MÉMOIRE
SUR
LES SPHÉROÏDES ELLIPTIQUES.
(Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, années 1792 et 1793.)
J’entends par sphéroïdes elliptiques ceux dont toutes les sections sont des ellipses, et dont l’équation générale, réduite à la forme la plus simple, est
![{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45d7de3306b9584a6696d085680460270c1de893)
J’ai donné dans le volume de l’année 1773 un Mémoire sur l’attraction de ces sortes de sphéroïdes[1]. Je me propose dans celui-ci de présenter aux Géomètres quelques formules générales, qui pourront être utiles pour la solution de différentes questions relatives à ces mêmes sphéroïdes.
1. Supposons
![{\displaystyle z=r\cos \psi ,\quad y=r\sin \psi \sin \varphi ,\quad x=r\sin \psi \cos \varphi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7ae4a3e09a6dd5a827faf294a5ef9f36fd81f59)
sera le rayon partant du centre qui est l’origine des trois coordonnées
![{\displaystyle \psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e5789e5d9c8f7c79744f43ecaaf8ba42a8553a)
sera l’angle fait par ce rayon avec l’une des ordonnées
![{\displaystyle z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47989a9b66a4ea8a0ec19e8159749fce8a9a8ca8)
et
![{\displaystyle \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e)
sera l’angle que la projection du même rayon sur le plan des coordonnées
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
et
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
fait avec l’une des ordonnées
![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
En substituant ces valeurs dans l’équation du sphéroïde, on en tirera
![{\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}={\frac {\sin ^{2}\psi \cos ^{2}\varphi }{a^{2}}}+{\frac {\sin ^{2}\psi \sin ^{2}\varphi }{b^{2}}}+{\frac {\cos ^{2}\psi }{c^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ca786ac5dac6d1a9618ad0d1948291fd9c6fbc2)
et de là on aura les valeurs de
en
et ![{\displaystyle \varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b6c90c1e9984232aed2d530ac2fb2660ea000a)
2. Désignons par
la masse totale ou plutôt le volume du sphéroïde ; on aura, comme l’on sait,
![{\displaystyle d\mathrm {M} =r^{2}dr.\sin \psi d\psi d\varphi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4000b19160ec03066cb673075c46f3d7d6387c2)
et pour avoir la valeur de
il faudra intégrer d’abord depuis
jusqu’à
égal au rayon du sphéroïde, c’est-à-dire en donnant à
la valeur trouvée ci-dessus ; on intégrera ensuite depuis
jusqu’à
et enfin depuis
jusqu’à ![{\displaystyle \varphi =360^{\circ }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/989380333b5e96207ca68ba70b803adfebfd74c7)
Intégrant d’abord suivant la variable
on aura
![{\displaystyle d\mathrm {M} ={\frac {r^{3}\sin \psi d\psi d\varphi }{3}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43ca184bcd3bd6f57bf41e7f37e54c1e20ee393f)
où il faudra substituer pour
sa valeur en
et ![{\displaystyle \psi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6cc915d2bfd7c18ac9ff227c29ca47c4382890c)
Soit pour plus de simplicité
![{\displaystyle a={\frac {1}{\sqrt {\alpha }}},\quad b={\frac {1}{\sqrt {\beta }}},\quad c={\frac {1}{\sqrt {\gamma }}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b102c2ff79bf35b10170ce67ad3cfcd9af89664)
on aura
![{\displaystyle r=\left(\alpha \sin ^{2}\psi \cos ^{2}\varphi +\beta \sin ^{2}\psi \sin ^{2}\varphi +\gamma \cos ^{2}\psi \right)^{-{\frac {1}{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3736fe09db95abe34eda165e886932cefeaccaef)
Supposons de plus
![{\displaystyle \mathrm {R} =\alpha \sin ^{2}\psi \cos ^{2}\varphi +\beta \sin ^{2}\psi \sin ^{2}\varphi +\gamma \cos ^{2}\psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/092fcef576c3e6ac753f956b62a66e579c59d7b3)
en sorte que
![{\displaystyle r={\frac {1}{\sqrt {\mathrm {R} }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8066ecd727b572414ea49e818a43aea76f5a29c8)
on aura
![{\displaystyle d\mathrm {M} ={\frac {\sin \psi d\psi d\varphi }{3\mathrm {R} ^{\frac {3}{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1c6611c1f49f081692a50d77f76e9cbd671c810)
3. Considérons maintenant les formules
![{\displaystyle x^{2}d\mathrm {M} ,\quad y^{2}d\mathrm {M} ,\quad z^{2}d\mathrm {M} ,\quad x^{4}d\mathrm {M} ,\ldots \quad x^{2}y^{2}d\mathrm {M} ,\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/581438630496bcf1d344765e59108f52db713fbd)
en substituant pour
leurs valeurs
et pour
l’élément
intégrant ensuite suivant
et faisant
on aura après cette première intégration
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}d\mathrm {M} ={\frac {\sin ^{2}\psi \cos ^{2}\varphi .\sin \psi d\psi d\varphi }{5\mathrm {R} ^{\frac {5}{2}}}},\\&y^{2}d\mathrm {M} ={\frac {\sin ^{2}\psi \sin ^{2}\varphi .\sin \psi d\psi d\varphi }{5\mathrm {R} ^{\frac {5}{2}}}},\\&z^{2}d\mathrm {M} ={\frac {\cos ^{2}\psi .\sin \psi d\psi d\varphi }{5\mathrm {R} ^{\frac {5}{2}}}},\\&x^{4}d\mathrm {M} ={\frac {\sin ^{4}\psi \cos ^{4}\varphi .\sin \psi d\psi d\varphi }{7\mathrm {R} ^{\frac {7}{2}}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&x^{2}y^{2}d\mathrm {M} ={\frac {\sin ^{4}\psi \cos ^{2}\varphi \sin ^{2}\varphi .\sin \psi d\psi d\varphi }{7\mathrm {R} ^{\frac {7}{2}}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fbb232e86685e89db22c4ff4c9592d3b90ea237)
Si maintenant on compare ces différentes expressions à celle de
trouvée ci-dessus, il est facile de voir qu’elles peuvent toutes se déduire de celle-ci par la simple variation des constantes
Ainsi, dénotant par
les différentielles relatives à ces quantités, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&d\mathrm {M} ={\frac {\sin \psi d\psi d\varphi }{3\mathrm {R} ^{\frac {3}{2}}}},\\&x^{2}d\mathrm {M} =-{\frac {2}{5}}{\frac {\delta d\mathrm {M} }{\delta \alpha }},\\&y^{2}d\mathrm {M} =-{\frac {2}{5}}{\frac {\delta d\mathrm {M} }{\delta \beta }},\\&z^{2}d\mathrm {M} =-{\frac {2}{5}}{\frac {\delta d\mathrm {M} }{\delta \gamma }},\\&x^{4}d\mathrm {M} ={\frac {2}{5}}.{\frac {2}{7}}{\frac {\delta ^{2}d\mathrm {M} }{\delta \alpha ^{2}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&x^{2}y^{2}d\mathrm {M} ={\frac {2}{5}}.{\frac {2}{7}}{\frac {\delta ^{2}d\mathrm {M} }{\delta \alpha \delta \beta }},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/873a3a12fce76ffbe4b9b3a8c20331b4f8f30857)
et, en général,
![{\displaystyle x^{2m}y^{2n}z^{2l}d\mathrm {M} =\pm {\frac {2}{5}}.{\frac {2}{7}}.{\frac {2}{9}}\ldots (m+n+l){\frac {\delta ^{m+n+l}d\mathrm {M} }{\delta \alpha ^{m}\delta \beta ^{n}\delta \gamma ^{l}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e000bf60bec8e88e272142f9861bad567f1771d)
la quantité
indique le nombre des facteurs
qu’il faut prendre, et le signe supérieur doit avoir lieu lorsque ce nombre sera pair, l’inférieur lorsqu’il sera impair.
Pour avoir les valeurs totales de ces différentes formules, il ne vaudra plus que les intégrer relativement à
et
et, comme les variations de
sont indépendantes des variations de
et
il est clair que les intégrations dont il s’agit le seront aussi. Dénotant donc ces intégrations totales par le signe
on aura d’abord
![{\displaystyle \mathrm {M} =\int {\frac {\sin \psi d\psi d\varphi }{3\mathrm {R} ^{\frac {3}{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/520b255a58fc3c89649cf9997640476878c2686a)
et ensuite
![{\displaystyle \int x^{2m}y^{2n}z^{2l}d\mathrm {M} =\pm {\frac {2}{5}}.{\frac {2}{7}}.{\frac {2}{9}}\ldots (m+n+l){\frac {\delta ^{m+n+l}\mathrm {M} }{\delta \alpha ^{m}\delta \beta ^{n}\delta \gamma ^{l}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36872f4c8f8dba0866cd278ef5aee1a134c59832)
Ainsi, lorsqu’on aura trouvé la valeur de la masse
en fonction de
on pourra, par de simples différentiations relatives à ces constantes, trouver les valeurs des intégrales de
et généralement de
pour toute la masse du sphéroïde.
À l’égard des quantités où
serait multiplié par des puissances impaires de
il est facile de voir que leur intégrale totale serait toujours nulle, les mêmes éléments se trouvant avec des signes contraires et se détruisant par conséquent réciproquement.
4. Cherchons donc la valeur de
. Soit
on aura
![{\displaystyle d\mathrm {M} =-{\frac {1}{3}}{\frac {dud\varphi }{\left[\alpha \cos ^{2}\varphi +\beta \sin ^{2}\varphi +\left(\gamma -\alpha \cos ^{2}\varphi -\beta \sin ^{2}\varphi \right)u^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dda596b8f0282af1a36efbbf42df720986941c6)
dont l’intégrale relative à
est (en prenant une constante
)
![{\displaystyle kd\varphi -{\frac {1}{3}}{\frac {ud\varphi }{\left(\alpha \cos ^{2}\varphi +\beta \sin ^{2}\varphi \right){\sqrt {\left[\alpha \cos ^{2}\varphi +\beta \sin ^{2}\varphi +\left(\gamma -\alpha \cos ^{2}\varphi -\beta \sin ^{2}\varphi \right)u^{2}\right]}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fd6c9cef1316c3ce9e499f4f65b684531e4d081)
Comme cette intégrale doit commencer à
et finir à
il faudra qu’elle soit nulle lorsque
et complète lorsque
Donc on aura d’abord
![{\displaystyle k={\frac {d\varphi }{3\left(\alpha \cos ^{2}\varphi +\beta \sin ^{2}\varphi \right){\sqrt {\gamma }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01f3a5c8bc2277cf8793abe51dfba5ece63a4af1)
et l’intégrale complète sera
![{\displaystyle {\frac {2}{3}}{\frac {d\varphi }{\left(\alpha \cos ^{2}\varphi +\beta \sin ^{2}\varphi \right){\sqrt {\gamma }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72a544e6872ee90646eb2a3c66393b5a6ea967ab)
laquelle devra encore être intégrée depuis
jusqu’à
Divisant le haut et le bas de la fraction par
et observant que
cette différentielle deviendra
en faisant ![{\displaystyle \left.t={\frac {{\sqrt {\beta }}\operatorname {tang} \varphi }{\sqrt {\alpha }}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ad7a7709bc1d38b2e6e05cff0c80cf60e114a5e)
![{\displaystyle {\frac {2}{3}}{\frac {dt}{{\sqrt {\alpha ,\beta ,\gamma }}\left(1+t^{2}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48e44a3490b4a9fed70a9c438510a0616a43c13a)
dont l’intégrale est
![{\displaystyle {\frac {2}{3}}{\frac {\operatorname {arc\,tang} }{\sqrt {\alpha \beta \gamma }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8b4c81c3d9d79efc49bec3816aaa81c3acb71eb)
Lorsque
on a
et lorsque
on a de nouveau
donc
est dans le premier cas
et dans le second
Donc la valeur complète de cette dernière intégrale sera
Donc enfin on aura
![{\displaystyle \mathrm {M} ={\frac {2}{3}}{\frac {360^{\circ }}{\sqrt {\alpha \beta \gamma }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dd0498b1092920c203bcf1ffe6770672b03ce1c)
5. Cette quantité différentiée successivement donnera
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\delta \mathrm {M} }{\delta \alpha }}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {M} }{\alpha }},\quad {\frac {\delta \mathrm {M} }{\delta \beta }}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {M} }{\beta }},\quad {\frac {\delta \mathrm {M} }{\delta \gamma }}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {M} }{\gamma }},\\&{\frac {\delta ^{2}\mathrm {M} }{\delta \alpha ^{2}}}={\frac {1}{2}}{\frac {3}{2}}{\frac {\mathrm {M} }{\alpha }},\quad {\frac {\delta ^{2}\mathrm {M} }{\delta \alpha \ \delta \beta }}=-{\frac {1}{2}}{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {M} }{\alpha \beta }}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d31f8a7f937c7cd70035dc2342a47e7b24745b8)
et ainsi de suite. De sorte qu’on aura, en général,
![{\displaystyle {\frac {\delta ^{m+n+l}}{\delta \alpha ^{m}\delta \beta ^{n}\delta \gamma ^{l}}}=\pm \left[{\frac {1}{2}}{\frac {3}{2}}{\frac {5}{2}}\ldots (m)\right]\left[{\frac {1}{2}}{\frac {3}{2}}{\frac {5}{2}}\ldots (n)\right]\left[{\frac {1}{2}}{\frac {3}{2}}{\frac {5}{2}}\ldots (l)\right]{\frac {\mathrm {M} }{\alpha ^{m}\beta ^{n}\gamma ^{l}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11e6862e095b68a5d4084c8d60d5629639ba721b)
le signe supérieur a lieu lorsque
est pair, l’inférieur lorsque ce nombre est impair, et les quantités
dénotent le nombre des facteurs
qu’il faut multiplier ensemble.
Donc enfin, faisant cette substitution dans la formule intégrale du no 3 et remettant pour
leurs valeurs
on aura, en général, cette formule très-remarquable
![{\displaystyle \int x^{2m}y^{2n}z^{2l}d\mathrm {M} ={\frac {\left[1.3.5.\ldots (m)\right]\left[1.3.5.\ldots (n)\right]\left[1.3.5.\ldots (l)\right]}{5.7.9\ldots (m+n+l)}}\mathrm {M} a^{2m}b^{2n}c^{2l},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7131cb3b50aa7411f78171177874bdbe554a402)
où ![{\displaystyle \mathrm {M} ={\frac {2}{3}}360^{\circ }\times abc.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4942726306a01de3075af906b850a93b740f908)
6. De ce que (3)
![{\displaystyle \int xyd\mathrm {M} =0,\quad \int xzd\mathrm {M} =0,\quad \int yzd\mathrm {M} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de04d32cfc01fe977b97b0c7e64108f2974d631a)
il s’ensuit que les axes des coordonnées
sont les trois axes principaux du sphéroïde. Les moments d’inertie autour de ces axes, dont la détermination est nécessaire pour le calcul de la rotation, seront donc exprimés par les formules
![{\displaystyle \int \left(y^{2}+z^{2}\right)d\mathrm {M} ,\quad \int \left(x^{2}+z^{2}\right)d\mathrm {M} ,\quad \int \left(x^{2}+y^{2}\right)d\mathrm {M} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46e66fe21e9da49db59259b757f1b3db79c258e4)
dont les valeurs sont par la formule générale
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} \left(b^{2}+c^{2}\right)}{5}},\quad {\frac {\mathrm {M} \left(a^{2}+c^{2}\right)}{5}},\quad {\frac {\mathrm {M} \left(a^{2}+b^{2}\right)}{5}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e492d8f3d065dfb730c4416d725328168173c979)
Dans la Théorie de la libration de la Lune [Mémoires de 1780[2]], on a fait
![{\displaystyle {\frac {a}{c}}=1+e,\quad {\frac {b}{c}}=1+i,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ed42be8b8d1aefd05b66b3ac39a252a195e1a05)
et regardant
et
comme des quantités très-petites vis-à-vis de l’unité, ce qui suffisait alors pour mon objet, on a trouvé pour les moments dont il s’agit les quantités
![{\displaystyle {\frac {2\mathrm {M} }{5}}c^{2}(1+i),\quad {\frac {2\mathrm {M} }{5}}c^{2}(1+e),\quad {\frac {2\mathrm {M} }{5}}c^{2}(1+e+i),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4227c15bef25b9f26b6061e264273ac94842d5a)
étant
En comparant ces valeurs avec les précédentes, il est aisé d’en conclure qu’on peut rendre les formules de la Théorie citée rigoureuses, en prenant d’abord pour
sa vraie valeur
et faisant ensuite
![{\displaystyle e={\frac {a^{2}-c^{2}}{2c^{2}}},\quad i={\frac {b^{2}-c^{2}}{2c^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6378a8b43bb6560b76322a81e350d92996f44a26)
Au reste les quantités que nous désignons ici par
![{\displaystyle a,b,c,\mathrm {M} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65ad709804c4811bafbc339bcff9a43da44f14d0)
le sont dans l’endroit cité par
7. On sait que l’attraction du sphéroïde sur un point quelconque dont la position dans l’espace serait déterminée par les coordonnées
rapportées aux mêmes axes que les coordonnées
dépend de la formule
![{\displaystyle \int {\frac {d\mathrm {M} }{\sqrt {(f-x)^{2}+(g-y)^{2}+(h-z)^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffe9614aa79f342878450c233567f8faac2d0f8d)
que j’appelle
l’intégration étant rapportée à toute la masse du sphéroïde. Car, si dans la quantité
regardée comme fonction de
on fait varier séparément ces dernières quantités, on aura
pour les attractions totales parallèlement aux axes des coordonnées
. Et si l’on change ces coordonnées en un rayon vecteur
avec deux angles
et
tels que
![{\displaystyle h=\rho \cos \lambda ,\quad g=\rho \sin \lambda \sin \mu ,\quad f=\rho \sin \lambda \cos \mu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e3bc37c04e10ca138b37650484ab9e60f5959cc)
on aura
pour l’attraction suivant le rayon
pour les deux attractions perpendiculaires au rayon, l’une dans le plan qui passe par l’axe des ordonnées
et l’autre perpendiculaire à ce plan.
La recherche de l’attraction du sphéroïde dépend donc simplement de la détermination de la quantité
en fonction de
Dans le Mémoire déjà cité sur l’attraction des sphéroïdes, j’ai résolu la question pour le cas où le point attiré est dans l’intérieur ou à la surface ; et dans une Addition à ce Mémoire, imprimée dans le volume de l’année 1775, je l’ai résolue aussi pour le cas où le point attiré est sur le prolongement d’un des trois axes. Les autres cas ont été résolus d’abord par Legendre pour les seuls sphéroïdes de révolution, ensuite par Laplace et Legendre pour des sphéroïdes quelconques. On ne peut regarder leurs solutions que comme des chefs-d’œuvre d’analyse, mais on peut désirer encore une solution plus directe et plus simple ; et les progrès naturels de l’Analyse donnent lieu de l’espérer. En attendant, voici l’usage qu’on pourrait faire des formules précédentes dans cette recherche.
8. Si l’on réduit le radical
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {(f-x)^{2}+(g-y)^{2}+(h-z)^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39ceeee958ef22c5cb92e8f17c3cb503fc11915d)
en série ascendante relativement aux quantités
la quantité
se trouvera composée de termes de la forme
dont on aura la valeur par la formule du no 5, le coefficient
ne dépendant que des quantités ![{\displaystyle f,g,h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73b606174bc02e11fef180e2e3ffa3f9a78abaf0)
Si le point attiré est assez éloigné relativement aux dimensions du sphéroïde, ce qui est le cas des corps célestes, cette réduction en série sera toujours assez exacte, et il suffira de ne tenir compte que des premiers termes, comme dans les Problèmes de la précession des équinoxes, de la libration de la Lune ou des autres Planètes.
En substituant
à la place de
(7), on pourra réduire le radical dont il s’agit en une série de la forme
![{\displaystyle {\frac {1}{\rho }}+{\frac {(1)}{\rho ^{2}}}+{\frac {(2)}{\rho ^{3}}}+{\frac {(3)}{\rho ^{4}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1caa29ea81600e35228a6b8092735f60c70fbdfa)
les quantités
étant des fonctions homogènes de
des dimensions
Ainsi, en multipliant par
et intégrant, on aura
![{\displaystyle \mathrm {V} ={\frac {\mathrm {M} }{\rho }}+{\frac {\int (1)d\mathrm {M} }{\rho ^{2}}}+{\frac {\int (2)d\mathrm {M} }{\rho ^{3}}}+{\frac {\int (3)d\mathrm {M} }{\rho ^{4}}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bccb4df41a67341c87e030612d776a3e1c0242c)
Mais, par ce que nous avons observe plus haut (3), il est clair que les valeurs de
![{\displaystyle \int (1)d\mathrm {M} ,\quad \int (3)d\mathrm {M} ,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99df80a3db16b43490f0affad1aa88c9342c443d)
seront nulles ; que, de plus, dans les valeurs de
![{\displaystyle \int (2)d\mathrm {M} ,\quad \int (4)d\mathrm {M} ,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acbdeca2c1444ebc56b3e2943fc49f6022e48e75)
les quantités provenant des termes de
![{\displaystyle (2),(4),\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d724b0fa29814f768a188a27471dc8d158361ba7)
qui contiendraient des puissances impaires de
![{\displaystyle x,y,z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbeca34b28f569a407ef74a955d041df9f360268)
seront nulles aussi. D’où il s’ensuit que l’on aura simplement
![{\displaystyle \mathrm {V} ={\frac {\mathrm {M} }{\rho }}+{\frac {\int (2)d\mathrm {M} }{\rho ^{3}}}+{\frac {\int (4)d\mathrm {M} }{\rho ^{5}}}+{\frac {\int (6)d\mathrm {M} }{\rho ^{7}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad6736c299c4928821a9290c1b90b22501fe05c1)
les quantités
étant de la forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}(2)=&\mathrm {A} x^{2}+\mathrm {B} y^{2}+\mathrm {C} z^{2},\\(4)=&\mathrm {A} 'x^{4}+\mathrm {B} 'y^{4}+\mathrm {C} 'z^{4}+\mathrm {D} 'x^{2}y^{2}+\mathrm {E} 'x^{2}z^{2}+\mathrm {F} 'y^{2}z^{2},\\(6)=&\mathrm {A} ''x^{6}+\mathrm {B} ''y^{6}+\mathrm {C} ''z^{6}+\mathrm {D} ''x^{4}y^{2}+\mathrm {E} ''x^{4}z^{2},\\&+\mathrm {F} ''x^{2}y^{4}+\mathrm {G} ''x^{2}z^{4}+\mathrm {H} ''y^{4}z^{2}+\mathrm {I} ''y^{2}z^{4}+\mathrm {K} ''x^{2}y^{2}z^{2}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e00d50fb0e549161dcf9cde461dd87ad0434df28)
et ainsi de suite
Les coefficients
seront des fonctions des angles
et
qu’on déterminera facilement par différents moyens.
Appliquant donc à ces quantités la formule générale du no 5 ci-dessus, on aura sur-le-champ
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int (2)d\mathrm {M} =&{\frac {\mathrm {M} }{5}}\left(\mathrm {A} a^{2}+\mathrm {B} b^{2}+\mathrm {C} c^{2}\right),\\\int (4)d\mathrm {M} =&{\frac {\mathrm {M} }{5.7}}\left(3\mathrm {A} 'a^{4}+3\mathrm {B} 'b^{4}+3\mathrm {C} 'c^{4}+\mathrm {D} 'a^{2}b^{2}+\mathrm {E} 'a^{2}c^{2}+\mathrm {F} 'b^{2}c^{2}\right),\\\int (6)d\mathrm {M} =&{\frac {\mathrm {M} }{5.7.9}}\left(3.5\mathrm {A} ''a^{6}+3.5\mathrm {B} ''b^{6}+3.5\mathrm {C} ''c^{6}+3\mathrm {D} ''a^{4}b^{2}+3\mathrm {E} ''a^{4}c^{2}\right.\\&\ \ \quad \qquad \left.+3\mathrm {F} ''a^{2}b^{4}+3\mathrm {G} ''a^{2}c^{4}+3\mathrm {H} ''b^{4}c^{2}+3\mathrm {I} ''b^{2}c^{4}+\mathrm {K} ''a^{2}b^{2}c^{2}\right)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5980ab2b1b263631e6c592c89367cf65acab3a3)
et ainsi de suite.
9. J’observe maintenant qu’il y a nécessairement entre les différents coefficients
des relations indépendantes des angles
et
dont ils sont fonctions, et qui viennent de ce que la série
![{\displaystyle {\frac {1}{\rho }}+{\frac {(1)}{\rho ^{2}}}+{\frac {(2)}{\rho ^{3}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0192603d1212481ced5f7eda1e319342b0e4f07)
résulte du développement de la fraction irrationnelle
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {(f-x)^{2}+(g-y)^{2}+(h-z)^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e28694141d7900c40b7d957985fc99fe6706971c)
dans laquelle
sont données en
(numéro précédent). On sait qu’en nommant cette fraction
elle satisfait à l’équation
![{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7380b8c98a64a91021a82d59240d2473fa69e7cf)
quelles que soient les valeurs de
comme on peut s’en assurer par la différentiation. Donc, substituant à la place de
la série dont il s’agit, il faudra qu’on ait autant d’équations semblables pour chacune des quantités
c’est-à-dire
![{\displaystyle {\frac {d^{2}(1)}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}(1)}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}(1)}{dz^{2}}}=0,\quad {\frac {d^{2}(2)}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}(2)}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}(2)}{dz^{2}}}=0,\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e4dbb143f6ba9dc6f6f103011a84b3d36d8a78a)
et, comme ces équations doivent être indépendantes d’aucune relation entre
il faudra égaler à zéro les termes qui après la différentiation resteront affectés des mêmes produits de ces variables.
Ainsi l’équation
![{\displaystyle {\frac {d^{2}(2)}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}(2)}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}(2)}{dz^{2}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8698b40113b084cabf6fc78841fde2ac57d20a35)
donnera l’équation
![{\displaystyle \mathrm {A+B+C} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93a4889c3ed21a67518ff55ff29a7addc3ce5144)
L’équation
![{\displaystyle {\frac {d^{2}(4)}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}(4)}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}(4)}{dz^{2}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ab6a7c6f15d6251063b1a748c306611f315d0f0)
donnera ces trois équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}&4.3\mathrm {A'+2D'+2E'} =0,\\&4.3\mathrm {B'+2D'+2F'} =0,\\&4.3\mathrm {C'+2E'+2F'} =0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ae5fb9d36a4659cbe6caff2651b7a8822a4fb3c)
L’équation
![{\displaystyle {\frac {d^{2}(6)}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}(6)}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}(6)}{dz^{2}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f6756daddd6bbe55a34c4566df708f7fd841eae)
donnera ces six équations
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}6.5\mathrm {A''+2D''+2E''\,} =&0,\qquad &4.3\mathrm {D''+4.3F''\,+2K''} =&0,\\6.5\mathrm {B''+2F''\,+2H''} =&0,&4.3\mathrm {E''+4.3G''+2K''} =&0,\\6.5\mathrm {C''+2G''+2I''\,\ } =&0,&4.3\mathrm {H''+4.3I''\,\ +2K''} =&0\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f1873885d419671ccac5d83c99e939a83ae57c2)
et ainsi des autres.
Donc
1o On aura
cette valeur, substituée dans l’expression de
donnera
![{\displaystyle \int (2)d\mathrm {M} ={\frac {\mathrm {M} }{5}}\left[\mathrm {B} \left(b^{2}-a^{2}\right)+\mathrm {C} \left(c^{2}-a^{2}\right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bc0267223ce2e6dea5e1b4482c0bc75c3e4ec83)
2o On aura
![{\displaystyle \mathrm {2.3A'=-D'-E',\quad 2.3B'=-D'-F',\quad 2.3C'=-E'-F'} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ad6efcfa5e50c928241979ac631f509bcedf438)
ces valeurs, substituées dans l’expression de
la réduiront à cette forme
![{\displaystyle \int (4)d\mathrm {M} ={\frac {\mathrm {M} }{2.5.7}}\left[-\mathrm {D} '\left(b^{2}-a^{2}\right)^{2}-\mathrm {E} '\left(c^{2}-a^{2}\right)^{2}-\mathrm {F} '\left(c^{2}-b^{2}\right)^{2}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bf3f5fa6c8e8b2ded43ddfa29d85e5db21a4636)
3o On aura d’abord
![{\displaystyle \mathrm {3.5A''=-D''-E'',\quad 3.5B''=-F''-H'',\quad 3.5C''=-G''-I''} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dc3ff4a9ab381973d9402e33660b27e5c962af1)
ensuite, tirant des trois dernières conditions les valeurs de
on aura
![{\displaystyle \mathrm {K''=-2.3H''-2.3I'',\quad G''=H''+I''-E'',\quad F''=H''+I''-D''} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22dc48a9c66895c1a6ca2fc27696773e14043250)
et par conséquent
![{\displaystyle \mathrm {3.5B''=-2H''-I''+D'',\quad 3.5C''=-H''-2I''+E''} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48f45e5b1afe0cfff71dd20205299b6db86ca588)
Les coefficients
sont donc donnés en ![{\displaystyle \mathrm {D'',E'',} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4ffdcfd9b1b4c0666d789852299639d0a0fa1a3)
et, ces substitutions étant faites dans l’expression de
elle se réduira à cette forme et ainsi de suite.
![{\displaystyle \int (6)d\mathrm {M} ={\frac {\mathrm {M} }{5.7.9}}\left[\mathrm {D} ''\left(b^{2}-a^{2}\right)^{3}+\mathrm {E} ''\left(c^{2}-a^{2}\right)^{3}-\mathrm {H} ''\left(c^{2}-b^{2}\right)^{3}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52af4cc2dca4747d4cde5b4d8ebba5a118ea73a2)
![{\displaystyle \left.-3\mathrm {H} ''\left(b^{2}-a^{2}\right)\left(c^{2}-b^{2}\right)^{2}+\mathrm {I} ''\left(c^{2}-b^{2}\right)^{3}-3\mathrm {I} ''\left(c^{2}-a^{2}\right)\left(c^{2}-b^{2}\right)^{2}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1ec00db9d14380c018b918b4a234ce895b261bc)
10. Comme
![{\displaystyle c^{2}-b^{2}=c^{2}-a^{2}-\left(b^{2}-a^{2}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fbc481f33a17ba350a81e8c10220f70bf31d805)
il est visible que les valeurs de
se trouvent exprimées par
multipliée par des fonctions de
et
Si l’on pouvait tirer de l’induction précédente une conclusion générale, il s’ensuivrait que la quantité
du no 7 ci-dessus pourrait toujours s’exprimer par
multipliée par une fonction de
et de
que par conséquent, à cause de
(5), on aurait, en général, relativement aux quantités
qui entrent dans la valeur de ![{\displaystyle \mathrm {V} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cdc254b7587ca13708fe6e8be323e1f243e2ba9)
![{\displaystyle \mathrm {V} =abc\operatorname {F} \left(b^{2}-a^{2},c^{2}-a^{2}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f89b0548f592c60150238d42c354d9a0a03deea1)
la caractéristique
dénotant une fonction des deux quantités renfermées entre les crochets et séparées par une virgule.
Supposons qu’en mettant
à la place de ![{\displaystyle a^{2},b^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14e607a4d2473b6d7be8f5b92cb151faacf6d356)
dans la quantité
elle devienne
étant une quantité arbitraire, on aura donc pareillement
![{\displaystyle \mathrm {V} '={\sqrt {\left(a^{2}+e\right)\left(b^{2}+e\right)\left(c^{2}+e\right)}}\operatorname {F} \left(b^{2}-a^{2},c^{2}-a^{2}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e818fdac6bc3127518e236df0c3579920d450d95)
donc
![{\displaystyle \mathrm {\frac {V'}{V}} ={\sqrt {\left(1+{\frac {e}{a^{2}}}\right)\left(1+{\frac {e}{b^{2}}}\right)\left(1+{\frac {e}{c^{2}}}\right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c7f4fb31095f189664af9206fc13f4b35474326)
Ainsi, si l’on peut trouver la valeur de
pour une valeur quelconque de
on en tirera celle de
11. Pour appliquer à cette recherche les formules données dans le Mémoire cité de 1773, et pour rendre les dénominations employées dans ces formules conformes à celles des formules précédentes, nous changerons dans celles-là
en
en
et
en
pour que l’équation de l’ellipsoïde soit comme ci-dessus
![{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e537340a8aedeb1eb6fd56ee70fdd5ab6a40d405)
nous y changerons ensuite les quantités
qui représentaient les coordonnées du point attiré en
et nous conserverons l’emploi des quantités
dont la première représente la distance du point attiré à la molécule
les deux autres représentent les angles décrits par ce rayon.
D’après ces dénominations on aura, par la méthode du Problème III du même Mémoire,
![{\displaystyle f-x=r\sin p\cos q,\quad g-y=r\sin p\sin q,\quad h-z=r\cos p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40e4fa1484e3a6203d4ca1dc3c03ec07158d0f91)
et
![{\displaystyle d\mathrm {M} =r^{2}\sin pdpdqdr,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e6b2f3061080509fbe5ccb9a7e8337335196a66)
et par conséquent
![{\displaystyle d\mathrm {V} =\int {\frac {d\mathrm {M} }{\sqrt {(f-x)^{2}+(g-y)^{2}+(h-z)^{2}}}}=rdr\sin pdpdq}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff1269fc7f9d41519c3fa9e66b2176b0727a03b3)
.
Intégrant d’abord relativement à
suivant les procédés du Problème IV pour les points extérieurs, on aura
![{\displaystyle {\frac {\left(r'^{2}-r''^{2}\right)\sin pdpdq}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f5fe4fe9569788feb6db0aab53f15d93962f9d2)
et
étant les deux racines de l’équation en
résultante de la substitution de
![{\displaystyle f-r\sin p\cos q,\quad g-r\sin p\sin q,\quad h-r\cos p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aca10e69114851995814ae14b875d864808c4d6)
à la place de
dans l’équation du sphéroïde. On intégrera ensuite relativement à
et
et l’on prendra les intégrales entre les limites données par l’égalité des racines
et
mais lorsque l’équation n’aura qu’une racine, alors on intégrera depuis
jusqu’à
et depuis
jusqu’à
suivant les règles prescrites dans le no 5 du Mémoire cité.
L’équation en
devient
![{\displaystyle \mathrm {M} r^{2}-2\mathrm {N} r+\mathrm {P} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2705e4953341e5ddd03d53c2aa7198952d96ae5d)
en supposant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {M} =&{\frac {\sin ^{2}p\cos ^{2}q}{a^{2}}}+{\frac {\sin ^{2}p\sin ^{2}q}{b^{2}}}+{\frac {\cos ^{2}p}{c^{2}}},\\\mathrm {N} =&{\frac {f\sin p\cos q}{a^{2}}}+{\frac {g\sin p\sin q}{b^{2}}}+{\frac {h\cos p}{c^{2}}},\\\mathrm {P} =&{\frac {f^{2}}{a^{2}}}+{\frac {g^{2}}{b^{2}}}+{\frac {h^{2}}{c^{2}}}-1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86b9e99c0d560dfb3441d001bdae8cc1959dbf5c)
Les deux racines
et
sont donc
![{\displaystyle \mathrm {\frac {N\pm {\sqrt {N^{2}-MP}}}{M}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83353f19ff844fe968926493623348c558ef18ce)
de sorte qu’on aura
![{\displaystyle r'^{2}-r''^{2}=\mathrm {\frac {4N{\sqrt {N^{2}-MP}}}{M^{2}}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b073660c0d9520240ce7f007a34bf3c054476b3)
par conséquent la valeur de
sera
![{\displaystyle d\mathrm {V} =\mathrm {\frac {2N{\sqrt {N^{2}-MP}}}{M^{2}}} \sin pdpdq.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df398d4789d6df0bf9c0f1f47810c452a04f085c)
Ce qui rend les intégrations qui restent à faire très-difficiles, c’est le radical mais ce radical disparaîtrait si
Or on peut prendre
dans la valeur de
en déterminant convenablement l’arbitraire
.
12. Supposons donc que dans les expressions de
on mette partout
à la place de
et que ces expressions deviennent alors
on aura de même (10)
![{\displaystyle d\mathrm {V} '=\mathrm {\frac {2N'{\sqrt {N'^{2}-M'P'}}}{M'^{2}}} \sin pdpdq.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae0a6d8e4e297d8d70b9331ca296b5f32b1addb8)
Donc, si l’on prend
en sorte que
c’est-à-dire que l’on ait
![{\displaystyle {\frac {f^{2}}{a^{2}+e}}+{\frac {g^{2}}{b^{2}+e}}+{\frac {h^{2}}{c^{2}+e}}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf65586d3e6470f57d373b746cb43b0173a7790)
alors la valeur de
![{\displaystyle d\mathrm {V} '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14e81d516089a593ff89e06da54b58de29b5e24a)
se simplifiera et deviendra
![{\displaystyle d\mathrm {V} '=\mathrm {\frac {2N'^{2}}{M'^{2}}} \sin pdpdq,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dd6c6812bc8569c0a5cff17baa97eee605bc351)
De plus, dans ce cas l’équation en
deviendra
![{\displaystyle \mathrm {M} 'r-2\mathrm {N} '=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d43eb5597fbc66b30674be160492132cca567f5a)
et n’aura plus qu’une seule racine ; de sorte que les intégrations relatives à
et
seront indépendantes et devront se faire depuis
jusqu’à
et depuis
jusqu’à
Ainsi l’on aura la valeur complète de
par cette double intégration de la formule suivante
![{\displaystyle {\frac {2\left({\cfrac {f\sin p\cos q}{a^{2}+e}}+{\cfrac {g\sin p\sin q}{b^{2}+e}}+{\cfrac {h\cos p}{c^{2}+e}}\right)^{2}\sin pdpdq}{\left({\cfrac {\sin ^{2}p\cos ^{2}q}{a^{2}+e}}+{\cfrac {\sin ^{2}p\sin ^{2}q}{b^{2}+e}}+{\cfrac {\cos ^{2}p}{c^{2}+e}}\right)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f69e68961d659a445d07e47a35c411e393baf996)
qu’on peut réduire à celle-ci plus simple
![{\displaystyle 2{\frac {\left({\cfrac {f\cos q}{a^{2}+e}}+{\cfrac {g\sin q}{b^{2}+e}}\right)^{2}\sin ^{2}p+\left({\frac {h}{c^{2}+e}}\right)^{2}\cos ^{2}p}{\left({\cfrac {\sin ^{2}p\cos ^{2}q}{a^{2}+e}}+{\cfrac {\sin ^{2}p\sin ^{2}q}{b^{2}+e}}+{\cfrac {\cos ^{2}p}{c^{2}+e}}\right)^{2}}}\sin pdpdq,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed33f1a6b444ffd5b3d5a99b71d18cbc422a49bb)
par la raison que toute formule telle que
où
serait une fonction rationnelle de
et
étant intégrée depuis
jusqu’à
donne un résultat nul.
L’intégrale relative à
n’a aucune difficulté ; il n’y a qu’à faire
et l’on aura une différentielle rationnelle en
mais dont l’intégrale renfermera un arc de cercle ; l’intégrale relative à
se trouvera de la même manière en faisant
et sa valeur complète sera algébrique ; ainsi il y a de l’avantage à commencer par cette dernière mais l’intégration suivante relative à
dépendra alors de la rectification des sections coniques.
Au reste, comme la propriété que nous avons trouvée par induction dans le no 10 a été démontrée rigoureusement par Laplace et Legendre, les résultats précédents doivent aussi être regardés comme rigoureux.