NOUVELLES RÉFLEXIONS
SUR
LES TAUTOCHRONES.
(Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, 1770.)
Depuis Huyghens, qui le premier a trouvé que la cycloïde était la courbe tautochrone pour les corps pesants dans le vide, les Géomètres se sont appliqués à chercher des méthodes directes et générales pour déterminer les courbes qui jouissent de la même propriété dans des hypothèses quelconques de pesanteur et de résistance.
Les premières solutions analytiques qui aient paru de ce Problème sont, je crois, celles que MM. Jean Bernoulli et Euler ont données : le premier, dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris, pour l’année 1730, et le second, dans le tome IV des anciens Commentaires de Pétersbourg. Ces solutions sont fondées sur la considération des fonctions de dimension nulle de deux variables, et il faut avouer qu’elles sont aussi simples et aussi directes qu’on peut le désirer ; mais comme ces solutions exigent qu’on ait l’expression de la vitesse, elles ont l’inconvénient de ne pouvoir être applicables qu’aux cas où l’équation différentielle de la vitesse est intégrable. Pour suppléer à ce défaut, il fallait trouver une méthode qui fût indépendante de l’intégration de l’équation qui donne la vitesse, et c’est à quoi M. Fontaine est parvenu par le moyen d’un calcul particulier qui consiste à faire varier les mêmes quantités de deux manières différentes, et qui a quelque rapport à celui dont les Géomètres du siècle passé se sont servis pour résoudre les Problèmes des trajectoires et quelques autres du même genre.
La solution de M. Fontaine parut d’abord si satisfaisante, qu’on ne parla plus de tautochrones, comme cet Auteur le dit lui-même dans ses Œuvres imprimées en 1764, page 15 ; mais le Mémoire que je lus à l’Académie sur ce sujet, en 1767[1], réveilla l’attention des Géomètres, et fit voir que la matière n’était pas encore si épuisée qu’on l’avait cru. Ayant envisagé la question des tautochrones sous un point de vue un peu différent de celui sous lequel on l’avait toujours considérée avant moi, je suis parvenu à une formule générale et très-simple, qui donne l’expression de la force nécessaire pour produire le tautochronisme, et qui renferme non-seulement tous les cas déjà connus, mais encore une infinité d’autres dans lesquels on ignorait que le Problème fût résoluble. Un grand Géomètre, à qui je communiquai cette formule, mais en supprimant l’analyse qui m’y avait conduit, la trouva assez importante pour mériter qu’il en cherchât la démonstration ; et c’est ce qui a occasionné les savantes et ingénieuses recherches qu’il a faites sur la même matière et qui se trouvent dans nos Mémoire pour l’année 1765 ; mais mon travail n’a pas été jugé si favorablement par M. Fontaine, qui vient de m’attaquer dans un Mémoire imprimé dans le volume de l’Académie des Sciences de Paris, pour l’année 1768. Je m’attendais, avec raison, à trouver dans ce Mémoire des objections solides et dignes du nom de cet illustre adversaire mais j’ai été bien surpris de n’y trouver que quelques expressions peu obligeantes, sans aucune raison bonne ou mauvaise. Comme la simple lecture de son Mémoire et du mien peut suffire pour me mettre à couvert de ses critiques, je les passerai entièrement sous silence, et je me contenterai d’exposer dans ce Mémoire quelques réflexions que j’ai faites à cette occasion, tant sur ma solution de 1767 que sur la nouvelle solution de M. Fontaine de 1768. Je commencerai par donner la solution d’un Problème qui n’a pas encore été résolu, et qui sert à jeter un grand jour sur celui des tautochrones ; je résoudrai ensuite ce dernier Problème dans toute sa généralité ; du moins je donnerai les formules les plus générales qu’on puisse désirer sur cet objet ; de là je passerai à examiner la solution que M. Fontaine donne pour générale, et je ferai voir qu’elle est incomplète, et même illusoire à certains égards.
Problème I.
Soit
l’espace total que peut parcourir un corps qui part d’un point donné avec une certaine vitesse, et qui est continuellement retardé dans sa marche par une force variable
soient de plus
un espace quelconque parcouru pendant le temps
la vitesse du corps au bout de ce temps, et
une fonction quelconque donnée de
et de
on demande par quelle fonction de
et de
doit être exprimée la force
pour que le temps
soit égal à une fonction quelconque de
1. On aura d’abord, par les principes de mécanique, l’équation
(A)
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qui est, comme on voit, une équation différentielle du premier ordre à deux variables
et
étant par l’hypothèse du Problème une fonction de
et
Ainsi il y aura une fonction de
et
que nous désignerons par
par laquelle cette équation étant multipliée deviendra intégrable ; de sorte qu’on aura l’équation finie
![{\displaystyle \int \mathrm {R} (udu+pdx)=\mathrm {const} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ace62d642d4d0978b13dd1ba1d851f706f855294)
Pour déterminer cette constante, on remarquera que par l’hypothèse du Problème il faut que la vitesse
soit nulle au bout de l’espace
d’où il s’ensuit que si l’on nomme
ce que devient la quantité
lorsqu’on y fait
et
on aura
(B)
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Maintenant, comme le premier membre de cette équation est une fonc-
tion finie de
![{\displaystyle u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8)
et
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
sans
![{\displaystyle a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f059f053fcf9f421b7c74362cf3bd5ed024e19d1)
et que le second est une fonction finie de
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
seul, il est clair que si l’on y fait varier à la fois les trois quantités
![{\displaystyle x,u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eed6a62424a12e78ae01d69e9a9b1fca95fb8a16)
et
![{\displaystyle a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f059f053fcf9f421b7c74362cf3bd5ed024e19d1)
et qu’on suppose
![{\displaystyle d\mathrm {A} =\mathrm {B} da,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/741bd4da48bd7d72335b53214486dbcdf9542912)
on aura cette équation différentielle à trois variables
(C)
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de sorte qu’en regardant
comme une fonction de
et
donnée par l’équation (B), on aura
![{\displaystyle {\frac {du}{dx}}=-{\frac {p}{u}},\quad {\frac {du}{da}}={\frac {\mathrm {B} }{\mathrm {R} u}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34f0d50a963fa2fe2febcac032c052054c075bb3)
2. Cela posé, considérons le temps
que le corps met à parcourir l’espace
on aura, comme on sait,
![{\displaystyle t=\int {\frac {dx}{u}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ee3ec3712f5ed0928ece41b88b272060662fe69)
où il faudra mettre à la place de
sa valeur en
et
donnée par l’équation (B), après quoi on intégrera en regardant
comme constante, ce qui donnera pour
une fonction de
et ![{\displaystyle a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b803da9c45c1186883bde55107e9ccb102c92c6)
Supposons maintenant qu’on différentie cette valeur de
en y faisant varier à la fois
et
et l’on aura, en regardant
comme une fonction de
et
![{\displaystyle dt={\frac {dx}{u}}-da\int {\frac {1}{u^{2}}}{\frac {du}{da}}dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91b947c829fb518eb402d2b2c50cdca5cd4446bc)
ou bien, en substituant pour
sa valeur
et mettant la quantité
qui est une fonction de
seul hors du signe ![{\displaystyle \int ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ed1e60a9a47e097aca9a397fab1464c5ae063b)
(D)
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3. Or,
étant (hypothèse) une fonction donnée de
et
on aura
![{\displaystyle d\mathrm {L} =\mathrm {M} dx+\mathrm {N} da,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0504daeb947a6b7d56eac4a07e526b858974868a)
et comme
doit être une fonction quelconque de
on aura donc aussi
égale à une fonction quelconque de
que nous désignerons par ![{\displaystyle \mathrm {T} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd261eae05395e6d129e006c0ae99825d5503029)
donc, différentiant et supposant
![{\displaystyle d\mathrm {T} =\mathrm {S} dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8f58b253b14300237eb6363d498460d7920f986)
on aura
![{\displaystyle \mathrm {S} dt=\mathrm {M} dx+\mathrm {N} da\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b49d06b491ef1d0d518e9094de1d33e75d0e175)
or, cette équation doit être identique avec l’équation (D) ; donc on aura, par la comparaison des termes affectés de
et de ![{\displaystyle da,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a520a28db7f4eacbbc2d68a31b4c09832b4785a)
![{\displaystyle \mathrm {\frac {M}{S}} ={\frac {1}{u}},\quad \mathrm {\frac {N}{S}} =-\mathrm {B} \int {\frac {dx}{\mathrm {R} u^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fa25ce4381d6679ea86968d0fd2e689c3afc7bb)
et par conséquent
![{\displaystyle \mathrm {\frac {N}{M}} =-\mathrm {B} u\int {\frac {dx}{\mathrm {R} u^{3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a772c57c61c5333d5f8f11052085f02b43f1dd05)
Soit, pour abréger,
et l’on aura, en divisant par
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {X} }{u}}=-\mathrm {B} u\int {\frac {dx}{\mathrm {R} u^{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79054b02a83262ee7d1b6f1d1fab954b6362426b)
et différentiant, dans l’lypothèse de
et
seuls variables et de
constante,
![{\displaystyle {\frac {ud\mathrm {X} -\mathrm {X} du}{u^{2}}}=-\mathrm {B} {\frac {dx}{\mathrm {R} u^{3}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3d875c394ec00617f040151e52ff995c1347f4c)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \mathrm {R} ={\frac {\mathrm {B} }{\mathrm {X} u{\dfrac {du}{dx}}-u^{2}{\dfrac {d\mathrm {X} }{dx}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30022000f6c562d4c2b4bf330c32bcade0db60a6)
mais on a
(I), donc
![{\displaystyle \mathrm {R} ={\frac {\mathrm {B} }{p\mathrm {X} +u^{2}{\dfrac {d\mathrm {X} }{dx}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29d5acebd2441c9131b470d1427698937082ee18)
Cette quantité
est, comme on voit, une fonction de
et
parce que
est une fonction de
une fonction de
et
et
une fonction de
et
or,
étant donné en
et
par l’équation (B), on pourra réduire la quantité
à n’être qu’une fonction de
et
et dans cet état ce sera le multiplicateur qui doit rendre intégrable la différentielle
(I) ; on pourra donc substituer cette valeur de
dans l’équation (C), et, comme cette équation n’est autre chose que la différentielle de l’équation finie (B), il est clair qu’on pourra remettre dans
la quantité
à la place de sa valeur en
et
d’où il s’ensuit qu’on peut mettre immédiatement dans l’équation (C) l’expression de
trouvée ci-dessus, dans laquelle les trois quantités
et
entrent à la fois, ce qui donnera, en divisant les deux membres par
cette équation différentielle à trois variables
![{\displaystyle {\frac {udu+pdx}{p\mathrm {X} +u^{2}{\dfrac {d\mathrm {X} }{dx}}}}+da=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aa5c8adb7a45eb3b4cc146019fcd211a2991a27)
par laquelle on pourra déterminer l’une de ces variables par les deux autres.
4. Soit, pour plus de simplicité,
![{\displaystyle r=p\mathrm {X} +u^{2}{\frac {d\mathrm {X} }{dx}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2932cd9f09dff75f647c1a2c85bc38ce9ada5e60)
en sorte que l’équation précédente devienne
(E)
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Or, pour que cette équation soit possible, il faut, comme on sait, qu’on ait cette condition
![{\displaystyle {\frac {u}{r}}{\frac {d{\dfrac {p}{r}}}{da}}-{\frac {p}{r}}{\frac {d{\dfrac {u}{r}}}{da}}+{\frac {d{\dfrac {u}{r}}}{dx}}-{\frac {d{\dfrac {p}{r}}}{du}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99e8b4ae5280cf56bae8a4b65b7185314a42f0ee)
Mais
ne peut ètre contenu que dans
parce qu’on suppose que
soit une fonction de
et
seulement ; donc on aura
![{\displaystyle {\frac {d{\dfrac {p}{r}}}{da}}=-{\frac {p}{r^{2}}}{\frac {dr}{da}},\quad {\frac {d{\dfrac {u}{r}}}{da}}=-{\frac {u}{r^{2}}}{\frac {dr}{da}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d7560f1514b5b143837b6fbfe1103d39dfcc82f)
donc
![{\displaystyle {\frac {u}{r}}{\frac {d{\dfrac {p}{r}}}{da}}-{\frac {p}{r}}{\frac {d{\dfrac {u}{r}}}{da}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29c9475710462500257d9ab37f6f9b332ae6beef)
de sorte que l’équation de condition se réduira à celle-ci
(F)
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Il faudra donc que cette équation ait lieu en même temps que l’équation (E), sans cependant qu’il en résulte aucune nouvelle détermination entre les trois variables
et
Or, c’est ce qui ne peut arriver que dans ces deux cas : 1o si l’équation (F) est absolument identique ; 2o si la même équation (F) est renfermée dans l’équation (E). Nous allons examiner ces cas l’un après l’autre.
5. Premier cas, où l’équation de condition est identique. — Dans ce cas, il faudra qu’en regardant
comme constante, la quantité
soit une différentielle exacte d’une fonction de
et
car la condition de l’intégrabilité de la différentielle
est
![{\displaystyle {\frac {d{\dfrac {u}{r}}}{dx}}={\frac {d{\dfrac {p}{r}}}{du}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7511ce847429a5587fe9143f4a23526b77921c8)
qui est précisément la même que l’équation (F) ; donc, mettant au lieu de
sa valeur en
laquelle est
il faudra que la différentielle
![{\displaystyle {\frac {udu}{r}}+\left({\frac {1}{\mathrm {X} }}-{\frac {u^{2}}{r\mathrm {X} }}{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}\right)dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed45be3bb3c8111f82f8325c2c07584829140b9b)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle {\frac {u^{2}}{r}}\left({\frac {du}{u}}-{\frac {d\mathrm {X} }{\mathrm {X} }}\right)+{\frac {dx}{\mathrm {X} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5a7a6da9d127b36549a86b9532fcc425aa9dab6)
soit intégrable : or, à cause que
est une fonction de
et
sans
et que
est regardé ici comme constante, il est clair que le terme
sera intégrable de lui-même, de sorte qu’il faudra aussi que les termes restant
le soient ; ce qui ne saurait être à moins que
ne soit une fonction de
ou bien de ![{\displaystyle {\frac {u}{\mathrm {X} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c04387e9d2d921af3c65814001edeab01113822)
On aura donc aussi
égal à une fonction de
qu’on pourra désigner par
donc
![{\displaystyle r=u^{2}\varphi \left({\frac {u}{\mathrm {X} }}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a22da24d23667386ea6ca076686f02d072a7697e)
et par conséquent
![{\displaystyle p=u^{2}\left[{\frac {\varphi \left({\dfrac {u}{\mathrm {X} }}\right)}{\mathrm {X} }}-{\frac {1}{\mathrm {X} }}{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3704db6089865e67a39872f394fddda3a4c1c797)
Or, comme la quantité
est traitée comme constante, elle pourra entrer comme telle dans la fonction indéterminée
mais, à cause que
ne doit être qu’une fonction de
et de
il faudra que
disparaisse de l’expression de
Nous verrons plus bas comment on peut satisfaire à cette condition.
6. Second cas, où l’équation de condition n’est pas identique. — Ce cas aura lieu lorsque les deux équations (E) et (F) seront identiques l’une avec l’autre ; donc, comme l’équation (F) est finie et que l’équation (E) contient les différentielles premières
il faudra que celle-là soit l’intégrale de celle-ci.
Or l’équation de condition (F) se réduit à celle-ci
(F)
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|
Donc si l’on fait, pour abréger,
![{\displaystyle q={\frac {dr}{dx}}-{\frac {p}{u}}{\frac {dr}{du}}+{\frac {r}{u}}{\frac {dp}{du}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1a5cf8b4a8d39a533ce5f8ac1c6db8eda3462b3)
en sorte qu’on ait
et qu’on différentie cette équation dans l’hypothèse de
et
variables, on aura
![{\displaystyle {\frac {dq}{dx}}dx+{\frac {dq}{du}}du+{\frac {dq}{da}}da=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac8cbbc13c250b94b9849467b2ce1476e5f430dc)
qui devra être identique avec l’équation (E) ; or celle-ci donne
![{\displaystyle du=-{\frac {pdx}{u}}-{\frac {rda}{u}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d26ff676cfbecc55f7cbd9c282d6288997d39dce)
donc, substituant cette valeur, on aura
![{\displaystyle \left({\frac {dq}{dx}}-{\frac {p}{u}}{\frac {dq}{du}}\right)dx+\left({\frac {dq}{da}}-{\frac {r}{u}}{\frac {dq}{du}}\right)da=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbd33dbe7a5412ac966ea4606705d6f938e1cf43)
équation qui devra être identique ; de sorte qu’il faudra que les coefficients de
et de
soient chacun égal à zéro en particulier, ce qui donnera ces deux équations-ci
(G)
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(H)
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qui devront avoir lieu en même temps que l’équation (F).
Donc, supposant la fonction
connue en
et
on pourra, par le moyen de ces trois équations, éliminer
et il en restera deux qui ne contiendront que les variables finies
et
avec la quantité
et ses différentielles
![{\displaystyle {\frac {dp}{dx}},\ \ {\frac {dp}{du}},\ \ {\frac {d^{2}p}{dx^{2}}},\ \ {\frac {d^{2}p}{dxdu}},\ \ {\frac {d^{2}p}{du^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67e378d0b5f87eb13378ddce8abc29bcd0264517)
Ces deux équations devront donc être identiques chacune en particulier, de sorte qu’on pourra les différentier à volonté en prenant
ou
constante, comme on voudra. On pourra donc, par leur moyen, chasser la quantité
et ses différentielles, et il restera une équation finie entre
et
qui devra aussi être identique. Ainsi, ayant trouvé cette dernière équation en
et en
on verra si elle est identique, auquel cas le Problème sera résoluble, et l’on pourra avoir facilement la valeur de
en
et en
mais si elle ne l’est pas, ce sera une marque que les deux équations (E) et (F) ne sauraient être identiques entre elles, et qu’ainsi le Problème ne pourra pas se résoudre dans cette hypothèse.
7. Corollaire I. — Considérons l’expression générale de
que nous avons trouvée dans le premier cas, et supposons que le terme tout constant de la fonction
soit une fonction quelconque de
que je désignerai par
en sorte que les autres termes de la même fonction renferment chacun une puissance de
il est clair que la valeur de
contiendra le terme
![{\displaystyle u^{2}\left({\frac {1}{\alpha \mathrm {X} }}-{\frac {1}{\mathrm {X} }}{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc9e7778a6c47958f3478c7759c788aeffe8a56d)
et qu’il n’y aura aucun autre terme que celui-ci qui renferme le carré
Donc, pour que l’expression de
ne renferme point la quantité
il faudra que le coefficient
![{\displaystyle {\frac {1}{\alpha \mathrm {X} }}-{\frac {1}{\mathrm {X} }}{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddb09baf15f169b1027727357120747573b61061)
ne la renferme pas non plus, et par conséquent qu’il soit une fonction de
sans
Soit donc
cette fonction, en sorte que l’on ait
![{\displaystyle {\frac {1}{\alpha \mathrm {X} }}-{\frac {1}{\mathrm {X} }}{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}=\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50fbcfe408b7eea12518db1c7f290f7b851cd6bd)
et intégrant dans l’hypothèse de
constante et de
variable, on aura
![{\displaystyle \mathrm {X} ={\frac {e^{-\int \omega dx}\int e^{\int \omega dx}dx}{\alpha }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db7dd267e0fdb7ff0b89d4c3a615f67c24f63737)
mais
![{\displaystyle e^{-\int \omega dx}\int e^{\int \omega dx}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57eb0459bd1753f86f19e70a7d4abb8583db36d7)
est une fonction de
seulement ; donc, dénotant par
cette fonction, on aura
![{\displaystyle \mathrm {X} ={\frac {\xi }{\alpha }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8433056180541ea7f80477b0a3848d938051e24b)
Substituant donc cette valeur dans l’expression de
elle deviendra
![{\displaystyle p=u^{2}\left[{\frac {\varphi \left({\dfrac {\alpha u}{\xi }}\right)}{\xi }}\alpha -{\frac {1}{\xi }}{\frac {d\xi }{dx}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92bb4d7b875c1f3166bdcf98af664fac8f6346db)
Donc, il faudra que la fonction
soit telle, que
ne contienne point
mais qu’elle contienne seulement
Prenant donc une
fonction quelconque de
![{\displaystyle {\frac {u}{\xi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85a4ec72afe5d59a1fb01b53d6eac478b2ba58f8)
telle que
![{\displaystyle \varphi \left({\frac {u}{\xi }}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/058a6112a126c93aa3d81f907a6ca495e8f2c6d1)
et la mettant à la place de
![{\displaystyle \alpha \varphi \left({\frac {\alpha u}{\xi }}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5532730b4c3d98aed6b54242288df375c4748f0)
on aura, en général,
![{\displaystyle p=u^{2}\left[{\frac {\varphi \left({\dfrac {u}{\xi }}\right)}{\xi }}-{\frac {1}{\xi }}{\frac {d\xi }{dx}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2adf1a8b769630c295d01b88672c151bf88367c)
8. Corollaire II. — Substituons maintenant cette valeur de
dans l’équation (E) du no 4, et l’on aura, à cause de
l’équation
![{\displaystyle {\frac {{\dfrac {du}{u}}-{\dfrac {d\xi }{\xi }}}{\varphi \left({\dfrac {u}{\xi }}\right)}}+{\frac {dx}{\xi }}+{\frac {da}{\alpha }}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dc1efa747947e84f95052efb3b67f9638c52fd1)
dont l’intégrale est
![{\displaystyle \Phi \left({\frac {u}{\xi }}\right)+\int {\frac {dx}{\xi }}+\int {\frac {da}{\alpha }}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ab066a6ad52b71aa40df925a23dba4f7347f19)
Or, il faut qu’en faisant
on ait
donc, si l’on nomme
la valeur de
lorsque
valeur qui sera constante et indépendante de
parce que
est censée ne pas contenir
on aura, en faisant ![{\displaystyle x=a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bd9ee1cb067c03634dd0eb7806a1fd412d3b887)
![{\displaystyle \mathrm {K} +\int {\frac {dx}{\xi }}+\int {\frac {da}{\alpha }}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aae8583fa8f94741557131b3d1788dfca9d46e4)
d’où, à cause de
il s’ensuit qu’on aura aussi
![{\displaystyle {\frac {1}{\xi }}+{\frac {1}{\alpha }}=0\quad {\text{et}}\quad \alpha =-\xi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0717acd6fab7452b15d89edec20de251c02513ee)
c’est-à-dire que devra être une fonction de
semblable à la fonction
de
mais prise négativement.
9. Corollaire III. Donc, si l’on prend pour
une fonction de
semblable à la fonction de
qui est dénotée par
on aura
![{\displaystyle \mathrm {X} =-{\frac {\xi }{\alpha }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/083f87f674af429543178ea2064baca93eb315b4)
donc (3)
![{\displaystyle \mathrm {\frac {N}{M}} =-{\frac {\xi }{\alpha }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f59c3c85f6acc838947f451b5ed8956ff5746fd5)
et par conséquent
![{\displaystyle \mathrm {N} =-{\frac {\mathrm {M} \xi }{\alpha }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f88d7693420282e531079109c8e6d17bae69619)
donc
![{\displaystyle d\mathrm {L} =\mathrm {M} \left(dx-{\frac {\xi da}{\alpha }}\right)=\mathrm {M} \xi \left({\frac {dx}{\xi }}-{\frac {da}{\alpha }}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9991e7cb6210c67b8119b78d891508f09c23bde)
de sorte que
devra être une fonction de
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{\xi }}-\int {\frac {da}{\alpha }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64b67bb2b5c89d5d85cd771bd0e06d672fe8ec00)
et par conséquent
sera aussi une fonction de
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{\xi }}-\int {\frac {da}{\alpha }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64b67bb2b5c89d5d85cd771bd0e06d672fe8ec00)
ou bien une fonction de
![{\displaystyle {\frac {e^{\int {\dfrac {dx}{\xi }}}}{e^{\int {\dfrac {da}{\alpha }}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6e2e342cf425daaad10980ddd33a2d9568b00c6)
et comme
est supposé une fonction quelconque de
il s’ensuit que le temps
sera aussi une fonction quelconque de
![{\displaystyle {\frac {e^{\int {\dfrac {dx}{\xi }}}}{e^{\int {\dfrac {da}{\alpha }}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6e2e342cf425daaad10980ddd33a2d9568b00c6)
d’où je conclus que le premier cas de la solution précédente ne peut avoir lieu que lorsque le temps
est supposé une fonction quelconque de dimension nulle de deux fonctions semblables, l’une de
et l’autre de
10. Corollaire IV. — Si le temps
n’est pas une fonction de
et de
telle que nous venons de le dire, alors l’équation de condition
ne pourra pas être identique, et le Problème ne sera résoluble que lorsque cette équation sera renfermée dans l’équation différentielle (E), ce qui donnera, comme nous l’avons vu (6), les deux équations finies
![{\displaystyle {\frac {dq}{dx}}-{\frac {p}{u}}{\frac {dq}{du}}=0,\quad {\frac {dq}{da}}-{\frac {r}{u}}{\frac {dq}{du}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8be0c77ddcf897dc8842793d50a6c133bbe86c6)
Substituons au lieu de
sa valeur
(4), et comme
est une fonction de
et de
sans
et que
en est une de
et de
sans
on aura d’abord
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dr}{dx}}=&X{\frac {dp}{dx}}+{\frac {dX}{dx}}p+{\frac {d^{2}X}{dx^{2}}}u^{2},\\{\frac {dr}{du}}=&\mathrm {X} {\frac {dp}{du}}+2{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}u,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c447f00f00cb52258a3b835f2f7388d48f30a3ba)
d’où l’on trouvera
![{\displaystyle q=\mathrm {X} {\frac {dp}{dx}}-{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}\left(p-u{\frac {dp}{du}}\right)+{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}u^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75513b55326020064768eecd0acbdb3b28793b06)
ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dq}{dx}}=&\mathrm {X} {\frac {d^{2}p}{dx^{2}}}+{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}u{\frac {d^{2}p}{dxdu}}-{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}\left(p-u{\frac {dp}{du}}\right)+{\frac {d^{3}\mathrm {X} }{dx^{3}}}u^{2},\\{\frac {dq}{du}}=&\mathrm {X} {\frac {d^{2}p}{dxdu}}+{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}u{\frac {d^{2}p}{du^{2}}}+2{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}u,\\{\frac {dq}{da}}=&{\frac {d\mathrm {X} }{da}}{\frac {dp}{dx}}-{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dadx}}\left(p-u{\frac {dp}{du}}\right)+{\frac {d^{3}\mathrm {X} }{dx^{2}da}}u^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77b37970aa70d7b2e43bee8494773929973cc9be)
Ainsi l’on aura les trois équations
(F)
|
|
|
(G)
|
|
|
(H)
|
|
|
qui devront être identiques entre elles. On traitera donc ces trois équations comme nous l’avons dit (6) ; mais il arrivera bien souvent qu’elles ne pourront pas avoir lieu à la fois, et alors la solution du Problème sera impossible.
11. Scolie. — On a supposé dans le Problème précédent que le temps
employé à parcourir l’espace
devait être exprimé par une fonction quelconque de la quantité
qui est une fonction donnée de
et de
d’où il s’ensuit que le temps
sera constant lorsqu’il y aura entre
et
la relation donnée par l’équation
Ainsi l’on pourra résoudre le Problème suivant :
Trouver la loi de la force accélératrice nécessaire pour que le corps mette toujours le même temps à parcourir un espace quelconque qui ait une relation donnée avec l’espace total.
Problème II.
On demande l’expression générale de la force accélératrice nécessaire pour le tautochronisme.
12. En conservant les dénominations du Problème I, la question se réduit à trouver quelle fonction de
et de
on doit prendre pour
pour que l’expression de
soit telle qu’en y faisant
elle devienne indépendante de
Donc, en regardant (comme on l’a fait dans le Problème précédent)
comme une fonction quelconque d’une fonction donnée
de
et
il est clair que le Problème sera résolu dans toute sa généralité si l’on fait en sorte que
soit une fonction quelconque de
et de
telle que
disparaisse lorsqu’on fait
Ainsi la quantité
ne sera pas donnée tout à fait ; mais il faudra seulement qu’elle soit assujettie à la condition dont nous venons de parler. Or nous avons supposé (3)
![{\displaystyle d\mathrm {L} =\mathrm {M} dx+\mathrm {N} da\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee6c1a7474aafb7e71ab35a71703cc56ca99aa3f)
donc, faisant
on aura
![{\displaystyle d\mathrm {L=(M+N)} da,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc9adb6b201e38c015e87a17f96d7970f3752607)
et comme dans cette supposition on veut que la quantité
![{\displaystyle \mathrm {L} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7693963f7eb3050c4c00a3417c955a5e3630cab)
devienne indépendante de
![{\displaystyle a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f059f053fcf9f421b7c74362cf3bd5ed024e19d1)
il faudra que l’on ait
![{\displaystyle \mathrm {M+N} =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90014c44532ca35501f879652721e241b7998a9f)
donc on aura, en faisant ![{\displaystyle x=a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bd9ee1cb067c03634dd0eb7806a1fd412d3b887)
![{\displaystyle \mathrm {M=-N} \quad {\text{et}}\quad \mathrm {{\frac {N}{M}}=X} =-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d2a57dd6e5b6f23c4f809567594c7b01d563dec)
De sorte qu’on pourra prendre pour
toute fonction de
et de
telle qu’elle devienne égale à
lorsqu’on y fait
Mais il faut remarquer que
doit être égal à zéro lorsque
(hypothèse) donc si, en faisant
on a
(3) ; il faudra aussi que
devienne égal à
lorsque
de sorte qu’en supposant seulement
infiniment petit on aura nécessairement
![{\displaystyle \mathrm {L=K+C} x^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05bcb59b327384230ebef656c2cb3ffc1b1b6e28)
étant une constante indépendante de
étant une fonction de
et
un nombre quelconque positif ; donc on aura aussi, en différentiant,
![{\displaystyle d\mathrm {L} =m\mathrm {C} x^{m-1}dx+x^{m}{\frac {d\mathrm {C} }{da}}da,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa64295060c67358c2cc0d97582bec25f06d3d67)
et par conséquent
![{\displaystyle \mathrm {M} =m\mathrm {C} x^{m-1},\quad \mathrm {N} =x^{m}{\frac {d\mathrm {C} }{da}}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {X} ={\frac {x}{m\mathrm {C} }}{\frac {d\mathrm {C} }{da}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ecaa1aa159158d6abb22645b040b14dc9cd86dd)
d’où l’on voit que la quantité
doit être telle qu’elle devienne égale à
lorsque
est infiniment petit,
étant une constante quelconque. Donc il faudra que
soit égal à zéro lorsque
et que
soit en même temps une quantité finie quelconque.
Voilà les seules conditions auxquelles la fonction
doive être assujettie dans le cas du tautochronisme ; à ces limitations près, la fonction
pourra donc être regardée comme indéterminée, et la solution du Problème sera renfermée dans celle du Problème précédent. Or nous avons vu que ce dernier Problème est résoluble dans deux cas, lorsque l’équation de condition (F) est identique et lorsqu’elle est renfermée dans l’équation différentielle (E) ; il en sera de même du Problème des tautochrones, de sorte qu’on aura ces deux solutions :
13. Première Solution. — En supposant l’équation de condition identique, nous avons trouvé pour
l’expression générale (5 et 7)
![{\displaystyle p=u^{2}\left[{\frac {\varphi \left({\dfrac {u}{\xi }}\right)}{\xi }}-{\frac {1}{\xi }}{\frac {d\xi }{dx}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e314ddd112c51e00d023c155ffd441703e930f93)
et comme on a dans ce cas (9)
![{\displaystyle \mathrm {X} =-{\frac {\xi }{\alpha }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9595ae9be7dacd285a1939848568d8af116748f1)
étant une fonction de
semblable à la fonction
de
il est clair qu’en faisant
on aura
et par conséquent
Donc l’expression précédente de
sera toujours propre à produire le tautochronisme, quelle que soit la fonction de
désignée par
et quelle que soit aussi la fonction
de
pourvu que celle-ci soit telle qu’on ait
et
égal à une quantité quelconque finie lorsque
(12). Cette solution est la même que celle que j’ai donnée dans mon Mémoire de 1767[2], en la déduisant de la supposition que l’expression du temps soit une fonction quelconque de dimension nulle de deux fonctions semblables, l’une de
et l’autre de
Cette supposition pouvait paraître alors trop limitée ; mais, après ce que nons venons de démontrer, on voit qu’elle est aussi générale que la question le permet, au moins tant que l’équation de condition doit être identique, ce qui est le cas le plus naturel et en même temps le plus général.
14. Seconde Solution. — Si l’équation de condition n’est pas identique il faut voir si elle peut être renfermée dans l’équation différentielle même, auquel cas le Problème sera encore résoluble, autrement il ne le sera pas. On aura donc, dans ce cas (6), les trois équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}&q=0,\\&{\frac {dq}{dx}}-{\frac {p}{u}}{\frac {dq}{du}}=0,\\&{\frac {dq}{da}}-{\frac {r}{u}}{\frac {dq}{du}}=0,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99421b7a1a1173c18ad555c50ae8a8d95e2e0d07)
c’est-à-dire (10)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {X} {\frac {dp}{dx}}+{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}\left(u{\frac {dp}{du}}-p\right)+{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}u^{2}=0,\\&\mathrm {X} {\frac {d^{2}p}{dx^{2}}}+{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}u{\frac {d^{2}p}{dxdu}}+{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}\left(u{\frac {dp}{du}}-p\right)+{\frac {d^{3}\mathrm {X} }{dx^{3}}}u^{2}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bff2a2477763216cc40846680157790f9208e579)
![{\displaystyle -p\left({\frac {\mathrm {X} }{u}}{\frac {d^{2}p}{dudx}}+{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}{\frac {d^{2}p}{du^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc6d3470e1554e4163c8c674eac3c9d96f83ea7c)
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {X} }{da}}{\frac {dp}{dx}}+{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dxda}}\left(u{\frac {dp}{du}}-p\right)+{\frac {d^{3}\mathrm {X} }{dx^{2}da}}u^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aa0ceecdd3e7209f7473474c1fb1ef6718e5173)
![{\displaystyle -\left(\mathrm {X} p+{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}u^{2}\right)\left({\frac {\mathrm {X} }{u}}{\frac {d^{2}p}{dudx}}+{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}{\frac {d^{2}p}{du^{2}}}+2{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9627e0d75252cefc700262d6c4c79660c4bd6217)
De sorte qu’il faudra que la valeur de
en
et
soit telle qu’elle satisfasse à la fois à ces trois équations, en prenant pour
une fonction quelconque de
et de
telle que
lorsque
et que
et
soit égal à une quantité finie lorsque ![{\displaystyle x=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71320d636c7a43546bf4e94edb94649c5b2e82b9)
Or, il est clair que la recherche de la valeur de
par le moyen de ces trois équations sera très-difficile, et qu’ainsi la solution précédente peut être regardée comme plus curieuse qu’utile ; mais elle peut être beaucoup simplifiée par la considération suivante.
15. Troisième Solution. — La Solution précédente est fondée sur la supposition que l’équation de condition
soit identique avec l’équation différentielle (E) ; or, pour que cette identité ait lieu, il faut que l’équation
exprime la même relation entre les trois quantités
et
qui est exprimée par l’équation différentiellé (E). Donc, si l’on imagine qu’on tire de cette dernière équation la valeur de
en
et
et qu’on la substitue dans celle-ci,
il faudra que l’équation qui en résultera soit identique. Or on a (10)
![{\displaystyle q=\mathrm {X} {\frac {dp}{dx}}+{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}\left(u{\frac {dp}{du}}-p\right)+{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}u^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6985dca99a051d271fc6437f6bb78c5c4f98f2a)
où
est supposé une fonction de
et
sans
et
une fonction de
et
sans
ainsi il ne s’agira que de substituer dans la quantité
et dans ses différentielles
à la place de
sa valeur en
et
qui est supposée donnée par l’équation (E) ; or, la quantité
étant indéterminée, on pourra la regarder d’abord comme une fonction de
et
sans
et alors l’équation
devra, être identique.
16. Il faudra seulement observer :
1o Que la quantité
devra être égale à
lorsque
quel que soit
car il faut que
soit égal à
lorsque
mais on a (hypothèse)
lorsque
donc il faudra que
soit égal à
en y faisant
et
et comme la quantité
regardée comme une fonction de
et
est supposée ne pas contenir
il est clair que cette quantité ne pourra pas devenir égale à
en faisant
et
à moins qu’elle ne le devienne aussi quel que soit
2o Qu’en faisant
et
tout ce qu’on voudra, la quantité
devra devenir nulle, et la quantité
finie ; car la quantité
regardée comme une fonction de
et de
doit être de la forme
lorsque
est très-petit (12),
étant une fonction de
donc, mettant à la place de
sa valeur en
et
et faisant
nul, la quantité
deviendra une fonction de
on aura donc, lorsque
est infiniment petit,
![{\displaystyle \mathrm {X=D} x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edbe720caf45da33e068d949ecbe2a3574a77cb0)
et différentiant
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {X} }{dx}}dx+{\frac {d\mathrm {X} }{du}}du=\mathrm {D} +x{\frac {d\mathrm {D} }{du}}du,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39ea0ac3c89eaff4f03bc71131e9c8f1eedb92f2)
et mettant à la place de
sa valeur ![{\displaystyle -{\frac {pdx}{u}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c737a1dab04dd110d6e60636c81870b72569ee5)
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {X} }{dx}}-{\frac {p}{u}}{\frac {d\mathrm {X} }{du}}=\mathrm {D} -{\frac {xp}{u}}{\frac {d\mathrm {D} }{du}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05c6859ff1b7733ec34adc9d1aa40c29c4d2dd5e)
donc, faisant maintenant
![{\displaystyle x=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54be06efe9f69b9bfb720190b5f29c76944a45b)
on aura
![{\displaystyle \mathrm {X} =0\quad {\text{et}}\quad {\frac {d\mathrm {X} }{dx}}-{\frac {p}{u}}{\frac {d\mathrm {X} }{du}}=\mathrm {D} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c506fc24b5e9c412ce66f9217ded8699744afa05)
17. Cela posé, si l’on considère
comme une fonction de
et
et qu’on suppose
![{\displaystyle d\mathrm {X} =\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} da,\quad d\mathrm {P} =\mathrm {R} dx+\mathrm {S} da,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7f12918ebd44976fea2812024b961eb39575a1f)
on aura
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {X} }{dx}}=\mathrm {P} \quad {\text{et}}\quad {\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}=\mathrm {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/640bf432f56acb9d8f5988a4877b55f4cf671e91)
de sorte que la quantité
deviendra
![{\displaystyle q=\mathrm {X} {\frac {dp}{dx}}+\mathrm {P} \left(u{\frac {dp}{du}}-p\right)+\mathrm {R} u^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d1cbe6877d4b67e265b405fa0418a63ec41d72)
Regardons maintenant la quantité
comme une fonction de
et
et l’on aura aussi
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\mathrm {X} =&\mathrm {T} dx\ +\mathrm {V} du,\\d\mathrm {T} =&\mathrm {W} dx+\mathrm {Y} du,\\d\mathrm {V} =&\mathrm {Y} dx\ +\mathrm {Z} du\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff9cc65d61c601b3fa97051d830e26dceefdbc19)
or on a, par l’équation (E),
![{\displaystyle du=-{\frac {pdx}{u}}-{\frac {rda}{u}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90013a0c0ad906fa9c2e27f49d41dac980977961)
donc
![{\displaystyle d\mathrm {X} =\left(\mathrm {T} -{\frac {p\mathrm {V} }{u}}\right)dx-{\frac {r\mathrm {V} }{u}}du\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794567926a09140e62971f2335751fa2a5ac161f)
donc
![{\displaystyle \mathrm {P=T} -{\frac {p\mathrm {V} }{u}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1c33592f129d9846423c49628b78efa96493987)
différentions maintenant cette valeur de
et l’on aura
![{\displaystyle d\mathrm {P} =\mathrm {W} dx+\mathrm {Y} du-\mathrm {V} d{\frac {p}{u}}-{\frac {p}{u}}(\mathrm {Y} dx+\mathrm {Z} du),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca1de6a0ac593e5ce245dd37d346730217b4a803)
c’est-à-dire
![{\displaystyle d\mathrm {P} =\left(\mathrm {W} -{\frac {\mathrm {V} }{u}}{\frac {dp}{dx}}-\mathrm {Y} {\frac {p}{u}}\right)+\left(\mathrm {Y} -{\frac {\mathrm {V} }{u}}{\frac {dp}{du}}+{\frac {\mathrm {V} p}{u^{3}}}-{\frac {p\mathrm {Z} }{u}}\right)du,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab1c5546ccb515c65fd36620e5f9218bb2f86b37)
à cause de
![{\displaystyle d{\frac {p}{u}}={\frac {1}{u}}\left({\frac {dp}{dx}}dx+{\frac {dp}{du}}du\right)-{\frac {pdu}{u^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec640241284eea552b072ba86ea245b550b93241)
et mettant pour
sa valeur ![{\displaystyle -{\frac {pdx}{u}}-{\frac {rda}{u}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a18f390e9e9de21d68f182066072f8d5d66f43b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\mathrm {P} =&\left(\mathrm {W} -{\frac {\mathrm {V} }{u}}{\frac {dp}{dx}}-{\frac {2\mathrm {Y} }{u}}p+{\frac {\mathrm {V} p}{u^{2}}}{\frac {dp}{du}}-{\frac {\mathrm {V} p^{2}}{u^{4}}}+{\frac {\mathrm {Z} p^{2}}{u^{2}}}\right)dx\\&-{\frac {r}{u}}\left(\mathrm {Y} -{\frac {\mathrm {V} }{u}}{\frac {dp}{du}}+{\frac {\mathrm {V} p}{u^{2}}}-{\frac {p\mathrm {Z} }{u}}\right)da,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a7fa91d4935a91b1722c3ef4b4d5792f433c9d0)
de sorte qu’on aura
![{\displaystyle \mathrm {R} =\mathrm {W} -{\frac {\mathrm {V} }{u}}\left({\frac {dp}{dx}}-{\frac {p}{u}}{\frac {dp}{du}}+{\frac {p^{2}}{u^{3}}}\right)+{\frac {\mathrm {Z} p^{2}}{u^{2}}}-{\frac {2\mathrm {Y} p}{u}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f213342a4ed8d504aa90630722af96badd68e33d)
Substituant donc dans
les valeurs de
et de
que nous venons de trouver, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}q=&\mathrm {X} {\frac {dp}{dx}}+\left(\mathrm {T} -{\frac {p\mathrm {V} }{u}}\right)\left(u{\frac {dp}{du}}-p\right)+\mathrm {W} u^{2}\\&-{\frac {\mathrm {V} }{u}}\left(u^{2}{\frac {dp}{dx}}-up{\frac {dp}{du}}+{\frac {p^{2}}{u^{2}}}\right)+\mathrm {Z} p^{2}-2\mathrm {Y} up,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b039aa382ac8e514d515cc7d9ad57aed5bdccac)
c’est-à-dire
![{\displaystyle q=\mathrm {X} {\frac {dp}{dx}}+\mathrm {T} \left(u{\frac {dp}{du}}-p\right)-\mathrm {V} u{\frac {dp}{dx}}+\mathrm {W} u^{2}+\mathrm {Z} p^{2}-2\mathrm {Y} up.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bb5ae4463451497f9eb35bce8289f48ffadc5f3)
Or, puisque
est regardé maintenant comme une fonction de
et
on aura
![{\displaystyle \mathrm {T} ={\frac {d\mathrm {X} }{dx}},\quad \mathrm {V} ={\frac {d\mathrm {X} }{du}},\quad \mathrm {W} ={\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}},\quad \mathrm {Y} ={\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dxdu}},\quad \mathrm {Z} ={\frac {d^{2}\mathrm {X} }{du^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a289787ea0c82bc5ba8ebea250436ef46b4aab24)
donc, substituant ces valeurs, on aura pour l’équation de condition
(I)
|
|
|
et cette équation suffira pour la solution du Problème.
18. Donc, si l’on veut que
soit exprimé par
étant une fonction donnée de
et
une fonction inconnue de
on substituera dans l’équation précédente cette valeur de
ce qui donnera
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} {\frac {d\xi }{dx}}&+{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}\left(u{\frac {d\mathrm {V} }{du}}-\mathrm {V} -\xi \right)+{\frac {d\mathrm {X} }{du}}u{\frac {d\xi }{dx}}\\&+{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}u^{2}+{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{du^{2}}}(\xi +\mathrm {V} )^{2}-2{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dudx}}(\xi +\mathrm {V} )u=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64494842eff642c6af9707e9cb149216d7f5c0e7)
Et l’on tâchera de déterminer par cette équation les quantités
et
en sorte que
soit une fonction quelconque de
seul, et que
soit une fonction de
et de
assujettie aux conditions énoncées dans le no 16.
19. Corollaire. Si l’on suppose que la quantité
soit donnée dans l’équation (I), on pourra en tirer la valeur de
. Pour cela, je remarque que cette équation peut se réduire à celle-ci
![{\displaystyle {\frac {d{\dfrac {u}{\mathrm {X} p-{\dfrac {d\mathrm {X} }{du}}pu+{\dfrac {d\mathrm {X} }{dx}}u^{2}}}}{dx}}-{\frac {\dfrac {p}{\mathrm {X} p-{\dfrac {d\mathrm {X} }{du}}pu+{\dfrac {d\mathrm {X} }{dx}}u^{2}}}{du}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50cac534d7ed327a0c17057e26e94f1492cec934)
ce qui est aisé à vérifier par la différentiation ; de sorte qu’il faudra que la quantité
![{\displaystyle {\frac {udu+pdx}{p\left(\mathrm {X} -u{\dfrac {d\mathrm {X} }{du}}\right)+u^{2}{\dfrac {d\mathrm {X} }{dx}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80bbac13afb8ac4eca3e14efcfb910f0932c8ee6)
soit une différentielle complète d’une fonction de
et de ![{\displaystyle u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd5636410da69bac33da075162221527401793c)
En effet, pour que l’équation (E) du no 4 soit possible en regardant
et
comme des fonctions de
et de
il est clair qu’il faut que
soit une différentielle complète. Or on a, en mettant
à la place de
(17),
![{\displaystyle r=p\mathrm {X} +\mathrm {P} u^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7934ece15786ec5bba320ffd0461d2243534fb4f)
mais on a, par le même numéro,
![{\displaystyle \mathrm {P} =\mathrm {T} -{\frac {p\mathrm {V} }{u}}={\frac {d\mathrm {X} }{dx}}-{\frac {p}{u}}{\frac {d\mathrm {X} }{du}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1b120eefcea1e3109bf42fee547b0a33d8ca27c)
donc
![{\displaystyle r=p\left(\mathrm {X} -u{\frac {d\mathrm {X} }{du}}\right)+u^{2}{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ff6a39b67790a08c5142e2c2ee26e6bd5d35ef9)
Maintenant, si l’on tire la valeur de
de cette équation, on aura
![{\displaystyle p={\frac {r-u^{2}{\dfrac {d\mathrm {X} }{dx}}}{\mathrm {X} -u{\dfrac {d\mathrm {X} }{du}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04acf44d9d8c9ba59e9f37f97e286121d4c4daff)
et cette valeur étant substituée dans la quantité
on aura celle-ci
![{\displaystyle {\frac {udu}{r}}+{\frac {dx-{\cfrac {u^{2}}{r}}{\dfrac {d\mathrm {X} }{dx}}dx}{\mathrm {X} -u{\dfrac {d\mathrm {X} }{du}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b6cbdac2e6e9fba70d3bc7e1d5f2fcef16fecf2)
ou bien
![{\displaystyle {\frac {dx}{\mathrm {X} -u{\cfrac {d\mathrm {X} }{dx}}}}+{\frac {\mathrm {X} udu-u^{2}\left({\cfrac {d\mathrm {X} }{du}}du+{\cfrac {d\mathrm {X} }{dx}}dx\right)}{r\left(\mathrm {X} -u{\cfrac {d\mathrm {X} }{du}}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10ab2f0ecc4bc1c23ddf9a060bc5fd437dca10e5)
c’est-à-dire, à cause de ![{\displaystyle d\mathrm {X} ={\frac {d\mathrm {X} }{du}}du+{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b0aa2880076dd21f4cf0ab740e00c8a35debdf3)
![{\displaystyle {\frac {dx}{\mathrm {X} -u{\cfrac {d\mathrm {X} }{dx}}}}+{\frac {u\mathrm {X} ^{2}}{r\left(\mathrm {X} -u{\cfrac {d\mathrm {X} }{du}}\right)}}d{\cfrac {u}{\mathrm {X} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4822ae751e3cf03916ebdcd89bccd9d25ef33a33)
laquelle devra donc être une différentielle complète.
Soit
![{\displaystyle {\frac {u}{\mathrm {X} }}=y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45a3760e190cd2f85e2d871befe0a794a2cdb5cf)
tirant de cette équation la valeur de
elle sera exprimée en
et
de sorte que, substituant cette valeur dans la quantité précédente, on aura une quantité de la forme
![{\displaystyle \mathrm {Y} dx+{\frac {\mathrm {Z} }{r}}dy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3d012b11efda857ea196671887ee0216faaad61)
où
et
seront des fonctions données de
et
et où
sera une fonction
inconnue des mêmes variables, laquelle devra être telle, que la quantité dont il s’agit soit une différentielle complète. D’où il s’ensuit qu’on aura
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {Z} }{r}}=\int {\frac {d\mathrm {Y} }{dy}}dx+\varphi (y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea16919075242cc9dd6bc1a28f12e94241401dd2)
étant une fonction quelconque de
et par conséquent
![{\displaystyle r={\frac {\mathrm {Z} }{\varphi (y)+\int {\cfrac {d\mathrm {Y} }{dy}}dx}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc69bc404167860f9ce69d4c82dd9b2795bcffd8)
Ayant
on aura
par la formule ci-dessus, de sorte qu’en remettant
à la place de
on aura
en
et ![{\displaystyle u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd5636410da69bac33da075162221527401793c)
20. Scolie. Au reste, puisque l’on a
![{\displaystyle dt={\frac {dx}{u}}\quad {\text{et}}\quad udu+pdx=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30671d46d169403af7e854d05ae2b5f357f3880b)
on aura aussi
![{\displaystyle dt={\frac {dx}{u}}+\mathrm {X} (udu+pdx),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b77727557ed2a1a490970e04799bb1371a687281)
étant une quantité quelconque ; donc on pourra déterminer
en sorte que la quantité
ou
![{\displaystyle \left({\frac {1}{u}}+p\mathrm {X} \right)dx+\mathrm {X} udu}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d475b4b8ad35643429e28072ccc2ba406224493b)
soit intégrable ; alors le temps
deviendra une fonction de
et de
or
doit être égal à zéro lorsque
et pour avoir le temps total il faudra faire
donc si l’on veut que le tautochronisme ait lieu, il faudra que l’intégrale de
![{\displaystyle \left({\frac {1}{u}}+p\mathrm {X} \right)dx+\mathrm {X} udu}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d475b4b8ad35643429e28072ccc2ba406224493b)
soit une telle fonction de
et de
qu’elle s’évanouisse lorsque
et qu’elle devienne constante, c’est-à-dire indépendante de
lorsque
.
Or c’est ce qui aura lieu si l’on a
lorsque
et
lorsque
Maintenant, pour que
![{\displaystyle \left({\frac {1}{u}}+p\mathrm {X} \right)dx+\mathrm {X} udu}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d475b4b8ad35643429e28072ccc2ba406224493b)
soit intégrable, il faut que l’on ait
![{\displaystyle {\frac {1}{u}}+p\mathrm {X} =\int {\frac {d(\mathrm {X} u)}{dx}}du=\int {\frac {d\mathrm {X} }{dx}}udu\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6952388ecf11c92d0002ae5981b5fc6fbf9731f)
donc on aura, en général,
![{\displaystyle p={\frac {\int {\cfrac {d\mathrm {X} }{dx}}udu-{\cfrac {1}{u}}}{\mathrm {X} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/983a1a0710bfc4a36f1df3ee38f748449dfab094)
étant une fonction quelconque de
et de
telle que l’on ait
lorsque
et
lorsque ![{\displaystyle u=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f289c38e17605c041078460c52652b4fd28147a)
Soit, par exemple,
![{\displaystyle \mathrm {X} =\xi \mathrm {V} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9eaaa1036bad0068d7674331aa432fecf15c37f)
étant une fonction de
telle qu’elle soit égale à zéro lorsque
et
une fonction de
on aura donc
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {X} }{dx}}=\mathrm {V} {\frac {d\xi }{dx}}\quad {\text{et}}\quad \int {\frac {d\mathrm {X} }{dx}}udu={\frac {d\xi }{dx}}\int \mathrm {\mathrm {V} } udu,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bbf8eb23a7dea8c1f59cd3ce6eddca12e7a66e1)
de sorte que
devra être tel que
soit nul lorsque
de cette manière on aura, en général,
![{\displaystyle p={\frac {1}{\xi }}{\frac {d\xi }{dx}}{\frac {\int \mathrm {V} udu}{\mathrm {V} }}-{\frac {1}{\xi \mathrm {V} u}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25df47d6e4c0becd1197cecd05b36762be5f92ec)
Supposons
on aura
![{\displaystyle \int \mathrm {V} udu={\frac {u^{m+2}}{m+2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9c655f96484fb516de920113fe222a4e592f929)
d’où l’on voit que
doit être plus grand que zéro, c’est-à-dire
Faisons donc
,
étant un nombre quelconque
positif, on aura
![{\displaystyle \mathrm {V} =u^{n-2},\quad \int \mathrm {V} udu={\frac {u^{n}}{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22c2fa528df0d085c4f861be4ccb3b7ad94edc17)
et l’expression de
sera
![{\displaystyle p={\frac {1}{n\xi }}{\frac {d\xi }{dx}}u^{2}-{\frac {1}{\xi u^{n-1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f7a686a1774b231830d4a7d9589a0c47bba2607)
Si l’on fait
on aura
![{\displaystyle p={\frac {1}{\xi }}{\frac {d\xi }{dx}}u^{2}-{\frac {1}{\xi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aec18f2163853e8d04430972389283f23120c86)
Ce qui pourrait servir, ce semble, à déterminer les tautochrones dans les milieux résistants comme les carrés des vitesses ; mais il faut remarquer que le coefficient de
dans l’expression de
que nous venons de trouver ne peut jamais être constant ; car supposant
on aurait
ce qui n’est pas nul lorsque
contre l’hypothèse ; donc la formule précédente ne pourra avoir lieu que lorsqu’on supposera la densité du milieu variable.
La solution que nous venons de donner est analogue à celle que nous avons déjà donnée à la fin de notre Mémoire de 1767. M. d’Alembert en a donné de son côté une pareille, qu’il a accompagnée d’un grand nombre de remarques très-intéressantes, et qui lui sont propres ; c’est pourquoi nous ne nous arrêterons pas davantage sur ce sujet.
Remarques sur la solution du Problème des tautochrones, donnée par M. Fontaine dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris,
pour l’année 1768.
21. M. Fontaine réduit la solution de ce Problème à deux équations qui, en faisant
pour avoir le cas du tautochronisme, se réduisent à celles-ci (p. 468)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha {\frac {dp}{dx}}-p{\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\alpha }{dx}}{\frac {dp}{du}}u+{\frac {d^{2}\alpha }{dx^{2}}}u^{2}=0,\\&{\frac {d\alpha }{dx}}{\frac {d^{2}p}{du^{2}}}+2{\frac {d^{2}\alpha }{dx^{2}}}=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04ec62ea07785ab006c24b596b6e108302b42feb)
où
![{\displaystyle p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
est la force retardatrice le long de l’arc
![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
force qu’il suppose être la somme de deux fonctions, l’une de
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
et l’autre de
![{\displaystyle u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30dcc93e14b40416ed2d1391bc6c08ee99fa5ff6)
en sorte que l’on ait
![{\displaystyle {\frac {d^{2}p}{dxdu}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9687bf0da43bb08da9af8b7cb31e625b081f1c76)
et
![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
est une fonction de dimension nulle de
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
et de
![{\displaystyle a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f059f053fcf9f421b7c74362cf3bd5ed024e19d1)
laquelle doit être égale à zéro lorsque
![{\displaystyle x=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54be06efe9f69b9bfb720190b5f29c76944a45b)
et égale à
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf)
lorsque
![{\displaystyle x=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaae23950e96a955ab5b07015a168fd931d4d82b)
(
p. 466).
22. Je remarquerai d’abord que la supposition que
soit une fonction de dimension nulle de
et
est trop limitée ; aussi M. Fontaine s’en écarte-t-il dans le premier exemple qu’il donne et où il trouve
![{\displaystyle \alpha ={\frac {e^{-hx}-1}{e^{-h\alpha }-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad852752522218e848eedd77bfbf6c2ac9d14ef5)
qui n’est pas, comme on voit, une fonction de dimension nulle de
et de
Cette méprise n’influe à la vérité en rien sur sa solution, mais elle peut servir, ce me semble, à inspirer au lecteur quelque défiance sur l’exactitude de ses calculs.
23. Considérons maintenant les deux équations de M. Fontaine. Il est clair que la première est la même que l’équation que nous avons désignée par (F) dans le no 9, en y mettant
à la place de
de sorte que cette équation de M. Fontaine n’est autre chose que l’équation de condition nécessaire pour que l’équation différentielle
![{\displaystyle {\frac {udu+pdx}{p\alpha +u^{2}{\cfrac {d\alpha }{dx}}}}+da=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7b30846d8acf40312840158999fd2e77ec7ae74)
soit possible ; et c’est ce qu’on peut aisément vérifier par le calcul (nos 4 et suivants).
Or nous avons vu dans le Problème II que la condition du tautochronisme n’exige autre chose sinon que l’équation dont il s’agit soit possible en prenant pour
ou
une fonction quelconque de
et de
telle qu’elle soit nulle lorsque
et égale à
lorsque
Ainsi la première équation de M. Fontaine suffit pour la solution du Problème, et il n’est nullement nécessaire, comme cet Auteur le prétend (p. 467), d’en chercher encore une autre. nowiki />
Quant aux conditions auxquelles notre théorie exige que la quantité
soit soumise, elles s’accordent aussi avec celles que M. Fontaine exige dans la fonction
à cela près que nous avons trouvé que la quantité
devait être égale à
lorsque
et que M. Fontaine suppose que la fonction
soit égale à
lorsque
mais il faut observer que, comme l’équation de M. Fontaine dont nous venons de parler contient la quantité
ou ses différentielles dans tous les termes, on y peut supposer également
positif ou négatif ; ainsi, si l’on met dans notre équation (F)
à la place de
on aura également l’équation de M. Fontaine, et alors les conditions de
et de
seront les mêmes chez lui et chez nous.
24. Si donc M. Fontaine s’en était tenu à sa première équation, il aurait pu en tirer une solution générale du Problème des tautochrones ; mais il aurait dû, pour cela, distinguer les deux cas où cette équation est identique et où elle ne l’est pas, comme nous l’avons fait dans les Problèmes précédents. Or nous avons vu que le premier cas ne peut avoir lieu que lorsque la force
est exprimée ainsi
![{\displaystyle p=u^{2}\left[{\frac {\varphi \left({\cfrac {u}{\xi }}\right)}{\xi }}-{\frac {1}{\xi }}{\frac {d\xi }{dx}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a85297083ac343ba165df9b0daee3b32170b38ea)
ce qui revient à notre Solution de 1767, où nous étions parti de la supposition que le temps devait être une fonction de dimension nulle de deux fonctions pareilles, l’une de
et l’autre de
(13).
Ainsi, en supposant que l’équation de M. Fontaine doive être identique, il est clair que sa Solution ne saurait être plus générale que la mienne de 1767 ; mais ma Solution a sur la sienne l’avantage de présenter dans une seule formule générale tous les cas dans lesquels le Problème est résoluble, et c’est en quoi consiste principalement le mérite de cette Solution, si elle en a quelqu’un.
Mais si l’on veut que l’équation de M. Fontaine ne soit pas identique, alors on aura encore deux autres équations analogues à celles que nous avons données dans le no 14, de sorte que dans ce cas on aura nécessairement trois équations qui seront les mêmes que celles du numéro cité, en y mettant simplement
à la place de
En général, soit la première équation de M. Fontaine représentée par
![{\displaystyle q=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/482f679ed3ab0438b40d3948d9b5f5c2f413f84a)
on aura nécessairement, dans le cas où cette équation n’est pas identique, les deux équations
on aura nécessairement, dans le cas où cette équation n’est pas identique, les deux équations
![{\displaystyle {\frac {dq}{dx}}-{\frac {p}{u}}{\frac {dq}{du}}=0,\quad {\frac {dq}{da}}-{\frac {r}{u}}{\frac {dq}{du}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcbf3972586f54f10ab7c9d15af05d9a1aee83be)
où (4)
![{\displaystyle r=p\alpha +u^{2}{\frac {d\alpha }{dx}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1536919199e23ccfd67130ba79e4c41d9be00798)
et ces deux équations devront être identiques avec l’équation
autrement, le cas dont il s’agit ne pourra pas avoir lieu.
25. Voyons maintenant ce que donne la seconde équation de M. Fontaine. Il est facile de voir que cette équation se réduit à celle-ci
![{\displaystyle {\frac {dq}{du}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f7773db0ca26ac6925acb0502a7c0843550f8f4)
à cause que M. Fontaine suppose
et que
ne doit point contenir
de sorte, qu’on aura, suivant M. Fontaine,
![{\displaystyle q=0\quad {\text{et}}\quad {\frac {dq}{du}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89b1377bfdcd4d7f89bd05946eb2a59d50c8a991)
Or je dis que cela ne saurait avoir lieu que lorsque l’équation
est identique ; car si cette équation n’est pas identique, il faudra que l’on ait en même temps, comme nous venons de le dire ci-dessus,
![{\displaystyle {\frac {dq}{dx}}-{\frac {p}{u}}{\frac {dq}{du}}=0,\quad {\text{et}}\quad {\frac {dq}{da}}-{\frac {r}{u}}{\frac {dq}{du}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23c568578b7100a9413b2e2d9fc944ba318491e5)
donc si l’on fait
il faudra faire aussi
et
ce qui exige que l’équation
soit identique, c’est-à-dire qu’elle n’exprime aucune relation entre les trois variables
et ![{\displaystyle a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b803da9c45c1186883bde55107e9ccb102c92c6)
De là, et de ce que nous avons dit plus haut, il s’ensuit que les deux équations que M. Fontaine donne pour la solution générale du Problème des tautochrones ne sauraient jamais fournir une solution plus générale que celle qui est renfermée dans ma formule de 1767, que M. Fontaine accuse d’être trop particulière. Aussi l’application que M. Fontaine prétend faire de ses équations au cas où la force
serait exprimée par
![{\displaystyle \sigma +gu+hu^{2}+ku^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a141dd65e14c7ccde622fd86c3ff3ab3bc1004dd)
et
étant des constantes et
une fonction de
est illusoire et fautive, comme il est facile de s’en convaincre, avec un peu de réflexion, d’après les remarques que nous venons de faire sur ce sujet.
26. Je dois remarquer encore, quoique ceci n’ait aucun rapport au Problème des tautochrones, que M. Fontaine ne s’exprime pas exactement quand il dit qu’il a appris aux Géomètres les conditions qui rendent possibles les équations différentielles du premier degré à trois variables. Il me semble que les Géomètres les connaissaient longtemps avant que M. Fontaine fût en état de les leur enseigner. Car on trouve dans un Mémoire de M. Nicolas Bernoulli sur les Trajectoires, imprimé en partie dans les Actes de Leipsic de l’année 1720, en partie dans le tome VII des Suppléments, qui a paru en 1721, et réimprimé ensuite dans le second volume des Œuvres de M. Jean Bernoulli, on trouve, dis-je, dans ce Mémoire, le Théorème suivant
Si l’on a l’équation
et
étant des fonctions de
et
et qu’on suppose, en général,
on aura nécessairement, en regardant
comme constante, l’équation
![{\displaystyle dq=\mathrm {R} dy+\mathrm {T} qdy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa86a52e6121ada4048a22d3f3fe19920a49f87a)
laquelle servira à déterminer
(Voyez les pages 311 et 312 des Suppléments cités à la page 443 du tome II des Œuvres de M. Jean Bernoulli.)
Or si l’on suppose qu’en regardant
comme constante on ait, en général,
![{\displaystyle dq=\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deaf92623cbff52d6d37ebf10e78db20c0c15108)
et qu’on mette au lieu de
![{\displaystyle dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/845c817e348381a13f3fad5184169ce0e021c685)
sa valeur
![{\displaystyle pdy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9743b108597f06c43a2546cad2886d250fa687bd)
on aura
![{\displaystyle dq=(\mathrm {P} p+\mathrm {Q} )dy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24a6f32cee2ebe8e2c609223cf5726d02dbd97b8)
ce qui, étant substitué dans l’équation de M. Bernoulli, donnera celle-ci
![{\displaystyle \mathrm {P} p+\mathrm {Q} =\mathrm {R+T} q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e87f7637228d7c94f665fde7dffcb32deb1ffa)
qui est l’équation de condition de M. Fontaine.
On voit par là que ce Théorème n’était pas nouveau le 19 novembre 1738, lorsque M. Fontaine le publia à Paris, comme il le dit à la page 28 du Recueil de ses OEuvres. On doit dire la même chose du Théorème de M. Fontaine qui concerne les fonctions où les variables remplissent partout le même nombre de dimensions ; car on voit que M. Euler avait déjà fait usage de ce Théorème dans le second volume de sa Mécanique imprimée en 1736, pages 49, 252 et 224. Je ne nie pas, au reste, que M. Fontaine n’ait trouvé ces Théorèmes de lui-même du moins je suis persuadé qu’il était aussi en état que personne de les trouver ; mais on ne saurait disconvenir, ce me semble, qu’il n’ait été prévenu là-dessus par MM. Bernoulli et Euler.