Mémoires extraits des recueils de l’Académie des sciences de Paris et de l’Institut de France/Recherches sur la manière de former des Tables des planètes d’après les seules observations

Joseph-Louis Lagrange

Recherches sur la manière de former des Tables des planètes d’après les seules observations

Mémoires extraits des recueils de l’Académie des sciences de Paris et de l’Institut de France, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome VI (p. 507-627).

RECHERCHES
SUR LA MANIÈRE
DE FORMER DES TABLES DES PLANÈTES
D’APRÈS LES SEULES OBSERVATIONS.

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(Mémoires de l’Académie Royale des Sciences de Paris, année 1772.)

On s’occupe depuis longtemps à rechercher à priori les inégalités des mouvements des planètes d’après les principes de la gravitation universelle mais personne, que je sache, n’a encore entrepris de donner des méthodes directes et générales pour trouver ces mêmes inégalités à posteriori, c’est-à-dire, d’après les observations seules. C’est à remplir ce dernier objet dans toute son étendue qu’est destiné le Mémoire que j’ai l’honneur de présenter à l’Académie Royale des Sciences ; heureux si cette illustre Compagnie daigne recevoir avec indulgence ce fruit de mon travail sur une matière qui $a,$ à la vérité, plus d’utilité que de difficulté, mais qui ne me paraît par là que plus digne de son attention.

HYPOTHÈSE.

1. Les inégalités des mouvements des planètes peuvent être représentées par une suite de termes de la forme $\mathrm {A} \sin \varphi ,$ $\mathrm {A}$ étant un coefficient constant, et $\varphi$ un angle qui augmente uniformément.

Remarque I.

2. C’est sur ce principe que sont fondées toutes les Tables des planètes chaque terme tel que $\mathrm {A} \sin \varphi$ s’appelle une équation, dont $\mathrm {A}$ est le coefficient ou la plus grande valeur, et $\varphi$ l’argument.

Les Anciens, qui ne voulaient admettre dans le Système du monde que des mouvements circulaires et uniformes, représentaient toutes les irrégularités des mouvements des Corps célestes par des cercles excentriques et par des épicycles ; or il est facile de prouver que, tant que l’excentricité est assez petite et que les rayons des épicycles sont aussi assez petits par rapport à celui du cercle principal, les irrégularités que l’on trouve par ce moyen peuvent toujours s’exprimer par une suite de termes de la forme $\mathrm {A} \sin \varphi .$

En effet, si l’on considère un cercle dont le rayon soit $a,$ et qui soit chargé d’un épicycle dont le rayon soit $ma,$ et qu’on suppose que, tandis que le centre de cet épicycle se meut sur la circonférence du cercle principal en décrivant autour de son centre l’angle $t,$ un corps se meuve sur la circonférence de l’épicycle en décrivant autour de son centre l’angle $\varphi ,$ on trouvera que ce corps décrira autour du centre du cercle principal un angle $t+x,$ où $x$ sera tel que

$\operatorname {tang} x={\frac {m\sin \varphi }{1+m\cos \varphi }},$

en sorte que l’angle $x$ exprimera l’inégalité du mouvement provenant de l’épicycle. Or, si l’on suppose le rayon $ma$ fort petit par rapport au rayon $a,$ on aura pour $m$ une fraction fort petite, et l’on aura par les séries

$\operatorname {tang} x=m\sin \varphi \left(1-m\cos \varphi +m^{2}\cos ^{2}\varphi -\ldots \right)\,;$

mais

$x=\operatorname {tang} x-{\frac {\operatorname {tang} ^{3}x}{3}}+\ldots .$

Donc, substituant la valeur de $\operatorname {tang} x,$ et réduisant les puissances et les

produits de $\sin \varphi$ et de $\cos \varphi$ en sinus et cosinus d’angles multiples de $\varphi ,$ on aura pour $x$ cette série assez simple

$x=m\sin \varphi -{\frac {m^{2}\sin 2\varphi }{2}}+{\frac {m^{3}\sin 3\varphi }{3}}-{\frac {m^{4}\sin 4\varphi }{4}}+\ldots .$

Si l’on imaginait un second épicycle dont le rayon fût $na,$ et dont le centre décrivît la circonférence du premier épicycle, tandis que le mobile décrit la circonférence de ce second épicycle, en parcourant autour de son centre des angles $\psi$ dans le même temps que sont parcourus les angles $t$ et $\varphi ,$ on trouverait que l’angle parcouru par le mobile autour du cercle principal serait $t+x,$ où l’angle $x,$ qui représente l’inégalité du mouvement, sera tel que

$\operatorname {tang} x={\frac {m\sin \varphi +n\sin(\varphi +\psi )}{1+m\cos \varphi +n\cos(\varphi +\psi )}},$

d’où, en supposant $m$ et $n$ fort petits, il est facile de tirer la valeur de $x$ exprimée par une suite de sinus.

S’il y avait un troisième épicycle dont le rayon fût $pa,$ et sur la circonférence duquel le mobile fût mû en parcourant autour de son centre des angles $\xi ,$ on trouverait que l’inégalité $x$ serait déterminée par l’équation

$\operatorname {tang} x={\frac {m\sin \varphi +n\sin(\varphi +\psi )+p\sin(\varphi +\psi +\xi )}{1+m\cos \varphi +n\cos(\varphi +\psi )+p\cos(\varphi +\psi +\xi )}},$

et ainsi de suite.

Si l’on suppose un cercle excentrique dont le rayon soit $a$ et l’excentricité $ma,$ on trouvera que, tandis que le mobile parcourt autour du centre du cercle l’angle $t,$ il parcourra autour du point qui est pris pour le centre du mouvement apparent un angle $t+x,$ en sorte que

$\operatorname {tang} x={\frac {m\sin t}{1+m\cos t}}\,;$

d’où l’on voit que c’est la même chose que si le cercle était supposé homocentrique, et qu’il portât un épicycle dont le rayon fût $ma,$ et dont

la circonférence fût parcourue par le mobile d’un mouvement angulaire égal à celui dont le centre de cet épicycle parcourt la circonférence du cercle principal ; c’est ce qui a déjà été remarqué par Ptolémée.

De là on voit aussi que le cas d’un épicycle porté par un excentrique sera le même que celui d’un homocentrique qui portera deux épicycles, et ainsi de suite.

Remarque II.

3. Dans l’Astronomie moderne, on explique les principales inégalités des planètes par la figure elliptique de leurs orbites et par la loi des aires proportionnelles au temps, d’où résulte l’inégalité qu’on appelle équation du centre, et qui est, comme l’on sait, exprimée par la série

$-2\varepsilon \sin \varphi ++{\frac {5\varepsilon ^{2}}{4}}\sin 2\varphi ++{\frac {\varepsilon ^{3}}{4}}\sin \varphi -+{\frac {13\varepsilon ^{3}}{12}}\sin 3\varphi +\ldots ,$

$\varepsilon$ étant l’excentricité, et $\varphi$ l’angle de l’anomalie moyenne qui est proportionnelle au temps. La loi de cette série n’est pas facile à trouver, surtout en employant la méthode ordinaire, suivant laquelle on cherche d’abord l’anomalie moyenne par la vraie, et ensuite on déduit celle-ci de celle-là par le retour de la série ; mais on peut y parvenir par la méthode que j’ai donnée ailleurs [Mémoires de Berlin, 1769^[1]].

Quant aux autres inégalités des planètes, c’est par le principe de la gravitation universelle qu’on tâche de les déterminer, et les calculs faits d’après ce principe donnent toujours des équations dont les arguments dépendent des lieux moyens des planètes, de ceux de leurs aphélies et de leurs nœuds.

En général, la figure presque circulaire des orbites des planètes fait que les forces perturbatrices qui viennent de leur attraction réciproque peuvent être exprimées par des séries plus ou moins convergentes et composées uniquement de sinus ou cosinus ; circonstance sans laquelle il serait comme impossible de déterminer d’une manière générale l’effet de ces perturbations.

Remarque III.

4. Il y a cependant une espèce d’inégalités qui paraît faire une exception à la règle générale je parle des inégalités séculaires qui augmentent comme les carrés des temps ; mais, d’un côté, il paraît très-probable que ces sortes d’inégalités ne sont qu’apparentes et ne viennent que de quelques équations dont les arguments ne varient que très-peu, en sorte que leur période est très-longue ; de l’autre, elles ne sont, à proprement parler, que des cas particuliers de la formule générale, comme nous le ferons voir dans la suite de ce Mémoire. D’ailleurs il est toujours possible de se débarrasser d’avance de ces sortes d’inégalités, et nous fournirons pour cela des moyens aussi simples que commodes.

proposition I.

Théorème.

5. Toute série dont un terme quelconque est représenté par la formule

$\mathrm {A} \sin(a+m\alpha )+\mathrm {B} \sin(b+m\beta )+\mathrm {C} \sin(c+m\gamma )+\ldots ,$

$m$ étant le nombre des termes précédents, est une série récurrente dont l’échelle de relation dépend uniquement des angles $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots .$

Dénotons, en général, par

$\mathrm {T,\ \ T',\ \ T'',\ \ T'''} ,\ldots ,\quad \mathrm {T} ^{(m)},\mathrm {T} ^{(m+1)},\ldots$

les termes de la série proposée, en sorte que l’on ait

$\mathrm {T} ^{(m)}=\mathrm {A} \sin(a+m\alpha )+\mathrm {B} \sin(b+m\beta )+\mathrm {C} \sin(c+m\gamma )+\ldots ,$

et examinons la nature de la suite infinie

$\mathrm {T} +\mathrm {T} 'x+\mathrm {T} ''x^{2}+\mathrm {T} '''x^{3}+\ldots +\mathrm {T} ^{(m)}x^{m}+\mathrm {T} ^{(m+1)}x^{m+1}+\ldots .$

On sait que

$\sin \varphi ={\frac {e^{\varphi {\sqrt {-1}}}-e^{-\varphi {\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}},$

$e$ étant lé nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité ; donc, faisant, pour abréger,

$\mathrm {K} ={\frac {\mathrm {A} e^{a{\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}},\quad \mathrm {L} =-{\frac {\mathrm {A} e^{-a{\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}},\quad p=e^{\alpha {\sqrt {-1}}},\quad q=e^{-\alpha {\sqrt {-1}}},$

on aura

$\mathrm {A} \sin(a+m\alpha )=\mathrm {K} p^{m}+\mathrm {L} q^{m}\,;$

de même, si l’on fait

${\begin{alignedat}{4}\mathrm {M} =&{\frac {\mathrm {B} e^{b{\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}},\quad &\mathrm {N} =&-{\frac {\mathrm {B} e^{-b{\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}},\quad &r=&e^{\beta {\sqrt {-1}}},\quad &s=&e^{-\beta {\sqrt {-1}}},\\\mathrm {P} =&{\frac {\mathrm {C} e^{c{\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}},&\mathrm {Q} =&-{\frac {\mathrm {C} e^{-c{\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}},&t=&e^{\gamma {\sqrt {-1}}},&u=&e^{-\gamma {\sqrt {-1}}},\end{alignedat}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,$

on aura

${\begin{aligned}&\mathrm {B} \sin(b+m\beta )=\mathrm {M} r^{m}+\mathrm {N} s^{m},\\&\mathrm {C} \sin(c+m\gamma \,)=\mathrm {P} \,t^{m}+\mathrm {Q} u^{m},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et le terme général $\mathrm {T} ^{(m)}$ prendra cette forme

$\mathrm {T} ^{(m)}=\mathrm {K} p^{m}+\mathrm {L} q^{m}+\mathrm {M} r^{m}+\mathrm {N} s^{m}+\mathrm {P} t^{m}+\mathrm {Q} u^{m}+\ldots .$

D’où l’on voit que la suite

$\mathrm {T} +\mathrm {T} 'x+\mathrm {T} ''x^{2}+\mathrm {T} '''x^{3}+\ldots$

n’est autre chose que la somme de plusieurs séries géométriques, dont les premiers termes sont $\mathrm {K,L,M} ,\ldots$ et dont les raisons sont $px,qx,rx,\ldots ,$ de sorte qu’en sommant chacune de ces séries géométriques on aura la valeur de toute la série

$\mathrm {T} +\mathrm {T} 'x+\mathrm {T} ''x^{2}+\mathrm {T} '''x^{3}+\ldots .$

On aura donc de cette manière l’équation identique

$\mathrm {T} +\mathrm {T} 'x+\mathrm {T} ''x^{2}+\mathrm {T} '''x^{3}+\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+\ldots =$

${\frac {\mathrm {K} }{1-px}}+{\frac {\mathrm {L} }{1-qx}}+{\frac {\mathrm {M} }{1-rx}}+{\frac {\mathrm {N} }{1-sx}}+\ldots \,;$

et il est clair qu’en réduisant au même dénominateur les fractions qui composent le second membre de cette équation, et dont nous supposerons que le nombre soit $n,$ ce second membre se transformera en une fraction unique de la forme

${\frac {[0]+[\ 1\,]x+[2]x^{2}+[3]x^{3}+\ldots +[n-1]x^{n-1}}{(0)+(1)x+(2)x^{2}+(3)x^{3}+\ldots +(n)x^{n}\quad \ \ \ }},$

où les nombres $0,1,2,3,\ldots ,$ renfermés dans des crochets carrés ou ronds, désignent des coefficients différents qui dépendent des quantités $\mathrm {K,L,M} ,$ $\mathrm {N} ,\ldots ,$ $p,q,r,s,\ldots .$ Et, comme le dénominateur de cette fraction doit être égal au produit des $n$ dénominateurs $1-px,\ 1-qx,$ $1-rx,$ $1-sx,\ldots ,$ il est d’abord évident qu’on aura

${\begin{aligned}&(0)=1,\\&(1)=-p-q-r-s-\ldots ,\\&(2)=pq+pr+ps+\ldots +qr+qs+\ldots ,\\&(3)=-pqr-pqs-qrs-\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

de sorte que les coefficients $(0),(1),(2),(3),\ldots$ du dénominateur de la fraction dont il s’agit seront donnés uniquement par les quantités $p,q,r,s,\ldots .$

Ainsi la série proposée sera égale à cette dernière fraction, que nous appellerons par conséquent fraction génératrice de la série ; d’où il est facile de conclure que la même série sera du genre de celles qu’on nomme récurrentes, et dont la propriété est qu’un terme quelconque se forme de l’addition d’un certain nombre de termes précédents, multipliés chacun par un coefficient donné ; car, en multipliant la série

$\mathrm {T} +\mathrm {T} 'x+\mathrm {T} ''x^{2}+\ldots$

par le dénominateur

$1+(1)x+(2)x^{2}+\ldots +(n)x^{n},$

et comparant les termes du produit avec le numérateur

$[0]+[1]x+[2]x^{2}+\ldots +[n-1]x^{n-1},$

on a les équations

${\begin{aligned}&\mathrm {T} \ \ \,=[o],\\&\mathrm {T} '\ \,=-(1)\mathrm {T} \ \ +[1],\\&\mathrm {T} ''\,=-(1)\mathrm {T} '\ -(2)\mathrm {T} \ +[2],\\&\mathrm {T} '''=-(1)\mathrm {T} ''-(2)\mathrm {T} '-(3)\mathrm {T} +[3],\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&\mathrm {T} ^{(n-1)}=-(1)\mathrm {T} ^{(n-2)}-(2)\mathrm {T} ^{(n-3)}-\ldots -(n-1)\mathrm {T} +[n-1],\\&\mathrm {T} ^{(n)}\ \ \ \,=-(1)\mathrm {T} ^{(n-1)}-(2)\mathrm {T} ^{(n-2)}-\ldots -(n)\mathrm {T} +[n-1],\\&\mathrm {T} ^{(n+1)}=-(1)\mathrm {T} ^{(n)}\quad -(2)\mathrm {T} ^{(n-1)}-\ldots -(n)\mathrm {T} ',\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et, en général,

$\mathrm {T} ^{(m)}=-(1)\mathrm {T} ^{(m-1)}-(2)\mathrm {T} ^{(m-2)}-\ldots -(n)\mathrm {T} +[m-n],$

où les coefficients

$-(1),\quad -(2),\quad -(3),\ldots ,\quad -(n)$

forment ce qu’on appelle, d’après M. Moivre, l’échelle de la série récurrente.

Corollaire I.

6. Puisque $p=e^{\alpha {\sqrt {-1}}},\ q=e^{-\alpha {\sqrt {-1}}},$ on aura

$p+q=e^{\alpha {\sqrt {-1}}}+e^{-\alpha {\sqrt {-1}}}=2\cos \alpha ,\quad pq=1\,;$

de même

${\begin{alignedat}{2}r+s=&2\cos \beta ,\qquad &rs=1,\\t+u=&2\cos \gamma ,&tu=1,\end{alignedat}}$

et ainsi de suite ; donc on aura

${\begin{aligned}&(1-px)(1-qx)=1-2x\cos \alpha +x^{2},\\&(1-rx)(1-sx)=1-2x\cos \beta +x^{2},\\&(1-tx)(1-ux)=1-2x\cos \gamma +x^{2},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Par conséquent le dénominateur

$1+(1)x+(2)x^{2}+(3)x^{3}+\ldots +(n)x^{n}$

sera le produit de ces ${\frac {n}{2}}$ facteurs doubles

${\begin{aligned}&1-2x\cos \alpha +x^{2},\\&1-2x\cos \beta \,+x^{2},\\&1-2x\cos \gamma \ +x^{2},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

D’où il est facile de conclure qu’on aura nécessairement

$(n)=1,\quad (n-1)=(1),\quad (n-2)=(2),\ldots ,$

c’est-à-dire, que les coefficients des termes extrêmes, ainsi que ceux des termes équidistants des extrêmes, seront les mêmes ce qui est la propriété des polynômes qu’on appelle réciproques.

Or, pour trouver facilement les valeurs des coefficients

$(1),\ \ (2),\ \ (3),\ldots \left({\frac {n}{2}}\right)\quad {\text{en}}\quad \cos \alpha ,\ \ \cos \beta ,\ \ \cos \gamma ,\ldots ,$

on mettra le polynôme en question sous la forme suivante, en faisant, pour plus de simplicité, $n=2\nu ,$

$\left(1+x^{2\nu }\right)+(1)x\left(1+x^{2\nu -2}\right)+(2)x^{2}\left(1+x^{2\nu -4}\right)+\ldots +(\nu )x^{\nu }\,;$

ensuite on supposera

$1+x^{2}=xz,$

et l’on remarquera que

${\begin{array}{lll}\left(1+x^{2}\right)^{2}=1+2x^{2}+x^{4}=x^{2}z^{2},&\mathrm {d'o{\grave {u}}} &1+x^{4}=x^{2}\left(z^{2}-2\right),\\\left(1+x^{2}\right)^{3}=1+x^{6}+3x^{2}\left(1+x^{2}\right)=x^{3}z^{3},&\mathrm {d'o{\grave {u}}} &1+x^{6}=x^{3}\left(z^{3}-3z\right),\end{array}}$

et, en général,

$1+x^{2\mu }=x^{\mu }\left[z^{\mu }-\mu z^{\mu -2}+{\frac {\mu (\mu -3)}{2}}z^{\mu -4}-{\frac {\mu (\mu -4)(\mu -5)}{2.3}}z^{\mu -6}+\ldots \right],$

en ne continuant cette série que tant que l’on aura des puissances positives de $z$.

On fera donc ces substitutions, et, divisant ensuite tous les termes par $x^{\nu },$ il viendra un polynôme en $z$ de la forme

$z^{\nu }+\left[(1)\right]z^{\nu -1}+\left[(2)\right]z^{\nu -2}+\left[(3)\right]z^{\nu -3}+\ldots +\left[(\nu )\right],$

où l’on aura

${\begin{aligned}&\left[(1)\right]=(1),\\&\left[(2)\right]=(2)-\nu ,\\&\left[(3)\right]=(3)-(\nu -1)(1),\\&\left[(4)\right]=(4)-(\nu -2)(2)+{\frac {\nu (\nu -3)}{2}},\\&\left[(5)\right]=(5)-(\nu -3)(3)+{\frac {(\nu -1)(\nu -4)}{2}}(1),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

De même, si l’on substitue $xz$ à la place de $1+x^{2}$ dans le produit des $\nu$ trinômes

$1-2x\cos \alpha +x^{2},\quad 1-2x\cos \beta +x^{2},\ldots$

et qu’on divise ce produit par $x^{\nu },$ on aura celui-ci

$(z-2\cos \alpha )(z-2\cos \beta )(z-2\cos \gamma )\ldots ,$

lequel devant être identique avec le polynôme précédent, on en conclura aisément les valeurs des coefficients $\left[(1)\right],\left[(2)\right],\left[(3)\right],\ldots ,$ et de là celles des coefficients $(1),(2),(3),\ldots .$

Quoique les formules précédentes soient connues depuis longtemps, j’ai cru devoir les donner ici, parce que j’aurai occasion d’en faire usage dans la suite.

Quant aux coefficients $[0],[1],[2],\ldots$ du numérateur, il est très-facile de les déterminer par le moyen des équations trouvées dans le numéro précédent, lesquelles donnent

${\begin{aligned}&[0]=\mathrm {T} ,\\&[1]=\mathrm {T'\ +(1)T} ,\\&[2]=\mathrm {T''\,+(1)T'\,+(2)T} ,\\&[3]=\mathrm {T'''+(1)T''+(2)T'+(3)T} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Corollaire II.

7. On voit, par l’analyse du Problème précédent, que non-seulement toute suite composée de sinus d’angles qui croissent en progression arithmétique, mais, en général, toute suite composée de termes qui procèdent en progression géométrique, est récurrente d’un ordre égal au nombre de ces termes.

Il est facile de prouver de même que toute suite algébrique qui a des différences constantes d’un ordre quelconque, multipliée, si l’on veut, terme à terme par une série géométrique quelconque, est une suite récurrente d’un ordre supérieur d’une unité ; et qu’en général toute suite formée par l’addition de deux ou de plusieurs suites de cette espèce sera pareillement récurrente d’un ordre égal à la somme de ceux de chaque suite particulière.

En effet, on sait que la somme d’une suite infinie, dont le terme général, sera $(m+1)p^{m}x^{m},$ est exprimée par ${\frac {1}{(1-px)^{2}}},$ que celle dont le terme général sera ${\frac {(m+1)(m+2)}{2}}p^{m}x^{m}$ est exprimée par ${\frac {1}{(1-px)^{3}}},$ que celle dont le terme général sera ${\frac {(m+1)(m+2)(m+3)}{2.3}}p^{m}x^{m}$ est exprimée par ${\frac {1}{(1-px)^{4}}},$ et ainsi de suite ; donc la somme de la suite qui aura le terme général

$\left[\mathrm {K} _{0}+\mathrm {K} _{1}(m+1)+\mathrm {K} _{2}{\frac {(m+1)(m+2)}{2}}+\mathrm {K} _{3}{\frac {(m+1)(m+2)(m+3)}{2.3}}+\ldots \right.$

$\left.+\mathrm {K} _{\mu -1}{\frac {(m+1)(m+2)(m+3)\ldots (m+\mu -1)}{2.3\ldots (\mu -1)}}\right]p^{m}x^{m}$

sera égale à

${\frac {\mathrm {K} _{0}}{1-px}}+{\frac {\mathrm {K} _{1}}{(1-px)^{2}}}+{\frac {\mathrm {K} _{2}}{(1-px)^{3}}}+\ldots +{\frac {\mathrm {K} _{\mu -1}}{(1-px)^{\mu }}},$

c’est-à-dire, à la fraction simple

${\frac {\mathrm {K} _{0}(1-px)^{\mu -1}+\mathrm {K} _{1}(1-px)^{\mu -2}+\mathrm {K} _{2}(1-px)^{\mu -3}+\ldots +\mathrm {K} _{\mu -1}}{(1-px)^{\mu }}},$

d’où il s’ensuit que, si l’on a une série dont le terme général soit représenté par la formule

$\left(\mathrm {K} +\mathrm {K} 'm+\mathrm {K} ''m^{2}+\mathrm {K} '''m^{3}+\ldots +\mathrm {K} ^{(\mu -1)}m^{\mu -1}\right)p^{m}x^{m},$

il n’y aura qu’à chercher les quantités $\mathrm {K_{0},K_{1},K_{2},\ldots ,K_{\mu -1}} ,$ en sorte que l’on ait l’équation identique

$\mathrm {K} +\mathrm {K} 'm+\mathrm {K} ''m^{2}+\ldots +\mathrm {K} ^{(\mu -1)}m^{\mu -1}=\mathrm {K} _{0}+\mathrm {K} _{1}(m+1)+\mathrm {K} _{2}{\frac {(m+1)(m+2)}{2}}$

$+\mathrm {K} _{3}{\frac {(m+1)(m+2)(m+3)}{2.3}}+\ldots +\mathrm {K} _{\mu -1}{\frac {(m+1)(m+2)\ldots (m+\mu -1)}{1.3\ldots (\mu -1)}},$

et l’on aura, pour la somme de la série, la fraction ci-dessus, dont le numérateur est, comme l’on voit, un polynôme du degré $\mu -1$ et dont le dénominateur est la puissance $\mu$^ième du binôme $1-px\,;$ de sorte que la série proposée sera une série récurrente de l’ordre $\mu ,$ et dont l’échelle de relation sera

$\mu p_{1},\quad -{\frac {\mu (\mu -1)}{2}}p_{1}^{2},\quad +{\frac {\mu (\mu -1)(\mu -2)}{2.3}}p_{1}^{3},\quad -\ldots ,\quad \pm p^{\mu }.$

Quant aux coefficients $\mathrm {K_{0},K_{1},K_{2}} ,\ldots ,$ il est facile de les trouver de la manière suivante. Qu’on suppose, en général,

$\mathrm {K} +\mathrm {K} 'm+\mathrm {K} ''m^{2}+\mathrm {K} '''m^{3}+\ldots +\mathrm {K} ^{(\mu -1)}m^{\mu -1}=\mathrm {S} ,$

et qu’on dénote par $\mathrm {S',S'',S'''} ,\ldots$ les valeurs de $\mathrm {S}$ lorsque $m=-1,-2,$ $-3,\ldots \,;$ on aura donc, en vertu de l’équation supposée,

${\begin{aligned}&\mathrm {S'\ \ =K_{0}} ,\\&\mathrm {S''\ =K_{0}-K_{1}} ,\\&\mathrm {S'''=K_{0}-2K_{1}+K_{2}} ,\\&\mathrm {S^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=K_{0}-3K_{1}+3K_{2}-K_{3}} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}&\quad \ \mathrm {K_{0}=S'} ,\\&-\mathrm {K_{1}=S''\ -S'} ,\\&\quad \ \mathrm {K_{2}=S'''-2S''\ +S'} ,\\&-\mathrm {K_{3}=S^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-3S'''+3S''-S'} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

en sorte que les coefficients $\mathrm {K_{0},K_{1},K_{2},K_{3}} ,\ldots$ ne seront autre chose que les différences successives des quantités $\mathrm {S',S'',S'''} ,\ldots$ prises alternativement en $-$ et en $+.$

Enfin il est clair que, si la suite proposée est composée de plusieurs suites de la forme précédente, il n’y aura qu’à ajouter ensemble les fractions qui expriment la somme de chacune de ces suites continuées à l’infini, et l’on aura une fraction unique qui sera égale à la série proposée, et dont le dénominateur sera de la forme

$(1-px)^{\mu }(1-qx)^{\nu }\ldots .$

De sorte que cette série sera récurrente de l’ordre

$\mu +\nu +\ldots ,$

ayant pour échelle les coefficients pris négativement des puissances $x,$

$x^{2},x^{3},\ldots$ du polynôme qui résultera du développement de la formule

$(1-px)^{\mu }(1-qx)^{\nu }\ldots .$

En général, si l’on a une suite récurrente quelconque

$\mathrm {T} +\mathrm {T} 'x+\mathrm {T} ''x^{2}+\mathrm {T} '''x^{3}+\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}x^{5}+\ldots ,$

et qu’en dénotant par $\varphi$ une fonction rationnelle, et sans diviseur, d’une ou de plusieurs quantités, on forme les nouvelles séries

${\begin{aligned}&\varphi (\mathrm {T} )+\varphi (\mathrm {T} ')x+\varphi (\mathrm {T} '')x^{2}+\varphi (\mathrm {T} ''')x^{3}+\ldots ,\\&\varphi (\mathrm {T,T'} )+\varphi (\mathrm {T',T''} )x+\varphi (\mathrm {T'',T'''} )x^{2}+\varphi (\mathrm {T''',T^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}} )x^{3}+\ldots ,\\&\varphi (\mathrm {T,T',T''} )+\varphi (\mathrm {T',T'',T'''} )x+\varphi (\mathrm {T'',T''',T^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}} )x^{2}+\ldots ,\end{aligned}}$

et ainsi de suite, toutes ces séries seront pareillement récurrentes, et l’on pourra en trouver l’échelle de relation, dès qu’on en aura formé le terme général à l’aide de celui de la série proposée ; et ces nouvelles échelles pourront toujours s’exprimer par les seuls termes de l’échelle de la proposée ; car la difficulté ne consistera qu’à chercher les coefficients d’une équation dont les racines dépendent de celles d’une équation donnée, Problème dont l’Algèbre fournit plusieurs solutions.

De plus, si dans la série proposée on ne prend les termes que de deux en deux, ou de trois en trois,…, les séries résultantes

${\begin{aligned}&\mathrm {T} +\mathrm {T} ''\,x^{2}+\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}x^{6}+\ldots ,\\&\mathrm {T} +\mathrm {T} '''x^{3}+\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}x^{6}+\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IX}}}x^{9}+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

seront aussi récurrentes et du même ordre que la proposée ; et il est facile de voir que, si l’échelle de relation de celle-ci est représentée par le polynôme

$(1-px)^{\mu }(1-qx)^{\nu },$

celles des séries dont il s’agit le seront par les polynômes

${\begin{aligned}&\left(1-p^{2}x^{2}\right)^{\mu }\left(1-q^{2}x^{2}\right)^{\nu }\ldots ,\\&\left(1-p^{3}x^{3}\right)^{\mu }\left(1-q^{3}x^{3}\right)^{\nu }\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

ainsi, mettant $x$ à la place de $x^{2},$ ou $x^{3},\ldots ,$ les séries

${\begin{aligned}&\mathrm {T} +\mathrm {T} ''\,x+\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{2}+\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}x^{3}+\ldots ,\\&\mathrm {T} +\mathrm {T} '''x+\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}x^{2}+\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IX}}}x^{3}+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

seront récurrentes et auront pour échelles de relation les polynômes

${\begin{aligned}&\left(1-p^{2}x\right)^{\mu }\left(1-q^{2}x\right)^{\nu }\ldots ,\\&\left(1-p^{3}x\right)^{\mu }\left(1-q^{3}x\right)^{\nu }\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Enfin, si l’on a différentes séries récurrentes, telles que

${\begin{aligned}&\mathrm {T} +\mathrm {T} 'x+\mathrm {T} ''x^{2}+\mathrm {T} '''x^{3}+\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+\ldots ,\\&\mathrm {V} +\mathrm {V} 'x+\mathrm {V} ''x^{2}+\mathrm {V} '''x^{3}+\mathrm {V} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+\ldots ,\\&\mathrm {X} +\mathrm {X} 'x+\mathrm {X} ''x^{2}+\mathrm {X} '''x^{3}+\mathrm {X} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et que l’on en compose une nouvelle de la forme

$\varphi (\mathrm {T,V,X} ,\ldots )+\varphi (\mathrm {T',V',X'} ,\ldots )x+\varphi (\mathrm {T'',V'',X''} ,\ldots )x^{2}+\ldots ,$

celle-ci sera encore récurrente, et son échelle dépendra uniquement de celles des séries particulières d’où elle est formée ; et la difficulté de trouver cette échelle ne consistera qu’à trouver l’équation dont les racines seront des fonctions données de celles de quelques équations données, Problème toujours résoluble par les méthodes connues.

Corollaire III.

8. De même que, lorsqu’on connaît le terme général d’une série récurrente, on peut trouver la fraction génératrice de la série, de même, en connaissant cette fraction, on pourra en déduire l’expression du terme général ; car il n’y aura d’abord qu’à chercher tous les facteurs du dénominateur, et à décomposer ensuite, par les méthodes connues, la fraction proposée en autant de fractions partielles qu’il y a de facteurs, et dont chacune ait un de ces facteurs pour dénominateur, en observant cependant que, s’il y a des facteurs doubles ou triples,…, ou $\mu$^cuples, chacun de ces facteurs donnera $\mu$ fractions partielles, dont les dénominateurs seront successivement la première, la deuxième, la troisième,…, la $\mu$^ième puissance du même facteur.

De cette manière, la fraction dont il s’agit se trouvera décomposée en autant de fractions simples de la forme ${\frac {\mathrm {H} }{(1-px)^{\lambda }}}$ que le dénominateur aura de facteurs, et chacune de ces fractions donnera une série dont le terme général sera

${\frac {(m+1)(m+2)(m+3)\ldots (m+\lambda -1)}{1.2.3\ldots (\lambda -1)}}\mathrm {H} p^{m}x^{m}\,;$

de sorte que, en ajoutant ensemble tous ces différents termes, on aura la valeur du terme général cherché. Tout cela est trop connu pour que je doive m’y arrêter davantage ; je crois cependant qu’on me permettra de donner ici une formule générale et fort simple, pour trouver tout d’un coup, à l’aide du Calcul différentiel, la partie du terme général qui vient d’un facteur multiple quelconque du dénominateur de la fraction donnée.

Soit $(1-px)^{\mu }$ ce facteur, et dénotons par $\mathrm {X}$ la fraction proposée, après en avoir retranché par la division le même facteur, en sorte que ${\frac {\mathrm {X} }{(1-px)^{\mu }}}$ soit égale à la fraction donnés ; on cherchera, en faisant varier $x$ et regardant $dx$ comme constante, la valeur de la quantité

${\frac {x^{\mu }d^{\mu -1}\left(\mathrm {X} x^{-m-1}\right)}{1.2.3\ldots (\mu -1)(-dx)^{\mu -1}}}\,;$

ensuite on y mettra ${\frac {1}{p}}$ à la place de $x,$ et la quantité résultante sera le coefficient de $x^{m}$ dans le terme général de la série provenant du facteur en question.

Je supprime la démonstration de ce Théorème, parce qu’elle n’est pas difficile à trouver d’après les principes connus.

Corollaire IV.

9. Concluons de là que chaque facteur simple du dénominateur de la fraction génératrice proposée, tel que $1-px,$ donnera, dans l’expression du terme général de la série, le terme $Kp^{m}x^{m},$ et que chaque facteur multiple, tel que $(1-px)^{\mu },$ y donnera les termes

$\left(\mathrm {K} +\mathrm {K} 'm+\mathrm {K} ''m^{2}+\mathrm {K} '''m^{3}+\ldots +\mathrm {K} ^{(\mu -1)}m^{\mu -1}\right)p^{m}x^{m}.$

Si $p$ est imaginaire, il sera réductible à la forme $t+u{\sqrt {-1}},$ et il y aura nécessairement un facteur correspondant $1-qx,$ où $q$ sera de la forme $t-u{\sqrt {-1}}\,;$ de là on trouvera que les coefficients $\mathrm {K,K',K''} ,\ldots$ seront chacun de la forme

$h+l{\sqrt {-1}},\quad h'+l'{\sqrt {-1}},\quad h''+l''{\sqrt {-1}},\ldots ,$

et les quantités correspondantes, provenant de l’autre facteur $1-qx,$ seront de la forme

$h-l{\sqrt {-1}},\quad h'-l'{\sqrt {-1}},\quad h''-l''{\sqrt {-1}},\ldots .$

Or soient

${\sqrt {t^{2}+u^{2}}}=r,\quad {\frac {u}{t}}=\operatorname {tang} \alpha ,$

${\sqrt {h^{2}+l^{2}}}=f,\quad {\frac {l}{h}}=\operatorname {tang} a,\quad {\sqrt {h'^{2}+l'^{2}}}=f',\quad {\frac {l'}{h'}}=\operatorname {tang} a',\ldots \,;$

on aura

${\begin{aligned}p\ \ =&r\left(\cos \alpha +\sin \alpha {\sqrt {-1}}\right),\\p^{m}=&r^{m}\left(\cos m\alpha +\sin m\alpha {\sqrt {-1}}\right),\\\mathrm {K} \ =&f\ \left(\cos a\ +\sin a\ {\sqrt {-1}}\right),\\\mathrm {K} '=&f'\left(\cos a'+\sin a'{\sqrt {-1}}\right),\ldots .\end{aligned}}$

Donc

${\begin{aligned}\mathrm {K} \ p^{m}=&f\ r^{m}\left[\cos(a\ +m\alpha )+\sin(a\ +m\alpha ){\sqrt {-1}}\right],\\\mathrm {K} 'p^{m}=&f'r^{m}\left[\cos(a'+m\alpha )+\sin(a'+m\alpha ){\sqrt {-1}}\right],\ldots ,\end{aligned}}$

et les quantités correspondantes ne différeront de celles-ci que par le signe du radical ${\sqrt {-1}}\,;$ de sorte qu’en rassemblant toutes ces quantités on trouvera que les facteurs multiples imaginaires $(1-px)^{\mu },(1-qx)^{\mu }$ donneront, dans l’expression du terme général de la série, les termes suivants

$\left[f\cos(a+m\alpha )+f'm\cos(a'+m\alpha )+f''m^{2}\cos(a''+m\alpha )+\ldots \right]r^{m}x^{m},$

et chaque autre couple de facteurs imaginaires donnera des termes semblables.

Quoique toutes ces choses soient assez connues, j’ai cru devoir les rappeler à mes lecteurs, parce qu’elles donnent lieu à des conséquences importantes dans la matière qui fait l’objet de ce Mémoire. Une des principales, c’est que, quelque dérangement que les Corps célestes puissent éprouver en vertu de leur action mutuelle, et même de la résistance d’un fluide très-rare dans lequel ils nageraient, leurs mouvements en temps égaux seront toujours représentés par des séries du genre des récurrentes car les termes les plus compliqués que la Théorie puisse jamais donner dans l’expression du mouvement vrai d’une planète quelconque seront de la forme

$\mathrm {K} \varphi ^{m}c^{n\varphi }\cos(a+b\varphi ),$

$\varphi$ étant l’arc du mouvement moyen et $a,b,c,m,n,\mathrm {K}$ des coefficients constants quelconques ; or il est clair, par ce qu’on a vu ci-dessus, que toute série qui naîtra de cette formule ou de la somme de plusieurs formules semblables, en donnant successivement à $\varphi$ des valeurs qui augmentent en progression arithmétique, sera toujours récurrente.

Donc, si l’on a une suite d’observations d’une planète quelconque, faites à des intervalles de temps égaux, on est en droit de regarder les résultats de ces observations comme formant une suite récurrente d’un ordre quelconque, et toute la difficulté se réduira à trouver la loi de la série ; c’est l’objet du Problème suivant.

PROPOSITION II.

Problème.

10. Étant donnée une suite de termes dont les valeurs soient connues, trouver si cette suite est récurrente, et déterminer dans ce cas la forme générale de ses termes.

Soient les termes donnés et connus

$\mathrm {T,\ \ T',\ \ T'',\ \ T''',\ \ T^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}} ,\ldots \,;$

on en formera la série

$\mathrm {T} +\mathrm {T} 'x+\mathrm {T} ''x^{2}+\mathrm {T} '''x^{3}+\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+\ldots ,$

que je supposerai égale à $s,$ pour abréger ; et il n’y aura qu’à chercher si cette série peut résulter du développement d’une fonction rationnelle quelconque, où la plus haute puissance de $x$ dans le numérateur soit moindre que dans le dénominateur.

Supposons d’abord que la série proposée soit récurrente du premier ordre ; on aura, dans ce cas,

$s={\frac {a'}{a+bx}}\,;$

donc

${\frac {1}{s}}={\frac {a+bx}{a'}}=p+qx,$

d’où il s’ensuit que, si l’on divise l’unité par le polynôme $s,$ en ordonnant dans l’opération les termes suivant les puissances de $x,$ on trouvera nécessairement un quotient fini de deux termes $p+qx.$

Supposons ensuite que la série proposée soit récurrente du second ordre ; on aura, dans ce cas,

$s={\frac {a'+b'x}{a+bx+cx^{2}}}\,;$

donc

${\frac {1}{s}}={\frac {a+bx+cx^{2}}{a'+b'x}}\,;$

qu’on divise le numérateur trinôme $a+bx+cx^{2}$ par le dénominateur binôme $a'+b'x,$ on aura un quotient binôme $p+qx$ et un reste $a''x^{2}\,;$ donc

${\frac {1}{s}}=p+qx+{\frac {a''x^{2}}{a'+b'x}},$

d’où je conclus d’abord que, si l’on divise l’unité par le polynôme $s,$ et qu’on pousse la division jusqu’à ce que l’on ait dans le quotient deux termes tels que $p+qx,$ ce qui ne demande que deux opérations, on aura un reste qui sera nécessairement divisible par $x^{2}$ et que je représenterai par $s'x^{2},$ $s'$ étant une nouvelle série de la forme

$\mathrm {V} +\mathrm {V} 'x+\mathrm {V} ''x^{2}+\mathrm {V} '''x^{3}+\ldots .$

Donc

${\frac {1}{s}}=p+qx+{\frac {s'x^{2}}{s}}=p+qx+{\frac {a''x^{2}}{a'+b'x}}\,;$

par conséquent

${\frac {s'}{s}}={\frac {a''}{a'+b'x}},$

et de là

${\frac {s}{s'}}={\frac {a'+b'x}{a''}}=p'+q'x.$

Donc, si l’on divise le polynôme $s$ par le polynôme $s',$ on aura nécessairement un quotient fini de deux termes tels que $p'+q'x.$

Supposons que la série proposée soit récurrente du troisième ordre, on aura alors

$s={\frac {a'+b'x+c'x^{2}}{a+bx+cx^{2}+dx^{3}}}\,;$

donc

${\frac {1}{s}}={\frac {a+bx+cx^{2}+dx^{3}}{a'+b'x+c'x^{2}}}\,:$

qu’on divise le numérateur de cette fraction par son dénominateur, on aura un quotient de la forme $p+qx$ et unreste de la forme $a''x^{2}+b''x^{3}\,;$ donc

${\frac {1}{s}}=p+qx+{\frac {a''x^{2}+b''x^{3}}{a'+b'x+c'x^{2}}}.$

De là il s’ensuit aussi que, si l’on divise l’unité par le polynôme $s,$ et qu’on continue la division jusqu’à ce qu’on ait dans le quotient deux termes tels que $p+qx,$ le reste sera tout divisible par $x^{2}$ et pourra être représenté par $s'x^{2},$ $s'$ étant une série de la forme

$\mathrm {V} +\mathrm {V} 'x+\mathrm {V} ''x^{2}+\mathrm {V} '''x^{3}+\ldots .$

On aura donc

${\frac {1}{s}}=p+qx+{\frac {s'x^{2}}{s}}=p+qx+{\frac {a''x^{2}+b''x^{3}}{a'+b'x+c'x^{2}}}\,;$

donc

${\frac {s'}{s}}={\frac {a''+b''x}{a'+b'x+c'x^{2}}},$

et de là

${\frac {s}{s'}}={\frac {a'+b'x+c'x^{2}}{a''+b''x}}.$

Or, en divisant le numérateur de cette fraction par le dénominateur, il est clair qu’on aura un reste de la forme $a'''x^{2},$ en sorte que

${\frac {s}{s'}}=p'+q'x+{\frac {a'''x^{2}}{a''+b''x}}.$

Donc, si l’on divise le polynôme $s$ par le polynôme $s',$ et qu’on pousse la division jusqu’à ce qu’on ait dans le quotient deux termes tels que $p'+q'x,$ le reste sera nécessairement divisible par $x^{2}$ et pourra être représenté par $s''x^{2},$ $s''$ étant une nouvelle série de la forme

$\mathrm {X} +\mathrm {X} 'x+\mathrm {X} ''x^{2}+\mathrm {X} '''x^{3}+\ldots .$

Ainsi on aura

${\frac {s}{s'}}=p'+q'x+{\frac {s''x^{2}}{s'}}=p'+q'x+{\frac {a'''x^{2}}{a''+b''x}}\,;$

d’où

${\frac {s''}{s'}}={\frac {a'''}{a''+b''x}},$

et de là

${\frac {s'}{s''}}={\frac {a''+b''x}{a'''}}=p'''+q'''x.$

D’où il s’ensuit qu’en divisant le polynôme $s'$ par le polynôme $s'',$ on aura nécessairement un quotient fini, tel que $p'''+q'''x.$

Si la série proposée était récurrente d’un ordre quelconque supérieur, on y pourrait faire des raisonnements et des opérations semblables. De là je conclus, en général, que, pour reconnaître si la série proposée $s$ est récurrente d’un ordre quelconque, il n’y a qu’à diviser d’abord l’unité par $s$ jusqu’à ce qu’on ait dans le quotient deux termes tels que $p+qx,$ et, dénotant le reste par $s'x^{2},$ on divisera ensuite $s$ par $s'$ jusqu’à ce que l’on ait aussi dans le quotient deux termes comme $p'+q'x\,;$ dénotant de même le reste par $s''x^{2},$ on divisera encore $s'$ par $s''$ jusqu’à ce que l’on ait dans le quotient deux termes comme $p''+q''x\,;$ et ainsi de suite. Si la série $s$ est véritablement récurrente d’un ordre quelconque $n,$ l’opération se terminera nécessairement à la $n$^ième division ; en sorte que le reste $s^{(n)}x^{2}$ sera nul ; sinon l’opération ira à l’infini.

Lors donc qu’on sera parvenu à une division qui ne laissera aucun reste, on sera d’abord assuré que la série proposée est récurrente d’un ordre égal au quantième de cette division ; et, de plus, les quotients trouvés donneront la fraction même d’où la série tire son origine.

Car on a les équations suivantes

${\begin{aligned}{\frac {1}{s}}\ \ &=p+qx+{\frac {s'x^{2}}{s}},\\{\frac {s}{s'}}\ &=p'+q'x+{\frac {s''x^{2}}{s'}},\\{\frac {s'}{s''}}\,&=p''+q''x+{\frac {s'''x^{2}}{s''}},\\{\frac {s''}{s'''}}&=p'''+q'''x+{\frac {s^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{2}}{s'''}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

d’où

${\begin{aligned}&s\ \ \ ={\frac {1}{p+qx+{\cfrac {s'}{s}}x^{2}}},\\&{\frac {s'}{s}}\ ={\frac {1}{p'+q'x+{\cfrac {s''}{s'}}x^{2}}},\\&{\frac {s''}{s'}}\ ={\frac {1}{p''+q''x+{\cfrac {s'''}{s''}}x^{2}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&{\frac {s^{(n-1)}}{s^{(n-2)}}}={\frac {1}{p^{(n-1)}+q^{(n-1)}x}}.\end{aligned}}$

Donc

$s={\frac {1}{p+qx+{\cfrac {x^{2}}{p'+q'x+{\cfrac {x^{2}}{p''+q''x+{\cfrac {x^{2}}{p'''+q'''x+\ddots +{\cfrac {x^{2}}{p^{(n-1)}+q^{(n-1)}x}}}}}}}}}}.$

Ainsi il n’y aura plus qu’à réduire cette fraction continue en une franction ordinaire, qui sera par conséquent la fraction cherchée ; et il est clair que cette fraction aura pour numérateur un polynôme du degré $n-1,$ et pour dénominateur un polynôme du degré $n,$ dont les coefficients donneront l’échelle de relation de la série.

Ayant trouvé ainsi la fraction génératrice de la série, on en déduira aisément l’expression du terme général de la série par les méthodes connues.

Corollaire.

11. Pour faire avec facilité la réduction dont il s’agit, il n’y aura qu’à considérer la suite des quotients

$p+qx,\quad p'+q'x,\ldots ,\quad p^{(n-1)}+q^{(n-1)}x,$

et les disposer à rebours, de cette manière

$p^{(n-1)}+q^{(n-1)}x,\quad p^{(n-2)}+q^{(n-2)}x,\quad p^{(n-3)}+q^{(n-3)}x,\ldots ,\quad p+qx\,;$

ensuite on formera par leur moyen les quantités suivantes

${\begin{aligned}\xi \ \ \,&=1,\\\xi '\ \ &=p^{(n-1)}+q^{(n-1)}x,\\\xi ''\ &=\left(p^{(n-2)}+q^{(n-2)}x\right)\xi '+x^{2}\xi ,\\\xi '''&=\left(p^{(n-3)}+q^{(n-3)}x\right)\xi ''+x^{2}\xi ',\\\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&=\left(p^{(n-4)}+q^{(n-4)}x\right)\xi '''+x^{2}\xi '',\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\xi ^{(n)}&=(p+qx)\xi ^{(n-1)}+x^{2}\xi ^{(n-2)},\end{aligned}}$

et l’on aura ${\frac {\xi ^{(n-1)}}{\xi ^{(n)}}}$ pour la fraction génératrice de la série récurrente.

Exemple I.

12. Étant proposée la suite des nombres

$1,\ \ 2,\ \ 3,\ \ 3,\ \ 7,\ \ 5,\ \ 15,\ \ 9,\ \ 31,\ \ 17,\ \ 63,\ \ 33,\ \ 127,\ \ 65,\ldots ,$

dont on ignore la loi, on demande si cette suite est récurrente, et quelle est, dans ce cas, l’expression de son terme général.

Ayant formé la série

${\begin{aligned}s=1&+2x+3x^{2}+3x^{3}+7x^{4}+5x^{5}+15x^{6}+9x^{7}\\&+31x^{8}+17x^{9}+63x^{10}+33x^{11}+127x^{12}+65x^{13}+\ldots ,\end{aligned}}$

on divisera, par la méthode ordinaire, l’unité par cette série, et l’on trouvera le quotient $1-2x$ et le reste $x^{2}+3x^{3}-x^{4}+\ldots ,$ qui est, comme l’on voit, tout divisible par $x^{2}$ ; on divisera donc ce reste par $x^{2},$ et l’on aura la nouvelle série

${\begin{aligned}s'=1&+3x-x^{2}+9x^{3}-5x^{4}+21x^{5}-13x^{6}\\&+45x^{7}-29x^{8}+93x^{9}-61x^{10}+18x^{11}+\ldots ,\end{aligned}}$

par laquelle il faudra maintenant diviser la série $s\,;$ la division faite, on aura le quotient $1-x$ et le reste $7x^{2}-7x^{3}+21x^{4}+\ldots ,$ lequel, étant divisé par $x^{2},$ donnera la série

$s''=7-7x+21x^{2}-21x^{3}+49x^{4}-49x^{5}+105x^{6}-105x^{7}$

$+217x^{8}-217x^{9}+\ldots \,;$

on continuera donc l’opération en divisant l’avant-dernière série par $s'',$ et l’on trouvera le quotient ${\frac {1}{7}}+{\frac {4x}{7}}\,;$ comme ensuite il ne reste rien, ce sera une marque que l’opération est terminée, et que la suite proposée est effectivement récurrente du troisième ordre.

Pour en trouver maintenant la fraction génératrice, on considérera les trois quotients qu’on vient de trouver, et on les rangera ainsi par ordre, en commençant du dernier,

${\frac {1}{7}}+{\frac {4x}{7}},\quad 1-x,\quad 1-2x\,;$

ensuite on en formera les quantités $\xi ,\xi ',\xi '',\ldots$ de cette manière

${\begin{aligned}\xi \ \ \,=&1,\\\xi '\ \ =&{\frac {1}{7}}+{\frac {4x}{7}},\\\xi ''\ =&(1-x)\xi '+x^{2}\xi ={\frac {1+3x+3x^{2}}{7}},\\\xi '''=&(1-2x)\xi ''+x^{2}\xi '={\frac {1+x-2x^{2}-2x^{3}}{7}},\end{aligned}}$

et la fraction génératrice de la série $s$ sera ${\frac {\xi ''}{\xi '''}},$ savoir

${\frac {1+3x+3x^{2}}{1+x-2x^{2}-2x^{3}}}\,;$

d’où l’on voit d’abord que l’échelle de relation est

$-1,\quad +2,\quad +2,$

en sorte que, si $t,t',t'',t'''$ sont quatre termes consécutifs quelconques de la série proposée, on aura

$t'''=-t''+2t'+2t.$

Pour trouver maintenant l’expression du terme général, on cherchera d’abord les facteurs du quadrinôme

$1+x-2x^{2}-2x^{3},$

lesquels sont

$1+x,\quad 1+x{\sqrt {2}},\quad 1-x{\sqrt {2}},$

et l’on décomposera ensuite la fraction

${\frac {1+3x+3x^{2}}{(1+x)\left(1+x{\sqrt {2}}\right)\left(1-x{\sqrt {2}}\right)}}$

en ces trois-ci

$-{\frac {1}{1+x}}+{\frac {1-{\cfrac {1}{2{\sqrt {2}}}}}{1+x{\sqrt {2}}}}+{\frac {1+{\cfrac {1}{2{\sqrt {2}}}}}{1-x{\sqrt {2}}}},$

d’où l’on tirera sur-le-champ le terme général

$\left[-1(-1)^{m}+\left(1-{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\right)\left(-{\sqrt {2}}\right)^{m}+\left(1+{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {2}}\right)^{m}\right]x^{m}.$

Remarque I.

13. Dans l’analyse du Problème précédent, nous avons observé que les restes des différentes divisions devaient être nécessairement divisibles par $x^{2},$ ce qui suit de la nature même de la division, et nous avons prescrit de diviser chacun de ces restes par $x^{2}$ pour avoir les polynômes $s',s'',\ldots ,$ qui doivent servir de diviseurs à leur tour. Or il peut arriver que quelqu’un de ces restes soit divisible par une puissance de $x$ plus haute que le carré, auquel cas, après la division par $x^{2},$ on aura un polynôme dont le premier terme contiendra encore $x\,;$ en sorte que dans la division suivante il viendra des puissances négatives de $x$ au quotient, ce qui pourrait causer quelque embarras ; mais il sera aisé de l’éviter en divisant le reste dont il s’agit par la plus haute puissance de $x$ dont il est divisible, et mettant ensuite cette puissance à la place de $x^{2}$ dans les formules du n^o 2.

En général, soient

${\begin{aligned}&r'\ \,x^{\lambda }+t'\ x^{\lambda +1}+\ldots ,\\&r''\,x^{\mu }+t''\,x^{\mu +1}+\ldots ,\\&r'''x^{\nu }+t'''x^{\nu +1}+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&r^{(n-1)}x^{\sigma }+t^{(n-1)}x^{\sigma +1}+\ldots ,\end{aligned}}$

les restes provenant de la première, de la deuxième, de la troisième,…, de la $(n+1)$^ième division ; on divisera d’abord, pour plus de facilité, chacun de ces restes par les premiers termes

$r'x^{\lambda },\quad r''x^{\mu },\quad r'''x^{\nu },\ldots ,\quad r^{(n-1)}x^{\sigma },$

pour avoir des polynômes dont les premiers termes soient l’unité, et, ces polynômes étant nommés

$s,\ \ s',\ \ s'',\ \ s''',\ldots ,\ \ s^{(n-1)},$

on continuera l’opération comme on l’a enseigné dans le n^o 10.

De cette manière, on trouvera la série $s$ exprimée par la fraction continue

$s={\frac {1}{p+qx+{\cfrac {r'x^{\lambda }}{p'+q'x+{\cfrac {r''x^{\mu }}{p''+q''x+{\cfrac {r'''x^{\nu }}{p'''+q'''x+\ddots +{\cfrac {r^{(n-1)}x^{\sigma }}{p^{(n-1)}+q^{(n-1)}x}}}}}}}}}}\,;$

et, pour la réduire à une fraction ordinaire, on cherchera les valeurs

des quantités, $\xi ,\xi ',\xi '',\ldots ,\xi ^{(n)}$ de la manière suivante

${\begin{aligned}\xi \ \ \,&=1,\\\xi '\ \ &=\,\ \ p^{(n-1)}+q^{(n-1)}x,\\\xi ''\ &=\left(p^{(n-2)}+q^{(n-2)}x\right)\xi '\ \,+r^{(n-1)}x^{\sigma }\xi ,\\\xi '''&=\left(p^{(n-3)}+q^{(n-3)}x\right)\xi ''\ +r^{(n-2)}x^{\rho }\xi ',\\\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&=\left(p^{(n-4)}+q^{(n-4)}x\right)\xi '''+r^{(n-3)}x^{\pi }\xi '',\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\xi ^{(n)}&=(p+qx)\xi ^{(n-1)}+r'x^{\lambda }\xi ^{(n-2)}\,;\end{aligned}}$

ensuite de quoi on aura ${\frac {\xi ^{(n-1)}}{\xi ^{(n)}}}$ pour la fraction génératrice de la série, où il est bon de remarquer que le polynôme $\xi ^{(n)}$ sera du degré

$n+(\sigma -2)+(\rho -2)+(\varpi -2)+\ldots +(\lambda -2),$

en sorte que l’ordre de la série récurrente sera aussi marqué par ce même nombre.

Exemple II.

14. Soit proposée la série des nombres

$1,\ \ 1,\ \ 1,\ \ 2,\ \ 4,\ \ 6,\ \ 7,\ \ 7,\ \ 7,\ \ 8,\ \ 10,\ \ 12,\ \ 13,\ \ 13,\ \ 13,\ \ 14,\ \ 16,\ldots ,$

dont la loi est assez claire ; on demande si cette série est du genre des récurrentes, et quelle doit être, en ce cas, l’expression de son terme général.

On formera pour cela la série

$s=1+x+x^{2}+2x^{3}+4x^{4}+6x^{5}+7x^{6}+7x^{7}+7x^{8}+8x^{9}+\ldots ,$

et l’on divisera d’abord $1$ par $s,$ ce qui donnera le quotient $1-x$ et le reste

$-x^{3}-2x^{4}-2x^{5}-x^{6}{\text{★★}}-x^{9}-2x^{10}-2x^{11}-x^{12}{\text{★★}}-x^{15}-\ldots \,;$

qu’on divise ce reste par le premier terme $-x^{3},$ et l’on aura le polynôme

$s'=1+2x+2x^{2}+x^{3}{\text{★★}}+x^{6}+2x^{7}+2x^{8}+x^{9}{\text{★★}}+x^{12}+\ldots ,$

par lequel on divisera maintenant le polynôme $s,$ ce qui donnera le quotient $1-x$ et le reste

$x^{2}+3x^{3}+5x^{4}+6x^{5}+6x^{6}+6x^{7}+7x^{8}+9x^{9}+11x^{10}$

$+12x^{11}+12x^{12}+12x^{13}+\ldots \,;$

on divisera donc ce reste par le premier terme $x^{2}$ pour avoir le polynôme

$s''=1+3x+5x^{2}+6x^{3}+6x^{4}+6x^{5}+7x^{6}+9x^{7}+11x^{8}$

$+12x^{9}+12x^{10}+\ldots ,$

et ensuite on divisera le polynôme $s'$ par le dernier polynôme $s'',$ ce qui donnera le quotient $1-x$ et un reste nul ; d’où l’on conclura d’abord que la série proposée est effectivement récurrente.

Pour en trouver maintenant la fraction génératrice, il n’y aura qu’à considérer les quotients $1-x,1-x,1-x,$ et les premiers termes des restes $-x^{3},x^{2}\,;$ et, prenant tant les uns que les autres à rebours, on en formera les quantités suivantes

${\begin{aligned}\xi \ \ \,&=1,\\\xi '\ \ &=1-x,\\\xi ''\ &=(1-x)\xi '\ -x^{2}\xi \ =1-2x+2x^{2},\\\xi '''&=(1-x)\xi ''-x^{3}\xi '=1-3x+4x^{2}-3x^{3}+x^{4},\end{aligned}}$

dont les deux dernières donneront la fraction cherchée ${\frac {\xi ''}{\xi '''}},$ savoir

${\frac {1-2x+2x^{2}}{1-3x+4x^{2}-3x^{3}+x^{4}}}.$

D’où l’on voit que la série proposée est récurrente du quatrième ordre, ayant pour échelle de relation les coefficients $3,-4,3,-1.$ Or, comme le dénominateur

$1-3x+4x^{2}-3x^{3}+x^{4}.$

se résout dans les facteurs

$(1-x)^{2},\quad 1-x+x^{2},$

et que ce dernier se résout encore dans ces deux facteurs imaginaires

$1-\left({\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {-3}}{2}}\right)x,\quad 1-\left({\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {-3}}{2}}\right)x,$

ou bien

$1-\left(\cos 60^{\circ }+{\sqrt {-1}}\sin 60^{\circ }\right)x,\quad 1-\left(\cos 60^{\circ }-{\sqrt {-1}}\sin 60^{\circ }\right)x,$

ou, ce qui revient au même,

$1-e^{60^{\circ }.{\sqrt {-1}}}x,\quad 1-e^{-60^{\circ }.{\sqrt {-1}}}x,$

on pourra décomposer la fraction génératrice en ces quatre-ci

${\frac {\mathrm {K} }{1-x}}+{\frac {\mathrm {K} _{1}}{(1-x)^{2}}}+{\frac {\mathrm {L} }{1-e^{60^{\circ }.{\sqrt {-1}}}x}}+{\frac {\mathrm {M} }{1-e^{-60^{\circ }.{\sqrt {-1}}}x}},$

et l’on trouvera

$\mathrm {K} =-1,\quad \mathrm {K} _{1}=1,$

${\begin{aligned}\mathrm {L} &={\frac {e^{60^{\circ }.{\sqrt {-1}}}-1}{e^{60^{\circ }.{\sqrt {-1}}}-e^{-60^{\circ }.{\sqrt {-1}}}}}=e^{30^{\circ }.{\sqrt {-1}}}\times {\frac {e^{30^{\circ }.{\sqrt {-1}}}-e^{-30^{\circ }.{\sqrt {-1}}}}{e^{60^{\circ }.{\sqrt {-1}}}-e^{-60^{\circ }.{\sqrt {-1}}}}}\\&=e^{30^{\circ }.{\sqrt {-1}}}\times {\frac {1}{e^{30^{\circ }.{\sqrt {-1}}}+e^{-30^{\circ }.{\sqrt {-1}}}}}={\frac {e^{30^{\circ }.{\sqrt {-1}}}}{2\cos 30^{\circ }}},\end{aligned}}$

et de même

$\mathrm {M} ={\frac {e^{-30^{\circ }.{\sqrt {-1}}}}{2\cos 30^{\circ }}}\,;$

de là on trouvera le terme général

$\left[\mathrm {K} +(m+1)\mathrm {K} _{1}+\mathrm {L} e^{m.60^{\circ }.{\sqrt {-1}}}+\mathrm {M} e^{-m.60^{\circ }.{\sqrt {-1}}}\right]x^{m},$

c’est-à-dire, en substituant les valeurs des coefficients $\mathrm {K,K_{1},L,M}$ et réduisant,

$\left[m+{\frac {\cos \left(30^{\circ }+m.60^{\circ }\right)}{\cos 30^{\circ }}}\right]x^{m}.$

Remarque II.

15. Au reste il serait peut-être encore plus simple et plus commode d’employer dans Le calcul les restes tels qu’ils se trouvent, sans les diviser par leurs premiers termes, comme nous l’avons dit ci-dessus ; il est vrai que 1, de cette manière, les quotients renfermeront nécessairement des puissances négatives de $x\,;$ mais il n’y aura alors qu’à faire disparaître les puissances négatives de la fraction génératrice ${\frac {\xi ^{(n-1)}}{\xi ^{(n)}}},$ en multipliant le haut et le bas par la plus haute puissance négative qui s’y trouvera.

Ainsi l’on peut réduire la solution du Problème précédent à cette règle fort simple :

Divisez l’unité par la série proposée $s,$ et continuez la division jusqu’à ce qu’il y ait dans le quotients deux termes qui renferment deux puissances consécutives de $x,$ comme $px^{\lambda }+q^{\lambda +1}\,;$ divisez ensuite la série $s$ par le reste de cette division, et avec les mômes conditions ; divisez, après cela, le second reste par le premier, et continuez ainsi en divisant le nouveau reste par le précéclent, de manière qu’il y ait toujours dans chaque quotient deux termes de la forme précédente ; si la série $s$ est récurrente, on parviendra nécessairement à une division exacte ; et alors, nommant

$px^{\lambda }+q^{\lambda +1},\quad p'x^{\mu }+q'^{\mu +1},\quad p''x^{\nu }+q''^{\nu +1},\ldots ,\quad p^{(n-1)}x^{\sigma }+q^{(n-1)}x^{\sigma +1}$

les quotients trouvés dans les $n$ divisions, on aura

$s={\frac {1}{px^{\lambda }+qx^{\lambda +1}+{\cfrac {1}{p'x^{\mu }+q'x^{\mu +1}+{\cfrac {1}{p''x^{\nu }+q''x^{\nu +1}+\ddots +{\cfrac {1}{p^{(n-1)}x^{\sigma }+q^{(n-1)}x^{\sigma +1}}}}}}}}}\,;$

Donc, faisant

${\begin{aligned}\xi \ \ \,&=1,\\\xi '\ \ &=\ \ p^{(n-1)}x^{\sigma }+q^{(n-1)}x^{\sigma +1},\\\xi ''\ &=\left(p^{(n-2)}x^{\rho }+q^{(n-2)}x^{\rho +1}\right)\xi '\,\ +\xi ,\\\xi '''&=\left(p^{(n-3)}x^{\pi }+q^{(n-3)}x^{\pi +1}\right)\xi ''\ +\xi ',\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\xi ^{(n)}&=\left(px^{\lambda }+qx^{\lambda +1}\right)\xi ^{(n-1)}+\xi ^{(n-2)},\end{aligned}}$

on aura

$s={\frac {\xi ^{(n-1)}}{\xi ^{(n)}}}.$

Exemple III.

16. Pour confirmer la règle précédente par un Exemple, soit proposée la série

$1,\ \ 4,\ \ 10,\ \ 19,\ \ 31,\ \ 46,\ \ 64,\ \ 85,\ \ 109,\ \ 136,\ \ 166,\ \ 199,\ldots ,$

on en formera la série

$s=1+4x+10x^{2}+19x^{3}+31x^{4}+46x^{5}+64x^{6}+85x^{7}+109x^{8}$

$+136x^{9}+166x^{10}+\ldots ,$

et l’on fera l’opération suivante, qui est analogue à celle qui sert à trouver le plus grand commun diviseur de deux quantités. Divisant d’abord $1$ par $s,$ on trouvera le quotient $1-4x,$ et le reste

$s'=6x^{2}+21x^{3}+45x^{4}+78x^{5}+120x^{6}+171x^{7}+231x^{8}+300x^{9}+\ldots .$

Divisant ensuite $s$ par $s',$ on a le quotient ${\frac {1}{6x^{2}}}+{\frac {1}{12x}},$ et le reste

$s''={\frac {3x^{2}}{4}}+{\frac {9x^{3}}{4}}+{\frac {9x^{4}}{2}}+{\frac {15x^{5}}{2}}+{\frac {45x^{6}}{4}}+{\frac {63x^{7}}{4}}+21x^{8}+27x^{9}+\ldots \,;$

continuant ainsi à diviser $s'$ par $s'',$ on aura le quotient $8+4x,$ et comme il ne reste rien de cette division, l’opération sera terminée ; en sorte qu’on sera assuré que la série proposée est véritablement récurrente.

Or, puisque les quotients trouvés sont

$1-4x,\quad {\frac {1}{6x^{2}}}+{\frac {1}{12x}},\quad 8+4x,$

on fera

${\begin{aligned}\xi \ \ \,&=1,\\\xi '\ \ &=8+4x,\\\xi ''\ &=\left({\frac {1}{6x^{2}}}+{\frac {1}{12x}}\right)\xi '+\xi ={\frac {4}{3x^{2}}}+{\frac {4}{3x}}+{\frac {4}{3}},\\\xi '''&=(1-4x)\xi ''+\xi '={\frac {4}{3x^{2}}}-{\frac {4}{x}}+4-{\frac {4x}{3}},\end{aligned}}$

et l’on aura ${\frac {\xi ''}{\xi '''}},$ c’est-à-dire, en multipliant le haut et le bas par ${\frac {3x^{2}}{4}},$

${\frac {1+x+x^{2}}{1-3x+3x^{2}-x^{3}}},$

pour la fraction génératrice de la série proposée. On voit par là que, comme le dénominateur de cette fraction est le cube de $1-x,$ la série ne peut être autre chose qu’une série algébrique du second ordre ; c’est aussi ce que l’on aurait pu reconnaître d’abord, puisque les différences secondes sont constantes.

Remarque III.

17. Quoique, généralement parlant, dans la fraction génératrice ${\frac {\xi ^{(n-1)}}{\xi ^{(n)}}},$ le dénominateur doive être un polynôme d’un degré plus grand que celui du numérateur, cependant il peut arriver que-quelques-unes des plus hautes puissances de $x$ s’évanouissent dans le dénominateur, en sorte qu’il se trouve abaissé par là à un degré égal ou moindre que celui du numérateur ; dans ce cas, la série récurrente qui en résultera sera aussi d’un ordre moindre qu’elle n’aurait dû être ; mais elle contiendra au commencement un certain nombre de termes irréguliers, après lesquels seulement elle commencera à être véritablement récurrente. Ainsi notre règle sert également, soit que la série soit récurrente dès son commencement, ou qu’elle contienne d’abord quelques termes irréguliers. Éclaircissons ceci par un Exemple.

Exemple IV.

18. Soit proposée la série

$1,\ \ 1,\ \ 3,\ \ 7,\ \ 18,\ \ 47,\ \ 123,\ \ 322,\ \ 843,\ \ 2207,\ \ 5778,\ldots \,;$

on en formera d’abord celle-ci

$s=1+x+3x^{2}+7x^{3}+18x^{4}+47x^{5}+123x^{6}+322x^{7}+843x^{8}+\ldots ,$

et l’on procédera comme dans l’Exemple précédent. Divisant donc $1$ par $s,$ on a le quotient $1-x,$ et le reste

$s'=-2x^{2}-4x^{3}-11x^{4}-29x^{5}-76x^{6}-199x^{7}-521x^{8}-\ldots \,;$

divisant ensuite $s$ par $s',$ on a le quotient $-{\frac {1}{2x^{2}}}+{\frac {1}{2x}},$ et le reste

$s''=-{\frac {x^{2}}{2}}-2x^{3}-{\frac {11x^{4}}{2}}-{\frac {29x^{5}}{2}}-38x^{6}-{\frac {199x^{7}}{2}}-\ldots \,;$

divisant encore $s'$ par $s'',$ on trouve le quotient $4-8x,$ et le reste

$s''=-5x^{4}-15x^{5}-40x^{6}-105x^{7}-\ldots \,;$

enfin, divisant $s''$ par $s'''$ on a le quotient ${\frac {1}{10x^{2}}}+{\frac {1}{10x}},$ et il ne reste rien ; d’où il s’ensuit que la série proposée est nécessairement récurrente.

Ayant donc trouvé les quatre quotients

$1-x,\quad -{\frac {1}{2x^{2}}}+{\frac {1}{2x}},\quad 4-8x,\quad {\frac {1}{10x^{2}}}+{\frac {1}{10x}},$

on en formera les quantités suivantes

${\begin{aligned}\xi \ \ \,&=1,\\\xi '\ \ &={\frac {1}{10x^{2}}}+{\frac {1}{10x}},\\\xi ''\ &=(4-8x)\xi '+\xi ={\frac {2}{5x^{2}}}-{\frac {2}{5x}}+{\frac {1}{5}},\\\xi '''&=\left(-{\frac {1}{2x^{2}}}+{\frac {1}{2x}}\right)\xi ''+\xi '=-{\frac {1}{5x^{4}}}+{\frac {2}{5x^{3}}}-{\frac {2}{5x^{2}}}+{\frac {1}{5x}},\\\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&=(1-x)\xi '''+\xi ''=-{\frac {1}{5x^{4}}}+{\frac {3}{5x^{3}}}-{\frac {1}{5x^{2}}},\end{aligned}}$

dont les deux dernières donnent la fraction génératrice

${\frac {\xi '''}{\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}={\frac {1-2x+x^{2}-x^{3}}{1-3x+x^{2}}}\,;$

or, comme $x$ est élevé à une puissance plus haute dans le numérateur que dans le dénominateur, il s’ensuit qu’en divisant celui-là par celui-ci, jusqu’à ce qu’on arrive à un reste où l’exposant de $x$ soit moindre que $2,$ qui est le plus grand exposant du dénominateur, la fraction se réduira à

$x-2+{\frac {3-7x}{1-3x+x^{2}}}\,;$

d’où l’on voit que la série $s$ n’est autre chose qu’une suite récurrente provenant de la fraction

${\frac {3-7x}{1-3x+x^{2}}},$

à laquelle on a ajouté au commencement les deux termes arbitraires

$-2,\quad -x\,;$

de sorte qu’en retranchant ces deux termes de la série $s$ on aura celle-ci

$3+2x+3x^{2}+7x^{3}+18x^{4}+\ldots ,$

qui sera récurrente dès le commencement ; ou bien on pourra diviser le numérateur

$1-2x+x^{2}-x^{3}$

par le dénominateur

$1-3x+x^{2},$

en commençant par le terme $1,$ et, continuant la division jusqu’à ce que l’on arrive à un reste qui renferme un nombre de termes moindre d’une unité que le diviseur, on aura ainsi le quotient $1+x$ et le reste $3x^{2}-2x^{3}\,;$ en sorte que la fraction deviendra

$1+x+x^{2}{\frac {3-2x}{1-3x+x^{2}}}\,;$

d’où il est facile de conclure qu’en retranchant de la série $s$ les deux premiers termes $1+x,$ et divisant les autres par $x^{2},$ on aura une série récurrente régulière, dont la fraction génératrice sera

${\frac {3-2x}{1-3x+x^{2}}}.$

Remarque IV.

19. La solution du Problème précédent n’est, comme l’on voit, qu’une simple application de la Théorie des fractions continues ; mais, quoique cette Théorie ait déjà été traitée par plusieurs grands Géomètres, il paraît que l’application dont il s’agit peut néanmoins être regardée comme neuve à plusieurs égards, et surtout relativement au point de vue sous lequel nous venons de l’envisager. En effet on n’avait point encore de méthode générale pour reconnaître si une série proposée, dont on ne connaît que la valeur de $q$uelques termes consécutifs, est du genre des récurrentes, et pour trouver en même temps la loi de ses termes. Le seul cas où l’on pût trouver à posteriori la loi d’une série était lorsque, en prenant les différences successives de ses termes, on parvenait à des différences constantes ; or il est clair que ce cas n’est qu’un cas particulier de notre Théorie générale, car on sait que toute série qui a des différences constantes d’un ordre quelconque n’est autre chose qu’une série simplement algébrique du même ordre ; par conséquent ce n’est qu’une espèce de séries récurrentes dont l’échelle, au lieu d’être un polynôme quelconque, est une puissance du binôme particulier $1-x$ (n^o 7). J’avoue que la méthode des différences est plus simple et plus commode que celle des fractions continues que nous venons d’exposer ; aussi est-elle préférable pour trouver la loi des séries qui ont des différences constantes d’un ordre quelconque ; mais, si en prenant les différences successives des termes d’une série on ne parvient jamais à des différences constantes, il faut alors avoir recours à notre méthode, pour voir si la série est au moins du genre des récurrentes.

Au reste il est bon de remarquer que, si l’on prend les différences successives des termes d’une série récurrente quelconque, ces différences formeront elles-mêmes une autre série récurrente du même ordre ; car soit la série récurrente

$\mathrm {T} +\mathrm {T} 'x+\mathrm {T} ''x^{2}+\mathrm {T} '''x^{3}+\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}x^{5}+\ldots ,$

laquelle résulte de la fraction

${\frac {[0]+[1]x+[2]x^{2}+\ldots +[n-1]x^{n-1}}{(0)+(1)x+(2)x^{2}+\ldots +(n)x^{n}}}\,;$

qu’on mette, tant dans la série que dans la fraction, ${\frac {x}{1+x}}$ à la place de $x,$ et qu’on divise ensuite l’une et l’autre par $1+x,$ il est clair que la série deviendra celle-ci

${\frac {\mathrm {T} }{1+x}}+{\frac {\mathrm {T} 'x}{(1+x)^{2}}}+{\frac {\mathrm {T} ''x^{2}}{(1+x)^{3}}}+{\frac {\mathrm {T} '''x^{3}}{(1+x)^{4}}}+\ldots ,$

laquelle, en développant les puissances de $1+x,$ suivant les règles connues, et ordonnant les termes suivant $x,$ se réduit à cette forme

$\mathrm {T} +\mathrm {\left(T'-T\right)} x+\mathrm {\left(T''-2T'+T\right)} x^{2}+\ldots ,$

c’est-à-dire, à

$\mathrm {T} +\Delta \mathrm {T} .x+\Delta ^{2}\mathrm {T} .x^{2}+\Delta ^{3}\mathrm {T} .x^{3}+\ldots ,$

en marquant par $\mathrm {\Delta T,\Delta ^{2}T,\Delta ^{3}T} ,\ldots$ les différences successives des premiers termes de la série $\mathrm {T,T',T''} ,\ldots ,$ c’est-à-dire, les différences première, deuxième, troisième, de ses termes, en sorte que l’on ait

${\begin{aligned}&\Delta \,\ \mathrm {T=T'\ \,-T} ,\\&\Delta ^{2}\mathrm {T=T''\,-2T'\,+T} ,\\&\Delta ^{3}\mathrm {T=T'''-3T''+3T'-T} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&\Delta ^{\mu }\mathrm {T} =\mathrm {T} ^{(\mu )}-\mu \mathrm {T} ^{(\mu -1)}+{\frac {\mu (\mu -1)}{2}}\mathrm {T} ^{(\mu -2)}-\ldots \pm \mathrm {T} .\end{aligned}}$

Cette nouvelle série sera donc égale à la fraction

${\frac {[0](1+x)^{n-1}+[1]x(1+x)^{n-2}+[2]x^{2}(1+x)^{n-3}+\ldots +[n-1]x^{n-1}}{(0)(1+x)^{n}+(1)x(1+x)^{n-1}+(2)x^{2}(1+x)^{n-2}+\ldots +(n)x^{n}}},$

dont le numérateur et le dénominateur, étant développés et ordonnés suivant les puissances de $x,$ seront aussi des polynômes, l’un du degré $n-1,$ l’autre du degré $n,$ comme ceux de la fraction génératrice de la série primitive ; d’où il est aisé de conclure que la série des différences

$\mathrm {T} +\Delta \mathrm {T} .x+\Delta ^{2}\mathrm {T} .x^{2}+\Delta ^{3}\mathrm {T} .x^{3}+\ldots$

sera également une série récurrente du même ordre $n$ que la proposée

$\mathrm {T} +\mathrm {T} 'x+\mathrm {T} ''x^{2}+\ldots .$

On pourra donc aussi appliquer notre méthode à la série des différences dont nous venons de parler, et dès qu’on en aura trouvé la fraction génératrice, si elle en a une, il n’y aura qu’à y substituer ${\frac {x}{1-x}}$ à la place de $x,$ et la diviser en même temps par $1-x\,;$ on aura sur-le-champ la fraction génératrice même de la série proposée.

Si la série proposée est purement algébrique de l’ordre $n-1,$ alors on sait que les différences de l’ordre $n-1$ doivent être constantes, et par conséquent celles des ordres suivants nulles ; en sorte qu’on doit avoir dans ce cas

$\Delta ^{n}\mathrm {T} =0,\quad \Delta ^{n+1}\mathrm {T} =0,\ldots \,;$

or c’est aussi ce qui résulte de l’analyse précédente ; car dans ce cas la fraction génératrice de la série aura pour dénominateur $(1-x)^{n},$ et il est facile de voir qu’en y faisant les substitutions et les réductions indiquées pour avoir la fraction génératrice de la série des différences, cette dernière fraction ne contiendra plus $x$ à son dénominateur, de sorte qu’elle deviendra un simple polynôme du degré $n-1\,;$ d’où il s’ensuit que les termes affectés de $x^{n},x^{n+1},\ldots$ dans la série des différences devront être nuls ; ce qui donnera donc

$\Delta ^{n}\mathrm {T} =0,\quad \Delta ^{n+1}\mathrm {T} =0,\ldots .$

En général, si la série proposée

$\mathrm {T} +\mathrm {T} 'x+\mathrm {T} ''x^{2}+\ldots$

qu’on suppose toujours de l’ordre $n,$ contient une partie purement algébrique de l’ordre $m-1,$ le dénominateur de sa fraction génératrice aura nécessairement pour facteur la puissance $(1-x)^{m},$ laquelle s’évanouira par la substitution de ${\frac {x}{1+x}}$ à la place de $x\,;$ en sorte que la série des différences se trouvera rabaissée d’elle-même à l’ordre $n-m\,;$ mais elle aura au commencement $m$ termes irréguliers, après lesquels elle deviendra régulière de l’ordre $n-m,$ comme on l’a expliqué ci-dessus (n^o 18).

Ainsi, en rejetant les termes irréguliers

$\mathrm {T} ,\quad \Delta \mathrm {T} .x,\quad \Delta ^{2}\mathrm {T} .x^{2},\ldots ,\quad \Delta ^{m-1}\mathrm {T} .x^{m-1},$

laquelle sera donc récurrente de l’ordre $n-m$ et ne contiendra plus de partie algébrique.

Remarque V.

20. Il est encore bon de remarquer que l’on peut toujours simplifier une série récurrente et la rabaisser à un ordre inférieur, en y détruisant quelques-unes des séries partielles dont elle est composée, pourvu qu’on connaisse seulement l’échelle de relation de ces séries, c’est-à-dire, le dénominateur de leur fraction génératrice ; car, comme ce dénominateur doit être un facteur de celui de la fraction génératrice de la série totale, il s’ensuit que, si l’on multiplie cette série par le même facteur, la série résultante deviendra nécessairement plus simple, puisque sa fraction génératrice n’aura plus pour dénominateur que l’autre facteur, en sorte que les séries partielles dépendant du premier facteur se trouveront entièrement éteintes.

Il faut seulement observer que, dans ce cas, la nouvelle série contiendra, au commencement, autant de termes irréguliers qu’il y a d’unités dans le degré du multiplicateur ; de sorte qu’il faudra retrancher ces termes et diviser ensuite les autres par la plus haute puissance de $x,$ dont l’exposant sera le nombre des termes retranchés.

Soit, par exemple, la série de l’ordre $n$

$\mathrm {T} +\mathrm {T} 'x+\mathrm {T} ''x^{2}+\mathrm {T} '''x^{3}+\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+\ldots ,$

dont la fraction génératrice soit $\mathrm {\frac {P}{Q}} ,$ $\mathrm {P}$ étant un polynôme du degré $n-1$ et $\mathrm {Q}$ un polynôme du degré $n,$ dont les $n$ facteurs soient

$1-px,\quad 1-qx,\quad 1-rx,\quad 1-sx,\ldots \,;$

on aura, pour l’expression du terme général de la série,

$\mathrm {T} ^{(m)}=\mathrm {K} p^{m}+\mathrm {L} q^{m}+\mathrm {M} r^{m}+\mathrm {N} s^{m}+\ldots .$

Maintenant, si l’on suppose qu’on connaisse les deux quantités $p$ et $q,$ on pourra simplifier la série proposée et la rabaisser à l’ordre $n-2,$ en y détruisant la partie qui répond aux termes $\mathrm {K} p^{m},\mathrm {L} q^{m}\,;$ car pour cela il

n’y aura qu’à la multiplier par le polynôme formé des facteurs $1-px,1-qx,$ c’est-à-dire, par

$1-(p+q)x+pqx^{2},$

et, désignant par

$t+t'x+t''x^{2}+t'''x^{3}+t^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+\ldots$

la série résultant de cette multiplication, il est clair que cette série aura pour fraction génératrice $\mathrm {\frac {P}{Q}} ,$ en supposant

$\mathrm {Q} =(1-px)(1-qx)\mathrm {Q} ',$

en sorte que $\mathrm {Q} '$ sera un polynôme du degré $n-2,$ formé par le produit des autres facteurs simples $1-rx,\ 1-sx,\ldots .$ Qu’on retranche maintenant de part et d’autre les deux premiers termes $t+t'x$ de la série, on aura

$t''x^{2}+t'''x^{3}+t^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+t^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}x^{5}+\ldots =\mathrm {\frac {P}{Q'}} -(t+t'x)={\frac {\mathrm {P} -(t+t'x)\mathrm {Q} '}{\mathrm {Q} '}}.$

Or, $\mathrm {P}$ étant un polynôme du degré $n-1$ et $\mathrm {Q} '$ un polynôme du degré $n-2,$ il est clair que

$\mathrm {P} -(t+t'x)\mathrm {Q} '$

sera aussi un polynôme du degré $n-1\,;$ et, comme toute la série est divisible par $x^{2},$ il s’ensuit que ce dernier polynôme devra l’être aussi, et qu’il manquera par conséquent de ses deux premiers termes, en sorte qu’il sera de la forme $x^{2}\mathrm {P} ',$ $\mathrm {P} '$ étant un polynôme du degré $n-3\,;$ donc, divisant de côté et d’autre par $x^{2},$ on aura la série

$t''+t'''x+t^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{2}+t^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}x^{3}+\ldots ,$

dont la fraction génératrice sera $\mathrm {\frac {P'}{Q'}} \,;$ en sorte que le terme général de cette nouvelle série sera de la forme

$\mathrm {M} 'r^{m}+\mathrm {N} 's^{m}+\ldots ,$

de manière qu’elle sera récurrente de l’ordre $n-2.$

Or, si l’on traite cette série par notre méthode et qu’on en détermine la fraction génératrice $\mathrm {\frac {P'}{Q'}} ,$ on pourra retrouver la fraction primitive $\mathrm {\frac {P}{Q}}$ de la série proposée ; car on a d’un côté

$\mathrm {Q} =(1-px)(1-qx)\mathrm {Q} ',$

et de l’autre on a

$\mathrm {P} -(t+t'x)\mathrm {Q} '=\mathrm {P} 'x^{2},$

et, par conséquent,

$\mathrm {P} =(t+t'x)\mathrm {Q} '+\mathrm {P} 'x^{2}.$

En général, soit $\mathrm {R}$ le facteur connu de $\mathrm {Q} ,$ lequel soit du degré $p,$ en sorte que $\mathrm {Q=RQ'} ,$ $\mathrm {Q} '$ étant un polynôme du degré $n-p\,;$ on multipliera la série proposée par $\mathrm {R} ,$ ensuite on en retranchera les $p$ premiers termes que je désignerai par $\mathrm {S} ,$ et le reste, étant divisé par $x^{p},$ sera une série récurrente de l’ordre $n-p\,;$ en sorte que la recherche de la fraction génératrice sera beaucoup plus simple que celle de la fraction de la série primitive. Or soit $\mathrm {\frac {P'}{Q'}}$ la fraction génératrice de cette nouvelle série ; on fera

$\mathrm {Q=RQ'} \quad {\text{et}}\quad \mathrm {P=SQ'} +x^{p}\mathrm {P} ',$

et la fraction $\mathrm {\frac {P}{Q}}$ sera celle de la série proposée

$\mathrm {T} +\mathrm {T} 'x+\mathrm {T} ''x^{2}+\ldots .$

PROPOSITION III.

Problème.

21. Étant donnée une suite récurrente dont on connaisse déjà la fraction génératrice, on propose de trouver la fraction génératrice de la même série continuée en arrière.

Soient

$\mathrm {T} ,\ \ \mathrm {T} ',\ \ \mathrm {T} '',\ \ \mathrm {T} ''',\ldots ,\ \ \mathrm {T} ^{(m)},\ \ \mathrm {T} ^{(m+1)},\ldots$

les termes de la série donnée, et supposons que, en continuant la même série en arrière, on ait les termes

$\mathrm {T} ,\ \ ^{\text{‵}}\mathrm {T} ,\ \ ^{\text{‵‵}}\mathrm {T} ,\ \ ^{\text{‵‵‵}}\mathrm {T} ,\ldots ,\ \ ^{(m)}\mathrm {T} ,\ \ ^{(m+1)}\mathrm {T} ,$

de sorte que la série continuée des deux côtés soit représentée ainsi

$\ldots ^{(m+1)}\mathrm {T} ,\ \ ^{(m)}\mathrm {T} ,\ldots ,\ \ ^{\text{‵‵‵}}\mathrm {T} ,\ \ ^{\text{‵‵}}\mathrm {T} ,\ \ ^{\text{‵}}\mathrm {T} ,\ \ \mathrm {T} ,\ \ \mathrm {T} ',\ \ \mathrm {T} '',\ \ \mathrm {T} ''',\ldots ,$

$\mathrm {T} ^{(m)},\ \ \mathrm {T} ^{(m+1)},\ldots ,$

où les termes en allant de la gauche à la droite soient tous formés les uns des autres, suivant une même loi générale.

Soit de plus

${\frac {[0]+[1]x+[2]x^{2}+[3]x^{3}+\ldots +[n-1]x^{n-1}}{(0)+(1)x+(2)x^{2}+(3)x^{3}+\ldots +(n)x^{n}}}$

la fraction génératrice de la série

$\mathrm {T} +\mathrm {T} ''x^{2}+\mathrm {T} '''x^{3}+\ldots \,;$

la question est de trouver la fraction génératrice de la série

$\mathrm {T} +^{\text{‵}}\!\mathrm {T} x-^{\text{‵‵}}\!\mathrm {T} x^{2}+^{\text{‵‵‵}}\!\mathrm {T} x^{3}+^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\!\mathrm {T} x^{4}+\ldots .$

Pour la résoudre, supposons que la fraction donnée soit décomposée en ces $n$ fractions simples

${\frac {\mathrm {K} }{1-px}}+{\frac {\mathrm {L} }{1-qx}}+{\frac {\mathrm {M} }{1-rx}}+{\frac {\mathrm {N} }{1-sx}}+\ldots \,;$

on aura, pour l’expression du terme général $T^{(m)}x^{m},$ celle-ci

$\left(\mathrm {K} p^{m}+\mathrm {L} q^{m}+\mathrm {M} r^{m}+\mathrm {N} s^{m}+\ldots \right)x^{m},$

d’où

$\mathrm {T} ^{(m)}=\mathrm {K} p^{m}+\mathrm {L} q^{m}+\mathrm {M} r^{m}+\mathrm {N} s^{m}+\ldots .$

Or, comme cette expression de $\mathrm {T} ^{(m)}$ doit être générale pour tous les termes de la série, il est visible que, pour avoir les valeurs des termes

$^{\text{‵}}\mathrm {T} ,\ \ ^{\text{‵‵}}\mathrm {T} ,\ \ ^{\text{‵‵‵}}\mathrm {T} ,\ldots ,\ \ ^{(m)}\mathrm {T}$

‵‵‵ qui précèdent le terme $\mathrm {T} ^{0},$ il n’y aura qu’à faire successivement

$m=-1,\ \ -2,\ \ -3,\ldots ,\ \ -m\,;$

de sorte qu’on aura

$^{(m)}\mathrm {T} =\mathrm {K} p^{-m}+\mathrm {L} q^{-m}+\mathrm {M} r^{-m}+\mathrm {N} s^{-m}+\ldots \,;$

donc le terme général $^{(m)}\mathrm {T} x^{m}$ de la série

$\mathrm {T} +\,^{\text{‵}}\mathrm {T} x+\,^{\text{‵‵}}\mathrm {T} x^{2}+\,^{\text{‵‵‵}}\mathrm {T} x^{3}+\ldots$

sera représenté par la formule

$\left(\mathrm {K} p^{-m}+\mathrm {L} q^{-m}+\mathrm {M} r^{-m}+\mathrm {N} s^{-m}+\ldots \right)x^{m}\,;$

d’où il est facile de conclure que cette série résultera du développement des $n$ fractions

${\frac {\mathrm {K} }{1-{\cfrac {x}{p}}}}+{\frac {\mathrm {L} }{1-{\cfrac {x}{q}}}}+{\frac {\mathrm {M} }{1-{\cfrac {x}{r}}}}+\ldots ,$

lesquelles étant réduites à une fraction unique, on aura la fraction génératrice cherchée.

Considérons donc l’équation identique

${\frac {[0]+[1]x+[2]x^{2}+\ldots +[n-1]x^{n-1}}{(0)+(1)x+(2)x^{2}+\ldots +(n)x^{n}}}={\frac {\mathrm {K} }{1-px}}+{\frac {\mathrm {L} }{1-qx}}+{\frac {\mathrm {M} }{1-rx}}+\ldots ,$

et voyons quelle transformation on doit faire subir au premier membre, pour que le second se change en celui-ci

${\frac {\mathrm {K} }{1-{\cfrac {x}{p}}}}+{\frac {\mathrm {L} }{1-{\cfrac {x}{q}}}}+{\frac {\mathrm {M} }{1-{\cfrac {x}{r}}}}+\ldots .$

Je remarque d’abord qu’en faisant $x=0$ on a

${\frac {[0]}{(0)}}=\mathrm {K+L+M} +\ldots \,;$

ensuite, si l’on met ${\frac {1}{x}}$ à la place de $x,$ et qu’on fasse les réductions ordinaires, on aura

${\frac {[0]x^{n}+[1]x^{n-1}+[2]x^{n-2}+\ldots +[n-1]x}{(0)x^{n}+(1)x^{n-1}+(2)x^{n-2}+\ldots +(n)}}=-{\frac {\mathrm {K} x}{p-x}}-{\frac {\mathrm {L} x}{q-x}}-{\frac {\mathrm {M} x}{r-x}}-\ldots \,;$

retranchons cette équation de la précédente, et l’on aura celle-ci

${\begin{aligned}{\frac {[0]}{(0)}}-{\frac {[0]x^{n}+[1]x^{n-1}+[2]x^{n-2}+\ldots +[n-1]x}{(0)x^{n}+(1)x^{n-1}+(2)x^{n-2}+\ldots +(n)}}=&{\frac {\mathrm {K} p}{p-x}}+{\frac {\mathrm {L} q}{q-x}}+{\frac {\mathrm {M} r}{r-x}}+\ldots \\=&{\frac {\mathrm {K} }{1-{\cfrac {x}{p}}}}+{\frac {\mathrm {L} }{1-{\cfrac {x}{q}}}}+{\frac {\mathrm {M} }{1-{\cfrac {x}{r}}}}+\ldots .\end{aligned}}$

On aura donc

${\frac {[0]}{(0)}}-{\frac {[0]x^{n}+[1]x^{n-1}+[2]x^{n-2}+\ldots +[n-1]x}{(0)x^{n}+(1)x^{n-1}+(2)x^{n-2}+\ldots +(n)}}=\mathrm {T} +\,^{\text{‵}}\mathrm {T} x+\,^{\text{‵‵}}\mathrm {T} x^{2}+\,^{\text{‵‵‵}}\mathrm {T} x^{3}+\ldots \,;$

or, faisant $x=0,$ on a ${\frac {[0]}{(0)}}=\mathrm {T} \,;$ donc, retranchant cette équation de la précédente et divisant le reste par $x,$ on aura, en ordonnant les termes suivant les puissances croissantes de $x,$

$-{\frac {[n-1]+[n-2]x+[n-3]x^{2}+\ldots +[0]x^{n-1}}{(n)+(n-1)x+(n-2)x^{2}+(n-3)x^{3}+\ldots +(0)x^{n}}}=\,^{\text{‵}}\mathrm {T} +\,^{\text{‵‵}}\mathrm {T} x+\,^{\text{‵‵‵}}\mathrm {T} x^{2}+\,^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\mathrm {T} x^{3}+\ldots .$

Ainsi le Problème est résolu.

Remarque I.

22. Quoique l’analyse précédente soit fondée sur la décomposition de la fraction génératrice donnée dans les fractions simples

${\frac {\mathrm {K} }{1-px}}+{\frac {\mathrm {L} }{1-qx}}+\ldots ,$

décomposition qui suppose que les facteurs binômes $1-px,\ 1-qx,\ldots$ soient tous inégaux, cependant il est facile de se convaincre que notre démonstration n’en subsistera pas moins quand il se trouvera des facteurs doubles, ou triples, car on sait que le cas des facteurs égaux

peut toujours se ramener à celui des facteurs inégaux, en regardant les quantités égales $p,q,\ldots$ comme infiniment peu différentes entre elles ; de sorte que, comme la conclusion à laquelle nous sommes arrivés est indépendante de la forme même des facteurs $1-px,\ 1-qx,\ldots ,$ il s’ensuit qu’elle aura lieu, soit que ces facteurs soient tous inégaux ou non.

Remarque II.

23. J’appellerai, pour plus de simplicité, polynômes contraires ceux qui, étant du même degré, ont aussi les mêmes coefficients, mais disposés en sens contraire.

Ainsi les deux polynômes

$(0)+(1)x+(2)x^{2}+(3)x^{3}+\ldots +(n)x^{n},$

$(n)+(n-1)x+(n-2)x^{2}+(n-3)x^{3}+\ldots +(0)(x)^{n}$

seront des polynômes contraires.

Donc, si l’on a

$(0)=(n),\quad (1)=(n-1),\quad (2)=(n-2),\ldots ,$

ce qui est la propriété des polynômes qu’on appelle réciproques (n^o 6), il est clair que les deux polynômes contraires seront les mêmes ; vice versâ, il est visible que tout polynôme, qui sera le même que son polynôme contraires, sera nécessairement réciproque.

De ces définitions des polynômes contraires et réciproques, il est facile de déduire les propriétés suivantes de ces mêmes polynômes :

1^o La somme de deux polynômes contraires est un polynôme réciproque du même degré.

Et, en général, si $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ sont deux polynômes contraires du degré $n,$ le polynôme $\mathrm {P+Q} x^{m}$ sera un polynôme réciproque du degré $n+m.$

2^o Le produit de deux polynômes contraires est un polynôme réciproque d’un degré double ; ainsi tout polynôme réciproque d’un degré pair peut être regardé comme le produit de deux polynômes contraires.

3^o La somme ou la différence de deux polynômes réciproques du même degré est aussi un polynôme réciproque d’un pareil degré.

Et le produit de deux polynômes réciproques de quelque degré que ce soit est toujours un polynôme réciproque d’un degré égal à la somme des degrés de ces polynômes. De même le quotient de deux polynômes réciproques, lorsque l’un est divisible par l’autre, sera un polynôme réciproque d’un degré égal à la différence de ceux des deux polynômes.

4^o Tout polynôme réciproque d’un degré impair est divisible par $1+x,$ et le quotient sera aussi un polynôme réciproque ; car il est visible qu’en faisant $x=-1$ les deux termes extrêmes du polynôme se détruiront l’un l’autre, ainsi que les autres termes équidistants des extrêmes ; et, comme $1+x$ est lui-même un polynôme réciproque, il s’ensuit que le quotient le sera aussi.

5^o La différence de deux polynômes contraires est divisible par $1-x,$ et le quotient est un polynôme réciproque ; car soient $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ deux polynômes contraires de quelque degré que ce soit, il est clair qu’en faisant $x=1$ on aura $\mathrm {P=Q}$ ou $\mathrm {P-Q} =0\,;$ donc $\mathrm {P-Q}$ sera divisible par $1-x.$ Maintenant, si l’on multiplie la différence $\mathrm {P-Q}$ par $1-x,$ on aura

$\mathrm {P-Q-P} x+\mathrm {Q} x,$

qui sera, par conséquent, divisible par $(1-x)^{2}$ or $\mathrm {P+Q} x$ est un polynôme réciproque, et $\mathrm {Q+P} x$ en est un aussi du même degré (1^o) ; donc la différence $\mathrm {P+Q} x-\mathrm {Q-P} x$ sera un polynôme réciproque (3^o) ; d’un autre côté,

$(1-x)^{2}=1-2x+x^{2}$

est aussi un polynôme réciproque ; donc le quotient de ces deux polynômes, c’est-à-dire, le quotient de $\mathrm {P-Q}$ par $1-x,$ sera encore un polynôme réciproque (3^o).

On peut démontrer de la même manière que $\mathrm {P-Q} x^{m}$ sera divisible par $1-x,$ et que le quotient sera un polynôme réciproque.

Ces propriétés des polynômes contraires et des polynômes réciproques vont nous servir pour tirer différentes conséquences de la solution du Problème précédent.

Corollaire I.

24. Soit $\mathrm {\frac {M}{P}}$ la fraction génératrice de la série récurrente de l’ordre $n$

(A)

$\mathrm {T} +\mathrm {T} 'x+\mathrm {T} ''x^{2}+\mathrm {T} '''x^{3}+\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+\ldots ,$

$\mathrm {P}$ étant un polynôme du degré $n,$ et $\mathrm {M}$ un polynôme du degré $n-1.$

Que $\mathrm {Q}$ soit le polynôme contraire à $\mathrm {P} ,$ et $\mathrm {N}$ le polynôme contraire à $\mathrm {M} ,$ on aura -\mathrm\frac{N}{Q} pour la fraction génératrice de la série

(B)

$^{\text{‵}}\mathrm {T} +\,^{\text{‵‵}}\mathrm {T} x+\,^{\text{‵‵‵}}\mathrm {T} x^{2}+\,^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\mathrm {T} x^{3}+\,^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\mathrm {T} x^{4}+\ldots .$

Donc, si l’on ajoute ensemble les deux séries (A) et (B), ou qu’on les retranche l’une de l’autre, on aura la nouvelle série

(C)

$\mathrm {\left(T\pm \,^{\text{‵}}T\right)} +\mathrm {\left(T'\pm \,^{\text{‵‵}}T\right)} x+\mathrm {\left(T''\pm \,^{\text{‵‵‵}}T\right)} x^{2}+\mathrm {\left(T'''\pm ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}T\right)} x^{3}+\ldots ,$

dont la fraction génératrice sera égale à

$\mathrm {{\frac {M}{P}}\mp {\frac {N}{Q}}} .$

Supposons que le polynôme $\mathrm {P}$ soit le produit d’un polynôme réciproque $\Pi$ d’un degré quelconque pair $2\nu$ par un autre polynôme $\mathrm {P} ',$ qui sera par conséquent du degré $n-2\nu ,$ en sorte que l’on ait

$\mathrm {P} =\Pi \mathrm {P} '.$

Soit $\mathrm {Q} '$ le polynôme contraire à $\mathrm {P} '\,;$ comme $\Pi$ est un polynôme réciproque, il est clair qu’on aura

$\mathrm {Q} =\Pi \mathrm {Q} '.$

Ainsi l’on aura

$\mathrm {{\frac {M}{\Pi P'}}\mp {\frac {N}{\Pi Q'}}} ,$

c’est-à-dire, en réduisant au même dénominateur,

$\mathrm {\frac {MQ'\mp NP'}{\Pi P'Q'}}$

pour la fraction génératrice de la série (C).

Or, comme $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ sont deux polynômes contraires du degré $n-1$ et $\mathrm {P',Q'}$ deux polynômes aussi contraires du degré $n-2\nu ,$ et que d’ailleurs $\Pi$ est un polynôme réciproque du degré $2\nu ,$ il s’ensuit de ce qu’on a démontré dans le n^o 23 :

1^o Que le dénominateur $\Pi \mathrm {P'Q'}$ de la fraction dont il s’agit sera un polynôme réciproque du degré pair

$2(n-2\nu )+2\nu =2(n-\nu )\,;$

2^o Que le numérateur $\mathrm {MQ'\mp NP'}$ de la même fraction sera égal à un polynôme réciproque du degré pair $2(n-\nu -1),$ multiplié par $1\mp x.$

Corollaire II.

25. Si l’on ajoute à la série (A), ou qu’on en retranche la série (B) multipliée par $x,$ il viendra celle-ci

(D)

$\mathrm {T} +\mathrm {\left(T'\pm \,^{\text{‵}}T\right)} x+\mathrm {\left(T''\pm \,^{\text{‵‵}}T\right)} x^{2}+\mathrm {\left(T'''\pm \,^{\text{‵‵‵}}T\right)} x^{3}+\ldots ,$

dont la fraction génératrice sera donc égale à

$\mathrm {\frac {M}{P}} \mp {\frac {\mathrm {N} x}{\mathrm {Q} }}.$

Soit, comme ci-dessus,

$\mathrm {P=\Pi P'\quad {\text{et}}\quad Q=\Pi Q'} \,;$

on aura donc

$\mathrm {\frac {M}{\Pi P'}} \mp {\frac {\mathrm {N} x}{\Pi \mathrm {Q} '}},\quad {\text{c’est-à-dire,}}\quad {\frac {\mathrm {MQ'\mp NP'} x}{\Pi \mathrm {P'Q'} }}$

pour la fraction génératrice de la série (D) ; d’où l’on voit

1^o Que le dénominateur de cette fraction sera le même que celui de la fraction génératrice de la série (C), c’est-à-dire, un polynôme réciproque du degré pair $2(n-\nu )\,;$

2^o Que, si l’on prend le signe supérieur, la fraction aura pour numérateur un polynôme réciproque du degré $2(n-\nu -1)$ multiplié par $1-x^{2}\,;$ car ce numérateur, étant égal à $\mathrm {MQ'-NP'} x,$ sera représenté par un polynôme du degré $2(n-m)$ divisible par $1-x,$ et qui, par cette division, deviendra un polynôme réciproque du degré $2(n-\nu )-1$ (n^o 23, 5^o) ; or ce dernier polynôme, étant d’un degré impair, sera encore divisible par $1+x,$ et deviendra, par cette division, un polynôme réciproque du degré $2(n-\nu )-2$ (numéro cité, 4^o) ; donc, etc. ;

3^o Que, si l’on prend le signe inférieur, le numérateur de la même fraction sera un polynôme réciproque du degré $2(n-\nu ),$ c’est-à-dire, du même degré que son dénominateur ; ce qui est évident par ce qu’on a dit dans le n^o 23 (1^o). Donc, si l’on retranche de la fraction le premier terme $\mathrm {T}$ de la série, la fraction restante, après avoir réduit au même dénominateur, aura encore pour numérateur un polynôme réciproque de même degré (n^o 23, 3^o) mais ce numérateur doit être divisible par $x\,;$ donc il faudra que son premier terme, où $x$ n’entre pas, soit nul ; par conséquent le dernier terme, qui renferme $x^{2(n-\nu )}$ et qui a le même coefficient que le premier, sera nul aussi ; effaçant donc les deux termes extrêmes du numérateur, et divisant les autres par $x,$ on aura un polynôme réciproque du degré $2(n-\nu )-2$ pour le numérateur de la fraction génératrice de la série

$\mathrm {\left(T'-\,^{\text{‵}}T\right)} +\mathrm {\left(T''-\,^{\text{‵‵}}T\right)} x+\mathrm {\left(T'''-\,^{\text{‵‵‵}}T\right)} x^{2}+\ldots .$

Corollaire III.

26. Donc, si l’on divise la série (C) du Corollaire I par $1\mp x,$ ou, ce qui revient au même, qu’on la multiplie par la série

$1\pm x+x^{2}\pm x^{3}+x^{4}\pm \ldots ,$

on aura, en prenant successivement les signes supérieurs ou les inférieurs, deux séries dont l’une sera

(E)

$t+t'x+t''x^{2}+t'''x^{3}+t^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+t^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}x^{5}+\ldots ,$

dans laquelle

${\begin{aligned}t\ \ \ &=\mathrm {T\ \ \ +\,^{\text{‵}}T} ,\\t'\ \ &=\mathrm {T'\ \ +\ \ T\ \,+\,^{\text{‵}}T\ +\,^{\text{‵‵}}T} ,\\t''\ &=\mathrm {T''\ +\ \ T'\,+\ \ T\ +\ \,^{\text{‵}}T+\,^{\text{‵‵}}T+\,^{\text{‵‵‵}}T} ,\\t'''&=\mathrm {T'''+\ \ T''+\ \ T'+\ \ \,T+\ \,^{\text{‵}}T+\ \,^{\text{‵‵}}T+\,^{\text{‵‵‵}}T+\,^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}T} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et dont l’autre sera

(F)

$(t)+(t')x+(t'')x^{2}+(t''')x^{3}+\left(t^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)x^{4}+\left(t^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\right)x^{5}+\ldots ,$

dans laquelle

${\begin{aligned}(t)\ \ \ &=\mathrm {T\ \ \ -\,^{\text{‵}}T} ,\\(t')\ \ &=\mathrm {T'\ \ -\ \ T\ \,+\,^{\text{‵}}T\ -\,^{\text{‵‵}}T} ,\\(t'')\ &=\mathrm {T''\ -\ \ T'\,+\ \ T\ -\ \,^{\text{‵}}T+\,^{\text{‵‵}}T-\,^{\text{‵‵‵}}T} ,\\(t''')&=\mathrm {T'''-\ \ T''+\ \ T'-\ \ \,T+\ \,^{\text{‵}}T-\ \,^{\text{‵‵}}T+\,^{\text{‵‵‵}}T-\,^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}T} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Et ces deux séries auront l’avantage de tirer leur origine de fractions génératrices qui auront pour dénominateur un même polynôme réciproque du degré pair $2(n-\nu -1)$ et pour numérateur des polynômes aussi réciproques et du degré $2(n-\nu -1).$

De même le Corollaire II fournira deux autres séries qui auront les mêmes propriétés, et dont l’une sera la série (D), prise avec les signes supérieurs et divisée par $1-x^{2},$ ou, ce qui revient au même, multipliée par la série

$1+x^{2}+x^{4}+x^{6}+\ldots ,$

et dont l’autre sera la même série (D), prise avec les signes supérieurs et divisée par $x,$ après en avoir retranché le premier terme $\mathrm {T} .$

Ainsi la première de ces séries sera de la forme

(G)

$t+t'x+t''x^{2}+t'''x^{3}+t^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+t^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}x^{5}+\ldots ,$

où

${\begin{aligned}t\ \ \ &=\mathrm {T} ,\\t'\ \ &=\mathrm {T'\,\ +\,^{\text{‵}}T} ,\\t''\ &=\mathrm {T''\ +\ \ T\ +\,^{\text{‵‵}}T} ,\\t'''&=\mathrm {T'''+\ \ T'+\ \,^{\text{‵}}T+\,^{\text{‵‵‵}}T} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et la seconde sera de la forme

(H)

$(t)+(t')x+(t'')x^{2}+(t''')x^{3}+\left(t^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)x^{4}+\left(t^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\right)x^{5}+\ldots ,$

où

${\begin{aligned}(t)\ \ \ &=\mathrm {T'\ -\ \ ^{\text{‵}}T} ,\\(t)'\ \ &=\mathrm {T''\,-\ ^{\text{‵‵}}T} ,\\(t)''\ &=\mathrm {T'''-\,^{\text{‵‵‵}}T} ,\\(t)'''&=\mathrm {T^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-\,^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}T} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

On a donc par là le moyen de transformer une série récurrente d’un ordre quelconque $n$ en d’autres de l’ordre $2(n-\nu )$ qui aient les conditions dont on vient de parler. Or, quoique ces transformées soient en elles-mêmes d’un ordre supérieur à la proposée, elles peuvent néanmoins être abaissées à un ordre inférieur ; car nous allons faire voir, dans le Problème suivant, que toute série récurrente dont la fraction génératrice a pour numérateur et pour dénominateur des polynômes réciproques de degrés pairs peut être transformée en une autre aussi récurrente, mais d’un ordre moindre de la moitié ; d’où l’on pourra conclure que les séries transformées de l’ordre $2(n-\nu )$ seront réductibles à d’autres de l’ordre $n-\nu ,$ lequel, tant que $\nu$ n’est pas nul, sera toujours moindre que celui de la série primitive proposée.

PROPOSITION IV.

Problème.

27. Étant donnée une suite récurrente d’un ordre pair, dont la fraction génératrice ait pour dénominateur un polynôme réciproque d’un degré pair, et pour numérateur un polynôme, aussi réciproque, d’un degré pair et moindre de deux unités que celui du dénominateur, on propose de transformer cette série en une autre pareillement récurrente, mais d’un ordre moindre de la moitié.

Soit proposée la série

$t+t'x+t''x^{2}+t'''x^{3}+t^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+\ldots ,$

dont la fraction génératrice soit représentée par la formule

${\frac {[0]+[1]x+[2]x^{2}+\ldots +[2]x^{2\mu -4}+[1]x^{2\mu -3}+[0]x^{2\mu -2}}{(0)+(1)x+(2)x^{2}+\ldots +(2)x^{2\mu -2}+(1)x^{2\mu -1}+(0)x^{2\mu }}},$

en sorte que la série proposée soit de l’ordre $2\mu ,$ et supposons que cette série soit transformée en une autre, telle que

$\theta +\theta 'y+\theta ''y^{2}+\theta '''y^{3}+\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y^{4}+\ldots ,$

laquelle ne soit que de l’ordre $\mu ,$ et dont la fraction génératrice soit représentée par la formule

${\frac {a+by+cy^{2}+\ldots +hy^{\mu -1}}{\mathrm {A} +\mathrm {B} y+\mathrm {C} y^{2}+\ldots +\mathrm {K} y^{\mu }}}.$

Je fais, pour obtenir cette transformation,

$y={\frac {x}{1+x}},$

et, substituant cette valeur de $y$ dans la dernière fraction, j’ai, après avoir multiplié le haut et le bas par $\left(1+x^{2}\right)^{\mu },$

${\frac {\left(1+x^{2}\right)\left[a\left(1+x^{2}\right)^{\mu -1}+bx\left(1+x^{2}\right)^{\mu -2}+cx^{2}\left(1+x^{2}\right)^{\mu -3}+\ldots +hx^{\mu -1}\right]}{\mathrm {A} \left(1+x^{2}\right)^{\mu }+\mathrm {B} x\left(1+x^{2}\right)^{\mu -1}+\mathrm {C} x^{2}\left(1+x^{2}\right)^{\mu -2}+\ldots +\mathrm {K} x^{\mu }}},$

et cette fraction sera, par conséquent, égale à la série

$\theta +{\frac {\theta 'x}{1+x^{2}}}+{\frac {\theta ''x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}+{\frac {\theta '''x^{3}}{\left(1+x^{2}\right)^{3}}}+\ldots \,;$

et, divisant tant la fraction que la série par $1+x^{2},$ j’aurai cette fraction

${\frac {a\left(1+x^{2}\right)^{\mu -1}+bx\left(1+x^{2}\right)^{\mu -2}+cx^{2}\left(1+x^{2}\right)^{\mu -3}+\ldots +hx^{\mu -1}}{\mathrm {A} \left(1+x^{2}\right)^{\mu }+\mathrm {B} x\left(1+x^{2}\right)^{\mu -1}+\mathrm {C} x^{2}\left(1+x^{2}\right)^{\mu -2}+\ldots +\mathrm {K} x^{\mu }}},$

qui sera égale à la série

${\frac {\theta }{1+x^{2}}}+{\frac {\theta 'x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}+{\frac {\theta ''x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{3}}}+{\frac {\theta '''x^{3}}{\left(1+x^{2}\right)^{4}}}+\ldots .$

Maintenant, si l’on développe les puissances de $1+x^{2},$ tant dans le numérateur que dans le dénominateur de cette dernière fraction, et qu’on ordonne ensuite par rapport aux puissances de $x,$ on verra que le dénominateur sera un polynôme réciproque du degré $2\mu ,$ et que le numérateur sera aussi un polynôme réciproque du degré $2\mu -2\,;$ en sorte qu’on pourra comparer terme à terme ces polynômes à ceux qui forment la fraction génératrice de la série proposée ; et cette comparaison servira à déterminer les $\mu$ coefficients

$a,\ \ b,\ \ c,\ldots ,\ \ h$

par les coefficients

$[0],\ \ [1],\ \ [2],\ldots ,\ \ [\mu -1],$

ainsi que les $\mu +1$ coefficients

$\mathrm {A,\ \ B,\ \ C,\ldots ,\ \ K}$

par les coefficients

$(0),\ \ (1),\ \ (2),\ldots ,\ \ (\mu ).$

Les deux fractions étant donc, par ce moyen, devenues identiques, il faudra que les séries qui en dérivent le soient aussi ; mais, comme la dernière série n’est pas ordonnée suivant les puissances de $x,$ il faudra, pour pouvoir la comparer à la proposée, l’ordonner auparavant suivant ces mêmes puissances ; et pour cela il n’y aura qu’à y substituer, à la place des fractions

${\frac {1}{1+x^{2}}},\quad {\frac {1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}},\quad {\frac {1}{\left(1+x^{2}\right)^{3}}},\ldots ,$

leurs valeurs en séries

${\begin{alignedat}{5}{\frac {1}{1+x^{2}}}\quad =&1-&x^{2}&+&x^{4}&-&x^{6}&+&x^{8}&-&\ldots ,\\{\frac {1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}=&1-&2x^{2}&+&4x^{4}&-&4x^{6}&+&5x^{8}&-&\ldots ,\\{\frac {1}{\left(1+x^{2}\right)^{3}}}=&1-&3x^{2}&+&6x^{4}&-&10x^{6}&+&15x^{8}&-&\ldots ,\\\end{alignedat}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;$

et, après avoir ordonné les termes par rapport à $x,$ on aura la série

${\begin{aligned}\theta +\theta 'x&+(\theta ''-\theta )x^{2}+(\theta '''-2\theta ')x^{3}+(\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-3\theta ''+\theta )x^{4}\\&+(\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-4\theta '''+3\theta ')x^{5}+(\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}-5\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+6\theta ''-\theta )x^{6}+\ldots ,\end{aligned}}$

dans laquelle chaque terme, comme $x^{\lambda },$ aura pour coefficient la quantité

$\theta ^{\lambda }-(\lambda -1)\theta ^{\lambda -2}+{\frac {(\lambda -2)(\lambda -3)}{2}}\theta ^{\lambda -4}-{\frac {(\lambda -3)(\lambda -4)(\lambda -5)}{2.3}}\theta ^{\lambda -6}+\ldots .$

Comparant donc maintenant terme à terme cette série avec la série proposée, on aura

${\begin{aligned}t\ \ \ &=\theta ,\\t'\ \ &=\theta ',\\t''\ &=\theta ''\ -\theta ,\\t'''&=\theta '''-2\theta ',\\t^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&=\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-3\theta ''\ +\theta ,\\t^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\,&=\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ -4\theta '''+3\theta ',\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et, en général,

$t^{(\lambda )}=$

$\theta ^{(\lambda )}-(\lambda -1)\theta ^{(\lambda -2)}+{\frac {(\lambda -2)(\lambda -3)}{2}}\theta ^{(\lambda -4)}-{\frac {(\lambda -3)(\lambda -4)(\lambda -5)}{2.3}}\theta ^{(\lambda -6)}+\ldots ,$

d’où l’on tire réciproquement

${\begin{alignedat}{6}&\theta &=&t,\\&\theta '&=&t',\\&\theta ''&=&t''&+&t,\\&\theta '''&=&t'''&+&2t',\\&\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&=&t^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&+&3t''&+&\ \ 2t,\\&\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}&=&t^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}&+&4t'''&+&\ \ 5t',\\&\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}&=&t^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}&+&5t^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&+&\ \ 9t''&+&\ \ 5t,\\&\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}&=&t^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}&+&6t^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}&+&14t'''&+&14t',\\&\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{VIII}}}&=&t^{\scriptscriptstyle {\text{VIII}}}&+&7t^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}&+&20t^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&+&28t''&+&14t,\\&\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IX}}}&=&t^{\scriptscriptstyle {\text{IX}}}&+&8t^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}&+&27t^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}&+&48t'''&+&42t',\end{alignedat}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,$

où la loi de la progression est évidente ; car on voit que le coefficient de chaque terme, dans un rang horizontal quelconque, est égal au coefficient du terme qui lui est au-dessus dans le rang horizontal précédent, plus, à celui qui est à gauche dans le même rang. Ainsi, dans la valeur de $\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IX}}},$ on a

$1=1+0,\quad 8=7+1,\quad 27=20+7,\quad 48=28+20,\quad 42=14+28\,;$

et ainsi des autre.

D’où il est facile de conclure qu’on aura, en général,

$\theta ^{(\lambda )}=t^{(\lambda )}+(\lambda -1)t^{(\lambda -2)}+{\frac {\lambda (\lambda -3)}{2}}t^{(\lambda -4)}+{\frac {\lambda (\lambda -1)(\lambda -5)}{2.3}}t^{(\lambda -6)}$

$+{\frac {\lambda (\lambda -1)(\lambda -2)(\lambda -7)}{2.3.4}}t^{(\lambda -8)}+{\frac {\lambda (\lambda -1)(\lambda -2)(\lambda -3)(\lambda -9)}{2.3.4.5}}t^{(\lambda -10)}+\ldots .$

Corollaire.

28. Donc, si l’on a une série telle que

$t+t'x+t''x^{2}+t'''x^{3}+t^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+\ldots ,$

et qu’on demande si elle est récurrente d’un ordre pair, et produite par

une fraction génératrice dont le numérateur et le dénominateur soient l’un et l’autre des polynômes réciproques de degrés pairs, au lieu d’employer immédiatement la méthode générale de la Proposition II pour résoudre cette question, il y aura de l’avantage à transformer d’abord cette suite en une autre de la forme

$\theta +\theta 'y+\theta ''y^{2}+\theta '''y^{3}+\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y^{4}+\ldots$

et à opérer ensuite sur cette dernière série par la méthode citée ; car, de cette manière, on aura la moitié moins d’opérations à exécuter, puisque cette série sera d’un ordre moindre de la moitié que celui de la série proposée.

Quand on aura trouvé la fraction génératrice de la série transformée

$\theta +\theta 'y+\theta ''y^{2}+\ldots ,$

il n’y aura qu’à y mettre partout ${\frac {x}{1+x^{2}}}$ à la place de $y,$ et diviser ensuite toute la fraction par $1+x^{2}\,;$ on aura par ce moyen la fraction génératrice même de la série primitive

$t+t'x+t''x^{2}+\ldots .$

Cette transformation a d’ailleurs encore un autre avantage, c’est qu’elle facilite la recherche du terme général de la série proposée ; car, ayant trouvé la fraction génératrice de la série transformée et l’ayant décomposée en ses fractions simples, telles que

${\frac {\mathrm {F} }{1-\varpi y}}+{\frac {\mathrm {G} }{1-\rho y}}+{\frac {\mathrm {H} }{1-\sigma y}}+\ldots ,$

il n’y aura qu’à mettre dans chacune de ces fractions ${\frac {x}{1+x^{2}}}$ à la place de $y,$ et la diviser ensuite par $1+x^{2}\,;$ on aura ainsi les fractions

${\frac {\mathrm {F} }{1-\varpi x+x^{2}}}+{\frac {\mathrm {G} }{1-\rho x+x^{2}}}+{\frac {\mathrm {H} }{1-\sigma x+x^{2}}}+\ldots ,$

d’où, en faisant

$\varpi '={\frac {\varpi }{2}}+{\sqrt {{\frac {\varpi ^{2}}{4}}-1}},\quad \rho '={\frac {\rho }{2}}+{\sqrt {{\frac {\rho ^{2}}{4}}-1}},\quad \sigma '={\frac {\sigma }{2}}+{\sqrt {{\frac {\sigma ^{2}}{4}}-1}},\ldots ,$

on aura, pour l’expression du terme général $t^{(m)},$

${\begin{aligned}t^{(m)}&={\frac {\mathrm {F} \varpi '^{2}}{\varpi '^{2}-1}}\varpi ^{'m}-{\frac {\mathrm {F} }{\varpi '^{2}-1}}\varpi ^{'-m}\\&+{\frac {\mathrm {G} \rho '^{2}}{\rho '^{2}\ \ -1}}\rho ^{'m}\ -{\frac {\mathrm {G} }{\rho '^{2}\ -1}}\rho ^{'-m}\\&+{\frac {\mathrm {H} \sigma '^{2}}{\sigma '^{2}\ \ -1}}\sigma ^{'m}\ -{\frac {\mathrm {H} }{\sigma '^{2}\ -1}}\sigma ^{'-m}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Exemple.

29. Soit proposée la série

$1+3x+5x^{2}+6x^{3}+7x^{4}+9x^{5}+11x^{6}+12x^{7}+\ldots \,;$

on trouvera que la transformée sera

$1+3y+6y^{2}+12y^{3}+24y^{4}+48y^{5}+96y^{6}+192y^{7}+\ldots ,$

laquelle, à commencer du second terme, est une progression géométrique dont la raison est $2\,;$ de sorte qu’on aura sur-le-champ la formule

$1+{\frac {3y}{1-2y}},\quad {\text{c'est-à-dire,}}\quad {\frac {1+y}{1-2y}}$

pour la fraction génératrice de cette dernière série ; d’où l’on voit que cette série, quoique du premier ordre seulement, est cependant essentiellement une série du second ordre, mais dans laquelle le coefficient du terme $y^{2}$ dans l’échelle de relation est évanoui (n^o 18) ; de sorte que la série proposée sera nécessairement du quatrième ordre.

En effet, mettant ${\frac {x}{1+x^{2}}}$ à la place de $y$, et divisant ensuite la fraction par $1+x^{2},$ on aura celle-ci

${\frac {1+x+x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)\left(1-2x+x^{2}\right)}}$

pour la fraction génératrice de la série primitive

$1+3x+5x^{2}+\ldots ,$

et il est clair par là que si l’on avait voulu opérer immédiatement par cette même série, suivant la méthode de la Proposition II, il aurait fallu procéder jusqu’à la quatrième division avant que l’opération fût terminée.

PROPOSITION V.

Problème.

30. Les mêmes choses étant supposées, comme dans la Proposition IV, on demande une méthode plus simple que celle de la Proposition II, pour trouver immédiatement la fraction génératrice de la série proposée.

On voit, par l’analyse du Problème précédent, que la fraction génératrice de la série (E), laquelle a pour dénominateur un polynôme réciproque du degré $2\mu ,$ et pour numérateur un polynôme réciproque du degré $2\mu -2,$ étant multipliée par $1+x^{2},$ peut se transformer, par la substitution

$y={\frac {x}{1+x^{2}}},$

en une autre fraction qui ait pour dénominateur un polynôme en $y$ du degré $\mu ,$ et pour numérateur un polynôme en $y$ du degré $\mu -1.$

Or il est clair que, par la méthode de la Proposition II, cette dernière fraction peut se réduire en une fraction continue de la forme

${\frac {1}{p+qy+{\cfrac {y^{2}}{p'+q'y+{\cfrac {y^{2}}{p''+q''y+{\cfrac {y^{2}}{p'''+q'''y+\ddots +{\cfrac {y^{2}}{p^{(\mu -1)}+q^{(\mu -1)}y}}}}}}}}}}.$

Donc, si l’on remet dans cette expression ${\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}$ à la place de $y,$ et qu’on la divise par $1+x^{2},$ elle deviendra égale et identique à la fraction génératrice de la série donnée (E).

Or il est facile de voir que, par ce moyen, la fraction continue précédente deviendra celle-ci

${\frac {1}{p\left(1+x^{2}\right)+qx+{\cfrac {x^{2}}{p'\left(1+x^{2}\right)+q'x+{\cfrac {x^{2}}{p''\left(1+x^{2}\right)+q''x+\ddots {\frac {x^{2}}{p^{(\mu -1)}\left(1+x^{2}\right)+q^{(\mu -1)}x}}}}}}}}.$

D’où je conclus que la série (E) peut se réduire elle-même aussi en une fraction continue de cette forme, c’est-à-dire, dans laquelle les quotients provenant des divisions successives, au lieu d’être simplement de la forme

$p+qx,\quad p'+q'x,\quad p''+q''x,\ldots ,$

comme dans la Proposition II, soient de la forme,

$p+qx+px^{2},\quad p'+q'x+p'x^{2},\quad p''+q''x+p''x^{2},\ldots \,;$

et comme les termes $px^{2},p'x^{2},p''x^{2},\ldots ,$ dont ces quotients diffèrent de ceux de la Proposition citée, n’influent point, dans l’opération de la division, sur les termes précédents $p+qx,\ p'+q'x,\ldots ,$ il s’ensuit que, pour réduire la série (E) en une fraction continue de la forme ci-dessus, il n’y aura qu’à faire sur cette série les mêmes opérations que dans la Proposition II, avec cette seule différence qu’après avoir trouvé les deux premiers termes de chaque quotient il faudra y ajouter encore le premier terme multiplié par $x^{2},$ et tenir compte ensuite de ce nouveau terme dans la soustraction. De cette manière, l’opération se terminera après $\mu$ divisions, au lieu qu’en employant la méthode de la Proposition II elle exigera $2\mu$ divisions.

Corollaire.

31. Lorsqu’on aura ainsi trouvé les quotients successifs

$p+qx+px^{2},\quad p'+q'x+p'x^{2},\quad p''+q''x+p''x^{2},\ldots ,$

on pourra en déduire la fraction génératrice de la série par la méthode du n^o 2, en prenant ces quotients à la place des quotients

$p+qx,\quad p'+q'x,\quad p''+q''x,\ldots .$

Mais il sera encore plus simple et plus commode de prendre pour quotients les simples quantités

$p+qy,\quad p'+q'y,\quad p''+q''y,\ldots ,\quad p^{(\mu -1)}+q^{(\mu -1)}y\,;$

car, ayant formé par leur moyen la fraction en $y,$ il n’y aura plus qu’à y substituer ${\frac {x}{1+x^{2}}}$ à la place de $y,$ et à la diviser ensuite par $1+x^{2},$ comme on l’a vu dans le n^o 28.

Remarque I.

32. La méthode précédente est donc très-utile pour reconnaître si une série quelconque proposée est récurrente et due à une fraction génératrice dont le numérateur et le dénominateur soient des polynômes réciproques de degrés, pairs ; car elle réduit à la moitié le nombre des opérations que demanderait la méthode générale de la Proposition II.

Si la fraction génératrice de la série devait avoir pour dénominateur un polynôme réciproque de degré pair, et pour numérateur le produit d’un polynôme réciproque de degré pair par un polynôme quelconque donné ; alors on pourrait encore résoudre la question par la même méthode, avec cette seule différence, qu’au lieu de prendre l’unité pour le premier dividende, comme dans les opérations de la Proposition II, il faudrait prendre pour premier dividende le polynôme même donné ; car il est visible que, de cette manière toute la fraction continue se trouvera multipliée par ce même polynôme, et que, par conséquent, la fraction résultant de la réduction de cette fraction le sera aussi. C’est pourquoi, après avoir trouvé dans ce cas les quotients des divisions successives, il n’y aura qu’à chercher, à l’aide de ces quotients, la fraction génératrice de la série, en faisant abstraction du polynôme donné, et ensuite multiplier le numérateur de cette fraction par le polynôme dont nous parlons.

Exemple.

33. Je prendrai pour exemple la suite que nous avons déjà examinée dans le n^o 29, d’après la méthode de la Proposition IV, savoir,

${\begin{aligned}1&+3x+5x^{2}+6x^{3}+7x^{4}+9x^{5}+11x^{6}+12x^{7}+13x^{8}\\&+15x^{9}+17x^{10}+18x^{11}+19x^{12}+21x^{13}+\ldots ,\end{aligned}}$

et voici comment je procède.

Je commence par diviser l’unité par la série donnée

$1+3x+5x^{2}+\ldots ,$

que j’appelle $s,$ et je trouve dans le quotient le terme $1,$ à la place duquel j’écris tout de suite $1+x^{2}\,;$ je multiplie $1+x^{2}$ par la série $s,$ et je soustrais le produit de l’unité, ce qui me donne le reste

$-3x-6x^{2}-9x^{3}-12x^{4}-15x^{5}-18x^{6}-21x^{7}-\ldots .$

Je continue à diviser ce reste par la série $s,$ et il me vient dans le quotient le nouveau terme $-3x,$ qui, étant multiplié par le diviseur $s$ et soustrait du reste précédent, donne le reste

$3x^{2}+6x^{3}+6x^{4}+6x^{5}+9x^{6}+12x^{7}+\ldots .$

Ainsi le premier quotient est

$1-3x+x^{2}.$

Maintenant je divise le dernier reste par son premier terme $3x^{2}$ pour avoir la série

$1+2x+2x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+4x^{5}+4x^{6}+\ldots ,$

que j’appelle $s',$ et par laquelle je divise la série $s,$ qui a servi de diviseur dans l’opération précédente.

Cette division me donne d’abord le quotient $1,$ à la place duquel j’écris de nouveau $1+x^{2}\,;$ la multiplication et la soustraction faites, j’ai le reste

$x+2x^{2}+2x^{3}+2x^{4}+3x^{5}+4x^{6}+4x^{7}+\ldots ,$

qui, étant divisé derechef par la série $s,$ produit dans le quotient le terme $x\,;$ et ce terme, étant multiplié par le diviseur $s$ et soustrait du reste précédent, ne laisse plus rien ; d’où je conclus que l’opération est terminée, et que la série proposée est récurrente du quatrième ordre, en sorte que sa fraction génératrice a pour dénominateur un polynôme réciproque du quatrième degré, et pour numérateur un polynôme réciproque du second degré.

En vertu de l’opération précédente, la série proposée $s$ est donc égale à la fraction continue

$s={\frac {1}{1-3x+x^{2}+{\cfrac {3x^{2}}{1+x+x^{2}}}}},$

laquelle, en mettant $y$ à la place de ${\frac {x}{1+x^{2}}},$ c’est-à-dire, $y\left(1+x^{2}\right)$ à la place de $x,$ se réduit à celle-ci

$s={\frac {1}{\left(1+x^{2}\right)(1-3y)+{\cfrac {3\left(1+x^{2}\right)^{2}y^{2}}{\left(1+x^{2}\right)(1+y)}}}},$

savoir

$s=\left({\frac {1}{1-3y+{\cfrac {3y^{2}}{1+y}}}}\right):\left(1+x^{2}\right)\,;$

d’où l’on voit que l’expression de $s$ en $y$ est la même que celle en $x,$ en réduisant les quotients

$1-3x+x^{2},\quad 1+x+x^{2}$

aux deux premiers termes

$1-3x,\quad 1+x,$

changeant ensuite $x$ en $y,$ et divisant le tout par $1+x^{2}.$

Ainsi, pour avoir la fraction génératrice, on considérera les quotients

$1-3x,\quad 1+x,$

avec le premier terme $3x^{2}$ du reste de la première division, par lequel ce reste a été divisé ; et l’on en formera (n^o 13) les quantités

$\xi =1,\quad \xi '=1+x,\quad \xi ''=(1-3x)\xi '+3x^{2}\xi =1-2x\,;$

on changea $x$ en $y$ dans la fraction ${\frac {\xi '}{\xi ''}},$ et, la divisant ensuite par $1+x^{2},$ on aura celle-ci

${\frac {1+y}{\left(1+x^{2}\right)(1-2y)}}$

pour la fraction cherchée, dans laquelle il n’y aura plus qu’à mettre ${\frac {x}{1+x^{2}}}$ à la place de $y,$ ce qui la transformera en

${\frac {1+x+x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)\left(1-2x+x^{2}\right)}}\,;$

ce qui s’accorde avec le résultat du n^o 29.

Remarque II.

34. Si, dans le cas du Problème précédent, il arrivait que la fraction génératrice eût pour numérateur un polynôme réciproque d’un degré égal ou plus grand que celui du dénominateur, alors la série aurait au commencement un certain nombre de termes irréguliers, comme on l’a vu dans le n^o 18 ; or, si l’on se contentait d’effacer ces termes, la série restante serait à la vérité régulière, mais elle n’aurait plus une fraction génératrice dont le numérateur et le dénominateur fussent des polynômes réciproques de degrés pairs, comme auparavant. Comme il peut néanmoins être quelquefois utile de conserver à la série cette propriété, nous allons voir ce qu’il faudra faire pour cet effet.

Considérons donc la fraction

${\frac {a+bx+cx^{2}+\ldots +cx^{2(\nu +\rho -1)-2}+bx^{2(\nu +\rho -1)-1}+ax^{2(\nu +\rho -1)}}{\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\ldots +\mathrm {C} x^{2\mu -2}+\mathrm {B} x^{2\mu -1}+\mathrm {A} x^{2\mu }}},$

laquelle soit supposée donner naissance à la série

$t+t'x+t''x^{2}+t'''x^{3}+t^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+\ldots .$

Je dis que l’on peut diviser le numérateur de cette fraction par son dénominateur, en sorte que tant le quotient que le reste soient aussi des polynômes réciproques de degrés pairs ; en effet, si l’on suppose que le quotient soit

$\mathrm {P} +\mathrm {Q} x+\mathrm {R} x^{2}+\ldots +\mathrm {R} x^{2(\rho -1)-2}+\mathrm {Q} x^{2(\rho -1)-1}+\mathrm {P} x^{2(\rho -1)}$

et que le reste soit

$x^{\rho }\left[p+qx+rx^{2}+\ldots +rx^{2(\nu -1)-2}+qx^{2(\nu -1)-1}+px^{2(\nu -1)}\right],$

il est facile de prouver qu’en multipliant ce quotient par le diviseur

$\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\ldots$

et y ajoutant ensuite le reste, il viendra un polynôme réciproque du degré $2(\nu +\rho -1)\,;$ et, comme le nombre des coefficients indéterminés $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ est $\rho ,$ et celui des coefficients indéterminés $p,q,r,\ldots$ est $\nu ,$ le polynôme dont il s’agit contiendra $\nu +\rho$ quantités indéterminées ; par conséquent ce polynôme sera comparable au polynôme

$a+bx+cx^{2}+\ldots ,$

où le nombre des coefficients donnés $a,b,c,\ldots$ est aussi $\nu +\rho .$

Maintenant, puisque le reste est divisible par $x^{\rho },$ il est clair que les $\rho$ premiers termes de la série

$t+t'x+t''x^{2}+\ldots$

devront être les mêmes que les $\rho$ premiers termes du quotient

$\mathrm {P} +\mathrm {Q} x+\mathrm {R} x^{2}+\ldots ,$

afin que, ces termes étant effacés de part et d’autre, ce qui restera soit tout divisible par $x^{\rho }\,;$ on aura donc ainsi

$\mathrm {P} =t,\quad \mathrm {Q} =t',\quad \mathrm {R} =t'',\ldots \,;$

donc, après avoir effacé ce qui se détruit, et divisé le tout par $x^{\rho },$ on aura l’équation

$t^{(\rho )}+t^{(\rho +1)}x+t^{(\rho +2)}x^{2}+t^{(\rho +3)}x^{3}+\ldots =t^{(\rho -2)}+t^{(\rho -3)}x+t^{(\rho -4)}x^{2}+\ldots +tx^{\rho -2}$

$+{\frac {p+qx+rx^{2}+\ldots +rx^{2(\nu -1)-2}+qx^{2(\nu -1)-1}+px^{2(\nu -1)}}{\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\ldots +\mathrm {C} x^{2\nu -2}+\mathrm {B} x^{2\nu -1}+\mathrm {A} x^{2\nu }}},$

d’où il s’ensuit qu’on aura

${\begin{aligned}&\left[t^{(\rho )}-t^{(\rho -2)}\right]+\left[t^{(\rho +1)}-t^{(\rho -3)}\right]x+\left[t^{(\rho +2)}-t^{(\rho -4)}\right]x^{2}+\ldots \\&\quad ={\frac {p+qx+rx^{2}+\ldots +rx^{2(\nu -1)-2}+qx^{2(\nu -1)-1}+px^{2(\nu -1)}}{\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\ldots +\mathrm {C} x^{2\nu -2}+\mathrm {B} x^{2\nu -1}+\mathrm {A} x^{2\nu }}}.\end{aligned}}$

On voit donc par là que, pour rendre la série

$t+t'x+t''x^{2}+t'''x^{3}+\ldots$

régulière, et en même temps originaire d’une fraction qui ait pour numérateur et pour dénominateur des polynômes réciproques de degrés pairs, il faut non-seulement y effacer les $\rho$ premiers termes, et diviser les restants par $x^{\rho },$ mais encore retrancher des coéfficients de ceux-ci les coefficients de ceux des premiers termes qui sont également éloignés du terme $\rho$^ième, c’est-à-dire, en retrancher respectivement les coefficients des termes effacés disposés à rebours, à commencer par le pénultième.

Si la série proposée avait pour fraction génératrice la fraction ci-dessus, mais dont le numérateur fût de plus multiplié par $1+x,$ ce qui le rendrait un polynôme réciproque du degré $2(\nu +\rho -1)+1,$ on trouverait par un raisonnement semblable que, pour débarrasser la série des termes irréguliers et conserver en même temps à sa fraction génératrice la même forme, il faudrait y effacer les $\rho$ premiers termes, diviser les autres par $x^{\rho },$ et retrancher ensuite respectivement des coefficients de ceux-ci ceux des termes effacés, disposés à rebours, à commencer par le dernier ; c’est le cas de la seconde des deux séries (C) du n^o  24.

Mais, si le numérateur de la fraction au lieu d’être multiplié par $1+x$ devait l’être par $1-x,$ ce qui est le cas de la première des mêmes séries (C), alors on opérerait comme dans le cas précédent, mais en changeant la soustraction en addition.

Enfin, si l’on avait le cas de la première des séries (D) du n^o  25, où le numérateur de la fraction doit être multiplié par $1-x^{2},$ il est facile de voir qu’après avoir effacé les $\rho$ premiers termes, et divisé les autres par $x^{\rho },$ il faudrait ajouter respectivement aux coefficients de ceux-ci, à commencer seulement par le second, les coefficients des termes effacés disposés à rebours.

PROPOSITION VI.

Problème.

Étant donnée une suite de nombres dont la loi de la progression soit inconnue, on propose de trouver si chaque terme de cette suite peut être représenté par la somme d’un certain nombre de sinus d’angles qui varient d’un terme à l’autre par des différences constantes quelconques, chacun de ces sinus étant d’ailleurs multiplié par un coefficient constant quelconque.

Les principes posés ci-dessus fournissent différentes manières de résoudre ce Problème.

Première Solution.

35. De ce que l’on a démontré dans les n^os 5 et 6, il s’ensuit que, pour que la suite proposée soit de la nature dont il s’agit, il faut qu’elle soit récurrente d’un ordre pair, et que de plus la fraction génératrice ait pour dénominateur un polynôme réciproque d’un degré pair, lequel soit résoluble en facteurs trinômes de la forme

$1-2x\cos \alpha +x^{2},\quad 1-2x\cos \beta +x^{2},\ldots .$

Ainsi, pour résoudre le Problème proposé, il n’y aura qu’à faire usage de la méthode générale de la Proposition II, et chercher par son moyen la fraction génératrice de la série. Cette fraction, si la série en a une, étant trouvée, il n’y aura plus qu’à voir si elle a pour dénominateur un polynôme qui ait les propriétés dont nous venons de parler ; c’est de quoi on pourra s’assurer aisément par les formules du n^o 6 ; car, d’abord, il faudra qu’en égalant le dénominateur à zéro on ait une équation réciproque de la forme

$1+(1)x+(2)x^{2}+(3)x^{3}+\ldots +(3)x^{2\nu -3}+(2)x^{2\nu -2}+(1)x^{2\nu -1}+x^{2\nu }=0\,;$

ensuite il faudra que la transformée

$z^{\nu }+\left[(1)\right]z^{\nu -1}+\left[(2)\right]z^{\nu -2}+\left[(3)\right]z^{\nu -3}+\ldots +\left[(\nu )\right]=0$

ait toutes ses racines réelles, inégales et comprises entre les limites $-2$ et $+2.$ On trouve, dans les Mémoires de l’Académie de Berlin, pour les années 1767 et 1768^[2], des méthodes directes et faciles pour reconnaître si cette condition a lieu, et pour trouver en même temps la valeur de chaque racine aussi approchée que l’on veut.

Supposons que $\varpi ,\rho ,\sigma ,\ldots$ soient les racines dont nous parlons ; on fera

$\cos \alpha ={\frac {\varpi }{2}},\quad \cos \beta ={\frac {\rho }{2}},\quad \cos \gamma ={\frac {\sigma }{2}},\ldots ,$

et l’on en conclura sur-le-champ que le terme général $\mathrm {T} ^{(m)}$ de la série proposée sera de la forme

$\mathrm {A} \sin(a+m\alpha )+\mathrm {B} \sin(b+m\beta )+\mathrm {C} \sin(c+m\gamma )+\ldots ,$

$m$ étant l’exposant du rang, et $\mathrm {A,B,C} ,\ldots ,$ $a,b,c,\ldots$ des constantes qu’on déterminera aisément par les méthodes connues.

En effet il est clair, par les formules du n^o 6, que le dénominateur de la fraction génératrice aura alors pour facteur les trinômes

$1-2x\cos \alpha +x^{2},\quad 1-2x\cos \beta +x^{2},\ldots ,$

en sorte qu’on pourra, par les méthodes connues décomposer cette fraction en autant de fractions partielles, telles que

${\frac {\mathrm {F+G} x}{1-2x\cos \alpha +x^{2}}}+{\frac {\mathrm {H+I} x}{1-2x\cos \beta +x^{2}}}+\ldots .$

Or on sait, et il est d’ailleurs très-facile de démontrer que toute fraction de la forme

${\frac {1}{1-2x\cos \alpha +x^{2}}}$

donne une série dont le terme général est

${\frac {\sin(m+1)\alpha }{\sin \alpha }}x^{m}\,;$

donc la fraction

${\frac {\mathrm {F+G} x}{1-2x\cos \alpha +x^{2}}}$

produira une série qui aura pour terme général la quantité

${\frac {\mathrm {F} \sin(m+1)\alpha +\mathrm {G} \sin m\alpha }{\sin \alpha }}x^{m}\,;$

mais

$\sin(m+1)\alpha =\sin m\alpha \cos \alpha +\cos m\alpha \sin \alpha \,;$

donc, si l’on fait

$\mathrm {F=A\sin a,\quad {\frac {F\cos \alpha +G}{\sin \alpha }}=A} \cos a,$

et par conséquent

$\operatorname {tang} a=\mathrm {{\frac {F\sin \alpha }{F\cos \alpha +G}},\quad A={\frac {\sqrt {F^{2}+2FG\cos \alpha +G^{2}}}{\sin \alpha }}} ,$

le terme général de la série provenant de la fraction

${\frac {\mathrm {F+G} x}{1-2x\cos \alpha +x^{2}}}$

se réduira à la forme

$\mathrm {A} \sin(a+m\alpha )x^{m}.$

Ainsi l’on connaîtra les valeurs des constantes $\mathrm {A}$ et $a,$ et l’on déterminera de même celles des constantes $\mathrm {B}$ et $b,$ à l’aide des quantités $\mathrm {H,I} ,$ et $\sin \beta ,\cos \beta \,;$ et ainsi des autres.

Deuxième Solution.

36. Puisque la question est de savoir si la suite proposée résulte d’une fraction génératrice, dont le dénominateur soit un polynôme réciproque d’un degré pair $2\nu ,$ supposons que cela soit ainsi, et il est clair qu’on aura dans ce cas (n^o 24)

$\mathrm {P} =\Pi ,\quad n=2\nu ,$

par conséquent

$\mathrm {P'=1,\quad Q'=1,\quad P=Q} .$

D’où il s’ensuit que chacune des séries transformées du n^o 26 sera de l’ordre $2(2\nu -\nu )=2\nu ,$ c’est-à-dire, du même ordre que la proposée ; en sorte que, par la méthode de la Proposition IV, on pourra les transformer de nouveau en d’autres qui ne seront que de l’ordre $\nu ,$ et par conséquent d’un ordre moindre de la moitié de celui de la série proposée moyennant quoi la recher-che de la fraction génératrice deviendra beaucoup plus simple et plus facile.

Soit donc $\mathrm {T}$ un des termes du milieu de la suite proposée, et soient

$\mathrm {T',\ \ T'',\ \ T'''} ,\ldots$

les termes qui suivent celui-là,

$\,^{\text{‵}}\mathrm {T} ,\ \ \,^{\text{‵‵}}\mathrm {T} ,\ \ \,^{\text{‵‵‵}}\mathrm {T} ,\ldots$

ceux qui le précèdent. On formera, par les formules du n^o 26, les deux

séries transformées (E) et (F), ou bien les deux autres (G) et (H), qu’on représentera, comme dans le numéro cité, de cette manière

$t+t'x+t''x^{2}+t'''x^{3}+t^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+\ldots ,$

$(t)+(t')x+(t'')x^{2}+(t''')x^{3}+\left(t^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)x^{4}+\ldots \,;$

ensuite on transformera, par les formules du n^o 27, ces deux séries dans ces deux-ci

(I)

$\theta +\theta 'y+\theta ''y^{2}+\theta '''y^{3}+\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y^{4}+\ldots ,$

(K)

$(\theta )+(\theta ')y+(\theta '')y^{2}+(\theta ''')y^{3}+\left(\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)y^{4}+\ldots ,$

et l’on opérera sur l’une ou l’autre de ces deux dernières séries, suivant la méthode de la Proposition $\mathrm {II} ,$ pour trouver sa fraction génératrice, si elle en a une. Cette fraction étant trouvée pour l’une des deux séries dont il s’agit, il sera facile d’avoir la fraction de l’autre série, puisque les deux fractions génératrices doivent avoir le même dénominateur (sur quoi voyez la Remarque I, au n^o 38), car la difficulté ne consistera qu’à trouver le numérateur de la fraction inconnue ; et pour cela il est clair qu’il n’y aura qu’à multiplier la série elle-même par le dénominateur déjà trouvé, et prendre pour numérateur autant des premiers termes de ce produit qu’il y en a dans le dénominateur, moins un, les termes suivants devant d’ailleurs s’évanouir d’eux-mêmes, ce qui peut servir de confirmation à la bonté du calcul.

Connaissant ainsi les fractions génératrices des deux séries (I) et (K), il faudra examiner d’abord si leur dénominateur commun, étant égalé à zéro, donne, en y faisant $y={\frac {1}{3}},$ une équation en $z$ de la même nature que celle du n^o 35, c’est-à-dire, dont les racines soient toutes réelles inégales, et comprises entre les limites $2$ et $-2,$ en sorte qu’on puisse les supposer égales à

$2\cos \alpha ,\quad 2\cos \beta ,\quad 2\cos \gamma ,\ldots ,$

auquel cas on pourrait décomposer les fractions dont il s’agit dans les

fractions partielles

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {F} }{1-2y\cos \alpha }}&+{\frac {\mathrm {G} }{1-2y\cos \beta }}+{\frac {\mathrm {H} }{1-2y\cos \gamma }}+\ldots ,\\{\frac {(\mathrm {F} )}{1-2y\cos \alpha }}&+{\frac {(\mathrm {G} )}{1-2y\cos \beta }}+{\frac {(\mathrm {H} )}{1-2y\cos \gamma }}+\ldots ,\\\end{aligned}}$

On mettra ensuite dans ces fractions ${\frac {x}{1+x^{2}}}$ à la place de $y,$ et on les divisera par $1+x^{2},$ ce qui les changera en celles-ci

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {F} }{1-2x\cos \alpha +x^{2}}}&+{\frac {\mathrm {G} }{1-2x\cos \beta +x^{2}}}+{\frac {\mathrm {H} }{1-2x\cos \gamma +x^{2}}}+\ldots ,\\{\frac {(\mathrm {F} )}{1-2x\cos \alpha +x^{2}}}&+{\frac {(\mathrm {G} )}{1-2x\cos \beta +x^{2}}}+{\frac {(\mathrm {H} )}{1-2x\cos \gamma +x^{2}}}+\ldots ,\end{aligned}}$

qui seront par conséquent égales aux séries

$t+t'x+t''x^{2}+t'''x^{3}+\ldots ,$

$(t)+(t')x+(t'')x^{2}+(t''')x^{3}+\ldots .$

Il faut maintenant distinguer deux cas, suivant que ces séries répondent aux séries (E) et (F), ou aux séries (G) et (H) du n^o 26.

Dans le premier cas, il n’est pas difficile de voir que si l’on multiplie la série

$t+t'x+t''x^{2}+t'''x^{3}+\ldots$

par $1-x,$ et la série

$(t)+(t')x+(t'')x^{2}+(t''')x^{3}+\ldots$

par $1+x,$ et qu’on les ajoute ensemble, il en résultera celle-ci

$2\mathrm {T} +2\mathrm {T} 'x+2\mathrm {T} ''x^{2}+2\mathrm {T} '''x^{3}+\ldots .$

On aura donc dans ce cas

$\mathrm {T} +\mathrm {T} 'x+\mathrm {T} ''x^{2}+\mathrm {T} '''x^{3}+\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+\ldots =$

${\frac {\mathrm {\cfrac {F+(F)}{2}} -\mathrm {\cfrac {F-(F)}{2}} x}{1-2x\cos \alpha +x^{2}}}+{\frac {\mathrm {\cfrac {G+(G)}{2}} -\mathrm {\cfrac {G-(G)}{2}} x}{1-2x\cos \beta +x^{2}}}+\ldots \,;$

d’où l’on tirera aisément l’expression du terme général $\mathrm {T} ^{(m)}$ comme dans la solution précédente.

Dans le second cas, la série

$t+t'x+t''x^{2}+t'''x^{3}+\ldots ,$

étant multipliée par $1-x^{2}$ et ensuite ajoutée à la série

$(t)+(t')x+(t'')x^{2}+(t''')x^{3}+\ldots$

multipliée par $x,$ donnera celle-ci

$\mathrm {T} +2\mathrm {T} 'x+2\mathrm {T} ''x^{2}+2\mathrm {T} '''x^{3}+\ldots ,$

en sorte que l’on aura

${\frac {\mathrm {T} }{2}}+\mathrm {T} 'x+\mathrm {T} ''x^{2}+\mathrm {T} '''x^{3}+\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+\ldots =$

${\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {F} +(\mathrm {F} )x-\mathrm {F} x^{2}}{1-2x\cos \alpha +x^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {G} +(\mathrm {G} )x-\mathrm {G} x^{2}}{1-2x\cos \beta +x^{2}}}+\ldots .$

Or, si l’on fait dans cette équation $x=0,$ on a

$\mathrm {{\frac {T}{2}}={\frac {F}{2}}+{\frac {G}{2}}} +\ldots .$

Donc, ajoutant cette équation à celle-là, il viendra

$\mathrm {T} +\mathrm {T} 'x+\mathrm {T} ''x^{2}+\mathrm {T} '''x^{3}+\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+\ldots =$

${\frac {\mathrm {F} +\mathrm {\left[{\frac {1}{2}}(F)-F\cos \alpha \right]} x}{1-2x\cos \alpha +x^{2}}}+{\frac {\mathrm {G} +\mathrm {\left[{\frac {1}{2}}(G)-G\cos \beta \right]} x}{1-2x\cos \beta +x^{2}}}+\ldots .$

d’où il est facile de trouver, pour le terme général $\mathrm {T} ^{(m)},$ l’expression

$\mathrm {F} \cos m\alpha +{\frac {(\mathrm {F} )}{2\sin \alpha }}\sin m\alpha +\mathrm {G} \cos m\beta +{\frac {(\mathrm {G} )}{2\sin \beta }}\sin m\beta +\ldots ,$

qu’on réduira aisément à la forme

$\mathrm {A} \sin(a+m\alpha )+\mathrm {B} \sin(b+m\beta )+\ldots ,$

en faisant

${\begin{array}{ll}\operatorname {tang} a=\mathrm {\cfrac {2F\sin \alpha }{(F)}} ,&\mathrm {A} =\mathrm {\sqrt {F^{2}+{\cfrac {(F)^{2}}{4\sin ^{2}\alpha }}}} ,\\\operatorname {tang} b=\mathrm {\cfrac {2G\sin \beta }{(G)}} ,&\mathrm {B} =\mathrm {\sqrt {G^{2}+{\cfrac {(G)^{2}}{4\sin ^{2}\beta }}}} ,\\\end{array}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .$

Troisième Solution.

37. Ayant nommé, comme ci-dessus,

$\ldots ,\mathrm {\ \ \,^{\text{‵‵‵}}T,\ \ \,^{\text{‵‵}}T,\ \ \,^{\text{‵}}T,\ \ T,\ \ T',\ \ T'',\ \ T'''} ,\ldots$

les termes de la suite proposée, on en formera ces deux séries (24)

(C)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {\left(T+\,^{\text{‵}}T\right)} &+\mathrm {\left(T'+\,^{\text{‵‵}}T\right)} x+\mathrm {\left(T''+\,^{\text{‵‵‵}}T\right)} x^{2}+\mathrm {\left(T'''+\,^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}T\right)} x^{3}+\ldots ,\\\mathrm {\left(T-\,^{\text{‵}}T\right)} &+\mathrm {\left(T'-\,^{\text{‵‵}}T\right)} x+\mathrm {\left(T''-\,^{\text{‵‵‵}}T\right)} x^{2}+\mathrm {\left(T'''-\,^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}T\right)} x^{3}+\ldots ,\end{aligned}}\right.$

ou bien ces deux-ci (n^o 25)

(D)

$\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {T} +\mathrm {\left(T'+\,^{\text{‵}}T\right)} x+\mathrm {\left(T''+\,^{\text{‵‵}}T\right)} x^{2}+\mathrm {\left(T'''+\,^{\text{‵‵‵}}T\right)} x^{3}+\ldots ,\\&\mathrm {\left(T'-\,^{\text{‵}}T\right)} +\mathrm {\left(T''-\,^{\text{‵‵}}T\right)} x+\mathrm {\left(T'''-\,^{\text{‵‵‵}}T\right)} x^{2}+\ldots \,;\end{aligned}}\right.$

ensuite on opérera sur une quelconque de ces quatre séries, suivant la méthode de la Proposition V, en ayant seulement attention (32) de prendre pour premier dividende, au lieu de l’unité, la quantité $1-x$ si l’on choisit la première des deux séries (C), la quantité $1+x$ si l’on choisit la seconde de ces séries, ou la quantité $1-x^{2}$ si l’on veut opérer sur la première des deux séries (D) ; mais, à l’égard de la seconde des séries (D), il ne faudra prendre que l’unité, comme à l’ordinaire.

On pourra donc trouver, par cette méthode, la fraction génératrice de la série, si elle en a une ; et pour cela il faudra se souvenir de multiplier ensuite le numérateur de la fraction qu’on aura trouvée directement, par la même quantité qui aura servi de premier dividende, pour avoir la véritable fraction génératrice cherchée (numéro cité).

Ayant trouvé ainsi la fraction génératrice de l’une des deux séries (C) ou (D), il faudra chercher encore celle de la série compagne, et pour cela on pourra, si l’on veut, s’y prendre de la même manière ; mais, comme on sait d’avance que ces fractions doivent avoir le même dénominateur, il suffira de chercher le numérateur de la nouvelle fraction, en multipliant la série correspondante par le dénominateur déjà trouvé, et ne prenant dans le produit qu’un nombre de termes moindre d’une unité que celui du dénominateur ; on pourra même se contenter de chercher ainsi les $\nu$ premiers termes du produit ($2\nu +1$ étant supposé le nombre des termes du dénominateur) ; car, comme on sait que les deux séries (C) doivent avoir pour numérateurs de leurs fractions génératrices des polynômes réciproques du degré $2\nu -2$ multipliés par $1-x$ ou par $1+x,$ il s’ensuit que la seconde des séries (C) aura pour numérateur un polynôme réciproque du degré $2\nu -1,$ et que la première aura pour numérateur un polynôme du même degré $2\nu -1,$ dont les termes extrêmes, ainsi que les équidistants des extrêmes, auront les mêmes coefficients, mais avec des signes contraires, polynôme qu’on pourra appeler anti-réciproque ; de même, puisque la première des deux séries (D) doit avoir pour numérateur de sa fraction génératrice un polynôme réciproque du degré $2\nu -2,$ multiplié par $1-x^{2},$ il est facile de voir que ce numérateur ne sera autre chose qu’un polynôme anti-réciproque du degré $2\nu \,;$ et, quant à la seconde des mêmes séries (D), elle aura naturellement pour numérateur un polynôme réciproque du degré $2\nu -2.$ D’où l’on voit qu’il suffira toujours de connaître la première moitié des termes du numérateur cherché, puisque les termes restants seront les mêmes avec les mêmes signes, ou avec des signes contraires. Sur quoi voyez encore ci-dessous la Remarque II (39).

Dès qu’on connaîtra les fractions génératrices des deux séries (C) ou (D), on pourra achever la solution du Problème, comme dans le numéro précédent ; car il est visible qu’en faisant

${\frac {x}{1+x^{2}}}=y$

on pourra mettre les deux fractions génératrices des séries (C) sous la forme

${\frac {1-x}{1+x^{2}}}\mathrm {\frac {V}{Y}} ,\quad {\frac {1+x}{1+x^{2}}}\mathrm {\frac {(V)}{Y}} ,$

et les deux fractions génératrices des séries (D) sous la forme

${\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}\mathrm {\frac {V}{Y}} ,\quad {\frac {1}{1+x^{2}}}\mathrm {\frac {(V)}{Y}} ,$

$\mathrm {V,(V)}$ et $\mathrm {Y}$ étant des polynômes en $y,$ dont les deux premiers seront du degré $\nu -1,$ et le dernier du degré $\nu \,;$ et il est facile de se convaincre que les fractions $\mathrm {\frac {V}{Y}}$ et $\mathrm {\frac {(V)}{Y}}$ ne seront autre chose que les fractions génératrices des séries (I) et (K) de la seconde solution ; en sorte qu’en opérant sur ces fractions, comme nous l’avons enseigné dans cet endroit, on en tirera, pour l’expression du terme général $\mathrm {T} ^{(m)},$ les mêmes formules que nous avons trouvées à la fin de la Solution précédente, en remarquant que le premier des deux cas que nous y avons distinguées répond à celui où l’on aura employé les séries (C), et que le second répond à celui où l’on aura fait usage des séries (D).

Remarque I.

38. Nous avons dit, dans la seconde solution du Problème précédent, que les fractions génératrices des deux séries (I) et (K) doivent avoir le même dénominateur. Cela est vrai, en général, comme on peut s’en convaincre en relisant les n^os 24, 25 et 26 ; mais il peut arriver que le dénominateur ait un facteur commun avec le numérateur d’une de ces fractions, auquel cas ce facteur s’évanouira de lui-même, et la fraction deviendra plus simple. Dans ce cas donc, si l’on multiplie par ce dénÓminateur l’autre fraction, on aura encore après la multiplication une fraction dont le numérateur sera le même qu’auparavant, et dont le dénominateur sera le facteur commun qui s’était évanoui dans la première fraction. Par conséquent cette fraction donnera aussi une série récurrente, mais dans laquelle il y aura au commencement autant de termes irréguliers qu’il y a d’unités dans le degré du polynôme par lequel elle aura été multipliée (17). D’où il est facile de conclure que, si après avoir trouvé la fraction génératrice de l’une des séries (I) ou (K) on multiplie l’autre série par le dénominateur de cette fraction, et qu’après avoir pris autant de termes de ce produit qu’il y en a dans le multiplicateur, moins un, on trouve que les termes suivants ne sont pas nuls, ce sera une marque que la fraction trouvée est dans le cas dont nous venons de parler ; alors il faudra considérer ces derniers termes, et, après les avoir divisés par la puissance de $y$ qui multiplie le premier d’entre eux, on cherchera de nouveau, par la méthode générale, la fraction génératrice de la série qui en est formée ; on multipliera ensuite cette fraction par la puissance de $y$, par laquelle on avait divisé les termes de la série, et l’on y ajoutera les premiers termes dont on a parlé ; on aura ainsi, après avoir réduit le tout au même dénominateur, une fraction qui, étant encore divisée par le dénominateur de la première fraction trouvée, sera la véritable fraction génératrice de l’autre série en question.

Remarque II.

39. Il est visible que la même difficulté, qui vient de faire l’objet de la Remarque précédente, pourra se rencontrer aussi dans la troisième Solution ; et cela arrivera lorsque les termes du produit de là série par le dénominateur trouvé ne formeront pas un polynôme réciproque ou anti-réciproque, comme nous l’avons supposé dans cette Solution. Dans ce cas donc, il faudra chercher de nouveau la fraction génératrice de la série formée par le produit dont nous parlons ; mais, comme cette série contiendra au commencement autant de termes irréguliers, moins un, qu’il y en a dans le dénominateur déjà trouvé, il faudra se débarrasser de ces termes par la méthode du n^o 34. Voici donc comment on s’y prendra. Ayant trouvé la fraction génératrice de l’une des deux séries (C) ou (D), pour avoir celle de la série compagne, on multipliera cette série par le dénominateur de la fraction trouvée, et, retenant les premiers termes de ce produit, on retranchera des termes suivants ce qu’il faut pour qu’il en résulte un polynôme réciproque ou anti-réciproque de la forme et du degré dont devrait être le numérateur de la fraction cherchée, si elle avait le même dénominateur que l’autre fraction. On divisera tous les termes de cette partie retranchée par la puissance de $x$ qui en affecte le premier terme, et l’on opérera ensuite sur la série résultante comme on aurait opéré sur la série elle-même, si l’on en avait cherché directement la fraction génératrice sans supposer son dénominateur connu.

Dès qu’on aura trouvé la fraction génératrice de la série en question, il n’y aura plus qu’à la multiplier par la même puissance de $x,$ par laquelle on avait divisé auparavant tous ses termes, et à y ajouter ensuite le polynôme réciproque ou anti-réciproque dont on vient de parler ; la fraction qui en résultera, après avoir réduit le tout au même dénominateur et multiplié de plus ce dénominateur par celui de la première fraction déjà trouvée, sera la fraction génératrice de la série compagne de la première.

Cette règle se démontre facilement par les principes du numéro cité ; nous ne nous y arrêterons pas, d’autant que dans la pratique il paraît beaucoup plus utile d’employer toujours la méthode directe pour l’une et l’autre série ; car, quoique de cette manière le calcul devienne un peu plus long, il y a néanmoins cet avantage que l’opération qu’on fera sur la seconde série servira de preuve à celle qu’on aura faite pour la première, puisqu’il faut nécessairement que le dénominateur de la fraction génératrice de celle-ci soit le même que celui de la fraction génératrice de celle-là, ou qu’il en soit du moins un diviseur exact.

Conclusion.

40. Comme la troisième Solution mérite d’être employée de préférence, à cause de sa simplicité et de sa facilité, je vais, pour la commodité de ceux qui voudront en faire usage, récapituler en peu de mots les procédés qu’elle demande. Pour cela je distinguerai les deux cas qui répondent aux séries (C) ou (D), sur lesquelles on est libre d’opérer ce qui fournira deux méthodes différentes de résoudre le Problème.

Première Méthode.

Soit $\mathrm {T}$ un des termes du milieu de la série proposée ; $\mathrm {T',T'',T'''} ,\ldots$ les termes suivants, et $\,^{\text{‵}}\mathrm {T,\,^{\text{‵‵}}T,\,^{\text{‵‵‵}}T,^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}T} ,\ldots$ les précédents ; on en formera d’abord la série des sommes

$\mathrm {\left(T+\,^{\text{‵}}T\right)} +\mathrm {\left(T'+\,^{\text{‵‵}}T\right)} x+\mathrm {\left(T''+\,^{\text{‵‵‵}}T\right)} x^{2}+\mathrm {\left(T'''+\,^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}T\right)} x^{3}+\ldots ,$

et, pour rendre le calcul plus commode, on commencera par diviser tous les termes de cette série par son premier terme $\mathrm {\left(T+\,^{\text{‵}}T\right)} ,$ que j’appellerai en général $p,$ en sorte que la série résultante que je nommerai $s$ ait pour premier terme l’unité.

Cette préparation faite, on divisera $1-x$ par $s,$ et, au lieu de $1,$ on écrira d’abord $1+x^{2}$ dans le quotient ; ensuite, après la multiplication et la soustraction ordinaires, on continuera la division, et il viendra dans le quotient un terme de la forme $qx\,;$ après quoi on aura un reste dont le premier terme sera de la forme $p'x^{2}.$

On divisera ce reste par son premier terme $p'x^{2},$ pour avoir un polynôme dont le premier terme soit l’unité, et qu’on nommera $s'\,;$ après quoi on divisera $s$ par $s',$ et, au lieu de $1,$ on écrira de nouveau $1+x^{2}$ au quotient ; ensuite, continuant la division comme à l’ordinaire, on aura dans le quotient un terme tel que $q'x,$ et il viendra un reste dont le premier terme sera de la forme $p''x^{2}.$

On divisera donc aussi ce reste par son premier terme $p''x^{2},$ et l’on désignera le polynôme résultant par $s''\,;$ on divisera maintenant $s'$ par $s'',$ en écrivant d’abord au quotient $1+x^{2}$ au lieu de $1\,;$ on continuera la division, et l’on aura dans le quotient un nouveau terme de la forme $q''x\,;$ ensuite de quoi le reste aura pour premier terme $p'''x^{2}.$

On opérera sur ce reste comme sur les précédents, et l’on continuera ainsi jusqu’à ce que l’on parvienne à un reste qui soit exactement ou à très-peu près nul ; dans le premier cas, on aura une solution exacte ; dans le second, on n’en aura qu’une approchée.

Maintenant, soit $n$ le nombre des quotients trouvés, en sorte que l’on ait les deux suites de nombres

$p,\ \ p',\ \ p'',\ \ p''',\ldots ,\ \ p^{(n-1)},\quad {\text{et}}\quad q,\ \ q',\ \ q'',\ \ q''',\ldots ,\ \ q^{(n-1)}\,;$

on fera

${\begin{aligned}\psi \ \ \ &=1,\\\psi '\ \ &=1+q^{(n-1)}y,\\\psi ''\ &=\left(1+q^{(n-2)}y\right)\psi '+p^{(n-1)}y^{2}\psi ,\\&=1+\left(q^{(n-1)}+q^{(n-2)}\right)y+\left(q^{(n-1)}q^{(n-2)}+p^{(n-1)}\right)y^{2},\\\psi '''&=\left(1+q^{(n-3)}y\right)\psi ''+p^{(n-2)}y^{2}\psi ',\\&=1+\left(q^{(n-1)}+q^{(n-2)}+q^{(n-3)}\right)y\\&\qquad +\left(q^{(n-1)}q^{(n-2)}+q^{(n-1)}q^{(n-3)}+q^{(n-2)}q^{(n-3)}\right)y^{2},\\&\qquad +\left(q^{(n-1)}q^{(n-2)}q^{(n-3)}+q^{(n-1)}q^{(n-2)}+q^{(n-3)}q^{(n-1)}\right)y^{3},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\psi ^{(n)}&=(1+qy)\psi ^{(n-1)}+p'y^{2}\psi ^{(n-2)}.\end{aligned}}$

Et l’on considérera la fraction ${\frac {p\psi ^{(n-1)}}{\psi ^{(n)}}},$ dont le dénominateur $\psi ^{(n)}$ sera toujours un polynôme en $y$ du degré $n,$ dans lequel le premier terme sera l’unité ; en sorte qu’il pourra être résolu en $n$ facteurs simples de la forme

$1-\varpi y,\quad 1-\rho y,\ldots .$

On cherchera donc ces facteurs par les méthodes connues, et ensuite on décomposera la fraction elle-même en autant de fractions simples, telles que

${\frac {\mathrm {F} }{1-\varpi y}}+{\frac {\mathrm {G} }{1-\rho y}}+\ldots .$

Ces opérations achevées, on reprendra la série proposée, et l’on en formera la série des différences

$\mathrm {\left(T-\,^{\text{‵}}T\right)} +\mathrm {\left(T'-\,^{\text{‵‵}}T\right)} x+\mathrm {\left(T''-\,^{\text{‵‵‵}}T\right)} x^{2}+\mathrm {\left(T'''-\,^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}T\right)} x^{3}+\ldots ,$

qu’on traitera de la même manière qu’on l’a fait à l’égard de la série précédente des sommes, avec cette seule différence que, au lieu de prendre $1-x$ pour premier dividende, il faudra prendre maintenant $1+x.$

En suivant donc les mêmes procédés, on parviendra aussi à une fraction telle que ${\frac {p(\psi )^{(n-1)}}{(\psi )^{(n)}}},$ dont le dénominateur $(\psi )^{(n)}$ devra être exactement ou à très-peu près le même que celui de la fraction trouvée d’après la première série ; ce qui pourra servir de confirmation à la bonté du calcul. Ainsi on pourra décomposer pareillement cette dernière fraction en $n$ fractions partielles de la forme

${\frac {(\mathrm {F} )}{1-\varpi y}}+{\frac {(\mathrm {G} )}{1-\rho y}}+\ldots .$

Ayant trouvé de cette manière les valeurs des quantités

$\varpi ,\ \ \rho ,\ldots ,\ \ \mathrm {F,\ \ G,\ldots ,\ \ (F),\ \ (G)} ,\ldots ,$

il n’y aura plus qu’à faire

${\begin{aligned}&\cos \alpha ={\cfrac {\varpi }{2}},\\&\operatorname {tang} a=\mathrm {\cfrac {F+(F)}{(F)\cot {\cfrac {\alpha }{2}}-F\operatorname {tang} {\cfrac {\alpha }{2}}}} ,\quad \mathrm {A} ={\cfrac {1}{2}}\mathrm {\sqrt {F^{2}\operatorname {\text{séc}} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+(F)^{2}\operatorname {\text{coséc}} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}} ,\\&\cos \beta ={\cfrac {\rho }{2}},\\&\operatorname {tang} b=\mathrm {\cfrac {G+(G)}{(G)\cot {\cfrac {\beta }{2}}-G\operatorname {tang} {\cfrac {\beta }{2}}}} ,\quad \mathrm {B} ={\cfrac {1}{2}}\mathrm {\sqrt {G^{2}\operatorname {\text{séc}} ^{2}{\cfrac {\beta }{2}}+(G)^{2}\operatorname {\text{coséc}} ^{2}{\frac {\beta }{2}}}} ,\\\end{aligned}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,$

et l’on aura pour le terme général $\mathrm {T} ^{(m)}$ de la série proposée l’expression suivante

$\mathrm {T} ^{(m)}=\mathrm {A} \sin(a+m\alpha )+\mathrm {B} \sin(b+m\beta )+\ldots .$

Seconde Méthode.

On formera d’abord la série des sommes

$\mathrm {T} +\mathrm {\left(T'+\,^{\text{‵}}T\right)} x+\mathrm {\left(T''+\,^{\text{‵‵}}T\right)} x^{2}+\mathrm {\left(T'''+\,^{\text{‵‵‵}}T\right)} x^{3}+\ldots ,$

et l’on opérera sur cette série suivant les mêmes procédés prescrits ci-dessus, en ayant seulement attention de prendre $1-x^{2}$ pour premier dividende. On trouvera ainsi les fractions partielles

${\frac {\mathrm {F} }{1-\varpi y}}+{\frac {\mathrm {G} }{1-\rho y}}+\ldots .$

On formera ensuite cette autre série des différences

$\mathrm {\left(T'+\,^{\text{‵}}T\right)} +\mathrm {\left(T''+\,^{\text{‵‵}}T\right)} x+\mathrm {\left(T'''+\,^{\text{‵‵‵}}T\right)} x^{2}+\ldots ,$

et, la traitant de même que la précédente, mais en prenant simplement l’unité pour premier dividende, on obtiendra pareillement ces fractions partielles

${\frac {(\mathrm {F} )}{1-\varpi y}}+{\frac {(\mathrm {G} )}{1-\rho y}}+\ldots \,;$

ensuite on fera

${\begin{array}{lll}\cos \alpha ={\cfrac {\varpi }{2}},&\operatorname {tang} a=\mathrm {\cfrac {2F\sin \alpha }{(F)}} ,&\mathrm {A} =\mathrm {\sqrt {F^{2}+{\cfrac {(F)^{2}}{4\sin ^{2}\alpha }}}} ,\\\cos \beta ={\cfrac {\rho }{2}},&\operatorname {tang} b=\mathrm {\cfrac {2G\sin \beta }{(G)}} ,&\mathrm {B} =\mathrm {\sqrt {G^{2}+{\cfrac {(G)^{2}}{4\sin ^{2}\beta }}}} ,\\\ldots \ldots \ldots ,&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{array}}$

et l’on aura, comme ci-devant,

$\mathrm {T} ^{(m)}=\mathrm {A} \sin(a+m\alpha )+\mathrm {B} \sin(b+m\beta )+\ldots .$

Exemple I.

41. Pour montrer l’usage des méthodes précédentes, par un exemple relatif à l’Astronomie, je prendrai la Table de l’équation du temps de Mayer (Tabulæ solares, etc., p. 111), dont la marche est assez irrégulière, et, supposant qu’on ne me donne qu’un certain nombre de termes de cette Table pris à des intervalles égaux, je me propose de trouver la loi de ces termes, et de connaître par là la formule générale d’après laquelle la Table est formée.

Supposons que les termes donnés soient ceux qui répondent à

$0^{\mathrm {s} },\ \ 2^{\mathrm {s} }10^{\circ },\ \ 4^{\mathrm {s} }20^{\circ },\ \ 7^{\mathrm {s} },\ \ 9^{\mathrm {s} }10^{\circ },\ldots ,$

dont l’intervalle constant est $2^{\mathrm {s} }10^{\circ },$ et, réduisant les minutes en secondes, on aura la série des nombres suivants (voir le Tableau ci-contre, première case)

${\begin{aligned}&+456,\ -168,\ +274,\ -933,\ +220,\ +631,\ -232,\ +349,\ -823,\ -72,\\&+722,\ -237,\ +358,\ -657,\ -360,\ +860,\ -181,\ +305,\ -457,\ -616,\ldots ,\end{aligned}}$

dont il s’agira de trouver la loi.

EXEMPLE I. N^o 41.

D’APRÈS LES OBSERVATIONS.

${\begin{array}{|c|}\hline \mathrm {PREMI{\grave {E}}RE\ CASE} .\\\hline {\begin{array}{llllllllll}&\quad 0^{\mathrm {s} }&\quad 2^{\mathrm {s} }10&\quad 4^{\mathrm {s} }20&\quad 7^{\mathrm {s} }&\quad 9^{\mathrm {s} }10&\quad 11^{\mathrm {s} }20&\quad 2^{\mathrm {s} }&\quad 4^{\mathrm {s} }10&\quad 6^{\mathrm {s} }20&\quad 9^{\mathrm {s} }\\&+7^{\mathrm {m} }36^{\mathrm {s} }&-2^{\mathrm {m} }48^{\mathrm {s} }&+4^{\mathrm {m} }34^{\mathrm {s} }&-15^{\mathrm {m} }33^{\mathrm {s} }&+3^{\mathrm {m} }40^{\mathrm {s} }&+10^{\mathrm {m} }31^{\mathrm {s} }&-3^{\mathrm {m} }52^{\mathrm {s} }&+5^{\mathrm {m} }49^{\mathrm {s} }&-13^{\mathrm {m} }43^{\mathrm {s} }&-1^{\mathrm {m} }12^{\mathrm {s} }\\&+456&-168&+274&-\ \ 933&+\ \ 220&+631&-232&+349&-\ \ 823&-\ \ 72\\&{\underline {-616}}&{\underline {-457}}&{\underline {+305}}&{\underline {-\ \ 181}}&{\underline {+\ \ 860}}&{\underline {-360}}&{\underline {-657}}&{\underline {+358}}&{\underline {-\ \ 237}}&{\underline {+772}}\\\mathrm {somme} .&-160&-625&+579&-1114&+1080&+271&-889&+707&-1060&+700\\\end{array}}\\\hline \end{array}}$

${\begin{array}{|c|}\hline \mathrm {PREMI{\grave {E}}RE\ CASE} .\\\hline {\begin{array}{lllllllllll}&\quad 11^{\mathrm {s} }10&\quad 1^{\mathrm {s} }20&\quad 4^{\mathrm {s} }&\quad 6^{\mathrm {s} }10&\quad 8^{\mathrm {s} }20&\quad 11^{\mathrm {s} }&\quad 1^{\mathrm {s} }10&\quad 3^{\mathrm {s} }20&\quad 6^{\mathrm {s} }&\quad 8^{\mathrm {s} }10\\&+12^{\mathrm {m} }52^{\mathrm {s} }&-3^{\mathrm {m} }57^{\mathrm {s} }&+5^{\mathrm {m} }58^{\mathrm {s} }&-10^{\mathrm {m} }57^{\mathrm {s} }&-6^{\mathrm {m} }0^{\mathrm {s} }&+14^{\mathrm {m} }20^{\mathrm {s} }&-3^{\mathrm {m} }1^{\mathrm {s} }&+5^{\mathrm {m} }5^{\mathrm {s} }&-7^{\mathrm {m} }37^{\mathrm {s} }&-10^{\mathrm {m} }16^{\mathrm {s} }\\&+772&-237&+358&-657&-360&+860&-181&+305&-457&-\ \ 616\\&{\underline {-\ \ 72}}&{\underline {-823}}&{\underline {+349}}&{\underline {-232}}&{\underline {+631}}&{\underline {+220}}&{\underline {-933}}&{\underline {+274}}&{\underline {-168}}&{\underline {+\ \ 456}}\\\mathrm {diff} .\quad \ \ &+844&+586&+\quad 9&-425&-991&+640&+752&+\ \ 31&-289&-1072\\\end{array}}\\\hline \end{array}}$

${\begin{array}{|c|}\hline \mathrm {DEUXI{\grave {E}}ME\ CASE} .\\\hline {\begin{array}{llllllllll}+\ \ 700&2.8450980&{\underline {9.7111996}}&{\underline {0{,}51428}}&-1{,}23123&0.0903392&{\underline {9.5121772}}&{\underline {0{,}32522}}\\-1060&3.0253059&0.1802079&1{,}51428&9.8914075&0{,}77877&+2{,}26485&0.3550395&0.2647003&1{,}83950&9.7768775&0{,}59824\\+\ \ 707&2.8494194&0.0043214&1{,}01000&9.7155210&0{,}51943&-0{,}74400&9.8715729&9.7812337&0{,}60427&9.2934109&0{,}19652\\-\ \ 889&2.9489018&0.1038038&1{,}27000&9.8150034&0{,}65314&-0{,}47196&9.6739052&9.5835660&0{,}38332&9.0957432&0{,}12466\\+\ \ 271&2.439693&9.5838713&0{,}38714&9.2990709&0{,}19910&+0{,}41083&9.6136621&9.5233229&0{,}33367&9.0355001&0{,}10853\\+1080&3.0384238&0.1883258&1{,}54286&9.8995254&0{,}79346&-1{,}55156&0.1907685&0.1004293&1{,}26017&9.6126065&0{,}40983\\-1114&3.0468852&0.2017872&1{,}59143&9.9129868&0{,}81844&+2{,}05890&0.3136353&0.2232961&1{,}67223&9.7354733&0{,}54384\\+\ \ 579&2.7626786&9.9175806&0{,}82714&9.6287802&0{,}42539&-0{,}13939&9.1432316&9.0528924&0{,}11295\\-\ \ 625&2.7958800&9.9507820&0{,}89286&9.6619816&0{,}45918\\-\ \ 160&2.2041200&9.3590220&0{,}22857\\\end{array}}\\\hline \end{array}}$

${\begin{array}{|c|}\hline \mathrm {TROISI{\grave {E}}ME\ CASE} .\\\hline {\begin{array}{llllllllll}+\ \ 844&2.9263424&{\underline {9.4852812}}&{\underline {0{,}30569}}&-1{,}22290&0.0873909&{\underline {9.7288892}}&{\underline {0{,}53566}}\\+\ \ 586&2.7678976&9.8415552&0{,}69431&9.3268364&0{,}21224&-0{,}19402&9.2878465&9.2004556&0{,}15865&8.9293448&0{,}08498\\+\ \ \quad 9&0.9542425&8.0279001&0{,}01066&7.5131813&0{,}00326&+1{,}31744&0.1197209&0.0323300&1{,}07730&9.7612192&0{,}57706\\-\ \ 425&2.6283889&9.7020465&0{,}50355&9.1873277&0{,}15393&+0{,}10419&9.0178260&8.9304351&0{,}08519&8.6593243&0{,}04563\\-\ \ 991&2.9960737&0.0697313&1{,}17417&9.5550125&0{,}35893&+0{,}05137&8.7107096&8.6233187&0{,}04201&8.3522079&0{,}02250\\+\ \ 640&2.8061800&9.8798376&0{,}75829&9.3651188&0{,}23180&-1{,}06739&0.0283232&9.9409323&0{,}87284&9.6698215&0{,}46755\\+\ \ 752&2.8762178&9.9448754&0{,}89100&9.4351566&0{,}27237&-0{,}55981&9.7480406&9.6606497&0{,}45777&9.3895389&0{,}24521\\+\quad 31&1.4913617&8.5650193&0{,}03673&8.0503005&0{,}01123&+1{,}33808&0.1264721&0.0390812&1{,}09416\\-\ \ 289&2.4608978&9.5345554&0{,}34242&9.0198366&0{,}10467\\-1072&3.0301948&0.1038524&1{,}27014\\\end{array}}\\\hline \end{array}}$

EXEMPLE I. N^o 41.

FORMATION DES TABLES DES PLANÈTES.

${\begin{array}{|l|l|}\hline &\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm {QUATRI{\grave {E}}ME\ CASE} .\\\hline \mathrm {Premier\ quotient} &{\underline {\ \ \ 1+x^{2}+0{,}51428x}}\\\mathrm {Premier\ diviseur} &\ \ \ 1-1{,}51428x\ \ +1{,}01000x^{2}-1{,}27000x^{3}+0{,}38714x^{4}+1{,}54286x^{5}-1{,}59143x^{6}+0{,}82714x^{7}-0{,}89286x^{8}-0{,}22857x^{9}\\\mathrm {Premier\ dividende} &\ \ \ 1-x\\&-1+1{,}51428x\ \ -2{,}01000x^{2}+9{,}78428x^{3}-1{,}39714x^{4}-0{,}27286x^{5}+1{,}20429x^{6}-2{,}37000x^{7}+2{,}48429x^{8}-0{,}59857x^{9}\\&\ \quad -1{,}51428\quad +0{,}77877\quad \,-0{,}51943\quad \,+0{,}65314\quad -0{,}19910\quad -0{,}79346\quad +0{,}81844\quad -0{,}42539\quad +0{,}45918\\\mathrm {Premier\ reste} &\ \ \ {\text{★}}\qquad {\text{★}}\ \qquad -1{,}23123x^{2}+2{,}26485x^{3}-0{,}74400x^{4}-0{,}47196x^{5}-0{,}41083x^{6}-1{,}55156x^{7}+2{,}05890x^{8}-0{,}13939x^{9}\\\hline \mathrm {Deuxi{\grave {e}}me\ quotient} &{\underline {\ \ \ 1+x^{2}+0{,}32522x}}\\\mathrm {Deuxi{\grave {e}}me\ diviseur} &\ \ \ 1-1{,}83950x\ \ +0{,}60427x^{2}+0{,}38332x^{3}+0{,}33367x^{4}+1{,}26017x^{5}-1{,}67223x^{6}+0{,}11295x^{7}\\\mathrm {Deuxi{\grave {e}}me\ dividende} &\ \ \ 1-1{,}51428x\ \ +1{,}01000x^{2}-1{,}27000x^{3}+0{,}38714x^{4}+1{,}54286x^{5}-1{,}59143x^{6}+0{,}82714x^{7}\\&-1+1{,}83950\quad -1{,}60427\quad +1{,}45618\quad -0{,}27060\quad -1{,}64349\quad +2{,}00590\quad -1{,}37312\\&\ \ \ {\text{★}}\ \ \ 0{,}32522x\ \ -0{,}59427x^{2}+0{,}18618x^{3}+0{,}11654x^{4}-0{,}10063x^{5}+0{,}41447x^{6}-0{,}54598x^{7}\\&\ \quad -0{,}32522\quad +0{,}59824\quad -0{,}19652\quad -0{,}12466\quad +0{,}10853\quad -0{,}40983\quad +0{,}54384\\\mathrm {Deuxi{\grave {e}}me\ reste} &\ \ \ {\text{★}}\qquad {\text{★}}\ \qquad \quad 0{,}00397x^{2}-0{,}01034x^{3}-0{,}00812x^{4}+0{,}00790x^{5}-0{,}00464x^{6}-0{,}00214x^{7}\\\hline \end{array}}$

${\begin{array}{|l|l|}\hline &\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm {CINQUI{\grave {E}}ME\ CASE} .\\\hline \mathrm {Premier\ quotient} &{\underline {\ \ \ 1+x^{2}+0{,}30569x}}\\\mathrm {Premier\ diviseur} &\ \ \ 1+0{,}69431x\ \ +0{,}01066x^{2}-0{,}50355x^{3}+1{,}17417x^{4}+0{,}75829x^{5}+0{,}89100x^{6}+0{,}03673x^{7}-0{,}34242x^{8}-1{,}27014x^{9}\\\mathrm {Premier\ dividende} &\ \ \ 1+x\\&-1-0{,}69431x\ \ -1{,}01066x^{2}-0{,}19086x^{3}+1{,}16351x^{4}-0{,}25474x^{5}+0{,}28317x^{6}-0{,}79502x^{7}-0{,}54858x^{8}+1{,}23341x^{9}\\&\ \quad -0{,}30569\quad -0{,}21224\quad -0{,}00326\quad \ +0{,}15393\quad +0{,}35893\quad -0{,}23180\quad -0{,}27237\quad -0{,}01123\quad +0{,}10467\\\mathrm {Premier\ reste} &\ \ \ {\text{★}}\qquad {\text{★}}\ \qquad -1{,}22290x^{2}-0{,}19402x^{3}+1{,}31744x^{4}+0{,}10419x^{5}+0{,}05137x^{6}-1{,}06739x^{7}-0{,}55981x^{8}+1{,}33808x^{9}\\\hline \mathrm {Deuxi{\grave {e}}me\ quotient} &{\underline {\ \ \ 1+x^{2}+0{,}53566x}}\\\mathrm {Deuxi{\grave {e}}me\ diviseur} &\ \ \ 1+0{,}15865x\ \ -1{,}07730x^{2}-0{,}08519x^{3}-0{,}04201x^{4}+0{,}87284x^{5}+0{,}45777x^{6}-1{,}09416x^{7}\\\mathrm {Deuxi{\grave {e}}me\ dividende} &\ \ \ 1+0{,}69431x\ \ +0{,}01066x^{2}-0{,}50355x^{3}-1{,}17417x^{4}+0{,}75829x^{5}+0{,}89100x^{6}+0{,}03673x^{7}\\&-1-0{,}15865\quad +0{,}07730\quad -0{,}07346\quad +1{,}11931\quad -0{,}78765\quad -0{,}41576\quad +0{,}22132\\&\ \ \ {\text{★}}\ \ \ 0{,}53566x\ \ +0{,}08796x^{2}-0{,}57701x^{3}-0{,}05486x^{4}-0{,}02936x^{5}+0{,}47524x^{6}+0{,}25805x^{7}\\&\ \quad -0{,}53566\quad -0{,}08498\quad +0{,}57706\quad +0{,}04563\quad +0{,}02250\quad -0{,}46755\quad -0{,}24521\\\mathrm {Deuxi{\grave {e}}me\ reste} &\ \ \ {\text{★}}\qquad {\text{★}}\ \qquad \quad 0{,}00298x^{2}+0{,}00005x^{3}-0{,}00923x^{4}-0{,}00686x^{5}+0{,}00769x^{6}+0{,}01284x^{7}\\\hline \end{array}}$

Pour y parvenir, je suivrai donc les procédés détaillés ci-dessus (40), et j’emploierai la première méthode en opérant sur les séries formées des sommes et des différences des termes de la proposée équidistants du milieu.

Prenant donc le terme $+772,$ qui répond à $11^{\mathrm {s} }10^{\circ }$ pour $\mathrm {T} ,$ et les suivants $-237,+258,\ldots$ pour $\mathrm {T',T''} ,\ldots$ ainsi que les précédents $-72,-823,\ldots$ pour $\,^{\text{‵}}\mathrm {T} ,\,^{\text{‵‵}}\mathrm {T} ,\ldots$ il faudra chercher les sommes

$\mathrm {T+\,^{\text{‵}}T,\quad T'+\,^{\text{‵‵}}T} ,\ldots$

et les différences

$\mathrm {T-\,^{\text{‵}}T,\quad T'-\,^{\text{‵‵}}T} ,\ldots ,$

et, pour les trouver plus aisément et sans craindre de se tromper, il n’y aura qu’à écrire de nouveau les mêmes termes, comme on le voit dans les lignes troisième et quatrième de la première case, et prendre ensuite les sommes d’un côté et les différences de l’autre. On aura ainsi cette série des sommes

$+700,\ -1060,\ +707,\ -889,\ +271,\ +1080,\ -1114,\ +579,\ -625,\ -160,\ldots ,$

et cette autre série des différences

$+844,\ +586,\ +9,\ -425,\ -991,\ +640,\ +752,\ +31,\ -289,\ -1072,\ldots ,$

sur chacune desquelles il faudra opérer séparément.

Opération sur la première série.

Cette série sera donc représentée ainsi

$700-1060x+707x^{2}-889x^{3}+271x^{4}+1080x^{5}-1114x^{6}+579x^{7}-625x^{8}-160x^{9}-\ldots ,$

et l’on aura d’abord

$p=700\,;$

ensuite, divisant tous les termes par $p,$ et faisant le calcul par les loga-

rithmes, comme on le voit dans la deuxième case, on aura la nouvelle série

${\begin{aligned}s=1&-1{,}51428x\ \ +1{,}01000x^{2}-1{,}27000x^{3}+0{,}38714x^{4}\\&+1{,}54286x^{5}-1{,}59143x^{6}+0{,}82714x^{7}-0{,}89286x^{8}-0{,}22857x^{9}-\ldots ,\end{aligned}}$

par laquelle il faudra diviser le binôme $1-x.$ Le procédé de cette division est détaillé dans la quatrième case, et les calculs subsidiaires pour les multiplications se trouvent dans la deuxième case.

On a donc ce premier quotient

$1+x^{2}+0{,}51428x{,}$

en sorte que

$q=0{,}51428\,;$

ensuite on a le reste

$-1{,}231232x^{2}+2{,}26485x^{3}-\ldots \,;$

donc

$p'=-1{,}23113\,;$

et, comme ce reste n’est ni nul ni fort petit, il faut continuer l’opération.

On divisera donc tous les termes du reste dont il s’agit par $p',$ et l’on aura la série

$s'=1-1{,}51428x+1{,}01000x^{2}+0{,}38332x^{3}-0{,}33367x^{4}$

$+1{,}26017x^{5}-1{,}67213x^{6}+0{,}11295x^{7},$

qui devra maintenant servir de diviseur à la série $s$.

Les quatrième et deuxième cases contiennent aussi le détail de cette nouvelle division, ainsi que les calculs subsidiaires qu’elle demande ; et l’on voit que le quotient est

$1+x^{2}-0{,}32522x,$

ce qui donne

$q'=0{,}32522,$

et que le reste est

$0{,}00397x^{2}-0{,}01034x^{3}-0{,}00812x^{4}+0{,}00790x^{5}-0{,}00464x^{6}-0{,}00214x^{7}.$

Or, comme les coefficients numériques sont ici fort petits, on pourra négliger ce reste et regarder l’opération comme achevée ; on aura de cette manière, non la véritable loi de la série, mais une loi fort approchée, qu’il sera facile de rectifier ensuite.

La première série donne donc ces valeurs

${\begin{alignedat}{2}p\ =&700,&q\ =&0{,}51428,\\p'=&-1{,}23123,\qquad &q'=&0{,}32522,\end{alignedat}}$

qu’il faudra substituer dans les formules du n^o 40 ; mais auparavant nous chercherons celles qui doivent résulter de l’autre série.

Opération sur la seconde série.

Cette série sera représentée ainsi

$844+586x+9x^{2}-425x^{3}-991x^{4}+640x^{5}+752x^{6}+31x^{7}-289x^{8}-1072x^{9}+\ldots ,$

en sorte qu’on aura d’abord

$p=844\,;$

divisant donc tous les termes par $p,$ et faisant le calcul par les logarithmes, comme on le voit dans la troisième case, on aura cette nouvelle série

${\begin{aligned}s=1&+0{,}69431x\ \ +0{,}01066x^{2}-0{,}50355x^{3}-1{,}17417x^{4}\\&+0{,}76829x^{5}+0{,}89100x^{6}+0{,}03663x^{7}-0{,}34242x^{8}-0{,}27014x^{9}+\ldots ,\end{aligned}}$

par laquelle il faudra diviser le binôme $1+x.$

On trouve dans la cinquième case le détail de cette division, et dans la troisième case les calculs subsidiaires qu’elle demande ; et l’on voit que le quotient est

$1+x^{2}+0{,}30569x,$

ce qui donne

$q=0{,}30569,$

et que le reste est

$-1,22290x^{2}-0,19402x^{3}+\ldots ,$

de sorte que l’on aura

$p'=-1{,}22290.$

Continuant donc l’opération, on divisera ce reste par $p',$ et l’on aura la nouvelle série

$s'=1+0{,}15865x-1{,}07730x^{2}-0{,}08519x^{3}-0{,}04201x^{4}$

$+0{,}87284x^{5}+0{,}45777x^{6}-1{,}09416x^{7}+\ldots ,$

par laquelle il faudra diviser la série $s$.

La division faite comme on le voit dans la cinquième case, on aura le quotient

$1+x^{2}+0{,}53566x,$

par conséquent

$q'=0,53566\,;$

et ensuite on aura ce reste

$0,00298x^{2}+0,0005x^{3}-0,00923x^{4}-0,00686x^{5}+0,00769x^{6}+0,01284x^{7}+\ldots ,$

lequel, n’ayant que des coefficients fort petits, pourra être négligé, en sorte qu’on pourra regarder l’opération comme finie.

Ainsi les valeurs résultant de la seconde série seront

${\begin{alignedat}{2}p\ =&844,&q\ =&0{,}30569,\\p'=&-1{,}22290,\qquad &q'=&0{,}53566.\end{alignedat}}$

Résultats déduits des valeurs précédentes.

Puisque nous n’avons eu que deux quotients dans chaque opération, on fera $n=2,$ et la fraction à considérer sera ${\frac {p\psi '}{\psi ''}},$ dans laquelle on aura

${\begin{aligned}\psi '\ =&1+q'y,\\\psi ''=&1+(q+q')y+(qq'+p')y^{2}.\end{aligned}}$

Or, si l’on représente par $1-\varpi y,\ 1-\rho y$ les deux facteurs simples du trinôme $\psi '',$ on aura, comme l’on sait,

${\begin{aligned}\varpi =&-{\frac {q+q'}{2}}+{\frac {\sqrt {(q-q')^{2}-4p'}}{2}},\\\rho =&-{\frac {q+q'}{2}}-{\frac {\sqrt {(q-q')^{2}-4p'}}{2}},\end{aligned}}$

et la fraction ${\frac {p\psi '}{\psi ''}}$ se décomposera en ces deux-ci

${\frac {\mathrm {F} }{1-\pi y}}+{\frac {\mathrm {G} }{1-\rho y}},$

en faisant

${\begin{aligned}\mathrm {F} =&-{\frac {p(q'+\varpi )}{\rho -\varpi }}={\frac {p}{2}}\left[1-{\frac {q-q'}{\sqrt {(q-q')^{2}-4p'}}}\right],\\\mathrm {G} =&-{\frac {p(q'+\rho \ )}{\varpi -\rho }}={\frac {p}{2}}\left[1+{\frac {q-q'}{\sqrt {(q-q')^{2}-4p'}}}\right].\end{aligned}}$

Introduisons maintenant dans ces formules les valeurs trouvées ci-dessus, et prenons d’abord celles qui résultent de la première série.

On aura donc

${\begin{alignedat}{3}q+q'\quad =&0{,}83950,\\q-q'\quad =&0{,}18906,\qquad &\log =&9{,}2765997,\qquad &2\log =&8{,}5531994,\\(q-q')^{2}=&0,03574,\\-4p'=&{\underline {4{,}92492}},\\&4{,}96066&\log =&0{,}6955394,&{\frac {1}{2}}\log =&0{,}3477697.\end{alignedat}}$

${\begin{aligned}{\sqrt {(q-q')^{2}-4p'}}=&2{,}22726,\\q+q'=&{\underline {0{,}83950}}.\\\mathrm {Somme} \ldots \ldots \ldots \ \ &3{,}06675.\\\mathrm {Diff{\acute {e}}rence} \ldots \ldots \ \ &1{,}38775.\\\end{aligned}}$

Donc

$\varpi =0{,}69387,\quad \rho =-1{,}53337\,;$

de plus

${\begin{alignedat}{2}\log(q-q')=&9{,}2766997,\\\log {\sqrt {(q-q')^{2}-4p'}}=&{\underline {0{,}3477697}},\\\mathrm {Diff{\acute {e}}rence} \ldots \ldots \ \ &8{,}9288300.\qquad &\mathrm {Nombre\ corr} .=0{,}08488.\end{alignedat}}$

${\begin{aligned}\log 0{,}91512=&9{,}9614780,\\\log 1{,}08488=&0{,}0353818,\\\log {\frac {p}{2}}=\log 350=&{\underline {2{,}5440680}},\\\log \mathrm {F} =&2{,}5055460,\\\log \mathrm {G} =&2{,}5794498.\end{aligned}}$

Donc

$\mathrm {F} =320{,}30,\quad \mathrm {G} =379{,}70.$

Employons maintenant les valeurs données par la seconde série, et l’on aura

${\begin{alignedat}{3}q+q'\quad =&0{,}84135,\\q-q'\quad =&0{,}22997,\qquad &\log =&9{,}3616712,\qquad &2\log =&8{,}7233424,\\(q-q')^{2}=&0,05288,\\-4p'=&{\underline {4{,}89160}},\\&4{,}94448&\log =&0{,}6941206,&-{\frac {1}{2}}\log =&0{,}3470603.\end{alignedat}}$

${\begin{aligned}{\sqrt {(q-q')^{2}-4p'}}=&2{,}22362,\\q+q'=&{\underline {0{,}84135}}.\\\mathrm {Somme} \ldots \ldots \ldots \ \ &3{,}06497.\\\mathrm {Diff{\acute {e}}rence} \ldots \ldots \ \ &1{,}38227.\\\end{aligned}}$

Donc

$\varpi =0{,}69113,\quad \rho =-1{,}53248\,;$

${\begin{alignedat}{2}\log(q-q')=&9{,}3616712,\\\log {\sqrt {(q-q')^{2}-4p'}}=&{\underline {0{,}3470603}},\\\mathrm {Diff{\acute {e}}rence} \ldots \ldots \ \ &9{,}0146109.\qquad &\mathrm {Nombre\ corr} .=0{,}10342.\end{alignedat}}$

${\begin{aligned}\log 1{,}10342=&0{,}0427409,\\\log 0{,}89658=&9{,}9525890,\\\log {\frac {p}{2}}=\log 422=&{\underline {2{,}6253125}},\\\log(\mathrm {F} )=&2{,}6680534,\\\log(\mathrm {G} )=&2{,}5779015.\end{aligned}}$

Donc

$(\mathrm {F} )=465{,}64,\quad (\mathrm {G} )=378{,}36.$

Il faudra maintenant substituer ces valeurs dans les formules du n^o 40, pour en déduire celles de $\alpha ,\beta \,;\ a,b\,;\ \mathrm {A,B} \,;$ mais auparavant il est bon de remarquer, à l’égard des quantités $\varpi$ et $\rho ,$ que les valeurs trouvées d’après les résultats de la première opération ne sont pas tout à fait les mêmes que celles qui résultent de la seconde opération ; ce qui ne doit pas paraître surprenant, attendu que les restes que l’on a négligés comme nuls ne l’étaient pas, mais étaient seulement très-petits. On peut même observer que, comme les coefficients numériques de ces restes n’ont de chiffres significatifs que dans la troisième place décimale et dans les suivantes, les valeurs de $\varpi$ et $\rho$ ne peuvent être exactes que jusqu’à la troisième place décimale exclusivement ; aussi voit-on que les deux valeurs de $\varpi ,$ ainsi que celles de $\rho ,$ s’accordent entre elles dans les deux premières décimales.

Nous donnerons, au reste, à $\varpi$ et à $\rho$ des valeurs moyennes entre celles qu’on a trouvées ci-dessus ; ainsi l’on aura

${\begin{alignedat}{2}\varpi =&\quad \ 0{,}69250,&\cos \alpha =&{\frac {\varpi }{2}}=\quad 0{,}34625,\\\rho =&-1{,}53292,\qquad &\cos \beta =&\ {\frac {\rho }{2}}\ =-0{,}76646\,;\end{alignedat}}$

donc

$\alpha =69^{\circ }45',\quad \beta =180^{\circ }-39^{\circ }58'=140^{\circ }2'.$

Maintenant on aura

${\begin{alignedat}{2}\log \cot {\frac {\alpha }{2}}=&0{,}1567915,\\\log(\mathrm {F} )=&{\underline {2{,}6680534}},\\&2{,}8248449.&\qquad \mathrm {Nombre\ corr} .=&668{,}10.\\\log \operatorname {tang} {\frac {\alpha }{2}}=&9{,}8432085,\\\log \mathrm {F} =&{\underline {2{,}5055460}},\\&2{,}3487545.&\mathrm {Nombre\ corr} .=&{\underline {223{,}23}}.\\&&\mathrm {Diff{\acute {e}}rence} \ldots \ \ &444{,}87.\end{alignedat}}$

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {F} =&320{,}30,\\(\mathrm {F} )=&{\underline {465{,}64}},\\&785{,}94,\qquad &\log =&2{,}8953894.\\\mathrm {Otez} \ \log \,&444{,}87&=&{\underline {2{,}6482331}},\\&&&0{,}2471563=\log \operatorname {tang} a\,;\end{alignedat}}$

donc

$a=60^{\circ }30'.$

Ensuite on aura

${\begin{alignedat}{2}\log \operatorname {s{\acute {e}}c} {\frac {\alpha }{2}}=&0{,}0859736,\\\log \mathrm {F} =&{\underline {2{,}5055460}},\\&2{,}5915196.\\\mathrm {Double} \ldots \ldots \ \ &5{,}1830392.\qquad &\mathrm {Nombre\ corr} .=&152419.\\\log \operatorname {cos{\acute {e}}c} {\frac {\alpha }{2}}=&0{,}2427650,\\\log(\mathrm {F} )=&{\underline {2{,}6680534}},\\&2{,}9108184.\\\mathrm {Double} \ldots \ldots \ \ &5{,}8216368.&\mathrm {Nombre\ corr} .=&{\underline {663188}}.\\&&4\mathrm {A} ^{2}=&815607.\\\end{alignedat}}$

$2\mathrm {A} =903,\quad \mathrm {A} =451.$

On aura de même

${\begin{alignedat}{2}\log \cot {\frac {\beta }{2}}=&9{,}5606727,\\\log(\mathrm {G} )=&{\underline {2{,}5779015}},\\&2{,}1385742.&\qquad \mathrm {Nombre\ corr} .=&137{,}58.\\\log \operatorname {tang} {\frac {\beta }{2}}=&0{,}4393273,\\\log \mathrm {G} =&{\underline {2{,}5794498}},\\&3{,}0187771.&\mathrm {Nombre\ corr} .=&{\underline {1044{,}18}}.\\&&\mathrm {Diff{\acute {e}}rence} \ldots \ \ &-906{,}60.\end{alignedat}}$

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {G} =&379{,}70,\\(\mathrm {G} )=&{\underline {378{,}36}},\\&758{,}06,\qquad &\log =&2{,}8797036.\\\mathrm {Otez} \ \log \,&906{,}60&=&{\underline {2{,}9574157}},\\&&&9{,}9222879=\log(-\operatorname {tang} )b\,;\end{alignedat}}$

donc

$b=180^{\circ }-39^{\circ }54'=140^{\circ }6'\,;$

ensuite

${\begin{alignedat}{2}\log \operatorname {s{\acute {e}}c} {\frac {\beta }{2}}=&0{,}4662956,\\\log \mathrm {G} =&{\underline {2{,}5794498}},\\&3{,}0457454,\\\mathrm {Double} \ldots \ldots \ \ &6{,}0914908.\qquad &\mathrm {Nombre\ corr} .=&1234500.\\\log \operatorname {cos{\acute {e}}c} {\frac {\beta }{2}}=&0{,}0269682,\\\log(\mathrm {G} )=&{\underline {2{,}5779015}},\\&2{,}6048697.\\\mathrm {Double} \ldots \ldots \ \ &5{,}2097394.&\mathrm {Nombre\ corr} .=&{\underline {162084}}.\\&&4\mathrm {B} ^{2}=&1396584.\\\end{alignedat}}$

$2\mathrm {B} =1182,\quad \mathrm {B} =591.$

Connaissant donc les angles $a,b\,;$ $\alpha ,\beta ,$ et les coefficients $\mathrm {A,B} ,$ on aura, pour le terme général de la série proposée, l’expression

$\mathrm {A} \sin(a+m\alpha )+\mathrm {B} \sin(b+m\alpha ),$

où $m$ est la distance d’un terme quelconque au terme $772$ qu’on a pris pour $\mathrm {T} ,$ c’est-à-dire, le quantième à compter depuis ce même terme.

Exemple II.

42. Je reprendrai la série de l’Exemple précédent, et je la traiterai suivant la seconde méthode du n^o 40, afin que l’on ait en même temps un exemple de l’usage de cette méthode et une confirmation de sa honté par la comparaison de ses résultats avec ceux de la première méthode ; mais je n’entrerai pas dans le détail des opérations et des calculs qu’il faut faire, parce qu’on le trouve dans les deux Tableaux ci-joints.

La première case contient les termes de la série proposée écrits deux fois les uns au-dessous des autres, pour pouvoir en prendre aisément les sommes et les différences, et en former les deux séries

${\begin{array}{lllll}+772,&-\ \ 309,&-\ \ 465,&-308,&-592,\ldots ,&\\-165,&+1181,&-1006,&-128,&+229,\ldots .\end{array}}$

Ensuite la quatrième case contient le Tableau des opérations qu’on doit faire sur la première de ces deux séries, et la deuxième case contient tous les calculs subsidiaires que ces opérations demandent.

On s’est arrêté ici, comme dans l’Exemple précédent, après la seconde division, parce que le second reste n’a que des coefficients numériques très-petits, qu’on peut par conséquent négliger sans erreur sensible.

Les résultats des opérations faites sur la première série sont donc

${\begin{alignedat}{2}p\ =&772,&q\ =&0{,}40026,\\p'=&-1{,}23746,\qquad &q'=&0{,}44043.\end{alignedat}}$

EXEMPLE II. N^o 42.

D’APRÈS LES OBSERVATIONS.

${\begin{array}{|c|}\hline \mathrm {PREMI{\grave {E}}RE\ CASE} .\\\hline {\begin{array}{llllllllll}&\quad 0^{\mathrm {s} }&\quad 2^{\mathrm {s} }10&\quad 4^{\mathrm {s} }20&\quad 7^{\mathrm {s} }&\quad 9^{\mathrm {s} }10&\quad 11^{\mathrm {s} }20&\quad 2^{\mathrm {s} }&\quad 4^{\mathrm {s} }10&\quad 6^{\mathrm {s} }20&\quad 9^{\mathrm {s} }\\&+\mathrm {7^{m}36^{s}} &-\mathrm {2^{m}48^{s}} &+\mathrm {4^{m}34^{s}} &-\mathrm {15^{m}33^{s}} &+\mathrm {3^{m}40^{s}} &+\mathrm {10^{m}31^{s}} &-\mathrm {3^{m}52^{s}} &+\mathrm {5^{m}49^{s}} &-\mathrm {13^{m}43^{s}} &-\mathrm {1^{m}12^{s}} \\&+\ \ 456&-168&+274&-933&+220&+631&-232&+349&-823&-\ \ 72\\&{\underline {+\ \ 881}}&{\underline {-616}}&{\underline {-457}}&{\underline {+305}}&{\underline {-181}}&{\underline {+860}}&{\underline {-360}}&{\underline {-657}}&{\underline {+358}}&{\underline {-237}}\\\mathrm {somme} .&+1337&-784&-183&-628&+39&+1491&-592&-308&-465&-309\end{array}}\\\hline \end{array}}$

${\begin{array}{|c|}\hline \mathrm {PREMI{\grave {E}}RE\ CASE} .\\\hline {\begin{array}{lllllllllll}&\quad 11^{\mathrm {s} }10&\quad 1^{\mathrm {s} }20&\quad 4^{\mathrm {s} }&\quad 6^{\mathrm {s} }10&\quad 8^{\mathrm {s} }20&\quad 11^{\mathrm {s} }&\quad 1^{\mathrm {s} }10&\quad 3^{\mathrm {s} }20&\quad 6^{\mathrm {s} }&\quad 8^{\mathrm {s} }10&\quad 10^{\mathrm {s} }20\\&+\mathrm {12^{m}52^{s}} &-\mathrm {3^{m}57^{s}} &+\mathrm {5^{m}58^{s}} &-\mathrm {10^{m}57^{s}} &-\mathrm {6^{m}0^{s}} &+\mathrm {14^{m}20^{s}} &-\mathrm {3^{m}1^{s}} &+\mathrm {5^{m}5^{s}} &-\mathrm {7^{m}37^{s}} &-\mathrm {10^{m}16^{s}} &+\mathrm {14^{m}41^{s}} \\&+772&-237&+\ \ 358&-\ \ 657&-360&+860&-181&+305&-457&-616&+881\\&{\underline {\qquad \ \ }}&{\underline {-\ \ 72}}&{\underline {-\ \ 823}}&{\underline {+\ \ 349}}&{\underline {-232}}&{\underline {+631}}&{\underline {+220}}&{\underline {-933}}&{\underline {+274}}&{\underline {-168}}&{\underline {+456}}\\\mathrm {diff} .\quad &+772&-165&+1181&-1006&-128&+229&-401&+1238&-731&-448&+425\\\end{array}}\\\hline \end{array}}$

${\begin{array}{|c|}\hline \mathrm {DEUXI{\grave {E}}ME\ CASE} .\\\hline {\begin{array}{llllllllllll}+\ \ 772&-2.8876173&{\underline {9.6023412}}&{\underline {0{,}40026}}&&&-1{,}23746&0.0925313&{\underline {9.6438769}}\\-\ \ 309&2.4899585&9.6023412&0{,}40026&9.2046824&0{,}16021&\quad 1{,}04031&0.0171628&9.9246315&0{,}84069&9.5685084&0{,}37026\\-\ \ 465&2.6654530&9.7798357&0{,}60233&9.3821769&0{,}24109&\quad 1{,}52886&0.184678&0.0918365&1{,}23543&9.7357134&0{,}54414\\-\ \ 308&2.4885507&9.6009354&0{,}39896&9.2032746&0{,}15969&-1{,}22546&0.0882993&9.9957680&0{,}99030&9.6396449&0{,}43616\\-\ \ 592&2.7723217&9.8847044&0{,}76684&9.4870456&0{,}30693&-0{,}05671&8.7536596&8.6611283&0{,}04582&8.3050052&0{,}02018\\+1491&3.1734776&0.2858603&1{,}93135&9.8882015&0{,}77304&-1{,}13817&0.0562072&9.9636759&0{,}91976&9.6075528&0{,}40509\\+\quad 39&1.5910646&8.7034473&0{,}05051&8.3057885&0{,}02022&\quad 0{,}51214&9.7093887&9.6168574&0{,}51386&9.2607343&0{,}18228\\-\ \ 698&2.7979596&9.9103423&0{,}81340&9.5126835&0{,}32560&\quad 1{,}92382&0.2841644&0.1916331&1{,}45465&9.8355100&0{,}68472\\-\ \ 183&2.2624511&9.3748338&0{,}23705&8.9771750&0{,}09488&-1{,}08833&0.0367606&9.9442293&0{,}87948\\-\ \ 784&2.8943161&0.0066988&1{,}01554&9.6090400&0{,}40648\\+1337&3.1261314&0.2385141&1{,}73186\\\end{array}}\\\hline \end{array}}$

${\begin{array}{|c|}\hline \mathrm {TROISI{\grave {E}}ME\ CASE} .\\\hline {\begin{array}{llllllllllll}-\ \ 165&2.217489.&{\underline {0.8517660}}&{\underline {7{,}15758}}&&&\quad 44{,}13394&1.6443727&{\underline {0.8002619}}\\+1181&3.0722499&0.8547660&7{,}15758&1.7095320&51{,}23091&-37{,}25772&1.5719163&9.9264436&0{,}84420&0.7267055&5{,}32973\\-1606&3.0025980&0.7851141&6{,}09697&1.6398801&43{,}63954&-10{,}26163&1.0112163&9.3664436&0{,}23251&0.1667055&1{,}46793\\-\ \ 128&2.1072100&9.8897261&0{,}77576&0.7444921&\ \ 5{,}55254&\quad \ \,6{,}72779&0.8278724&9.1830097&0{,}15944&9.9833616&0{,}96241\\+\ \ 229&2.3598355&0.1423516&1{,}38788&0.9971176&\ \ 9.93385&-\ \ 8{,}50418&0.9296326&9.2748599&0{,}18830&0.0751218&1{,}18884\\-\ \ 401&2.6031444&0.3856605&2{,}43030&1.2404265&17{,}39509&\ \ \ 46{,}84293&1.670640&0.0258713&1{,}06138&0.8261332&6{,}70090\\+1238&3.0927206&0.8752367&7{,}50303&1.7300027&53{,}70353&-26{,}92237&1.4301132&9.7853405&0{,}61002&0.5856024&3{,}85135\\-\ \ 731&2.8639174&0.6464335&4{,}43030&1.5011995&31{,}71025&-21{,}28845&1.3271441&9.6823714&0{,}48125\\-\ \ 448&2.6512780&0{,}4333941&2{,}71515&1.2885601&19{,}43390\\+\ \ 425&2.6283889&0.4109050&2{,}57575\end{array}}\\\hline \end{array}}$

EXEMPLE II. N^o 42.

FORMATION DES TABLES DES PLANÈTES.

${\begin{array}{|l|l|}\hline &\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm {QUATRI{\grave {E}}ME\ CASE} .\\\hline \mathrm {Premier\ quotient} &{\underline {\ \ \ 1+x^{2}+0{,}40026x}}\\\mathrm {Premier\ diviseur} &\ \ \ 1-0,40026x-0,60233x^{2}-0,39896x^{3}-0,76684x^{4}+1,93135x^{5}+0,05051x^{6}-0,81340x^{7}-0,23705x^{8}-1,01554x^{9}+1,73186x^{10}\\\mathrm {Premier\ dividende} &\ \ \ 1\qquad \quad {\text{★}}\ \ \ \qquad \qquad -x^{2}\\&-1+0,40026x-0,39767x^{2}+0,79922x^{3}+1,36917x^{4}-1,53239x^{5}+0,71633x^{6}-1,11795x^{7}+0,18624x^{8}+1,82894x^{9}-1,49481x^{10}\\&\ \quad -0,40026\ \ \ +0,16021\quad +0,24109\quad +0,15969\quad +0,30693\quad -0,77304\quad -0,02022\quad -0,32560\quad +0,09488\quad +0,40648\\\mathrm {Premier\ reste} &\ \ \ {\text{★}}\qquad {\text{★}}\qquad -1,23746x^{2}+1,04031x^{3}+1,52886x^{4}-1,22546x^{5}-0,05671x^{6}-1,13817x^{7}+0,51214x^{8}+1,92382x^{9}-1,08833x^{10}\\\hline \mathrm {Deuxi{\grave {e}}me\ quotient} &{\underline {\ \ \ 1+x^{2}+0{,}44043x}}\\\mathrm {Deuxi{\grave {e}}me\ diviseur} &\ \ \ 1-0,84069x-1,23543x^{2}+0,99030x^{3}+0,04582x^{4}+0,91976x^{5}-0,41386x^{6}-1,55465x^{6}+0,87948x^{8}\\\mathrm {Deuxi{\grave {e}}me\ dividende} &\ \ \ 1-0,40026x-0,60233x^{2}-0,39896x^{3}-0,76684x^{4}+1,93135x^{5}-0,05051x^{6}-0,81340x^{7}-0,23705x^{8}\\&-1+0,84069\ \ +0,23543\quad -0,14961\quad +1,18961\,\quad -1,91106\quad +0,36804\quad +0,63489\quad -0,46562\\&\ \ \ {\text{★}}\ \ \ 0,44043x-0,36690x^{2}-0,54857x^{3}+0,42277x^{4}+0,02029x^{5}+0,41855x^{6}-0,17851x^{7}-0,70267x^{8}\\&\ \quad -0,44043\ \ +0,37026\quad +0,54414\quad -0,43616\,\quad -0,02018\quad -0,40509\quad +0,18228\quad +0,68472\\\mathrm {Deuxi{\grave {e}}me\ reste} &\ \ \ {\text{★}}\qquad {\text{★}}\qquad \quad 0,00336x^{2}+0,00443x^{3}-0,01339x^{4}+0,00011x^{5}+0,01346x^{6}+0,00377x^{7}-0,01795x^{8}\\\hline \end{array}}$

${\begin{array}{|l|l|}\hline &\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm {CINQUI{\grave {E}}ME\ CASE} .\\\hline \mathrm {Premier\ quotient} &{\underline {\ \ \ 1+x^{2}+7{,}15758x}}\\\mathrm {Premier\ diviseur} &\ \ \ 1-7,15758x+\ \ 6,09697x^{2}+\ \ 0,77576x^{3}-\ \ 1,38788x^{4}+2,43030x^{5}-\ \ 7,50303x^{6}+\ \ 4,45030x^{7}+\ \ 2,71515x^{8}-\ \ 2,57575x^{9}\\\mathrm {Premier\ dividende} &\ \ \ 1\qquad {\text{★}}\qquad \qquad \quad {\text{★}}\\&-1+7,15758x-\ \ 7,09697x^{2}+\ \ 6,38182x^{3}-\ \ 4,70909x^{4}-3,20606x^{5}+\ \ 8,89091x^{6}-\ \ 6,86060x^{7}+\ \ 4,78788x^{8}-\ \ 1,85455x^{9}\\&\ \quad -7,15758\ \ \,+51,23091\quad -43,63954\quad -\ \ 5,55254\quad +9,93385\quad -17,39509\quad +53,70353\quad -31,71025\quad -19,43390\\\mathrm {Premier\ reste} &\ \ \ {\text{★}}\quad \qquad {\text{★}}\qquad \,44,13394x^{2}-37,25772x^{3}-10,26163x^{4}+6,72779x^{5}-\ \ 8,50418x^{6}+46,84293x^{7}-26,92237x^{8}-21,28845x^{9}\\\hline \mathrm {Deuxi{\grave {e}}me\ quotient} &{\underline {\ \ \ 1+x^{2}+6{,}31338x}}\\\mathrm {Deuxi{\grave {e}}me\ diviseur} &\ \ \ 1-0,84420x-0,23951x^{2}+0,15244x^{3}-0,18830x^{4}+1,06138x^{5}-0,61002x^{6}-0,48125x^{7}\\\mathrm {Deuxi{\grave {e}}me\ dividende} &\ \ \ 1-7,15758x+6,09697x^{2}+0,77576x^{3}-1,38788x^{4}+2,43030x^{5}-7,50303x^{6}+4,43030x^{7}\\&-1+0,84420\ \ -0,76749\quad +0,69176\quad \,+0,42081\quad -1,21382\quad +0,79832\quad -0,58013\\&\ {\text{★}}-6,31338x\,+5,32948x^{2}+1,46752x^{3}-0,96707x^{4}+1,21648x^{5}-6,70471x^{6}+3,85017x^{7}\\&\ \quad +6,31338\ \ \ -5,32973\quad -1,46793\quad +0,96241\quad -1,18884\quad +6,70090\quad -3,85135\\\mathrm {Deuxi{\grave {e}}me\ reste} &\ \ \ {\text{★}}\quad \qquad {\text{★}}\quad -0,00025x^{2}-0,00041x^{3}-0,00466x^{4}+0,02764x^{5}-0,00381x^{6}-0,00118x^{7}\\\hline \end{array}}$

De même la cinquième case contient le tableau des opérations à faire sur la seconde série, et la troisième case les calculs subsidiaires ; on voit aussi que le second reste n’a que des coefficients très-petits, en sorte qu’il peut être négligé, et que l’opération peut être regardée comme achevée après la seconde division.

Il résulte donc de cette série les valeurs suivantes

${\begin{alignedat}{2}p\ =&-165,&q=&7{,}15758,\\p'=&44,13394,\qquad &q'=&-6{,}31338.\end{alignedat}}$

Ayant trouvé ces val’eurs, on cherchera par leur moyen celles des quantités $\varpi ,\rho \,;$ $\mathrm {F,G\,;\ (F),(G)} ,$ comme on l’a fait dans l’Exemple précédent, et en employant les mêmes formules.

On aura donc, en prenant d’abord les valeurs résultant de la première série,

${\begin{alignedat}{3}q+q'\quad =&\ \quad 0{,}84069,\\q-q'\quad =&-0{,}04017,\qquad &\log =&8{,}6039018,\qquad &2\log =&7{,}2078036,\\(q-q')^{2}=&\ \quad 0{,}00161,\\-4p'=&\ \quad {\underline {4{,}94984}},\\&\ \quad 4{,}95145&\log =&0{,}6947323,&{\frac {1}{2}}\log =&0{,}3473661.\end{alignedat}}$

${\begin{aligned}{\sqrt {(q-q')^{2}-4p'}}=&2{,}22522,\\q+q'=&{\underline {0{,}84069}}.\\\mathrm {Somme} \ldots \ldots \ldots \ \ &3{,}06591.\\\mathrm {Diff{\acute {e}}rence} \ldots \ldots \ \ &1{,}38453.\\\end{aligned}}$

Donc

$\varpi =0{,}69226,\quad \rho =-1{,}53295.$

De plus

${\begin{alignedat}{2}\log(q-q')=&8{,}6039018,\\\log {\sqrt {(q-q')^{2}-4p'}}=&{\underline {0{,}3473661}}.\\\mathrm {Diff{\acute {e}}rence} \ldots \ldots \ \ &8{,}2565357.\qquad &\mathrm {Nombre\ corr} .=-0{,}01805.\end{alignedat}}$

${\begin{aligned}\log 1{,}01805=&0{,}0077692,\\\log 0{,}98195=&9{,}9920894,\\\log {\frac {p}{2}}=\log 386=&{\underline {2{,}5865873}},\\\log \mathrm {F} =&2{,}5943565,\\\log \mathrm {G} =&2{,}5786767.\end{aligned}}$

Donc

$\mathrm {F} =392{,}97,\quad \mathrm {G} =379{,}03.$

Employant maintenant les valeurs trouvées d’après la seconde série, on aura

${\begin{alignedat}{3}q+q'\quad =&\qquad \,0{,}84420,\\q-q'\quad =&\quad \ \ \ 13{,}47096,\qquad &\log =&1{,}1293986,\qquad &2\log =&2{,}2587972,\\(q-q')^{2}=&\quad \ 181{,}46720,\\-4p'=&-{\underline {176{,}53576}},\\&4{,}93144&\log =&0{,}6929746,&{\frac {1}{2}}\log =&0{,}3464872,\end{alignedat}}$

${\begin{aligned}{\sqrt {(q-q')^{2}-4p'}}=&2{,}22069,\\q+q'=&{\underline {0{,}84420}}.\\\mathrm {Somme} \ldots \ldots \ldots \ \ &3{,}06489.\\\mathrm {Diff{\acute {e}}rence} \ldots \ldots \ \ &1{,}37649.\\\end{aligned}}$

Donc

$\varpi =0{,}68824,\quad \rho =-1{,}53244.$

Ensuite

${\begin{alignedat}{2}\log(q-q')=&1{,}1293986,\\\log {\sqrt {(q-q')^{2}-4p'}}=&{\underline {0{,}3464873}}.\\\mathrm {Diff{\acute {e}}rence} \ldots \ldots \ \ &0{,}7829113.\qquad &\mathrm {Nombre\ corr} .=6{,}06612.\end{alignedat}}$

${\begin{aligned}\log 5{,}06612=&0{,}7046755,\\\log 7{,}06612=&0{,}8491800,\\\log -{\frac {p}{2}}=\log 82{,}5=&{\underline {1{,}9164539}},\\\log(\mathrm {F} )=&2{,}6211294,\\\log(\mathrm {G} )=&2{,}7656339.\end{aligned}}$

Donc

$(\mathrm {F} )=417{,}95,\quad (\mathrm {G} )=-582{,}95.$

Ayant trouvé deux valeurs de $\varpi$ et deux de $\rho ,$ qui ne sont pas tout à fait identiques, comme elles le devraient être si la solution était rigoureuse, au lieu qu’elle n’est qu’approchée, nous prendrons, comme dans l’Exemple précédent, les moyennes arithmétiques ; moyennant quoi, on aura

$\varpi =0{,}69025,\quad \rho =-1{,}53269.$

Donc

$\cos \alpha ={\frac {\varpi }{2}}=0{,}34512,\quad \cos \beta ={\frac {\rho }{2}}=-0{,}76634,$

et de là

$\alpha =69^{\circ }49',\quad \beta =180^{\circ }-39^{\circ }59'=140^{\circ }1'.$

valeurs qui s’accordent, à quelques minutes près, avec celles de l’Exemple précédent.

On substituera donc ces valeurs ainsi que celles de $\mathrm {F,G\,;\ (F),(G)} ,$ dans les formules de la seconde méthode du n^o 40, pour en déduire les valeurs de $\mathrm {A,B} \,;\ a$ et $b.$

On fera donc le calcul suivant

${\begin{alignedat}{2}\log \mathrm {F} =&2{,}5943565,\\\log 2\sin \alpha =&{\underline {0{,}2735075}}.\\&2{,}8678640,\\\log(\mathrm {F} )=&{\underline {2{,}6211294}},\\&0{,}2467346&=&\log \operatorname {tang} a.\\\end{alignedat}}$

Donc

$a=60^{\circ }28'.$

Ensuite on aura

${\begin{alignedat}{2}2\log \mathrm {F} =&5{,}1887120.\qquad &\mathrm {\mathrm {N} ombre\ corr} .=&154423.\\2\log(\mathrm {F} )=&5{,}2422588,\\2\log 2\sin \alpha =&{\underline {0{,}5470150}},\\&4{,}6952438.&\mathrm {Nombre\ corr} .=&{\underline {\ \ 49573}},\\&&&203996=\mathrm {A} ^{2}.\end{alignedat}}$

Donc

$\mathrm {A} =451.$

On aura de même

${\begin{aligned}\log \mathrm {G} =&2{,}5786767,\\\log 2\sin \beta =&{\underline {0{,}1089469}},\\&2{,}6876236,\\\log -(\mathrm {G} )=&2{,}7656339,\\&9{,}9219897=\log(-\operatorname {tang} b).\end{aligned}}$

Donc

$b=180^{\circ }-39^{\circ }53'=140^{\circ }7'.$

Ensuite

${\begin{alignedat}{2}2\log \mathrm {G} =&5{,}1573534,\qquad &\mathrm {Nombre\ corr} .=&143666,\\2\log -(\mathrm {G} )=&5{,}5312678,\\2\log 2\sin \beta =&{\underline {0{,}2178938}},\\&5{,}3133740.&\mathrm {Nombre\ corr} .=&{\underline {205766}},\\&&&349432=\mathrm {B} ^{2}.\end{alignedat}}$

Donc

$\mathrm {B} =591.$

On voit donc que les valeurs de $a,b\,;\ \mathrm {A,B} ,$ s’accordent aussi avec celles de l’Exemple précédent ; ce qui prouve l’exactitude de nos deux méthodes.

Remarque I.

43. Au reste il est clair que les valeurs qu’on vient de trouver ne peuvent être qu’approchées, de sorte qu’il est nécessaire de chercher les moyens de les rectifier ; mais il est bon de remarquer que les coefficients $\mathrm {A,B} ,$ et les angles $a,b$ n’exigent pas une aussi grande exactitude que les angles $\alpha$ et $\beta \,;$ parce que, ces derniers angles se trouvant multipliés par le nombre des termes $m,$ dans l’expression du terme général, les erreurs qu’on y peut commettre doivent aller en augmentant d’un terme à l’autre ; au lieu que les erreurs des coefficients $\mathrm {A,B} ,$ et des angles $a,b,$ demeurent les mêmes.

Ainsi on doit surtout tâcher de déterminer avec précision les angles $\alpha$ et $\beta \,;$ c’est de quoi on pourra venir à bout lorsqu’on connaîtra un grand nombre de termes de la série proposée ; il se présente différents moyens pour cela, mais celui que je vais employer me paraît tout à la fois le plus simple et le plus exact ; il est fondé sur cette considération que, si l’on cherche les valeurs des angles $a$ et $b$ pour des termes de la même série, assez distants entre eux, et qu’on nomme, par exemple, $a',b'$ les valeurs de $a,b$ pour le terme $\mathrm {T} ^{(\lambda )}$ pris à la place de $\mathrm {T} ,$ et $a'',b''$ les valeurs de $a,b$ pour le terme $\mathrm {T} ^{(\mu )}$ pris de même à la place de $\mathrm {T} ,$ on aura nécessairement

$a'=a+\lambda \alpha ,\quad b'=b+\lambda \beta ,$

et de même

$a''=a+\mu \alpha ,\quad b''=b+\mu \beta \,;$

donc

$a''-a'=(\mu -\lambda )\alpha ,\quad b''-b'=(\mu -\lambda )\beta \,;$

et de là

$\alpha ={\frac {a''-a'}{\mu -\lambda }},\quad \beta ={\frac {b''-b'}{\mu -\lambda }}\,;$

d’où l’on voit que les erreurs qui pourront se trouver dans les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ ne seront qu’à la $(\mu -\lambda )$^ième partie de celles des valeurs de $a',a''\,;\ b',b''\,;$ ainsi l’exactitude de ces déterminations sera d’autant plus grande que le nombre $\mu -\lambda$ sera plus grand, c’est-à-dire, que la distance entre les termes $\mathrm {T} ^{(\lambda )}$ et $\mathrm {T} ^{(\mu )}$ sera plus grande.

Pour trouver les valeurs de $a',b'$ et de $a'',b'',$ il faudra faire un double calcul, en suivant l’une des deux méthodes ci-dessus ; et il sera bon de préférer la seconde, qui est en quelque manière plus simple. D’ailleurs il ne sera pas nécessaire de faire le calcul en entier, comme dans l’Exemple II, en opérant successivement sur les deux séries ; mais il suffira d’opérer sur la série des sommes, et d’en déduire les valeurs de $\mathrm {F}$ et de $\mathrm {G} \,:$ car, comme les coefficients $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sont déjà connus, on peut s’en servir pour trouver les valeurs de $\operatorname {tang} a$ et $\operatorname {tang} b,$ sans connaître celles de $(\mathrm {F} )$ et de $(\mathrm {G} )\,;$ en effet on aura, par les formules de la seconde méthode (n^o 40),

$\operatorname {tang} a=\mathrm {\frac {F}{\sqrt {A^{2}-F^{2}}}} ,\quad \operatorname {tang} b=\mathrm {\frac {G}{\sqrt {B^{2}-G^{2}}}} \,;$

d’où l’on tire

$\sin a=\mathrm {\frac {F}{A}} ,\quad \sin b=\mathrm {\frac {G}{B}} .$

De plus, comme on sait déjà que l’opération ne doit pas aller au delà de la seconde division, et qu’il est clair que chaque division n’emporte que deux termes de la série sur laquelle on opère, il s’ensuit qu’il suffira, dans le cas présent, d’avoir quatre termes de la série des sommes, de sorte que l’on n’aura besoin que de sept termes consécutifs de la série proposée, dont celui du milieu sera pris pour $\mathrm {T} ,$ et les ad\sqrt{a}cents de part et d’autre pour

$\mathrm {T',\ \ T'',\ \ T''',\quad et\quad \,^{\text{‵}}T,\ \ \,^{\text{‵‵}}T,\ \ \,^{\text{‵‵‵}}T} ,$

pour avoir la série des sommes

$\mathrm {T,\quad T'+\,^{\text{‵}}T,\quad T''+\,^{\text{‵‵}}T,\quad T'''+\,^{\text{‵‵‵}}T} .$

On choisira donc à volonté sept des premiers termes de la série donnée et sept des derniers, et, pour avoir une plus grande exactitude, on aura soin de les choisir de manière que ceux du milieu soient les plus grands qu’il est possible ; car il est facile de démontrer que l’on aura toujours des résultats plus approchés lorsque le terme du milieu $\mathrm {T}$ sera un maximum que dans tout autre cas, et c’est aussi pour cette raison que, dans l’Exemple II, nous avons pris pour $\mathrm {T}$ le terme $772,$ qui est un des plus grands de la série.

Nous prendrons donc les sept premiers termes

$+456,\ \ -168,\ \ +274,\ \ -933,\ \ +220,\ \ +631,\ \ -232.$

et les sept autres

$+358,\ \ -657,\ \ -360,\ \ +360,\ \ -181,\ \ +305,\ \ -447,$

et l’on en formera les deux séries des sommes

${\begin{array}{rrrr}-933,&494,&463,&224.\\860,&-541,&-352,&-\ \ 99,\end{array}}$

sur chacune desquelles on opérera comme on l’a pratiqué dans l’Exemple II.

Remarque I, N^o 43.

D’APRÈS LES OBSERVATIONS.

${\begin{array}{|c|}\hline \mathrm {PREMI{\grave {E}}RE\ CASE} .\\\hline {\begin{array}{lllllll}\ \ +456\quad &-168\quad &+274\quad &-933\quad &+220\quad &+631\quad &-232\ \ \ \\&&&&+274&-168&+456\\&&&-933&+494&+463&+224\end{array}}\\\hline \end{array}}$

${\begin{array}{|c|}\hline \mathrm {DEUXI{\grave {E}}ME\ CASE} .\\\hline {\begin{array}{llllll}-933&2.9698816&\quad {\text{––––}}\\+494&2.6937269&9.7238453&0,52948&9.4476906&0,28034\\+463&2.6655810&9.6956994&0,49625&9.4195447&0,26275\\+224&2.3502480&9.3803664&0,24008\\\hline -1,22341&0.0875722\\1,03231&0.0138101&9.9262379&0,84380\\\end{array}}\\\hline \end{array}}$

${\begin{array}{|c|}\hline \mathrm {TROISI{\grave {E}}ME\ CASE} .\\\hline {\begin{array}{l|l}\mathrm {Premier\ quotient} \quad \ldots &{\underline {\ \ \ 1+x^{2}+0,52948x}}\\\mathrm {Premier\ diviseur} \ldots \ldots &\ \ \ 1-0,52948x-0,49625x^{2}-0,24008x^{3}\\\mathrm {Premier\ dividende} \ \ \ldots &\ \ \ 1\quad \qquad {\text{★}}\qquad \qquad \ \ \ -x^{2}\\&-1+0,52948x-0,50375x^{2}+0,76956x^{3}\\&\quad \ -0,52948\ \ \ +0,28034\quad +0,26275\\\mathrm {Premier\ reste} \ldots \ldots \ldots &\ \ {\text{★}}\ \qquad \quad {\text{★}}\quad -1,22341x^{2}+1,03231x^{3}\\\\\hline \\\mathrm {Deuxi{\grave {e}}me\ quotient} \ldots &{\underline {\ \ \ 1+x^{2}+0,31332x}}\\\mathrm {Deuxi{\grave {e}}me\ diviseur} \ \ldots &\ \ \ 1-0,84380x\\\mathrm {Deuxi{\grave {e}}me\ dividende} &\ \ \ 1-0,52948x\\&-1+0,84380x\\&\ \ \ {\text{★}}\quad 0,31332x\\\end{array}}\\\hline \end{array}}$

${\begin{array}{|c|}\hline \mathrm {QUATRI{\grave {E}}ME\ CASE} .\\\hline {\begin{array}{lllllll}\quad +358\quad &-657\quad &-360\quad &+860\quad &-181\quad &+305\quad &-457\quad \\&&&&-360&-657&+358\\&&&+860&-541&-352&-\ \ 99\\\end{array}}\\\hline \end{array}}$

${\begin{array}{|c|}\hline \mathrm {CINQUI{\grave {E}}ME\ CASE} .\\\hline {\begin{array}{llllll}+860&2.9344985\\-541&2.7331973&9.7986988&0,62907&9,5973976&0,39573\\-352&2.5465427&9.610442&0,40930&9,4107430&0,25748\\-99&&1.9956352&9.0611367&0,11512\\\hline 1,19493&0.0773425\\1,00167&0.0007245&9.9233820&0,83827\\\end{array}}\\\hline \end{array}}$

${\begin{array}{|c|}\hline \mathrm {SIXI{\grave {E}}ME\ CASE} .\\\hline {\begin{array}{l|l}\mathrm {Premier\ quotient} \quad \ \ldots &{\underline {\ \ \ 1+x^{2}+0,62907x}}\\\mathrm {Premier\ diviseur} \ldots \ldots &\ \ \ 1-0,62907x-0,40930x^{2}-0,11512x^{3}\\\mathrm {Premier\ dividende} \ \ \ldots &\ \ \ 1\quad \qquad {\text{★}}\qquad \qquad \ \ \ -x^{2}\\&-1+0,62907x-0,59070x^{2}+0,74419x^{3}\\&\quad \ -0,62907\,\ \ +0,39573\quad +0,25748\\\mathrm {Premier\ reste} \ \ldots \ldots \ldots &\ \ {\text{★}}\,\qquad \quad {\text{★}}\quad -1,19497x^{2}+1,00167x^{3}\\\\\hline \\\mathrm {Deuxi{\grave {e}}me\ quotient} \ \ \ldots &{\underline {\ \ \ 1+x^{2}+0,20920x}}\\\mathrm {Deuxi{\grave {e}}me\ diviseur} \ \ \ \ldots &\ \ \ 1-0,83827x\\\mathrm {Deuxi{\grave {e}}me\ dividende} \ldots &\ \ \ 1-0,62907x\\&-1+0,83827\\&\ \ \ {\text{★}}\quad 0,209207\\\end{array}}\\\hline \end{array}}$

Le Tableau ci-contre contient les détails et les résultats de ces opérations les trois premières cases appartiennent à la première série, et les trois dernières à la seconde, où l’on voit que la première série donne ces valeurs

${\begin{alignedat}{2}p\ =&-933,&q\ =&0{,}52948,\\p'=&-1{,}22341,\qquad &q'=&0{,}31332,\end{alignedat}}$

et que la seconde donne celles-ci

${\begin{alignedat}{2}p\ =&860,&q\ =&0{,}62907,\\p'=&1{,}19493,\qquad &q'=&0{,}20920.\end{alignedat}}$

Ainsi l’on aura

${\begin{alignedat}{3}1^{\mathrm {o} }\quad q+q'\quad =&0{,}84280,\\q-q'\quad =&0{,}21616,\qquad &\log =&9{,}3347753,\qquad &2\log =&8{,}6695506,\\(q-q')^{2}=&0{,}04673,\\-4p'=&{\underline {4{,}89864}}.\\&4{,}94037&\log =&0{,}6937595,&{\frac {1}{2}}\log =&0{,}3468797.\end{alignedat}}$

${\begin{aligned}{\sqrt {(q-q')^{2}-4p'}}=&2{,}22269,\\q+q'=&{\underline {0{,}84280}}.\\\mathrm {Somme} \ldots \ldots \ldots \ \ &{\underline {3{,}06549}}.\\\mathrm {Diff{\acute {e}}rence} \ldots \ldots \ \ &1{,}37989.\\\end{aligned}}$

Donc

$\varpi =0{,}68994,\quad \rho =-1{,}53274.$

Ensuite

${\begin{alignedat}{2}\log(q-q')=&9{,}3847753,\\\log {\sqrt {(q-q')^{2}-4p'}}=&{\underline {0{,}3468797}}.\\\mathrm {Diff{\acute {e}}rence} \ldots \ldots \ \ &8{,}9878956.\qquad &\mathrm {Nombre\ corr} .=0{,}097251.\end{alignedat}}$

${\begin{alignedat}{2}\log 0{,}902749=&9{,}9555670,\\\log 1{,}097251=&0{,}0403060,\\\log -{\frac {p}{2}}=\log 466{,}5=&{\underline {2{,}6688516}},\\\log -\mathrm {F} =&2{,}6244186,\qquad &\mathrm {F} =&-421\\\log -\mathrm {G} =&2{,}7091576,&\mathrm {G} =&-512.\end{alignedat}}$

Or on a (n^o 42)

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {A} =&451,\qquad &\log \mathrm {A} =&2{,}6541766,\\\mathrm {B} =&591,&\log \mathrm {B} =&2{,}7715875.\end{alignedat}}$

Donc

${\begin{aligned}\log -\mathrm {\frac {A}{F}} =&9{,}9702421=\log -\sin a',\\\log -\mathrm {\frac {G}{B}} =&9{,}9375701=\log -\sin b'.\end{aligned}}$

Donc

${\begin{array}{lcl}a'=180^{\circ }+69^{\circ }2'=249^{\circ }2',&{\text{ou}}&360^{\circ }-69^{\circ }2'=290^{\circ }58',\\b'=180^{\circ }+60^{\circ }\quad =240^{\circ },&{\text{ou}}&360^{\circ }-60^{\circ }\quad =300^{\circ }.\end{array}}$

À quoi on pourra encore ajouter ou en retrancher tel multiple de $360$ degrés qu’on voudra.

${\begin{alignedat}{3}2^{\mathrm {o} }\quad q+q'\quad =&0{,}83827,\\q-q'\quad =&0{,}41887,\qquad &\log =&9{,}6220793,\qquad &2\log =&9{,}2441586.\\(q-q')^{2}=&0{,}17546,\\-4p'=&{\underline {4{,}77972}}.\\&4{,}95518&\log =&0{,}6950594,&{\frac {1}{2}}\log =&0{,}3475297.\end{alignedat}}$

${\begin{aligned}{\sqrt {(q-q')^{2}-4p'}}=&2{,}22603,\\q+q'=&{\underline {0{,}83827}}.\\\mathrm {Somme} \ldots \ldots \ldots \ \ &{\underline {3{,}06430}}.\\\mathrm {Diff{\acute {e}}rence} \ldots \ldots \ \ &1{,}38776.\\\end{aligned}}$

Donc

$\varpi =0{,}69388,\quad \rho =-1{,}53215.$

Ensuite

${\begin{alignedat}{2}\log(q-q')=&9{,}6220793,\\\log {\sqrt {(q-q')^{2}-4p'}}=&{\underline {0{,}3475297}}.\\\mathrm {Diff{\acute {e}}rence} \ldots \ldots \ \ &9{,}2745496.\qquad &\mathrm {Nombre\ corr} .=0{,}18816.\end{alignedat}}$

${\begin{aligned}\log 0{,}81184=&9{,}9094704,\\\log 1{,}18816=&0{,}0748750,\\\log {\frac {p}{2}}=\log 430=&{\underline {2{,}6334685}}.\\\log \mathrm {F} =&2{,}5429389,\\\log \mathrm {G} =&2{,}7083435\,;\end{aligned}}$

et de là

${\begin{aligned}\log \mathrm {\frac {F}{A}} =&9{,}8887624=\log \sin a'',\\\log \mathrm {\frac {G}{B}} =&9{,}9367560=\log \sin b''.\end{aligned}}$

Donc

${\begin{array}{lcl}a''=50^{\circ }43',&{\text{ou}}&180^{\circ }-50^{\circ }43'=129^{\circ }17',\\b''=59^{\circ }50',&{\text{ou}}&180^{\circ }-59^{\circ }50'=120^{\circ }10'.\end{array}}$

À quoi on pourra aussi ajouter ou en retrancher des multiples quelconques de $360$ degrés.

Maintenant je remarque que, si l’on rapporte les deux termes moyens ci-dessus $-933$ et $860$ au terme moyen $772$ de l’Exemple II, on aura, en nommant ce dernier $\mathrm {T} ,$ et ces deux-là $\mathrm {T} ^{(\lambda )},\mathrm {T} ^{(\mu )},$ on aura, dis-je,

$\lambda =-7,\quad {\text{et}}\quad \mu =5,$

parce que dans la série proposée le terme $-933$ précède de sept places le terme $772,$ et que le terme $860$ le suit au contraire de cinq places ; d’où il s’ensuit que si les valeurs de $\alpha ,\beta$ et de $a,b,$ trouvées dans l’Exemple II, étaient tout à fait exactes, et que celles de $a',b',a'',b'',$ qu’on vient de trouver, le fussent aussi, on devrait avoir

${\begin{alignedat}{2}a-7\alpha =&a',&b-7\beta =&b',\\a+5\alpha =&a'',\qquad &b+5\beta =&b''\,;\end{alignedat}}$

or on a, après les substitutions,

${\begin{alignedat}{2}a-7\alpha =&-428^{\circ }15'&=&-2.360^{\circ }+&291^{\circ }45',\\b-7\beta =&-840^{\circ }&=&-3.360^{\circ }+&240^{\circ },\\a+5\alpha =&\quad \ 409^{\circ }33'&=&\qquad 360^{\circ }+&\ \ 49^{\circ }33',\\b+5\beta =&\quad \ 840^{\circ }12'&=&\ \quad 2.360^{\circ }+&120^{\circ }12'.\end{alignedat}}$

D’où l’on voit : 1^o que ces valeurs diffèrent un peu de celles de $a',b',$ $a'',b''\,;$ 2^o que les valeurs de ces dernières quantités doivent être exprimées ainsi

${\begin{aligned}a'\ =&-2.360^{\circ }+290^{\circ }58',\\b'\ =&-3.360^{\circ }+240^{\circ },\\a''=&\qquad 360^{\circ }+\ \ 50^{\circ }43',\\b''=&\ \quad 2.360^{\circ }+120^{\circ }10'.\end{aligned}}$

De sorte qu’en faisant ces substitutions dans les formules ci-dessus on aura, à cause de $\mu =5,\lambda =-7,$ et par conséquent $\mu -\lambda =12,$

${\begin{aligned}\alpha =&{\frac {a''-a'}{12}}={\frac {\ \ 839^{\circ }45'}{12}}=\ \,69^{\circ }59',\\\beta =&{\frac {b''-b'\ }{12}}={\frac {1680^{\circ }10'}{12}}=140^{\circ }\ \ 1'.\end{aligned}}$

Cette valeur de $\beta$ est la même que celle qu’on a trouvée directement dans l’Exemple II ; mais la valeur de $\alpha$ diffère de $10$ minutes de celle de cet Exemple ; or on verra, dans la Remarque suivante, que les valeurs de $\alpha$ et $\beta ,$ qu’on vient de trouver, ne diffèrent que de $1$ minute de la vérité, ce qui prouve l’utilité de la méthode précédente.

Ayant ainsi déterminé assez exactement les valeurs de $\alpha$ et $\beta ,$ on pourra s’en servir pour approcher davantage des véritables valeurs de $a$ et $b\,;$ car, puisqu’on a

$a-7\alpha =a',\quad b-7\beta =b'\,;\quad a+5\alpha =a'',\quad b+5\beta =b'',$

on aura

$2(a-\alpha )=a'+a'',\quad 2(b-\beta )=b'+b'',\quad \,;$

d’où

$a=\alpha +{\frac {a'+a''}{2}},\quad b=\beta +{\frac {b'+b''}{2}},$

c’est-à-dire,

${\begin{aligned}a=&\ \ 69^{\circ }59'-{\frac {18^{\circ }19'}{2}}=60^{\circ }50',\\b=&140^{\circ }\ \ 1'-\ \ \ {\frac {10'}{2}}\ \ \ =139^{\circ }56',\end{aligned}}$

et ces valeurs sont aussi plus conformes à la vérité que celles qu’on a trouvées dans l’Exemple II, comme on le verra ci-après.

Remarque II.

44. Pour pouvoir maintenant juger de l’exactitude des résultats précédents, il faut réduire en formule la Table de l’équation du temps d’où la série proposée est tirée.

Pour cela je remarque que l’équation du temps n’est autre chose que la différence entre la longitude moyenne du Soleil et son ascension droite, convertie en temps à raison de $15$ degrés par heure. Or soient $\varphi$ la longitude vraie du Soleil, $t$ la longitude moyenne, $x$ l’ascension droite vraie, $\alpha$ le lieu de l’apogée, $e$ l’excentricité du Soleil et $\omega$ l’angle de l’obliquité de l’écliptique ; on aura d’abord, comme l’on sait,

$t=\int {\frac {\left(1+e^{2}\right)^{\frac {3}{2}}d\varphi }{\left[1-e\cos(\varphi -\alpha )\right]^{2}}},$

et ensuite

$\operatorname {tang} x=\cos \omega \operatorname {tang} \varphi \,;$

ainsi il n’y aura qu’à déduire de ces formules les valeurs de $t$ et $x$ en $\varphi ,$ et la différence $x-t$ (laquelle ne contiendra plus que des cosinus d’angles multiples de $\varphi ,$), étant multipliée par l’arc égal au rayon, lequel est $57^{\circ }17'44'',$ et divisée ensuite par $15$ degrés, donnera la valeur de l’équation du temps en heures, pour la longitude du Soleil ; par conséquent, si l’on multiplie la valeur de $x-t$ par ${\frac {206264}{15}},$ dont le logarithme est

$4{,}1383338,$ on aura l’équation du temps en secondes de temps, comme nous l’avons employée dans les Exemples ci-dessus.

Je commence par chercher la valeur de $t,$ et, pour y parvenir d’une manière générale, je remarque que l’on a

${\frac {dy}{1-n\cos y}}+d\left({\frac {n\sin y}{1-n\cos y}}\right)={\frac {\left(1-n^{2}\right)dy}{(1-n\cos y)^{2}}}\,;$

d’où il s’ensuit que

$\int {\frac {\left(1-n^{2}\right)^{\frac {2}{3}}dy}{(1-n\cos y)^{2}}}=\int {\frac {{\sqrt {1-n^{2}}}dy}{1-n\cos y}}+{\frac {n{\sqrt {1-n^{2}}}\sin y}{1-n\cos y}}.$

Or on sait que la fraction ${\frac {\sqrt {1-n^{2}}}{1-n\cos y}}$ se réduit en une série de la forme

$1+2\mathrm {K} \cos y+2\mathrm {K} ^{2}\cos 2y+2\mathrm {K} ^{3}\cos 3y+\ldots ,$

en faisant, pour abréger,

$\mathrm {K} ={\frac {1-{\sqrt {1-n^{2}}}}{n}}\,;$

ainsi l’on aura

1^o En multipliant par $dy,$ et intégrant,

$\int {\frac {{\sqrt {1-n^{2}}}dy}{1-n\cos y}}=y+2\mathrm {K} \sin y+{\frac {2\mathrm {K} ^{2}}{2}}\sin 2y+{\frac {2\mathrm {K} ^{3}}{3}}\sin 3y+\ldots \,;$

2^o En multipliant par $n\sin y,$

${\frac {n{\sqrt {1-n^{2}}}\sin y}{1-n\cos y}}=n\left(1-\mathrm {K} ^{2}\right)\left(\sin y+\mathrm {K} \sin 2y+\mathrm {K} ^{2}\sin 3y+\ldots \right)\,;$

donc, réunissant ces deux séries, on aura

${\begin{aligned}y+\left[2\mathrm {K} +n\left(1-\mathrm {K} ^{2}\right)\right]\sin y&+\left[{\frac {2\mathrm {K} }{2}}+n\left(1-\mathrm {K} ^{2}\right)\right]\mathrm {K} \sin 2y\\&+\left[{\frac {2\mathrm {K} }{3}}+n\left(1-\mathrm {K} ^{2}\right)\right]\mathrm {K} ^{2}\sin 3y+\ldots \end{aligned}}$

pour la valeur de l’intégrale $\int {\frac {\left(1-n^{2}\right)^{\frac {3}{2}}dy}{(1-n\cos y)^{2}}}.$

Maintenant il est visible que l’on aura la valeur de la longitude moyenne $t,$ si l’on met dans la série précédente e à la place de $n,$ et $\varphi -\alpha$ à la place de $y,$ et qu’ensuite on y ajoute la constante $\alpha ,$ qui est la longitude de l’apogée ; on aura donc, en faisant

$\mathrm {K} ={\frac {1-{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}={\frac {e}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}},$

et observant que

$\mathrm {K} ^{2}={\frac {2\mathrm {K} }{e}}-1,$

on aura, dis-je, cette formule

$t=\varphi +2e\sin(\varphi -\alpha )+2\left(e-{\frac {\mathrm {K} }{2}}\right)\mathrm {K} \sin 2(\varphi -\alpha )+2\left(e-{\frac {2\mathrm {K} }{3}}\right)\mathrm {K} ^{2}\sin 3(\varphi -\alpha )+\ldots .$

Il ne reste donc plus qu’à trouver la valeur de l’angle $x$ exprimée par une formule semblable ; or l’équation

$\operatorname {tang} x=\cos \omega \operatorname {tang} \varphi$

donne celle-ci

$dx={\frac {\cos \omega d\operatorname {tang} \varphi }{1+\cos ^{2}\omega \operatorname {tang} ^{2}\varphi }}={\frac {\cos \omega d\varphi }{\cos ^{2}\varphi +\cos ^{2}\omega \sin ^{2}\varphi }}={\frac {2\cos \omega d\varphi }{1+\cos ^{2}\omega +\sin ^{2}\omega \cos 2\varphi }}\,;$

de sorte qu’en faisant, pour abréger,

$\mathrm {A} ={\frac {\cos \omega }{1+\cos ^{2}\omega }},\quad \mathrm {B} ={\frac {\sin ^{2}\omega }{1+\cos ^{2}\omega }},$

on aura

$dx={\frac {2\mathrm {A} d\varphi }{1+\mathrm {B} \cos 2\varphi }}.$

Cette formule se rapporte évidemment à celle que nous avons intégrée ci-dessus, et il est clair qu’en faisant

$\mathrm {B} =-n\quad {\text{et}}\quad y=2\varphi ,$

on aura sur-le-champ

$x={\frac {2\mathrm {A} }{\sqrt {1-n^{2}}}}\mathrm {\left(\varphi +K\sin 2\varphi +{\frac {K^{2}}{2}}\sin 4\varphi +{\frac {K^{3}}{3}}\sin 6\varphi +\ldots \right)} \,;$

mais, puisque

$n=-\mathrm {B} =-{\frac {\sin ^{2}\omega }{1+\cos ^{2}\omega }},$

on aura

${\sqrt {1-n^{2}}}={\frac {\sqrt {1+2\cos ^{2}\omega +\cos ^{4}\omega -\sin ^{4}\omega }}{1+\cos ^{2}\omega }}={\frac {2\cos \omega }{1+\cos ^{2}\omega }}\,;$

donc

${\frac {\mathrm {A} }{\sqrt {1-n^{2}}}}={\frac {1}{2}}\,;$

de plus on aura

$\mathrm {K} ={\frac {1-{\sqrt {1-n^{2}}}}{n}}=-{\frac {(1-\cos \omega )^{2}}{\sin ^{2}\omega }}=-{\frac {1-\cos \omega }{1+\cos \omega }}=-\operatorname {tang} {\frac {\omega }{2}}.$

Donc enfin on aura

$x=\varphi -\left(\operatorname {tang} {\frac {\omega }{2}}\right)^{2}\sin 2\varphi +{\frac {1}{2}}\left(\operatorname {tang} {\frac {\omega }{2}}\right)^{4}\sin 4\varphi -{\frac {1}{3}}\left(\operatorname {tang} {\frac {\omega }{2}}\right)^{6}\sin 6\varphi +\ldots .$

Donc l’équation du temps sera représentée par la différence de ces deux séries, où j’ai fait, pour abréger, $i={\frac {206264}{15}},$ savoir

${\begin{aligned}&-2ie\sin(\varphi -\alpha )-i\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\omega }{2}}\sin 2\varphi \\&-2i\left(e-{\frac {\mathrm {K} }{2}}\ \right)\mathrm {K} \ \ \sin 2(\varphi -\alpha )+{\frac {i}{2}}\operatorname {tang} ^{4}{\frac {\omega }{2}}\sin 4\varphi \\&-2i\left(e-{\frac {2\mathrm {K} }{3}}\right)\mathrm {K} ^{2}\sin 3(\varphi -\alpha )-{\frac {i}{3}}\operatorname {tang} ^{6}{\frac {\omega }{2}}\sin 6\varphi +\ldots ,\end{aligned}}$

et il ne s’agira plus que de substituer dans cette formule les valeurs numériques des quantités $i,e$ et des angles $\alpha$ et $\omega .$

Or je trouve, par la Table de l’équation du centre du Soleil, de Mayer, que l’excentricité du Soleil est

$e=0{,}0168022,$

dont le logarithme est

$8{,}2253662\,;$

ajoutant donc à ce logarithme celui de $2i,$ qui est

$4,4393638,$

on aura le logarithme de $2ie,$ savoir

$2{,}6647300,$

auquel répond le nombre $462.$

Ensuite on a

$\omega =23^{\circ }28'15'',$

et par conséquent

${\frac {\omega }{2}}=11^{\circ }44'7''\,;$

d’où

$\log \operatorname {tang} {\frac {\omega }{2}}=9{,}3176040,\quad {\text{et}}\quad \log \operatorname {tang} ^{2}{\frac {\omega }{2}}=8{,}6350080,$

à quoi ajoutant le logarithme

$\log i=4{,}1383338,$

on aura

$2{,}7733418,$

auquel répond le nombre $593.$

Ainsi les deux premiers termes de notre formule seront

$-462\sin(\varphi -\alpha )-593\sin 2\varphi ,$

où $\alpha ,$ longitude de l’apogée, est $=3^{\mathrm {s} }9^{\circ }=99^{\circ },$ et $\varphi$ est la longitude vraie du Soleil.

Or il est facile de se convaincre que ces deux termes répondent précisément à ceux que nous avons trouvés à posteriori d’après nos calculs. En effet, ayant pris pour $\mathrm {T} ,$ dans les Exemples ci-dessus, le terme de la Table de l’équation du temps qui répond à la longitude $11^{\mathrm {s} }10^{\circ },$ et ayant mis $70$ degrés de distance entre un terme et l’autre, il est clair que l’on aura, pour un terme quelconque dont le quantième est $m,$

$\varphi =11^{\mathrm {s} }10^{\circ }+m.70^{\circ }\,;$

ainsi l’on aura

$\varphi -\alpha =8^{\mathrm {s} }1^{\circ }+m.70^{\circ }\,;$

donc

$\sin(\varphi -\alpha )=-\sin(61^{\circ }+m.70^{\circ }),$

et

$2\varphi =22^{s}20^{\circ }+m.140^{\circ },$

d’où

$\sin 2\varphi =-\sin(140^{\circ }+m.140^{\circ })\,;$

de sorte qu’on aura la formule

$462\sin(61^{\circ }+m.70^{\circ })+593\sin(140^{\circ }+m.140^{\circ }).$

Or la formule trouvée à posteriori est

$\mathrm {A} \sin(a+m\alpha )+\mathrm {B} \sin(b+m\beta ),$

c’est-à-dire, à cause de $\mathrm {A} =451,\ \mathrm {B} =591$ (n^o 42), et $\alpha =69^{\circ }59',$ $\beta =140^{\circ }1',\ a=60^{\circ }50',\ b=139^{\circ }56'$ (n^o 44),

$451\sin(60^{\circ }50'+m.69^{\circ }59')+591\sin(130^{\circ }56'+m.140^{\circ }1'),$

laquelle s’accorde, comme l’on voit, à très-peu près avec la précédente.

On voit aussi par là que les vraies valeurs de $\mathrm {A,B} \,;$ $a,b\,;$ $\alpha$ et $\beta$ sont

$\mathrm {A} =462,\quad \mathrm {B} =593\,;\quad a=61^{\circ },\quad b=140^{\circ }\,;\quad \alpha =70^{\circ },\quad \beta =140^{\circ },$

d’où l’on peut juger combien les résultats de nos méthodes approchent de la vérité.

À l’égard des autres termes de la formule ci-dessus, il est facile de se convaincre d’abord qu’ils seront nécessairement très-petits vis-à-vis des deux premiers, puisque ces termes décroissent dans des raisons moindres que $1:e$ et $1:\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\omega }{2}}.$ En effet, si l’on suppose

$e=\sin \varepsilon ,$

on aura

$\mathrm {K} ={\frac {\sin \varepsilon }{1+\cos \varepsilon }}=\operatorname {tang} {\frac {\varepsilon }{2}}\,;$

or, ayant

$\log e=8{,}2253662,$

on trouvera

$\varepsilon =56'46'',$

d’où

$\log \mathrm {K} =\log \operatorname {tang} 28'23''=7{,}916994,$

et de là on aura pour le coefficient de $\sin 2(\varphi -\alpha )$ le nombre $2{,}9\,;$ ensuite on trouvera pour celui du terme $\sin 4\varphi$ le nombre $12{,}8\,;$ d’où l’on voit que ce dernier terme est le plus considérable après les deux premiers, mais qu’en même temps il est extrêmement petit à leur égard, de sorte qu’on sera en droit de négliger tous les suivants ; c’est pourquoi l’équation du temps pourra être représentée avec toute l’exactitude requise par cette formule

$-462''\sin(\varphi -\alpha )-593''\sin 2\varphi -3''\sin 2(\varphi -\alpha )+13''\sin 4\varphi .$

Remarque III.

45. Puisque dans les Exemples ci-dessus, on n’a poussé le calcul que jusqu’à l’a seconde division, et qu’on a ensuite négligé le reste de cette division comme nul, quoiqu’il ne fût que très-petit, il n’est pas surprenant que les valeurs trouvées par ce moyen diffèrent un peu des véritables en effet on voit, par la formule précédente, qu’outre les deux équations proportionnelles à $\sin(\varphi -\alpha )$ et à $\sin 2\varphi ,$ qui sont les plus considérables, il y en a encore deux qui montent à quelques secondes, et dont l’une est proportionnelle à $\sin 4\varphi$ et l’autre à $\sin 2(\varphi -\alpha )\,;$ il est vrai que cette dernière, outre qu’elle est très-petite, peut être combinée avec la seconde, de manière qu’il n’en résulte qu’une seule de la forme $-\mathrm {P} \sin(p+2\varphi )\,;$ car, puisque

$\sin 2(\varphi -\alpha )=\sin 2\varphi \cos 2\alpha -\cos 2\varphi \sin 2\alpha ,$

il n’y aura qu’à faire pour cela

$\mathrm {P} \cos p=593''+3''\cos 2\alpha ,\quad \mathrm {P} \sin p=-3''\sin 2\alpha ,$

ce qui donne

$\operatorname {tang} p=-{\frac {3\sin 2\alpha }{593+3\cos 2\alpha }}$

et

$\mathrm {P} ={\sqrt {(593)^{2}+2.593.3\cos 2\alpha +3^{2}}}\,;$

et en faisant le calcul on trouve

$p=5'24''\quad {\text{et}}\quad \mathrm {P} =590\,;$

de sorte qu’au lieu du terme (Remarque précédente)

$593\sin(140^{\circ }+m.140^{\circ })$

il faudra mettre celui-ci

$590\sin(140^{\circ }5'+m.140^{\circ }),$

ce qui altère un peu les valeurs de $\mathrm {B}$ et de $b,$ et les change en celles-ci

$\mathrm {B} =590,\quad {\text{et}}\quad b=140^{\circ }5'.$

Il ne restera donc ainsi que l’équation $13''\sin 4\varphi \,:$ et il est clair que, pour trouver cette équation à posteriori, il aurait fallu continuer l’opération et en venir à une troisième division ; on aurait pu par là trouver les trois équations à la fois, avec toute l’exactitude requise ; mais il y a ici une observation importante à faire.

Lorsque les termes donnés d’une série récurrente sont exacts et rigoureux, on est assuré de trouver toujours par nos méthodes la vraie loi générale de ces termes ; c’est de quoi on a vu plusieurs exemples dans tout le cours de ce Mémoire ; mais il n’en est pas toujours de même lorsque les valeurs des termes donnés ne sont qu’approchées ; car, dans ce cas, il est clair qu’il doit y avoir des limites au delà desquelles l’opération ne saurait être continuée sans craindre de s’égarer ; et voici comment on pourra déterminer ces limites.

Supposons, pour plus de généralité, que les termes de la série sur laquelle il s’agit d’opérer soient composés d’entiers et de décimales, et que leur exactitude s’étende jusqu’à la $\lambda$^ième décimale inclusivement ; supposons de plus que le premier terme $p$ de la série, par lequel on divise préalablement tous les autres (n^o 40) pour avoir la série $s,$ dont le premier terme soit l’unité, supposons, dis-je, que ce terme $p$ ait une valeur qui soit renfermée entre $10^{\varpi }$ et $10^{\varpi +1},$ ce qu’on peut connaître d’abord par la place de son premier chiffre significatif ; il est clair qu’après la division par $p$ les termes de la série $s$ ne seront exacts que jusqu’à la place décimale $(\lambda +\varpi )$^ième inclusivement. Ainsi tant le quotient que le reste de la première division ne seront exacts que jusqu’à cette limite.

Soit maintenant le coefficient $p'$ du premier terme du reste dont nous parlons, renfermé entre $10^{\varpi '}$ et $10^{\varpi '+1},$ et comme ce coefficient doit servir de diviseur à tous les autres, il s’ensuit qu’après la division les termes de la nouvelle série $s',$ sur laquelle on devra opérer, seront exacts jusqu’à la $(\lambda +\varpi +\varpi ')$^ième place décimale, mais non pas au delà, de sorte que le second quotient, ainsi que le second reste, n’auront pas non plus une exactitude plus grande ; et ainsi de suite.

De là il sera facile de juger, dans chaque cas particulier, jusqu’où l’on peut continuer l’opération avec sûreté ; car il est clair qu’il faudra nécessairement s’arrêter dès qu’on sera parvenu à un reste dont les termes ne contiendront plus que des chiffres douteux.

Il est clair que les termes de la Table de l’équation du temps ne sont qu’approchés, puisqu’ils sont exprimés en nombres ronds de secondes ; ainsi les séries que nous avons examinées dans les Exemples précédents sont dans le cas dont nous venons de parler. Considérons le cas de l’Exemple II, et l’on aura d’abord $\lambda =0\,;$ ensuite, dans la première série, on a (à cause de $p=772$) $\varpi =2,$ d’où il s’ensuit que le premier reste n’est exact que jusqu’à la seconde place décimale inclusivement ; de plus (à cause de $p'=-1{,}23\ldots$) on a $\varpi '=0\,;$ de sorte que le second reste n’aura aussi que le même degré d’exactitude ; mais la plupart des termes de ce second reste ne contiennent de chiffres significatifs que dans la troisième place ; donc ce reste doit être regardé comme douteux, et par conséquent doit être rejeté. On appliquera le même raisonnement aux autres cas, et l’on en conclura que l’on ne doit pas aller au delà de la seconde division, de crainte que l’opération ne donne faux.

Remarque IV.

46. L’inconvénient que nous venons d’exposer empêche donc souvent qu’on ne puisse trouver directement la loi exacte d’une série proposée c’est pourquoi il est très-important de chercher des moyens d’y remédier. Un des meilleurs est de tâcher de simplifier la série, en la dégageant de la partie dont la loi est déjà à très-peu près connue, ainsi qu’on l’a déjà fait voir dans la Remarque du n^o  20.

Ce moyen réussira d’autant mieux que, comme le dénominateur de la série ne dépend que des angles $\alpha ,\beta ,\ldots ,$ il suffira de connaître avec précision quelques-uns de ces angles pour pouvoir détruire dans la série la partie qui dépend de ces mêmes angles ; or nous avons donné, dans la Remarque I, une méthode pour approcher autant que l’on veut de la vraie valeur de ces angles ; ainsi l’on pourra toujours employer avec succès la transformation dont nous venons de parler.

Lorsqu’on emploie la première ou la seconde solution des n^os 35, 36, alors il n’y a qu’à faire usage de la méthode du n^o  20, sans aucune préparation mais il n’en est pas de même quand on emploie la troisième solution du n^o  37, ou (ce qui est la même chose) les méthodes du n^o  40, ainsi que nous l’avons fait dans les Exemples ci-dessus. Dans ce cas, il faudra modiffér la règle du n^o  20, d’après ce que nous avons démontré dans le n^o  34.

Pour cela on remarquera que les séries des sommes ou des différences, dont il s’agit dans les deux méthodes du n^o  40, ont des fractions génératrices dont le dénominateur commun est un polynôme réciproque formé du produit des trinômes

$1-2x\cos \alpha +x^{2},\quad 1-2x\cos \beta +x^{2},\quad 1-2x\cos \gamma +x^{2},\ldots ,$

et dont les numérateurs sont aussi des polynômes réciproques d’un degré moindre de deux unités, mais, qui sont en même temps multipliés par $1-x,$ s’il s’agit de la série des sommes de la première méthode ; par $1+x,$ s’il s’agit de la série des différences de la même méthode ; et par $1-x^{2},$ s’il s’agit de la série des sommes de la seconde méthode. Donc, si l’on suppose qu’on connaisse déjà assez exactement la valeur de quelques-uns des angles $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ et que le nombre de ces angles connus soit $\rho ,$ il n’y aura qu’à former le produit des trinômes correspondants

$1-2x\cos \alpha +x^{2},\quad 1-2x\cos \beta +x^{2},\ldots ,$

que j’appellerai, pour plus de simplicité, $\Pi ,$ et l’on multipliera par ce polynôme connu $\Pi$ la série des sommes ou des différences qu’on se propose d’employer ; ce qui donnera, après avoir ordonné tous les termes par rapport aux puissances de $x,$ une nouvelle série, qu’on partagera en deux parties, l’une que je désigne par $\mathrm {R}$ et qui contiendra les $\rho$ premiers termes ; l’autre, que je désignerai par $x^{\rho }\mathrm {S}$ et qui contiendra les termes suivants, lesquels seront tous divisibles par $x^{\rho },$ en sorte que, après cette division, on aura la série $\mathrm {S} .$

On formera maintenant le polynôme contraire au polynôme $\mathrm {R}$ (n^o 23), et le dénotant par $(\mathrm {R} )$ on distinguera quatre cas, suivant la forme de la série que l’on aura employée.

1^o Si l’on fait usage-de la série des sommes de la première méthode, on ajoutera le polynôme $(\mathrm {R} )$ à la série $\mathrm {S} ,$ et la série résultante $\mathrm {S+(R)}$ sera de la même nature que là série primitive des sommes ; mais elle en sera plus simple, puisqu’elle sera débarrassée de la partie qui dépendrait des angles connus, $\alpha ,\beta ,\ldots .$ On traitera donc cette nouvelle série suivant les règles prescrites pour la série des sommes de la première méthode, et l’on en déduira la fraction en $y,$ ${\frac {p\psi ^{(n-1)}}{\psi ^{(n)}}},$ que nous désignerons ici par $\mathrm {\frac {V}{Y}} .$ Ayant trouvé cette fraction en $y,$ pour avoir celle de la série primitive, on prendra la différence $\mathrm {R-(R)} x^{\rho }$ des deux polynômes $\mathrm {R}$ et $(\mathrm {R} )x^{\rho },$ laquelle sera nécessairement divisible par $1-x$ (n^o 23, 5^o), et après la division on aura un polynôme réciproque du degré $\rho -2,$ que nous désignerons par $\mathrm {P} ,$ en sorte que

$\mathrm {P} (1-x)=\mathrm {R-(R)} x^{\rho }\,;$

on considérera maintenant la fraction ${\frac {\mathrm {P} }{\Pi }},$ dont le numérateur est un polynôme réciproque du degré $2\rho -2$ et dont le dénominateur en est un du degré $2\rho ,$ et, l’ayant multiplié par $1+x^{2},$ on le transformera, par la substitution de $y$ à la place de ${\frac {x}{1+x^{2}}},$ en une simple fraction en $y,$ ayant pour numérateur un polynôme $\mathrm {Q}$ du degré $\rho -1$ et pour dénominateur un polynôme $\Psi$ du degré $\rho$ (n^o 27). Pour faire cette transformation avec facilité, il n’y aura qu’à employer les substitutions enseignées dans le n^o 6, changer ensuite $z$ en ${\frac {1}{y}},$ et multiplier le bas et le haut par $y^{\rho }\,;$ ou bien, ce qui sera encore plus simple, on fera d’abord

$\Psi =(1-2y\cos \alpha )(1-2y\cos \beta )\ldots \,;$

ensuite on retranchera du polynôme $\mathrm {P}$ les $\rho -1$ premiers termes, et l’on mettra dans les $\rho$ derniers, à la place de $x^{\rho },x^{\rho +1},x^{\rho +2},\ldots ,x^{\rho +\mu },$ les quantités

$y^{\rho },\ \ y^{\rho -1}\left(1-2y^{2}\right),\ \ y^{\rho -2}\left(1-3y^{2}\right),\ldots ,$

$y^{\rho -\mu }\left[1-\mu y^{2}+{\frac {\mu (\mu -3)}{2}}y^{4}-{\frac {\mu (\mu -4)(\mu -5)}{2.3}}y^{6}+\ldots \right],$

et l’on aura le polynôme $\mathrm {Q} \,;$ en sorte que ${\frac {\mathrm {Q} }{\Psi }}$ sera la fraction en $y$ qu’on cherche.

Il ne restera plus maintenant qu’à ajouter cette fraction ${\frac {\mathrm {Q} }{\Psi }}$ à la fraction $\mathrm {\frac {V}{Y}}$ divisée par $\Psi ,$ et la somme, c’est-à-dire, la fraction $\mathrm {\frac {Q\Psi +V}{\Psi Y}}$ sera la véritable fraction en $y,$ qui répond à la série des sommes, et qu’on aurait dû trouver directement en faisant toutes les opérations requises. On traitera donc cette fraction de la manière prescrite à l’égard de la fraction ${\frac {p\psi ^{(n-1)}}{\psi ^{(n)}}},$ dans la première méthode du n^o 40.

2^o Lorsqu’on fera usage de la série des différences de la méthode, il n’y aura d’autres changements à faire aux procédés qu’on vient d’enseigner, sinon qu’à la place de la somme $\mathrm {S+(R)}$ on prendra la différence $\mathrm {S-(R)}$ pour avoir une série de la même nature que la primitive, et susceptible des mêmes opérations ; et qu’ensuite à la place de la différence $\mathrm {R-(R)} x^{\rho }$ il faudra prendre la somme $\mathrm {R+(R)} x^{\rho },$ qu’on divisera par $1+x,$ pour avoir le polynôme réciproque $\mathrm {P} .$

3^o Dans le cas où l’on emploie la nouvelle méthode et où l’on veut opérer sur la série des sommes, on suivra encore les mêmes procédés, si ce n’est qu’on prendra $\mathrm {S+(R)} x$ pour la série qui doit être de même nature que la primitive et qui doit fournir la fraction en $y,$ $\mathrm {\frac {V}{Y}} \,;$ et qu’ensuite, pour avoir le polynôme réciproque $\mathrm {P} ,$ on prendra le polynôme $\mathrm {R-(R)} x^{\rho +1},$ qu’on divisera par $1-x^{2}.$

4^o Enfin, lorsqu’il s’agira de la série des différences de la même méthode, il faudra prendre pour $(\mathrm {R} )$ le polynôme réciproque de $\mathrm {R}$ diminué de son dernier terme, c’est-à-dire, le polynôme réciproque de celui qui est formé par les $\rho -2$ premiers termes de la série après qu’elle aura été multipliée par $\Pi \,;$ ensuite on procédera comme ci-dessus (2^o), avec cette seule différence qu’il faudra prendre immédiatement $\mathrm {P+(R)} x^{\rho }$ pour le polynôme $\mathrm {P} .$

Nous ne nous étendrons pas davantage sur cette matière, et nous ne chercherons pas non plus à l’éclaircir par des Exemples, parce que cela nous mènerait trop loin, et que d’ailleurs elle ne doit plus être sujette à aucune difficulté, après tout ce que nous avons démontré dans le cours de ce Mémoire.

Remarque V.

47. Au reste, quoique les méthodes exposées ci-dessus soient principalement destinées pour les séries composées de sinus et de cosinus d’angles, elles peuvent néanmoins être appliquées, en général, à toutes sortes de séries récurrentes ; et il suffit pour cela de remarquer que, lorsque parmi les racines, $\varpi ,\rho ,\sigma ,\ldots$ qu’on a supposées égales à $2\cos \alpha ,$ $2\cos \beta ,2\cos \gamma ,\ldots$ il s’en trouvera d’égales ou de plus grandes que l’unité ou d’imaginaires, alors la série ne contiendra plus simplement des sinus et cosinus, mais elle contiendra une partie algébrique ou des exponentielles réelles ; et il sera facile de résoudre ces différents cas par des méthodes connues.

Enfin je dois remarquer, en finissant ce Mémoire, que les différentes méthodes que nous y avons données peuvent aussi être d’un grand usage dans la Physique, lorsqu’il s’agit de découvrir la loi des phénomènes d’après les résultats de plusieurs expériences ; et, en général, elles pourront servir pour résoudre un grand nombre de questions dont on ne pourrait venir à bout qu’en tâtonnant, et d’une manière très-imparfaite, sans le secours de ces méthodes.

1. Œuvres de Lagrange, t. III, p. 113.
2. Œuvres de Lagrange, t. II, p. 539 et 581.