étant intégré donnera, dans la valeur de ${\frac {1}{2a}},$ le terme

${\frac {m\mathrm {M} \times {\begin{aligned}&\sin \\&\cos \end{aligned}}\left[\left(m+n{\sqrt {\cfrac {a^{3}}{a'^{3}}}}+p{\sqrt {\cfrac {a^{3}}{a''^{3}}}}+\ldots \right)\theta \right]}{m+n{\sqrt {\cfrac {a^{3}}{a'^{3}}}}+p{\sqrt {\cfrac {a^{3}}{a''^{3}}}}+\ldots }}\,;$

ainsi l’on connaîtra toutes les inégalités qui peuvent faire varier le grand axe $2a$ de l’orbite de la planète regardée comme elliptique.

12. On voit par là que ces inégalités seront toujours proportionnelles à des sinus ou cosinus d’angles, et par conséquent seront nécessairement périodiques.

Il n’y aurait que le seul cas où l’on aurait

$m+n{\sqrt {\frac {a^{3}}{a'^{3}}}}+p{\sqrt {\frac {a^{3}}{a''^{3}}}}+\ldots =0,$

dans lequel la valeur de ${\frac {1}{2a}}$ pût contenir des arcs de cercles ; car alors

le terme

${\frac {m\mathrm {M} \sin \left[\left(m+n{\sqrt {\cfrac {a^{3}}{a'^{3}}}}+p{\sqrt {\cfrac {a^{3}}{a''^{3}}}}+\ldots \right)\theta \right]}{m+n{\sqrt {\cfrac {a^{3}}{a'^{3}}}}+p{\sqrt {\cfrac {a^{3}}{a''^{3}}}}+\ldots }}$

devient $m\mathrm {M} \theta ,$ ce qui donne une équation qui augmente continuellement avec le mouvement moyen. Mais il est facile de se convaincre que ce cas ne peut pas avoir lieu dans notre système, où les valeurs de ${\sqrt {a^{3}}},{\sqrt {a'^{3}}},$${\sqrt {a''^{3}}},\ldots$ sont incommensurablesentre elles.

13. En général, si l’on a

$\theta '=\mu '\theta ,\quad \theta ''=\mu ''\theta ,\ldots ,$

$\mu ',\mu '',\ldots$ étant des quantités constantes, ou du moins regardées comme telles en faisant abstraction des forces perturbatrices, il s’ensuit du calcul précédent que toutes les variations du grand axe seront nécessairement périodiques, à moins que l’on n’ait

$m+n\mu '+p\mu ''+\ldots =0.$

Donc, lorsque les nombres $\mu ',\mu '',\ldots$ sont incommensurables, il est impossible que cette équation ait lieu, puisque les nombres $m,n,p,\ldots$ doivent être entiers ; par conséquent il l’est aussi que le grand axe soit sujet à une augmentation ou diminution constante.

Et il est facile de se convaincre que cette conclusion a lieu, en général, quel que soit le nombre des corps $\mathrm {T',T'',T'''} ,\ldots$ qui agissent sur la planète $\mathrm {T} ,$ et quelle que soit la forme de leurs orbites, pourvu que ces orbites soient renfermées dans un espace fini, en sorte que leurs coordonnées rectangles soient uniquement des fonctions de sinus et cosinus d’angles.

14. Enfin on peut aussi démontrer par là que la figure non sphérique de la Terre ne saurait altérer le mouvement moyen de la Lune ; car en imaginant, ainsi que Newton l’a fait dans sa Théorie de la précession des équinoxes, que les particules de la Terre qui forment l’excès du sphéroïde sur le globe soient une infinité de petites lunes adhérentes entre elles, et qui tournent en un jour autour du centre âe la Terre, il est aisé de voir que l’action de toutes ces particules sur la Lune ne pourra produire dans le grand axe de son orbite elliptique que des variations périodiques, à cause que la durée des révolutions de la Lune est comme incommensurable avec celle de la rotation diurne de la Terre.

1. Lu le 24 octobre 1776.
2. Œuvres de Lagrange, t. I, p. 609.