NOUVELLE MÉTHODE
POUR
RÉSOUDRE LES PROBLÈMES INDÉTERMINÉS
EN NOMBRES ENTIERS[1].
(Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, t. XXIV, 1770.)
La plupart des Géomètres qui ont cultivé l’Analyse de Diophante se sont, à l’exemple de cet illustre inventeur, uniquement appliqués à éviter les valeurs irrationnelles, et tout l’artifice de leurs méthodes se réduit à faire en sorte que les grandeurs inconnues puissent se déterminer par des nombres commensurables.
L’art de résoudre ces sortes de questions ne demande guère d’autres principes que ceux de l’Analyse ordinaire ; mais ces principes deviennent insuffisants lorsqu’on ajoute la condition que les quantités cherchées soient non-seulement commensurables, mais encore égales à des nombres entiers.
M. Bachet de Méziriac, auteur d’un excellent Commentaire sur Diophante et de différents autres Ouvrages, est, je crois, le premier qui ait tenté de soumettre cètte condition au calcul. Ce savant a trouvé une méthode générale pour résoudre en nombres entiers toutes les équations du premier degré à deux ou plusieurs inconnues, mais il ne paraît pas avoir été plus loin, et ceux qui après lui se sont occupés du même objet ont aussi presque tous borné leurs recherches aux équations indéterminées du premier degré ; leurs efforts se sont réduits à varier les méthodes qui peuvent servir à la résolution de ces sortes d’équations, et aucun, si j’ose le dire, n’a donné une méthode plus directe, plus générale et plus ingénieuse que celle de M. Bachet, qui se trouve dans ses Récréations mathématiques intitulées : Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres.
Il est à la vérité assez surprenant que M. de Fermat, qui s’était si longtemps et avec tant de succès exercé sur la théorie des nombres entiers, n’ait pas cherché à résoudre généralement les Problèmes indéterminés du second degré et des degrés supérieurs, comme M. Bachet avait fait ceux du premier degré ; on a cependant lieu de croire qu’il s’était aussi appliqué à cette recherche, par le Problème qu’il proposa comme une espèce de défi à M. Wallis et à tous les Géomètres anglais, et qui consisfait à trouver deux carrés entiers, dont l’un étant multiplié par un nombre entier donné non carré, et ensuite retranché de l’autre, le reste fût égal à l’unité ; car, outre que ce Problème est un cas particulier des équations du second degré à deux inconnues, il est comme la clef de la résolution générale de ces équations ; mais, soit que M. de Fermat n’ait pas continué ses recherches sur cette matière, soit qu’elles ne soient pas parvenues jusqu’à nous, il est certain qu’on n’en trouve aucune trace dans ses Ouvrages.
Il paraît même que les Géomètres anglais qui ont résolu le Problème de M. de Fermat n’ont pas connu toute l’importance dont il est pour la solution générale des Problèmes indéterminés du second degré ; du moins on ne voit pas qu’ils en aient jamais fait usage, et M. Euler est, si je ne me trompe, le premier qui ait fait voir comment à l’aide de ce Problème on peut trouver une infinité de solutions en nombres entiers de toute équation du second degré à deux inconnues, dont on connaît déjà une solution.
Ce grand Géomètre, à qui toutes les parties des Mathématiques sont si redevables, a aussi fait des recherches pour reconnaître à priori quand une équation de cette espèce est susceptible de quelque solution en nombres entiers, et il a trouvé par induction une règle qui, si elle était générale, renfermerait un des plus beaux théorèmes d’Arithmétique.
Cette règle est, que toute équation de la forme
![{\displaystyle \mathrm {A} =p^{2}-\mathrm {B} q^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73055be0f9493e7a37518b2b359dcc76f0ae8d51)
(
et
étant des nombres entiers donnés et
deux indéterminées), est toujours résoluble en nombres entiers, lorsque
est un nombre premier de la forme
![{\displaystyle 4n\mathrm {B} +a^{2}\quad {\text{ou}}\quad 4n\mathrm {B} +a^{2}-\mathrm {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/903f7bf8f6d6086722f9958e9267ec96383e2e2a)
(
et
étant des nombres quelconques entiers), ou bien, lorsque les facteurs premiers de
sont chacun de l’une ou de l’autre de ces formes. (Voyez le premier Mémoire du tome IX des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg.)
M. Euler ne donne point la démonstration de ce théorème, et il avoue même qu’il n’a jamais pu la trouver ; je l’ai aussi longtemps et inutilement cherchée, mais enfin je suis tombé par hasard sur une équation où j’ai reconnu que la règle de M. Euler était en défaut. Cette équation est celle-ci
![{\displaystyle 101=p^{2}-79q^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14548c0dce1454ba3ee94ae137abe97e13420c2e)
où
est un nombre premier de la forme
en faisant
et
de sorte qu’il faudrait qu’elle fût résoluble en nombres entiers cependant elle ne l’est pas, comme on peut aisément s’en assurer par notre méthode (voyez plus bas le no 38).
Si l’on voulait limiter le théorème de M. Euler en disant que tout nombre premier de la forme
est aussi de la forme
lorsque
est un nombre premier de la même forme
l’exemple précédent ferait voir que cette limitation serait insuffisante : car
![{\displaystyle 101=4n\mathrm {B} +733,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/090f794b8cff0c776e5c118845de09f9c4ccd40d)
en faisant
et
est un nombre premier de la forme
en supposant
et
or
n’est pas de la même forme ![{\displaystyle p^{2}-\mathrm {B} q^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a7254cfe63d1860532e5d24e63cefbc69be7c8f)
Il résulte de tout ce que nous venons de dire que depuis l’ouvrage de M. Bachet, qui a paru en 1613, jusqu’à présent, ou du moins jusqu’au Mémoire que je donnai l’année passée, sur la solution des Problèmes indéterminés du second degré[2], la théorie de ces sortes de Problèmes n’avait pas, à proprement parler, été poussée au delà du premier degré.
J’ai fait voir, dans le Mémoire dont je viens de parler, comment toutes les équations du second degré à deux indéterminées peuvent toujours se réduire à la forme très-simple
![{\displaystyle \mathrm {A} =p^{2}-\mathrm {B} q^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f6151dad153ea67e06876699ee4a8309786a0b6)
ensuite j’ai donné des méthodes directes et générales pour trouver toutes les solutions possibles tant en nombres entiers qu’en nombres fractionnaires de ces sortes d’équations. La méthode pour le cas où
est un nombre positif, et où
et
doivent être des nombres entiers, laquelle fait l’objet du § III, est à la vérité un peu longue et compliquée, et j’avoue même qu’elle l’est à un point qui la rend difficile à suivre ; mais je crois que cette difficulté ne doit être imputée qu’à la nature de la matière, et au grand nombre de cas auxquels il faut avoir égard quand on veut la traiter d’une manière aussi directe et aussi rigoureuse que nous l’avons fait. Cependant j’ai trouvé moyen depuis de simplifier beaucoup cette méthode et de l’étendre même à des équations d’un degré quelconque ; c’est ce que je me propose de développer dans ce Mémoire avec le plus d’ordre et de clarté qu’il me sera possible.
Comme la théorie des fractions continues est le fondement de la nouvelle méthode que je vais expliquer, je supposerai ici cette théorie telle que je l’ai donnée dans le Mémoire sur la résolution des équations numériques[3], et dans Additions à ce Mémoire[4], et je me contenterai d’en emprunter tout ce dont j’aurai besoin, en renvoyant pour les démonstrations à ces autres écrits.
Lemme I.
1. Si
sont des nombres quelconques entiers et tels, que
et
soient premiers entre eux, je dis quon peut toujours trouver deux nombres entiers
et
tels que
![{\displaystyle a=by-cz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/778ae8572e860906e28787db8cc49753c5a45e71)
Je supposerai ici pour plus de simplicité que
et
soient positifs ; si l’un d’eux comme
était négatif, on pourrait toujours le regarder comme positif, et il n’y aurait qu’à prendre ensuite
négativement, et ainsi du reste.
Qu’on divise les nombres
par
en faisant successivement
jusqu’à
et l’on aura
restes dont chacun sera différent de tous les autres ; car si deux valeurs de
comme
et
donnaient le même reste, il faudrait que la différence entre les deux dividendes
et
savoir le nombre
fût divisible exactement par
ce qui ne se peut, à cause que
est premier à
et que
et
sont tous les deux moindres que
Donc, puisque les
restes dont il s’agit doivent être par leur nature moindres que
et différents les uns des autres, il est clair que ces restes ne peuvent être que les nombres
d’où il s’ensuit qu’il y aura nécessairement une valeur de
à laquelle répondra un reste nul, c’est-à-dire qui sera telle, que
soit divisible par
donc, nommant
le quotient de cette division, on aura
donc
![{\displaystyle a=by-cz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/778ae8572e860906e28787db8cc49753c5a45e71)
2. Corollaire I. — Quand on aura trouvé deux valeurs correspondantes de
et
qui satisferont à l’équation
![{\displaystyle a=by-cz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c36aa464bed1aca20a7d41c9d946eafd760d555)
on pourra par leur moyen en trouver une infinité d’autres ; car, désignant par
et
les valeurs trouvées, en sorte que l’on ait
![{\displaystyle a=bp-cq,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2577020823428f41f7dd8c3ec2a6ae616474d79e)
et supposant en général
![{\displaystyle a=by-cz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c36aa464bed1aca20a7d41c9d946eafd760d555)
on aura
![{\displaystyle b(y-p)-c(z-q)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/659b4640a67d084929622661019fafeb50df389d)
d’où
![{\displaystyle {\frac {y-p}{z-q}}={\frac {c}{b}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3db0062050a92a0d304fb31194df0451fa948a20)
et de là, à cause que
et
sont premiers entre eux,
![{\displaystyle y-p=mc,\quad z-q=mb,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb8cc3529d616c197f89d98eb8ee29f498379f96)
et par conséquent
![{\displaystyle y=p+mc,\quad z=q+mb,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/150f806fecc12db94ca8f5a089f26f62401d8c8d)
étant un nombre entier quelconque ; et il est facile de voir que ces expressions renfermeront nécessairement toutes les valeurs possibles de
et
dans l’équation proposée.
3. Corollaire II. — Or, puisque l’on peut prendre pour
un nombre quelconque entier positif ou négatif, on pourra toujours faire en sorte que la valeur de
soit égale à un nombre positif ou négatif, moindre que
ou que celle de
devienne égale à un nombre positif ou négatif, moindre que
Donc, quels que soient les nombres
pourvu que
et
soient premiers entre eux, on pourra toujours satisfaire à l’équation
![{\displaystyle a=by-cz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c36aa464bed1aca20a7d41c9d946eafd760d555)
en prenant pour
un nombre entier positif ou négatif, moindre que
ou pour
un nombre moindre que
de sorte que pour trouver les valeurs convenables de
et
il n’y aura qu’à essayer successivement pour
tous les nombres entiers moindres que
pris positivement ou négativement, ou pour
tous les nombres entiers moindres que
pris aussi positivement ou négativement ; et ayant trouvé de cette manière
deux valeurs correspondantes de
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
et de
![{\displaystyle z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47989a9b66a4ea8a0ec19e8159749fce8a9a8ca8)
on pourra ensuite, par les formules du Corollaire précédent, trouver toutes les autres valeurs possibles.
4. Corollaire III. — Soit
le plus grand commun diviseur de
et
(on aura
si
et
sont premiers entre eux), en sorte que
et
étant premiers entre eux, il est clair qu’à cause de
premier à
(hypothèse) on aura nécessairement, dans l’équation
![{\displaystyle a=bp-cq,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2577020823428f41f7dd8c3ec2a6ae616474d79e)
divisible par
donc, faisant
on aura
divisible par
si
est divisible par
mais, par un raisonnement semblable à celui du Lemme, on peut prouver que le nombre
peut toujours être pris tel que
soit divisible par
donc (Corollaire I) on pourra toujours trouver une valeur de
qui soit multiple de
soit donc
![{\displaystyle y=ar,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/316c541a5db11ca012e6de57b574cf0cb8402c01)
on aura
![{\displaystyle a=abr-cz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f35741c63babc1a1842824c305591d1dcd272f3a)
ou bien
![{\displaystyle a'=a'br-c'z\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db7cbcd60cb6d5924530f2d712369a4267f17d7c)
donc
sera divisible par
et comme
est premier à
il faudra que
soit aussi multiple de
faisant donc
![{\displaystyle z=a's,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1cf5be9fceb77d09fd36949f9df8a520df6da85)
et divisant toute l’équation par
elle deviendra
![{\displaystyle 1=br-c's.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7150bd9eb97ef04193620be67dd1257d2a68d280)
Ainsi il n’y aura qu’à chercher les valeurs de
et de
qui peuvent satisfaire à cette équation, et l’on aura en général
![{\displaystyle y=ra+mc,\quad z=sa'+mb,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf7937780a56178cfd792e866b1d5f0e6f97dea2)
étant un nombre quelconque entier.
Problème I.
5. Étant donnée l’équation
(A)
|
|
|
que nous désignerons par (A), dans laquelle on suppose que
soient des nombres quelconques entiers donnés, et que
soient deux indéterminées qui puissent être exprimées par des nombres entiers, dont l’un
soit premier au nombre
on propose de ramener cette équation à une autre de la même espèce, et dans laquelle le terme tout connu soit l’unité.
Puisque
et
sont des nombres entiers, et que
et
sont premiers entre eux (hypothèse), on peut toujours trouver par le Lemme précédent deux nombres entiers
et
tels que l’on ait
![{\displaystyle t=u\theta -\mathrm {A} y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9b0ff315407be7c6d0702ab2565ccd2c0278cf6)
Donc, substituant cette valeur de
dans l’équation (A), elle deviendra celle-ci
![{\displaystyle \mathrm {A} =\alpha u^{n}-\beta \mathrm {A} u^{n-1}y+\gamma \mathrm {A} ^{2}u^{n-2}y^{2}-\ldots \pm \zeta \mathrm {A} ^{n}y^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c6a2aecb3282f90a0f784d0638c1dab7cb655ab)
en supposant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha =&\mathrm {B} \theta ^{n}+\mathrm {C} \theta ^{n-1}+\mathrm {D} \theta ^{n-2}+\ldots +\mathrm {K} ,\\\beta =&n\mathrm {B} \theta ^{n-1}+(n-1)\mathrm {C} \theta ^{n-2}+(n-2)\mathrm {D} \theta ^{n-3}+\ldots ,\\\gamma =&{\frac {n(n-1)}{2}}\mathrm {B} \theta ^{n-2}+{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}\mathrm {C} \theta ^{n-3}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21b4d9f76ada1948148df1f14bcd976c5ce18d93)
Qu’on divise maintenant toute cette équation par
et l’on aura
![{\displaystyle 1={\frac {\alpha u^{n}}{\mathrm {A} }}-\beta u^{n-1}y+\gamma \mathrm {A} u^{n-2}y^{2}-\ldots \pm \zeta \mathrm {A} ^{n-1}y^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e202254e879501d36f3d4dc5860de4b89e1802d)
d’où l’on voit que la quantité
doit être égale à un nombre entier, puisque tous les autres termes de l’équation sont des nombres entiers (hypothèse), et qu’ainsi il faut que
soit divisible par
mais ![{\displaystyle u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8)
et
![{\displaystyle \mathrm {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff6366939c4ebbd4e8494d0dedc54c4b8dd7135a)
sont premiers entre eux (hypothèse), donc il faudra que
![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
soit divisible par
![{\displaystyle \mathrm {A} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13eb8796e969738fbbfdbcfa44a606dff172507d)
donc, faisant pour plus de simplicité
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {\alpha }{A}}=P,\quad -\beta =Q,\quad \gamma A=R,\quad -\delta A^{2}=S} ,\ldots ,\quad \pm \zeta \mathrm {A} ^{n-1}=\mathrm {V} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bbb1f63663c7b244a601d9547d55cf29d794d16)
on aura la transformée suivante, que nous désignerons par (B),
(B)
|
|
|
et qui a, comme on voit, la condition demandée par le Problème.
6. Corollaire I. — Il est visible que la quantité
n’est autre chose que le second membre de l’équation proposée (A) en y faisant
et
De plus, il résulte du Corollaire II du Lemme précédent que le nombre
peut toujours être pris moindre que
Donc, pour que l’équation (A) puisse subsister dans les hypothèses du Problème, il faudra qu’en faisant
on puisse trouver une valeur entière de
positive ou négative, mais moindre que
(abstraction faite du signe de
et de
), laquelle rende le second membre de cette équation divisible par le premier
On essayera donc pour
tous les nombres entiers positifs ou négatifs, moindres que
et si l’on n’en trouve aucun qui ait la condition requise, on en conclura sur-le-champ qu’il est impossible que dans l’équation (A) les nombres
et
puissent être entiers et premiers entre eux, et au nombre
Mais si l’on trouve un ou plusieurs nombres qui remplissent la condition prescrite, alors on pourra prendre chacun de ces nombres pour
et l’on aura autant de différentes transformées (B) qu’on aura de valeurs de
7. Corollaire II. — Pour faciliter la recherche des valeurs de
on peut employer la méthode des différences dont nous avons déjà fait usage dans le Scolie du no 13 du Mémoire sur la résolution des équations numériques. En effet, par cette méthode, dès qu’on aura trouvé les valeurs de la quantité
c’est-à-dire de
![{\displaystyle \mathrm {B} \theta ^{n}+\mathrm {C} \theta ^{n-1}+\mathrm {D} \theta ^{n-2}+\ldots +\mathrm {K} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d4ddb598134ae083799d9c3c1984cfbeb98d242)
lorsque
on pourra ; par la seule addition, trouver les valeurs de la même quantité pour toutes les autres valeurs positives de
et même pour les valeurs négatives en continuant les mêmes séries du côté opposé (3o du numéro cité) ; il faudra seulement observer que, dans ce cas, chaque terme d’une série sera égal à celui qui le précédera dans la même série, moins celui qui se trouvera au-dessus de lui dans la série supérieure. Connaissant donc ainsi les valeurs de
depuis
jusqu’à
d’un côté, et jusqu’à
de l’autre, il n’y aura plus qu’à voir quelles sont celles qui sont divisibles par
ce qu’on pourra reconnaître aisément par les tables des diviseurs, et les valeurs correspondantes de
seront les nombres cherchés.
Mais avant de se mettre à calculer les valeurs de
il sera à propos de simplifier l’expression de cette quantité en mettant, à la place des coefficients qui se trouveront plus grands que
les restes de leur division par
on pourra même réduire tous les coefficients à n’être pas plus grands que
car, en général, il est clair que si la quantité
est divisible par
les coefficients
ayant des valeurs quelconques données, elle le sera aussi après avoir retranché de ces coefficients ou y avoir ajouté des multiples quelconques de
ainsi l’on pourra mettre
à la place de
à la place de
et ainsi des autres,
étant des nombres quelconques entiers ; or, quelle que soit la valeur de
il est clair qu’on peut toujours déterminer la valeur et le signe du nombre
en sorte que
devienne moindre que
il en est de même de
et ainsi du reste ; donc, etc.
8. Corollaire III. — Par la méthode du numéro précédent on peut trouver facilement toutes les valeurs de
qui peuvent rendre la quantité
divisible par
car tout se réduit à trouver celles qui sont moindres que
En effet, supposons que
soit divisible par
ayant une valeur quelconque donnée, il est clair qu’en mettant
à la place de
(
étant un nombre entier quelconque), la valeur résultante de
sera encore divisible par
or on peut prendre le signe et la valeur de
tels, que
devienne moindre que
et il est facile de voir que cela ne peut se faire que d’une seule manière ; donc, si l’on désigne par
cette valeur de
qui est moindre que
on aura en général
![{\displaystyle \theta =\theta '\pm m\mathrm {A} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a09f1b61f3a98963428713f2c5e21760e7be897b)
De là il est facile de conclure que, si
sont les valeurs de
tant positives que négatives, mais plus petites que
lesquelles rendent la quantité
divisible par
toutes les autres valeurs possibles de
qui pourront faire le même effet seront renfermées dans ces formules
![{\displaystyle \theta '\pm m\mathrm {A} ,\quad \theta ''\pm n\mathrm {A} ,\quad \theta '''\pm p\mathrm {A} ,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba046ae728b5b8e9926d2b324ffc80efc5cc0dca)
étant des nombres quelconques entiers, positifs ou négatifs.
Ainsi, une équation quelconque de la forme
![{\displaystyle \mathrm {A} y=\mathrm {B} \theta ^{n}+\mathrm {C} \theta ^{n-1}+\mathrm {D} \theta ^{n-2}+\ldots +\mathrm {K} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94a0fed60dbc841f6e3ef01e148c4c994d499144)
étant donnée, on pourra reconnaître si elle est résoluble en nombres entiers, et trouver en même temps toutes les valeurs de
et de ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
9. Corollaire IV. — Lorsque le nombre
est un nombre composé, alors, au lieu de prendre ce nombre même pour diviseur, il sera plus commode de prendre successivement chacun de ses facteurs. Car il est clair que la quantité
ne saurait être divisible par
à moins qu’elle ne le soit aussi par chacun des diviseurs de
Soient donc
ces diviseurs, on essayera d’abord pour
tous les nombres entiers tant positifs que négatifs moindres que
et, nommant
celui ou ceux (s’il y en a plus d’un) qui rendront
divisible par
toutes les valeurs possibles de
qui pourront rendre
divisible par
seront représentées par
![{\displaystyle t+\theta 'a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f36375ed1de8db4aa4c32c21fe8c9098ac300f27)
étant un nombre quelconque entier positif ou négatif. On substituera donc
à la place de
dans la quantité
et divisant par
ordonnant par rapport à
on aura une transformée que nous appellerons
et dans laquelle
sera un nombre indéterminé.
On essayera de nouveau pour
tous les nombres entiers positifs ou négatifs moindres que
et, nommant
ceux qui rendront
divisible par
on fera ensuite
![{\displaystyle \theta '=t'+\theta ''b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca169b238549449f86a73f7baa1bae306a75cc26)
ce qui donnera, après avoir divisé par
une nouvelle transformée
où
sera un nombre indéterminé, et ainsi de suite. De cette manière, on trouvera aisément toutes les valeurs de
qui pourront rendre
divisible par
par
par
et par conséquent par ![{\displaystyle abc\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f5413dc5853bd2d7cf5e9f9466cf7cd45c8033b)
En effet, puisque
représente toutes les valeurs de
qui peuvent rendre
divisible par
et que
représente toutes celles de
qui peuvent rendre
ou
divisible par
il est clair que
![{\displaystyle t+at'+ab\theta ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6681fdd3dd3316a4253581a8ed05813371e9adc4)
représenteront toutes les valeurs de
qui pourront rendre
divisible, premièrement par
et ensuite par
c’est-à-dire divisible par
donc si l’on a, par exemple,
![{\displaystyle \mathrm {A} =ab,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68b5ddda08e3097adccf5ca3d735c2ccf8e0a3ff)
les valeurs de
qui rendront
divisible par
seront exprimées en général par
![{\displaystyle t+at'+\mathrm {A} \theta ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb247c870fe0ae855f30d8614815c36af02f5059)
étant un nombre quelconque entier.
Par là on pourra trouver toutes les valeurs de
moindres que
pour lesquelles
sera divisible par
car il n’y aura pour cela qu’à déterminer le nombre
en sorte que
![{\displaystyle t+at'+\mathrm {A} \theta ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb247c870fe0ae855f30d8614815c36af02f5059)
devienne moindre que
ce qui ne pourra se faire que d’une seule manière pour chaque valeur de
de sorte qu’il ne pourra y avoir qu’autant des valeurs de
dont nous parlons qu’il y aura de différentes valeurs de ![{\displaystyle t+at'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fe0426fc7b8f178b73362a1f620eadfeefe4956)
10. Corollaire V. — Si
est un nombre premier, il ne peut y avoir au plus que
différentes valeurs de
moindres que
et telles que
soit divisible par
et si
est un nombre composé dont les facteurs premiers soient au nombre de
il ne pourra y avoir au plus que
de ces valeurs de
Car, dans le premier cas, soit, par exemple,
en sorte que l’expression de
soit
![{\displaystyle \mathrm {B\theta ^{3}+C\theta ^{2}+D\theta +E} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/542ca67770b2bb3efc23d8ea2d0a3e3bd0cef624)
n’étant point divisibles par
et supposons, s’il est possible, qu’il y ait quatre valeurs de
que nous désignerons par
lesquelles soient positives ou négatives, mais toutes moindres que
et telles que
soit divisible par
on aura donc ces quatre valeurs de
savoir
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {B\theta ^{3}\ \ \ +C\theta ^{2}\ \ +D\theta \ \ \,+E} ,\\&\mathrm {B\theta '^{3}\ \ +C\theta '^{2}\ +D\theta '\ \,+E} ,\\&\mathrm {B\theta ''^{3}\ +C\theta ''^{2}\,+D\theta ''\,+E} ,\\&\mathrm {B\theta '''^{3}+C\theta '''^{2}+D\theta '''+E} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62d3d88756c5257f242905caefa7bd9172d6bbfe)
lesquelles seront chacune divisibles par
donc leurs différences le seront aussi ; donc les trois quantités
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {B\left(\theta ^{3}-\theta '^{3}\ \ \right)+C\left(\theta ^{2}-\theta '^{2}\ \right)+D\left(\theta -\theta '\ \ \right)} ,\\&\mathrm {B\left(\theta ^{3}-\theta ''^{3}\ \right)+C\left(\theta ^{2}-\theta ''^{2}\,\right)+D\left(\theta -\theta ''\ \right)} ,\\&\mathrm {B\left(\theta ^{3}-\theta '''^{3}\right)+C\left(\theta ^{2}-\theta '''^{2}\right)+D\left(\theta -\theta '''\right)} ,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/773b79e9beb782457c691c4a97ea419c48edec91)
seront chacune divisibles par
mais la première de ces quantités est
divisible par
![{\displaystyle \theta -\theta ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0200dd3b76fb517dfb88ea4c8fa88bb3e66dea26)
la seconde par
![{\displaystyle \theta -\theta '',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/145117f3ee37874a4579e9494f5079961267493e)
et la troisième par
![{\displaystyle \theta -\theta '''\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c806c946a2e1343b4204386a19ccd6dd0e54e6c)
donc, puisque les nombres
![{\displaystyle \theta -\theta ',\quad \theta -\theta '',\quad \theta -\theta '''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31f80db5d15503aaf2ee6c234566e0e951653db2)
sont moindres que
(hypothèse) et que
est un nombre premier, il faudra que les quantités dont il s’agit soient divisibles par
abstraction faite des facteurs
![{\displaystyle \theta -\theta ',\quad \theta -\theta '',\quad \theta -\theta '''\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edb943cc04bc079be99fd5daf1f97616eff10d04)
donc, rejetant ces facteurs, c’est-à-dire en les faisant disparaître par la division, on aura les quantités
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {B\left(\theta ^{2}+\theta \theta '\ +\theta '^{2}\ \ \right)+C(\theta +\theta '\ \ )+D} ,\\&\mathrm {B\left(\theta ^{2}+\theta \theta ''\,+\theta ''^{2}\ \right)+C(\theta +\theta ''\ )+D} ,\\&\mathrm {B\left(\theta ^{2}+\theta \theta '''+\theta '''^{2}\right)+C(\theta +\theta ''')+D} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45580f81ec706bfe27df729463a737f5ca6fb1dc)
qui devront être chacune divisibles par
Donc les différences de ces quantités le seront aussi ; mais ces différences sont
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {B\left(\theta \theta '+\theta '^{2}-\theta \theta ''\,-\theta ''^{2}\ \right)+C(\theta '-\theta ''\ )} ,\\&\mathrm {B\left(\theta \theta '+\theta '^{2}-\theta \theta '''-\theta '''^{2}\right)+C(\theta '-\theta ''')} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/959fe0a2dd2aa6c55f0acb9d28f311c20d76c6d6)
dont la première est divisible par
et la seconde par
donc, par la même raison que ci-dessus, il faudra qu’elles soient encore divisibles par
après avoir été divisées par
![{\displaystyle \theta '-\theta '',\quad {\text{et par}}\quad \theta '-\theta '''\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e228a575cd3de16c7e57013bc500cc6622084e2)
donc on aura les quantités
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {B\left(\theta +\theta '+\theta ''\ \right)+C} ,\\&\mathrm {B\left(\theta +\theta '+\theta '''\right)+C} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/974e8cc04678ac40efb087cc37c557a45150a9ce)
qui seront donc encore divisibles par
Donc leur différence le sera aussi ; mais cette différence est, comme on voit,
qui ne peut être divisible par
à cause que
ne l’est pas, et que le nombre
ne peut l’être, étant nécessairement plus petit que
Donc, etc.
Il est visible que cette démonstration peut s’étendre au cas où
aura une valeur quelconque, et qu’ainsi la proposition est générale.
Dans le second cas, supposons que le nombre
soit le produit de deux nombres premiers
il ne pourra y avoir, par le Corollaire précédent, plus de valeurs de
moindres que
lesquelles rendent
divisible par
qu’il n’y aura de différentes valeurs de
or,
et
étant des nombres premiers, il ne pourra y avoir au plus que
valeurs de
et autant de
donc, combinant ensemble chacune des valeurs de
il ne pourra résulter au plus que
valeurs différentes de
donc, etc.
On prouvera de la même manière que les valeurs de
moindres que
ne pourront être qu’au nombre de
ou de
lorsque
sera le produit de trois nombres premiers
et ainsi de suite.
Lemme II.
11. Si l’on a une équation quelconque déterminée qui ait une ou plusieurs racines réelles, on peut toujours, par la méthode que nous avons donnée dans notre Mémoire sur la résolution des équations numériques, exprimer chacune de ses racines positives par une fraction continue, et déduire de là une suite de fractions convergentes vers la même racine, mais alternativement plus grandes et plus petites que cette racine ; ensuite, si l’on insère encore entre ces fractions principales autant de fractions secondaires qu’il est possible, et qu’on range dans deux classes séparées les fractions plus grandes et les fractions plus petites que la racine cherchée, on aura deux séries de fractions convergentes vers cette même racine, et dont l’une commencera par
et ne sera composée que de fractions plus petites que la racine dont il s’agit, et dont l’autre commencera par
et sera composée de fractions plus grandes que la même racine.
Quant aux racines négatives, il n’y aura qu’à les rendre d’abord positives en changeant dans l’équation l’inconnue
en
Soit
une des racines positives de l’équation donnée, on trouvera la fraction continue
![{\displaystyle a=\lambda _{1}+{\frac {1}{\lambda _{2}+{\cfrac {1}{\lambda _{3}+\ldots }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/465773abd6278bc643720285ec65c0b31347585c)
étant des nombres entiers positifs ; or, ces nombres étant ainsi connus, on fera
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}l_{1}&=\lambda _{1},&\mathrm {L} _{1}&=1,\\l_{2}&=\lambda _{2}l_{1}+1,&\mathrm {L} _{2}&=\lambda _{2},\\l_{3}&=\lambda _{3}l_{2}+l_{1},&\mathrm {L} _{3}&=\lambda _{3}\mathrm {L_{2}+L_{1}} ,\\l_{4}&=\lambda _{4}l_{3}+l_{2},\qquad &\mathrm {L} _{4}&=\mathrm {\lambda _{4}L_{3}+L_{2}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ebe75040dbf5d812ba5ba533cdbdbf5aded771a)
et l’on aura cette suite de fractions principales convergentes vers
et alternativement plus petites et plus grandes que ![{\displaystyle a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f059f053fcf9f421b7c74362cf3bd5ed024e19d1)
(C)
|
|
|
que nous désignerons par (C).
De plus, on substituera successivement, dans les expressions de
à la place des nombres
tous les nombres entiers positifs moindres que ceux-ci ; et faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}l_{1}\ \ &=\lambda _{1},&\mathrm {L} _{1}\ \ &=1,\\l_{1}^{(1)}&=l_{1}\ \ +1,&\mathrm {L} _{1}^{(1)}&=\mathrm {L} _{1},\\l_{1}^{(2)}&=2l_{1}+1,&\mathrm {L} _{1}^{(2)}&=2\mathrm {L} _{1},\\l_{1}^{(3)}&=3l_{1}+1,&\mathrm {L} _{1}^{(3)}&=3\mathrm {L} _{1},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots ,\\l_{1}^{(\lambda _{2})}&=\lambda _{2}l_{1}+1=l_{2},&\mathrm {L} _{1}^{(\lambda _{2})}&=\lambda _{2}\mathrm {L_{1}=L_{2}} \,;\\\\l_{2}^{(1)}&=\ \ l_{2}+l_{1},&\mathrm {L} _{2}^{(1)}&=\ \ \mathrm {L_{2}+L_{1}} ,\\l_{2}^{(2)}&=2l_{2}+l_{1},&\mathrm {L} _{2}^{(2)}&=2\mathrm {L_{2}+L_{1}} ,\\l_{2}^{(3)}&=3l_{2}+l_{1},&\mathrm {L} _{2}^{(3)}&=3\mathrm {L_{2}+L_{1}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\\l_{2}^{(\lambda _{3})}&=\lambda _{3}l_{2}+1l_{1}=l_{3},\qquad &\mathrm {L} _{2}^{(\lambda _{3})}&=\lambda _{3}\mathrm {L_{2}+L_{1}=L_{3}} \,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/928f048f4018e385d6bba4b25fab2bfeb9fdad7c)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}l_{3}^{(1)}&=\ \ l_{3}+l_{2},&\mathrm {L} _{3}^{(1)}&=\ \ \mathrm {L_{3}+L_{2}} ,\\l_{3}^{(2)}&=2l_{3}+l_{2},&\mathrm {L} _{3}^{(2)}&=2\mathrm {L_{3}+L_{2}} ,\\l_{3}^{(3)}&=3l_{3}+l_{2},&\mathrm {L} _{3}^{(3)}&=3\mathrm {L_{3}+L_{2}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\\l_{3}^{(\lambda _{4})}&=\lambda _{4}l_{3}+l_{2}=l_{3},\qquad &\mathrm {L} _{3}^{(\lambda _{4})}&=\lambda _{4}\mathrm {L_{3}+L_{2}} \,;\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da55ea0a9ab4992428afb933e8cdbbe4d8fe4240)
on aura ces deux séries de fractions convergentes vers ![{\displaystyle a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f059f053fcf9f421b7c74362cf3bd5ed024e19d1)
(D)
|
|
|
(E)
|
|
|
dont La première, que je désignerai par (D), est composée de fractions croissantes et toutes plus petites que
et dont la seconde, que je désignerai par (E), est composée de fractions décroissantes et toutes plus grandes que ![{\displaystyle a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b803da9c45c1186883bde55107e9ccb102c92c6)
12. Corollaire I. — Il est facile de voir que les numérateurs et les dénominateurs des fractions de chacune des trois séries (C), (D), (E) vont continuellement en augmentant.
13. Corollaire II. — Si
sont deux fractions consécutives de la série (C), on aura
![{\displaystyle l_{\rho +1}\mathrm {L} _{\rho }-\mathrm {L} _{\rho +1}l_{\rho }=\pm 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4031cb635ccfa7b488dee7c5d8db694d50b3de45)
le signe supérieur étant pour le cas où l’exposant
est impair, c’est-à-dire où la fraction
est plus petite que
et le signe inférieur pour le cas opposé ; d’où il s’ensuit :
1o Que chaque fraction
est déjà réduite à ses moindres termes ; car autrement il faudrait que l’unité fût divisible par la plus grande commune mesure de
et
2o Qu’il est impossible qu’entre les deux fractions
il puisse tomber une autre fraction rationnelle quelconque dont le dénominateur soit moindre que
car soit, s’il est possible,
cette fraction, et il faudra que l’on ait, ou
![{\displaystyle {\frac {l_{\rho }}{\mathrm {L} _{\rho }}}-{\frac {h}{\mathrm {H} }}<{\frac {l_{\rho }}{\mathrm {L} _{\rho }}}-{\frac {l_{\rho +1}}{\mathrm {L} _{\rho +1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7feff96249da6617e2040ce78bed659d58db0b50)
lorsque
est pair, ou
![{\displaystyle {\frac {h}{\mathrm {H} }}-{\frac {l_{\rho }}{\mathrm {L} _{\rho }}}<{\frac {l_{\rho +1}}{\mathrm {L} _{\rho +1}}}-{\frac {l_{\rho }}{\mathrm {L} _{\rho }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/579efa09200b1e2e1e3664248390c5b3ad5b8a83)
lorsque
est impair, c’est-à-dire, dans le premier cas,
![{\displaystyle l_{\rho }\mathrm {H} -\mathrm {L} _{\rho }h<\mathrm {\frac {H}{L_{\rho +1}}} \left(l_{\rho }\mathrm {L} _{\rho +1}-\mathrm {L} _{\rho }l_{\rho +1}\right)<\mathrm {\frac {H}{L_{\rho +1}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4626c6f1bd3c1c32289d18a0a3e8802a80a4263b)
et dans le second,
![{\displaystyle \mathrm {L} _{\rho }h-l_{\rho }\mathrm {H} <\mathrm {\frac {H}{L_{\rho +1}}} \left(l_{\rho +1}\mathrm {L} _{\rho }-\mathrm {L} _{\rho +1}l_{\rho }\right)<\mathrm {\frac {H}{L_{\rho +1}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b31dd4aa65348d0afff1ca1e876a3d884b37f064)
ce qui ne se peut, à cause que
dans le premier cas, et
dans le second, est nécessairement un nombre entier positif, et que
est toujours une fraction (hypothèse) ;
3o Que comme la racine
tombe entre les deux fractions
mais plus près de
que de
toute fraction, comme
qui aura un dénominateurs
moindre que
approchera toujours moins de la racine
que la fraction
et même moins que la fraction
si cette fraction est du même côté de
que la fraction
c’est-à-dire si l’une et l’autre sont en même temps plus grandes ou plus petites que
14. Corollaire III. — Si
désignent deux fractions consécutives quelconques de la série (D) ou (E), du Lemme précédent, on aura en général, par les formules
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}e=&l_{\rho }+ml_{\rho +1},&\mathrm {E} =&\mathrm {L} _{\rho }+m\mathrm {L} _{\rho +1},\\f=&l_{\rho }+(m+1)l_{\rho +1},\qquad &\mathrm {F} =&\mathrm {L} _{\rho }+(m+1)\mathrm {L} _{\rho +1},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9390f17074faf812ff50f2b92215a1b6f9e452ce)
l’exposant
étant toujours impair dans la série (D), où les fractions sont moindres que
et toujours pair dans la série (E), où elles sont plus grandes que ![{\displaystyle a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b803da9c45c1186883bde55107e9ccb102c92c6)
Ainsi l’on aura dans la série (D)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&f\mathrm {L} _{\rho +1}-\mathrm {F} l_{\rho +1}=1,\\&f\mathrm {E} -\mathrm {F} e=1,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18b1c9c3243205e44ff1eec798798385f806f0a8)
et dans la série (E)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&f\mathrm {L} _{\rho +1}-\mathrm {F} l_{\rho +1}=-1,\\&f\mathrm {E} -\mathrm {F} e=-1,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4faef436911695abb0995f1b7f04eab446fe2551)
d’où il est aisé de conclure, par un raisonnement semblable à celui du Corollaire précédent :
1o Que toutes les fractions, tant de la série (D) que de la série (E), seront aussi réduites à leurs moindres termes ;
2o Qu’il n’y a aucune fraction rationnelle qui, ayant un dénominateur moindre que
puisse tomber, soit entre les fractions
soit entre celles-ci
3o Que, comme les fractions
sont toujours l’une plus grande et l’autre plus petite que
et que les fractions
sont toutes deux ou plus grandes ou plus petites que
toute fraction rationnelle qui aura un dénominateur moindre que
et qui tombera du même côté de
que les fractions
sera nécessairement moins approchante de
que la fraction
15. Scolie. — Si la racine
est incommensurable, la fraction continue ira à l’infini, et par conséquent les séries (C), (D), (E) iront aussi à l’infini ; mais, si la racine
est rationnelle, alors la fraction continue sera terminée, et la suite des fractions principales (C) le sera aussi, de sorte que la dernière de ces fractions sera égale à la valeur même de la racine
or, ce cas a lieu lorsque quelqu’un des dénominateurs
devient infini (no 21 du Mémoire sur la résolution des équations numériques) ; supposons donc en général que l’on ait trouvé
en sorte que le dénominateur précédent
soit la racine exacte de la transformée d’où il dépend, et la fraction
sera la dernière de la suite des fractions principales (C), de sorte que cette même fraction sera égale à la racine
or, il est facile de voir que, si
est un nombre impair, la fraction
se trouvera dans la série (D), et sera par conséquent la dernière de cette série, et qu’à cause de
la série (E) ira nécessairement à l’infini ; vice versa, si
est pair, la série (E) se terminera dans la fraction
et la série (D) ira à l’infini ; de sorte que des deux séries (D) et (E) il y en aura toujours une qui ira à l’infini et l’autre qui se terminera dans la fraction
or, on peut aussi faire en sorte que celle-ci aille à l’infini ; pour cela, il n’y aura qu’à diminuer le nombre
d’une unité, ensuite faire
et
car il est visible que
![{\displaystyle \lambda _{\mu -1}+{\frac {1}{\infty }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/964df6b8a3fcdb7fed51c148e5b486a8e6bcf7d9)
est la même chose que
![{\displaystyle \lambda _{\mu -1}-1+{\frac {1}{1+{\cfrac {1}{\infty }}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f816567b912e2907938ad4998a799a957fa29897)
par ce moyen, la fraction continue sera augmentée d’un terme, de sorte que la dernière des fractions principales sera
Ainsi, si l’exposant de
la dernière fraction est pair, il deviendra impair, et
vice versa ; d’où il suit que parce moyen celle des deux suites (D) et (E) qui était terminée deviendra nécessairement infinie. Il semble qu’il pourrait y avoir quelque difficulté dans le cas où
![{\displaystyle \lambda _{\mu -1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba26b32211bf37d8f1110b446923ba449cdaed85)
serait égal à l’unité ; mais dans ce cas il arrivera que deux termes de la fraction continue disparaîtront en même temps, de sorte que le nombre des termes continuera à être pair ou impair, comme si
![{\displaystyle \lambda _{\mu -1}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd64f2aef0917ae124db8edd9db18720e6e5ed9a)
n’était pas nul ; en effet, si l’on considère la fraction continue
![{\displaystyle {\frac {1}{\lambda _{\mu -2}+{\cfrac {1}{\lambda _{\mu -1}-1{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\infty }}}}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80cff9f8c77a8b109dcd14d681f74f06ca7154b0)
et qu’on suppose que
elle deviendra
![{\displaystyle {\frac {1}{\lambda _{\mu -3}+1+{\cfrac {1}{\infty }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c69ab60e987c2f422c4af71e86d7c0957f52297e)
de sorte qu’au lieu qu’il y avait quatre dénominateurs il n’y en aura plus que deux. Au reste, il est facile de se convaincre avec un peu de réflexion que, lorsque la fraction continue est terminée, le dernier dénominateur
sera toujours different de l’unité.
De là nous pouvons conclure que les deux suites de fractions (D) et (E) peuvent toujours être supposées aller à l’infini, de sorte que tant les numérateurs que les dénominateurs de ces fractions formeront des suites de nombres commençant par
ou par
et allant en augmentant à l’infini.
Problème II.
16. On propose de trouver tous les nombres entiers
et
qui peuvent satisfaire à l’équation
(F)
|
|
|
que nous désignerons par (F), et dans laquelle nous supposons que
soient des nombres entiers donnés.
Il est d’abord évident que l’équation ne saurait subsister dans l’hypothèse que
et
soient entiers, si les nombres donnés
avaient un commun diviseur autre que l’unité ; car alors, le premier membre étant tout divisible par ce commun diviseur, il faudrait que le second le fût aussi, ce qui ne se peut.
Par la même raison, on voit aussi que les nombres
et
doivent être premiers entre eux ; autrement tout le premier membre de l’équation serait divisible par leur plus grande commune mesure, élevée à la puissance
et par conséquent il ne saurait être égal à l’unité.
Cela posé, soient donc
et
deux nombres, entiers premiers entre eux qui satisfassent à l’équation (F) ; divisant cette équation par
et faisant
on aura celle-ci
(G)
|
|
|
que nous désignerons par (G).
Donc, si l’on considère en général l’équation à deux variables
(H)
|
|
|
que nous désignerons par (H) et qui représente, comme on voit, une courbe parabolique dont
est l’abscisse et
l’ordonnée, il faudra qu’en faisant
on ait
c’est-à-dire qu’à l’abscisse
il réponde un ordonnée égale à
Or, si cette ordonnée n’est pas un minimum, il est ordonnée égale à visible que d’un côté ou de l’autre la courbe ira nécessairement s’approchant de l’axe jusqu’à ce qu’elle parvienne à un point d’intersection avec l’axe, ou de minimum ; soit donc a l’abscisse qui répondra à ce point, et toutes les ordonnées qui répondront à des abscisses comprises entre ces deux-ci
et
auront nécessairement des valeurs moindres que
et de même signe que
c’est-à-dire des valeurs qui tomberont entre
et
de sorte que, lorsque
aura une valeur plus grande que
ou
de signe différent, c’est-à-dire une valeur qui ne tombe pas entre et
![{\displaystyle {\frac {1}{y^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/430b9ad528b37576ff07237d69f41911796d8d08)
et
![{\displaystyle 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95547343453ea34a314dd174f8458012f5a39ca3)
on sera sûr que l’abscisse correspondante
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
ne pourra pas tomber entre
![{\displaystyle {\frac {u}{y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/355271d98ca91af4542a31dc0aba615bcbf4b87e)
et
Maintenant, comme la supposition de
doit répondre à
ou à
égal à un minimum, il est clair que
ne pourra être qu’une des racines de l’équation
savoir
![{\displaystyle \mathrm {P} x^{n}+\mathrm {Q} x^{n-1}+\mathrm {R} x^{n-2}+\ldots +\mathrm {V} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/800f488bb2102a9b7f9a9b01aeb912cc028c2482)
ou de l’équation
savoir
![{\displaystyle n\mathrm {P} x^{n-1}+(n-1)\mathrm {Q} x^{n-2}+(n-2)\mathrm {R} x^{n-3}+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9830524b1c56c184ff60129f1a43184d6b283260)
de sorte qu’on pourra trouver toutes les valeurs de ![{\displaystyle a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b803da9c45c1186883bde55107e9ccb102c92c6)
Je suppose ici que la racine
soit positive ; si elle était négative, on commencerait par la rendre positive en changeant les signes des termes qui renfermeraient des puissances impaires de
et pour cela il n’y aurait qu’à mettre, dans l’équation proposée (F),
à la place de
c’est-à-dire prendre
avec un signe contraire.
On pourra donc trouver, par le Lemme précédent, deux suites infinies de fractions telles que (D) et (E) qui convergent vers
et qui aient les propriétés que nous avons exposées ; or, je dis que la fraction
sera nécessairement une de ces mêmes fractions.
Je vais démontrer d’abord que la fraction
doit être de même signe que la racine
Comme cette racine est positive (hypothèse), si la fraction
est négative, il est clair que la fraction
approchera plus de la racine
que ne fera la fraction
donc, puisque
tombe entre
et
si dans l’équation (H) on fait,
il faudra que la valeur correspondante de
tombe entre
et
mais, en faisant
on a
donc, puisque
est un nombre entier (hypothèse), il est impossible qu’il puisse tomber entre
et
donc, etc.
Je démontrerai maintenant que la fraction
doit être une de celles de la série (D) ou (E). Comme la fraction
peut être plus petite ou plus grande que la racine
supposons d’abord le premier cas, en sorte que l’on ait
et je dis que
sera nécessairement une des fractions de la série (D). Pour cela nous remarquerons que, comme cette série va à l’infini, et que les dénominateurs des fractions vont en augmentant, il faudra nécessairement que le dénominateur
coïncide avec quelqu’un des dénominateurs des mêmes fractions, ou bien qu’il tombe entre deux dénominateurs consécutifs. Soient
deux fractions consécutives de la série (D), et que le nombre
tombe, s’il est possible, entre les deux nombres
et
substituant dans l’équation (H), à la place de
les fractions
il est clair que la première de ces substitutions donnera (hypotèse)
et que la seconde donnera
où l’on aura
![{\displaystyle \alpha =\mathrm {P} l^{n}+\mathrm {Q} l^{n-1}+\mathrm {R} l^{n-2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbc83fd90201b3ff553beffc7b478f3b7daf1368)
de sorte que
sera nécessairement un nombre entier. Donc, à cause que
est plus grand que
la quantité
tombera nécessairement hors de ces limites
donc aussi
tombera hors des limites
et
donc, puisque
et
sont l’une et l’autre moindres que
(hypothèse), il faudra nécessairement que
tombe entre
et
Mais, à cause que
est plus grand que
la fraction
approchera plus de
que la fraction
(14), de sorte que
tombera nécessairement entre
et
Donc il faudra que
tombe entre les deux fractions
et
ce
qui ne se peut (numéro cité). Donc il est impossible que le nombre
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
puisse tomber entre deux dénominateurs consécutifs
![{\displaystyle \mathrm {L} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7693963f7eb3050c4c00a3417c955a5e3630cab)
et
![{\displaystyle \mathrm {M} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a11bc96cd0a6ddc87299a6673a391c826f21d483)
il faudra donc que ce nombre soit égal à quelqu’un des mêmes dénominateurs ; soit
![{\displaystyle y=\pm \mathrm {L} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/489aa8b1fb4847d8370160493eaaf7ade6511082)
je dis qu’on aura nécessairement
![{\displaystyle {\frac {u}{y}}={\frac {l}{\mathrm {L} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07bea87de4b0c1f003025036936c809cc5543e98)
En effet, nous avons déjà vu qu’il implique contradiction que la quantité
![{\displaystyle {\frac {\alpha }{\mathrm {L} ^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed5b19d98a5baea74f60ef2224b3b727bc9abf34)
tombe hors des limites
![{\displaystyle 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950)
et
![{\displaystyle {\frac {1}{y^{n}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2615726c25efb94752c53d4ce2061a7c7d987f35)
mais, à cause que
![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
est un nombre entier, il est clair que
![{\displaystyle {\frac {\alpha }{\mathrm {L} ^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed5b19d98a5baea74f60ef2224b3b727bc9abf34)
ne saurait jamais tomber entre ces mêmes limites tant que
![{\displaystyle y=\pm \mathrm {L} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/286279968d08c9fff050bf668c9574b14a5d164b)
donc il faudra nécessairement qu’on ait
![{\displaystyle {\frac {1}{y^{n}}}={\frac {\alpha }{\mathrm {L} ^{n}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/997d375ccb94bd4fa447946b595a3512beae4124)
donc la valeur de
qui répond à
sera égale à celle qui répond à
dans l’équation (H) ; donc les deux valeurs de
seront égales aussi ; donc
![{\displaystyle {\frac {u}{y}}={\frac {l}{\mathrm {L} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07bea87de4b0c1f003025036936c809cc5543e98)
Donc, si la fraction
est plus petite que la racine
il est démontré qu’elle ne peut être qu’une de celles de la série (D). On démontrera de la même manière que, lorsque cette fraction sera plus grande que la racine
elle sera nécessairement une de celles de la série (E) ; donc la fraction
sera nécessairement une de celles des séries (D), (E), à moins qu’elle ne soit égale à
ce qui ne peut arriver que dans le cas où
est la racine de l’équation
![{\displaystyle dz=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77da67901cc10b8945f037294bc056390675348e)
car, dans le cas où
est racine de l’équation
il est clair que si
le second membre de l’équation proposée (F) deviendrait nul, au lieu qu’il doit être égal à l’unité.
Donc, puisqu’on doit avoir nécessairement
![{\displaystyle {\frac {u}{y}}={\frac {l}{\mathrm {L} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc495e69835814b2dd74103ddb1979009b9cc362)
étant (11) une des fractions des séries (D), (E), et que tant
et
que
et
sont premiers entre eux, il s’ensuit qu’on aura en général
![{\displaystyle u=\pm l,\quad y=\pm \mathrm {L} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abc3cd56e872c7145002ae426908ecfca27c07e3)
les signes ambigus de
et
étant à volonté, pourvu qu’on prenne, à la fois les deux supérieurs ou les deux inférieurs.
Or, comme
doit être une des racines de l’équation
![{\displaystyle z=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/463359fa7c7563dc29f2079e63195b0035f1ab5a)
ou une de celles de l’équation
![{\displaystyle {\frac {dz}{dx}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23fc8c371630611a93989d854e8010b5da2847fa)
qui répondent à un minimum, il faudra chercher toutes ces racines, dont chacune fournira deux suites infinies de fractions telles que (D) et (E), et l’on aura par là tous les nombres entiers qui pourront être admis pour
et
de sorte qu’il ne restera plus qu’a les essayer successivement pour trouver ceux qui peuvent satisfaire en effet à l’équation proposée (F). Si l’on trouve des racines négatives, on les changera d’abord en positives, en changeant les signes des termes où il y aura des puissances impaires de
ensuite on prendra
avec un signe contraire.
17. Corollaire I. — Lorsque
est une des racines de l’équation
![{\displaystyle z=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/463359fa7c7563dc29f2079e63195b0035f1ab5a)
on peut trouver les valeurs de
et de
par la même opération qui sert à trouver la fraction continue qui exprime la racine
En effet, nous avons vu que, pour trouver cette fraction, il faut d’abord chercher le nombre entier positif
qui est immédiatement moindre que la racine ![{\displaystyle a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f059f053fcf9f421b7c74362cf3bd5ed024e19d1)
que nous supposons positive ; ensuite on fait
![{\displaystyle x=\lambda _{1}+{\frac {1}{x_{1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c07ab2ab6ea38206fcc3260acea76dc96ad82f6)
et, substituant cette valeur dans l’expression de
on a, après avoir multiplié tout par
et ordonné les termes, une nouvelle équation en
que nous désignerons par
![{\displaystyle z_{1}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9bb0823158dc79f5dd0bb5b40e3ac174bb17c5e)
en sorte que
soit égal au premier membre de cette équation ; on cherchera donc de nouveau le nombre entier positif qui sera immédiatement moindre que la racine de l’équation
![{\displaystyle z_{1}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9bb0823158dc79f5dd0bb5b40e3ac174bb17c5e)
et, nommant ce nombre
on fera
![{\displaystyle x_{1}=\lambda _{2}+{\frac {1}{x_{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f210568a2911afe3cc320bb26bd6b692a8dcb7a)
ce qui, étant substitué dans
donnera, après la multiplication par
une troisième équation
![{\displaystyle z_{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c39591c8418bad0a2a1871147f4a7fd58f0b93a)
dont
sera l’inconnue, et sur laquelle on opérera comme sur les précédentes, et ainsi de suite. Tel est le procédé nécessaire pour réduire la racine
en fraction continue ; or, considérons en général une quelconque des équations transformées
![{\displaystyle z_{1}=0,\quad z_{2}=0,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7128a9f568ad604cd9dd14480fd65aa2e66e17b9)
dont le quantième soit
en sorte que cette équation soit
et que l’inconnue de cette équation soit
il est facile de voir, par ce que nous avons démontré dans les Additions au Mémoire sur la résolution des équations numériques (nos 31 et 68), que, pour avoir l’expression de
il n’y aura qu’à mettre, dans l’expression de ![{\displaystyle z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47989a9b66a4ea8a0ec19e8159749fce8a9a8ca8)
![{\displaystyle {\frac {l_{\rho }x_{\rho }+l_{\rho -1}}{\mathrm {L} _{\rho }x_{\rho }+\mathrm {L} _{\rho -1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a813dca5b8bc419a39430368939ef5123bfeec2a)
à la place de
![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
et faire disparaître les dénominateurs en multipliant tous les termes par
![{\displaystyle \left(\mathrm {L} _{\rho }x_{\rho }+\mathrm {L} _{\rho -1}\right)^{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5303db16ffc0b133174ccda9a47d13e963946fa4)
or si l’on nomme
![{\displaystyle \zeta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5c3916703cae7938143d38865f78f27faadd4ae)
le premier membre de l’équation proposée (F), il est visible que la valeur de
![{\displaystyle z_{\rho }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8607fb7e82ec135a357d0bbb297b5d492f7c692)
ne sera autre chose que l’expression de
![{\displaystyle \zeta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2579c0a35d39cc67c4fab7a644b786cf6d22ec16)
en y mettant
![{\displaystyle l_{\rho }x_{\rho }+l_{\rho -1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a84e100250fad631edac917b022f72d4996d6a8a)
à la place de
![{\displaystyle u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30dcc93e14b40416ed2d1391bc6c08ee99fa5ff6)
et
![{\displaystyle \mathrm {L} _{\rho }x_{\rho }+\mathrm {L} _{\rho -1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb50310707bd97741f64e3b43e4376de48192930)
à la place de
![{\displaystyle y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0af3e5c8679b2d5c583b70a6d57362fa85299224)
d’ailleurs on voit, par les formules du Lemme, qu’en faisant successivement
![{\displaystyle x_{\rho }=1,2,3,\ldots ,\lambda _{\rho +1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfe68c78b08c1ebd7ef00fc2111b32a319d787fa)
la quantité
devient
![{\displaystyle l_{\rho }^{(1)},\quad l_{\rho }^{(2)},\quad l_{\rho }^{(3)},\ldots \quad l_{\rho }^{(\lambda _{\rho }+1)}=l_{\rho +1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72cfdec6d2e7a1b08c5bb5c13334e8f65ea3c962)
et que la quantité
devient pareillement
![{\displaystyle \mathrm {L_{\rho }^{(1)},\quad L_{\rho }^{(2)},\quad L_{\rho }^{(3)},\ldots \quad L_{\rho }^{(\lambda _{\rho }+1)}=L_{\rho +1}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f16f6beb4183cc6c4a980d77883b51b0f7215df2)
d’où, et de ce qui a été démontré plus haut (Problème précédent), je conclus que, pour trouver les valeurs entières de
et de
qui peuvent satisfaire à l’équation (F), c’est-à-dire en tant que ces valeurs dépendent de la racine
de l’équation
il n’y aura qu’à faire successivement, dans chaque équation transformée, telle que
l’inconnue
jusqu’à
(
étant le nombre entier qui est immédiatement moindre que la vraie racine de cette équation), et si l’équation
est résoluble, il faudra que quelqu’une de ces suppositions donne
lorsque l’exposant
de la fonction
est pair, et
ou
lorsque
est impair.
Soient en général, pour abréger,
![{\displaystyle l=x_{\rho }l_{\rho }+l_{\rho -1},\quad \mathrm {L} =x_{\rho }\mathrm {L} _{\rho }+\mathrm {L} _{\rho -1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd0933a1ffa61196507286d3617e0437ef99b914)
en donnant à
la valeur qui rend
quand
est pair, et
quand
est impair ; et l’on aura
![{\displaystyle u=\pm l,\quad y=\pm \mathrm {L} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abc3cd56e872c7145002ae426908ecfca27c07e3)
où il faut remarquer, par rapport aux signes, que si
est pair, on peut
prendre indifféremment les supérieurs ou les inférieurs ; mais si
![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
est impair, alors il faut les prendre comme dans l’équation
![{\displaystyle z_{\rho }=\pm 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b3d7b3618424feb1df64e17a6d468bf359c1df9)
18. Corollaire II. — Si l’équation
![{\displaystyle z=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b92bfc06485cc90286474b14a516a68d8bfdd7b3)
a toutes ses racines réelles, je dis : 1o que les racines
ne pourront être que les racines mêmes de cette équation ; 2o que les nombres
et
seront nécessairement les termes de quelqu’une des fractions principales (C) convergentes vers
et jamais des fractions secondaires.
Car on ne doit prendre pour
que les racines de l’équation
![{\displaystyle z=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b92bfc06485cc90286474b14a516a68d8bfdd7b3)
ou celles de l’équation
![{\displaystyle {\frac {dz}{dx}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b0edede3c7716598834099fcb89f449bdb5f235)
qui répondent à des minimums (Problème précédent) ; or je vais prouver que, lorsque l’équation
![{\displaystyle z=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b92bfc06485cc90286474b14a516a68d8bfdd7b3)
a toutes ses racines réelles, il est impossible que
devienne un minimum ; en effet, pour que
devienne un minimum, il faut qu’on ait
![{\displaystyle {\frac {dz}{dx}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b0edede3c7716598834099fcb89f449bdb5f235)
et que la valeur de
soit de même signe que celle de
c’est-à-dire que
soit une quantité positive.
Or, nommant
les racines de l’équation
![{\displaystyle z=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/463359fa7c7563dc29f2079e63195b0035f1ab5a)
on aura, comme on sait,
![{\displaystyle z=\mathrm {P} (x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc41e960b5477a967ddecbd5ae31de3d8f8c5dbb)
prenant les logarithmes et différentiânt, on aura
![{\displaystyle {\frac {1}{z}}{\frac {dz}{dx}}={\frac {1}{x-\alpha }}+{\frac {1}{x-\beta }}+{\frac {1}{x-\gamma }}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd539cc47f8b994ee87e6a5e84ed63a7ec9fcbaa)
différentiant une seconde fois et changeant les signes, il viendra
![{\displaystyle {\frac {1}{z^{2}}}{\frac {dz^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {1}{z}}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}={\frac {1}{(x-\alpha )^{2}}}+{\frac {1}{(x-\beta )^{2}}}+{\frac {1}{(x-\gamma )^{2}}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cff1a2384bffb9855a40f805df6b39df2417bea8)
Donc, s’il y avait un minimum, il faudrait que
fût égal à
et
et par conséquent que le premier membre de l’équation précédente devînt négatif, ce qui ne se peut tant que
sont des quantités réelles ; donc, etc.
Or, puisque l’équation
![{\displaystyle z=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b92bfc06485cc90286474b14a516a68d8bfdd7b3)
a toutes ses racines réelles, il est clair que chacune des équations transformées, comme
aura aussi toutes ses racines réelles ; car, à cause de
![{\displaystyle x={\frac {l_{\rho }x_{\rho }+l_{\rho -1}}{\mathrm {L} _{\rho }x_{\rho }+\mathrm {L} _{\rho -1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3b56a478d49942e072d70e50b8fcf5e825acc92)
(17), on aura
c’est-à-dire l’inconnue de l’équation
![{\displaystyle z_{\rho }=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82802121e9eeb1a39635024ec4d2b07b19ed03ef)
égale à
![{\displaystyle {\frac {l_{\rho -1}-x\mathrm {L} _{\rho -1}}{x\mathrm {L} _{\rho }-l_{\rho }}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cca1113a5f1300cbe212bfb319f59d107ca12ca8)
donc la quantité
ne pourra jamais devenir un minimum ; donc, si l’équation
![{\displaystyle z_{\rho }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63bd32d99f44a9bf7c8c695ac823329afbf9f50e)
n’a qu’une seule racine positive égale à
et qu’on fasse successivement
jusqu’à
(
étant le nombre entier qui est immédiatement moindre que
), il est clair que la valeur de
doit ou aller en
diminuant, ou bien augmenter d’abord et diminuer ensuite ; d’où il s’ensuit que la plus petite valeur de
![{\displaystyle z_{\rho }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8607fb7e82ec135a357d0bbb297b5d492f7c692)
p répondra nécessairement ou à
![{\displaystyle x_{\rho }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4145d613d7ea0e76a4bcc512987099ad2169e5e3)
ou à
![{\displaystyle x_{\rho }=\lambda _{\rho +1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3c24a3cf0009b2e201a65dc401920ed31fd9589)
si l’équation
![{\displaystyle z_{\rho }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63bd32d99f44a9bf7c8c695ac823329afbf9f50e)
a plusieurs racines positives
il faudra prendre successivement pour
les nombres entiers qui sont immédiatement moindres que chacune de ces racines (no 19, Mémoire sur la résolution des équations numériques), et l’on en conclura de même que la plus petite valeur de
p sera nécessairement une de celles qui répondent à
![{\displaystyle x_{\rho }=0\quad {\text{ou}}\quad x_{\rho }=\lambda _{\rho +1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/487687689b407b57bf995815f3054c13622f3682)
or, la valeur de
étant toujours égale à un nombre entier lorsque
est un nombre entier, il est clair qu’elle ne pourra devenir égale à
à moins qu’elle ne devienne la plus petite possible ; donc on aura nécessairement dans ce cas
ce qui donnera ou
![{\displaystyle l=l_{\rho -1},\quad \mathrm {L} =\mathrm {L} _{\rho -1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0de21ea1b690b28196627a5076b60accbef9030c)
ou
![{\displaystyle l=\lambda _{\rho +1}l_{\rho }+l_{\rho -1}=l_{\rho +1},\quad \mathrm {L=\lambda _{\rho +1}L_{\rho }+L_{\rho -1}=L_{\rho +1}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1388bd4c73e9c39f5c04d38975dc97b2e391932)
de sorte que les nombres
et
ne pourront être que des termes des séries
et
donc, etc. (11).
Maintenant, si l’on suppose en général
![{\displaystyle z_{\rho }=\mathrm {P} _{\rho }x_{\rho }^{n}+\mathrm {Q} _{\rho }x_{\rho }^{n-1}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d0a1039a53d2a42e067524e955b52b55615ab4f)
il est facile de voir, par ce que nous avons dit dans le Corollaire précédent, que l’on aura
![{\displaystyle \mathrm {P} _{\rho }=\mathrm {P} l_{\rho }^{n}+\mathrm {Q} l_{\rho }^{n-1}\mathrm {L} _{\rho }+\mathrm {R} l_{\rho }^{n-2}\mathrm {L} _{\rho }^{2}+\ldots +\mathrm {Z} \mathrm {L} _{\rho },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449b0ae109ddc51a1523ffbb639ee2a894e0f603)
de sorte que la valeur du coefficient
sera égale à ce que devient la quantité
en y mettant
à la place de
et
à la place de ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
De là il est aisé de conclure que, pour résoudre l’équation
![{\displaystyle \zeta =1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63f7f0a961df774bd3db35e02af655591ad23c1c)
dans le cas du présent Corollaire, il n’y aura qu’à faire attention au coefficient du premier terme de chaque équation transformée
![{\displaystyle z_{1}=0,\quad z_{2}=0,\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fb266d6092e4a182aae6fcfb831225bf8ecb033)
et si la proposée
est résoluble, on trouvera nécessairement, dans quelqu’une de ces équations transformées comme
le premier coefficient
quand
est pair, ou
quand
est impair ; alors on aura
![{\displaystyle u=\pm l_{\rho },\quad y=\pm \mathrm {L} _{\rho },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e39c215c01871406e572a074627d672594f558b)
les signes ambigus étant à volonté lorsque
est pair ; mais ils doivent répondre à ceux de l’équation
![{\displaystyle \mathrm {P} _{\rho }=\pm 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba8289cc1a96f64148e6d21d8b0a5e00dd9e99b1)
lorsque
est impair, comme dans le Corollaire précédent.
19. Corollaire III. — Au reste, quelles que soient les racines de l’équation
je dis qu’on parviendra toujours nécessairement à une transformée telle que
dans laquelle la quantité
n’aura aucun minimum du côté des
positives, et que la même chose aura lieu pour toutes les transformées suivantes
![{\displaystyle z_{\rho +1}=0,\quad z_{\rho +2}=0,\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9435c1fa43bc873681712e8507bc7354bd597d0)
de sorte que, quand on sera arrivé à une telle transformée, alors on sera dans le cas du Corollaire précédent, et la résolubilité de l’équation
![{\displaystyle \zeta =1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63f7f0a961df774bd3db35e02af655591ad23c1c)
ne dépendra plus que du coefficient du premier terme de chaque transformée.
Pour pouvoir démontrer cette proposition, il faut commencer par démontrer celle-ci, savoir, que lorsque, dans une équation quelconque, comme
il y a des racines réelles
![{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfa0423ad729cc9b43c1be6c65b94d86296aef6)
et des racines imaginaires.
![{\displaystyle \mu +\nu {\sqrt {-1}},\quad \mu -\nu {\sqrt {-1}},\quad \varpi +\sigma {\sqrt {-1}},\quad \varpi -\sigma {\sqrt {-1}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/910fe873b46c5e7041eaf97b5fb817012d5365dc)
et que ces dernières sont telles, que les quantités
sont négatives, et que
![{\displaystyle \mu ^{2}>\nu ^{2},\quad \varpi ^{2}>\sigma ^{2},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e7d4a98323444366e0d97f842b3123c056c8fc5)
la quantité
ne peut jamais devenir un minimum du côté des
positives.
Car on aura d’abord, comme dans le no 18,
![{\displaystyle {\frac {1}{z^{2}}}{\frac {dz^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {1}{z}}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}={\frac {1}{(x-\alpha )^{2}}}+{\frac {1}{(x-\beta )^{2}}}+{\frac {1}{(x-\gamma )^{2}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b00e2ea24308ceff88d2e5833d2544c6c8d707f8)
![{\displaystyle +{\frac {1}{(x-\mu -\nu {\sqrt {-1}})^{2}}}+{\frac {1}{(x-\mu +\nu {\sqrt {-1}})^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71d73143ccf78b5fa135f4db4ef8626d0bf8499f)
![{\displaystyle +{\frac {1}{(x-\varpi -\sigma {\sqrt {-1}})^{2}}}+{\frac {1}{(x-\varpi +\sigma {\sqrt {-1}})^{2}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6e9a279df23b48dfd28fe084415b926a88b0646)
ou bien, en réunissant deux à deux les termes imaginaires,
![{\displaystyle {\frac {1}{z^{2}}}{\frac {dz^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {1}{z}}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}={\frac {1}{(x-\alpha )^{2}}}+{\frac {1}{(x-\beta )^{2}}}+{\frac {1}{(x-\gamma )^{2}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b00e2ea24308ceff88d2e5833d2544c6c8d707f8)
![{\displaystyle +2{\frac {(x-\mu )^{2}-\nu ^{2}}{\left(x^{2}-2\mu x+\mu ^{2}+\nu ^{2}\right)^{2}}}+2{\frac {(x-\varpi )^{2}-\sigma ^{2}}{\left(x^{2}-2\varpi x+\varpi ^{2}+\sigma ^{2}\right)^{2}}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7acdf60564b52a89629f06f2c717e03c28486ad4)
Or il est clair que si
sont négatifs et tels que ![{\displaystyle \mu ^{2}>\nu ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00102ab25c318130c6acb7308389f64b8283cd05)
les quantités
![{\displaystyle (x-\mu )^{2}-\nu ^{2},\quad (x-\varpi )^{2}-\sigma ^{2},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e3870ccb0da789a60a419b6e6e1adc895b53ae4)
seront toujours positives tant que
sera positif ; donc le second membre de l’équation précédente sera aussi tout positif ; par conséquent il sera impossible que
devienne un minimum (numéro cité).
Cela posé, considérons l’équation primitive
et supposons que cette équation ait des racines réelles
et des racines imaginaires représentées par les quantités
![{\displaystyle \mu +\nu {\sqrt {-1}},\quad \mu -\nu {\sqrt {-1}},\quad \varpi +\sigma {\sqrt {-1}},\quad \varpi -\sigma {\sqrt {-1}},\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57ac6e030a8a271235da24e68156971d1c8c37b1)
qu’on mette, dans
![{\displaystyle {\frac {l_{\rho }x_{\rho }+l_{\rho -1}}{\mathrm {L} _{\rho }x_{\rho }+\mathrm {L} _{\rho -1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a813dca5b8bc419a39430368939ef5123bfeec2a)
à le place de
![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
et, multipliant ensuite par
![{\displaystyle \mathrm {L} _{\rho }x_{\rho }+\mathrm {L} _{\rho -1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb50310707bd97741f64e3b43e4376de48192930)
élevé à la puissance
![{\displaystyle n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/397bfafc701afdf14c2743278a097f6f2957eabb)
on aura l’expression de
![{\displaystyle z_{\rho }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8607fb7e82ec135a357d0bbb297b5d492f7c692)
(17) ; d’où il est aisé de voir que chaque facteur simple et réel de
![{\displaystyle z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47989a9b66a4ea8a0ec19e8159749fce8a9a8ca8)
comme
![{\displaystyle x-\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e8ee547809a50929fe881ceec5cd29763e76d14)
donnera dans
![{\displaystyle z_{\rho }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8607fb7e82ec135a357d0bbb297b5d492f7c692)
un facteur aussi réel, tel que
![{\displaystyle (l_{\rho }-\alpha \mathrm {L} _{\rho })x_{\rho }+l_{\rho -1}-\alpha \mathrm {L} _{\rho -1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87695673a02ab03cbdac850e79d1065c3c28132e)
et que chaque facteur double à racines imaginaires, tel que
donnera, dans
le facteur double
![{\displaystyle \left[(l_{\rho }-\mu \mathrm {L} _{\rho })x_{\rho }+l_{\rho -1}-\mu \mathrm {L} _{\rho -1}\right]^{2}+\nu ^{2}(\mathrm {L} _{\rho }x_{\rho }+\mathrm {L} _{\rho -1})^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/878dfd292beca0c13be0e72f53666ecbf9af6269)
lequel, en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} =&(l_{\rho }-\mu \mathrm {L} _{\rho })^{2}+\nu ^{2}\mathrm {L} _{\rho }^{2},\\\mathrm {B} =&(l_{\rho }-\mu \mathrm {L} _{\rho })(l_{\rho -1}-\mu \mathrm {L} _{\rho -1})+\nu ^{2}\mathrm {L_{\rho }L_{\rho -1}} ,\\\mathrm {C} =&(l_{\rho -1}-\mu \mathrm {L} _{\rho -1})^{2}+\nu ^{2}\mathrm {L} _{\rho -1}^{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af62b7fba54330a6fe1d1b32156203bcbbd17a31)
se réduit à cette forme
![{\displaystyle \mathrm {A} x_{\rho }^{2}+2\mathrm {B} x_{\rho }+\mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65596ea2f5eea7264f3e14b37ec4f50200bb9ec6)
Or ce facteur donne ces deux racines
![{\displaystyle \mathrm {\frac {-B+{\sqrt {B^{2}-AC}}}{A}} ,\quad \mathrm {\frac {-B-{\sqrt {B^{2}-AC}}}{A}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/521113094e24cad94966519c170d5452ca85da1f)
où je remarque :
1o Que
est toujours nécessairement positif ;
2o Que
sera positif lorsque les deux quantités
![{\displaystyle l_{\rho }-\mu \mathrm {L} _{\rho }\quad {\text{et}}\quad l_{\rho -1}-\mu \mathrm {L} _{\rho -1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccd31e9a21404b785224e037cf68d722e5c7352b)
seront de même signe, c’est-à-dire lorsque les fractions
et
seront toutes deux plus petites ou plus grandes que
or, comme les fractions
convergent constamment vers la racine
en sorte que la différence devient continuellement plus petite, il est clair que lorsque la
différence entre
![{\displaystyle {\frac {l_{\rho -1}}{\mathrm {L} _{\rho -1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e180bf114f11e673edadc5e1266922df3ee14717)
et
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
sera devenue plus petite que celle entre
![{\displaystyle \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161)
et
![{\displaystyle a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f059f053fcf9f421b7c74362cf3bd5ed024e19d1)
alors toutes les quantités
![{\displaystyle l_{\rho -1}-\mu \mathrm {L} _{\rho -1},\quad l_{\rho }-\mu \mathrm {L} _{\rho },\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4de3ae99f0356c1bad486c41c475966ffb427952)
seront nécessairement de même signe, et par conséquent la quantité
sera toujours positive ; or la différence entre la fraction
et
est moindre que
donc la condition dont il s’agit aura sûrement lieu lorsque la quantité
![{\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {L_{\rho -1}L_{\rho }} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84793e1b71b4bd9111d6ccd3c130a09aeccf9ecd)
sera moindre que la différence entre
et
Il ne pourrait y avoir de difficulté que lorsque
car dans ce cas les quantités
![{\displaystyle l_{\rho -1}-\mu \mathrm {L} _{\rho -1}\quad {\text{et}}\quad l_{\rho }-\mu \mathrm {L} _{\rho }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72db9033076cd4e1b5dae0ffc9ea0f576402ac6e)
seront toujours nécessairement de signes différents ; mais alors on considérera qu’on a
![{\displaystyle \mathrm {B} =\mathrm {L_{\rho }L_{\rho -1}} \left[\left({\frac {l_{\rho }}{\mathrm {L} _{\rho }}}-a\right)\left({\frac {l_{\rho -1}}{\mathrm {L} _{\rho -1}}}-a\right)+\nu ^{2}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58a5d5f98f5dcc4342687af2da0709c1aca24a76)
de sorte que, comme la différence entre
et
de même qu’entre
et
va continuellement en diminuant, il arrivera nécessairement que le produit de ces deux différences deviendra moindre que
et alors il le sera toujours de plus en plus ; de sorte que la quantité
se trouvera aussi positive ; c’est ce qui arrivera sûrement lorsque la quantité
![{\displaystyle \mathrm {\frac {1}{L_{\rho -1}L_{\rho }L_{\rho }L_{\rho +1}}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6d4d8f0f5304118dd8b81adf1ec89509d07b79f)
sera moindre que
De plus, il est facile de voir que la quantité
quand elle sera devenue une fois positive, ira nécessairement en aug-
mentant parce que les nombres
![{\displaystyle l_{\rho -1},\quad l_{\rho },\ldots ,\quad {\text{et}}\quad \mathrm {L} _{\rho -1},\quad \mathrm {L} _{\rho },\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4ea28c073939ab4ed3e16e9e54f9ffff018e0f)
augmentent continuellement.
3o Je remarque que la quantité
est égale à
car, en substituant les valeurs de
et effaçant ce qui se détruit, on trouve d’abord
![{\displaystyle \mathrm {AC-B^{2}} =\nu ^{2}(l_{\rho }\mathrm {L} _{\rho -1}-l_{\rho -1}\mathrm {L} _{\rho })^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f27119af3dddc46edeafeb794b75e1b47184ad15)
mais, par la nature des fractions principales
on a (13)
![{\displaystyle l_{\rho }\mathrm {L} _{\rho -1}-l_{\rho -1}\mathrm {L} _{\rho }=\pm 1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4566762a107e647de9c8d739d7b4e6ad3559f31b)
donc
et par conséquent
![{\displaystyle \mathrm {\sqrt {B^{2}-AC}} =\nu {\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77e7bce07ba3167fa76aaccd47fdf0ae6b52afa8)
de sorte que les deux racines trouvées ci-dessus seront imaginaires et exprimées par
![{\displaystyle \mathrm {-{\frac {B}{A}}+{\frac {\nu }{A}}{\sqrt {-1}},\quad -{\frac {B}{A}}-{\frac {\nu }{A}}{\sqrt {-1}}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/456ffbb9aa36ef80f8a2e3965dd7938ff5f5f91b)
Or, puisque
est constant et que
doit aller en augmentant, il est visible qu’il arrivera nécessairement que
surpassera
et alors ces deux racines imaginaires auront les conditions énoncées plus haut ; de sorte que, quand toutes les racines imaginaires d’une équation transformée, comme
seront dans le même cas, alors
ne pourra plus devenir un minimum, ainsi que
donc, etc.
20. Corollaire IV. — Nous avons supposé, dans les Corollaires précédents, que la racine
était une des racines de l’équation
![{\displaystyle z=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34de169f3eb980843e1041d17994d960d5e6651e)
considérons maintenant le cas où elle en sera une de celles de l’équation
![{\displaystyle {\frac {dz}{dx}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46421cef2846e14b6e78cc2aef2b7c6ee9c96241)
Pour que ce cas ait lieu, il faut que cette racine réponde à
égal à un minimum ; c’est de quoi l’on pourra s’assurer aisément en examinant si
rend
et
de même signe ; si
était nul en même temps que
alors il faudrait, comme on sait, que
le fût aussi, et la condition du minimum serait que
et
fussent de même signe, et ainsi de suite.
Supposons donc qu’on ait trouvé que la racine
de l’équation
![{\displaystyle {\frac {dz}{dx}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23fc8c371630611a93989d854e8010b5da2847fa)
rend
égal à un minimum, et soit cette valeur de
égale à
je dis qu’on ne pourra jamais prendre dans l’équation (F) le nombre
plus grand que
car nous avons vu (16) qu’il faut qu’en faisant
on ait
Or je vais prouver que
ne pourra jamais être plus petit que
En effet, supposons qu’il existe une valeur de
et de
telle, que
rende
et, comme
rend
égal à un minimum, la valeur de
ne fera que diminuer depuis
jusqu’à
(numéro cité) ; mais on a, lorsque
donc il faut que
soit plus grand que
ou au moins ne soit pas moindre que
donc on ne saurait avoir
ou
et de là
abstraction faite des signes de
et de ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
Donc, puisqu’on ne peut prendre pour les nombres
et
que les numérateurs et les dénominateurs des fractions des séries (D) ou (E) convergentes vers la racine
(numéro cité), il suffira d’essayer dans l’équation (F), pour
et
les termes des fractions dont les dénominateurs ne surpasseront pas le nombre
de sorte que dans ce cas le nombre des où
est une racine de l’équation
![{\displaystyle z=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/463359fa7c7563dc29f2079e63195b0035f1ab5a)
comme nous l’avons vu plus haut.
De là on voit aussi rue les rs racines de l’équation
![{\displaystyle {\frac {dz}{dx}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23fc8c371630611a93989d854e8010b5da2847fa)
ne peuvent jamais fournir qu’un nombre de solutions limité ; tandis que les racines de l’équation
![{\displaystyle z=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b92bfc06485cc90286474b14a516a68d8bfdd7b3)
peuvent en fournir une infinité.
Or, lorsque l’équation
![{\displaystyle z=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b92bfc06485cc90286474b14a516a68d8bfdd7b3)
n’a que des racines imaginaires, l’équation
![{\displaystyle {\frac {dz}{dx}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23fc8c371630611a93989d854e8010b5da2847fa)
aura nécessairement des racines répondantes à des minimums, et l’on ne pourra prendre pour
que ces mêmes racines ; donc, dans ce cas, l’équation (F) ne pourra jamais avoir qu’un nombre limité de solutions.
21. Scolie. — Si la quantité
avait un diviseur rationnel tel que
![{\displaystyle px^{m}+qx^{m-1}+rx^{x-2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4892686e6b65975284ba2d67a19cebc6cb41a890)
et que le quotient fût
![{\displaystyle \varpi x^{n-m}+\chi x^{n-m-1}+\rho x^{n-m-2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f730e0f8e260cb1e5f038da523f70dea2312876f)
et
étant des nombres entiers, alors il est clair que
le premier membre de l’équation (F) se décomposerait aussi en ces deux facteurs
![{\displaystyle {\begin{aligned}&pu^{m}+qu^{m-1}y+ru^{m-2}y^{2}+\ldots ,\\&\varpi u^{m-m}+\chi u^{n-m-1}y+\rho u^{n-m-2}y^{2}+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b8e9294192dbe072b28e8f039257d912b10087c)
de sorte que, comme chacun de ces facteurs est égal à un nombre entier et que leur produit doit être égal à l’unité, il faudra que chacun d’eux en particulier soit égal à
ainsi l’on aura deux équations par lesquelles on pourra déterminer les deux inconnues
et
et, si les valeurs de ces inconnues se trouvent égales à des nombres entiers, on aura la solution de l’équation proposée ; sinon il en faudra conclure que cette équation n’est pas résoluble en nombres entiers.
Donc, lorsque, parmi les racines de l’équation
![{\displaystyle z=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/463359fa7c7563dc29f2079e63195b0035f1ab5a)
il s’en trouvera une qui donnera une fraction continue finie ou périodique, on pourra trouver les nombres
et
sans aucun tâtonnement ; car dans le premier cas l’équation aura un diviseur d’une dimension, et dans le second cas elle en aura un de deux dimensions (voyez le § II des Additions au Mémoire sur la résolution des équations numériques).
Problème III.
22. Résoudre en nombres entiers l’équation
![{\displaystyle \mathrm {A} =\mathrm {B} t^{n}+\mathrm {C} t^{n-1}u+\mathrm {D} t^{n-2}u^{2}+\ldots +\mathrm {K} u^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/084c6d5859feee0243b1964bdb999c5658b12eea)
étant des nombres entiers donnés, et
étant deux indéterminées qui doivent être aussi des nombres entiers.
Il est d’abord évident que, si les nombres
avaient un diviseur commun à tous, ce diviseur devrait l’être aussi du nombre
pour que les nombres
et
pussent être entiers, et alors il s’en irait de lui-même par la division actuelle ; ainsi l’on peut toujours supposer que les nombres
n’ont aucun diviseur commun.
De plus, si les nombres
et
avaient un commun diviseur
il est clair que le second membre de l’équation proposée serait tout divisible par
donc il faudrait que le premier
le fût aussi : d’où l’on voit que ce cas ne peut avoir lieu à moins que le nombre
ne soit divisible par une puissance
d’un nombre quelconque ; si cela n’est pas, on sera sûr que les nombres cherchés
et
seront nécessairement premiers entre eux. C’est ce qui arrivera toujours lorsque
sera un nombre premier ; mais, lorsque
est un nombre composé, il faudra voir d’abord si, parmi ses diviseurs, il en a quelqu’un qui soit une puissance
ième. Supposons que
soit ce diviseur, alors les nombres
et
pourront être ou premiers entre eux ou divisibles l’un et l’autre par
ce qui formera deux cas qu’il faudra traiter séparément ; dans le second cas on fera
![{\displaystyle t=rt',\quad u=ru'\quad {\text{et}}\quad \mathrm {A} =r^{n}\mathrm {A} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f77242a20f6beff0c9108b8d25e510ef1baeb57)
et, substituant ces valeurs, on aura, après avoir divisé toute l’équation par
une nouvelle équation en
et
dans laquelle ces nombres seront premiers entre eux. Ainsi l’on peut toujours ramener l’équation proposée au cas où les deux indéterminées sont des nombres premiers entre eux.
Supposons donc l’équation proposée déjà réduite à cet état, et il pourra encore arriver que le nombre
ait un diviseur commun avec le nombre
supposons que
soit le plus grand diviseur commun de
et
il est clair qu’il faudra que le terme
qui est sans
soit divisible par
mais
ne saurait l’être parce qu’il est premier à
(hypothèse) ; donc il faudra que
le soit ; donc
devra être un diviseur commun de
et
Ainsi, si
et
sont premiers entre eux, on sera assuré que
et
le seront aussi. Mais, si
et
ont un commun diviseurs, alors
pourra être multiple de
ou non ; ce qui fera deux cas qu’il faudra considérer séparément ; dans le premier on fera
![{\displaystyle u=su'\quad {\text{et}}\quad \mathrm {A} =s\mathrm {A} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c638d4fd62ee8f4603ae088f8f592e279c5ba7e)
et l’on aura une transformée qui sera toute divisible par
et où
et
seront premiers entre eux ; dans le second cas
et
seront déjà premiers entre eux.
De cette manière, l’équation à résoudre sera toujours réduite à la forme et à l’état de l’équation (A) du Problème I ; et par conséquent elle sera susceptible de la méthode de ce Problème. On commencera donc, suivant cette méthode, par chercher une valeur de
positive ou négative, mais moindre que
laquelle rende la quantité
![{\displaystyle \mathrm {B} t^{n}+\mathrm {C} t^{n-1}+\mathrm {D} t^{n-2}+\ldots +\mathrm {K} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f965c4825c7d931e85a3743962666c607f9ecb61)
divisible par
et si, parmi les nombres entiers moindres que
pris positivement et négativement, on n’en trouve aucun de cette qualité ; on en conclura sur-le-champ que l’équation dont il s’agit n’admet aucune solution en nombres entiers (6) ; mais, si l’on en trouve un ou plusieurs qui aient la qualité requise, on nommera chacun de ces nombres
et l’on substituera dans l’équation proposée
à la place de
moyennant quoi elle deviendra divisible par
et, la division faite, elle se trouvera dans le cas de l’équation (F) du Problème II ; ainsi il n’y aura plus qu’à y appliquer la méthode de ce dernier Problème.
23. Scolie. — Il est bon de remarquer que le premier membre de l’équation (H), que nous avons supposé égal à
(16), peut s’exprimer ainsi
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {B} (\theta x-\mathrm {A} )^{n}+\mathrm {C} (\theta x-\mathrm {A} )^{n-1}x+\mathrm {D} (\theta x-\mathrm {A} )^{n-2}x^{2}+\ldots +\mathrm {K} x^{n}}{\mathrm {A} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1dd02d01c759af303e6cebe7851c48873f2e823)
d’où l’on voit que les racines de l’équation
![{\displaystyle z=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b92bfc06485cc90286474b14a516a68d8bfdd7b3)
dépendent de celles de l’équation
![{\displaystyle \mathrm {B} t^{n}+\mathrm {C} t^{n-1}+\mathrm {D} t^{n-2}+\ldots +\mathrm {K} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dab60880b985388361e2abd68d6da5f2e21228ab)
de sorte que, par cette équation, on pourra juger d’abord de la nature des racines de l’équation
![{\displaystyle z=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b92bfc06485cc90286474b14a516a68d8bfdd7b3)
qui est souvent plus compliquée ; car si
sont les racines de
l’équation en
![{\displaystyle t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea3ad87830a1055c7b85c04cf940cfd3b847ae6)
celles de l’équation
![{\displaystyle z=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b92bfc06485cc90286474b14a516a68d8bfdd7b3)
seront
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {A} }{\theta -t'}},\quad {\frac {\mathrm {A} }{\theta -t''}},\quad {\frac {\mathrm {A} }{\theta -t'''}},\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbd46a22974e319515cd96b7397163764d163fc6)
d’où l’on voit qu’il y aura dans l’une et dans l’autre le même nombre de racines réelles et d’imaginaires.
Mais, quant aux maximum et minimum de la quantité
ils ne correspondent pas à ceux de la quantité
![{\displaystyle \mathrm {B} t^{n}+\mathrm {C} t^{n-1}+\mathrm {D} t^{n-2}+\ldots +\mathrm {K} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abd66b65d64812404b6c4846ef07d098942cf1f5)
comme il est facile de le voir ; de sorte qu’il faudra absolument les déterminer par l’équation
![{\displaystyle {\frac {dz}{dx}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46421cef2846e14b6e78cc2aef2b7c6ee9c96241)
Problème IV.
24. On propose de résoudre en nombres entiers l’équation du premier degré
![{\displaystyle \mathrm {A} =\mathrm {B} t-\mathrm {C} u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b579a691da20a321eec7f953654bcd62577ed7fa)
Je suppose d’abord que
et
n’aient aucun diviseur commun (Problème III) ; or,
et
pouvant avoir un commun diviseur
soient
et
et
étant maintenant premiers entre eux, et l’équation proposée pourra se ramener sur-le-champ à celle-ci (4)
![{\displaystyle 1=\mathrm {B} r-\mathrm {C} 's,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fdfb41952d246c380929bd6ae87f6b9acc57d5a)
dont il suffira même de connaître une seule solution.
Or, cette équation étant dans le cas du Problème II, on aura (en faisant
),
![{\displaystyle \mathrm {B} x-\mathrm {C} '=z\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b2a6896e9644255a8d209d3ea3b4fca40a6b1d4)
et, comme
donne
on aura ici une seule valeur de
qui
sera
![{\displaystyle \mathrm {\frac {C'}{B}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/104fb36a1af79f5fd5c085c680949235e2f50d80)
en prenant
![{\displaystyle \mathrm {C} '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e90193fb6caeda273f5bfd75991cb1f23f1aa8b)
et
![{\displaystyle \mathrm {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93003d072991ba424a73ed1e081afe55c124b6ce)
positivement ; donc (18) on sera sûr de trouver les valeurs de
![{\displaystyle r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
et
![{\displaystyle s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632)
parmi les termes d’une des fractions principales convergentes vers
![{\displaystyle \mathrm {\frac {C'}{B}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/669442df00a4b466b582c680186df6a2cb7adb0f)
or, cette fraction étant rationnelle et réduite déjà à ses moindres termes, sera nécessairement la dernière des fractions principales de la série (C) (11) ; donc, si
![{\displaystyle {\frac {l_{\rho }}{\mathrm {L} _{\rho }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0766b3df9c5c2251e8e20ed7378873a751e6cfa)
est l’avant-dernière fraction de la même série, on aura (13)
![{\displaystyle \mathrm {C'L_{\rho }-B} l_{\rho }=\pm 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f632be0c05f51a65588f3ff03e6e5809dee94f0f)
le signe supérieur étant pour le cas où le quantième
est impair, et l’inférieur pour celui où
est pair ; ainsi il n’y aura qu’à prendre
![{\displaystyle r=\mp l_{\rho }\quad {\text{et}}\quad s=\mp \mathrm {L} _{\rho }\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f396a6bd247fe3bb730894c5ff0f2a3472d951a2)
si l’un des nombres
ou tous les deux étaient négatifs, on les regarderait comme positifs, et l’on prendrait
ou
ou tous les deux, avec des signes contraires.
Ayant ainsi trouvé des valeurs particulières de
et
on aura, pour les valeurs générales de
et
(4),
![{\displaystyle t=\mathrm {A} r+m\mathrm {C} ,\quad u=\mathrm {A} 's+m\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ea38452eed5a758f7fc6e670b62ecbb351961b8)
étant un nombre quelconque entier positif ou négatif.
25. Corollaire. — Le principal usage de ce Problème est pour résoudre les questions où l’on demande de trouver un nombre qui, étant divisé par autant de nombres donnés qu’on voudra, laisse des restes aussi donnés ; car, soient,
les diviseurs donnés,
les restes, et
les quotients inconnus, il est clair que le nombre cherché devra être exprimé également par
![{\displaystyle at+\alpha ,\quad bu+\beta ,\quad cx+\gamma ,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48bfb347d8cec1b4b44a407e9716c4c73d60482a)
ce qui donnera autant d’équations qu’il y aura de diviseurs donnés, moins un.
On aura donc d’abord l’équation
![{\displaystyle at+\alpha =bu+\beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3137093a21fd2181f1a14fa73f78eb16c23aa791)
laquelle se réduit à celle du Problème précédent en faisant
![{\displaystyle \mathrm {A} =\beta -\alpha ,\quad \mathrm {B} =a,\quad \mathrm {C} =b\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c35218a1c550a0463ef73a550cc8d21e840e38aa)
ainsi l’on trouvera l’expression générale de
et ![{\displaystyle u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd5636410da69bac33da075162221527401793c)
La seconde équation sera
![{\displaystyle at+\alpha =cx+\gamma \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a409ca036293c8f664a4aa4dba57a0f84337b0c1)
or
![{\displaystyle t=\mathrm {A} r+\mathrm {C} m,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bace6d0a9ed3ab9fbc95cd5dbaaf5bf6b40ec746)
où
et
sont donnés et
est un nombre indéterminé ; donc on aura, en substituant,
![{\displaystyle a\mathrm {C} m+a\mathrm {A} r+\alpha =cx+\gamma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c681c336a1b2aa86765404424bcb0a2b7570a725)
équation qu’on résoudra comme la précédente, en regardant
et
comme indéterminés, et le reste comme donné.
Et ainsi de suite.
26. Scolie. — Pour réduire en fraction continue toute fraction rationnelle telle que
il n’y a qu’à pratiquer sur cette fraction la même opération qu’on emploie pour trouver le plus grand commun diviseur de
et
c’est-à-dire qu’on divisera
par
par le reste de la première division, ce reste par celui de la seconde, et ainsi de suite, jusqu’à ce que la division se fasse exactement, et les quotients de ces différentes divisions seront les nombres
de la fraction continue cherchée (11), à l’aide desquels on formera les fractions
par les formules du même article.
M. Bachet est, comme nous l’avons déjà remarqué, le premier qui ait résolu le Problème précédent ; sa méthode, quoique indépendante des fractions continues, revient cependant au même pour le fond que celle que nous venons d’exposer ; et, en général, toutes celles que d’autres Géomètres ont imaginées après lui se réduisent aux mêmes principes.
Exemple I.
27. On demande tous les nombres entiers qui peuvent être pris pour
et
dans l’équation
![{\displaystyle 101=41t-105u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9521bf4db369780b8325ce59a61e95e7dde8915)
Puisque les nombres
et
sont premiers entre eux, l’équation est résoluble et n’a besoin d’aucune réduction.
On fera donc
![{\displaystyle \mathrm {A=101,\quad B=41,\quad C=105} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cae550ec23cb6b86a9f7547f4c8e34c34e844f16)
et comme
et
sont aussi premiers entre eux, on aura
![{\displaystyle \mathrm {D=1,\quad A'=A,\quad C'=C} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12a1292384c7ff8479e224a67b35a40333a224bf)
donc la fraction à réduire en fraction continue sera
![{\displaystyle \mathrm {\frac {C}{B}} ={\frac {105}{41}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/210c3f5ab44f1f54d66234d39eb1acf8b240390e)
Divisant donc
par
on aura le quotient
et le reste
divisant
par
on aura, etc. Ainsi l’on aura cette suite de quotients ![{\displaystyle 2,1,1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/169e0880fd8375ace727c5251609940a2a3885bc)
lesquels donneront les fractions principales
![{\displaystyle 2,\quad 1,\quad 1,\quad 3,\quad 1,\quad 1,\quad 2,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ff2dc8ad64f51b8177346a7d2f4e911e700f6c9)
![{\displaystyle {\frac {0}{1}},\quad {\frac {1}{0}},\quad {\frac {2}{1}},\quad {\frac {3}{1}},\quad {\frac {5}{2}},\quad {\frac {18}{7}},\quad {\frac {23}{9}},\quad {\frac {41}{16}},\quad {\frac {105}{41}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/743f3dbd646c9bb56dfd4f4ac322e9f09480321a)
Ainsi la fraction
sera celle que nous avons désignée par
où
sera
et par conséquent pair, de sorte qu’on aura
![{\displaystyle r=41,\quad s=16,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bddc18eead978194282213acb5dadc04f2afdb9)
et de là
![{\displaystyle t=101\times 41+105m,\quad u=101\times 16+41m,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4176d7254aca4d2eb7ffc4fa26788f988689115a)
où
pourra être un nombre quelconque entier positif ou négatif ; et ces expressions renfermeront toutes les valeurs entières de
et de
qui peuvent satisfaire à l’équation proposée.
Problème V.
28. Résoudre en nombres entiers l’équation
(I)
|
|
|
Supposons cette équation déjà réduite à Pétât qu’exige notre méthode, c’est-à-dire que
n’aient aucun diviseur commun, et que
et
soient premiers entre eux (Problème III). On cherchera d’abord un nombre entier, positif ou négatif, mais moindre que
lequel étant pris pour
rende la quantité
divisible par
Si l’on n’en trouve aucun de cette qualité, il en faudra conclure que la proposée n’admet point de solution en nombres entiers ; mais, supposons que l’on en ait trouvé un ou plus d’un qui ait la condition requise, on les désignera par
et l’on fera les mêmes opérations sur chacun d’eux en les prenant successivement à la place de
Or, comme les racines de l’équation
![{\displaystyle z=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b92bfc06485cc90286474b14a516a68d8bfdd7b3)
dépendent (23) de celles de l’équation
![{\displaystyle \mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} t+\mathrm {D} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae1576221f845c07055e68b91b69419500ee31fc)
il se présente ici deux cas qu’il faut examiner séparément ; l’un est celui où cette équation a deux racines réelles, l’autre celui où elle a deux racines imaginaires, à quoi l’on peut ajouter un troisième cas, pour les racines égales.
29. Premier cas, lorsque
— Qu’on substitue dans l’équation proposée
à la place de
et la divisant ensuite par
elle deviendra celle-ci
(K)
|
|
|
où
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} =&\mathrm {\frac {B\theta ^{2}+C\theta +D}{A}} ,\\\mathrm {Q} =&-2\mathrm {B\theta -C} ,\\\mathrm {R} =&\mathrm {AB} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd947625f340bcd33e1672a2b6bb4d1a0066e08e)
de sorte qu’on aura (16)
![{\displaystyle \mathrm {P} x^{2}+\mathrm {Q} x+\mathrm {R} =z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6af638b7460f3b824485683bb2d3dcec933cc6e)
Maintenant, comme l’équation
![{\displaystyle z=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b92bfc06485cc90286474b14a516a68d8bfdd7b3)
n’est ici que du second degré, elle aura toutes ses racines réelles, parce que nous supposons que celles de l’équation en
le sont ; donc on aura le cas du no 18 ; de sorte qu’il n’y aura qu’à former les équations transformées
![{\displaystyle z_{1}=0,\quad z_{2}=0,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a1dc6fe0c9fad73f60edab957cac1bda539573c)
et voir si l’on en trouve une où le coefficient du premier terme soit égal à l’unité prise positivement, à cause qu’on a ici ![{\displaystyle n=2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a3701d87dff1aefe4e8ba56ae4d3952b93d57e9)
Or, les racines de l’équation
![{\displaystyle z=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b92bfc06485cc90286474b14a516a68d8bfdd7b3)
seront rationnelles ou non, selon que le nombre
![{\displaystyle \mathrm {Q^{2}-4PR=C^{2}-4BD} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5c3e7fc751544cbdf5494d1437f869a09456c8b)
sera un carré ou non.
Dans le premier cas, la quantité
sera composée de deux facteurs rationnels du premier degré, de sorte qu’on aura le cas du no 21, qui est très-facile à résoudre.
Il n’en est pas de même de l’autre cas où
n’est pas carré, et où par conséquent les racines sont incommensurables ; il faudra donc dans ce cas réduire les racines en fractions continues, et pour cela on pourra se servir de la méthode que nous avons donnée dans la Remarque II du § II des Additions au Mémoire sur la résolution des équations numériques.
Pour pouvoir employer cette méthode, nous réduirons d’abord la quantité
à la forme
![{\displaystyle \mathrm {E} _{1}x^{2}-2\varepsilon x-\mathrm {E} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/060e71f450e73f64642076060e02ab52900b14d5)
en faisant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {E} \,\ =&-\mathrm {R=-AB} ,\\\mathrm {E} _{1}=&\mathrm {P} =\mathrm {\frac {B\theta ^{2}+C\theta +D}{A}} ,\\\varepsilon \ \ =&-\mathrm {{\frac {Q}{2}}=B\theta +{\frac {C}{2}}} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/febdeec29c52b9820eefbd8b8df215e0bb51de9b)
en sorte que l’équation à résoudre soit
![{\displaystyle \mathrm {E} _{1}x^{2}-2\varepsilon x-\mathrm {E} =z=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5667c5b1c0204cfd3edef4b5cfc9b9f1fe920fbd)
sur quoi il faut remarquer que
et
seront toujours des nombres entiers, mais que
ne le sera que lorsque
sera divisible par
ainsi, pour que
soit aussi toujours entier, comme la méthode le demande, dans le cas où
sera un nombre impair, on aura soin de multiplier d’avance toute l’équation (I) par
ce qui ne la change point, c’est-à-dire qu’on mettra partout dans les formules précédentes ![{\displaystyle \mathrm {2A,2B,2C,} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2192a2707f5362b0ac145f5033c041c538bb2bac)
à la place de ![{\displaystyle \mathrm {A,B,C,D} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/416fd58d1eb65e3648e3b43e4a72ad3ece4cf01a)
Maintenant, comme l’équation
![{\displaystyle z=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b92bfc06485cc90286474b14a516a68d8bfdd7b3)
a les deux racines
![{\displaystyle x={\frac {\varepsilon \pm {\sqrt {\beta }}}{\mathrm {E} _{1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bf5b818c0143cf4066233b3e349256d0d19307b)
en faisant
![{\displaystyle \beta =\varepsilon ^{2}+\mathrm {EE_{1}=\left({\frac {C}{2}}\right)^{2}-BD} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40b4e61437f6b9cb8d910f657a9aaf44d166daf4)
(je désigne ici par
ce que j’ai appelé
dans l’endroit cité), il faudra les considérer successivement et faire la même opération sur l’une que sur l’autre.
Supposons que
![{\displaystyle {\frac {\varepsilon +{\sqrt {\beta }}}{\mathrm {E} _{1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e099a65f5c96a41d1b3918acd9cf59558355ed9e)
désigne en général une quelconque de ces deux racines (le radical ![{\displaystyle {\sqrt {\beta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b20bc89489c3ae7498cca096d837f954a2aed988)
pouvant être positif ou négatif) ; si elle était négative, il faudrait d’abord la rendre positive en prenant
![{\displaystyle \varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173)
et
![{\displaystyle {\sqrt {\beta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b20bc89489c3ae7498cca096d837f954a2aed988)
avec des signes contraires, après quoi on changerait aussi le signe du nombre
![{\displaystyle u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8)
(16) ; regardant donc
![{\displaystyle {\frac {\varepsilon +{\sqrt {\beta }}}{\mathrm {E} _{1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e099a65f5c96a41d1b3918acd9cf59558355ed9e)
comme positive, on formera d’après cette racine les trois séries suivantes, où le signe
dénote qu’il faut toujours prendre le nombre entier qui est immédiatement au-dessous.
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathrm {E} _{1}&={\frac {\beta -\varepsilon ^{2}}{\mathrm {E} }},&\lambda _{1}&<{\frac {\varepsilon +{\sqrt {\beta }}}{\mathrm {E} _{1}}},&\varepsilon _{1}&=\lambda _{1}\mathrm {E} _{1}-\varepsilon ,\\\mathrm {E} _{2}&={\frac {\beta -\varepsilon _{1}^{2}}{\mathrm {E} _{1}}},&\lambda _{2}&<{\frac {\varepsilon _{1}+{\sqrt {\beta }}}{\mathrm {E} _{2}}},&\varepsilon _{2}&=\lambda _{2}\mathrm {E} _{2}-\varepsilon _{1},\\\mathrm {E} _{3}&={\frac {\beta -\varepsilon _{2}^{2}}{\mathrm {E} _{2}}},\qquad &\lambda _{3}&<{\frac {\varepsilon _{2}+{\sqrt {\beta }}}{\mathrm {E} _{3}}},\qquad &\varepsilon _{3}&=\lambda _{3}\mathrm {E} _{3}-\varepsilon _{2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d5ce8618a85720d9cd3553545bec60a38e35297)
Ces séries doivent être poussées jusqu’à ce que deux termes correspondants comme
et
reparaissent ensemble, en sorte que l’on ait, par exemple,
![{\displaystyle \mathrm {E} _{\mu +\nu }=\mathrm {E} _{\mu },\quad \varepsilon _{\mu +\nu }=\varepsilon _{\mu },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f23228b8610310f59ef521f1299ccd2ee29a1cf)
car alors tous les termes suivants dans chacune des trois séries seront les mêmes que ceux qu’on aura déjà trouvés, en sorte qu’en général les termes qui auraient pour exposant
(
étant un nombre entier positif quelconque) seront égaux aux termes des mêmes séries dont l’exposant serait ![{\displaystyle \mu +\varpi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/442e5b7865eab6470776e3ac4ced141759ef5b28)
Maintenant nous avons vu, dans l’endroit cité, que les équations transformées sont
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {E} _{2}x_{1}^{2}-2\varepsilon _{1}x_{1}-\mathrm {E} _{1}&=0,\\\mathrm {E} _{3}x_{2}^{2}-2\varepsilon _{2}x_{2}-\mathrm {E} _{2}&=0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05b793da9eab6b952fa244372b1604aa0aa1556b)
où il faut remarquer que nous avons supposé que les signes de chaque
transformée étaient changés ; d’où il s’ensuit qu’on aura ici
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {E} _{1}x^{2}-2\varepsilon \ \,x\ \ -\mathrm {E} \ \ &=z,\\\mathrm {E} _{2}x_{1}^{2}-2\varepsilon _{1}x_{1}-\mathrm {E} _{1}&=-z_{1},\\\mathrm {E} _{3}x_{2}^{2}-2\varepsilon _{2}x_{2}-\mathrm {E} _{2}&=z_{2},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fffcedcba8b4d2342df8c92a44487bdd8d23e4ac)
et en général
![{\displaystyle \mathrm {E} _{\rho +1}x_{\rho }^{2}-2\varepsilon _{\rho }x_{\rho }-\mathrm {E} _{\rho }=\pm z_{\rho },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f6675fad628eb6beff4c385f9112abcdb23be65)
le signe supérieur étant pour le cas où
est impair, et l’inférieur pour le cas de
pair.
Donc, pour que l’équation proposée (K), c’est-à-dire
![{\displaystyle \mathrm {E} _{1}u^{2}-2\varepsilon uy-\mathrm {E} y^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b14e5fb892ac1ee0261c748376a0b007f7aa3c64)
puisse se résoudre en nombres entiers, il faudra (18) que dans la suite des nombres
il se trouve un terme comme
lequel soit égal à
en prenant le signe supérieur lorsque
est impair, et l’inférieur lorsque
est pair, et alors on aura, si la racines était positive,
![{\displaystyle u=\pm l_{\rho },\quad y=\pm \mathrm {L} _{\rho },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e39c215c01871406e572a074627d672594f558b)
et si elle était négative, en sorte qu’on ait pris
avec un signe contraire,
![{\displaystyle u=\mp l_{\rho },\quad y=\pm \mathrm {L} _{\rho }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/944e496d30f34111c970e981eeb98def4866c12b)
30. Corollaire I. — Donc, puisqu’on a en général
![{\displaystyle \mathrm {E} _{\mu +n\nu +\varpi }=\mathrm {E} _{\mu +\varpi },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0181bc9fa68e5b57579e0b266f1700be98483915)
quel que soit le nombre
pourvu qu’il soit entier positif, il s’ensuit :
1o Que si, dans toute la série
jusqu’à
il ne se trouve aucun terme qui soit égal à l’unité, on en doit conclure que l’unité ne paraîtra jamais dans la même suite poussée à l’infini, et qu’ainsi la racine qui a donné cette suite ne fournira aucune solution en nombres entiers de l’équation proposée ;
2o Que si, dans la suite
jusqu’à
il se trouve un ou plusieurs termes tels que
(
étant plus petit que
) qui soient égaux à l’unité positive ou négative, suivant que
sera impair ou pair, alors chacun de ces termes donnera une solution de l’équation (K) ; mais nous démontrerons plus bas (34 vers la fin) que ce cas ne saurait jamais avoir-lieu ;
3o Que, si dans la suite
jusqu’à
il se trouve un ou plusieurs termes tels que
(
étant plus petit que
) qui soient égaux à l’unité positive ou négative, alors chacun de ces termes, ou donnera une infinité de solutions de l’équation (K), ou n’en donnera aucune.
Car il est clair que le même terme
reparaîtra une infinité de fois dans la même série aux places
ième,
ième, …, et en général dans chaque place
ième ; or, il faut ici distinguer deux cas, suivant que le nombre
qui exprime le nombre des termes de chaque période sera pair ou impair.
Supposons premièrement
pair ; en ce cas il est clair que, quelque valeur qu’on donne à
les nombres
seront tous également pairs ou impairs ; de sorte que, si le terme
est égal à
lorsque
est impair, et égal à
lorsque
est pair, tous les termes suivants dont l’exposant du rang sera
seront aussi de la même qualité, et par conséquent chacun de ces termes pourra fournir une solution de l’équation dont il s’agit. Ainsi l’on pourra faire dans ce cas
![{\displaystyle \rho =\mu +n\nu +\varpi -1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8378266ccdc660d15f310556fd8830d0ca243be)
et prendre pour
tel nombre entier positif qu’on voudra. Si au contraire le terme
était égal à
lorsque
est pair, ou égal à
lorsque
est impair, alors ni ce terme, ni aucun des suivants dont l’exposant serait
ne saurait fournir de solution de l’équation proposée.
Supposons en second lieu que
soit impair : alors il est visible que les nombres
seront tous de même espèce (c’est-à-dire pairs ou impairs) que le nombre
lorsque
sera pair, et qu’au contraire ils seront d’espèce differente lorsque
sera impair. Donc, si le terme
est égal à
lorsque
est impair, ou égal à
lorsque
est pair, parmi tous les termes qui auront
pour exposant, il n’y aura que ceux où
sera pair qui seront de la même qualité, et qui pourront par conséquent donner des solutions de l’équation (K). Ainsi l’on fera dans ce cas, comme ci-dessus
![{\displaystyle \rho =\mu +n\nu +\varpi -1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8378266ccdc660d15f310556fd8830d0ca243be)
mais il ne faudra prendre pour
que des nombres positifs pairs. Au contraire, si le terme est égal à
étant pair, ou égal à
étant impair, alors tous les termes qui auront
pour exposant, et où
sera impair, seront égaux à
lorsque l’exposant sera pair, et à
lorsqu’il sera impair ; ainsi, ces termes ayant la qualité requise pour la solution de l’équation, on pourra encore prendre en général
![{\displaystyle \rho =\mu +n\nu +\varpi -1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8378266ccdc660d15f310556fd8830d0ca243be)
pourvu que
ne dénote que des nombres entiers positifs impairs. Au reste, ce cas peut aussi se ramener au précédent en prenant le terme
au lieu du terme
car il est évident que le terme dans ce cas sera égal à
ou à
selon que son exposant sera impair ou pair.
En général, le cas de
impair peut se réduire à celui de
pair, car pour cela il n’y aura qu’à continuer la série
jusqu’au terme
et ensuite prendre
à la place de
tout le reste demeurant le même.
Connaissant ainsi l’exposant
on pourra trouver les valeurs de
et
d’où dépendent celles de
et
(numéro précédent) par les formules du no 11 ; pour cela, il faudra continuer la série des nombres
jusqu’au terme
ce qui est facile ; car on aura
![{\displaystyle \lambda _{\mu +\varpi +1}=\lambda _{\mu +1},\quad \lambda _{\mu +\varpi +2}=\lambda _{\mu +2},\ldots \quad \mathrm {et\ en\ g{\acute {e}}n{\acute {e}}ral} \quad \lambda _{\mu +n\nu +\varpi }=\lambda _{\mu +\varpi }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e385b969639140db280a22b44679d9d9c8de054)
Mais, quand on aura une fois calculé les nombres ![{\displaystyle l_{1},l_{2},l_{3},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d673fd28dfd23e74a15b24aff68f73ee4ea266f8)
jusqu’à
on pourra trouver les expressions générales de
et de
en supposant comme ci-dessus
car il n’y aura qu’à employer les formules données dans le no 44 des Additions citées, en ayant attention de mettre dans ces formules
à la place de
parce que nous y avons supposé
31. Corollaire II. — Maintenant, ayant trouvé
et
on aura
par la formule
![{\displaystyle t=\theta u-\mathrm {A} y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75ca8e0620a39922c9bf74cf521f80c12807f23e)
ainsi l’on connaîtra les deux inconnues
et
de l’équation proposée (I).
Or, lorsque la racine
est positive, on a (29)
![{\displaystyle u=\pm l_{\rho },\quad y=\pm \mathrm {L} _{\rho },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e39c215c01871406e572a074627d672594f558b)
et, lorsqu’elle est négative, il faut prendre
et
avec des signes contraires. De plus, on a en général (no 45 des mêmes Additions déjà citées)
![{\displaystyle \mathrm {L} _{\rho }={\frac {l_{\rho }(\varepsilon _{\rho }-\varepsilon )+l_{\rho -1}\mathrm {E} _{\rho +1}}{\mathrm {E} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46c21fe971a4869d197772183b1e851847b5f784)
Donc, puisque (29)
![{\displaystyle \mathrm {E=-AB\quad {\text{et}}\quad \varepsilon =B\theta +{\frac {C}{2}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83289bd8faddc2218e3dad84dfb2688de4c4b5bb)
si l’on fait, pour abréger,
![{\displaystyle g_{\rho }=l_{\rho }\varepsilon _{\rho }+l_{\rho -1}\mathrm {E} _{\rho +1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd7820e0bcd99d107affb16706d28204d61d2928)
on aura, dans le cas de la racine
positive,
![{\displaystyle u=\pm l_{\rho },\quad t=\pm {\frac {g_{\rho }-{\cfrac {\mathrm {C} }{2}}l_{\rho }}{\mathrm {B} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/800d80f3e30f79d66cc1a4ec11ab67d2c9ec0a17)
et, dans le cas de la racine
négative,
![{\displaystyle u=\mp l_{\rho },\quad t=\pm {\frac {g_{\rho }+{\cfrac {\mathrm {C} }{2}}l_{\rho }}{\mathrm {B} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a005b09753648d90c73cbd54eb2ef8229c602ea)
Ces formules sont surtout très-commodes pour trouver les premières va-
leurs de
![{\displaystyle t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560)
et
![{\displaystyle u\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1253d6a9c0511db1f5afadf2f736e7030c6b66e9)
car, dès que dans la série
![{\displaystyle \mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f42f13ecc75d45f8aeb84b8e23815fa12c748fca)
on sera parvenu à un terme
![{\displaystyle \mathrm {E} _{\rho +1}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/339f7102e729ce21507b432f315db9292e1c647a)
ou
![{\displaystyle -1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a4fc060b181efc0730a7633597ba96a3215dbaa)
selon que
![{\displaystyle \rho }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f7d439671d1289b6a816e6af7a304be40608d64)
sera pair ou impair, il n’y aura plus qu’à calculer les valeurs de
![{\displaystyle l,l_{1},l_{2},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c5c83aa9e6f93cf6d98d351c93099f2abd2d379)
jusqu’à
![{\displaystyle l_{\rho }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14b8a19899f81604a4f6b13ac430122f42b379c6)
et l’on aura sur-le-champ les valeurs cherchées de
![{\displaystyle t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560)
et
Mais, si l’on veut avoir les expressions générales de
et
alors il faudra calculer encore les nombres
jusqu’à
par les formules suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {H} \ \ &=0,\\\mathrm {H} _{1}&=1,\\\mathrm {H} _{2}&=\lambda _{\mu +2}\mathrm {H} _{1},\\\mathrm {H} _{3}&=\lambda _{\mu +3}\mathrm {H_{2}+H_{1}} ,\\\mathrm {H} _{4}&=\lambda _{\mu +4}\mathrm {H_{3}+H_{2}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc00905dd8f0eb54e511f52445b707db809df9b4)
et faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&f_{\mu }={\frac {l_{\mu }\varepsilon _{\mu }}{\mathrm {E} _{\mu +1}}}+l_{\mu -1},\\&\mathrm {K_{\nu }={\frac {H_{\nu }\varepsilon _{\mu }}{E_{\mu +1}}}+H_{\nu -1}} ,\\&\mathrm {G_{\varpi -1}=H_{\varpi -1}\varepsilon _{\mu +\varpi -1}+H_{\varpi -2}E_{\mu +\varpi }} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0a0d6dd7cc0f8f9ea6d74211d3c192c4c978d07)
on aura, par l’une des formules du no 44 des Additions citées,
![{\displaystyle \left(f_{\mu }+{\frac {l_{\mu }{\sqrt {\beta }}}{\mathrm {E} _{\mu +1}}}\right)\mathrm {\left(G_{\varpi -1}+H_{\varpi -1}{\sqrt {\beta }}\right)} \mathrm {\left(K_{\nu }+{\frac {H_{\nu }{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +1}}}\right)} =g_{\rho }+l_{\rho }{\sqrt {\beta }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b8beb1752a55795b8b81b041db613cf614b2d99)
ou bien, en supposant encore
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi =&f_{\mu }\mathrm {G} _{\varpi -1}+{\frac {l_{\mu }\mathrm {H} _{\varpi -1}\beta }{\mathrm {E} _{\mu +1}}},\\\psi =&f_{\mu }\mathrm {H} _{\varpi -1}+{\frac {l_{\mu }\mathrm {G} _{\varpi -1}}{\mathrm {E} _{\mu +1}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9386fb61de5adacde2e6304827253cec265c997)
on aura cette formule
![{\displaystyle \left(\varphi +\psi {\sqrt {\beta }}\right)\mathrm {\left(K_{\nu }+{\frac {H_{\nu }{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}=g_{\rho }+l_{\rho }{\sqrt {\beta }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01e2fa4aa03cb1a808b0681040119e3853a82707)
d’où, à cause de l’ambiguïté naturelle du signe de
![{\displaystyle {\sqrt {\beta }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37184830fef612397b8e9b3732bf4bfa21c278d0)
il est aisé de tirer
![{\displaystyle {\begin{aligned}g_{\rho }=&{\frac {\left(\varphi +\psi {\sqrt {\beta }}\right)\mathrm {\left(K_{\nu }+{\cfrac {H_{\nu }{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}+\left(\varphi -\psi {\sqrt {\beta }}\right)\mathrm {\left(K_{\nu }-{\cfrac {H_{\nu }{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}}{2}},\\l_{\rho }=&{\frac {\left(\varphi +\psi {\sqrt {\beta }}\right)\mathrm {\left(K_{\nu }+{\cfrac {H_{\nu }{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}-\left(\varphi -\psi {\sqrt {\beta }}\right)\mathrm {\left(K_{\nu }-{\cfrac {H_{\nu }{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}}{2{\sqrt {\beta }}}}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2909cfe15aca2785ab6af3b3d027f0f7710dcca)
Si l’on fait dans ces expressions
on aura
![{\displaystyle g_{\rho }=\varphi \quad {\text{et}}\quad l_{\rho }=\psi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07a2af71f665ec930b49681a1ed724d00dbc621)
ainsi
et
seront les premières valeurs de
et
de sorte que si l’on avait déjà trouvé ces valeurs de la manière que nous avons enseignée ci-dessus, on pourrait d’abord les prendre à la place de
et
et alors il ne resterait plus qu’à trouver la valeur de
et de
Au reste, pour pouvoir faire
il faut que
puisse être un nombre pair ; or, c’est ce qu’on peut toujours supposer (30).
32. Corollaire III. — On peut déduire de là une méthode très-simple et très-élégante pour résoudre les équations de la forme
![{\displaystyle \mathrm {A} =t^{2}-\Delta u^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e7353807e17a59c939c9c9b2d3b72db8f154dfe)
étant un nombre entier positif non carré, et
un nombre entier positif ou négatif.
Car ayant, dans ce cas,
![{\displaystyle \mathrm {B=1,\quad C=0,\quad D} =-\Delta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1b9ca7afc565afc644d9e1c148c056619776041)
on fera
![{\displaystyle \mathrm {E=-A,\quad \varepsilon =\theta ,\quad E_{1}={\frac {\theta ^{2}-\Delta }{A}}={\frac {\varepsilon ^{2}-\Delta }{A}},\quad \beta =\Delta } .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1d05053a3b71f61892ddb3a3fc186e160add5aa)
Ainsi l’on commencera par chercher un nombre entiers moindre que
lequel soit tel que
soit divisible par
et, si je n’en trouve aucun de cette qualité, on en conclura que la proposée n’est pas résoluble en nombres entiers. Supposons donc qu’on ait trouvé une valeur convenable
de
![{\displaystyle \varepsilon ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae25c55219a37654a8f7ecbd6ec0082303b57dcd)
il est clair qu’elle pourra être également positive ou négative, mais il faudra la prendre telle, que
![{\displaystyle {\frac {\varepsilon +{\sqrt {\Delta }}}{\mathrm {E} _{1}}}={\frac {\mathrm {A} }{\varepsilon -{\sqrt {\Delta }}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b7e08baf64709af75858cdbc887bad1cbfb8694)
soit un nombre positif, en donnant au radical
le signe positif ou négatif à volonté ; après quoi on fera le calcul suivant, où le signe
dénote qu’il faut prendre le nombre entier qui est immédiatement au-dessous,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathrm {E} \ \ &=-\mathrm {A} ,\\\mathrm {E} _{1}&={\frac {\Delta -\varepsilon ^{2}}{\mathrm {E} }},\qquad &\lambda _{1}&<{\frac {\varepsilon +{\sqrt {\Delta }}}{\mathrm {E} }},\qquad &\varepsilon _{1}&=\lambda _{1}\mathrm {E} _{1}-\varepsilon ,\\\mathrm {E} _{2}&={\frac {\Delta -\varepsilon _{1}^{2}}{\mathrm {E} _{1}}},&\lambda _{2}&<{\frac {\varepsilon _{1}+{\sqrt {\Delta }}}{\mathrm {E} _{1}}},&\varepsilon _{2}&=\lambda _{2}\mathrm {E} _{2}-\varepsilon _{1},\\\mathrm {E} _{3}&={\frac {\Delta -\varepsilon _{2}^{2}}{\mathrm {E} _{2}}},&\lambda _{3}&<{\frac {\varepsilon _{2}+{\sqrt {\Delta }}}{\mathrm {E} _{2}}},&\varepsilon _{3}&=\lambda _{3}\mathrm {E} _{3}-\varepsilon _{2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fac16fba6ac482ff66c880a4b0b0ff4c270b72b2)
et il suffira de pousser ces séries jusqu’à ce que deux termes correspondants
reviennent ensemble, en sorte qu’on ait, par exemple,
![{\displaystyle \mathrm {E} _{\mu +\nu }=\mathrm {E} _{\mu }\quad {\text{et}}\quad \varepsilon _{\mu +\nu }=\varepsilon _{\mu },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59bcf26b58823bcde3340094fd67b174579d8562)
car alors on aura aussi
![{\displaystyle \mathrm {E} _{\mu +\nu +1}=\mathrm {E} _{\mu +1},\quad \varepsilon _{\mu +\nu +1}=\varepsilon _{\mu +1},\quad \lambda _{\mu +\nu +1}=\lambda _{\mu +1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b38cd0f83f5ffc918c17585e55eb645acfbba21)
et ainsi de suite.
Or, si l’équation proposée est résoluble, on doit arriver à un terme de la première série, comme
lequel soit égal à
si l’exposant
est impair, et égal à
si cet exposant est pair ; alors on fera
![{\displaystyle {\begin{aligned}l_{0}&=1,\\l_{1}&=\lambda _{1},\\l_{2}&=\lambda _{2}l_{1}+1,\\l_{3}&=\lambda _{3}l_{2}+l_{1},\\l_{4}&=\lambda _{4}l_{3}+l_{2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\\l_{\rho }&=\lambda _{\rho }l_{\rho -1}+l_{\rho -2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc571c5e2d8ac2cd3f67d0b696804344c6301922)
et l’on aura sur-le-champ
![{\displaystyle u=l_{\rho },\quad t=\varepsilon _{\rho }l_{\rho }+\mathrm {E} _{\rho +1}l_{\rho -1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e57a463e51602373f7c094710280a57e6bda985d)
Ensuite, nommant
et
ces premières valeurs de
et
on aura en général (numéro précédent)
![{\displaystyle {\begin{aligned}t=&{\frac {\mathrm {\left(T+U{\sqrt {\beta }}\right)} \mathrm {\left(K_{\nu }+{\cfrac {H_{\nu }{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}+\mathrm {\left(T-U{\sqrt {\beta }}\right)} \mathrm {\left(K_{\nu }-{\cfrac {H_{\nu }{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}}{2}},\\u=&{\frac {\mathrm {\left(T+U{\sqrt {\beta }}\right)} \mathrm {\left(K_{\nu }+{\cfrac {H_{\nu }{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}-\mathrm {\left(T-U{\sqrt {\beta }}\right)} \mathrm {\left(K_{\nu }-{\cfrac {H_{\nu }{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}}{2{\sqrt {\beta }}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fcbe387ef41eb97549996311d0b12c2d02f16f9)
Si l’équation proposée était
![{\displaystyle \mathrm {A=B} t^{2}-\Delta u^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ea8334b6b00d11777818cfc42ba77ebd23be3a0)
il n’y aurait d’autre changement à faire à la solution précédente, sinon qu’il faudrait faire
![{\displaystyle \mathrm {E=-AB} ,\quad \beta =\mathrm {B} \Delta \quad {\text{et}}\quad \varepsilon =\mathrm {B} \theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38b278c78429bffce91f1dd630f59ab7c45b5139)
étant un nombre entier moindre que
et tel que
fût divisible par
ensuite on mettrait partout
et
à la place de
et ![{\displaystyle \mathrm {T} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62cd2ca7157c8ae9fcf10598339b774c8294d5ce)
Quant aux signes de
et
il est visible qu’ils peuvent être quelconques, parce que l’équation ne contient que les carrés de ces quantités.
Il est bon de remarquer que quand
est un nombre premier, on ne pourra trouver qu’une seule valeur de
car chaque valeur de
pouvant être également positive et négative, équivaudra toujours à deux valeurs ; or, lorsque
est premier, nous avons démontré que le nombre des valeurs de
ne peut pas passer l’exposant du degré de l’équation, lequel est ici
(10) ; donc, etc.
33. Corollaire IV. — Par les principes établis jusqu’ici, on peut démontrer ce théorème, que toute équation de la forme
![{\displaystyle \mathrm {E} _{1}=\mathrm {E} _{1}u^{2}-2\varepsilon uy-\mathrm {E} y^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97cb215b6351d6913d3726ea1881b9ed0a8b4226)
où
![{\displaystyle \varepsilon ,\mathrm {E} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3126f5ddb699aa0d08c8356be6f901e43c559475)
et
![{\displaystyle \mathrm {E} _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2eaf4a678985fae85a40a611dd1fa1aeaa4bd8b)
sont des nombres entiers quelconques, est toujours résoluble en nombres entiers d’une infinité de manières, lorsque
![{\displaystyle \mathrm {E} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be1811407dea8b43727d28dbe8da7251985b03e8)
et
![{\displaystyle \mathrm {E} _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2eaf4a678985fae85a40a611dd1fa1aeaa4bd8b)
sont de même signe.
Car nous ayons démontré (no 41 des Additions au Mémoire sur la résolution des équations numériques) que, dans ce cas, la série
sera nécessairement périodique dès le premier ou le second terme ; en sorte qu’on sera sûr que le terme
reviendra nécessairement à chaque période ; ainsi l’on aura, par exemple,
![{\displaystyle \mathrm {E_{1}=E_{\nu +1}=E_{2\nu +1}} =\ldots =\mathrm {E} _{n\nu +1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51ac58b7b5ae7768e6fa7f0e5baf69930e76706b)
or, de ce que nous avons vu ci-dessus dans les nos 18 et 29, il est facile de conclure qu’on a, en général,
![{\displaystyle \pm \mathrm {E} _{\rho +1}=\mathrm {E} _{1}l_{\rho }^{2}-2\varepsilon l_{\rho }\mathrm {L_{\rho }-EL} _{\rho }^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa10e0be4446ca011d753bb8348ee5e804b61ad0)
le signe supérieur étant pour le cas où
est pair, et l’inférieur pour le cas où
est impair ; donc, si l’on fait
et qu’on prenne pour
un nombre quelconque entier positif, de manière que
soit pair, on aura
![{\displaystyle \mathrm {E} _{1}=\mathrm {E} _{1}l_{\rho }^{2}-2\varepsilon l_{\rho }\mathrm {L_{\rho }-EL} _{\rho }^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55542ac061e897e703bf371e533b8b00b7377815)
de sorte que
et ![{\displaystyle y=\pm \mathrm {L} _{\rho }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a51af39f9c5d3bb24a0f65b77ff67532e366600)
Si l’équation à résoudre était
![{\displaystyle -\mathrm {E} _{1}=\mathrm {E} _{1}u^{2}-2\varepsilon uy-\mathrm {E} y^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc5f8d854b68677a2cc67cc2129435bdf03df2e4)
il est clair qu’elle serait aussi résoluble d’une infinité de manières si
était impair ; car alors, en prenant
impair,
serait aussi impair.
Si l’on fait
et
on a le cas du Problème de M. Fermat dont nous avons parlé au commencement de ce Mémoire. De grands Géomètres avaient déjà donné des méthodes pour résoudre ce Problème (voyez l’Algèbre de Wallis, chap. XCVIII, et surtout son Commercium epistolicum ; voyez aussi les Commentaires de Pétersbourg, tome VI des Anciens et tome XI des Nouveaux] ; mais nous croyons être les premiers qui ayons démontré rigoureusement que le Problème est toujours nécessairement résoluble en nombres entiers (voyez le tome IV des Mémoires de Turin et le volume de l’année 1767 de ceux de cette Académie, p. 272)[5].
34. Scolie. — Il n’est pas inutile de remarquer que les quantités
et
qui entrent dans les expressions générales de
et
(31), sont toujours telles que
![{\displaystyle \mathrm {K_{\nu }^{2}-\beta \left({\frac {H_{\nu }}{E_{\mu +1}}}\right)^{2}} =\pm 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b4f066d5eb079f7d9e336504715fb7eba7b9ab0)
le signe supérieur ayant lieu lorsque
est pair, et l’inférieur lorsque
est impair.
Pour démontrer cette proposition dans toute sa généralité, il faut remonter aux formules du no 44 des Additions citées, et l’on verra que la quantité
![{\displaystyle \mathrm {K_{\nu }+{\frac {H_{\nu }{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +1}}}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/246158fc893a3441f3325a896fca51cd8bed255c)
n’est autre chose que la quantité
![{\displaystyle \mathrm {H} _{\nu }x_{\mu }+\mathrm {H} _{\nu -1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a703e31576c1dc5015d239788babeb2df02524c)
dans laquelle on a substitué pour
sa valeur
![{\displaystyle {\frac {{\sqrt {\beta }}+\varepsilon _{\mu }}{\mathrm {E} _{\mu +1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf1df551ccf34b228fc60acb5e28d9a166e17554)
(on doit se souvenir que la quantité que nous nommons ici
est celle que nous avons nommée
dans l’endroit cité). Or la quantité
![{\displaystyle \mathrm {H} _{\nu }x_{\mu }+\mathrm {H} _{\nu -1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/782ca735f4a95f40456a74b132360f867ed410a7)
est égale (no 25 des mêmes Additions) à
![{\displaystyle x_{\mu +1}x_{\mu +2}\ldots x_{\mu +\nu },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3e8f86d299aedf24440cbfa63d7d4fadc4bcdcc)
de sorte qu’on aura, en substituant pour
![{\displaystyle x_{\mu +1},x_{\mu +2},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69d45c6152bf2575e324e2cf4a23958ed3a4077a)
leurs valeurs,
![{\displaystyle \mathrm {K_{\nu }+{\frac {H_{\nu }{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +1}}}={\frac {\varepsilon _{\mu +1}+{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +2}}}{\frac {\varepsilon _{\mu +2}+{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +3}}}\ldots {\frac {\varepsilon _{\mu +\nu }+{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +\nu +1}}}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d2aa86c9c7e5b0a0d58afa36354cbc52bc59efd)
donc, prenant
en moins, ensuite multipliant ensemble les deux équations, on aura
![{\displaystyle \mathrm {K_{\nu }^{2}-\beta \left({\frac {H_{\nu }}{E_{\mu +1}}}\right)^{2}={\frac {\varepsilon _{\mu +1}^{2}-\beta }{E_{\mu +2}^{2}}}{\frac {\varepsilon _{\mu +2}^{2}-\beta }{E_{\mu +3}^{2}}}\ldots {\frac {\varepsilon _{\mu +\nu }^{2}-\beta }{E_{\mu +\nu +1}^{2}}}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fb3e4d85ec8f62f6fd23b68b6fafdf6df55ce50)
Mais on a (no 33 des Additions citées).
![{\displaystyle \beta =\varepsilon _{\mu +1}^{2}+\mathrm {E_{\mu +1}E_{\mu +2}=\varepsilon _{\mu +2}^{2}+E_{\mu +2}E_{\mu +3}} =\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ae6b5f1982d15722d98a5f597a7feef4c5b5639)
Donc, faisant ces substitutions et effaçant les quantités communes au numérateur et au dénominateur, il viendra
![{\displaystyle \mathrm {K_{\nu }^{2}-\beta \left({\frac {H_{\nu }}{E_{\mu +1}}}\right)^{2}=(-1)^{\nu }{\frac {E_{\mu +1}}{E_{\mu +\nu +1}}}} =\pm 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b222e79316cd3053f9a6bebe831c6741c88b2d8d)
Cette démonstration a lieu, comme on voit, soit que, dans la série
![{\displaystyle \mathrm {E_{\mu },\quad E_{\mu +1},\ldots ,\quad E_{\mu +\nu }} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/085fe53e9b07e683c4968a3fb85bd8879dbdedcd)
il se trouve un terme comme
qui soit égal à l’unité ou non ; mais le cas où
a de plus cette propriété que les nombres
![{\displaystyle \mathrm {K_{\nu }\quad {\text{et}}\quad {\frac {H_{\nu }}{E_{\mu +1}}}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebf70ce6b21f73e366cbefb152ec3a2bd3a7a0a5)
sont nécessairement entiers. Car, puisque
![{\displaystyle x_{\mu +\nu +1}=x_{\mu +1},\quad x_{\mu +\nu +2}=x_{\mu +2},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8439cfa3079ec678109e43dc50906dad29e419d0)
il est clair qu’on aura
![{\displaystyle x_{\mu +1}x_{\mu +2}\ldots x_{\mu +\nu }=x_{\mu +\varpi }x_{\mu +\varpi +1}\ldots x_{\mu +\varpi +\nu -1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9609fa7f38a24ec5c2a8a5ba72eae8812d1e357f)
Or on peut prouver, comme dans le
no 25 des
Additions citées, qu’en faisant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} \ \ &=0,\\\mathrm {P} _{1}&=1,\\\mathrm {P} _{2}&=\lambda _{\mu +\varpi +1}\mathrm {P} _{1},\\\mathrm {P} _{3}&=\lambda _{\mu +\varpi +2}\mathrm {P_{2}+P_{1}} ,\\\mathrm {P} _{4}&=\lambda _{\mu +\varpi +3}\mathrm {P_{3}+P_{2}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55d51e43695b130544770451a48753090c0e09c7)
on aura
![{\displaystyle x_{\mu +\varpi }x_{\mu +\varpi +1}\ldots x_{\mu +\varpi +\nu -1}=\mathrm {P} _{\nu }x_{\mu +\varpi }+\mathrm {P} _{\nu -1}=\mathrm {P} _{\nu }x_{\mu +\varpi -1}+\mathrm {P} _{\nu -1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71c94cc5c64d3604777f093280cbfcec2e723f90)
Donc, mettant pour
sa valeur
on aura
![{\displaystyle \mathrm {K_{\nu }+{\frac {H_{\nu }{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +1}}}={\frac {P_{\nu }\varepsilon _{\mu +\varpi -1}}{E_{\mu +\varpi }}}+P_{\nu -1}+{\frac {P_{\nu }{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +\varpi }}}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9f1adac80766e718d090a0681fd212df3f58f6f)
donc, à cause de l’irrationnelle
on aura
![{\displaystyle \mathrm {K_{\nu }={\frac {P_{\nu }\varepsilon _{\mu +\varpi -1}}{E_{\mu +\varpi }}}+P_{\nu -1}\quad {\text{et}}\quad {\frac {H_{\nu }}{E_{\mu +1}}}={\frac {P_{\nu }}{E_{\mu +\varpi }}}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/799d3fdd8cb33efd06e4bb8c7eef5a004bde1a9e)
mais
(hypothèse) et
sont toujours des nombres entiers ; donc, etc.
Nous avons vu (30) qu’on peut toujours supposer que
soit pair ; ainsi, les nombres
![{\displaystyle \mathrm {K_{\nu }\quad {\text{et}}\quad {\frac {H_{\nu }}{E_{\mu +1}}}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebf70ce6b21f73e366cbefb152ec3a2bd3a7a0a5)
seront toujours tels que l’exige le Problème de M. Fermat ; d’où l’on voit que la solution de ce Problème est nécessaire pour la solution générale de tous les Problèmes indéterminés du second degré (voyez le tome VI des Anciens Mémoires de Pétersbourg et le tome IX des Nouveaux).
Nous remarquerons encore que les mêmes nombres
![{\displaystyle \mathrm {K_{\nu }\quad {\text{et}}\quad {\frac {H_{\nu }}{E_{\mu +1}}}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebf70ce6b21f73e366cbefb152ec3a2bd3a7a0a5)
ne dépendent que du nombre
![{\displaystyle \beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ab677d974cccb0132cac08bd67fc8ac765627e)
de sorte qu’ils sont toujours les mêmes pour toutes les équations où
![{\displaystyle \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8)
a une même valeur.
Car, puisque
![{\displaystyle \lambda _{\mu +\varpi +1}<{\frac {\varepsilon _{\mu +\varpi }+{\sqrt {\beta }}}{\mathrm {E} _{\mu +\varpi +1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/693ea4420cfceff77f941bbbf4f9edf763aa63a3)
il faudra que
![{\displaystyle {\frac {\varepsilon _{\mu +\varpi }+{\sqrt {\beta }}}{\mathrm {E} _{\mu +\varpi +1}}}>1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fae4e7884a5b50070aa1765a64fd52adb0cc207)
mais, à cause de
![{\displaystyle \beta =\varepsilon _{\mu +\varpi }^{2}+\mathrm {E_{\mu +\varpi }E_{\mu +\varpi +1}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/725e81c098db5bc75e9a784a7f696e4e719ed2f7)
on a
![{\displaystyle {\frac {\varepsilon _{\mu +\varpi }+{\sqrt {\beta }}}{\mathrm {E} _{\mu +\varpi +1}}}={\frac {\mathrm {E} _{\mu +\varpi }}{{\sqrt {\beta }}-\varepsilon _{\mu +\varpi }}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/badba400cb9d9af84917cb0252c5669a2fed38ef)
donc, à cause de
(hypothèse), il faudra que
![{\displaystyle {\frac {\pm 1}{{\sqrt {\beta }}-\varepsilon _{\mu +\varpi }}}>1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43963c779911e629b900aa2b2fa0eed042d41f50)
de sorte que
ne pourra être que le nombre entier qui sera immédiatement plus petit ou plus grand que
suivant qu’on aura
![{\displaystyle \mathrm {E} _{\mu +\varpi }=1\quad {\text{ou}}\quad =-1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cb615e9204c5c84ca2837a88829041792c425af)
ainsi
et
seront donnés ; par conséquent, les termes suivants le seront aussi par les formules du no 29, aussi bien que les nombres
donc, etc.
Il s’ensuit aussi de cette démonstration qu’en général tout terme de la série
qui est égal à
est nécessairement périodique ; car, soit
ce terme, donc
sera égal au nombre entier qui est immédiatement au-dessous ou au-dessus de
selon que
sera égal à
ou égal à
donc, à cause de
![{\displaystyle \beta =\varepsilon _{\rho +1}^{2}+\mathrm {E_{\rho +1}E_{\rho +2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/131eefba2c4121569a6293d3287ff255f093d143)
il est visible que
et
seront nécessairement l’un et l’autre de
même signe ; donc celui de ces deux termes qui sera moindre que sera nécessairement un des termes périodiques (
no 41 des
Additions citées) ; mais
![{\displaystyle \mathrm {E} _{\rho +1}=\pm 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66b1b0c22a83400260773eb9222a69eb76f4b885)
(hypothèse), donc, etc. ; donc
![{\displaystyle \rho +1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25bc819365353f839709c95eca5a7357026b9e4e)
sera nécessairement égal à
![{\displaystyle \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161)
ou plus grand que
35. Second cas, lorsque
— Ayant fait la substitution de
à la place de
comme dans le no 29, on aura à résoudre l’équation (K)
![{\displaystyle \mathrm {P} u^{2}+\mathrm {Q} uy+\mathrm {R} y^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4cd9b6e25ede5c366e4048b31691df91a224c47)
qui sera telle, que l’équation
![{\displaystyle \mathrm {P} x^{2}+\mathrm {Q} x+\mathrm {R} =z=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebce8e91465c73f21291740bff424a3567eabb92)
n’aura que des racines imaginaires (21) ; de sorte qu’on aura nécessairement le cas du no 20.
On fera donc l’équation
![{\displaystyle {\frac {dz}{dx}}=2\mathrm {P} x+\mathrm {Q} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b08ded340b9ade7481aa437f0a7dd959e4cc09af)
laquelle donne
![{\displaystyle x=-\mathrm {\frac {Q}{2P}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/988f6696249dc1fff09a14e52e071d5fa97752a9)
et comme l’équation
![{\displaystyle z=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b92bfc06485cc90286474b14a516a68d8bfdd7b3)
n’a que deux racines imaginaires, on sera sûr que la racine que nous venons de trouver portera nécessairement à un minimum. Or, substituant cette valeur de
dans l’expression de
on aura
![{\displaystyle z=\mathrm {\frac {4PR-Q^{2}}{4P}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a6e45f5397f875e00162d24d3bab4377364a3e)
ce sera la plus petite valeur de
que nous avons désigné dans le numéro cité par
de sorte qu’en substituant les valeurs de
du no 29, on aura
![{\displaystyle \mathrm {Z} =\mathrm {\frac {4BD-C^{2}}{4{\cfrac {B\theta ^{2}+C\theta +D}{A}}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc002fb145568c882164e7e9a4681d80e68b564f)
et la valeur de
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
ne pourra jamais surpasser le nombre
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\mathrm {Z} }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af62f74427d38f13ab00c5400ed8919af481226c)
c’est-à-dire le nombre
![{\displaystyle \mathrm {\frac {2{\sqrt {\cfrac {B\theta ^{2}+C\theta +D}{A}}}}{\sqrt {4BD-C^{2}}}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/143fc936ede163cb3904c794875679d3ba695723)
Maintenant il ne s’agira que de réduire en fraction continue la fraction
c’est-à-dire celle-ci
![{\displaystyle \mathrm {\frac {2B\theta +C}{2{\cfrac {B\theta ^{2}+C\theta +D}{A}}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0c4fbe264667c69c0296cb5af3481386be382e2)
ce qu’on peut faire aisément par la méthode dont nous avons parlé dans le no 26 ; ensuite on formera deux séries de fractions convergentes analogues à celles que nous avons désignées par (D) et (E) dans le no 11, qu’il suffira de continuer jusqu’à ce qu’on parvienne à une fraction dont le dénominateur surpasse la limite trouvée ci-dessus ; et les termes de ces fractions donneront les nombres qu’on pourra admettre pour
et
de sorte qu’il n’y aura plus qu’à les essayer successivement pour trouver ceux qui pourront satisfaire à l’équation proposée. Désignons par
chacune de ces fractions, et si l’équation (K) est résoluble en nombres entiers, on aura nécessairement
![{\displaystyle u=\pm l,\quad y=\pm \mathrm {L} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abc3cd56e872c7145002ae426908ecfca27c07e3)
lorsque la racine
est positive, et
![{\displaystyle u=\mp l,\quad y=\pm \mathrm {L} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d1c74801d19fed41456fad1d3d3989af64a09c9)
lorsque cette racine est négative (16).
Au reste, il serait peut-être encore plus court, pour résoudre le cas présent, d’essayer d’abord, dans l’équation proposée (G), à la place de
tous les nombres entiers moindres que
![{\displaystyle \mathrm {\sqrt {\frac {4AB}{4BD-C^{2}}}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2977020685beb370b69c20da579df09cdc18f02)
car en multipliant cette équation par
![{\displaystyle 4\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87bb7c82a2d016f461429846caac877528a5f724)
elle devient
![{\displaystyle 4\mathrm {AB} =(2\mathrm {B} t+\mathrm {C} u)^{2}+\mathrm {\left(4BD-C^{2}\right)} u^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b782a8d230d011f4047d9e088bc1d22e1b1e6d1)
d’où, à cause que
est supposé positif, il est clair que
ne saurait jamais surpasser la racine carrée de ![{\displaystyle \mathrm {\frac {4AB}{4BD-C^{2}}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6172d6513401a74c18cfc88264c197787dc40edf)
36. Troisième cas, lorsque
— Ce cas rentre naturellement dans le premier, où nous avons supposé réelles les racines de l’équation
mais, puisque ces racines sont de plus égales dans le cas présent, on peut simplifier beaucoup la résolution de l’équation (I) du Problème ; car il est clair qu’elle peut se mettre sous cette forme
![{\displaystyle \mathrm {A} ={\frac {(2\mathrm {B} t+\mathrm {C} u)^{2}}{4\mathrm {B} }},,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9d21c6eb8ebdb69813375e9d9f1c3d697ed5426)
ou bien
![{\displaystyle 4\mathrm {AB} =(2\mathrm {B} t+\mathrm {C} u)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a63e8fd3d8083066d3055167ee9c48c295ab5df)
d’où l’on voit que, pour que l’équation soit résoluble, il faut que
soit un carré ; supposons donc
![{\displaystyle \mathrm {AB=E^{2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9b4ea02de089c81b81945bbbf6a2179dbcea02d)
et tirant la racine carrée, on aura
![{\displaystyle 2\mathrm {B} t+\mathrm {C} u=\pm 2\mathrm {E} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1b4b679acf096d1e7a14a2383589ec25687519)
équation réduite au cas du Problème IV.
Exemple II.
37. Soit proposé de résoudre l’équation
![{\displaystyle 101=t^{2}-13u^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a37b23b0d1f53cc3056932dc94d02be073de2167)
qui est comme on voit, dans le cas du Corollaire III, en faisant
et ![{\displaystyle \Delta =13.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e52210ff714f58af69d55f344af00d913c5b3e8b)
On cherchera d’abord un nombre entier
moindre que
et tel que
soit divisible par
et l’on trouvera
or,
étant un nombre premier, on sera déjà sûr qu’il n’y aura point d’autre nombre que celui-ci qui puisse être pris pour
Or, comme on a ici
positif et
il est évident que, pour que
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {A} }{\varepsilon -{\sqrt {\Delta }}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8ce6eb2d384f6031a0943effd227fb7e1de0733)
soit positif, il suffit que
le soit ; ainsi il faudra prendre
positif et
successivement positive et négative.
On fera donc en premier lieu
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathrm {E} \ \ &=-101,&&&\varepsilon \ \ &=35,\\\mathrm {E} _{1}&={\frac {13-35^{2}}{-101}}=12,\qquad &\lambda _{1}&<{\frac {35+{\sqrt {13}}}{12}}=3,\qquad &\varepsilon _{1}&=3.12-35=1,\\\mathrm {E} _{2}&={\frac {13-1}{12}}\quad =1,\qquad &\lambda _{2}&<{\frac {1+{\sqrt {13}}}{1}}\ \ =4,\qquad &\varepsilon _{2}&=4.1-1=3,\\\mathrm {E} _{3}&={\frac {13-9}{1}}\quad =4,\qquad &\lambda _{3}&<{\frac {3+{\sqrt {13}}}{4}}\ \ =1,\qquad &\varepsilon _{3}&=1.4-3=1,\\\mathrm {E} _{4}&={\frac {13-1}{4}}\quad =3,\qquad &\lambda _{4}&<{\frac {1+{\sqrt {13}}}{3}}\ \ =1,\qquad &\varepsilon _{4}&=1.3-1=2,\\\mathrm {E} _{5}&={\frac {13-4}{4}}\quad =3,\qquad &\lambda _{5}&<{\frac {2+{\sqrt {13}}}{3}}\ \ =3,\qquad &\varepsilon _{5}&=1.3-2=1,\\\mathrm {E} _{6}&={\frac {13-1}{4}}\quad =4,\qquad &\lambda _{6}&<{\frac {1+{\sqrt {13}}}{4}}\ \ =1,\qquad &\varepsilon _{6}&=1.4-1=3,\\\mathrm {E} _{7}&={\frac {13-9}{4}}\quad =1,\qquad &\lambda _{7}&<{\frac {3+{\sqrt {13}}}{1}}\ \ =6,\qquad &\varepsilon _{7}&=6.1-3=3,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcde468f3dcc6108dc36260f9e8eaea2bede8e0d)
Je m’arrête d’abord ici parce que je vois que
est égal à
avec un exposant impair ; de sorte que j’aurai
![{\displaystyle \rho =6,\quad \mathrm {E} _{\rho +1}=1,\quad \varepsilon _{\rho }=\varepsilon _{6}=3\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69e639f80e0a2b84a19732a7aa7dd32e7339d4a9)
ainsi je n’aurai plus qu’à calculer les nombres
jusqu’à
de la
manière suivante
![{\displaystyle {\begin{aligned}l_{1}=&3,\\l_{2}=&4l_{1}+1=13,\\l_{3}=&l_{2}+l_{1}=16,\\l_{4}=&l_{3}+l_{2}=29,\\l_{5}=&l_{4}+l_{3}=45=l_{\rho -1},\\l_{6}=&l_{5}+l_{4}=74=l_{\rho },\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9f877b4f1ae6fe6d2a252c6a4bef8015297e00d)
et j’aurai sur-le-champ
![{\displaystyle u=74,\quad t=3.74+45=267.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/986f5036471680d481defa7286b850181f8c309c)
Ce sont là les premières valeurs de
et
pour trouver maintenant les expressions générales de ces nombres, on remarquera que l’on a dans les séries précédentes
![{\displaystyle \mathrm {E} _{7}=\mathrm {E} _{2}\quad {\text{et}}\quad \varepsilon _{7}=\varepsilon _{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/223316b1dd0f085a0feaf025614c44236894a939)
donc (29)
![{\displaystyle \mu =2,\quad \mu +\nu =7,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aaca98ee878ae64c4e3194def838082279e7df8)
d’où
et comme on a en même temps
![{\displaystyle \mathrm {E} _{7}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43bffd2ff24a68e455144e2847a49eee3cd8bceb)
on aura
![{\displaystyle \mu +\varpi =7,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dc00c4716ac142671d18d4379f4671cb44b143e)
et de là
![{\displaystyle \varpi =5\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eaf10a45bc01fc82c7f21119666d57a87877150)
de sorte qu’on aura, en général,
![{\displaystyle \rho =\mu +n\nu +\varpi +1=6+5n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f0a0de2063c9a10961ecfa29a943e281d7bfb77)
où, à cause de
impair, il ne faudra prendre pour
que des nombres pairs. On calculera donc les nombres
jusqu’à
par les formules du no 31, et comme
et
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {H} \ \ =&0,\\\mathrm {H} _{1}=&1,\\\mathrm {H} _{2}=&\lambda _{2}\mathrm {H} _{1}=1,\\\mathrm {H} _{3}=&\lambda _{3}\mathrm {H_{2}+H_{1}} =2,\\\mathrm {H} _{4}=&\lambda _{4}\mathrm {H_{3}+H_{2}} =3,\\\mathrm {H} _{5}=&\lambda _{5}\mathrm {H_{4}+H_{3}=20=H_{\nu }} \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d692c104e903b5aa7f3ace996514db0b3a748050)
![{\displaystyle \varepsilon ^{2}-13}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd4fcb35a620c54d8d2d925f6f5267c288c65e90)
soit divisible par
![{\displaystyle 101,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1929454f84464a40e86beeff83a3562e0e6d967c)
et l’on trouvera
![{\displaystyle \varepsilon =35\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6c66976cebcbc5e8a5e385b3a77e4bbc5b09e32)
or,
![{\displaystyle 101}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03a2f2ba5c3a850b0cc3d7efb40a3a7442ec6acc)
étant un nombre premier, on sera déjà sûr qu’il n’y aura point d’autre nombre que celui-ci qui puisse être pris pour
![{\displaystyle \varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5807913813d5188ce49b63a9b26d43f7a7763c19)
Or, comme on a ici
![{\displaystyle \mathrm {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff6366939c4ebbd4e8494d0dedc54c4b8dd7135a)
positif et
![{\displaystyle \varepsilon >{\sqrt {\Delta }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66d57c57e694598697656b68f4a32f25502f7839)
il est évident que, pour que
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {A} }{\varepsilon -{\sqrt {\Delta }}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8ce6eb2d384f6031a0943effd227fb7e1de0733)
soit positif, il suffit que
le soit ; ainsi il faudra prendre
positif et
successivement positive et négative.
On fera donc en premier lieu
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathrm {E} \ \ &=-101,&&&\varepsilon \ \ &=35,\\\mathrm {E} _{1}&={\frac {13-35^{2}}{-101}}=12,\qquad &\lambda _{1}&<{\frac {35+{\sqrt {13}}}{12}}=3,\qquad &\varepsilon _{1}&=3.12-35=1,\\\mathrm {E} _{2}&={\frac {13-1}{12}}\quad =1,&\lambda _{2}&<{\frac {1+{\sqrt {13}}}{1}}\ \ =4,&\varepsilon _{2}&=4.1-1=3,\\\mathrm {E} _{3}&={\frac {13-9}{1}}\quad =4,&\lambda _{3}&<{\frac {3+{\sqrt {13}}}{4}}\ \ =1,&\varepsilon _{3}&=1.4-3=1,\\\mathrm {E} _{4}&={\frac {13-1}{4}}\quad =3,&\lambda _{4}&<{\frac {1+{\sqrt {13}}}{3}}\ \ =1,&\varepsilon _{4}&=1.3-1=2,\\\mathrm {E} _{5}&={\frac {13-4}{4}}\quad =3,&\lambda _{5}&<{\frac {2+{\sqrt {13}}}{3}}\ \ =3,&\varepsilon _{5}&=1.3-2=1,\\\mathrm {E} _{6}&={\frac {13-1}{4}}\quad =4,&\lambda _{6}&<{\frac {1+{\sqrt {13}}}{4}}\ \ =1,&\varepsilon _{6}&=1.4-1=3,\\\mathrm {E} _{7}&={\frac {13-9}{4}}\quad =1,&\lambda _{7}&<{\frac {3+{\sqrt {13}}}{1}}\ \ =6,&\varepsilon _{7}&=6.1-3=3,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7793649dcf76e43b8db2f7634acaa089af1e11ee)
Je m’arrête d’abord ici parce que je vois que
est égal à
avec un exposant impair ; de sorte que j’aurai
![{\displaystyle \rho =6,\quad \mathrm {E} _{\rho +1}=1,\quad \varepsilon _{\rho }=\varepsilon _{6}=3\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69e639f80e0a2b84a19732a7aa7dd32e7339d4a9)
ainsi je n’aurai plus qu’à calculer les nombres
jusqu’à
de la
et l’on aura (abstraction faite des signes)
![{\displaystyle u=34,\quad t=-3.34-21=-123.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/107eb98eaa52e53094d60467db34450f271d7de9)
Maintenant, puisque
![{\displaystyle \mathrm {E} _{8}=\mathrm {E} _{3},\quad {\text{et}}\quad \varepsilon _{8}=\varepsilon _{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d29bcff619169b35a713058e8ae532c124738e71)
on aura ici
![{\displaystyle \mu =3\quad {\text{et}}\quad \nu =5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c424f46852860d75e5cb3ca171d242255129907)
comme plus haut, de sorte que
devra être pair ; or nous avons démontré (34) que les nombres
et
sont toujours les mêmes pour une même valeur de
donc on aura aussi dans le cas présent
![{\displaystyle \mathrm {\frac {H_{\nu }}{E_{\mu +1}}} =5,\quad \mathrm {K} _{\nu }=18,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ad43b26a2f6bf9c8911d4480d794313445ce40e)
comme plus haut ; donc, prenant maintenant pour
et
les premières valeurs de
et de
que nous venons de trouver, on aura, en général,
![{\displaystyle {\begin{aligned}t=&{\frac {\left(123+34{\sqrt {13}}\right)\left(18+5{\sqrt {13}}\right)^{n}+\left(123-34{\sqrt {13}}\right)\left(18-5{\sqrt {13}}\right)^{n}}{2}},\\u=&{\frac {\left(123+34{\sqrt {13}}\right)\left(18+5{\sqrt {13}}\right)^{n}-\left(123-34{\sqrt {13}}\right)\left(18-5{\sqrt {13}}\right)^{n}}{2{\sqrt {13}}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/154a025c62bec4cf28b06b6d88f3b8410aeb2e09)
et ces formules, combinées avec celles que nous avons trouvées plus haut, renfermeront nécessairement toutes les solutions possibles en nombres entiers de l’équation proposée.
Exemple III.
38. On propose de résoudre l’équation
![{\displaystyle 101=t^{2}-79u^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afb51081ebd91c05672c32e281f656dcbd8e0a9e)
Cette équation étant aussi dans le cas du no 32, on opérera comme on a fait dans l’exemple précédent. On commencera donc par chercher un nombre entier
moindre que
et tel que
soit divisible par
et l’on trouvera
et comme
est premier, on sera assuré que ce nombre sera le seul de cette qualité.
Or, comme
et qu’il faut que
![{\displaystyle {\frac {101}{\varepsilon -{\sqrt {79}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b0b56276cebc687c0b23cf7c6721d110bfdc04c)
soit un nombre positif, il faudra prendre
positivement, et le radical
pourra être positif ou négatif.
On fera donc en premier lieu
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathrm {E} \ \ &=-101,&&&\varepsilon \ \ &=33,\\\mathrm {E} _{1}&={\frac {79-33^{2}}{-101}}=10,\quad &\lambda _{1}&<{\frac {33+{\sqrt {79}}}{10}}=4,\quad &\varepsilon _{1}&=4.10-33=7,\\\mathrm {E} _{2}&={\frac {79-49}{10}}\ \ =3,&\lambda _{2}&<{\frac {7+{\sqrt {79}}}{3}}\ \ =5,&\varepsilon _{2}&=5.3-7=8,\\\mathrm {E} _{3}&={\frac {79-64}{3}}\ \ =5,&\lambda _{3}&<{\frac {8+{\sqrt {79}}}{5}}\ \ =3,&\varepsilon _{3}&=3.5-8=7,\\\mathrm {E} _{4}&={\frac {79-49}{5}}\ \ =6,&\lambda _{4}&<{\frac {7+{\sqrt {79}}}{6}}\ \ =2,&\varepsilon _{4}&=2.6-7=5,\\\mathrm {E} _{5}&={\frac {79-25}{6}}\ \ =9,&\lambda _{5}&<{\frac {5+{\sqrt {79}}}{9}}\ \ =1,&\varepsilon _{5}&=9-5=4,\\\mathrm {E} _{6}&={\frac {79-16}{9}}\ \ =7,&\lambda _{6}&<{\frac {4+{\sqrt {79}}}{7}}\ \ =1,&\varepsilon _{6}&=7-4=3,\\\mathrm {E} _{7}&={\frac {79-9}{7}}\quad =10,&\lambda _{7}&<{\frac {3+{\sqrt {79}}}{10}}\ \ =1,&\varepsilon _{7}&=10-3=7,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50322d20dbb8cdc3e29537764a637f92289dfb97)
Je m’arrête ici parce que je vois que
et
et comme, dans toute la série des nombres
jusqu’à
je n’en trouve aucun qui soit égal à l’unité, j’en conclus (30) que la proposée n’est pas résoluble, au moins d’après la racine
![{\displaystyle {\frac {101}{33-{\sqrt {79}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9e9d7d6e6e879b308359a56e0786d0abf8df036)
Reste donc à examiner l’autre racine
![{\displaystyle {\frac {101}{33+{\sqrt {79}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d08bcf2a723cf98c098e5a8902e24470b5987819)
et pour cela on fera en second lieu
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathrm {E} \ \ &=-101,&&&\varepsilon \ \ &=33,\\\mathrm {E} _{1}&={\frac {79-33^{2}}{-101}}=10,\quad &\lambda _{1}&<{\frac {33-{\sqrt {79}}}{10}}\ \ \ =2,\quad &\varepsilon _{1}&=2.10-33=-13,\\\mathrm {E} _{2}&={\frac {79-13^{2}}{10}}=-9,&\lambda _{2}&<{\frac {-13-{\sqrt {79}}}{-9}}=2,&\varepsilon _{2}&=-2.9+13=-5,\\\mathrm {E} _{3}&={\frac {79-25}{-9}}\ \ =-6,&\lambda _{3}&<{\frac {-5-{\sqrt {79}}}{-6}}\ \ =2,&\varepsilon _{3}&=-2.6+5=-7,\\\mathrm {E} _{4}&={\frac {79-49}{-6}}\ \ =-5,&\lambda _{4}&<{\frac {-7-{\sqrt {79}}}{-5}}\ \ =3,&\varepsilon _{4}&=-3.5+7=-8,\\\mathrm {E} _{5}&={\frac {79-64}{-5}}\ \ =-3,&\lambda _{5}&<{\frac {-8-{\sqrt {79}}}{-3}}\ \ =5,&\varepsilon _{5}&=-3.5+8=-7,\\\mathrm {E} _{6}&={\frac {79-49}{-3}}\ \ =-10,&\lambda _{6}&<{\frac {-7-{\sqrt {79}}}{-10}}\ \ =1,&\varepsilon _{6}&=-10+7=-3,\\\mathrm {E} _{7}&={\frac {79-9}{-10}}\quad =-7,&\lambda _{7}&<{\frac {-3-{\sqrt {79}}}{-7}}\ \ =1,&\varepsilon _{7}&=-7+3=-4,\\\mathrm {E} _{8}&={\frac {79-16}{-7}}\ \ =-9,&\lambda _{8}&<{\frac {-4-{\sqrt {79}}}{-9}}\ \ =1,&\varepsilon _{8}&=-9+4=-5,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/726db2dcbb39336dba8d217e1dd92e3facdca773)
Or, puisque je vois que
et
et que dans toute la série
jusqu’à
il n’y a aucun terme égal à l’unité, j’en conclus de même que la proposée n’est pas résoluble d’après la seconde racine.
D’où il s’ensuit que l’équation dont il s’agit n’admet absolument aucune solution en nombres entiers.
Exemple IV.
39. Qu’on propose maintenant l’équation suivante
![{\displaystyle 109=t^{2}+7u^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaf8546a41f204f48b3e35376bca70e3e2be7118)
qui est, comme on voit, dans le cas du no 35.
On aura donc ici (28)
![{\displaystyle \mathrm {A=109,\quad B=1,\quad C=0,\quad D=-7} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2db01b1f22fc76761710fc8ab10a576468ab64f8)
et il faudra d’abord chercher un nombre entier
![{\displaystyle \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af)
moindre que
![{\displaystyle {\frac {109}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8959aac801c9d3d5f2bc7b48c953332b12567819)
et tel que
![{\displaystyle \theta ^{2}+7}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/156b6243f68a6f0571f566c608f4050f3066f55e)
soit divisible par
![{\displaystyle 109\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43db81c60faa38ec2b3d16083ea7d74f784029a0)
on trouvera
![{\displaystyle \theta =\pm 50\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2198970374e87435a9cdc9d31149225a63dc84d1)
et, à cause que
est premier, on sera d’abord assuré qu’il n’y aura point d’autres nombres (10) qu’on puisse prendre pour
On substituera donc dans la proposée
à la place de
et la division étant faite par
on aura la réduite
![{\displaystyle 23u^{2}\mp 100uy+109y^{2}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2d481deaddcde15babbfa095ffe214057d272a2)
Donc (35)
![{\displaystyle \mathrm {P=23,\quad Q=\mp 100,\quad R=109} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00d43261d6718822fb26d668251b7b9b0ebe7653)
et, à cause de
la limite de
sera
![{\displaystyle {\sqrt {\mathrm {\frac {\theta ^{2}+D}{AB}} }}={\sqrt {\frac {23}{7}}}<2\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7af39fe83abea2fcba216faa3067476e6dd8b599)
de sorte que
ne pourra être que
ou
ainsi il ne sera pas même nécessaire de chercher les fractions convergentes vers la fraction
pour trouver les valeurs de
et
car, en faisant
on a
![{\displaystyle 23u^{2}\mp 100u+109=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd4cc01aead1145d7206f3a486d6a11df6cd604)
d’où
![{\displaystyle u=\pm 2\quad {\text{et}}\quad t=100-109=-9\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83d13d6507a3ad1f124f0c1a1f3151641529b8dd)
et faisant
on aura
![{\displaystyle u=\mp 2\quad {\text{et}}\quad t=-100+109=9\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eaa605376991e7f1abddb4b9c9fa7815a133bbf)
et donc en général
![{\displaystyle u=\pm 2\quad {\text{et}}\quad t=\pm 9,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/681afb1a20d17926bfe34aded2d70f9211fe420a)
les signes ambigus étant à volonté.