Mémoires extraits des recueils de l’Académie des sciences de Paris et de l’Institut de France/Recherches sur la Théorie des perturbations que les comètes peuvent éprouver par l’action des planètes

Joseph-Louis Lagrange

Recherches sur la Théorie des perturbations que les comètes peuvent éprouver par l’action des planètes

Mémoires extraits des recueils de l’Académie des sciences de Paris et de l’Institut de France, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome VI (p. 403-503).

RECHERCHES
SUR LA
THÉORIE DES PERTURBATIONS
QUE LES COMÈTES PEUVENT ÉPROUVER PAR L’ACTION DES PLANÈTES.

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(Mémoires des Savants étrangers, t. X, 1785. Prix de l’Académie pour l’année 1778.)

Ces Recherches sont divisées en quatre Sections, que je vais parcourir sommairement.

Dans la première Section, je donne d’abord les équations générales du mouvement d’une comète autour du Soleil, en ayant égard aux perturbations qu’elle peut éprouver par l’action d’une ou de plusieurs planètes, et en rapportant les lieux tant de la comète que des planètes à des coordonnées rectangles. Je simplifie ensuite ces équations en partageant chacune d’elles en deux, dont l’une appartienne à l’orbite non altérée et dont l’autre renferme l’effet des perturbations, et je fais voir qu’en négligeant, à l’exemple des grands Géomètres qui ont déjà traité la Théorie des comètes, les carrés et les produits des forces perturbatrices, on peut considérer à part l’action de chaque planète, et prendre la somme des effets de leurs différentes actions pour l’effet total de leurs actions réunies. Enfin je montre comment on peut satisfaire aux équations différentielles des perturbations, dans le cas où la comète serait à une distance du Soleil infiniment grande par rapport à la distance de la planète au Soleil d’où résulte naturellement une transformation de ces mêmes équations, laquelle en facilite beaucoup l’intégration relativement à la partie supérieure de l’orbite de la comète. Cette transformation tient lieu des méthodes synthétiques proposées jusqu’ici pour simplifier le calcul des perturbations dans les régions supérieures de l’orbite, et elle a en même temps l’avantage de conserver l’uniformité dans la marche du calcul.

La deuxième Section est destinée uniquement à l’intégration des équations différentielles de l’orbite non altérée, et contient une solution complète du fameux Problème que Newton a résolu le premier, et une foule d’Auteurs après lui. Je me flatte que mon analyse pourra paraître encore digne de l’attention des Géomètres par sa simplicité et par sa généralité elle est d’ailleurs nécessaire pour les calculs de la Section suivante, et fournit différentes formules qui sont d’un grand usage dans tout le cours de cet Ouvrage.

Dans la troisième Section, je m’occupe de l’intégration des équations différentielles des perturbations. Je fais voir comment leurs intégrales se déduisent naturellement de celles des équations de l’orbite non altérée, en y faisant varier les constantes arbitraires qui représentent les éléments de l’orbite ce qui conduit directement à exprimer l’effet des perturbations par la variation des éléments de l’orbite considérée comme elliptique et ces variations se trouvent déterminées par des formules différentielles assez simples, dont chacune ne demande qu’une seule intégration. Je fais ensuite usage des transformations proposées dans la première Section pour les parties supérieures de l’orbite ; les formules différentielles dont il s’agit deviennent par là composées d’une partie absolument intégrable et d’une partie non intégrable, mais qui est toujours d’autant plus petite que la comète est plus éloignée du Soleil, en sorte qu’elle devient insensible lorsque la comète est à une très-grande distance du Soleil. Je termine cette Section par les formules générales qui expriment l’altération de la durée des révolutions anomalistiques et périodiques de la comète.

La quatrième Section contient l’application des méthodes et des formules données dans les Sections précédentes aux perturbations des comètes, et en particulier à celles de la comète de 1532 et de 1661. Toute la difficulté de cette application consiste dans l’intégration des formules différentielles qui déterminent les variations des éléments de l’orbite. Après avoir mis ces formules sous une forme plus simple et plus commode pour le calcul, je montre les obstacles qui s’opposent à leur intégration générale, et qui obligent d’avoir recours aux quadratures des courbes mécaniques. Comme la méthode de ces quadratures est assez connue par les Ouvrages de Cotes et de Stirling, je n’entre là-dessus dans aucun détail ; mais je remarque qu’il y a des cas où l’usage de cette méthode cesse d’être légitime c’est lorsque la distance entre la comète et la planète perturbatrice est fort petite et approche de son minimum. Je donne pour ces sortes de cas une méthode particulière, qui réduit l’intégration aux logarithmes ou aux arcs de cercles, et ne peut jamais être sujette à aucun inconvénient. Tout ce que nous venons de dire ne regarde que la partie inférieure de l’orbite de la comète ; car, pour la partie supérieure de cette orbite, dans laquelle la distance de la comète au Soleil sera beaucoup plus grande que la distance de la planète au Soleil, je fais voir que la partie des formules différentielles qu’il reste à enregistrer se partage de nouveau en deux parties l’une indépendante du lieu de la planète, et qui est absolument intégrable ; l’autre qui contient les sinus ou cosinus de l’angle du moyen mouvement de la planète, et qui n’est intégrable par aucune méthode connue, mais dont je démontre que l’intégrale est nécessairement beaucoup plus petite que celle de la première partie, en sorte qu’on peut la négliger entièrement ; et, au cas qu’on voulût pousser l’exactitude plus loin, je donne un moyen d’approcher de plus en plus de la vraie valeur de cette intégrale. D’où il s’ensuit que, dans les régions supérieures de l’orbite des comètes, on peut déterminer leurs perturbations par des formules analytiques, qui ne demandent que des substitutions numériques pour donner les résultats cherchés, comme dans le cas des planètes. Je considère enfin la comète des années 1532 et 1661, que les Astronomes attendent vers 1789 ou 1790, et je déduis des éléments de cette comète toutes les données nécessaires pour le calcul de ses perturbations. Comme, dans le Programme de 1778, on n’exige pas que les concurrents donnent les résultats numériques de ce calcul, je m’abstiens d’entrer dans aucun détail à cet égard ; mais je me flatte qu’il n’y aura point de calculateur tant soit peu intelligent qui ne soit en état d’appliquer à la comète dont il s’agit la Théorie exposée dans cet Ouvrage.

Tels sont les principaux objets du travail que je soumets au jugement de l’Académie ; j’en serai suffisamment récompensé si cette illustre Compagnie daigne l’honorer de quelque attention.

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section première.

équations différentielles du mouvement d’une comète autour du soleil, en ayant égard aux perturbations qu’elle peut éprouver par l’action des planètes.

1. Je prends la masse du Soleil pour l’unité, et je nomme $m$ la masse de la comète, $\mu ,\mu ',\ldots$ les masses des planètes perturbatrices. Il est clair que ces quantités $m,\mu ,\mu ',\ldots$ doivent être des fractions très-petites, puisqu’elles expriment les rapports des masses de la comète et des planètes à la masse du Soleil ; en effet on sait que Jupiter, la plus grosse de toutes les planètes, a environ mille fois moins de masse que le Soleil ; et quant aux masses des comètes, quoiqu’elles soient inconnues, on ne peut guère les supposer plus grandes que celle de Jupiter, autrement il pourrait résulter de leur attraction des dérangements sensibles dans les orbites des planètes ; ce que les observations n’ont pas encore fait connaître, et ce qu’on ne suppose pas d’ailleurs qui arrive dans le Problème des comètes, tel qu’on l’a envisagé jusqu’à présent.

Nous regarderons donc dans la suite et nous traiterons les quantités $m,\mu ,\mu ',\ldots$ comme des quantités très-petites, dont il sera permis de négliger les puissances et les produits de deux ou de plusieurs dimensions. Cette supposition est conforme à ce que les Géomètres ont pratiqué jusqu’ici dans la Théorie des planètes principales et dans celle des comètes, et une plus grande exactitude ne serait peut-être d’aucune utilité.

2. Je rapporte les orbites que la comète et les planètes décrivent autour du Soleil à des coordonnées rectangles, prises du centre de cet astre, et parallèles à trois droites fixes et perpendiculaires entre elles.

Et je nomme ces coordonnées $x,y,z$ pour l’orbite de la comète ; $\xi ,\eta ,\zeta$ pour l’orbite de la planète $\mu \,;$ $\xi ',\eta ',\zeta '$ pour l’orbite de la planète $\mu ',$ etc.

Je nomme de plus $r$ la distance de la comète au Soleil, ou le rayon vecteur de son orbite ; $\rho$ le rayon vecteur de l’orbite de la planète $\mu \,;$ $\rho '$ le rayon vecteur de l’orbite de la planète $\mu ',etc.$

Enfin je désigne par $\mathrm {R}$ la distance de la planète $\mu$ à la comète ; par $\mathrm {R} '$ la distance de la planète $\mu '$ à la comète, etc.

Il est clair qu’on aura

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\quad \rho ={\sqrt {\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}}},\quad \rho '={\sqrt {\xi '^{2}+\eta '^{2}+\zeta '^{2}}},\ldots ,$

$\mathrm {R} ={\sqrt {(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}}},\quad \mathrm {R} '={\sqrt {(x-\xi ')^{2}+(y-\eta ')^{2}+(z-\zeta ')^{2}}},\ldots .$

3. Cela posé, si l’on décompose, suivant les directions des trois coordonnées rectangles $x,y,z,$ toutes les forces qui agissent sur la comète pour lui faire décrire son orbite autour du Soleil, savoir les attractions ${\frac {1}{r^{2}}},{\frac {\mu }{\mathrm {R} ^{2}}},{\frac {\mu '}{\mathrm {R} '^{2}}},\ldots$ exercées par le Soleil et par les planètes sur la comète, et les attractions ${\frac {m}{r^{2}}},{\frac {\mu }{\rho ^{2}}},{\frac {\mu '}{\rho '^{2}}},\ldots$ exercées par la comète et par les planètes sur le Soleil, et qui doivent être transportées à la comète en sens contraire et qu’on égale la somme de toutes les forces qui agissent suivant la ligne $x$ et qui tendent à diminuer cette ligne à $-{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},$ la somme de toutes les forces qui agissent suivant $y$ à $-{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},$ et la somme de toutes les forces qui agissent suivant $z$ à $-{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}},$ $dt$ étant les éléments du temps supposés constants, on aura ces trois équations

${\begin{aligned}&{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {(1+m)x}{r^{3}}}+\mu \left({\frac {x-\xi }{\mathrm {R} ^{3}}}+{\frac {\xi }{\rho ^{3}}}\right)+\mu '\left({\frac {x-\xi '}{\mathrm {R} '^{3}}}+{\frac {\xi '}{\rho '^{3}}}\right)+\ldots =0,\\&{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\,+{\frac {(1+m)y}{r^{3}}}+\mu \left({\frac {y-\eta }{\mathrm {R} ^{3}}}+{\frac {\eta }{\rho ^{3}}}\right)+\mu '\left({\frac {y-\eta '}{\mathrm {R} '^{3}}}+{\frac {\eta '}{\rho '^{3}}}\right)+\ldots =0,\\&{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\,+{\frac {(1+m)z}{r^{3}}}+\mu \left({\frac {z-\zeta }{\mathrm {R} ^{3}}}+{\frac {\zeta }{\rho ^{3}}}\right)\,+\mu '\left({\frac {z-\zeta '}{\mathrm {R} '^{3}}}\,+{\frac {\zeta '}{\rho '^{3}}}\right)+\ldots =0,\end{aligned}}$

lesquelles, d’après les principes connus de la Dynamique, serviront à déterminer le mouvement de la comète par rapport au Soleil regardé comme immobile.

4. On aura des équations semblables pour le mouvement de la planète $\mu$ autour du Soleil, en tant qu’elle est dérangée par l’action de la comète et des autres planètes ; pour cela, il n’y aura qu’à changer, dans les équations précédentes, les quantités $m,x,y,z,r,$ appartenant à l’orbite de la comète, dans les quantités analogues $\mu ,\xi ,\eta ,\zeta ,\rho ,$ appartenant à l’orbite de la planète, et vice versâ, celles-ci en celles-là.

Mais il faut considérer que pour notre objet il n’est pas nécessaire de tenir compte des termes affectés des quantités très-petites $m,\mu ,\mu ',\ldots$ dans les équations de la planète, parce que les quantités $\xi ,\eta ,\zeta$ dépendant de ces équations ne se trouvent dans les équations de la comète que dans des termes déjà affectés de la quantité très-petite $\mu .$

On peut donc réduire les équations de la planète $\mu$ aux deux premiers termes, savoir

${\begin{aligned}&{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+{\frac {(1+\mu )\xi }{\rho ^{3}}}=0,\\&{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}+{\frac {(1+\mu )\eta }{\rho ^{3}}}=0,\\&{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}+{\frac {(1+\mu )\zeta }{\rho ^{3}}}=0\,;\end{aligned}}$

et l’on réduira, par des raisons semblables, les équations du mouvement

de la planète $\mu '$ à celles-ci

${\begin{aligned}&{\frac {d^{2}\xi '}{dt^{2}}}+{\frac {(1+\mu ')\xi '}{\rho '^{3}}}=0,\\&{\frac {d^{2}\eta '}{dt^{2}}}+{\frac {(1+\mu ')\eta '}{\rho '^{3}}}=0,\\&{\frac {d^{2}\zeta '}{dt^{2}}}+{\frac {(1+\mu ')\zeta '}{\rho '^{3}}}=0\,;\end{aligned}}$

et ainsi pour les autres planètes perturbatrices.

Ces réductions sont fondées, comme l’on voit, sur la supposition que, dans le calcul des perturbations des comètes, on néglige les perturbations des planètes perturbatrices. Si cette supposition n’est pas rigoureusement exacte, elle est du moins permise dans la première approximation, à laquelle nous nous contenterons ici de borner nos Recherches, à l’exemple des grands Géomètres qui ont traité avant nous le Problème des comètes.

5. En considérant les expressions des quantités $r,\rho ,\rho ',\ldots ,\mathrm {R,R'} ,\ldots ,$ il est aisé de voir qu’on peut mettre les équations précédentes sous une forme plus simple que voici :

Pour la comète,

${\begin{aligned}&{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=(1+m){\frac {d{\cfrac {1}{r}}}{dx}}+\mu {\frac {d\left({\cfrac {1}{\rho }}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}\right)}{d\xi }}+\mu '{\frac {d\left({\cfrac {1}{\rho '}}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} '}}\right)}{d\xi '}}+\ldots ,\\&{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=(1+m){\frac {d{\cfrac {1}{r}}}{dy}}+\mu {\frac {d\left({\cfrac {1}{\rho }}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}\right)}{d\eta }}+\mu '{\frac {d\left({\cfrac {1}{\rho '}}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} '}}\right)}{d\eta '}}+\ldots ,\\&{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=(1+m){\frac {d{\cfrac {1}{r}}}{dz}}+\mu {\frac {d\left({\cfrac {1}{\rho }}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}\right)}{d\zeta }}+\mu '{\frac {d\left({\cfrac {1}{\rho '}}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} '}}\right)}{d\zeta '}}+\ldots \,;\end{aligned}}$

Pour la planète $\mu ,$

${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=(1+\mu ){\frac {d{\cfrac {1}{\rho }}}{d\xi }},\quad {\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}=(1+\mu ){\frac {d{\cfrac {1}{\rho }}}{d\eta }},\quad {\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}=(1+\mu ){\frac {d{\cfrac {1}{\rho }}}{d\zeta }}\,;$

Pour la planète $\mu ',$

${\frac {d^{2}\xi '}{dt^{2}}}=(1+\mu '){\frac {d{\cfrac {1}{\rho '}}}{d\xi '}},\quad {\frac {d^{2}\eta '}{dt^{2}}}=(1+\mu '){\frac {d{\cfrac {1}{\rho '}}}{d\eta '}},\quad {\frac {d^{2}\zeta '}{dt^{2}}}=(1+\mu '){\frac {d{\cfrac {1}{\rho '}}}{d\zeta '}}\,;$

et ainsi des autres.

Dans ces formules, les expressions ${\frac {d{\cfrac {1}{r}}}{dx}},{\frac {d{\cfrac {1}{r}}}{dy}},\ldots$ dénotent, suivant la notation reçue parmi les Géomètres, les coefficients de $dx,dy,\ldots$ dans la différentielle de ${\frac {1}{r}}\,;$ et ainsi des autres expressions semblables.

6. Si l’on suppose que dans le mouvement de la comète on fasse abstraction des forces perturbatrices, il faudra rejeter, dans les équations de la comète, les termes affectés de $\mu ,\mu ',\ldots \,;$ on aura ainsi

Pour l’orbite non altérée de la comète,

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=(1+m){\frac {d{\cfrac {1}{r}}}{dx}},\quad {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=(1+m){\frac {d{\cfrac {1}{r}}}{dy}},\quad {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=(1+m){\frac {d{\cfrac {1}{r}}}{dz}}.$

Nous pouvons supposer que les quantités $x,y,z$ se rapportent à l’orbite non altérée, et sont par conséquent déterminées par les équations précédentes ; dans cette supposition, il est clair que les vraies valeurs des quantités $x,y,z,$ dans l’orbite troublée, ne peuvent différer des précédentes que par des quantités très-petites de l’ordre de $\mu ,\mu ',\ldots ,$ qu’on peut désigner, pour plus de simplicité, par la caractéristique $\delta ,$ à la manière des différences ordinaires ; et la recherche des perturbations de la comète se réduira à déterminer les valeurs des différences $\delta x,\delta y,\delta z.$

7. Dorénavant donc les quantités $x,y,z,r$ appartiendront toujours à l’orbite non altérée de la comète, et devront par conséquent se déterminer par les équations du numéro précédent. Dans l’orbite troublée, ces quantités deviendront $x+\delta x,y+\delta y,z+\delta z,r+\delta r,$ et devront être déterminées par les équations du n^o 5, en mettant dans ces équations ces nouvelles quantités à la place des premières $x,y,z,r.$ Or, comme les différences $\delta x,\delta y,\delta z$ sont très-petites de l’ordre $\mu ,\mu ',\ldots ,$ il suffira de conserver, dans cette substitution, les premières dimensions de ces différences (par l’hypothèse du n^o 1), dans les termes non affectés de $\mu ,\mu ',\ldots \,;$ et, dans les termes affectés de ces quantités, on pourra négliger tout à fait les différences dont il s’agit.

Ainsi donc le terme ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$ de la première équation du n^o 5 deviendra

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {d^{2}\delta x}{dt^{2}}},$

le terme $(1+m){\frac {d{\cfrac {1}{r}}}{dx}}$ de la même équation deviendra

$(1+m){\frac {d{\cfrac {1}{r}}}{dx}}+(1+m)\left({\frac {d^{2}{\cfrac {1}{r}}}{dx^{2}}}\delta x+{\frac {d^{2}{\cfrac {1}{r}}}{dxdy}}\delta y+{\frac {d^{2}{\cfrac {1}{r}}}{dxdz}}\delta z\right),$

et les autres termes demeureront les mêmes.

On transformera de même la deuxième et la troisième équation du mouvement de la comète, et, effaçant ensuite les termes qui se détruisent en vertu des équations du n^o 6, on aura ces trois-ci, qui serviront à déterminer les valeurs des quantités $\delta x,\delta y,\delta z$, dues aux perturbations de la comète :

Pour les perturbations de la comète,

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\delta x}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\cfrac {1}{r}}}{dx^{2}}}\delta x+{\frac {d^{2}{\cfrac {1}{r}}}{dxdy}}\delta y+{\frac {d^{2}{\cfrac {1}{r}}}{dxdz}}\delta z\right)\\&\qquad \qquad \qquad +\mu {\frac {d\left({\cfrac {1}{\rho }}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}\right)}{d\xi }}+\mu '{\frac {d\left({\cfrac {1}{\rho '}}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} '}}\right)}{d\xi '}}+\ldots ,\\{\frac {d^{2}\delta y}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\cfrac {1}{r}}}{dydx}}\delta x+{\frac {d^{2}{\cfrac {1}{r}}}{dy^{2}}}\delta y+{\frac {d^{2}{\cfrac {1}{r}}}{dydz}}\delta z\right)\\&\qquad \qquad \qquad +\mu {\frac {d\left({\cfrac {1}{\rho }}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}\right)}{d\eta }}+\mu '{\frac {d\left({\cfrac {1}{\rho '}}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} '}}\right)}{d\eta '}}+\ldots ,\\{\frac {d^{2}\delta z}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\cfrac {1}{r}}}{dzdx}}\delta x+{\frac {d^{2}{\cfrac {1}{r}}}{dzdy}}\delta y+{\frac {d^{2}{\cfrac {1}{r}}}{dz^{2}}}\delta z\right)\\&\qquad \qquad \qquad +\mu {\frac {d\left({\cfrac {1}{\rho }}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}\right)}{d\zeta }}+\mu '{\frac {d\left({\cfrac {1}{\rho '}}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} '}}\right)}{d\zeta '}}+\ldots .\end{aligned}}$

C’est donc de l’intégration de ces équations que dépend la solution du Problème des perturbations des comètes. Nous allons nous en occuper, après avoir fait quelques remarques générales sur la nature de ces équations.

8. J’observe d’abord que, comme ces équations ne renferment que les premières dimensions des variables $\delta x,\delta y,\delta z,$ on peut chercher à part les valeurs de ces variables pour les différents termes affectés des quantités $\mu ,\mu ',\ldots ,$ et qui viennent de l’action des différentes planètes dont ces quantités sont les masses ; car il est visible que, si l’on réunit ensuite ces différentes valeurs, on aura les valeurs complètes des variables $\delta x,\delta y,\delta z,$ qui satisfont aux équations proposées.

En général, il est facile de concevoir que, lorsqu’on néglige, ainsi que nous l’avons fait, les carrés et les produits des forces perturbatrices, l’effet total de ces forces doit être égal à la somme des effets que chacune en particulier produirait si elle était seule.

9. Je remarque ensuite que les termes multipliés par les masses $\mu ,\mu ',\ldots$ des planètes perturbatrices deviennent d’autant plus petits que les quantités $x,y,z$ sont plus petites, c’est-à-dire, que la comète est plus près du Soleil. En effet, en supposant $x,y,z$ des quantités très-petites vis-à-vis de $\xi ,\eta ,\zeta ,$ on a à très-peu près (n^o 2)

${\frac {1}{\mathrm {R} }}={\frac {1}{\rho }}-{\frac {d{\cfrac {1}{\rho }}}{d\xi }}x-{\frac {d{\cfrac {1}{\rho }}}{d\eta }}y-{\frac {d{\cfrac {1}{\rho }}}{d\zeta }}z\,;$

d’où l’on voit que la quantité ${\frac {1}{\rho }}-{\frac {1}{\mathrm {R} }}$ ainsi que ses différences divisées par $d\xi ,d\eta ,d\zeta ,$ seront du même ordre de petitesse que les quantités $x,y,z.$ Par conséquent, si l’on suppose que ces quantités soient devenues de l’ordre des quantités $\mu ,\mu ',\ldots ,$ il est clair que les termes dont il s’agit seront pour lors de l’ordre de $\mu ^{2},\mu \mu ',\ldots \,;$ de sorte qu’on pourra les négliger, d’autant plus que, dans ce cas, la quantité ${\frac {1}{r}}$ devient d’autant

plus grande. Ces termes disparaissant, il est visible qu’on pourra satisfaire aux équations proposées par la supposition de $\delta x=0,\ \delta y=0,$ $\delta z=0.$ Ainsi l’on peut regarder ces valeurs comme les limites des variables $\delta x,\delta y,\delta z,$ du côté du Soleil.

10. Voyons maintenant quelles sont les limites des mêmes variables du côté opposé.

Supposons donc les quantités $x,y,z$ infiniment grandes vis-à-vis de $\xi ,\eta ,\zeta \,;$ on aura ici (n^o 2)

${\frac {1}{\mathrm {R} }}={\frac {1}{r}}-{\frac {d{\frac {1}{r}}}{dx}}\xi -{\frac {d{\frac {1}{r}}}{dy}}\eta -{\frac {d{\frac {1}{r}}}{dz}}\zeta +{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dx^{2}}}\xi ^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dy^{2}}}\eta ^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dz^{2}}}\zeta ^{2}$

$+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdy}}\xi \eta +{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdz}}\xi \zeta +{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydz}}\eta \zeta +\ldots .$

J’ai poussé ici l’approximation jusqu’à la seconde dimension des quantités $\xi ,\eta ,\zeta ,$ parce que la différentiation par $d\xi ,d\eta ,d\zeta ,$ fait disparaître une dimension de ces quantités.

On aura donc

${\begin{aligned}{\frac {d{\frac {1}{\mathrm {R} }}}{d\xi }}=-{\frac {d{\frac {1}{r}}}{dx}}+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dx^{2}}}\xi +{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdy}}\eta +{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdz}}\zeta ,\\{\frac {d{\frac {1}{\mathrm {R} }}}{d\eta }}=-{\frac {d{\frac {1}{r}}}{dy}}+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdy}}\xi +{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dy^{2}}}\eta +{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydz}}\zeta ,\\{\frac {d{\frac {1}{\mathrm {R} }}}{d\zeta }}=-{\frac {d{\frac {1}{r}}}{dz}}+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdz}}\xi +{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydz}}\eta +{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dz^{2}}}\zeta .\end{aligned}}$

Qu’on substitue ces valeurs dans les équations du n^o 7, en n’ayant égard qu’aux termes affectés de $\mu ,$ par la remarque ci-dessus (n^o 8), on aura les équations suivantes

${\frac {d^{2}\delta x}{dt^{2}}}=(1+m)\left[{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dx^{2}}}\left(\delta x-{\frac {\mu }{1+m}}\xi \right)+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdy}}\left(\delta y-{\frac {\mu }{1+m}}\eta \right)\right.$

$\left.+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdz}}\left(\delta z-{\frac {\mu }{1+m}}\zeta \right)\right]+\mu \left({\frac {d{\frac {1}{\rho }}}{d\xi }}+{\frac {d{\frac {1}{r}}}{dx}}\right),$

${\frac {d^{2}\delta y}{dt^{2}}}=(1+m)\left[{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydx}}\left(\delta x-{\frac {\mu }{1+m}}\xi \right)+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dy^{2}}}\left(\delta y-{\frac {\mu }{1+m}}\eta \right)\right.$

$\left.+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydz}}\left(\delta z-{\frac {\mu }{1+m}}\zeta \right)\right]+\mu \left({\frac {d{\frac {1}{\rho }}}{d\eta }}+{\frac {d{\frac {1}{r}}}{dy}}\right)$

${\frac {d^{2}\delta z}{dt^{2}}}=(1+m)\left[{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdx}}\left(\delta x-{\frac {\mu }{1+m}}\xi \right)+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdy}}\left(\delta y-{\frac {\mu }{1+m}}\eta \right)\right.$

$\left.+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dz^{2}}}\left(\delta z-{\frac {\mu }{1+m}}\zeta \right)\right]+\mu \left({\frac {d{\frac {1}{\rho }}}{d\zeta }}+{\frac {d{\frac {1}{r}}}{dz}}\right).$

Or on a, par les équations de la planète $\mu$ (n^o 5),

${\frac {d{\frac {1}{\rho }}}{d\xi }}={\frac {1}{1+\mu }}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}},\quad {\frac {d{\frac {1}{\rho }}}{d\eta }}={\frac {1}{1+\mu }}{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}},\quad {\frac {d{\frac {1}{\rho }}}{d\zeta }}={\frac {1}{1+\mu }}{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}\,;$

faisant ces substitutions dans les pénultièmes termes des équations précédentes, on verra incontinent que, si les derniers termes

$\mu {\frac {d{\frac {1}{r}}}{dx}},\quad \mu {\frac {d{\frac {1}{r}}}{dy}},\quad \mu {\frac {d{\frac {1}{r}}}{dz}}$

n’existaient pas, et que l’on eût $\mu =m,$ on satisferait exactement à ces équations, en faisant

$\delta x={\frac {\mu }{1+\mu }}\xi ,\quad \delta y={\frac {\mu }{1+\mu }}\eta ,\quad \delta z={\frac {\mu }{1+\mu }}\zeta .$

Supposons donc

${\begin{aligned}\delta x=&{\frac {\mu }{1+\mu }}\xi +\alpha ,\\\delta y=&{\frac {\mu }{1+\mu }}\eta +\beta ,\\\delta z=&{\frac {\mu }{1+\mu }}\zeta +\gamma \,;\end{aligned}}$

si l’on substitue ces valeurs, et qu’on rejette les termes qui auraient pour coefficient ${\frac {\mu }{1+\mu }}-{\frac {\mu }{1+m}}={\frac {\mu (m-\mu )}{(1+\mu )(1+m)}},$ d’après l’hypothèse éta-

blie dans le n^o 1, on aura ces nouvelles équations

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dx^{2}}}\alpha +{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdy}}\beta +{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdz}}\gamma \right)+\mu {\frac {d{\frac {1}{r}}}{dx}},\\{\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydx}}\alpha +{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dy^{2}}}\beta +{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydz}}\gamma \right)+\mu {\frac {d{\frac {1}{r}}}{dy}},\\{\frac {d^{2}\gamma }{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdx}}\alpha +{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdy}}\beta +{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dz^{2}}}\gamma \right)+\mu {\frac {d{\frac {1}{r}}}{dz}}.\end{aligned}}$

J’observe qu’on peut satisfaire à ces équations en faisant $\alpha =\mathrm {K} x,$ $\beta =\mathrm {K} y,$ $\gamma =\mathrm {K} z,$ $\mathrm {K}$ étant un coefficient constant ; car elles deviennent par là

${\begin{aligned}\mathrm {K} {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dx^{2}}}x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdy}}y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdz}}z\right)\mathrm {K} +\mu {\frac {d{\frac {1}{r}}}{dx}},\\\mathrm {K} {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydx}}x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dy^{2}}}y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydz}}z\right)\mathrm {K} +\mu {\frac {d{\frac {1}{r}}}{dy}},\\\mathrm {K} {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdx}}x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdy}}y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dz^{2}}}z\right)\mathrm {K} +\mu {\frac {d{\frac {1}{r}}}{dz}}.\end{aligned}}$

Mais les équations de l’orbite non altérée (n^o 6) donnent

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=(1+m){\frac {d{\frac {1}{r}}}{dx}},\quad {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=(1+m){\frac {d{\frac {1}{r}}}{dy}},\quad {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=(1+m){\frac {d{\frac {1}{r}}}{dz}}.$

Ensuite je remarque que la quantité ${\frac {1}{r}}$ est une fonction homogène de $x,y,z$ de la dimension $-1,$ qu’ainsi les quantités ${\frac {d{\frac {1}{r}}}{dx}},{\frac {d{\frac {1}{r}}}{dy}},{\frac {d{\frac {1}{r}}}{dz}}$ sont aussi

des fonctions homogènes de $x,y,z,$ mais de la dimension $-2.$ Donc, par le Théorème connu concernant ces sortes de fonctions, on aura

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dx^{2}}}x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdy}}y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdz}}z=-2{\frac {d{\frac {1}{r}}}{dx}},\\{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydx}}x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dy^{2}}}y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydz}}z=-2{\frac {d{\frac {1}{r}}}{dy}},\\{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdx}}x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdy}}y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dz^{2}}}z=-2{\frac {d{\frac {1}{r}}}{dz}}.\end{aligned}}$

C’est de quoi on peut d’ailleurs s’assurer par la différentiation actuelle. Ces substitutions faites, on verra d’abord que, pour satisfaire aux trois équations dont il s’agit, il suffit de satisfaire à celle-ci

$\mathrm {K} (1+m)=-2(1+m)\mathrm {K} +\mu ,$

laquelle donne

$\mathrm {K} ={\frac {\mu }{3(1+m)}}.$

Donc enfin on aura

${\begin{aligned}\delta x=&{\frac {\mu }{1+\mu }}\xi +{\frac {\mu }{3(1+m)}}x,\\\delta y=&{\frac {\mu }{1+\mu }}\eta +{\frac {\mu }{3(1+m)}}y,\\\delta z=&{\frac {\mu }{1+\mu }}\zeta +{\frac {\mu }{3(1+m)}}z.\end{aligned}}$

Ce sont les limites cherchées, dont les quantités $\delta x,\delta y,\delta z$ s’approchent d’autant plus que la comète s’éloigne davantage du Soleil.

11. De là il s’ensuit que si l’on suppose, en général,

${\begin{aligned}\delta x=&\mu \left({\frac {x}{3(1+m)}}+{\frac {\xi }{1+\mu }}\right)+\delta x',\\\delta y=&\mu \left({\frac {y}{3(1+m)}}+{\frac {\eta }{1+\mu }}\right)+\delta y',\\\delta z=&\mu \left({\frac {z}{3(1+m)}}+{\frac {\zeta }{1+\mu }}\right)+\delta z',\end{aligned}}$

qu’on substitue ces valeurs dans les équations du n^o 7 et qu’on y fasse les réductions enseignées ci-dessus, on aura, en n’ayant égard qu’aux termes affectés de $\mu ,$ et faisant, pour abréger,

${\frac {1}{\mathrm {S} }}={\frac {1}{r}}-{\frac {1+m}{1+\mu }}\left({\frac {d{\cfrac {1}{r}}}{dx}}\xi +{\frac {d{\cfrac {1}{r}}}{dy}}\eta +{\frac {d{\cfrac {1}{r}}}{dz}}\zeta \right),$

on aura, dis-je, ces transformées

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\delta x'}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dx^{2}}}\delta x'+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdy}}\delta y'+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdz}}\delta z'\right)-\mu {\frac {d\mathrm {\left({\frac {1}{S}}-{\frac {1}{R}}\right)} }{dx}},\\{\frac {d^{2}\delta y'}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydx}}\delta x'+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dy^{2}}}\delta y'+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydz}}\delta z'\right)-\mu {\frac {d\mathrm {\left({\frac {1}{S}}-{\frac {1}{R}}\right)} }{dy}},\\{\frac {d^{2}\delta z'}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdx}}\delta x'+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdy}}\delta y'+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dz^{2}}}\delta z'\right)-\mu {\frac {d\mathrm {\left({\frac {1}{S}}-{\frac {1}{R}}\right)} }{dz}}.\end{aligned}}$

Dans ces équations, j’ai mis à la place des quantités ${\frac {d{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}}{d\xi }},{\frac {d{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}}{d\eta }},{\frac {d{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}}{d\zeta }}$ leurs équivalentes $-{\frac {d{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}}{dx}},-{\frac {d{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}}{dy}},-{\frac {d{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}}{dz}},$ pour mettre plus d’uniformité dans les formules.

12. On peut aussi donner une forme semblable aux équations primitives du n^o 7. En effet, si l’on fait

${\frac {1}{\sigma }}={\frac {1}{\rho }}-\left({\frac {d{\cfrac {1}{\rho }}}{d\xi }}x+{\frac {d{\cfrac {1}{\rho }}}{d\eta }}y+{\frac {d{\cfrac {1}{\rho }}}{d\zeta }}z\right),$

et que l’on fasse abstraction des termes affectés de $\mu ',$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\delta x}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dx^{2}}}\delta x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdy}}\delta y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdz}}\delta z\right)-\mu {\frac {d\left({\frac {1}{\sigma }}-{\frac {1}{\mathrm {R} }}\right)}{dx}},\\{\frac {d^{2}\delta y}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydx}}\delta x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dy^{2}}}\delta y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydz}}\delta z\right)-\mu {\frac {d\left({\frac {1}{\sigma }}-{\frac {1}{\mathrm {R} }}\right)}{dy}},\\{\frac {d^{2}\delta z}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdx}}\delta x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdy}}\delta y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dz^{2}}}\delta z\right)-\mu {\frac {d\left({\frac {1}{\sigma }}-{\frac {1}{\mathrm {R} }}\right)}{dz}}.\end{aligned}}$

13. On voit que la quantité ${\frac {1}{\sigma }}$ contient les deux premiers termes de la quantité ${\frac {1}{\mathrm {R} }}$ développée en suite ascendante par rapport aux puissances de $x,y,z\,;$ comme la quantité ${\frac {1}{\mathrm {S} }}$ contient les deux premiers termes de la même quantité ${\frac {1}{\mathrm {R} }}$ développée en suite ascendante par rapport aux puissances de $\xi ,\eta ,\zeta ,$ en négligeant (ce qui est permis ici) la différence infiniment petite entre ${\frac {1+m}{1+\mu }}$ et l’unité : d’où résultent naturellement les conclusions que nous avons trouvées plus haut (n^os 10, 11).

Il s’ensuit aussi de là que, tant que $r<\rho ,$ il est plus simple de se servir des formules du n^o 12, et qu’au contraire, lorsque $r>\rho ,$ il est plus avantageux d’employer celles du n^o 11 ; d’autant plus que dans celles-ci les termes affectés de $\mu ,$ et qui sont l’effet des forces perturbatrices, deviennent presque nuls lorsque la comète est à une grande distance du Soleil.

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section deuxième.

intégration des équations différentielles de l’orbite non altérée.

14. Ayant décomposé les équations générales du mouvement de la comète en équations de l’orbite non troublée (n^o 6) et en équations des perturbations (n^o 7), nous allons nous occuper, dans cette Section, de l’intégration des premières. Nous pourrions, à la vérité, nous en dispenser, puisqu’on sait d’avance, par les Théorèmes de Newton, que, sans les forces perturbatrices, la comète doit décrire autour du Soleil une section conique dont cet astre occupe le foyer, et que le temps doit être proportionnel à l’aire parcourue, divisée par la racine carrée du paramètre. Mais, comme nous avons besoin de connaître les intégrales mêmes des équations dont il s’agit, il est beaucoup plus court et en même temps plus direct de chercher ces intégrales par l’intégration effective que de les déduire des propriétés des sections coniques.

Les équations qu’il s’agit d’intégrer sont celles-ci, en mettant pour ${\frac {d{\frac {1}{r}}}{dx}},{\frac {d{\frac {1}{r}}}{dy}},{\frac {d{\frac {1}{r}}}{dz}}$ leurs valeurs $-{\frac {x}{r^{3}}},-{\frac {y}{r^{3}}},-{\frac {z}{r^{3}}},$

${\begin{aligned}&{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {(1+m)x}{r^{3}}}=0,\\&{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {(1+m)y}{r^{3}}}=0,\\&{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {(1+m)z}{r^{3}}}=0.\end{aligned}}$

On peut intégrer ces équations par différentes méthodes ; celle dont je vais faire usage m’a paru une des plus simples.

Je remarque d’abord que, en supposant les deux premières équations, on peut satisfaire à la troisième en faisant

(A)

$z=bx+cy,$

$b$ et $c$ étant deux constantes arbitraires ; et il est visible que cette valeur de $z$ est en même temps l’intégrale complète de la troisième équation, puisqu’elle renferme deux constantes arbitraires.

Je multiplie maintenant la première des trois équations différentielles proposées par $2dx,$ la seconde par $2dy,$ la troisième par $2dz\,;$ ensuite je les ajoute ensemble, et j’intègre j’ai

(B)

${\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}-2(1+m)\left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)=0,$

$a$ étant une constante arbitraire.

Je multiplie ensuite les mêmes équations par $x,y,z,$ et j’ajoute à leur somme l’équation précédente j’ai, à cause de $r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},$

(C)

${\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\left(r^{2}\right)}{dt^{2}}}-(1+m)\left({\frac {1}{r}}-{\frac {2}{a}}\right)=0.$

Cette équation étant multipliée par $d(r^{2}),$ et ensuite intégrée, donne celle-ci

(D)

$\left[{\frac {1}{2}}{\frac {d\left(r^{2}\right)}{dt}}\right]^{2}-2(1+m)\left(r-{\frac {r^{2}}{a}}-h\right)=0,$

$h$ étant une nouvelle constante arbitraire. Or

${\frac {1}{2}}d^{2}\left(r^{2}\right)=rd^{2}r+dr^{2}\quad {\text{et}}\quad \left[{\frac {1}{2}}d\left(r^{2}\right)\right]^{2}=r^{2}dr^{2}\,;$

donc, si l’on divise l’équation (D) par $r^{2},$ et qu’on la retranche de l’équation (C), on aura, après avoir divisé par $r,$

${\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}+(1+m)\left({\frac {1}{r^{2}}}-{\frac {2h}{r^{3}}}\right)=0,$

équation qui, en faisant $2h-r=p,$ prend cette forme

${\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}+(1+m){\frac {p}{r^{3}}}=0,$

qui est, comme l’on voit, semblable aux équations primitives.

C’est pourquoi on aura sur-le-champ cette intégrale $p=fx+gy,$ ou bien

(E)

$2h-r=fx+gy,$

$f$ et $g$ étant deux nouvelles constantes arbitraires, en sorte que l’intégrale est complète.

Les équations (A) et (E) offrent déjà, comme l’on voit, deux intégrales finies. On trouvera la troisième au moyen de l’équation (D), laquelle se réduit à

${\frac {rdr}{\sqrt {r-{\cfrac {r^{2}}{a}}-h}}}=dt{\sqrt {2(1+m)}},$

dont l’intégrale est

(F)

$\operatorname {arc} \,\sin {\frac {2{\sqrt {r-{\cfrac {r^{2}}{a}}-h}}}{\sqrt {a-4h}}}-{\frac {2{\sqrt {r-{\cfrac {r^{2}}{a}}-h}}}{\sqrt {a}}}=2t{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}+i,$

$i$ étant encore une constante arbitraire.

Cette équation détermine $r$ en $t,$ et les équations (A) et (E), combinées avec celle-ci $r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},$ servent à déterminer $x,y,z$ en $r\,;$ ainsi l’on aura $x,y,z$ en $t.$ Mais ces valeurs, pour être complètes, doivent renfermer six constantes, parce que les équations différentielles proposées sont chacune du second ordre. Or l’équation (A) renferme deux constantes arbitraires $b$ et $c\,;$ l’équation (E) en renferme trois $f,g$ et $h,$ et l’équation (F) en renferme encore deux autres $a$ et $i.$ Il y en a donc en tout sept, et par conséquent une de plus qu’il ne faut.

En examinant la chose de plus près, il est aisé de s’apercevoir que cela vient de ce que la constante $a$ a été introduite par l’intégration qui a donné l’équation (B), équation dont nous n’avons point tenu compte dans la suite du calcul comme d’une équation intégrale. Il est donc nécessaire d’avoir égard à cette équation, et il en doit résulter une équation de condition entre les constantes ; en sorte qu’il n’en restera plus que six d’arbitraires, comme le Problème le demande

15. Commençons par déterminer $x,y,z$ en $r.$ Les équations (A) et (E) donnent, en retenant $p$ à la place de $2h-r,$

$x={\frac {gz-cp}{bg-cf}},\quad y={\frac {fz-bp}{cf-bg}}\,;$

substituant ces valeurs dans $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},$ et ordonnant par rapport à $z,$ on a

$\left[(cf-bg)^{2}+f^{2}+g^{2}\right]z^{2}-2(bf+cg)pz+\left(b^{2}+c^{2}\right)p^{2}-(cf-bg)^{2}r^{2}=0,$

d’où l’on tirera $z,$ et ensuite $x$ et $y.$

Si l’on fait, pour plus de simplicité, on trouvera

$q={\sqrt {\left[(cf-bg)^{2}+f^{2}+g^{2}\right]r^{2}-\left(1+b^{2}+c^{2}\right)p^{2}}},$

on trouvera

(G)

$\left\{{\begin{aligned}x=&{\frac {\left[f+c(cf-bg)\right]p-gq}{(cf-bg)^{2}+f^{2}+g^{2}}},\\y=&{\frac {\left[g-b(cf-bg)\right]p+fq}{(cf-bg)^{2}+f^{2}+g^{2}}},\\z=&{\frac {(bf+cg)p+(cf-bg)q}{(cf-bg)^{2}+f^{2}+g^{2}}}.\end{aligned}}\right.$

16. Maintenant l’équation (B) donne, en chassant $dt,$ par le moyen de l’équation (D),

$dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}={\frac {r-{\cfrac {r^{2}}{a}}}{r-{\cfrac {r^{2}}{a}}-h}}dr^{2}\,;$

mais les équations précédentes donnent

$dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}={\frac {\left(1+b^{2}+c^{2}\right)dp^{2}+dq^{2}}{(cf-bg)^{2}+f^{2}+g^{2}}}\,;$

il faut donc que ces deux expressions de $dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$ deviennent identiques après qu’on aura substitué dans la dernière les valeurs de $p$ et $q$ en $r.$

Ces substitutions faites, on verra que l’identité aura lieu en effet, en faisant

(H)

${\frac {4h}{a}}=1-{\frac {(cf-bg)^{2}+f^{2}+g^{2}}{1+b^{2}+c^{2}}}.$

C’est l’équation de condition cherchée.

Si, dans l’expression de $q$ du numéro précédent, on substitue la valeur de $(cf-bg)^{2}+f^{2}+g^{2}$ donnée par l’équation (G), que nous venons de trouver, et qu’on y mette de plus pour $p$ sa valeur $2h-r,$ elle deviendra

$q=2{\sqrt {h\left(1+b^{2}+c^{2}\right)}}{\sqrt {r-{\frac {r^{2}}{a}}-h}}.$

17. Pour pouvoir appliquer les formules précédentes au mouvement des comètes, il faut connaître les valeurs des constantes que ces formules renferment.

Pour cet effet, je remarque d’abord que l’équation (A) est celle d’un plan dont la position, à l’égard du plan des coordonnées $x$ et $y,$ dépend des constantes $b$ et $c.$ Ce plan sera donc celui de l’orbite de la comète, et qui est déterminé par les observations.

Soient $\omega$ l’angle que l’intersection des deux plans, c’est-à-dire, la ligne des nœuds de l’orbite sur le plan des $x$ et $y,$ fait avec l’axe des $x,$ et $\psi$ l’inclinaison de l’orbite sur ce dernier plan ; il est facile de prouver qu’on aura

$c=\operatorname {tang} \psi \cos \omega ,\quad b=-\operatorname {tang} \psi \sin \omega .$

L’équation (E) servira ensuite à déterminer la figure de l’orbite ; et il est aisé de conclure de la forme même de cette équation que l’orbite ne peut être qu’une section conique, ayant le foyer dans l’origine des coordonnées, en sorte que $r$ sera le rayon vecteur de l’orbite.

Les deux apsides seront donc aux points où ${\frac {dr}{dt}}=0\,;$ or, dans ce cas, l’équation (D) donne

$r-{\frac {r^{2}}{a}}-h=0,$

équation dont les deux racines sont

${\frac {a\pm {\sqrt {a^{2}-4ah}}}{2}}.$

La somme de ces deux racines sera le grand axe, et leur différence, divisée par la somme, sera l’excentricité. Donc le grand axe de l’orbite sera $a,$ et l’excentricité sera ${\sqrt {1-{\frac {4h}{a}}}},$ que je désignerai dans la suite par $e$.

Puis donc que

$e={\sqrt {1-{\frac {4h}{a}}}},$

on aura

$a{\sqrt {1-e^{2}}}={\sqrt {4ha}}=$ au petit axe de l’orbite ;

par conséquent, $4h$ sera le paramètre du grand axe.

Or on sait que le rayon vecteur qui répond à $90$ degrés d’anomalie, c’est-à-dire, qui est perpendiculaire au grand axe, est égal au demi-paramètre. Donc on aura à $90$ degrés d’anomalie $r=2h,$ et l’équation (E) donnera $fx+gy=0\,;$ d’où l’on tire ${\frac {y}{x}}=-{\frac {f}{g}},$ égal par conséquent à la tangente de l’angle que fait avec l’axe des $x,$ dans le plan des $x$ et $y,$ la projection du rayon vecteur qui répond à $90$ degrés d’anomalie dans l’orbite.

Soit cet angle $=90^{\circ }+\varepsilon ,$ on aura donc ${\frac {g}{f}}=\operatorname {tang} \varepsilon \,;$ donc, faisant $l={\sqrt {f^{2}+g^{2}}},$ on aura $g=l\sin \varepsilon ,\ f=l\cos \varepsilon \,;$ ces valeurs étant substituées dans l’équation (H) du n^o 16, ainsi que celles de $b$ et $c$ trouvées ci-dessus, et mettant $e^{2}$ à la place de $1-{\frac {4h}{a}},$ elle deviendra

$e^{2}=l^{2}{\frac {1+\operatorname {tang} ^{2}\psi \cos ^{2}(\omega -\varepsilon )}{1+\operatorname {tang} ^{2}\psi }}=l^{2}\left[1-\sin ^{2}\psi \sin ^{2}(\omega -\varepsilon )\right]\,;$

d’où l’on tire

$l={\frac {e}{\sqrt {1-\sin ^{2}\psi \sin ^{2}(\omega -\varepsilon )}}}\,;$

de sorte qu’on aura

$f={\frac {e\cos \varepsilon }{\sqrt {1-\sin ^{2}\psi \sin ^{2}(\omega -\varepsilon )}}},\quad g={\frac {e\sin \varepsilon }{\sqrt {1-\sin ^{2}\psi \sin ^{2}(\omega -\varepsilon )}}}.$

18. Si l’on fait coïncider le plan de l’orbite avec celui de $x$ et $y,$ on aura $\psi =0,$ et l’angle $\varepsilon$ sera évidemment celui que le grand axe de l’orbite fait avec l’axe des $x.$ Donc, si l’on suppose de plus que ces deux axes coïncident, on aura aussi $\varepsilon =0\,;$ de sorte que, dans cette hypothèse, $b=0,$ $c=0,$ $f=e,$ $g=0,$ et les formules (G) du n^o 15 donneront

$x={\frac {p}{e}},\quad u={\frac {q}{e}},\quad z=0,$

savoir

$x={\frac {2h-r}{e}},\quad y={\frac {2{\sqrt {h}}}{e}}{\sqrt {r-{\frac {r^{2}}{a}}-h}}.$

Or il est visible que, dans ce cas, $x$ et $y$ deviennent les coordonnées de l’orbite dans le plan même de cette orbite ; et comme ces coordonnées doivent être indépendantes de la position du plan de l’orbite, il s’ensuit que les valeurs précédentes de $x$ et $y$ exprimeront toujours, l’une l’abscisse prise dans le grand axe depuis le foyer, et l’autre l’ordonnée rectangle dans le plan même de l’orbite, quelle que soit d’ailleurs la position de ce plan.

Donc, si l’on nomme $\varphi$ l’angle du rayon vecteur $r$ avec le grand axe, on aura, dans la supposition précédente,

$x=r\cos \varphi ,\quad y=r\sin \varphi \,;$

savoir

$r\cos \varphi ={\frac {2h-r}{e}},\quad r\sin \varphi ={\frac {2{\sqrt {h}}}{e}}{\sqrt {r-{\frac {r^{2}}{a}}-h}}\,;$

d’où l’on tire

$r={\frac {2h}{1+e\cos \varphi }},\quad {\sqrt {r-{\frac {r^{2}}{a}}-h}}={\frac {e{\sqrt {h}}\sin \varphi }{1+e\cos \varphi }}\,;$

cette expression de $r$ fait voir que $\varphi$ est l’anomalie vraie de l’orbite, comptée de son périhélie.

On aura donc, en général,

$p=er\cos \varphi ,\quad q={\frac {er\sin \varphi }{\cos \psi }},$

et l’on pourra, par ces substitutions, dans les formules (F) et (G), avoir les valeurs de $t,x,y,z$ exprimées par la seule anomalie $\varphi .$

19. Dans le nœud, on a $z=0\,;$ donc (équation G)

$(bf+cg)p+(cf-bg)q=0,$

savoir, en substituant les valeurs précédentes de $p$ et $q,$

$(bf+cg)\cos \varphi +(cf-bg){\frac {\sin \varphi }{\cos \psi }}=0,$

où $\varphi$ est l’anomalie qui répond au nœud.

Dénotons cette anomalie par $\alpha ,$ on aura donc

$(bf+cg)\cos \alpha \cos \psi +(cf-bg)\sin \alpha =0\,;$

d’où l’on tire

${\frac {g}{f}}={\frac {c\sin \alpha +b\cos \psi \cos \alpha }{b\sin \alpha -c\cos \psi \cos \alpha }},$

et, en mettant pour $b$ et $c$ leurs valeurs (n^o 17),

${\frac {g}{f}}={\frac {-\cos \omega \sin \alpha +\cos \psi \sin \omega \cos \alpha }{\sin \omega \sin \alpha +\cos \psi \cos \omega \cos \alpha }}\,;$

mais on a trouvé plus haut (n^o 17) ${\frac {g}{f}}=\operatorname {tang} \varepsilon \,;$ ainsi l’on aura l’équation

$\operatorname {tang} \varepsilon ={\frac {-\cos \omega \sin \alpha +\cos \psi \sin \omega \cos \alpha }{\sin \omega \sin \alpha +\cos \psi \cos \omega \cos \alpha }}\,;$

d’où il est aisé de tirer

$\sin \varepsilon ={\frac {-\cos \omega \sin \alpha +\cos \psi \sin \omega \cos \alpha }{\sqrt {1-\sin ^{2}\psi \cos ^{2}\alpha }}},\quad \cos \varepsilon ={\frac {\sin \omega \sin \alpha +\cos \psi \cos \omega \cos \alpha }{\sqrt {1-\sin ^{2}\psi \cos ^{2}\alpha }}}\,;$

et, en substituant ces valeurs dans les expressions de $f$ et $g$ du n^o 17, on trouvera

$f=e\left(\cos \omega \cos \alpha +{\frac {\sin \omega \sin \alpha }{\cos \psi }}\right),\quad g=e\left(\sin \omega \cos \alpha -{\frac {\cos \omega \sin \alpha }{\cos \psi }}\right)\,;$

par là, et par les valeurs de $b$ et $c,$ on aura

$cf-bg=e\operatorname {tang} \psi \cos \alpha ,\quad bf+cg=-{\frac {e\operatorname {tang} \psi \sin \alpha }{\cos \psi }},$

$f+c(cf-bg)={\frac {e(\cos \omega \cos \alpha +\sin \omega \sin \alpha \cos \psi )}{\cos ^{2}\psi }},$

$g-b(cf-bg)={\frac {e(\sin \omega \cos \alpha -\cos \omega \sin \alpha \cos \psi )}{\cos ^{2}\psi }},$

$(cf-bg)^{2}+f^{2}+g^{2}={\frac {e^{2}}{\cos ^{2}\psi }}\,;$

de sorte que, à cause de $p=er\cos \varphi ,\ q={\frac {er\sin \varphi }{\cos \psi }},$ les formules (G) du n^o 15 deviendront

${\begin{aligned}x=&r\left[\cos \omega \cos(\varphi -\alpha )-\sin \omega \sin(\varphi -\alpha )\cos \psi \right],\\y=&r\left[\sin \omega \cos(\varphi -\alpha )+\cos \omega \sin(\varphi -\alpha )\cos \psi \right],\\z=&r\,\ \sin \psi \sin(\varphi -\alpha ),\end{aligned}}$

dans lesquelles $\varphi -\alpha$ est ce qu’on nomme l’argument de latitude.

20. Si l’on fait

${\frac {2{\sqrt {r-{\cfrac {r^{2}}{a}}-h}}}{\sqrt {a-4h}}}=\sin u,\quad 2t{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}+i=\theta ,$

et qu’on se souvienne que ${\sqrt {1-{\frac {4h}{a}}}}=e$ (n^o 17), il est clair que l’équation (F) du n^o 15 prendra cette forme très-simple

$u-e\sin u=\theta ,$

dans laquelle $u$ sera évidemment ce que l’on nomme, d’après Kepler, l’anomalie excentrique, mais comptée du périhélie, et où $\theta$ sera, par conséquent, l’anomalie moyenne.

Donc, comme $\theta =i$ lorsque $t=0,$ on voit que la constante $i$ n’est autre chose que l’époque de l’anomalie moyenne.

En appliquant les formules au mouvement de la Terre autour du Soleil, et prenant la distance moyenne ${\frac {a}{2}}$ pour l’unité, on aura, en négligeant $m={\frac {1}{304355}}$ vis-à-vis de $1,$

$t+i=\theta =$ l’anomalie moyenne du Soleil ;

d’où il s’ensuit que $t,$ exprimé en angles, représentera proprement le mouvement moyen du Soleil pendant le temps écoulé depuis l’époque d’où l’on part ; et qu’ainsi, en divisant la valeur de $t$ par $360$ degrés, ou bien, si $t$ est exprimé en nombres (la distance moyenne du Soleil étant l’unité), en divisant la valeur de $t$ par le rapport de la circonférence au rayon, on aura le temps exprimé en années sidérales, puisque nous pouvons faire abstraction ici du mouvement de l’apogée du Soleil.

Or, puisque

$1-{\frac {4h}{a}}-4\left({\frac {r}{a}}-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}-{\frac {h}{a}}\right)=\left(1-{\frac {2r}{a}}\right)^{2},$

il est clair qu’on aura

$1-{\frac {2r}{a}}=e\cos u\,;$

donc

$r={\frac {a}{2}}(1-e\cos u),$

et comme (n^os 15 et 16)

$p=2h-r,\quad q=2{\sqrt {h\left(1+b^{2}+c^{2}\right)}}{\sqrt {r-{\frac {r^{2}}{a}}-h}},$

on aura, à cause de $h={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{4}},$

${\begin{aligned}p=&{\frac {ae}{2}}(\cos u-e),\\q=&{\frac {ae}{2}}{\sqrt {\left(1-e^{2}\right)\left(1+b^{2}+c^{2}\right)}}\sin u.\end{aligned}}$

De sorte que, en substituant ces valeurs dans les formules (G), on aura aussi $x,y,z$ exprimées en $u.$

Dans la parabole, le grand axe $a$ devient infini, par conséquent l’angle $u$ est infiniment petit. Dans les ellipses très-allongées, telles que sont les orbites des comètes, la quantité $a$ est seulement très-grande ; donc l’angle $u$ sera très-petit, du moins tant que $r$ n’est pas fort grand.

Dans ce cas donc on aura

$u=\sin u+{\frac {1}{6}}\sin ^{3}u+{\frac {3}{40}}\sin ^{5}+{\frac {5}{112}}\sin ^{7}u+\ldots ,$

et l’équation entre $\theta$ et $u$ deviendra

$\theta =(1-e)\sin u+{\frac {1}{6}}\sin ^{3}u+{\frac {3}{40}}\sin ^{5}+{\frac {5}{112}}\sin ^{7}u+\ldots \,;$

mais

$1-e={\frac {1-e^{2}}{1+e}}={\frac {4h}{a(1+e)}}\,;$

donc, si l’on met pour $\theta$ sa valeur

$2t{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}+i,$

et qu’on fasse

$i{\sqrt {\frac {a^{3}}{8}}}=j,\quad \sin u={\frac {w}{\sqrt {\cfrac {a}{2}}}},$

on aura, après avoir tout multiplié par ${\sqrt {\frac {a^{3}}{8}}},$

$t{\sqrt {1+m}}+j={\frac {2h}{1+e}}w+{\frac {1}{6}}w^{3}+{\frac {3}{20a}}w^{5}+{\frac {5}{28a^{2}}}w^{7}+\ldots ,$

où $w$ sera une quantité finie, puisqu’on aura

$w={\frac {{\sqrt {2}}{\sqrt {r-{\cfrac {r^{2}}{a}}-h}}}{\sqrt {1-{\cfrac {4h}{a}}}}}={\frac {{\sqrt {2}}{\sqrt {r-{\cfrac {r^{2}}{a}}-h}}}{e}},$

et, substituant pour ${\sqrt {r-{\frac {r^{2}}{a}}-h}}$ sa valeur en $\varphi$ trouvée ci-dessus, il

viendra

$w={\frac {{\sqrt {2h}}\sin \varphi }{1+e\cos \varphi }}.$

Pour la parabole, on fera $a=\infty ,$ et l’on aura

$t{\sqrt {1+m}}+j=hw+{\frac {w^{3}}{6}},$

où (à cause de $e=1$)

$w={\sqrt {2(r-h)}}={\sqrt {2h}}\operatorname {tang} {\frac {\varphi }{2}}\,;$

et $h$ sera pour lors égal à la distance périhélie.

21. Nous remarquerons encore que, si, dans l’équation différentielle entre $dr$ et $dt$ du n^o 15, on substitue pour $dr$ et pour ${\sqrt {r-{\frac {r^{2}}{a}}-h}}$ leurs valeurs en $\varphi$ (n^o 18), on trouve

$dt={\sqrt {\frac {1}{2h(1+m)}}}r^{2}d\varphi \,;$

et, si l’on différentie l’équation qui donne la relation entre $t$ et $u$ (n^o 20), et qu’on y mette ${\frac {2r}{a}}$ pour $1-e\cos u,$ il vient

$dt={\sqrt {\frac {a}{2(1+m)}}}rdu\,;$

dans la première formule, $\varphi$ est l’anomalie vraie, et dans la seconde $u$ est l’anomalie excentrique.

---

section troisième.

intégration des équations différentielles des perturbations.

22. Nous avons vu, dans la première Section, que $x,y,z$ étant les coordonnées de l’orbite non altérée, et $x+\delta x,\ y+\delta y,\ z+\delta z$ celles de l’orbite troublée par l’action d’une planète $\mu ,$ on a pour la détermination des quantités $\delta x,\delta y,\delta z$ les équations suivantes

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\delta x}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dx^{2}}}\delta x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdy}}\delta y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdz}}\delta z\right)-\mu \mathrm {X} ,\\{\frac {d^{2}\delta y}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydx}}\delta x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dy^{2}}}\delta y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydz}}\delta z\right)-\mu \mathrm {Y} ,\\{\frac {d^{2}\delta z}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdx}}\delta x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdy}}\delta y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dz^{2}}}\delta z\right)-\mu \mathrm {Z} ,\end{aligned}}$

en faisant, pour abréger (n^o 12),

$\mathrm {X} ={\frac {d\left({\cfrac {1}{\sigma }}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}\right)}{dx}},\quad \mathrm {Y} ={\frac {d\left({\cfrac {1}{\sigma }}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}\right)}{dy}},\quad \mathrm {Z} ={\frac {d\left({\cfrac {1}{\sigma }}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}\right)}{dz}}.$

23. C’est donc de l’intégration de ces équations que dépend la recherche des perturbations causées par l’action d’une planète quelconque sur la comète. Or cette intégration dépend, comme l’on sait, de celle du cas où il n’y aurait aucun terme tout connu, à cause que les variables inconnues $\delta x,\delta y,\delta z$ ne paraissent que sous la forme linéaire. Ainsi toute la difficulté se réduit à intégrer des équations de la forme suivante

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\delta x}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dx^{2}}}\delta x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdy}}\delta y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdz}}\delta z\right),\\{\frac {d^{2}\delta y}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydx}}\delta x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dy^{2}}}\delta y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydz}}\delta z\right),\\{\frac {d^{2}\delta z}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdx}}\delta x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdy}}\delta y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dz^{2}}}\delta z\right).\end{aligned}}$

24. Si l’on se rappelle les calculs du n^o 7, on doit voir que les équations précédentes résultent des équations de l’orbite non altérée, en y faisant varier les quantités $x,y,z,$ des différences $\delta x,\delta y,\delta z,$ regardées comme infiniment petites. Donc les intégrales des équations dont il s’agit doivent résulter aussi des intégrales des mêmes équations de l’orbite non altérée, en y faisant varier non-seulement ces mêmes quantités, mais encore les constantes arbitraires introduites par les différentes intégrations, et qui, n’existant point dans les équations différentielles, peuvent, à leur égard, être aussi regardées comme variables.

Ainsi donc, pour avoir les intégrales des trois équations différentielles du numéro précédent, il n’y aura qu’à différentier à l’ordinaire les intégrales de l’orbite non altérée, trouvées dans la seconde Section, en y regardant les trois indéterminées $x,y,z$ et les six arbitraires $a,b,c,f,$ $g,i,$ comme variables à la fois, et marquant leurs différences par la caractéristique $\delta$ [à l’égard de $h,$ elle doit aussi être traitée comme variable, parce que c’est une fonction de $a,b,c,$ $f,g,$ donnée par l’équation (H) du n^o 16] ; les différences de ces arbitraires seront elles-mêmes les nouvelles constantes arbitraires que les intégrales cherchées doivent contenir pour être complètes.

25. Comme les formules (G) du n^o 15 donnent $x,y,z$ en $r,$ et que la formule (F) du n^o 14 donner en $t,$ on pourra tirer directement de la différentiation des premières les valeurs de $\delta x,\delta y,\delta z$ en $\delta r,$ ensuite on aura $\delta r$ par la différentiation de la dernière ; mais, à la place de $r,$ il sera plus simple d’introduire l’angle $u,$ au moyen des formules du n^o 20 ; et, pour donner à notre calcul toute la simplicité dont il est susceptible, nous remarquerons de plus que, la position du plan des $x$ et $y,$ auquel nous avons jusqu’ici rapporté l’orbite de la comète, étant arbitraire, on peut, sans nuire à la généralité du Problème, supposer que ce plan coïncide avec celui de l’orbite non altérée de la comète ; et l’on peut, par la même raison, supposer aussi que l’axe des $x$ coïncide avec le grand axe de la même orbite, en sorte que les abscisses $x$ soient prises depuis le foyer et soient positives en allant vers l’apside inférieure.

Ces deux suppositions donneront (n^os 17 et 19)

$\psi =0,\quad \alpha =\omega \,;\quad {\text{donc}}\quad b=0,\quad c=0,\quad f=e,\quad g=0,$

ce qui simplifiera beaucoup les expressions finies de $x,y,z\,;$ mais, comme les différences $\delta b,\delta c,\delta g$ ne sont pas nulles, il ne faudra pas faire disparaître entièrement les quantités $b,c,g\,;$ mais il en faudra conserver lespremières dimensions dans les expressions de $x,y,z,$ afin de pouvoir en tirer par la différentiation les valeurs complètes de $\delta x,\delta y,\delta z.$

26. De cette manière, on aura donc (n^o 15, formule G)

$x={\frac {fp-gq}{f^{2}}},\quad y={\frac {gp+fq}{f^{2}}},\quad z={\frac {bp+cq}{f}},$

et par les formules du n^o 20 on aura, à cause de $e=f,$

$p={\frac {af}{2}}(\cos u-f),\quad q={\frac {af}{2}}{\sqrt {1-f^{2}}}\sin u,$

de sorte qu’en substituant il viendra

${\begin{aligned}x=&{\frac {a}{2}}(\cos u-f)-{\frac {ag}{2f}}{\sqrt {1-f^{2}}}\sin u,\\y=&{\frac {a}{2}}{\sqrt {1-f^{2}}}\sin u+{\frac {ag}{2f}}(\cos u-f),\\z=&{\frac {ab}{2}}(\cos u-f)+{\frac {ac}{2}}{\sqrt {1-f^{2}}}\sin u.\end{aligned}}$

Différentiant donc suivant la caractéristique $\delta ,$ en faisant tout varier, et supposant ensuite les constantes $b,c,g$ nulles, on aura

${\begin{aligned}\delta x=&{\frac {\cos u-f}{2}}\delta a-{\frac {a}{2}}\delta f-{\frac {a{\sqrt {1-f^{2}}}}{2f}}\sin u\,\delta g-{\frac {a}{2}}\sin u\,\delta u,\\\delta y=&{\frac {\sqrt {1-f^{2}}}{2}}\sin u\,\delta a-{\frac {af}{2{\sqrt {1-f}}}}\sin u\,\delta f+{\frac {a(\cos u-f)}{2f}}\delta g\\&\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {a{\sqrt {1-f^{2}}}}{2}}\cos u\,\delta u,\\\delta z=&{\frac {a(\cos u-f)}{2}}\delta b+{\frac {a{\sqrt {1-f^{2}}}}{2}}\sin u\,\delta c.\end{aligned}}$

Mais, par le n^o 20, on a, en mettant $f$ à la place de $e,$

$u-f\sin u=\theta =2t{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}+i\,;$

donc, faisant varier $f,a,i$ et $u,$ on en tirera la valeur de $\delta u,$ laquelle sera

$\delta u={\frac {-3t{\sqrt {\cfrac {2(1+m)}{a^{3}}}}{\cfrac {\delta a}{a}}+\sin u\,\delta f+\delta i}{1-f\cos u}}.$

Substituant donc cette valeur de $\delta u$ dans les expressions précédentes de $\delta x,\delta y,\delta z,$ on aura les valeurs cherchées, lesquelles seront évidemment de cette forme

${\begin{aligned}\delta x=&\mathrm {A} \delta a+\mathrm {B} \delta f+\mathrm {C} \delta g+\mathrm {D} \delta i,\\\delta y=&\mathrm {E} \delta a\,+\mathrm {F} \delta f+\mathrm {G} \delta g+\mathrm {H} \delta i,\\\delta z=&\mathrm {K} \delta b\,+\mathrm {L} \delta c,\end{aligned}}$

en supposant, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&{\frac {\cos u-f}{2}}+{\frac {3t}{2}}{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}{\frac {\sin u}{1-f\cos u}},\\\mathrm {B} =&-{\frac {a}{2}}\left(1+{\frac {\sin ^{2}u}{1-f\cos u}}\right),\\\mathrm {C} =&-{\frac {a{\sqrt {1-f^{2}}}}{2f}}\sin u,\\\mathrm {D} =&-{\frac {a}{2}}{\frac {\sin u}{1-f\cos u}},\\\mathrm {E} =&{\frac {\sqrt {1-f^{2}}}{2}}\sin u-{\frac {3t}{2}}{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}{\frac {{\sqrt {1-f^{2}}}\cos u}{1-f\cos u}},\\\mathrm {F} =&-{\frac {af}{2{\sqrt {1-f^{2}}}}}\sin u+{\frac {a{\sqrt {1-f^{2}}}}{2}}{\frac {\sin u\cos u}{1-f\cos u}},\\\mathrm {G} =&{\frac {a}{2f}}(\cos u-f),\\\mathrm {H} =&{\frac {a{\sqrt {1-f^{2}}}}{2}}{\frac {\cos u}{1-f\cos u}},\\\mathrm {K} =&{\frac {a}{2}}(\cos u-f),\\\mathrm {L} =&{\frac {a{\sqrt {1-f^{2}}}}{2}}\sin u.\end{aligned}}$

Telles sont les valeurs complètes des quantités $\delta x,\delta y,\delta z,$ en tant qu’elles résultent des trois équations différentielles du n^o 23 ; et les quantités $\delta a,\delta b,\delta c,\delta f,\delta g,\delta i$ sont les six constantes arbitraires que ces valeurs doivent contenir à raison des six intégrations qu’elles supposent.

27. Voyons maintenant comment on doit déterminer ces nouvelles arbitraires il est clair qu’elles dépendent des valeurs des quantités $\delta x,\delta y,\delta z,$ et de leurs différences premières ${\frac {d\delta x}{dt}},{\frac {d\delta y}{dt}},{\frac {d\delta z}{dt}},$ pour un instant quelconque donné. Il faudra donc différentier les expressions de $\delta x,\delta y,\delta z$ trouvées ci-dessus, en y regardant les arbitraires $\delta a,\delta b,\delta c,\delta f,\delta g,\delta i$ comme constantes, c’est-à-dire, en y faisant varier seulement les quantités qui sont des fonctions du temps $t,$ pour avoir les valeurs de ${\frac {d\delta x}{dt}},{\frac {d\delta y}{dt}},{\frac {d\delta z}{dt}},$ lesquelles seront représentées, en général, par les formules suivantes

${\begin{aligned}{\frac {d\delta x}{dt}}=&{\frac {d\mathrm {A} }{dt}}\delta a+{\frac {d\mathrm {B} }{dt}}\delta f+{\frac {d\mathrm {C} }{dt}}\delta g+{\frac {d\mathrm {D} }{dt}}\delta i,\\{\frac {d\delta y}{dt}}=&{\frac {d\mathrm {E} }{dt}}\delta a\,+{\frac {d\mathrm {F} }{dt}}\delta f+{\frac {d\mathrm {G} }{dt}}\delta g+{\frac {d\mathrm {H} }{dt}}\delta i,\\{\frac {d\delta z}{dt}}=&{\frac {d\mathrm {K} }{dt}}\delta b\,+{\frac {d\mathrm {L} }{dt}}\delta c,\end{aligned}}$

Ces trois équations étant combinées avec les trois du numéro précédent, on en tirera, par la méthode ordinaire d’élimination, les valeurs des six inconnues $\delta a,\delta b,\delta c,\delta f,\delta g,\delta i\,;$ et il est aisé de voir que ces valeurs seront de la forme suivante

${\begin{aligned}\delta a=&\mathrm {A} '\delta x+\mathrm {B} '\delta y\,+\mathrm {C} '{\frac {d\delta x}{dt}}\,+\mathrm {D} '{\frac {d\delta y}{dt}},\\\delta f=&\mathrm {E} '\delta x\,+\mathrm {F} '\delta y\,+\mathrm {G} '{\frac {d\delta x}{dt}}\,+\mathrm {H} '{\frac {d\delta y}{dt}},\\\delta g=&\mathrm {A} ''\delta x+\mathrm {B} ''\delta y+\mathrm {C} ''{\frac {d\delta x}{dt}}+\mathrm {D} ''{\frac {d\delta y}{dt}},\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\delta i=&\mathrm {E} ''\delta x+\mathrm {F} ''\delta y\,+\mathrm {G} ''{\frac {d\delta x}{dt}}\,+\mathrm {H} ''{\frac {d\delta y}{dt}},\\\delta b=&\mathrm {K} '\delta z\,+\mathrm {L} '{\frac {d\delta z}{dt}},\\\delta c=&\mathrm {K} ''\delta z+\mathrm {L} ''{\frac {d\delta z}{dt}}\,;\end{aligned}}$

les quantités $\mathrm {A',B',C'} ,\ldots$ étant des fonctions rationnelles de $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ et de ${\frac {d\mathrm {A} }{dt}},{\frac {d\mathrm {B} }{dt}},\ldots .$

28. Quoique la détermination de ces quantités $\mathrm {A',B'} ,\ldots$ ne soit pas difficile, elle pourrait néanmoins entraîner dans des calculs très-longs, si on l’entreprenait par la méthode ordinaire ; voici un moyen de la simplifier beaucoup.

Ce moyen consiste à chercher d’abord les valeurs des constantes $a,b,c,$ $f,g,i,$ en $x,y,z,t,$ et en ${\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}},$ à quoi on parviendra facilement par le moyen des formules du n^o 14 ; ensuite à différentier ces valeurs relativement à la caractéristique $\delta ,$ c’est-à-dire, en faisant varier seulement les constantes dont il s’agit et les indéterminées $x,y,z,$ ${\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}},$ et marquant les variations par $\delta \,;$ et comme les différentiations relatives aux deux caractéristiques différentes $d$ et $\delta$ sont totalement indépendantes entre elles, on voit aisément que $\delta d$ sera la même chose que $d\delta ,$ de sorte qu’on aura ainsi directement les valeurs de $\delta a,$ $\delta b,\delta c,\ldots$ en $\delta x,{\frac {d\delta x}{dt}},\delta y,\ldots .$

Nous allons donner ici les résultats de ce calcul, parce qu’ils nous seront utiles dans la suite.

29. On voit d’abord (n^o 14) que l’équation (B) donnera la valeur de $a,$ et que l’équation (D) donnera celle de $h\,;$ ensuite l’équation finie (E), combinée avec sa différentielle, donnera les valeurs de $f$ et $g\,;$ et de même l’équation (A), combinée avec sa différentielle, donnera celle de $b$ et $c\,;$ enfin l’équation (F) donnera la valeur de $i\,;$ on aura donc d’abord

${\frac {1}{a}}={\frac {1}{r}}-{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{2(1+m)dt^{2}}},\quad h=r-{\frac {r^{2}}{a}}-{\frac {\left(dr^{2}\right)^{2}}{8(1+m)dt^{2}}}\,;$

ensuite on trouvera

${\begin{alignedat}{2}f=&{\frac {(2h-r)dy+ydr}{xdy-ydx}},\qquad &g=&{\frac {(2h-r)dx+xdr}{ydx-xdy}},\\b=&{\frac {zdy-ydz}{xdy-ydx}},&c=&{\frac {zdx-xdz}{ydx-xdy}}\,;\end{alignedat}}$

or, si dans la valeur de $h$ on substitue celle de ${\frac {1}{a}},$ et qu’on y mette $2(xdx+ydy+zdz)$ à la place de $dr^{2},$ on a

$h={\frac {r^{2}\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right)-(xdx+ydy+zdz)^{2}}{2(1+m)dt^{2}}},$

ce qui, à cause de $r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},$ peut se réduire à cette forme

$h={\frac {(xdy-ydx)^{2}+(zdy-ydz)^{2}+(xdz-zdx)^{2}}{2(1+m)dt^{2}}}\,;$

mais on vient de trouver

$zdy-ydz=b(xdy-ydx),\quad xdz-zdx=c(xdy-ydx)\,;$

donc, faisant ces substitutions, extrayant la racine carrée et supposant, pour abréger,

${\frac {h}{1+b^{2}+c^{2}}}=\mathrm {K} ^{2},$

on aura

$\mathrm {K} ={\frac {xdy-ydx}{dt{\sqrt {2(1+m)}}}},$

et les autres formules deviendront, étant multipliées par $\mathrm {K} ,$

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {K} f=&{\frac {(2h-r)dy+ydr}{dt{\sqrt {2(1+m)}}}},\qquad &\mathrm {K} g=&-{\frac {(2h-r)dx+xdr}{dt{\sqrt {2(1+m)}}}},\\\mathrm {K} b=&{\frac {zdy-ydz}{dt{\sqrt {2(1+m)}}}},&\mathrm {K} c=&-{\frac {zdx-xdz}{dt{\sqrt {2(1+m)}}}}.\end{alignedat}}$

Enfin on aura (formule F)

$i=-2t{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}+\operatorname {arc} \,\sin {\frac {2{\sqrt {r-{\cfrac {r^{2}}{a}}-h}}}{\sqrt {a-4h}}}-{\frac {2{\sqrt {r-{\cfrac {r^{2}}{a}}-h}}}{\sqrt {a}}}.$

30. En différentiant ces équations par rapport à la caractéristique $\delta ,$ et changeant partout $\delta d$ en $d\delta ,$ on trouvera les formules suivantes

${\begin{aligned}\delta a=&a^{2}\left({\frac {\delta r}{r^{2}}}+{\frac {dx\,d\delta x+dy\,d\delta y+dz\,d\delta z}{(1+m)dt^{2}}}\right),\\\delta \mathrm {K} =&\quad {\frac {dy\,\delta x-dx\,\delta y+x\,d\,\delta y-y\,d\,\delta x}{dt{\sqrt {2(1+m)}}}},\\\delta f=&\quad {\frac {dy(2\delta h-\delta r)+dr\,\delta y+(2h-r)d\,\delta y+y\,d\,\delta r}{\mathrm {K} dt{\sqrt {2(1+m)}}}}-{\frac {f\delta \mathrm {K} }{\mathrm {K} }},\\\delta g=&-{\frac {dx(2\delta h-\delta r)+dr\,\delta x+(2h-r)d\,\delta x+x\,d\,\delta r}{\mathrm {K} dt{\sqrt {2(1+m)}}}}-{\frac {g\delta \mathrm {K} }{\mathrm {K} }},\\\delta b=&\quad {\frac {dy\delta z-dz\delta y+z\,d\,\delta y-y\,d\,\delta z}{\mathrm {K} dt{\sqrt {2(1+m)}}}}-{\frac {b\delta \mathrm {K} }{\mathrm {K} }},\\\delta c=&-{\frac {dx\delta z-dz\delta x+z\,d\,\delta x-x\,d\,\delta z}{\mathrm {K} dt{\sqrt {2(1+m)}}}}-{\frac {c\delta \mathrm {K} }{\mathrm {K} }},\\\delta h=&2\left(1+b^{2}+c^{2}\right)\mathrm {K\delta K+2K^{2}} (b\delta b+c\delta c),\end{aligned}}$

dans lesquelles il faudra substituer pour $\delta r$ sa valeur

${\frac {x\delta x+y\delta y+z\delta z}{r}},$

et pour $ds\,\delta r$

${\frac {x\,d\,\delta x+y\,d\,\delta y+z\,d\,\delta z}{r}}+d{\frac {x}{r}}\delta x+d{\frac {y}{r}}\delta y+d{\frac {z}{r}}\delta z.$

Quant à la valeur de $\delta i,$ pour la trouver plus aisément, on supposera

${\frac {r}{a}}=v,\quad {\frac {h}{a}}=n,\quad {\frac {2{\sqrt {v-v^{2}-n}}}{\sqrt {1-4n}}}=\mathrm {V} ,$

ee qui réduira la valeur de $i$ à cette forme

$i=-2t{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}+\operatorname {arc} \,\sin \mathrm {V-V} {\sqrt {1-4n}}\,;$

de sorte qu’on aura, en différentiant suivant $\delta$ et faisant tout varier, excepté $t,$

$\delta i=3t{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}{\frac {\delta a}{a}}+\mathrm {\frac {\delta V}{\sqrt {1-V^{2}}}} -{\sqrt {1-4n}}\,\delta \mathrm {V-V} \delta {\sqrt {1-4n}}\,;$

or

${\sqrt {1-\mathrm {V} ^{2}}}={\frac {1-2v}{\sqrt {1-4n}}}\,;$

donc, substituant cette valeur, ainsi que celles de $\mathrm {V}$ et de $\delta \mathrm {V} ,$ et réduisant, il viendra

$\delta i=3t{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}{\frac {\delta a}{a}}+{\frac {2v\delta v+{\cfrac {2\delta n}{1-4n}}(v-2n)}{\sqrt {v-v^{2}-n}}},$

où il n’y aura plus qu’à remettre pour $v$ et $n$ leurs valeurs ${\frac {r}{a}},{\frac {h}{a}},$ et par conséquent pour $\delta v$ et $\delta n$ les quantités ${\frac {a\delta r-r\delta a}{a^{2}}},\ {\frac {a\delta h-h\delta a}{a^{2}}}.$

Après avoir trouvé cette expression de $\delta i,$ j’ai remarqué qu’elle avait l’inconvénient de contenir au dénominateur le radical ${\sqrt {v-v^{2}-n}},$ savoir

${\frac {\sqrt {r-{\cfrac {r^{2}}{a}}-h}}{\sqrt {a}}},$

lequel, comme on l’a vu dans le, n^o 17, devient nul dans les deux apsides de l’orbite ; de sorte que, comme $\delta i$ ne saurait devenir infini, il faut nécessairement que le numérateur soit alors pareillement nul ; d’où il s’ensuit que la formule sera en défaut dans ces deux points.

Pour éviter cet inconvénient, il faut tâcher de donner une autre forme à la valeur de $\delta i,$ et qui soit telle, qu’il n’y ait aucune fonction des variables au dénominateur ; voici comment je suis parvenu à ce but.

Je considère que la quantité

$\mathrm {\frac {\delta V}{\sqrt {1-V^{2}}}}$

est la même chose que celle-ci

$\mathrm {{\sqrt {1-V^{2}}}\,\delta V-V\delta {\sqrt {1-V^{2}}}} ,$

et qu’ainsi on peut réduire la première expression de $\delta i$ à celle-ci

$\delta i=3t{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}{\frac {\delta a}{a}}+\left({\sqrt {1-\mathrm {V} ^{2}}}-{\sqrt {1-4n}}\right)\delta \mathrm {V}$

$-\mathrm {V} \delta \left({\sqrt {1-\mathrm {V} ^{2}}}+{\sqrt {1-4n}}\right)\,;$

mais

$\mathrm {V} ={\frac {2{\sqrt {v-v^{2}-n}}}{\sqrt {1-4n}}}={\frac {2{\sqrt {r-{\cfrac {r^{2}}{a}}-h}}}{{\sqrt {a}}{\sqrt {1-4n}}}},$

et, par le n^o 16 et à cause de $h=na,$

$\mathrm {V} ={\frac {q}{a{\sqrt {1-4n}}{\sqrt {n\left(1+b^{2}+c^{2}\right)}}}},\quad {\sqrt {1-\mathrm {V} ^{2}}}={\frac {1-2v}{\sqrt {1-4n}}}\,;$

par conséquent (n^o 14)

${\sqrt {1-\mathrm {V} ^{2}}}-{\sqrt {1-4n}}={\frac {4n-2v}{\sqrt {1-4n}}}={\frac {4h-2r}{a{\sqrt {1-4n}}}}={\frac {2p}{a{\sqrt {1-4n}}}},$

${\sqrt {1-\mathrm {V} ^{2}}}+{\sqrt {1-4n}}={\frac {2p}{a{\sqrt {1-4n}}}}+2{\sqrt {1-4n}}\,;$

donc, faisant ces substitutions dans l’équation précédente, et effaçant les termes qui viendront de la différentiation de la quantité

$a{\sqrt {1-4n}},$

laquelle divise $p$ et $q,$ parce que ces termes se détruisent mutuellement, on aura

$\delta i=3t{\frac {\sqrt {2(1+m)}}{a^{3}}}{\frac {\delta a}{a}}$

$+{\frac {2}{a^{2}(1-4n)}}\left[p\delta {\frac {q}{\sqrt {n\left(1+b^{2}+c^{2}\right)}}}-{\frac {q}{\sqrt {n\left(1+b^{2}+c^{2}\right)}}}(\delta p-2a\,\delta n)\right].$

Or les formules (G) du n^o 15 donnent

${\begin{aligned}p=&fx+gy,\\q=&\left[f+c(cf-bg)\right]y-\left[g-b(cf-bg)\right]x\,;\end{aligned}}$

donc, substituant ces valeurs, on aura pour $\delta i$ une expression toute rationnelle et entière, et qui ne sera par conséquent sujette à aucun inconvénient.

On remarquera encore, à l’égard de $\delta f,\delta g,\delta b,\delta c,$ qu’on peut aussi les exprimer d’une manière plus simple et plus commode à quelques égards, en les déduisant directement des équations (A) et (E), différentiées d’abord relativement à la caractéristique $\delta ,$ et ensuite par rapport à la caractéristique ordinaire $d\,;$ ce qui, dans le fond, revient au même que si on les différentie d’abord par rapport à cette dernière caractéristique, et ensuite par rapport à la première, ainsi que nous en avons usé plus haut.

De cette manière, l’équation (E) donnera ces deux-ci

$2\delta h-\delta r=x\delta f+y\delta g+f\delta x+g\delta y,\quad -d\,\delta r=dx\delta f+dy\delta g+fd\,\delta x+gd\,\delta y\,;$

d’où l’on tire, en mettant pour $xdy-ydx$ sa valeur $\mathrm {K} dt{\sqrt {2(1+m)}},$

${\begin{aligned}\delta f=&\quad {\frac {dy(2\delta h-\delta r)+yd\,\delta r-f(dy\delta x-yd\,\delta x)-g(dy\delta y-yd\,\delta y)}{\mathrm {K} dt{\sqrt {2(1+m)}}}}\\\delta g=&-{\frac {dx(2\delta h-\delta r)+xd\,\delta r-f(dx\delta x-xd\,\delta x)-g(dx\delta y-xd\,\delta y)}{\mathrm {K} dt{\sqrt {2(1+m)}}}}.\end{aligned}}$

De même l’équation (A) donnera ces deux-ci

$\delta z=x\delta b+y\delta c+b\delta x+c\delta y,\quad d\,\delta z=dx\delta b+dy\delta c+bd\,\delta x+cd\,\delta y\,;$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}\delta b=&{\frac {dy\delta z-yd\,\delta z-b(dy\delta x-yd\,\delta x)-c(dy\delta y-yd\,\delta y)}{\mathrm {K} dt{\sqrt {2(1+m)}}}}\\\delta c=&-{\frac {dx\delta z-xd\,\delta z-b(dx\delta x-xd\,\delta x)-c(dx\delta y-xd\,\delta y)}{\mathrm {K} dt{\sqrt {2(1+m)}}}}\,;\end{aligned}}$

ce sont les formules que nous emploierons dans la suite, par préférence aux autres trouvées ci-dessus.

Enfin on observera que, comme $n={\frac {h}{a}},$ on aura, par la formule (H) du n^o 16,

$4n=1-{\frac {(cf-bg)^{2}+f^{2}+g^{2}}{1+b^{2}+c^{2}}},$

de sorte que, en différentiant suivant $\delta ,$ on aura la valeur de $\delta n$ exprimée à volonté par $\delta h$ et $\delta a,$ ou par $\delta f,\delta g,\delta b,\delta c.$

31. Les formules précédentes ont toute la généralité possiblé ; mais, pour les appliquer à notre cas, il y faut supposer (n^o 25)

$b=0,\quad c=0,\quad g=0,$

ce qui donne [équation (G)]

$z=0,\quad {\frac {dz}{dt}}=0\,;$

par conséquent

$d{\frac {x}{r}}=-{\frac {(x\,dy-y\,dx)y}{r^{3}}},\quad d{\frac {y}{r}}={\frac {(x\,dy-y\,dx)x}{r^{3}}}\,;$

donc

$\delta r={\frac {x\delta x+y\delta y}{r}},\quad d\,\delta r={\frac {x\,d\,\delta x+y\,d\,\delta y}{r}}+{\frac {(x\delta y-y\delta x)(x\,dy-y\,dx)}{r^{3}}}\,;$

de plus on aura

$\mathrm {K} ={\sqrt {h}},\quad \delta \mathrm {K} ={\frac {\delta h}{2{\sqrt {h}}}}\,;$

donc, faisant ces différentes réductions dans les formules ci-dessus, elles deviendront

${\begin{aligned}\delta h=&2h{\frac {dy\delta x-dx\delta y+x\,d\,\delta y-y\,d\,\delta x}{dt{\sqrt {2h(1+m)}}}}\\\delta a=&a^{2}\left({\frac {x\delta x+y\delta y}{r^{3}}}+{\frac {dx\,d\,\delta x+dy\,d\,\delta y}{(1+m)dt^{2}}}\right),\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\delta f=&{\frac {y}{r^{3}}}(x\delta y-y\delta x)-\left(f+{\frac {x}{r}}\right){\frac {dy\delta x-y\,d\,\delta x}{dt{\sqrt {2h(1+m)}}}}\\&-{\frac {y}{r}}{\frac {dy\delta y-y\,d\,\delta y}{dt{\sqrt {2h(1+m)}}}}+{\frac {2dy\delta h}{dt{\sqrt {2h(1+m)}}}},\\\\\delta g=&-{\frac {x}{r^{3}}}(x\delta y-y\delta x)+\left(f+{\frac {x}{r}}\right){\frac {dx\delta x-x\,d\,\delta x}{dt{\sqrt {2h(1+m)}}}}\\&+{\frac {y}{r}}{\frac {dx\delta y-x\,d\,\delta y}{dt{\sqrt {2h(1+m)}}}}-{\frac {2dx\delta h}{dt{\sqrt {2h(1+m)}}}},\\\\\delta b=&{\frac {dy\delta z-y\,d\,\delta z}{dt{\sqrt {2h(1+m)}}}}\\\\\delta c=&{\frac {-dx\delta z+x\,d\,\delta z}{dt{\sqrt {2h(1+m)}}}}\\\\\delta i=&3t{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}{\frac {\delta a}{a}}+{\frac {2(p\delta q-q\delta p)}{a^{2}(1-4n){\sqrt {n}}}}-{\frac {q(p-4an)\delta n}{a^{2}(1-4n)n^{\frac {3}{2}}}}\,;\end{aligned}}$

mais, à cause de $b=0,\ c=0,\ g=0,$ on aura

$p=fx,\quad q=fy,\quad \delta p=f\delta x+x\delta f+y\delta g,\quad \delta q=f\delta y+y\delta f-x\delta g\,;$

donc

$p\delta q-q\delta p=f^{2}(x\delta y-y\delta x)-\left(x^{2}+y^{2}\right)f\delta g\,;$

de plus

$n={\frac {h}{a}}={\frac {1-f^{2}}{4}},\quad \delta n=-{\frac {f\delta f}{2}}\,;$

donc la dernière formule deviendra

$\delta i=3{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}{\frac {\delta a}{a}}+{\frac {2\left(x\delta y-y\delta x-{\cfrac {r^{2}\delta g}{f}}\right)}{\sqrt {a^{3}h}}}+{\frac {y(fx-4h)\delta f}{2{\sqrt {ah^{3}}}}}.$

Et l’on remarquera que, à cause de $n={\frac {h}{a}}$ et de $\delta n=-{\frac {f\delta f}{2}},$ on aura encore cette équation entre $\delta a,\delta h$ et $\delta f,$ savoir

$a\delta h-h\delta a+{\frac {a^{2}f\delta f}{2}}=0,$

laquelle pourra tenir lieu d’une quelconque des trois premières formules.

Telles sont donc les valeurs des quantités $\delta h,\delta a,\delta f,\delta g,\delta b,\delta c,\delta i$ en $\delta x,\delta y,\delta z,$ ${\frac {d\,\delta x}{dt}},{\frac {d\,\delta y}{dt}},{\frac {d\,\delta z}{dt}}\,;$ par conséquent, si l’on met dans ces formules les valeurs de $x,y,dx,dy$ et $dt$ en $u$ et $du,$ savoir

$x={\frac {a}{2}}(\cos u-f),\quad y={\frac {a}{2}}{\sqrt {1-f^{2}}}\cos u,$

et (n^o 21)

$dt={\sqrt {\frac {a}{2(1+m)}}}rdu={\frac {a}{2}}{\sqrt {\frac {a}{2(1+m)}}}(1-f\cos u)du,$

à cause de $e=f,$ elles doivent devenir identiques avec celles du n^o 27 ; de sorte qu’on pourra trouver, par la comparaison des coefficients de $\delta x,\delta y,$ $\delta z,d\,\delta x,\ldots$ dans les expressions de $\delta a,\delta f,\ldots ,$ les valeurs des quantités $\mathrm {A',B',C'} ,\ldots$ des formules de ce numéro ; lesquelles valeurs seront nécessairement les mêmes que si on les avait déduites des formules du n^o 26, au moyen de l’élimination.

32. Revenons maintenant aux expressions de $\delta x,\delta y,\delta z,$ trouvées dans le numéro que nous venons de citer ; comme ces expressions satisfont aux équations différentielies du n^o 23, les quantités $\delta a,\delta b,\delta c,\delta f,\delta g,\delta i$ demeurant constantes et indéterminées, il s’ensuit que, par la substitution de ces valeurs de $\delta x,\delta y,\delta z$ dans les mêmes équations, tous les termes doivent se détruire d’eux-mêmes, indépendamment des quantités $\delta a,\delta b,\ldots \,;$ donc, en général, les termes qui renfermeront les quantités finies $\delta a,\delta b,\ldots$ se détruiront toujours dans les équations dont il s’agit, soit que ces quantités soient constantes ou non.

Donc, si l’on suppose, ce qui est permis, que les mêmes expressions de $\delta x,\delta y,\delta z$ satisfassent aux équations du n^o 22 (lesquelles ne diffèrent, comme l’on voit, de celles du n^o 23 que par les termes $-\mu \mathrm {X} ,-\mu \mathrm {Y} ,-\mu \mathrm {Z}$ ajoutés à leurs seconds membres), mais en y regardant les six quantités $\delta a,\delta b,\delta c,$ $\delta f,\delta g,\delta i$ comme des variables indéterminées, et qu’on en fasse la substitution, il est visible que les termes qui renfermeront ces variables finies s’en iront aussi, et que les équations résultantes seront (n^o 26)

${\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {A} d^{2}\delta a+\mathrm {B} d^{2}\delta f+\mathrm {C} d^{2}\delta g+\mathrm {D} d^{2}\delta i}{dt^{2}}}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +2{\frac {d\mathrm {A} \,d\,\delta a+d\mathrm {B} \,d\,\delta f+d\mathrm {C} \,d\,\delta g+d\mathrm {D} \,d\,\delta i}{dt^{2}}}=-\mu \mathrm {X} ,\\\\&{\frac {\mathrm {E} d^{2}\delta a+\mathrm {F} d^{2}\delta f+\mathrm {G} d^{2}\delta g+\mathrm {H} d^{2}\delta i}{dt^{2}}}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +2{\frac {d\mathrm {E} \,d\,\delta a+d\mathrm {F} \,d\,\delta f+d\mathrm {G} \,d\,\delta g+d\mathrm {H} \,d\,\delta i}{dt^{2}}}=-\mu \mathrm {Y} ,\\\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ \ \ {\frac {\mathrm {K} d^{2}\delta b+\mathrm {L} d^{2}\delta c+2\left(d\mathrm {K} d\,\delta b+d\mathrm {L} d\,\delta c\right)}{dt^{2}}}=-\mu \mathrm {Z} .\end{aligned}}$

33. Comme il y a ici six variables indéterminées, et qu’il n’y a que trois équations pour la détermination de ces variables, il est clair qu’on peut supposer a volonté trois autres équations entre ces mêmes variables, et il sera à propos de prendre ces équations en sorte que les différences secondes des variables $\delta a,\delta b,\ldots$ disparaissent d’elles-mèmes ; c’est de quoi on viendra à bout en supposant

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {A} \,d\,\delta a+\mathrm {B} \,d\,\delta f+\mathrm {C} \,d\,\delta g+\mathrm {D} \,d\,\delta i}{dt}}=&0,\\{\frac {\mathrm {E} \,d\,\delta a+\mathrm {F} \,d\,\delta f+\mathrm {G} \,d\,\delta g+\mathrm {H} \,d\,\delta i}{dt}}=&0,\\{\frac {\mathrm {K} d\,\delta b+\mathrm {L} d\,\delta c}{dt}}=0\,;\end{aligned}}$

car, en retranchant respectivement des équations précédentes les différences de celles-ci, on aura

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {A} \,d\,\delta a+d\mathrm {B} \,d\,\delta f+d\mathrm {C} \,d\,\delta g+d\mathrm {D} \,d\,\delta i}{dt^{2}}}=&-\mu \mathrm {X} ,\\{\frac {d\mathrm {E} \,d\,\delta a+d\mathrm {F} \,d\,\delta f+d\mathrm {G} \,d\,\delta g+d\mathrm {H} \,d\,\delta i}{dt^{2}}}=&-\mu \mathrm {Y} ,\\{\frac {\left(d\mathrm {K} d\,\delta b+d\mathrm {L} d\,\delta c\right)}{dt^{2}}}=&-\mu \mathrm {Z} .\end{aligned}}$

Ayant ainsi six équations entre les six quantités

${\frac {d\,\delta a}{dt}},\quad {\frac {d\,\delta f}{dt}},\quad {\frac {d\,\delta g}{dt}},\quad {\frac {d\,\delta i}{dt}},\quad {\frac {d\,\delta b}{dt}},\quad {\frac {d\,\delta c}{dt}},$

on déterminera, par l’élimination, la valeur de chacune de ces quantités ensuite il n’y aura plus qu’à multiplier ces différentes valeurs par $dt,$ et les intégrer ; on aura de cette manière les valeurs des variables $\delta a,\delta b,\delta c,\delta f,\delta g,\delta i$ qu’il faudra substituer dans les expressions de $\delta x,\delta y,\delta z\,;$ et les équations du n^o 22, qui expriment les perturbations de la comète, seront résolues.

34. Il est important de remarquer que, si l’on différentie les expressions de $\delta x,\delta y,\delta z,$ on aura, en vertu des équations supposées ci-dessus,

${\begin{aligned}d\,\delta x=&d\mathrm {A} \delta a+d\mathrm {B} \delta f+d\mathrm {C} \delta g+d\mathrm {D} \delta i,\\d\,\delta y=&d\mathrm {E} \delta a+d\mathrm {F} \delta f\,+d\mathrm {G} \delta g+d\mathrm {H} \delta i,\\d\,\delta z=&d\mathrm {K} \delta b+d\mathrm {L} \delta c,\end{aligned}}$

précisément comme si les quantités $\delta a,\delta f,\delta g,\delta i,\delta b,\delta c$ étaient constantes, parce que les termes dépendant des variations de ces quantités sont précisément ceux qui forment les équations supposées. D’où il est facile de conclure que, si les équations différentielles du n^o 22 contenaient aussi les différences premières de $\delta x,\delta y,\delta z,$ elles s’intégreraient également par la méthode du numéro précédent, et l’on parviendrait aux mêmes résultats.

Il y a plus, et c’est ici le point essentiel, dans l’orbite non altérée on a pour coordonnées $x,y,z,$ fonctions du temps $t$ et des six constantes arbitraires $a,f,g,i,b,c,$ lesquelles déterminent les six éléments de l’orbite, savoir, le grand axe, l’excentricité, la position du périhélie, l’époque du passage par le périhélie, le lieu du nœud et l’inclinaison (n^os 17, 19, 20). Dans l’orbite troublée, les coordonnées sont $xx+\delta x,y+\delta y,z+\delta z,$ les quantités $\delta x,\delta y,\delta z$ n’étant autre chose que les variations de $x,y,z$ provenant des variations $\delta a,\delta f,\delta g,$ $\delta i,\delta b,\delta c$ des six constantes $a,f,g,i,b,c,$ comme on l’a vu ci-dessus. Ainsi, dans l’orbite troublée, les coordonnées sont exprimées de la même manière que dans l’orbite non troublée, c’est-à-dire, qu’elles sont les mêmes fonctions de $t$ et de $a+\delta a,f+\delta f,g+\delta g,i+\delta i,b+\delta b,c+\delta c,$ qu’elles le sont de $t,a,f,g,i,b,c$ dans l’orbite non troublée. Par conséquent on peut à chaque instant regarder l’orbite troublée comme étant de la même forme que l’orbite non troublée, mais dont les éléments dépendent des quantités $a+\delta a,f+\delta f,g+\delta g,i+\delta i,b+\delta b,c+\delta c,$ lesquelles étant variables, il s’ensuit que les éléments de l’orbite troublée seront variables aussi, et que les quantités $\delta a,\delta f,\delta g,\delta i,\delta b,\delta c$ serviront à déterminer leurs variations. Or, comme nous venons de voir que les valeurs de ces quantités sont telles, que les différences premières de $\delta x,\delta y,\delta z$ sont les mêmes que si ces quantités étaient constantes, il est aisé d’en conclure que les éléments de l’orbite troublée, quoique essentiellement variables, peuvent néanmoins être regardés et traités comme constants pendant un instant, et qu’ainsi non-seulement le lieu de la comète dans l’orbite troublée, mais encore son mouvement instantané, c’est-à-dire, sa vitesse et sa direction, seront dans chaque instant les mêmes que l’on trouverait en les déterminant à l’ordinaire dans une orbite fixe dont les éléments seraient ceux qui répondent à ce même instant.

35. La difficulté est donc réduite à déterminer les valeurs des quantités $\delta a,\delta f,\delta g,\delta i,\delta b,\delta c$ au moyen des six équations du n^o 33.

Or, en examinant ces équations et en les comparant avec les formules qui donnent les valeurs de $\delta x,\delta y,\delta z$ et de leurs différences ${\frac {d\,\delta x}{dt}},{\frac {d\,\delta y}{dt}},{\frac {d\,\delta z}{dt}}$ (n^os 26, 27), il est aisé de voir qu’elles sont semblables, et qu’elles peuvent se déduire de ces mêmes formules en y changeant seulement les quantités $\delta a,\delta f,\delta g,\ldots$ en leurs différences ${\frac {d\,\delta a}{dt}},{\frac {d\,\delta f}{dt}},{\frac {d\,\delta g}{dt}},\ldots ,$ et en y supposant en même temps

$\delta x=0,\ \ \delta y=0,\ \ \delta z=0,\ \ {\frac {d\,\delta x}{dt}}=-\mu \mathrm {X} ,\ \ {\frac {d\,\delta y}{dt}}=-\mu \mathrm {Y} ,\ \ {\frac {d\,\delta z}{dt}}=-\mu \mathrm {Z} .$

Donc, en faisant ces mêmes suppositions dans les expressions de $\delta a,\delta f,$ $\delta g,\ldots$, en $\delta x,{\frac {d\,\delta x}{dt}},\delta y,\ldots ,$ on aura les valeurs des différences ${\frac {d\,\delta a}{dt}},$

${\frac {d\,\delta f}{dt}},\ldots \,;$ ainsi l’on aura (n^o 23)

${\begin{alignedat}{2}{\frac {d\,\delta a}{dt}}=&-\mu \mathrm {\left(C'X+D'Y\right)} ,\qquad &{\frac {d\,\delta f}{dt}}=&-\mu \mathrm {\left(G'X+H'Y\right)} ,\\{\frac {d\,\delta g}{dt}}=&-\mu \mathrm {\left(C''X+D''Y\right)} ,&{\frac {d\,\delta i}{dt}}=&-\mu \mathrm {\left(G''X+H''Y\right)} ,\\{\frac {d\,\delta b}{dt}}=&-\mu \mathrm {L'Z} ,&{\frac {d\,\delta c}{dt}}=&-\mu \mathrm {L''Z} .\end{alignedat}}$

36. En général, il est visible que les équations du n^o 33 ne sont autre chose que les différentielles de celles qui donnent les valeurs de $\delta x,{\frac {d\,\delta x}{dt}},\delta y,\ldots$ en $\delta a,\delta f,\delta g,\ldots ,$ en y faisant varier seulement ces dernières quantités, ainsi que les différences premières ${\frac {d\,\delta x}{dt}},\ {\frac {d\,\delta y}{dt}},\ {\frac {d\,\delta z}{dt}},$ et mettant à la place des différences secondes ${\frac {d^{2}\delta x}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}\delta y}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}\delta z}{dt^{2}}}$ les quantités $-\mu \mathrm {X} ,-\mu \mathrm {Y} ,-\mu \mathrm {Z} \,;$ de sorte qu’en faisant les mêmes opérations sur les équations qui donnent directement les valeurs de $\delta a,\delta f,\ldots$ en $\delta x,{\frac {d\,\delta x}{dt}},\delta y,\ldots ,$ on aura sur-le-champ les valeurs cherchées de ${\frac {d\,\delta a}{dt}},\ {\frac {d\,\delta f}{dt}},\ {\frac {d\,\delta g}{dt}},\ldots .$ C’est ce qu’on peut aussi démontrer à priori par le raisonnement suivant.

Soit, en général,

$\Delta =\Phi$

une quelconque des équations dont il s’agit, étant une des six constantes arbitraires $\delta a,\delta f,\delta g,\delta i,\delta b,\delta c,$ et $\Phi$ la fonction de $t$ et de $\delta x,\delta y,\delta z,$ ${\frac {d\,\delta x}{dt}},\ {\frac {d\,\delta y}{dt}},\ {\frac {d\,\delta z}{dt}}$ qui lui est égale, il est clair que cette équation considérée en elle-même n’est autre chose qu’une intégrale première, ou du premier ordre, des équations du n^o 23, dans laquelle à est la constante arbitraire introduite par l’intégration ; donc, en différentiant, on aura cette équation du second ordre

$d\Phi =0,$

laquelle, ne contenant plus de constantes arbitraires, devra être identique, c’est-à-dire, avoir lieu en même temps que les équations du numéro cité ; de sorte que la différentielle $d\Phi$ devra être telle que, si l’on y substitue à la place des différences secondes ${\frac {d^{2}\delta x}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}\delta y}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}\delta z}{dt^{2}}}$ leurs valeurs données par ces mêmes équations, tous ses termes se détruisent d’eux-mêmes ; c’est aussi de quoi on pourra se convaincre à posteriori par le calcul.

Or, comme les équations du n^o 22 ne diffèrent de celles du n^o 23 que parce que les valeurs de ${\frac {d^{2}\delta x}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}\delta y}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}\delta z}{dt^{2}}}$ ont les termes $-\mu \mathrm {X} ,\ -\mu \mathrm {Y} ,\ -\mu \mathrm {Z}$ de plus, il s’ensuit que si, au lieu de substituer dans l’expression de $d\Phi$ les valeurs de ${\frac {d^{2}\delta x}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}\delta y}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}\delta z}{dt^{2}}},$ déduites des équations du n^o 23, on y substituait les valeurs de ces mêmes quantités, déduites des équations du n^o 22, on aurait nécessairement le même résultat que si l’on y substituait simplement $-\mu \mathrm {X} ,\ -\mu \mathrm {Y} ,\ -\mu \mathrm {Z}$ à la place de ${\frac {d^{2}\delta x}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}\delta y}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}\delta z}{dt^{2}}},$ et qu’on y effaçât en même temps tous les autres termes. Soit $d\Delta$ ce que devient alors la valeur de $d\Phi$ ($\Delta$ étant ici regardée comme variable) on aura donc, pour les équations du n^o 22,

$d\Phi =d\Delta ,\quad \mathrm {et\ de\ l{\grave {a}}} \quad \Phi =\Delta ,$

comme pour celles du n^o 23, mais avec cette différence, que $\Delta$ ne sera plus ici constante, mais une fonction donnée de $t\,;$ et cette équation $\Phi =\Delta$ sera par conséquent aussi une intégrale première des équations du n^o 22.

D’où il est aisé de conclure, en général, que, pour trouver les intégrales de ces dernières équations, qui sont proprement celles qui déterminent les perturbations de la comète, il n’y aura qu’à différentier chacune des formules $\Delta =\Phi$ trouvées plus haut (n^os 30, 31), en n’y faisant varier que la constante $\Delta$ et les différences premières ${\frac {d\,\delta x}{dt}},\ {\frac {d\,\delta y}{dt}},\ {\frac {d\,\delta z}{dt}},$ et y substituer ensuite à la place de ${\frac {d^{2}\delta x}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}\delta y}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}\delta z}{dt^{2}}}$ les quantités $-\mu \mathrm {X} ,$ $-\mu \mathrm {Y} ,\ -\mu \mathrm {Z} \,;$ on aura par ce moyen la valeur de $d\Delta ,$ dont l’intégrale sera celle de $\Delta .$

Ayant déterminé ainsi les valeurs des différentes quantités $\Delta$ qui étaient auparavant constantes, et qui sont devenues maintenant des fonctions de $t,$ on aura des intégrales premières de la même forme qu’auparavant ; par conséquent les intégrales secondes ou finies qui résulteront de celles-là par l’élimination des différences premières ${\frac {d\,\delta x}{dt}},\ {\frac {d\,\delta y}{dt}},\ {\frac {d\,\delta z}{dt}}$ seront encore de la même forme ; d’où il s’ensuit que tant ces différences que les variables finies $\delta x,\delta y,\delta z$ seront aussi de la même forme, c’est-à-dire, les mêmes fonctions de $t$ et des différentes quantités $\Delta$ que dans le cas où ces quantités seraient constantes.

Et il est facile de se convaincre qu’il n’est pas nécessaire, pour l’exactitude de cette méthode, que les différentes constantes $\Delta$ soient dégagées tout à fait des variables dans les intégrales premières des équations du n^o 23, ainsi que nous l’avons supposé il suffit de les imaginer dégagées, ce qui est toujours possible, et de les traiter comme toutes variables à la fois dans la différentiation des mêmes équations intégrales ; on éliminera ensuite successivement les différentielles de ces différentes quantités $\Delta ,$ pour avoir la valeur de chacune de ces différentielles.

Voilà, comme l’on voit, un moyen aussi simple que direct pour déduire les intégrales des équations du n^o 22 de celles des équations plus simples du n^o 23, et, en général, pour intégrer toutes sortes d’équations linéaires, en supposant qu’on sache déjà intégrer ces mêmes équations dans le cas où elles ne contiendraient aucun terme tout connu.

37. Qu’on différentie donc, d’après la méthode précédente, les formules du n^o 31, en y faisant varier seulement les quantités $\delta h,\delta a,\delta f,\delta g,\delta i,\delta b,\delta c,$ ainsi que les trois differences premières ${\frac {d\,\delta x}{dt}},\ {\frac {d\,\delta y}{dt}},\ {\frac {d\,\delta z}{dt}},$ et qu’on y mette ensuite, à la place des différences secondes ${\frac {d^{2}\delta x}{dt}},\ {\frac {d^{2}\delta y}{dt}},\ {\frac {d^{2}\delta z}{dt}},$ les quantités $-\mu \mathrm {X} ,\ -\mu \mathrm {Y} ,\ -\mu \mathrm {Z} ,$ c’est-à-dire, $-\mu \mathrm {X} dt,\ -\mu \mathrm {Y} dt,$ $-\mu \mathrm {Z} dt$ à la place de $d{\frac {d\,\delta x}{dt}},\ d{\frac {d\,\delta y}{dt}},\ d{\frac {d\,\delta z}{dt}}\,;$ on aura les équations suivantes

${\begin{aligned}d\,\delta h=&-\mu {\frac {\sqrt {2h}}{1+m}}(x\mathrm {Y} -y\mathrm {X} )dt,\\d\,\delta a=&-{\frac {\mu }{1+m}}a^{2}(\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy),\\d\,\delta f=&-{\frac {\mu ydt}{\sqrt {2h(1+m)}}}\left[\left(f+{\frac {x}{r}}\right)\mathrm {X} +{\frac {y}{r}}\mathrm {Y} \right]+{\frac {2dyd\,\delta h}{dt{\sqrt {2h(1+m)}}}},\\d\,\delta g=&\quad {\frac {\mu xdt}{\sqrt {2h(1+m)}}}\left[\left(f+{\frac {x}{r}}\right)\mathrm {X} +{\frac {y}{r}}\mathrm {Y} \right]-{\frac {2dxd\,\delta h}{dt{\sqrt {2h(1+m)}}}},\\d\,\delta b=&\quad {\frac {\mu y}{\sqrt {2h(1+m)}}}\mathrm {Z} dt,\\d\,\delta c=&-{\frac {\mu x}{\sqrt {2h(1+m)}}}\mathrm {Z} dt,\\d\,\delta i=&3t{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}{\frac {d\,\delta a}{a}}-{\frac {2r^{2}d\,\delta g}{f{\sqrt {a^{3}h}}}}+{\frac {y(fx-4h)d\,\delta f}{2{\sqrt {ah^{3}}}}}\,;\end{aligned}}$

et l’équation entre $\delta a,\delta h,\delta f,$ étant différentiée aussi, donnera

$ad\,\delta h-hd\,\delta a+{\frac {a^{2}fd\,\delta f}{2}}=0,$

qui servira à déterminer, si l’on veut, $d\,\delta f,$ en connaissant $d\,\delta h$ et $d\,\delta a.$

Or je remarque qu’on a cette combinaison

$xd\,\delta f+yd\,\delta g=2{\frac {xdy-ydx}{dt{\sqrt {2h(1+m)}}}}d\,\delta h=2d\,\delta h\,;$

de sorte qu’on aura

$d\,\delta g={\frac {2d\,\delta h-xd\,\delta f}{y}},$

ainsi, comme

$d\,\delta f={\frac {2(hd\,\delta a-ad\,\delta h)}{a^{2}f}},$

on aura

$d\,\delta g={\frac {2}{afy}}\left[(af+x)d\,\delta h-xh\right]{\frac {d\,\delta a}{a}},$

valeurs que l’on pourra employer à la place des précédentes.

Telles sont les formules par l’intégration desquelles il faudra déterminer les valeurs des quantités $\delta h,\delta a,\delta b,\delta c,\delta f,\delta g,\delta i\,;$ et il est visible que ces intégrations ne demandent que de simples quadratures, puisque les quantités $x,y$ et $\mathrm {X,Y,Z}$ sont censées données en $t$ d’après les mouvements supposés connus de la comète dans l’orbite non altérée, et de la planète perturbatrice dans son orbite.

38. Connaissant ces différentes quantités, on aura les éléments de l’orbite troublée, au moyen desquels on pourra calculer, par les méthodes ordinaires, tant le lieu que la vitesse et la direction de la comète dans un instant quelconque, ainsi que nous l’avons démontré plus haut (n^o 34).

Pour cet effet, on se ressouviendra que $a$ est le grand axe de l’orbite non altérée, $4h$ le paramètre du grand axe, et $e={\sqrt {1-{\frac {4h}{a}}}}$ l’excentricité (n^o 17).

Ainsi $a+\delta a$ sera le grand axe de l’orbite troublée, $4h+4\delta h$ le paramètre de cette orbite, et $e+\delta e=e+2{\frac {h\delta a-a\delta h}{ea^{2}}}$ son excentricité.

Ensuite, en différentiant suivant $\delta$ les valeurs de $b$ et de $c$ de ce même n^o 17, et faisant, suivant l’hypothèse du n^o 25, $\psi =0,$ on aura

$\delta b=-\sin \omega \delta \psi ,\quad \delta c=\cos \omega \delta \psi \,;$

ainsi $\delta \psi$ sera l’inclinaison du plan de l’orbite troublée sur le plan de l’orbite non troublée, et $\omega$ sera l’angle que la ligne des nœuds de ces deux plans fait avec l’axe des $x,$ lequel est en même temps le grand axe de l’orbite non altérée (n^o 25) ; de sorte que sera proprement la longitude du nœud ascendant de l’orbite troublée, comptée sur le plan de l’orbite non troublée depuis le périhélie de cette dernière orbite.

En différentiant de même les valeurs de $f$ et de $g$ du n^o 17, et faisant, d’après le n^o 25, $\psi =0$ et $\varepsilon =0,$ on aura

$\delta f=\delta e,\quad \delta g=e\delta \varepsilon \,;$

et il est clair, par les dénominations du n^o 13, que $90^{\circ }+\delta \varepsilon$ sera la lon-

gitude du point de l’orbite troublée qui est à $90$ degrés du périhélie, comptée sur le plan de l’orbite non troublée, depuis le périhélie de celle-ci ; mais, à cause que ces deux orbites ne font entre elles qu’un très-petit angle $\delta \psi ,$ et que nous négligeons ici les $\delta \psi ^{2},$ il est très-facile de prouver que sera la longitude même du périhélie de l’orbite troublée, la projection d’un arc de $90$ degrés ne pouvant différer de $90$ degrés que par des quantités de l’ordre de $\delta \psi ^{2}.$ Ainsi le petit angle $\delta \varepsilon$ exprimera proprement le mouvement du périhélie en longitude, en vertu des perturbations.

Enfin on se rappellera que $i$ est l’époque de l’anomalie moyenne dans l’orbite non troublée, c’est-à-dire, la valeur de cette anomalie lorsque $t=0$ (n^o 20) ; donc $i+\delta i$ sera aussi l’époque de la même anomalie dans l’orbite troublée ; en sorte qu’ajoutant à cette époque le mouvement moyen pendant le temps $t,$ dans une orbite dont le grand axe serait $a+\delta a,$ on aura l’anomalie moyenne qui servira à déterminer le lieu de la comète dans l’orbite troublée.

Ainsi

$\theta =2t{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}+i$

étant (numéro cité) l’anomalie moyenne dans l’orbite non troublée, on aura $\theta +\delta \theta$ pour l’anomalie moyenne dans l’orbite troublée, et l’on trouvera la valeur de $\delta \theta$ par la différentiation de l’équation précédente, en y faisant varier $a$ et $i$ seulement, en sorte qu’on aura

$\delta \theta =-3t{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}{\frac {\delta a}{a}}+\delta i.$

Comme $\delta a$ et $\delta i$ sont ici des quantités variables, si l’on différentie à l’ordinaire cette valeur de $\delta \theta ,$ on aura

$d\,\delta \theta =-3dt{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}{\frac {\delta a}{a}}-3t{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}{\frac {d\,\delta a}{a}}+d\,\delta i\,;$

et substituant pour $d\,\delta i$ sa valeur trouvée dans le numéro précédent,

on aura

$d\,\delta \theta =-3dt{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}{\frac {\delta a}{a}}-{\frac {2r^{2}d\,\delta g}{f{\sqrt {a^{3}h}}}}+{\frac {y(xf-4h)d\,\delta f}{2{\sqrt {ah^{3}}}}},$

dont l’intégrale donnera directement la valeur de $\alpha$, qui est l’altération de l’anomalie moyenne causée par les perturbations.

39. Nous avons donné, dans la première Section (n^os 10, 11), une manière de transformer les équations générales des perturbations, en sorte que les forces perturbatrices deviennent très-petites lorsque la comète est à une grande distance du Soleil ; comme cette transformation est d’une grande utilité pour le calcul des perturbations dans la partie supérieure de l’orbite, il faut voir maintenant comment elle peut s’appliquer aussi aux formules que nous venons de trouver.

La transformation dont il s’agit consiste en ce que, si l’on fait

${\begin{aligned}\delta x=&\mu \left({\frac {x}{3(1+m)}}+{\frac {\xi }{1+\mu }}\right)+\delta x',\\\delta y=&\mu \left({\frac {y}{3(1+m)}}+{\frac {\eta }{1+\mu }}\right)+\delta y',\\\delta z=&\mu \left({\frac {z}{3(1+m)}}+{\frac {\zeta }{1+\mu }}\right)+\delta z',\end{aligned}}$

et de plus

$\mathrm {X} '={\frac {d\mathrm {\left({\cfrac {1}{S}}-{\cfrac {1}{R}}\right)} }{dx}},\quad \mathrm {Y} '={\frac {d\mathrm {\left({\cfrac {1}{S}}-{\cfrac {1}{R}}\right)} }{dy}},\quad \mathrm {Z} '={\frac {d\mathrm {\left({\cfrac {1}{S}}-{\cfrac {1}{R}}\right)} }{dz}},$

on aura entre $\delta x',\delta y',\delta z'$ et $\mathrm {X',Y',Z'}$ les mêmes équations qu’entre $\delta x,\delta y,\delta z$ et $\mathrm {X,Y,Z} ,$ c’est-à-dire, des équations de la mêmes forme que celles du n^o 22, en y marquant seulement les quantités $\delta x,\delta y,\delta z,$ $\mathrm {X,Y,Z} ,$ chacune d’un trait.

On peut donc appliquer à ces équations les mêmes raisonnements et les mêmes opérations que nous venons de faire dans cette Section sur les équations du n^o 22, et en tirer des conclusions semblables. Ainsi, si l’on dénote par $\delta a',\delta b',\delta c',\delta f',\delta g',\delta h',\delta i'$ des quantités analogues aux quantités $\delta a,\delta b,\delta c,\ldots ,$ on aura des formules semblables à celles des n^os 31 et 37 ci-dessus, en y marquant d’un trait les quantités $\delta a,\delta b,\delta c,\delta f,$ $\delta g,\delta h,\delta i,\delta x,\delta y,\delta z,\mathrm {X,Y,Z} .$ Par les premières, on aura les valeurs de $\delta a',\delta b',\ldots$ en $\delta x',{\frac {d\,\delta x'}{dt}},\delta y',\ldots ,$ et par les autres les valeurs de $d\,\delta a',$ $d\,\delta b',\ldots$ en $\mathrm {X',Y',Z'} .$

Supposons maintenant qu’on substitue dans les formules du n^o 31 les valeurs précédentes de $\delta x,\delta y,\delta z\,;$ il est aisé de voir (à cause que ces quantités n’entrent dans les mêmes formules que sous une forme linéaire) que les valeurs des quantités $\delta h,\delta a,\delta f,\ldots$, deviendront

${\begin{alignedat}{2}\delta h=&\mu \mathrm {H} &+&\delta h',\\\delta a=&\mu \mathrm {A} &+&\delta a',\\\delta f=&\mu \mathrm {F} &+&\delta f',\\\delta g=&\mu \mathrm {G} &+&\delta g',\\\delta b=&\mu \mathrm {B} &+&\delta b',\\\delta c=&\mu \mathrm {C} &+&\delta c',\\\delta i=&\mu \mathrm {I} &+&\delta i',\end{alignedat}}$

en dénotant par $\mu \mathrm {H,\mu A,\mu F} ,$ les valeurs de $\delta h,\delta a,\delta f,\ldots$, provenant de la simple substitution de $\mu \left({\frac {x}{3(1+m)}}+{\frac {\xi }{1+\mu }}\right)$ à la place de $\delta x,$ de $\mu \left({\frac {y}{3(1+m)}}+{\frac {\eta }{1+\mu }}\right)$ à la place de $\delta y,$ et de $\mu \left({\frac {z}{3(1+m)}}+{\frac {\zeta }{1+\mu }}\right)$ à la place de $\delta z.$

De sorte qu’en faisant

$z=0,\quad {\frac {dz}{dt}}=0,$

et mettant à la place de $xdy-ydx$ sa valeur $dt{\sqrt {2h(1+m)}}$ (n^os 29, 31), on aura

${\begin{aligned}\mathrm {H} =&{\frac {4h}{3(1+m)}}+{\frac {2h}{1+\mu }}{\frac {\xi dy-\eta dx+xd\eta -yd\xi }{dt{\sqrt {2h(1+m)}}}},\\\mathrm {A} =&{\frac {a^{2}}{3(1+m)}}\left({\frac {1}{r}}+{\frac {dx^{2}+dy^{2}}{(1+m)dt^{2}}}\right)+{\frac {a^{2}}{1+\mu }}\left({\frac {x\xi +y\eta }{r^{3}}}+{\frac {dxd\xi +dyd\eta }{(1+m)dt^{2}}}\right),\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {F} =&-{\frac {f+{\cfrac {x}{r}}}{3(1+m)}}+{\frac {{\cfrac {y}{r^{3}}}(x\eta -y\xi )}{1+\mu }}\\&-{\frac {\left(f+{\cfrac {x}{r}}\right)(\xi dy-yd\xi )+{\cfrac {y}{r}}(\eta dy-yd\eta )}{(1+\mu )dt{\sqrt {2h(1+m)}}}}+{\frac {2\mathrm {H} dy}{dt{\sqrt {2h(1+m)}}}},\\\\\mathrm {G} =&-{\frac {\cfrac {y}{r}}{3(1+m)}}-{\frac {{\cfrac {x}{r^{3}}}(x\eta -y\xi )}{1+\mu }}\\&+{\frac {\left(f+{\cfrac {x}{r}}\right)(\xi dx-xd\xi )+{\cfrac {y}{r}}(\eta dx-xd\eta )}{(1+\mu )dt{\sqrt {2h(1+m)}}}}-{\frac {2\mathrm {H} dx}{dt{\sqrt {2h(1+m)}}}},\\\\\mathrm {B} =&{\frac {\zeta dy-yd\zeta }{(1+\mu )dt{\sqrt {2h(1+m)}}}},\\\\\mathrm {C} =&{\frac {xd\zeta -\zeta dx}{(1+\mu )dt{\sqrt {2h(1+m)}}}},\\\\\mathrm {I} =&{\frac {3t}{a}}{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}\mathrm {A} +2{\frac {\left({\cfrac {x\eta -y\xi }{1+\mu }}-{\cfrac {r^{2}\mathrm {G} }{f}}\right)}{\sqrt {a^{3}h}}}+{\frac {y(fx-4h)\mathrm {F} }{2{\sqrt {a^{3}h}}}}.\end{aligned}}$

De plus on aura, par les formules du n^o 37, en y marquant d’un trait les quantités $\delta h,\delta a,\ldots ,\mathrm {X,Y,Z} ,$

${\begin{aligned}d\,\delta h'=&-\mu {\frac {\sqrt {2h}}{1+\mu }}(x\mathrm {Y} '-y\mathrm {X} ')dt,\\d\,\delta a'=&-{\frac {\mu }{1+m}}a^{2}(\mathrm {X} 'dx+\mathrm {Y} 'dy),\\d\,\delta f'=&-{\frac {\mu ydt}{\sqrt {2h(1+m)}}}\left[\left(f+{\frac {x}{r}}\right)\mathrm {X} '+{\frac {y}{r}}\mathrm {Y} '\right]+{\frac {2dyd\,\delta h'}{dt{\sqrt {2h(1+m)}}}},\\d\,\delta g'=&\quad {\frac {\mu xdt}{\sqrt {2h(1+m)}}}\left[\left(f+{\frac {x}{r}}\right)\mathrm {X} '+{\frac {y}{r}}\mathrm {Y} '\right]-{\frac {2dxd\,\delta h'}{dt{\sqrt {2h(1+m)}}}},\\d\,\delta b'=&\quad {\frac {\mu y}{\sqrt {2h(1+m)}}}\mathrm {Z} 'dt,\\d\,\delta c'=&-{\frac {\mu x}{\sqrt {2h(1+m)}}}\mathrm {Z} 'dt,\\d\,\delta i'=&3t{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}{\frac {d\,\delta a'}{a}}-{\frac {2r^{2}d\,\delta g'}{f{\sqrt {a^{3}h}}}}+{\frac {y(fx-4h)d\,\delta f'}{2{\sqrt {ah^{3}}}}}.\end{aligned}}$

Donc, si l’on différentie les valeurs de $\delta h,\delta a,\ldots$ données ci-dessus, et

qu’on y substitue ensuite les valeurs précédentes de $d\,\delta h',d\,\delta a',\ldots ,$ il viendra

${\begin{aligned}d\,\delta h=&\mu d\mathrm {H} -\mu {\frac {\sqrt {2h}}{1+\mu }}(x\mathrm {Y} '-y\mathrm {X} ')dt,\\d\,\delta a=&\mu d\mathrm {A} -{\frac {\mu }{1+m}}a^{2}(\mathrm {X} 'dx+\mathrm {Y} 'dy),\\d\,\delta f=&\mu d\mathrm {F} -{\frac {\mu ydt}{\sqrt {2h(1+m)}}}\left[\left(f+{\frac {x}{r}}\right)\mathrm {X} '+{\frac {y}{r}}\mathrm {Y} '\right]+{\frac {2dyd\,\delta h'}{dt{\sqrt {2h(1+m)}}}},\\d\,\delta g=&\mu d\mathrm {G} +{\frac {\mu xdt}{\sqrt {2h(1+m)}}}\left[\left(f+{\frac {x}{r}}\right)\mathrm {X} '+{\frac {y}{r}}\mathrm {Y} '\right]-{\frac {2dxd\,\delta h'}{dt{\sqrt {2h(1+m)}}}},\\d\,\delta b=&\mu d\mathrm {B} +{\frac {\mu y}{\sqrt {2h(1+m)}}}\mathrm {Z} 'dt,\\d\,\delta c=&\mu d\mathrm {C} -{\frac {\mu x}{\sqrt {2h(1+m)}}}\mathrm {Z} 'dt,\\d\,\delta i=&\mu d\mathrm {I} +3t{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}{\frac {d\,\delta a'}{a}}-{\frac {2r^{2}d\,\delta g'}{f{\sqrt {a^{3}h}}}}+{\frac {y(fx-4h)d\,\delta f'}{2{\sqrt {ah^{3}}}}},\end{aligned}}$

formules qu’on pourra employer à la place de celles du n^o 37, avec lesquelles elles sont identiques dans le fond.

40. En comparant les formules précédentes avec celles du n^o 37, il est aisé d’en tirer cette conclusion générale, qu’il est permis de changer dans ces dernières les quantités $\mathrm {X,Y,Z}$ en $\mathrm {X',Y',Z'} ,$ ourvu qu’on ajoute en même temps aux valeurs de $d\,\delta h,d\,\delta a,d\,\delta f,\ldots$ les quantités $\mu d\mathrm {H} ,\mu d\mathrm {A} ,\mu d\mathrm {F} ,\ldots .$

De là il s’ensuit que, soit, par exemple, $\mu \Pi dt$ la valeur de $d\,\delta h$ dans les formules du n^o 37, on aura, en intégrant,

$\delta h=\int \mu \Pi dt,$

cette intégrale étant supposée commencer au point où $\delta h=0.$ Supposons maintenant qu’à commencer d’un point donné de l’orbite on veuille employer les quantités $\mathrm {X',Y',Z'}$ à la place des $\mathrm {X,Y,Z} ,$ et qu’on dénote

par $\delta h'$ la valeur de $\delta h$ pour ce point, c’est-à-dire, la valeur de l’intégrale $\int \mu \Pi dt$ étendue jusqu’à ce point ; soit $\Pi '$ ce que devient $\Pi$ en y changeant $\mathrm {X,Y,Z}$ en $\mathrm {X',Y',Z'} :$ on aura, en général, par les formules du numéro précédent,

$d\,\delta h=\mu d\mathrm {H} +\mu \Pi 'dt\,;$

donc, intégrant,

$\delta h=\mu \mathrm {H} +\int \mu \Pi 'dt+\mathrm {const} .$

Soit $\mathrm {H} '$ la valeur de $\mathrm {H}$ dans le même point de l’orbite, et supposons que l’intégrale $\int \mu \Pi 'dt$ commence aussi à ce point dans lequel on a supposé que finit l’intégrale $\int \mu \Pi dt\,;$ on aura donc dans ce point

$\delta h'=\mu \mathrm {H} '+\mathrm {const} .,\quad {\text{donc}}\quad \mathrm {const} .=\delta h'-\mu \mathrm {H} '\,;$

donc on aura, en général,

$\delta h=\mu \mathrm {H} -\mu \mathrm {H} '+\delta h'+\int \mu \Pi 'dt,$

savoir

$\delta h=\mu \mathrm {H} -\mu \mathrm {H} '+\int \mu \Pi dt+\int \mu \Pi 'dt.$

Supposons ensuite que, dans un autre point quelconque de l’orbite, on veuille changer de nouveau les quantités $\mathrm {X',Y',Z'}$ en $\mathrm {X,Y,Z} ,$ et soient dénotées par $\delta h''$ et par $\mathrm {H} ''$ les valeurs de $\delta h$ et de $\mathrm {H}$ pour ce second point ; on aura donc dans ce point

$\delta h''=\mu \mathrm {H} ''-\mu \mathrm {H} '+\int \mu \Pi dt+\int \mu \Pi 'dt,$

l’intégrale $\int \mu \Pi 'dt$ étant supposée étendue jusqu’à ce second point. Or, lorsqu’on emploie les quantités $\mathrm {X,Y,Z} ,$ on a, en général,

$d\,\delta h=\mu \Pi dt,\quad {\text{donc}}\quad \delta h=\int \mu \Pi dt+\mathrm {const} .\,;$

supposons que l’intégrale $\int \mu \Pi dt$ commence à ce second point dans lequel $\delta h$ devient $\delta h'',$ et l’on aura $\delta h''=\mathrm {const} .\,;$ donc, en général,

$\delta h=\int \mu \Pi dt+\delta h'',$

et, substituant la valeur de $\delta h'',$

$\delta h=\mu \mathrm {H} ''-\mu \mathrm {H} '+\int \mu \Pi dt+\int \mu \Pi 'dt+\int \mu \Pi dt\,;$

dans cette formule, la première intégrale $\int \mu \Pi dt$ est supposée commencer au point de l’orbite où $\delta h$ est nul et s’étendre seulement jusqu’au point où les quantités $\mathrm {X,Y,Z}$ se changent en $\mathrm {X',Y',Z'} \,;$ la seconde intégrale $\int \mu \Pi 'dt$ est supposée commencer à ce point et s’étendre jusqu’à l’autre point où les quantités $\mathrm {X',Y',Z'}$ redeviennent $\mathrm {X,Y,Z} \,;$ enfin la troisième intégrale $\int \mu \Pi dt$ commence à ce dernier point et s’étend indéfiniment de sorte que ces différentes intégrales ne forment proprement qu’une seule intégrale, qui commence au point où $\delta h$ est nul et qui s’étend indéfiniment, mais avec cette condition que la quantité $\Pi$ se change en $\Pi '$ dans une certaine étendue.

On voit par là que, dans l’intégration de la valeur de $d\,\delta h$ du n^o 37, on peut changer à volonté les quantités $\mathrm {X,Y,Z} ,$ en leurs analogues $\mathrm {X',Y',Z'} ,$ et rétablir ensuite celles-là à la place de celles-ci, pourvu qu’on ajoute en même temps à la valeur finie de $\delta h$ la quantité $\mu \mathrm {H} ''-\mu \mathrm {H} ',$ qui est la différence des deux valeurs de $\mu \mathrm {H} ,$ dont l’une $\mu \mathrm {H} '$ se rapporte au point où $\mathrm {X,Y,Z}$ se changent en $\mathrm {X',Y',Z'} ,$ et dont l’autre $\mu \mathrm {H} ''$ se rapporte au point où $\mathrm {X',Y',Z'}$ redeviennent $\mathrm {X,Y,Z} .$

On fera le même raisonnement sur chacune des autres formules du n^o 37, et l’on tirera des conclusions semblables. Ainsi, dans l’intégration de la valeur de $d\,\delta a,$ on pourra, pour un certain espace à volonté, changer $\mathrm {X,Y,Z}$ en $\mathrm {X',Y',Z'} ,$ pourvu qu’on ajoute ensuite à la valeur finie de $\delta a$ l’excès de la valeur de $\mu \mathrm {A}$ qui répond à la fin de cet espace sur la valeur de $\mu \mathrm {A}$ qui répond au commencement du même espace, etc.

Et, si l’on voulait substituer à plusieurs reprises les quantités $\mathrm {X',Y',Z'}$ à la place de $\mathrm {X,Y,Z} ,$ on ferait la même opération pour chaque nouvelle substitution.

41. Une des déterminations les plus importantes de la Théorie des perturbations des comètes est celle de l’altération du temps périodique. Rien n’est plus facile que de trouver cette altération par le moyen de la formule que nous avons donnée (n^o 38) pour l’anomalie moyenne dans l’orbite troublée. En effet, $\theta$ exprimant, en général, l’anomalie moyenne dans l’orbite non altérée, et $\theta +\delta \theta$ l’anomalie moyenne qui a lieu en même temps dans l’orbite troublée, on aura, pour l’instant du périhélie dans l’orbite troublée, $\theta +\delta \theta =0\,;$ d’où $\theta =-\delta \theta ,$ ou (ce qui revient au même), $\theta =360^{\circ }-\delta \theta .$ D’où l’on voit que, lorsque la comète passera au périhélie dans son orbite troublée, une comète fictive, qu’on supposerait se mouvoir dans l’orbite non altérée, serait encore éloignée de son périhélie de la quantité qui répond à l’anomalie moyenne $\delta \theta$ dans cette même orbite. Donc, comme on a, en général (n^o 20),

$\theta =2t{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}+i,$

$i$ étant une constante dans l’orbite non altérée, si l’on dénote par $\delta t$ le temps qui répond à l’anomalie $\delta \theta$ dans cette orbite, on aura

$\delta \theta =2\delta t{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}\,;$

donc

$\delta t={\sqrt {\frac {a^{3}}{8(1+m)}}}\delta \theta \,;$

c’est le temps dont le passage au périhélie de l’orbite troublée précédera le passage au périhélie de l’orbite non altérée, ce temps étant exprimé par le mouvement moyen du Soleil qui y répond (numéro cité).

Dénotons par $\delta \theta '$ et $\delta \theta ''$ les valeurs de $\delta \theta$ qui répondent à deux périhélies consécutifs, et par $\delta t',\delta t''$ les valeurs correspondantes de $\delta t,$ en sorte que l’on ait

$\delta t'={\sqrt {\frac {a^{3}}{8(1+m)}}}\delta \theta ',\quad \delta t''={\sqrt {\frac {a^{3}}{8(1+m)}}}\delta \theta ''\,;$

soient de plus $t'$ et $t''$ les temps des passages par les deux périhélies consécutifs dans l’orbite non altérée on aura, pour les temps de ces passages dans l’orbite troublée, $t'-\delta t',t''-\delta t''\,;$ donc la différence de ces temps, c’est-à-dire, l’intervalle de temps entre deux passages consécutifs au périhélie de l’orbite troublée, sera $t''-t'+\delta t'-\delta t'',$ où $t''-t'$ est le même intervalle pour l’orbite non altérée. D’où il s’ensuit que la durée de la révolution anomalistique dans l’orbite troublée surpassera la même durée, dans l’orbite non altérée, du temps exprimé par

$\delta t'-\delta t'',$

ou par

${\sqrt {\frac {a^{3}}{8(1+m)}}}(\delta \theta '-\delta \theta '')\,;$

c’est l’altération produite par les perturbations.

Il faut remarquer que, pour avoir les valeurs de $\delta \theta '$ et $\delta \theta '',$ il faudrait à la rigueur supposer, dans $\delta \theta ,$ $t=t'-\delta t',\ t=t''-\delta t''\,;$ mais, comme nous négligeons les carrés et les produits des forces perturbatrices, et par conséquent aussi de toutes les quantités résultant de ces forces, il suffira d’y faire $t=t'$ et $t=t''.$

Nous venons de déterminer l’altération de la révolution anomalistique de la comète ; si l’on voulait avoir l’altération de sa révolution périodique, il faudrait défalquer de l’altération précédente le temps dû au changement du périhélie. Or nous avons vu (n^o 38) que le périhélie de l’orbite troublée est plus avancé que celui de l’orbite non altérée de l’angle $\delta \varepsilon ={\frac {\delta g}{e}}\,;$ donc, si l’on dénote par $\delta \varepsilon '$ et $\delta \varepsilon ''$ les valeurs de $\delta \varepsilon$ qui répondent à $t=t'$ et $t=t'',$ on aura $\delta \varepsilon ''-\delta \varepsilon '$ pour l’angle dont le périhélie de l’orbite troublée aura avancé pendant une révolution ; ainsi la quantité à défalquer de l’altération de la révolution anomalistique, pour avoir celle de la révolution périodique, sera le temps qui répond à l’angle ou à l’anomalie vraie $\delta \varepsilon ''-\delta \varepsilon '.$

Pour trouver ce temps, on pourra employer la formule différentielle (n^o 21)

$dt={\frac {r^{2}d\varphi }{\sqrt {2h(1+m)}}},$

en faisant $d\varphi =\delta \varepsilon ''-\delta \varepsilon '$ et $r$ égal à la distance périhélie dans l’orbite non altérée, laquelle est

${\frac {a-ae}{2}}={\frac {a}{2}}(1-e)={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{2(1+e)}}={\frac {2h}{1+e}},$

de sorte qu’on aura, pour le temps cherché, la quantité

$\left({\frac {2h}{1+e}}\right)^{2}{\frac {\delta \varepsilon ''-\delta \varepsilon '}{\sqrt {2h(1+m)}}}.$

Donc la durée de la révolution périodique de la comète dans l’orbite troublée, c’est-à-dire, le temps qu’elle mettra à faire une révolution entière depuis son départ du périhélie jusqu’à ce qu’elle revienne sur la ligne du même périhélie, surpassera le temps de la révolution entière, dans l’orbite non altérée, de la quantité

${\sqrt {\frac {a^{3}}{8(1+m)}}}(\delta \theta '-\delta \theta '')-\left({\frac {2h}{1+e}}\right)^{2}{\frac {\delta \varepsilon ''-\delta \varepsilon '}{\sqrt {2h(1+m)}}},$

laquelle, en substituant pour $\delta \theta '$ et $\delta \theta ''$ leurs valeurs déduites de la formule du n^o 38, et dénotant par $\delta a',\delta i'$ et par $\delta a'',\delta i''$ les valeurs de $\delta a,\delta i,$ qui répondent à $t=t'$ et $t=t'',$ se réduit à celle-ci

${\frac {3(t''\delta a''-t'\delta a')}{2a}}-{\sqrt {\frac {a^{3}}{8(1+m)}}}(\delta i''-\delta i')-\left({\frac {2h}{1+e}}\right)^{2}{\frac {\delta \varepsilon ''-\delta \varepsilon '}{\sqrt {2h(1+m)}}}.$

---

section quatrième.

application des théories précédentes au calcul des perturbations des comètes, et en particulier au calcul des perturbations de la comète de 1532 et de 1661.

42. Cette application se présente d’elle-même ; il ne s’agit que de trouver les valeurs des quantités $\delta h,\delta a,\delta f,\delta g,\delta b,\delta c,\delta i,$ par l’intégration des formules du n^o 37, et l’on aura immédiatement les altérations des éléments de l’orbite de là comète dues aux perturbations (n^o 38) ; mais la grande difficulté consiste dans ces intégrations, lesquelles, à cause de la grande excentricité de l’orbite des comètes, ne peuvent s’exécuter, en général, par aucune méthode connue et demandent nécessairement des quadratures de courbes mécaniques.

Nous allons proposer les moyens qui nous paraissent les plus propres pour arriver à ce but.

Je commence par substituer, dans l’es équations du n^o 37, les valeurs de $\mathrm {X,Y,Z}$ (n^o 22), lesquelles, en effectuant les différentiations indiquées, deviennent

$\mathrm {X} ={\frac {\xi }{\rho ^{3}}}+{\frac {x-\xi }{\mathrm {R} ^{3}}},\quad \mathrm {Y} ={\frac {\eta }{\rho ^{3}}}+{\frac {y-\eta }{\mathrm {R} ^{3}}},\quad \mathrm {Z} ={\frac {\zeta }{\rho ^{3}}}+{\frac {z-\zeta }{\mathrm {R} ^{3}}}\,;$

je substitue de plus, à la place des quantités $x,y,z,r,dt,$ leurs valeurs exprimées par l’anomalie excentrique $u,$ parce que l’emploi de cette anomalie rend tout à la fois les formules plus simples et plus faciles à calculer ; ces valeurs sont (en faisant $b=0,\ c=0,\ f=e,\ g=0,$ par l’hypothèse du n^o 25)

$x={\frac {a}{2}}(\cos u-f),\quad y={\sqrt {ah}}\sin u,\quad z=0\quad$(n^o 26),

$r={\frac {a}{2}}(1-f\cos u),\quad dt={\sqrt {\frac {a}{2(1+m)}}}rdu\quad$(n^os 20, 21).

Ces substitutions faites, si l’on suppose, pour plus de simplicité,

$w\mathrm {P} ={\frac {1}{\rho ^{3}}}-{\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}},\quad \varpi ={\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}},$

on aura des équations de la forme suivante

${\begin{aligned}d\,\delta h=&{\frac {\mu }{1+m}}\left[(\mathrm {H} )\Pi +(h)\varpi \right]du,\\d\,\delta a=&{\frac {\mu }{1+m}}\left[(\mathrm {A} )\Pi +(a)\varpi \right]du,\\d\,\delta f=&{\frac {\mu }{1+m}}\left[(\mathrm {F} )\Pi +(f)\varpi \right]du,\\d\,\delta g=&{\frac {\mu }{1+m}}\left[(\mathrm {G} )\Pi +(g)\varpi \right]du,\\d\,\delta b=&{\frac {\mu }{1+m}}\left[(\mathrm {B} )\Pi +(b)\varpi \right]du,\\d\,\delta c=&{\frac {\mu }{1+m}}\left[(\mathrm {C} )\Pi +(c)\varpi \right]du,\\d\,\delta i=&{\frac {\mu }{1+m}}\left[(\mathrm {I} )\ \,\Pi +(i)\varpi \right]du,\\\end{aligned}}$

dans lesquelles on aura les valeurs suivantes des quantités $(\mathrm {H} ),(h),(\mathrm {A} ),(a),\ldots$

${\begin{aligned}(\mathrm {H} )=&{\sqrt {ah}}(y\xi -x\eta )r,\quad (h)=0,\\(\mathrm {A} )=&a^{2}\left({\frac {a}{2}}\xi \sin u-{\sqrt {ah}}\,\eta \cos u\right),\quad (a)=-{\frac {a^{2}f}{2}}r\sin u,\\(\mathrm {F} )=&-{\sqrt {\frac {a}{4h}}}\left[(fr+x)\xi +y\eta \right]y+2{\sqrt {ah}}(y\xi -x\eta )\cos u,\ \ (f)=-{\sqrt {ah}}\,ry,\\(\mathrm {G} )=&{\sqrt {\frac {a}{4h}}}\left[(fr+x)\xi +y\eta \right]x+a(y\xi -x\eta )\sin u,\quad (g)={\sqrt {ah}}rx,\\(\mathrm {B} )=&{\sqrt {\frac {a}{4h}}}ry\zeta ,\quad (b)=0,\\(\mathrm {C} )=&-{\sqrt {\frac {a}{4h}}}rx\zeta ,\quad (c)=0,\\(\mathrm {I} )=&3t{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{5}}}}(\mathrm {A} )-{\frac {2r^{2}(\mathrm {G} )}{f{\sqrt {a^{3}h}}}}+{\frac {y(fx-4h)}{2{\sqrt {ah^{3}}}}}(\mathrm {F} ),\\(i)=&3t{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{5}}}}(a)\ \,-{\frac {2r^{2}(g)}{f{\sqrt {a^{3}h}}}}+{\frac {y(fx-4h)}{2{\sqrt {ah^{3}}}}}(f).\end{aligned}}$

Dans ces expressions, j’ai conservé, pour plus de simplicité, les lettres $x,y,r$ à la place de leurs valeurs en $\sin u$ et $\cos u\,;$ il est facile de les y substituer si on le juge à propos.

43. Il est visible, par les formules précédentes, que les quantités $(\mathrm {H} ),(h),$ $(\mathrm {A} ),(a),\ldots$ sont toutes exprimées par des fonctions rationnelles et entières de $\sin u,\cos u,\xi ,\eta ,\zeta \,;$ de sorte que, si l’on pouvait exprimer de même les quantitéss $\xi ,\eta ,\zeta ,{\frac {1}{\rho ^{3}}}$ et ${\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}$ par des fonctions rationnelles et entières de $\sin u$ et $\cos u,$ l’intégration des équations différentielles dont il s’agit n’aurait aucune difficulté. Voyons quels sont les obstacles qui s’opposent à cette réduction dans la Théorie des comètes.

On se rappellera d’abord que les quantités $\xi ,\eta ,\zeta$ sont les trois coordonnées rectangles du lieu de la planète perturbatrice, dont la masse est $\mu ,$ que $\rho$ est son rayon vecteur, et $\mathrm {R}$ la distance rectiligne entre le lieu de la planète et le lieu de la comète dans l’orbite non altérée (n^os 2, 7) ; on se rappellera ensuite que nous prenons pour le plan de projection celui de l’orbite non altérée de la comète, et pour l’axe des abscisses la ligne du périhélie de cette orbite (n^o 25).

Nommons $\Psi$ l’inclinaison du plan de l’orbite de la planète sur le plan de l’orbite non altérée de la comète, et $\Omega$ la longitude du nœud ascendant de l’orbite de la planète, comptée sur le plan de l’orbite de la comète depuis le périhélie de cette orbite.

Soit, de plus, $\lambda$ l’argument de latitude de la planète, c’est-à-dire, la longitude dans son orbite, moins la longitude de son nœud avec l’orbite de la comète.

Il est facile de comprendre que l’on aura pour $\xi ,\eta ,\zeta$ des expressions semblables à celles de $x,y,z$ du n^o 19, en y changeant $r$ en $\rho ,$ $\omega$ en $\Omega ,$ $\psi$ en $\Psi$ et $\varphi -\alpha$ en $\lambda \,;$ on aura donc ainsi

${\begin{aligned}\xi =&\rho (\cos \Omega \cos \lambda -\sin \Omega \cos \Psi \sin \lambda ),\\\eta =&\rho (\sin \Omega \cos \lambda +\cos \Omega \cos \Psi \sin \lambda ),\\\zeta =&\rho \sin \Psi \sin \lambda .\end{aligned}}$

Or on sait que dans les orbites des planètes, à cause de la petitesse de leur excentricité, on peut exprimer tant l’équation du centre que le rayon vecteur par des suites très-convergentes, qui procèdent suivant les sinus et cosinus de l’anomalie moyenne et de ses multiples (on trouve ces suites développées d’après les principales Tables astronomiques, dans le premier volume du Recueil des Tables, publié par l’Académie de Berlin) ; on pourra donc représenter par de semblables séries les valeurs de $\xi ,\eta ,\zeta$ et de ${\frac {1}{\rho ^{3}}}$ pour chaque planète, et il n’y aura plus qu’à exprimer l’anomalie moyenne de la planète par l’anomalie excentrique $u$ de la comète.

Pour faire cette réduction, soient $\alpha$ le grand axe de l’orbite de la planète, et $\mathrm {M}$ son anomalie moyenne comptée à l’ordinaire depuis l’aphélie soit, de plus, $\mathrm {T}$ la valeur de l’anomalie moyenne $\theta$ de la comète pour l’instant du passage de la planète par l’aphélie ; il est visible que $\mathrm {M}$ et $\theta -\mathrm {T}$ seront les anomalies contemporaines de la planète et de la comète, lesquelles doivent être entre elles en raison réciproque de la durée de leurs révolutions, et par conséquent, par les Théorèmes connus, en raison de ${\sqrt {a^{3}}}:{\sqrt {\alpha ^{3}}}\,;$ d’où il suit qu’on aura

$\mathrm {M} =(\theta -\mathrm {T} ){\sqrt {\frac {a^{3}}{\alpha ^{3}}}},$

où il n’y aura plus qu’à substituer pour $\theta$ sa valeur $u-e\sin u$ (n^o 20).

Comme, dans l’orbite des comètes, l’excentricité e est peu différente de l’unité, il est clair que les sinus et cosinus de $\mathrm {M}$ et de ses multiples ne sauraient s’exprimer par de simples sinus et cosinus de $u$ et de ses multiples par conséquent, il est impossible d’exprimer, en général, $\xi ,\eta ,\zeta$ et ${\frac {1}{\rho ^{3}}}$ par des fonctions rationnelles et entières de $\sin u$ et de $\cos u.$ C’est la première difficulté qui s’oppose à l’intégration des équations du numéro précédent.

La seconde difficulté vient du dénominateur irrationnel $\mathrm {R} ^{3}\,;$ en effet il est d’abord impossible, par la raison précédente, de réduire l’expression rationnelle de $\mathrm {R} ^{2},$ laquelle est (n^o 2), $z$ étant $=0,$

$\mathrm {R} ^{2}=r^{2}-2(x\xi +y\eta )+\rho ^{2},$

à une fonction rationnelle de $\sin u$ et $\cos u\,;$ à plus forte raison le sera-t-il d’y réduire la quantité irrationnelle et rompue ${\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}.$

44. On est donc forcé, dans la Théorie des comètes, de renoncer à l’avantage de parvenir à des formules analytiques qui expriment les inégalités de leur mouvement pour un temps quelconque, telles que celles que l’on trouve pour les inégalités des planètes, et la seule ressource qui reste est de déterminer ces inégalités par parties, en partageant l’orbite de la comète en différentes portions, et calculant séparément l’effet des perturbations pour chacune de ces portions.

En effet, tant que l’angle $\theta {\sqrt {\frac {a^{3}}{\alpha ^{3}}}}$ ne sera pas trop grand, on pourra exprimer son sinus et son cosinus par les séries connues qui procèdent suivant les puissances de l’arc, et par là on remédiera au premier inconvénient.

Ensuite on observera que, tant que le rayon $r$ de la comète sera beaucoup moindre que le rayon $\rho$ de la planète perturbatrice, et que, par conséquent, $x$ et $y$ seront moindres que $\rho ,$ on pourra réduire la quantité ${\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}$ en une série convergente, en prenant ${\frac {1}{\rho ^{3}}}$ pour le premier terme.

De cette manière, on pourra donc intégrer les valeurs de $d\,\delta h,d\,\delta a,\ldots$ du n^o 42, depuis le périhélie de l’orbite de la comète jusqu’à un point de cette orbite dans lequel $\theta {\sqrt {\frac {a^{3}}{\alpha ^{3}}}}$ et ${\frac {r}{\rho }}$ soient des quantités encore assez petites.

Soit maintenant $u'$ l’anomalie excentrique qui répond à ce point ; on fera, en général, $u=u'+\upsilon ,$ et, tant que l’angle $\upsilon$ sera assez petit, on pourra mettre les quantités à intégrer sous la forme rationnelle

$\mathrm {\left(L+M\upsilon +N\upsilon ^{2}+\ldots \right)} d\upsilon \,;$

on intégrera donc derechef depuis $u=u'$ jusqu’à $u=u'',$ en supposant l’arc $u''-u'$ assez petit, et ainsi de suite.

45. On peut faciliter beaucoup ce calcul par la méthode connue des courbes paraboliques ; mais, pour pouvoir employer cette méthode en toute sûreté, il faut que les quantités qu’on veut exprimer par des formules paraboliques ne souffrent pas de trop grandes ni de trop fréquentes irrégularités ; autrement il arriverait que, parmi les coefficients de la série parabolique, il s’en trouverait de très-grands, ce qui diminuerait la convergence de la série et obligerait à la pousser à un grand nombre de termes. Il est donc nécessaire d’examiner à priori la nature des quantités auxquelles on veut appliquer la méthode des courbes paraboliques.

De ce que nous avons dit dans le n^o 43, il s’ensuit que les différentes quantités $(\mathrm {H} ),(h),(\mathrm {A} ),(a),\ldots ,$ ainsi que les quantités ${\frac {1}{\rho ^{3}}}$ et $\mathrm {R} ^{2},$ peuvent être exprimées par des fonctions rationnelles et entières de sinus et de cosinus des angles $u$ et $\theta {\sqrt {\frac {a^{3}}{\alpha ^{3}}}},$ c’est-à-dire, de l’anomalie excentrique de la comète et du mouvement moyen correspondant de la planète ; donc, si l’on suppose que ces deux angles varient en même temps des angles contemporains $\beta$ et $\gamma ,$ chacune des quantités dont il s’agit pourra être représentée, pendant ces variations, par une formule algébrique de la forme

$\mathrm {L+M\beta +N\gamma +O\beta ^{2}+P\beta \gamma +Q\gamma ^{2}} +\ldots ,$

dans laquelle les quantités $\mathrm {L,M,N} ,\ldots$ seront toutes aussi des fonctions rationnelles et entières de $\sin u,\ \cos u,\ \sin \theta {\sqrt {\frac {a^{3}}{\alpha ^{3}}}},\ \cos \theta {\sqrt {\frac {a^{3}}{\alpha ^{3}}}}.$ Or $\theta =u-e\sin u\,;$ donc, faisant croître $u$ de $\beta$ et $\theta$ de $\gamma {\sqrt {\frac {\alpha ^{3}}{a^{3}}}},$ on aura

$\gamma ={\sqrt {\frac {a^{3}}{\alpha ^{3}}}}\left[(1-e\cos u)\beta +{\frac {e\sin u}{2}}\beta ^{2}+\ldots \right].$

Si donc on substitue cette valeur de $\gamma$ dans la formule précédente, elle

prendra cette forme plus simple

$\mathrm {L+M\beta +N\beta ^{2}} +\ldots ,$

dans laquelle les quantités $\mathrm {L,M,N} ,\ldots$ seront pareillement des fonctions toutes rationnelles et entières de $\sin u,\ \cos u,\ \sin \theta {\sqrt {\frac {a^{3}}{\alpha ^{3}}}},\ \cos \theta {\sqrt {\frac {a^{3}}{\alpha ^{3}}}}\,;$ en sorte que ces quantités ne pourront jamais augmenter au delà d’un certain terme. Et il est clair que la formule précédente, n’étant poussée que jusqu’au second degré, sera exacte, aux quantités près des ordres de $\beta ^{3}$ et de $\gamma ^{3}.$

Il semble qu’il faudrait faire une exception à l’égard des quantités $(\mathrm {I} )$ et $(i)$ qui contiennent des termes multipliés par $t,$ et qui par conséquent ne sont pas uniquement des fonctions de sinus et cosinus de $u$ et de $\theta {\sqrt {\frac {a^{3}}{\alpha ^{3}}}},$ mais renferment aussi l’angle même $u\,;$ mais il est facile de se convaincre que cette circonstance ne peut apporter aucun changement à la conclusion précédente.

Si donc on dénote, en général, par $\mathrm {V}$ une quelconque des quantités dont il s’agit, et que $\mathrm {V_{0},V_{1},V_{2}}$ soient les valeurs de $\mathrm {V}$ qui répondent à

$u=u_{0},\quad u=u_{1}=u_{0}+\beta ,\quad u=u_{2}=u_{1}+\beta ,$

il résulte de ce que nous venons de démontrer que, pour $u=u_{1}+n\beta$ ($n$ étant un nombre quelconque compris entre zéro et $1$), on aura, aux quantités près des ordres de $\beta ^{3}$ et de $\gamma ^{3},$

$\mathrm {V} =\mathrm {V} _{1}+\mathrm {V} '_{1}n+\mathrm {V} ''_{1}n^{2},$

formule qui pourra servir aussi par la même raison, en faisant $n$ négatif depuis zéro jusqu’à $-1.$

Or, comme $\mathrm {V=V_{0}}$ lorsque $n=-1,$ et $\mathrm {V=V_{2}}$ lorsque $n=1,$ on aura

$\mathrm {V_{0}=V_{1}-V'_{1}+V''_{1},\quad V_{2}=V_{1}+V'_{1}+V''_{1}} \,;$

d’où l’on tire

$\mathrm {V'_{1}={\frac {V_{2}-V_{0}}{2}},\quad V''_{1}={\frac {V_{2}-2V_{1}+V_{0}}{2}}} .$

46. Cela posé, séparons, dans les équations différentielles du n^o 42, les termes divisés par $\mathrm {R} ^{3}$ des autres, et représentons, en général, chacune de ces équations par

$d\Delta ={\frac {\mu }{1+m}}\left(\mathrm {V} +{\frac {\mathrm {U} }{R^{\frac {3}{2}}}}\right)du,$

$R$ étant égal à $\mathrm {R} ^{2},$ $\Delta$ étant une des quantités $\delta h,\delta a\ldots ,$ $\mathrm {V}$ étant respectivement et ${\frac {(\mathrm {H} )}{\rho ^{3}}},{\frac {(\mathrm {A} )}{\rho ^{3}}},\ldots ,$ et $\mathrm {U}$ étant $(h)-(\mathrm {H} ),\ (a)-(\mathrm {A} ),\ldots .$

Qu’on calcule les valeurs des quantités $\mathrm {V,U}$ et $R$ pour trois anomalies excentriques $u=u_{0},u_{1},u_{2},$ dont la commune différence soit $\beta ,$ et qu’on marque ces valeurs respectivement $\mathrm {V_{0},U_{0}} ,R_{0}\,;$ $\mathrm {V_{1},U_{1}} ,R_{1}\,;$ $\mathrm {V_{2},U_{2}} ,R_{2}\,;$ qu’on en déduise ensuite, par les dernières formules du numéro précédent, les valeurs de $\mathrm {V'_{1},V''_{1}} ,$ ainsi que celles de $\mathrm {U'_{1},U''_{1}} ,\ R'_{1},R''_{1},$ et qu’on substitue partout dans l’équation précédente $u_{1}+\beta n$ à la place de $u,$ on aura donc, en regardant maintenant $n$ comme variable, la transformée

$d\Delta ={\frac {\mu \beta }{1+m}}\left(\mathrm {V} _{1}+\mathrm {V} '_{1}n+\mathrm {V} ''_{1}n^{2}+{\frac {\mathrm {U} _{1}+\mathrm {U} '_{1}n+\mathrm {U} ''_{1}n^{2}}{\left(R_{1}+R'_{1}n+R''_{1}n^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right)dn,$

qui, étant intégrée depuis $n=-1$ jusqu’à $n=1,$ donnera, aux quantités près de l’ordre de $\mu \beta ^{3}$ et de $\mu \gamma ^{3},$ la valeur de $\Delta$ ou plutôt l’accroissement de $\Delta ,$ depuis l’anomalie excentrique $u_{0}$ jusqu’à l’anomalie $u_{2}=u_{0}+2\beta \,;$ en sorte que, désignant par $\Delta _{0}$ et $\Delta _{2}$ les valeurs de $\Delta$ qui répondent à ces deux anomalies, on aura $\Delta _{2}-\Delta _{0}$ égale à l’intégrale du second membre de cette équation, prise depuis $n=-1$ jusqu’à $n=1.$

L’intégration de la partie

$\left(\mathrm {V} _{1}+\mathrm {V} '_{1}n+\mathrm {V} ''_{1}n^{2}\right)dn$

n’a aucune difficulté, et l’on trouve sur-le-champ pour l’intégrale totale

$\mathrm {2V_{1}+{\frac {2}{3}}V''_{1}} .$

À l’égard de l’autre partie

${\frac {\mathrm {U} _{1}+\mathrm {U} '_{1}n+\mathrm {U} ''_{1}n^{2}}{\left(R_{1}+R'_{1}n+R''_{1}n^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}dn,$

elle dépend de la quadrature de l’hyperbole ou du cercle, suivant que $R''_{1},$ est une quantité positive ou négative.

Pour en trouver l’intégrale, on supposera cette différentielle égale à

$d{\frac {\mathrm {K+L} n}{\sqrt {R_{1}+R'_{1}n+R''_{1}n^{2}}}}+{\frac {\mathrm {M} dn}{\sqrt {R_{1}+R'_{1}n+R''_{1}n^{2}}}},$

et l’on trouvera par la comparaison des termes, après avoir réduit au même dénominateur,

${\begin{aligned}\mathrm {K} =&{\frac {{\frac {1}{2}}\mathrm {U} _{1}R'_{1}-\mathrm {U} '_{1}R_{1}+{\cfrac {\mathrm {U} ''_{1}R_{1}R'_{1}}{2R''}}}{R_{1}R''_{1}-{\frac {1}{4}}R_{1}^{'2}}},\\\mathrm {L} =&{\frac {\mathrm {U} _{1}R''_{1}-{\frac {1}{2}}\mathrm {U} '_{1}R'_{1}-\mathrm {U} ''_{1}\left(R_{1}-{\cfrac {R_{1}^{'2}}{2R''_{1}}}\right)}{R_{1}R''_{1}-{\frac {1}{4}}R_{1}^{'2}}},\\\mathrm {M} =&{\frac {\mathrm {U} ''_{1}}{R''_{1}}}\,;\end{aligned}}$

or l’intégrale de la première partie est évidemment

${\frac {\mathrm {K+L} n}{\sqrt {R_{1}+R'_{1}n+R''_{1}n^{2}}}},$

et celle de la seconde est, en faisant, pour abréger, ${\frac {\sqrt {R_{1}+R'_{1}n+R''_{1}n^{2}}}{{\frac {1}{2}}R'_{1}+R''_{1}n}}=\mathrm {N} ,$

${\frac {\mathrm {M} }{2{\sqrt {R''_{1}}}}}\log {\frac {1+\mathrm {N} {\sqrt {R''_{1}}}}{1-\mathrm {N} {\sqrt {R''_{1}}}}},$

si $R''_{1}$ est positif ; mais si $R''_{1}$ est négatif, cette intégrale devient

${\frac {\mathrm {M} }{2{\sqrt {-R''_{1}}}}}\operatorname {arc} \,\operatorname {tang} \mathrm {N} {\sqrt {-R''_{1}}}.$

On fera maintenant dans ces formules $n=1$ et $n=-1,$ et l’on retranchera la seconde valeur de la première pour avoir l’intégrale complète ; or, en faisant $n=1,$ la quantité sous le signe ${\sqrt {}}$ devient $R_{1}+R'_{1}+R''_{1}=R_{2},$ et, en faisant $n=-1,$ elle devient $R_{1}-R'_{1}+R''_{1}=R_{0}.$ Donc la valeur complète de l’intégrale de la différentielle dont il s’agit sera représentée par

${\frac {\mathrm {K+L} }{\sqrt {R_{2}}}}-{\frac {\mathrm {K-L} }{\sqrt {R_{0}}}}+{\frac {\mathrm {M} }{2{\sqrt {\pm R''_{1}}}}}\mathrm {P} ,$

en faisant

$\mathrm {P} =\log {\frac {{\frac {1}{2}}R'_{1}+R''_{1}+{\sqrt {R_{2}R''_{1}}}}{{\frac {1}{2}}R'_{1}+R''_{1}-{\sqrt {R_{2}R''_{1}}}}}-\log {\frac {{\frac {1}{2}}R'_{1}+R''_{1}+{\sqrt {R_{0}R''_{1}}}}{{\frac {1}{2}}R'_{1}+R''_{1}-{\sqrt {R_{0}R''_{1}}}}},$

si $R''_{1}$ est positif, ou bien

$\mathrm {P} =\operatorname {arc} \,\operatorname {tang} {\frac {\sqrt {-R_{2}R''_{1}}}{{\frac {1}{2}}R_{1}+R''_{1}}}-\operatorname {arc} \,\operatorname {tang} {\frac {\sqrt {-R_{0}R''_{1}}}{{\frac {1}{2}}R_{1}+R''_{1}}},$

si $R''_{1}$ est négatif.

Donc enfin on aura, aux quantités près des ordres de $\mu \beta ^{3}$ et $\mu \gamma ^{3},$

$\Delta _{2}-\Delta _{0}={\frac {\mu \beta }{1+m}}\left(2V'_{1}+{\frac {2}{3}}V''_{1}+{\frac {\mathrm {K+L} }{\sqrt {R_{2}}}}-{\frac {\mathrm {K-L} }{\sqrt {R_{0}}}}+{\frac {\mathrm {MP} }{2{\sqrt {\pm R''_{1}}}}}\right).$

47. Il n’y a que deux cas où la formule précédente ne puisse pas servir : l’un est celui de $R''_{1}=0,$ et l’autre celui de $R_{1}R''_{1}-{\frac {1}{4}}R_{1}^{'2}=0.$

Soit : 1^o $R''_{1}=0\,;$ on aura à intégrer cette différentielle

${\frac {\mathrm {U} _{1}+\mathrm {U} '_{1}n+\mathrm {U} ''_{1}n^{2}}{(R_{1}+R'_{1}n)^{\frac {3}{2}}}}dn,$

et, supposant son intégrale de la forme

${\frac {\mathrm {K} +\mathrm {L} n+\mathrm {M} n^{2}}{\sqrt {R_{1}+R'_{1}n}}},$

on trouvera par la différentiation et par la comparaison des termes

${\begin{aligned}\mathrm {K} =&-{\frac {2\mathrm {U} _{1}}{R'_{1}}}+{\frac {4\mathrm {U} '_{1}R_{1}}{R_{1}^{'2}}}-{\frac {16\mathrm {U} ''_{1}R_{1}^{2}}{3R_{1}^{'3}}},\\\mathrm {L} =&{\frac {2\mathrm {U} _{1}}{R'_{1}}}-{\frac {8\mathrm {U} ''_{1}R_{1}}{3R_{1}^{'2}}},\\\mathrm {M} =&{\frac {2\mathrm {U} ''_{1}}{3R'_{1}}}.\end{aligned}}$

Complétant donc cette intégrale de la manière que nous l’avons dit, on aura, à la place de la dernière équation du numéro précédent, celle-ci

$\Delta _{2}-\Delta _{0}={\frac {\mu \beta }{1+m}}\left(2\mathrm {V} _{1}+{\frac {2}{3}}\mathrm {V} ''_{1}+{\frac {\mathrm {K+L+M} }{\sqrt {R_{2}}}}-{\frac {\mathrm {K-L+M} }{\sqrt {R_{0}}}}\right).$

Soit : 2^o $R_{1}R''_{1}-{\tfrac {1}{4}}R_{1}^{'2}=0\,;$ dans ce cas, la quantité $R_{1}+R'_{1}n+R''_{1}n^{2}$ deviendra ${\frac {\left(R_{1}+{\frac {1}{2}}R'_{1}n\right)^{2}}{R_{1}}},$ et l’on aura à intégrer cette différentielle rationnelle

${\frac {\left(\mathrm {U} _{1}+\mathrm {U} '_{1}n+\mathrm {U} ''_{1}n^{2}\right)R_{1}^{\frac {3}{2}}}{\left(R_{1}+{\frac {1}{2}}R'_{1}n\right)^{3}}}dn,$

qu’on supposera égale à

$R_{1}^{\frac {3}{2}}\left(d{\frac {\mathrm {K+L} n}{\left(R_{1}+{\frac {1}{2}}R'_{1}n\right)^{2}}}+{\frac {\mathrm {M} dn}{R_{1}+{\frac {1}{2}}R'_{1}n}}\right),$

ce qui donnera, en réduisant au même dénominateur et comparant les termes,

${\begin{aligned}\mathrm {K} =&-{\frac {\mathrm {U} _{1}}{R'_{1}}}-{\frac {2\mathrm {U} _{1}R_{1}}{R_{1}^{'3}}}+{\frac {12\mathrm {U} _{1}^{''2}R_{1}}{R_{1}^{'2}}},\\\mathrm {L} =&-{\frac {2\mathrm {U} '_{1}}{R'_{1}}}+{\frac {8\mathrm {U} ''_{1}R_{1}}{R_{1}^{'2}}},\\\mathrm {M} =&{\frac {4\mathrm {U} ''_{1}}{R_{1}^{'2}}}.\end{aligned}}$

Intégrant donc et complétant dûment l’intégrale, on trouvera, pour le cas dont il s’agit, l’équation

$\Delta _{2}-\Delta _{0}={\frac {\mu \beta }{1+m}}\left[2\mathrm {V} _{1}+{\frac {2}{3}}\mathrm {V} ''_{1}+\left({\frac {\mathrm {K+L} }{R_{2}}}-{\frac {\mathrm {K-L} }{R_{0}}}\right){\sqrt {R_{1}}}+{\frac {\mathrm {M} R_{1}^{\frac {3}{2}}}{R'_{1}}}\log {\frac {R_{2}}{R_{0}}}\right].$

48. Ayant trouvé ainsi la valeur de $\Delta _{2}-\Delta _{0}$ pour une portion d’anomalie excentrique $u_{2}-u_{0},$ on trouvera de même la valeur de $\Delta _{4}-\Delta _{2}$ pour une portion suivante d’anomalie $u_{4}-u_{2},$ et ainsi de suite ; et ces différentes valeurs seront exactes, aux quantités près de l’ordre de $\mu \beta ^{3}$ et $\mu \gamma ^{3},$ $\beta$ étant $={\frac {u_{2}-u_{0}}{2}},\ {\frac {u_{4}-u_{2}}{2}},\ldots ,$ et $\gamma$ étant la partie correspondante de l’anomalie moyenne de la planète. Ajoutant donc successivement ces valeurs ensemble, on aura la valeur totale de $\Delta _{\zeta }-\Delta _{0}$ répondant à une anomalie excentrique quelconque $u_{\zeta }-u_{0}\,;$ et, faisant $u_{\zeta }-u_{0}=360^{\circ },$ on aura la valeur de $\Delta _{\zeta }-\Delta _{0},$ c’est-à-dire, l’accroissement de la quantité $\Delta$ pour une révolution entière de la comète.

Au reste il est bon de remarquer que les formules précédentes ne doivent proprement être employées que pour les parties de l’anomalie excentrique relativement auxquelles la quantité $\mathrm {R}$ sera assez petite et du même ordre que les différences finies $R',R'',$ ce qui arrivera vers les minimum de distance entre la comète et la planète ; dans ces cas, les formules dont il s’agit ne sont sujettes à aucun inconvénient, et résolvent le Problème avec toute l’exactitude qu’on peut désirer ; au lieu que la méthode ordinaire des quadratures par les lignes paraboliques serait trop inexacte, à cause que les valeurs de ${\frac {\mathrm {U} }{R^{\frac {3}{2}}}}$ seront fort grandes et que leurs différences seront fort inégales.

Dans tout autre cas, c’est-à-dire, lorsque la distance entre la comète et la planète sera assez grande et que les variations de cette distance seront fort régulières, on emploiera avec succès la méthode ordinaire, tant pour intégrer la partie $\mathrm {V} du$ que pour intégrer l’autre partie ${\frac {\mathrm {U} du}{R^{\frac {3}{2}}}}\,;$ et, comme cette méthode est très-connue et très en usage parmi les Géomètres, nous ne croyons pas devoir nous arrêter ici à l’expliquer ; les Ouvrages de Cotes et de Stirling renferment tout ce que l’on peut désirer sur ce sujet.

49. Quoiqu’on puisse, au moyen de ces différentes méthodes, calculer les variations des quantités $\Delta$ pour telles portions de l’orbite qu’on voudra, il ne sera cependant nécessaire de les employer que pour la partie inférieure de l’orbite, dans laquelle la distance de la comète au Soleil sera moindre ou ne sera pas beaucoup plus grande que la distance de la planète au Soleil ; car pour la partie supérieure de l’orbite, dans laquelle la distance de la comète au Soleil surpassera de beaucoup la distance de la planète au Soleil, il sera-bien plus avantageux d’employer la méthode des n^os 39 et suivants, laquelle abrège et simplifie considérablement le calcul des perturbations dans cette partie.

Pour faire usage de cette méthode, il ne s’agit que de substituer dans les équations du n^o  37, à la place des valeurs de $\mathrm {X,Y,Z}$ qu’on a employées dans le n^o  42, celles de $\mathrm {X',Y',Z'}$ (n^o  39) ; or nous avons déjà remarqué dans le n^o  13 que la quantité ${\frac {1}{\mathrm {S} }}$ n’est autre chose que les deux premiers termes de la quantité ${\frac {1}{\mathrm {R} }}$ réduite en série ascendante par rapport aux quantités $\xi ,\eta ,\zeta \,;$ donc, comme (n^o  2)

$\mathrm {R} ^{2}=r^{2}-2(x\xi +y\eta +z\zeta )+\rho ^{2},$

$\rho ^{2}$ étant égal à $\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2},$ on aura, par la formule connue,

${\frac {1}{\mathrm {R} }}={\frac {1}{r}}+{\frac {x\xi +y\eta +z\zeta }{r^{3}}}-{\frac {\rho ^{2}}{2r^{3}}}$

$+{\frac {3(x\xi +y\eta +z\zeta )^{2}}{2r^{5}}}-{\frac {3(x\xi +y\eta +z\zeta )\rho ^{2}}{2r^{5}}}+{\frac {5(x\xi +y\eta +z\zeta )^{3}}{2r^{7}}}+\ldots \,;$

donc

${\frac {1}{\mathrm {S} }}={\frac {1}{r}}+{\frac {x\xi +y\eta +z\zeta }{r^{3}}},$

et par conséquent

$\mathrm {{\frac {1}{S}}-{\frac {1}{R}}} ={\frac {\rho ^{2}}{2r^{3}}}-{\frac {3(x\xi +y\eta +z\zeta )^{2}}{2r^{5}}}+{\frac {3(x\xi +y\eta +z\zeta )\rho ^{2}}{2r^{5}}}-{\frac {5(x\xi +y\eta +z\zeta )^{3}}{2r^{7}}}+\ldots ,$

On différentiera maintenant cette quantité en faisant varier seulement $x,y,z,$ et les coefficients de $dx,dy,dz$ seront les valeurs de $\mathrm {X',Y',Z'} \,;$ donc, en supposant, pour abréger,

$\varpi '=-{\frac {3\rho ^{2}}{2r^{5}}}+{\frac {15(x\xi +y\eta +z\zeta )^{2}}{2r^{7}}}-{\frac {15(x\xi +y\eta +z\zeta )\rho ^{2}}{2r^{7}}}+{\frac {35(x\xi +y\eta +z\zeta )^{3}}{2r^{9}}}-\ldots ,$

$\Pi '=-{\frac {3(x\xi +y\eta +z\zeta )}{r^{5}}}+{\frac {3\rho ^{2}}{2r^{5}}}-{\frac {15(x\xi +y\eta +z\zeta )^{2}}{2r^{7}}}+\ldots ,$

on trouvera

$\mathrm {X} '=\Pi '\xi +\varpi 'x,\quad \mathrm {Y} '=\Pi '\eta +\varpi 'y,\quad \mathrm {Z} '=\Pi '\zeta +\varpi 'z.$

En comparant ces expressions de $\mathrm {X',Y',Z'}$ avec celles de $\mathrm {X,Y,Z}$ du n^o 42, il est visible qu’elles n’en diffèrent qu’en ce que les quantités $\Pi$ et $\varpi$ se trouvent changées en $\Pi '$ et $\varpi '.$ D’où il est aisé de conclure que, par la substitution dont il s’agit, on aura les mêmes équations différentielles que dans le n^o 42, en y changeant seulement $\Pi$ et $\varpi$ en $\Pi '$ et $\varpi '.$

Il n’y aura donc qu’à employer dans les équations du n^o 42, à la place de $\Pi$ et $\varpi ,$ les quantités $\Pi '$ et $\varpi '\,;$ et l’on pourra continuer à les employer pour telle portion de l’orbite qu’on voudra et reprendre ensuite les premières quantités, pourvu qu’on ajoute aux valeurs totales de $\delta h,\delta a,\ldots$ les quantités respectives $\mathrm {\mu (H''-H'),\ \mu (A''-A')} ,\ldots \,;$ $\mathrm {H',A'} ,\ldots$ étant les valeurs de $\mathrm {H,A} ,\ldots$ du n^o 39 qui répondent au point de l’orbite où l’on change $\Pi ,\varpi$ en $\Pi ',\varpi '\,;$ et $\mathrm {H'',A''} ,\ldots$ étant les valeurs des mêmes quantités pour le point où l’on reprendra $\Pi$ et $\varpi$ à la place de $\Pi '$ et $\varpi '$ (n^o 40).

50. Le grand avantage de la transformation précédente consiste en ce que les quantités $\Pi '$ et $\varpi ',$ qu’on substitue à la place de $\Pi$ et $\varpi ,$ deviennent très-petites lorsque la distance $r$ de la comète au Soleil est beaucoup plus grande que la distance $\rho$ de la planète au Soleil, ce qui est visible par les expressions des quantités $\Pi '$ et $\varpi '$ (numéro précédent) ; tandis que la valeur de $\Pi$ (n^o 42) demeure toujours finie, quel que soit l’éloignement de la comète, à cause du terme ${\frac {1}{\rho ^{3}}},$ qui ne dépend que de la distance de la planète au Soleil, et qui est l’effet de l’action de la planète sur le Soleil.

Or, si l’on considère que l’on a, en général,

${\begin{aligned}&\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\left(\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}\right)\\&\quad =(x\xi +y\eta +z\zeta )^{2}+(x\eta -y\xi )^{2}+(x\zeta -z\xi )^{2}+(y\zeta -z\eta )^{2},\end{aligned}}$

et que, par conséquent, $x\xi +y\eta +z\zeta$ est toujours nécessairement renfermé entre $+r\rho$ et $-r\rho ,$ on verra que le premier terme de la quantité $\Pi '$ sera de l’ordre de ${\frac {\rho }{r^{4}}},$ et les deux autres de l’ordre de ${\frac {\rho ^{2}}{r^{5}}}\,;$ et que les deux premiers termes de $\varpi '$ seront de l’ordre de ${\frac {\rho ^{2}}{r^{5}}},$ et les deux sui-

vants de l’ordre de ${\frac {\rho ^{3}}{r^{6}}},$ et ainsi de suite. Donc, lorsque $r$ est assez grand vis-à-vis de $\rho ,$ en sorte que ${\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}$ diffère peu de ${\frac {1}{r^{3}}},$ le rapport de $\Pi '$ à $\Pi$ sera de l’ordre de ${\frac {\rho ^{4}}{r^{4}}},$ et celui de $\varpi '$ à $\varpi$ de l’ordre de ${\frac {\rho ^{2}}{r^{2}}},$ la quantité $\varpi$ étant déjà elle-même très-petite de l’ordre de ${\frac {1}{r^{3}}}.$

Donc, lorsque ${\frac {\rho }{r}}$ sera devenu ${\frac {1}{3}}$ ou ${\frac {1}{4}},$ on pourra, du moins dans la première approximation, négliger les quantités $\Pi '$ et $\varpi '$ comme nulles ; ou, si l’on veut absolument y avoir égard, il suffira d’y tenir compte des premiers termes. Dans ce cas, on pourra en toute sûreté employer la méthode ordinaire des quadratures mécaniques pour intégrer les quantités $d\,\delta h,d\,\delta a,\ldots \,;$ mais on pourra aussi les intégrer analytiquement, du moins par approximation ; c’est ce que nous allons faire voir.

51. Pour cet effet, on commencera par remettre dans les expressions des quantités $(\mathrm {H} ),(h),(\mathrm {A} ),(a),\ldots$ du n^o 42, à la place de $\cos u$ et $\sin u,$ leurs valeurs en $x$ et $y,$ savoir

$\cos u={\frac {2x}{a}}+f,\quad \sin u={\frac {y}{\sqrt {ah}}}\,;$

moyennant quoi ces quantités deviendront des fonctions rationnelles et entières de $x,y,r$ et de $\xi ,\eta ,\zeta ,$ dans lesquelles les quantités $x,y,r$ ne passeront pas la seconde dimension, excepté les expressions de $(\mathrm {I} )$ et de $(i),$ où ces quantités monteront à la quatrième dimension ; mais je remarque, à l’égard de l’expression, de $(\mathrm {I} ),$ qu’on y peut réduire les dimensions de $x,y,r$ à la troisième. En effet il est visible que les termes qui, dans cette expression, peuvent donner des dimensions de $x,y,r$ plus hautes que la troisième, sont ceux-ci

$-{\frac {2r^{2}}{f{\sqrt {a^{3}h}}}}(\mathrm {G} )+{\frac {fyx}{2{\sqrt {ah^{3}}}}}(\mathrm {F} ),$

autant que les valeurs de $(\mathrm {F} )$ et $(\mathrm {G} )$ contiennent $x,y,r,$ élevées à la

seconde dimension. Or, en faisant, pour un moment,

${\sqrt {\frac {a}{4h}}}\left[(fr+x)\xi +y\eta \right]=\Xi ,\quad y\xi -x\eta =\Upsilon ,$

on a

$(\mathrm {F} )=-\Xi y+\left(4x{\sqrt {\frac {h}{a}}}+2f{\sqrt {ah}}\right)\Upsilon ,\quad (\mathrm {G} )=\Xi y+{\sqrt {\frac {a}{h}}}\,y\Upsilon \,;$

donc les termes en question seront

$-\left({\frac {2r^{2}x}{f{\sqrt {a^{3}h}}}}+{\frac {fy^{2}x}{2{\sqrt {ah^{3}}}}}\right)\Xi +\left(-{\frac {2r^{2}y}{fah}}+{\frac {2fyx^{2}}{ah}}\right)\Upsilon .$

Maintenant, à cause que nous prenons le grand axe de l’orbite pour celui des abscisses $x,$ et que $e=f$ (n^o 25), on aura (n^o 18)

$x={\frac {2h-r}{f}},\quad y={\frac {2{\sqrt {h}}}{f}}{\sqrt {r-{\frac {r^{2}}{a}}-h}}\,;$

donc, substituant cette valeur de $y$ dans le coefficient de $\Xi ,$ il deviendra

${\frac {2r^{2}x}{f{\sqrt {a^{3}h}}}}+{\frac {2x}{f{\sqrt {ah}}}}\left(r-{\frac {r^{2}}{a}}-h\right)={\frac {2x(r-h)}{f{\sqrt {ah}}}}\,;$

et, substituant la valeur de $x^{2}$ dans le coefficient de $\Upsilon ,$ il deviendra

$-{\frac {2r^{2}y}{fah}}+{\frac {2r^{2}y}{fah}}+{\frac {8(h-r)y}{fa}}={\frac {8(h-r)y}{fa}}.$

Donc, puisque $\Xi$ et $\Upsilon$ ne contiennent que la première dimension de $x,y,r,$ il s’ensuit que les termes dont il s’agit de l’expression de $(\mathrm {I} ),$ lesquels paraissent, au premier aspect, devoir contenir la quatrième dimension de ces quantités, n’en contiendront réellement que la troisième.

Cela supposé, on mettra, tant dans les expressions de $(\mathrm {H} ),(h),(\mathrm {A} ),$ $(a),\ldots$ du numéro cité que dans celles de $\Pi '$ et $\varpi '$ du n^o 48, à la place de $x$ et $y,$ les valeurs $r\cos \varphi ,\ r\sin \varphi$ (n^o 18), $\varphi$ étant l’anomalie vraie de la comète dans son orbite non altérée ; on verra :

1^o Que les expressions de $(\mathrm {H} ),(h),(\mathrm {A} ),(a),\ldots$ deviendront des fonctions rationnelles et entières de $\xi ,\eta ,\zeta$ et de $\sin \varphi ,\cos \varphi$ et $r,$ dans lesquelles $r$ ne montera au plus qu’au second degré, à l’exception des quantités $(\mathrm {I} )$ et $(i),$ dont la première contiendra $r^{3},$ et dont la seconde contiendra $r^{4}\,;$

2^o Que les expressions de $\Pi '$ et $\varpi '$ deviendront, à cause de $z=0,$

${\begin{aligned}\Pi '=&{\frac {3(\xi \cos \varphi +\eta \sin \varphi )}{r^{4}}}+{\frac {3\rho ^{2}-2(\xi \cos \varphi +\eta \sin \varphi )^{2}}{r^{5}}}+\ldots ,\\\varpi '=&{\frac {-3\rho ^{2}+15(\xi \cos \varphi +\eta \sin \varphi )^{2}}{r^{5}}}\\&+{\frac {-15(\xi \cos \varphi +\eta \sin \varphi )\rho ^{2}+35(\xi \cos \varphi +\eta \sin \varphi )^{3}}{r^{6}}}+\ldots .\end{aligned}}$

On substituera maintenant ces valeurs de $(\mathrm {H} ),(h),(\mathrm {A} ),(a),\ldots$ dans les expressions des différentielles $d\,\delta h,d\,\delta a,d\,\delta f,\ldots$ du n^o 42, et l’on y mettra, à la place de $\Pi$ et $\varpi ,$ les valeurs précédentes de $\Pi '$ et $\varpi '\,;$ enfin on mettra pour $du$ sa valeur ${\frac {rd\varphi }{\sqrt {ah}}}$ déduite de l’équation (n^o 21)

$dt={\frac {r^{2}d\varphi }{\sqrt {2h(1+m)}}}={\sqrt {\frac {a}{2(1+m)}}}\,rdu.$

52. Il est aisé de voir que, par ces différentes substitutions, les valeurs des différentielles $d\,\delta h,d\,\delta a,d\,\delta f,\ldots$ du n^o 42 se trouveront composées de différents termes de la forme

${\frac {\Sigma \cos ^{m}\varphi \sin ^{n}\varphi d\varphi }{r^{p}}},$

$m,n,p$ étant des nombres entiers positifs ou zéro, et $\Sigma$ étant une fonction rationnelle et entière de $\xi ,\eta ,\zeta \,;$ j’en excepte seulement les termes de la valeur de $d\delta i,$ qui seront multipliés par l’angle $t,$ et que nous examinerons plus bas. Et il n’est pas difficile de prouver que $m+n+p$ ne sera pas $>5$ pour les premiers termes de $\varpi '$ et $\Pi ',$ ni $>7$ pour les termes suivants, et ainsi du reste.

Or (n^o 18)

$r={\frac {2h}{1+f\cos \varphi }},$

à cause de $e=f\,;$ donc, si l’on substitue cette valeur dans la formule

précédente, on n’aura dans les valeurs de $d\,\delta h,d\,\delta a,d\,\delta f,\ldots$ que des termes de cette forme $\Sigma \cos ^{\mu }\varphi \sin ^{\nu }d\varphi ,$ $\mu$ et $\nu$ étant des nombres entiers positifs, tels que $\mu +\nu >5$ pour les premiers termes de $\Pi '$ et $\varpi ',$ ni $>7$ pour les termes suivants ; j’excepte toujours les termes affectés de $t$ dans la valeur de $d\,\delta i$ (voir ci-après le n^o 56).

Qu’on substitue maintenant dans $\Sigma ,$ à la place de $\xi ,\eta ,\zeta ,$ leurs valeurs en sinus et cosinus de $\theta {\sqrt {\frac {a^{3}}{\alpha ^{3}}}}$ (n^o 43) ; et pour cela on remarquera que, à cause de la petitesse des quantités $\Pi '$ et $\varpi ',$ on peut sans scrupule négliger l’effet de l’excentricité de la planète, et faire simplement

$\rho ={\frac {\alpha }{2}},\quad \lambda =\mathrm {M} -\Lambda =(\theta -\mathrm {T} ){\sqrt {\frac {a^{3}}{\alpha ^{3}}}}-\Lambda ,$

en dénotant par $\Lambda$ l’anomalie vraie de la planète qui répond au nœud ascendant de son orbite sur l’orbite non altérée de la comète ; mais, si l’on voulait absolument avoir égard à l’excentricité de l’orbite de la planète, il n’y aurait qu’à ajouter aux valeurs moyennes de $\rho$ et de $\lambda$ les inégalités du rayon vecteur et de la longitude de la planète, inégalités dont les premières sont représentées par une suite très-convergente de termes qui procèdent suivant les cosinus de $\mathrm {M,2M} ,\ldots ,$ et dont les autres sont représentées par une semblable suite, mais qui procède suivant les sinus des mêmes angles. (Voir les pages 6 et 8 des Tables astronomiques de Berlin, où $a$ dénote l’anomalie moyenne que nous désignons ici par $\mathrm {M} .$)

Ces substitutions rendront la quantité $\Sigma$ de la forme

$\mathrm {A+B\sin \upsilon +C\cos \upsilon +D\sin 2\upsilon +\ldots } ,$

les coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ étant constants, et l’angle $\upsilon$ étant $=\theta {\sqrt {\frac {a^{3}}{\alpha ^{3}}}}.$

Ainsi les valeurs des différentielles $d\,\delta h,d\,\delta a,\ldots$ se trouveront composées de deux sortes de termes : les uns indépendants de l’angle $\upsilon ,$ c’est-à-dire, du mouvement moyen de la planète, les autres affectés des sinus ou cosinus de cet angle ou de ses multiples.

53. À l’égard des termes de la première espèce, il est clair qu’ils seront de la forme

$\cos ^{\mu }\varphi \sin ^{\nu }\varphi d\varphi ,$

et par conséquent tous intégrables, $\mu$ et $\nu$ étant, par l’hypothèse, des nombres entiers positifs.

Quant à ceux de l’autre espèce, ils seront évidemment de la forme

$\cos ^{\mu }\varphi \sin ^{\nu }\varphi \sin \mathrm {N} \upsilon d\varphi ,\quad {\text{ou}}\quad \cos ^{\mu }\varphi \sin ^{\nu }\varphi \cos \mathrm {N} \upsilon d\varphi ,$

$\mathrm {N}$ étant un nombre entier. Ces termes ne sont intégrables par aucune méthode connue ; mais nous allons faire voir que, dans la partie supérieure de l’orbite de la comète, à laquelle est destinée la méthode que nous exposons, ces termes seront considérablement plus petits que les précédents ; en sorte qu’on pourra le plus souvent les négliger sans scrupule.

Pour cet effet, je remarque que

$d\upsilon =d\theta {\sqrt {\frac {a^{3}}{\alpha ^{3}}}},$

mais (n^o 20)

$d\theta ={\sqrt {\frac {8(1+m)}{a^{2}}}}dt,$

et (n^o 21)

$dt={\frac {r^{2}d\varphi }{\sqrt {2h(1+m)}}}\,;$

donc

$d\upsilon ={\frac {2r^{2}d\varphi }{\sqrt {\alpha ^{3}h}}},\quad \mathrm {et\ de\ l{\grave {a}}} \quad d\varphi ={\frac {d\upsilon {\sqrt {\alpha ^{3}h}}}{2r^{2}}}.$

Si l’on substitue cette valeur de $d\varphi$ dans les termes dont il s’agit, et qu’on fasse, pour abréger,

${\sqrt {\alpha ^{3}h}}{\frac {\cos ^{\mu }\varphi \sin ^{\nu }\varphi }{2\mathrm {N} r^{2}}}=\Phi ,$

ils deviendront

$-\Phi d\cos \mathrm {N} \upsilon ,\quad \Phi d\sin \mathrm {N} \upsilon ,$

dont l’intégrale est

$-\Phi \cos \mathrm {N} \upsilon +\int \cos \mathrm {N} \upsilon d\Phi ,\quad \Phi \sin \mathrm {N} \upsilon -\int \sin \mathrm {N} \upsilon d\Phi .$

Les expressions $\int \cos \mathrm {N} \upsilon d\Phi$ et $\int \sin \mathrm {N} \upsilon d\Phi$ représentent, comme l’on voit, les aires des courbes qui auraient $\Phi$ pour abscisse et $\cos \mathrm {N} \upsilon$ ou $\sin \mathrm {N} \upsilon$ pour ordonnée ; et il est facile de concevoir que l’aire totale de chacune de ces courbes sera toujours moindre (abstraction faite du signe) que le produit de l’abscisse totale par lâ plus grande ordonnée, laquelle est égale à $1\,;$ de sorte que, dénotant par $(\Phi )$ cette abscisse totale, on aura $\pm (\Phi )$ pour les deux limites entre lesquelles seront nécessairement renfermées les aires $\int \cos \mathrm {N} \upsilon d\Phi$ et $\int \sin \mathrm {N} \upsilon d\Phi .$

Or, dans la partie supérieure de l’orbite, la distance $r$ de la comète au Soleil est supposée beaucoup plus grande que la distance moyenne ${\frac {\alpha }{2}}$ de la planète au Soleil ; de plus la distance périhélie ${\frac {2h}{1+e}},$ égale à $h$ à très-peu près, est dans la plupart des comètes, et surtout dans celles dont on attend le retour, moindre que l’unité, distance moyenne de la Terre au Soleil ; de sorte que la quantité ${\frac {\sqrt {\alpha ^{3}h}}{2\mathrm {N} r^{2}}}$ sera nécessairement fort petite. Par conséquent les quantités $\Phi$ et $(\Phi )$ seront beaucoup plus petites, généralement parlant, que la valeur de $\int \cos ^{\mu }\varphi \sin ^{\nu }\varphi d\varphi .$

Il faut remarquer au reste que, pour avoir la valeur de $(\Phi )$ pour toute la partie supérieure de l’orbite, c’est-à-dire, la valeur totale de l’intégrale de $d\Phi$ pour cet espace, il faut prendre les éléments $d\Phi$ toujours avec le même signe. Si donc dans tout cet espace la quantité $\Phi$ n’a ni maximum ni minimum, on prendra l’intégrale à la manière ordinaire, et l’on aura pour $(\Phi )$ la différence entre les deux valeurs extrêmes de $\Phi .$ Mais si entre ces valeurs extrêmes il se trouve des maximum et des minimum, alors la valeur exacte de $(\Phi )$ sera égale au double de la différence entre la somme de toutes les plus grandes valeurs de $\Phi$ et la somme de toutes les plus petites, en regardant les maximum négatifs comme des minimum et les minimum négatifs comme des maximum, et comptant les deux valeurs extrêmes de $\Phi$ parmi les maximum ou minimum, suivant que $\Phi$ va en diminuant ou en augmentant, mais en ne prenant que la moitié de chacune de ces valeurs. C’est de quoi l’on peut se convaincre aisément par l’inspection d’une figure parabolique quelconque qui aurait différents maximum et minimum.

Or je dis que, si $r>(2+\mu )h,$ la quantité $\Phi$ n’aura ni maximum ni minimum lorsque $\nu$ sera impair, et qu’elle aura un seul minimum au périhélie où $\varphi =180^{\circ }$ lorsque $\mu$ sera pair. En effet, à cause de

$r={\frac {2h}{1+f\cos \varphi }},$

on aura

$\cos \varphi ={\frac {1}{f}}\left({\frac {2h}{r}}-1\right)\,;$

en sorte que, si $r>(2+\mu )h,$ $\cos \varphi$ sera négatif et ne changera point de signe, mais $\sin \varphi$ sera positif en deçà de l’aphélie et deviendra négatif au delà. Or

$\Phi ={\sqrt {\alpha ^{3}h}}{\frac {\cos ^{\mu }\varphi \sin ^{\nu }\varphi }{2\mathrm {N} r^{2}}}={\frac {\sqrt {\alpha ^{3}h}}{(-f)^{\mu }2\mathrm {N} }}\left(1-{\frac {2h}{r}}\right)^{\mu }{\frac {\sin ^{\nu }\varphi }{r^{2}}}\,;$

mais la quantité

${\frac {1}{r^{2}}}\left(1-{\frac {2h}{r}}\right)^{\mu }$

diminue à mesure que $r$ augmente, et vice versâ, du moins tant que $r>(\mu +2)h,$ puisque sa différentielle est

$-2\left(1-{\frac {2h}{r}}\right)^{\mu -1}\left[1-{\frac {(\mu +2)h}{r}}\right]{\frac {dr}{r^{3}}}\,;$

donc, si $r$ est impair, la quantité

$\left(1-{\frac {2h}{r}}\right)^{\mu }{\frac {\sin ^{\nu }\varphi }{r^{2}}}$

ira en diminuant jusqu’à l’aphélie où elle sera nulle, et continuera à diminuer au delà de l’aphélie où elle sera négative ; mais, si $\nu$ est pair, la même quantité, après avoir diminué jusqu’à l’aphélie, augmentera de nouveau au delà de l’aphélie, en demeurant toujours positive.

Donc, si l’on suppose que la partie supérieure de l’orbite commence au point où $\varphi =\varphi ',\ r=r',$ et finisse au point semblablement situé au delà de l’aphélie où $\varphi =360^{\circ }-\varphi '$ et $r=r',$ on aura, pourvu que $r'>(2+\mu )h,$

$(\Phi )={\sqrt {\alpha ^{3}h}}{\frac {\cos ^{\mu }\varphi '\sin ^{\nu }\varphi '}{\mathrm {N} r'^{2}}}$

si $\nu$ est impair, et

$(\Phi )={\sqrt {\alpha ^{3}h}}\left[{\frac {\cos ^{\mu }\varphi '\sin ^{\nu }\varphi '}{\mathrm {N} r'^{2}}}-{\frac {\cos ^{\mu }180^{\circ }\sin ^{\nu }180^{\circ }}{\mathrm {N} \left({\cfrac {a(1+e)}{2}}\right)^{2}}}\right]$

si $\nu$ est pair, ${\frac {a(1+e)}{2}}$ étant la valeur de $r$ dans l’aphélie.

À l’égard de la condition de $r'>(2+\mu )h,$ comme nous avons vu (n^o 51) que $\mu$ ne peut être $>5$ pour les premiers termes de $\Pi '$ et $\varpi ',$ auxquels il suffire le plus souvent d’avoir égard, il est clair que cette condition aura toujours lieu dans la partie supérieure de l’orbite où l’on suppose $r$ beaucoup plus grand que ${\frac {\alpha }{2}},$ puisque pour Jupiter et Saturne, qui sont les seules planètes qu’on ait à considérer dans la Théorie des perturbations des comètes, on a à peu près ${\frac {\alpha }{2}}=5$ ou $9{\tfrac {1}{2}}.$

54. Si les limites $\pm (\Phi )$ n’étaient pas assez petites, en sorte qu’on ne crût pas pouvoir négliger les quantités renfermées entre ces limites, on pourrait les resserrer davantage de la manière suivante.

Les deux différentielles

$\cos \mathrm {N} \upsilon d\Phi ,\quad \sin \mathrm {N} \upsilon d\Phi ,$

étant mises sous la forme

${\frac {d\Phi }{d\varphi }}\cos \mathrm {N} \upsilon d\varphi ,\quad {\frac {d\Phi }{d\varphi }}\sin \mathrm {N} \upsilon d\varphi ,$

se changent, par la substitution de ${\frac {d\upsilon {\sqrt {\alpha ^{3}h}}}{2r^{2}}}$ à $d\varphi ,$ et par la supposition de ${\frac {\sqrt {\alpha ^{3}h}}{2\mathrm {N} r^{2}}}{\frac {d\Phi }{d\varphi }}=\Phi ',$ en celles-ci

$-\Phi 'd\cos \mathrm {N} \upsilon ,\quad \Phi 'd\sin \mathrm {N} \upsilon ,$

dont l’intégrale est

$-\Phi '\cos \mathrm {N} \upsilon +\int \cos \mathrm {N} \upsilon d\Phi ',\quad \Phi '\sin \mathrm {N} \upsilon -\int \sin \mathrm {N} \upsilon d\Phi '\,;$

et l’on pourra appliquer aux quantités

$\int \cos \mathrm {N} \upsilon d\Phi ',\quad \int \sin \mathrm {N} \upsilon d\Phi '$

les mêmes raisonnements que nous avons faits dans le numéro précédent ainsi, dénotant par $(\Phi ')$ la valeur totale de l’intégrale de $d\Phi ',$ prise comme nous l’avons dit dans ce numéro, on aura de nouveau $\pm (\Phi ')$ pour les limites entre lesquelles seront renfermées les valeurs des quantités dont il s’agit.

Or il est facile de se convaincre que la quantité $\Phi '$ est nécessairement beaucoup plus petite que la quantité $\Phi$ lorsque $r^{2}$ est assez grand vis-à-vis de ${\sqrt {\alpha ^{3}h}}\,;$ ainsi, en négligeant les intégrales renfermées entre ces dernières limites, on commettra une erreur bien plus petite que celle qui pourrait résulter de l’omission des intégrales renfermées dans les limites du numéro précédent.

On voit par là comment on pourrait s’y prendre pour pousser cette approximation plus loin, et diminuer à volonté l’erreur résultant des intégrales qu’on négligerait ; mais il suffira, dans la plupart des cas, de s’en tenir à l’approximation du numéro précédent.

55. Il nous reste encore à examiner les termes multipliés par l’angle $t$ dans la différentielle $d\,\delta i,$ termes que nous avons expressément exceptés (n^o 51). Or on voit, par la valeur générale de $d\,\delta i$ du n^o 37 (Section précédente), que les termes dont il s’agit ne peuvent venir que du terme

$3t{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}{\frac {d\,\delta a}{a}}\,;$

il suffit donc de considérer ce terme et d’en chercher l’intégrale, en supposant que l’on mette dans la valeur de $d\,\delta a$ les quantités $\mathrm {X',Y',Z'}$ à la place des quantités $\mathrm {X,Y,Z}$ (n^o 48).

Je reprends pour cela l’expression générale de la différentielle $d\,\delta a$ du même n^o 37, laquelle est

$d\,\delta a=-{\frac {\mu }{1+m}}a^{2}(\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy),$

et, pour embrasser en même temps toute la généralité possible, je remarque que, si l’on n’avait pas supposé $z=0$ et ${\frac {dz}{dt}}=0,$ et qu’on eût par conséquent employé dans les calculs de ce numéro la valeur complète de $\delta \alpha$ du n^o 30 à la place de celle du n^o 31, on eût trouvé cette expression plus générale de $d\,\delta a,$ savoir

$d\,\delta a=-{\frac {\mu }{1+m}}a^{2}(\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz).$

Qu’on change maintenant, dans cette expression, les quantités $\mathrm {X,Y,Z}$ en $\mathrm {X',Y',Z'} ,$ et qu’on y substitue ensuite, à la place de ces dernières quantités, leurs valeurs, lesquelles ${\biggl (}{\biggr .}$en faisant, pour abréger, $\left.\mathrm {{\frac {1}{S}}-{\frac {1}{R}}=P} \right)$ sont exprimées ainsi (n^o 39)

il est visible que la différentielle

$\mathrm {X} 'dx+\mathrm {Y} 'dy+\mathrm {Z} 'dz$

ne sera autre chose que la différence de $\mathrm {P}$ prise en faisant varier seulement les quantités $x,y,z,$ qui appartiennent à l’orbite de la comète, et en regardant comme constantes les coordonnées $\xi ,\eta ,\zeta$ de l’orbite de la planète.

De sorte que, si l’on désigne par la caractéristique $\operatorname {D}$ cette différence partielle, on aura, en général,

$d\,\delta a=-{\frac {\mu }{1+m}}a^{2}\operatorname {D} \mathrm {P} .$

Or on a, par le n^o 48,

$\mathrm {P} ={\frac {\rho ^{2}}{2r^{3}}}-{\frac {3(x\xi +y\eta +z\zeta )^{2}}{2r^{5}}}+{\frac {3(x\xi +y\eta +z\zeta )\rho ^{2}}{2r^{5}}}-{\frac {5(x\xi +y\eta +z\zeta )^{3}}{2r^{7}}}+\ldots .$

Et si l’on substitue, dans cette expression de $\mathrm {P} ,$ les valeurs de $\xi ,\eta ,\zeta ,\rho$ en sinus et cosinus de $\upsilon$ (n^o 51), il est visible qu’elle deviendra de cette forme

$R+\mathrm {R\sin \upsilon +S\cos \upsilon +T\sin 2\upsilon +V} \cos 2\upsilon +\ldots ,$

dans laquelle $R,\mathrm {R,S} ,\ldots ,$ seront des fonctions rationnelles et entières de $x,y,z,$ et dont chaque terme sera de plus divisé par une puissance de $r,$ dont l’exposant surpassera de trois unités ou davantage la somme des dimensions de $x,y,z$ dans le numérateur.

Or, comme l’angle $\upsilon$ dépend uniquement des quantités $\xi ,\eta ,\zeta$ qui doivent être regardées comme constantes dans la différence partielle $\operatorname {D} \mathrm {P} ,$ et qu’au contraire les quantités $R,\mathrm {R,S} ,\ldots$ dépendent uniquement des quantités $x,y,z$ qui sont les seules variables dans cette différentielle, il est clair qu’on aura

$\operatorname {D} \mathrm {P} =dR+\sin \upsilon \mathrm {dR+\cos \upsilon dS+\sin 2\upsilon dT+\cos 2\upsilon dV} +\ldots ,$

$dR,d\mathrm {R,dS} ,\ldots$ étant des différences ordinaires et totales des quantités $R,\mathrm {R,S} ,\ldots .$

Donc on aura, en général,

$d\,\delta a=-{\frac {\mu a^{2}}{1+m}}\left(dR+\sin \upsilon \mathrm {dR+\cos \upsilon dS+\sin 2\upsilon dT+\cos 2\upsilon dV} +\ldots \right)\,;$

et cette valeur de $d\,\delta a,$ en y faisant $x=r\cos \varphi ,\ y=r\sin \varphi ,$ et $z=0,$ deviendra identique avec celle du n^o 50, mais elle sera toujours d’une forme plus simple et plus commode pour l’intégration.

56. En effet on voit d’abord, par l’expression précédente de $d\,\delta a,$ que la partie indépendante de l’angle $\upsilon$ est intégrable, son intégrale étant $-{\frac {\mu a^{2}}{1+m}}R$ où $R$ est la partie indépendante de $\upsilon$ dans la valeur de $\mathrm {P} ,$ laquelle sera par conséquent une fonction rationnelle et entière de $\sin \varphi$ et $\cos \varphi ,$ en faisant

$x=r\cos \varphi ,\quad y=r\sin \varphi ,\quad z=0,\quad r={\frac {2h}{1+f\cos \varphi }}.$

De là on tire cette conclusion importante, que la valeur $\delta a,$ c’est-à-dire, l’altération du grand axe de l’orbite de la comète, en tant qu’elle vient des perturbations de la partie supérieure de l’orbite, ne contient aucun terme proportionnel à l’angle, et qui puisse par conséquent augmenter continuellement.

À l’égard des autres termes de la valeur de $d\,\delta a,$ il est clair qu’après la substitution des valeurs de $x,y,r$ en $\varphi$ ils deviendront de la forme

$\cos ^{\mu }\varphi \sin ^{\nu }\varphi \sin \mathrm {N} \upsilon d\varphi ,\quad {\text{ou}}\quad \cos ^{\mu }\varphi \sin ^{\nu }\varphi \cos \mathrm {N} \upsilon d\varphi ,$

et pourront être traités par la méthode des n^os 52 et suivants.

57. Venons maintenant au terme

$3t{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}{\frac {d\,\delta a}{a}}$

de la valeur de $d\,\delta i.$ En y substituant d’abord pour $d\,\delta a$ la quantité $-{\frac {\mu }{1+m}}a^{2}dR$ indépendante de $\upsilon ,$ on aura la différentielle

$-3{\sqrt {\frac {2}{a(1+m)}}}tdR,$

dont l’intégrale est

$-3{\sqrt {\frac {2}{a(1+m)}}}\left(tR-\int Rdt\right).$

Or on a (n^o  21),

$dt={\frac {r^{2}d\varphi }{\sqrt {2h(1+m)}}}\,;$

donc, comme dans l’expression de $R$ les exposants négatifs de $r$ surpassent de trois unités ou davantage la somme des exposants positifs de $x,y,z$ (n^o  54), il est visible qu’en mettant dans $Rr^{2},$ pour $x$ et $y,$ $r\cos \varphi$

et $r\sin \varphi$ ($z$ étant égal à zéro), la quantité $r$ ne s’y trouvera encore qu’au dénominateur ; en sorte que, substituant ensuite ${\frac {2h}{1+f\cos \varphi }}$ pour $r,$ la quantité $Rr^{2}$ deviendra une fonction rationnelle et entière de $\sin \varphi$ et $\cos \varphi \,;$ d’où il s’ensuit que

$Rdt={\frac {Rr^{2}d\varphi }{\sqrt {2h(1+m)}}}$

sera tout à fait intégrable.

Quant à l’autre partie de la valeur de $d\,\delta a,$elle sera composée, comme nous l’avons vu ci-dessus, de termes de la forme

$-{\frac {\mu a^{2}}{1+m}}\cos ^{\mu }\varphi \sin ^{\nu }\varphi \sin \mathrm {N} \upsilon d\varphi ,\ \ {\text{ou}}\ \ -{\frac {\mu a^{2}}{1+m}}\cos ^{\mu }\varphi \sin ^{\nu }\varphi \cos \mathrm {N} \upsilon d\varphi \,;$

donc les termes qui en résulteront dans la valeur de $d\,\delta i$ seront de la forme

$-3\mu {\sqrt {\frac {2}{a(1+m)}}}\,t\cos ^{\mu }\varphi \sin ^{\nu }\varphi \sin \mathrm {N} \upsilon d\varphi ,$

${\text{ou}}\quad -3\mu {\sqrt {\frac {2}{a(1+m)}}}\,t\cos ^{\mu }\varphi \sin ^{\nu }\varphi \cos \mathrm {N} \upsilon d\varphi .$

Ainsi il suffira de considérer les différentielles

$t\cos ^{\mu }\varphi \sin ^{\nu }\varphi \sin \mathrm {N} \upsilon d\varphi ,\quad {\text{et}}\quad t\cos ^{\mu }\varphi \sin ^{\nu }\varphi \cos \mathrm {N} \upsilon d\varphi .$

À l’imitation de ce qu’on a fait plus haut (n^o 52), on substituera, dans ces différentielles, ${\frac {d\upsilon {\sqrt {-\alpha ^{3}h}}}{2r^{2}}}$ au lieu de $d\varphi ,$ et faisant, pour abréger ${\biggl (}{\biggr .}$ à cause de $\left.dt={\sqrt {\frac {\alpha ^{3}}{8(1+m)}}}d\upsilon \right),$

${\begin{aligned}\mathrm {V} =&\int t\sin \mathrm {N\upsilon .N} d\upsilon =-t\cos \mathrm {N} \upsilon +{\sqrt {\frac {\alpha ^{3}}{8(1+m)}}}\mathrm {\frac {\sin N\upsilon }{N}} ,\\\mathrm {W} =&\int t\cos \mathrm {N\upsilon .N} d\upsilon =\quad t\sin \mathrm {N} \upsilon -{\sqrt {\frac {\alpha ^{3}}{8(1+m)}}}\mathrm {\frac {\cos N\upsilon }{N}} ,\end{aligned}}$

on aura ces transformées $\Phi d\mathrm {V}$ et $\Phi d\mathrm {W} ,$ en conservant la valeur de $\Phi$ du numéro cité.

Intégrant par parties, on aura

$\Phi \mathrm {V} -\int \mathrm {V} d\Phi \quad {\text{et}}\quad \Phi \mathrm {W} -\int \mathrm {W} d\Phi ,$

et l’on démontrera, par un raisonnement analogue à celui de ce numéro, que les valeurs des intégrales $\int \mathrm {V} d\Phi$ et $\int \mathrm {W} d\Phi$ seront renfermées entre les limites $\pm (\mathrm {V} )(\Phi )$ et $\pm (\mathrm {W} )(\Phi ),$ en désignant par $(\mathrm {V} )$ et $(\mathrm {W} )$ les plus grandes valeurs de $(\mathrm {V} )$ et $(W)$ dans la partie supérieure de l’orbite, et conservant la valeur de $(\Phi )$ de l’endroit cité. Or les maximum de $\mathrm {V}$ et $\mathrm {W}$ ayant lieu lorsque $d\mathrm {V} =0$ ou $d\mathrm {W} =0,$ c’est-à-dire, lorsque $\sin \mathrm {N} \upsilon =0$ ou $\cos \mathrm {N} \upsilon =0,$ il s’ensuit que les plus grandes valeurs des quantités $\mathrm {V}$ et $\mathrm {W}$ seront égales à $t$ (abstraction faite du signe). Si donc on désigne par $(t)$ la valeur de $t$ qui répond à toute la partie supérieure de l’orbite, c’est-à-dire, la valeur de $t$ pour le point où finit cette partie de l’orbite, on aura $(\mathrm {V} )=(t)$ et $(\mathrm {W} )=(t)\,;$ et les valeurs des intégrales $\int \mathrm {V} d\Phi ,\int \mathrm {W} d\Phi ,$ pour toute la partie supérieure de l’orbite, seront renfermées entre ces limites $\pm (t)(\Phi ).$

58. Si l’on ne jugeait pas les limites assez approchées, surtout à cause que la valeur de $(t)$ peut être assez considérable, on pourrait les resserrer davantage par une méthode analogue à celle du n^o 53.

En effet, en conservant la valeur de $\Phi '$ de ce numéro, et faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {V} _{1}=&\int \mathrm {VN} d\upsilon =-\mathrm {W} -{\sqrt {\frac {\alpha ^{3}}{8(1+m)}}}\mathrm {\frac {\cos N\upsilon }{N}} ,\\\mathrm {W} _{1}=&\int \mathrm {WN} d\upsilon =\quad \mathrm {V} -{\sqrt {\frac {\alpha ^{3}}{8(1+m)}}}\mathrm {\frac {\sin N\upsilon }{N}} ,\end{aligned}}$

on transformera les différentielles $\mathrm {V} d\Phi$ et $\mathrm {W} d\Phi$ en celles-ci $\Phi 'd\mathrm {V} _{1}$ et $\Phi 'd\mathrm {W} _{1},$ dont l’intégrale, prise par parties, sera

$\Phi '\mathrm {V} _{1}-\int \mathrm {V} _{1}d\Phi '\quad {\text{et}}\quad \Phi '\mathrm {W} _{1}-\int \mathrm {W} _{1}d\Phi '\,;$

et l’on démontrera de la même manière que, si $(\mathrm {V} _{1})$ et $(\mathrm {W} _{1})$ sont les plus grandes valeurs de $\mathrm {V} _{1}$ et de $\mathrm {W} _{1}$ dans la partie supérieure de l’orbite, on aura, pour les valeurs des intégrales $\int \mathrm {V} _{1}d\Phi '$ et $\int \mathrm {W} _{1}d\Phi '$ dans cette partie, les limites $\pm (\mathrm {V} _{1})(\Phi ')$ et $\pm (\mathrm {W} _{1})(\Phi ').$ Or, sans chercherles valeurs exactes de $(\mathrm {V} _{1})$ et $(\mathrm {W} _{1}),$ il suffira de considérer que, les plus grandes valeurs de $\mathrm {V}$ et $\mathrm {W}$ étant égales à $t$ (abstraction faite du signe), et les plus grandes valeurs de $\sin \mathrm {N} \upsilon$ et $\cos \mathrm {N} \upsilon$ étant $1,$ les plus grandes valeurs de $\mathrm {V} _{1}$ et de $\mathrm {W} _{1}$ ne pourront jamais être plus grandes que $t+{\frac {1}{\mathrm {N} }}{\sqrt {\frac {\alpha ^{3}}{8(1+m)}}}\,;$ en sorte qu’on pourra prendre dans les limites précédentes $(\mathrm {V} _{1})$ et $(\mathrm {W} _{1})$ égales à $(t)+{\frac {1}{\mathrm {N} }}{\sqrt {\frac {\alpha ^{3}}{8(1+m)}}}.$ Et comme la quantité $\Phi '$ est nécessairement moindre que $\Phi$ dans la partie supérieure de l’orbite, il est clair que ces nouvelles limites seront plus approchées que les premières, et qu’ainsi l’erreur qu’on commettrait en négligeant les intégrales $\int \mathrm {V} _{1}d\Phi '$ et $\int \mathrm {W} _{1}d\Phi '$ sera beaucoup moindre que celle qui résulterait de l’omission des premières intégrales $\int \mathrm {V} d\Phi ,\int \mathrm {W} d\Phi \,;$ et ainsi de suite.

59. De ce que nous venons de démontrer depuis le n^o 48 jusqu’ici, il est aisé de conclure que les perturbations que la comète doit éprouver dans la partie supérieure de son orbite peuvent être déterminées analytiquement sans avoir recours aux quadratures mécaniques, sinon par des formules rigoureuses, du moins par des formules très-approchées et dont on peut pousser l’approximation aussi loin que l’on veut. Si ce Mémoire n’était peut-être pas déjà trop long, je présenterais ici ces formules toutes développées, en sorte qu’il n’y eût plus que les substitutions numériques à faire ; mais, comme cela ne demande plus qu’un travail mécanique et de calcul, nous croyons pouvoir nous en dispenser et nous contenter d’avoir exposé les principes de cette analyse avec tout le détail et la clarté nécessaires.

Nous allons donner maintenant une idée de la manière dont on doit faire usage des Théories précédentes, en montrant comment on doit les appliquer à la comète des années 1532 et 1661, que les Astronomes attendent vers 1789 ou 1790.

60. La comète de l’année 1532 a été observée par Appien, et calculée par Halley ; ses éléments sont (la distance moyenne du $\circledast$ étant $=1\,:)$

${\begin{array}{ll}\mathrm {Temps\ moyen\ du\ p{\acute {e}}rih{\acute {e}}lie,\ {\grave {a}}\ Paris,\ 19\ octobre} &\quad 22^{\text{h}}29^{\text{m}}0^{\text{s}}\\\mathrm {Longitude\ du\ p{\acute {e}}rih{\acute {e}}lie} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\,3^{\text{s}}21^{\circ }7'0''\\\mathrm {Distance\ p{\acute {e}}rih{\acute {e}}lie} \,\ \ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\,0{,}50910\\\mathrm {Longitude\ du\ noeud\ ascendant} \,\ \ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\,2^{\text{s}}20^{\circ }37'0''\\\mathrm {Inclinaison\ de\ l'orbite} \ \ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\quad 32^{\circ }36'0''\\\mathrm {Sens\ du\ mouvement} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\mathrm {direct} .\end{array}}$

Celle de l’année 1661 a été observée par Hevelius et calculée par Halley ; ses éléments sont

${\begin{array}{ll}\mathrm {Temps\ moyen\ du\ p{\acute {e}}rih{\acute {e}}lie,\ {\grave {a}}\ Paris,\ 26\ janvier} &\quad 23^{\text{h}}42^{\text{m}}0^{\text{s}}\\\mathrm {Longitude\ du\ p{\acute {e}}rih{\acute {e}}lie} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\,3^{\text{s}}25^{\circ }58'40''\\\mathrm {Distance\ p{\acute {e}}rih{\acute {e}}lie} \,\ \ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\,0{,}44851\\\mathrm {Longitude\ du\ noeud\ ascendant} \,\ \ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\,2^{\text{s}}22^{\circ }30'30''\\\mathrm {Inclinaison\ de\ l'orbite} \ \ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\quad 32^{\circ }35'50''\\\mathrm {Sens\ du\ mouvement} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\mathrm {direct} .\end{array}}$

Comme les éléments de ces deux comètes sont à très-peu près les mêmes, on est fondé à prendre ces astres pour une même comète, dont la révolution serait d’environ $128$ ans, et qui devrait, par conséquent, reparaître en 1789. Dans cette hypothèse, on peut attribuer les différences qui se trouvent entre les él’éments de 1532 et de 1661 en partie à l’inexactitude des observations, du moins de celles de 1532, et en partie à l’effet des perturbations que la comète a dû éprouver pendant la révolution de 1532 à 1661 par l’action des planètes ; et l’on ne saurait fixer au juste le retour de cette comète qu’en calculant d’avance l’effet des perturbations qu’elle doit éprouver dans la révolution de 1661 à 1789.

61. Comme les observations de 1661 ont été faites par Hevelius, on peut les prendre pour exactes, ainsi que les éléments que Halley en a déduits. On peut supposer de plus que ces éléments soient ceux de l’orbite non altérée, puisque, en faisant abstraction des perturbations qui ont précédé et suivi l’apparition de cette comète en 1661, elle aurait dû se mouvoir toujours dans le même plan et avoir le périhélie placé dans le même lieu du ciel.

Nous prendrons donc, pour plus de simplicité, le temps du passage par le périhélie en 1661, c’est-à-dire, le 21 janvier $23^{\text{h}}50^{\text{m}},$ temps moyen de Paris, pour l’époque du temps $t,$ en supposant $t$ positif après cette époque et négatif avant elle, et en se souvenant que $t$ exprime l’angle du mouvement moyen du Soleil (n^o  20).

Nous prendrons de plus le plan qui coupe l’écliptique $2^{\text{s}}22^{\circ }30'32'',$ et sous un angle égal à $32^{\circ }35'50''$ (cet angle doit être du côté du Nord et sur la partie de l’écliptique comprise entre $2^{\text{s}}22^{\circ }30'32'',$ et $\left.8^{\text{s}}22^{\circ }30'32''\right)$ pour le plan fixe des coordonnées $x$ et $y\,;$ et nous prendrons l’axe des $x$ dans la ligne menée du Soleil au point de ce plan qui répond à $3^{\text{s}}25^{\circ }58'40''$ de longitude comptée depuis le lieu de l’équinoxe en 1661. Nous rapporterons ensuite à ce même plan et à ce même axe les lieux des planètes perturbatrices au moyen des coordonnées rectangles $\xi ,\eta ,\zeta .$ Ces déterminations s’accordent avec les suppositions des n^os 2 et 25.

62. Cela posé, soient, comme dans la Section deuxième, $a$ le grand axe de l’orbite non altérée, $4h$ le paramètre de ce grand axe, et $e$ l’excentricité de l’orbite, égale à ${\sqrt {1-{\frac {4h}{a}}}}\,;$ la distance périhélie sera

${\frac {a-ae}{2}}={\frac {a}{2}}(1-e)={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{2(1+e)}}={\frac {2h}{1+e}}.$

Or, par les observations de 1661, on a conclu la distance périhélie $=0{,}44851$ (la distance moyenne du Soleil à la Terre étant $=1$) ; on aura donc

${\frac {2h}{1+e}}=0{,}44851.$

Mais j’observe que, comme les éléments de 1661 ont été calculés dans l’hypothèse de l’orbite parabolique, il paraît naturel d’adopter aussi cette hypothèse dans la détermination de $h\,;$ or, dans la parabole, on a $a=\infty ,$ donc $e=1,$ par conséquent $h=0{,}44851.$

Au reste, nous verrons ci-après que cette valeur de $h$ ne serait tout au plus diminuée que d’un centième, si l’on voulait la déterminer dans l’hypothèse elliptique (n^o 64).

63. Il faut déterminer maintenant le grand axe $a\,;$ ce qu’on fera par le principe connu que, dans les orbites elliptiques décrites par une même force tendant au foyer et variant dans la raison inverse des carrés des distances, les temps des révolutions sont comme les racines carrées des cubes des moyennes distances. Or l’intervalle entre le passage par le périhélie en 1532 et le passage par le périhélie en 1661 est de $128$ années $99^{\text{j}}1^{\text{h}}21^{\text{m}}\,;$ mais il faut remarquer que, comme en 1582 on a retranché $10$ jours, il faut aussi les retrancher du nombre précédent, ce, qui réduira le vrai intervalle entre les deux passages par le périhélie à $128$ années $89^{\text{j}}1^{\text{h}}21^{\text{m}},$ parmi lesquelles années il y en a $32$ de bissextiles.

Réduisant ce temps en jours et en décimales de jour, on aura donc, pour l’intervalle dont il s’agit, $46841^{\text{j}},05625.$

Si les deux périhélies étaient placés dans le même lieu du ciel, il est clair que l’intervalle qu’on vient de trouver serait en même temps la durée de la révolution de la comète ; mais, comme les lieux des deux périhélies diffèrent\nu peu entre eux, il faut défalquer de l’intervalle trouvé le temps que la comète a mis à aller du lieu du périhélie de 1532 à celui du périhélie de 1661.

Pour cela, j’observe que le périhélie de 1661 est plus avancé en longitude que celui de 1532 de $3^{\circ }51'40''\,;$ mais l’équinoxe a reculé, dans l’espace de $128^{\text{a}}89^{\text{j}},$ de $1^{\circ }45'36''\,;$ donc, retranchant cette quantité de la précédente, on aura $2^{\circ }41'42''$ pour le vrai espace dont le périhélie de 1661 était plus avancé par rapport aux étoiles fixes que celui de 1532 ; donc la comète, après avoir atteint en 1532 son périhélie, a dû parcourir encore autour du Soleil un angle de $2^{\circ }4'4''$ pour arriver au lieu du périhélie de 1661, parce que le mouvement de cette comète se fait suivant l’ordre des signes ; ce serait le contraire si la comète était rétrograde.

Il faut donc chercher le temps qui répond à l’anomalie vraie $2^{\circ }41'4''$ dans une parabole dont la distance périhélie est $0{,}50910.$ Or, dans la Table générale du mouvement des comètes (cette Table, calculée d’abord par Halley, rendue ensuite plus commode par l’abbé de la Caille, a été étendue davantage dans le Recueil des Tables publié par l’Académie de Berlin, t. III, p. 2 et suiv.), on trouve que pour l’orbite, dont la distance périhélie serait $1,$ ce temps serait de $1^{\text{j}}{,}93\,;$ il faut donc multiplier ce nombre par la racine carrée du cube de $0{,}50910,$ et l’on aura $0^{\text{j}}{,}70107$ pour le nombre qu’il faudra retrancher du nombre de jours trouvé plus haut, pour avoir la durée de la révolution de la comète par rapport aux étoiles fixes, laquelle durée sera donc $46840^{\text{j}},35515.$

Or la durée de la révolution périodique de la Terre, c’est-à-dire, l’année sidérale, est de $365^{\text{j}}6^{\text{h}}9^{\text{m}}10^{\text{s}},$ ou, en décimales de jour, de $365^{\text{j}},25636.$ Donc, puisque la distance moyenne de la Terre au Soleil est prise pour l’unité, et que la distance moyenne de la comète est ${\frac {a}{2}},$ on fera cette proportion

$365{,}25636:46840{,}35515=1:\left({\frac {a}{2}}\right)^{\frac {3}{2}},$

d’où l’on tire

${\frac {a}{2}}=\left({\frac {46840{,}35515}{365{,}25636}}\right)^{\frac {3}{2}}=25{,}43013.$

C’est la distance moyenne ou le demi-grand axe de l’orbite elliptique de la comète.

64. Il est aisé de conclure de l’équation précédente que, si le temps périodique de la comète était plus long ou plus court d’un petit nombre $n$ d’années sidérales, la distance moyenne \frac{a}{2} serait augmentée ou diminuée à très-peu près de la quantité

${\frac {2n}{3{\sqrt {\cfrac {a}{2}}}}}=0{,}13220n\,;$

de sorte qu’il faudrait que $n$ fût plus grand que $7,$ pour que la distance moyenne fût changée d’une unité.

Or, quoique les observations de 1532 faites par Appien ne soient peut-être pas tout à fait exactes, cependant, comme la comète dont il s’agit n’a été observée que pendant un mois, dans lequel temps elle a passé par le périhélie, il est visible qu’on ne saurait admettre une erreur de $15$ jours dans le passage au périhélie, et qu’ainsi, à cet égard, on est assuré que la valeur de ${\frac {a}{2}}$ est exacte à $0{,}05$ près.

Mais il y a une autre source d’erreur qui est bien plus considérable je veux parler de l’effet des perturbations que la comète a dû éprouver dans la période de 1532 à 1661, et qui ont pu allonger ou diminuer cette période de quelques années. En effet, la détermination précédente du grand axe étant fondée sur l’hypothèse que la comète a décrit une orbite régulière autour du Soleil en vertu de la seule attraction de cet astre, cette détermination cesse d’être exacte dès qu’on admet l’action des planètes sur la comète ; dans ce cas, il est clair qu’on ne saurait chercher le grand axe de la véritable orbite décrite par la comète, puisque cette orbite n’est plus une ellipse ; mais on doit chercher plutôt le grand axe de l’orbite que la comète aurait décrite sans les perturbations, et que nous avons nommée, dans le cours de ce Mémoire, orbite non altérée ; et pour cela il est visible qu’on ne doit pas employer la durée observée de la révolution, mais cette durée corrigée de l’effet des perturbations.

Supposons que cet effet consiste à allonger ou à raccourcir le temps périodique de l’orbite non altérée d’un petit nombre $n$ d’années sidérales pendant la période de 1532 à 1661 il est clair que ce temps périodique sera plus court ou plus long de $n$ années que la durée observée de la révolution de la comète ; par conséquent la distance moyenne de l’orbite non altérée sera à très-peu près $25{,}43013\mp 0{,}13220n.$

Or on ne peut déterminer la valeur de $n$ que par le calcul même des perturbations, calcul dans lequel la quantité $a$ entre comme élément ; mais, comme la valeur de $n$ ne peut être que de quelques unités, il sera permis de prendre pour la valeur de $a$ la quantité $25{,}43013$ qui aurait lieu sans les perturbations, du moins dans le calcul de ces perturbations. L’erreur qu’on pourra commettre par cette supposition ne sera que de l’ordre des carrés des forces perturbatrices, quantités que nous avons toujours supposées, qu’on néglige dans la Théorie des perturbations des comètes.

65. En faisant donc ${\frac {a}{2}}=25{,}43013,$ et prenant pour $h$ la valeur déterminée ci-dessus (n^o 62), savoir $h=0{,}44851,$ on trouvera d’abord l’excentricité (n^o 25)

$e={\sqrt {1-{\frac {4h}{a}}}}=0{,}98222=f.$

Employant cette valeur de $e$ dans l’équation

${\frac {2h}{1+e}}=0{,}44851$

du numéro cité, on trouvera $h=0{,}44452\,:$ c’est la valeur de $h$ dans la supposition que la distance périhélie, déduite des observations, soit la véritable distance périhélie dans l’ellipse ; et l’on voit que cette valeur diffère à peine de ${\frac {4}{1000}}$ de celle que donne la supposition de l’orbite parabolique ; c’est pourquoi on pourra sans crainte employer la première valeur de $h$ dans le calcul des perturbations.

Comme le demi-petit axe de l’ellipse est ${\sqrt {ah}},$ on trouvera pour ce demi-petit axe $4{,}77612.$

Et, si l’on cherche l’angle dont le cosinus sera $e,$ on trouvera $10^{\circ }49'10''\,:$ c’est la valeur de l’anomalie excentrique qui répond à $90$ degrés d’anomalie vraie, à compter du périhélie, et c’est aussi la valeur de l’anomalie vraie comptée de l’aphélie pour les points de la distance moyenne.

Enfin, comme nous prenons le périhélie de 1661 pour l’époque d’où l’on doit compter le temps $t,$ et que nous supposons que, dans ce périhélie, l’orbite troublée coïncide avec l’orbite non troublée (n^o 60), il s’ensuit qu’on aura non-seulement $\varepsilon =0,\ \psi =0,\ i=0,$ mais aussi $\delta \varepsilon =0,\ \delta \psi =0,\ \delta i=0,$ et de plus $\delta h=0$ dans le même périhélie (n^o 38) ; donc les cinq variables $\delta h,\delta g,\delta b,\delta c,\delta i$ devront être nulles lorsque $t=0,$ de sorte que, en faisant commencer dans ce point les intégrations des différentielles $d\,\delta h,d\,\delta g,d\,\delta b,d\,\delta c$ et $d\,\delta i$ (n^o 42), il n’y aura point de constantes à y ajouter.

Nous remarquerions encore que, à cause de $i=0,$ on aura simplement (n^o 20)

$\theta =2t{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}\quad \mathrm {et\ par\ cons{\acute {e}}quent} \quad t=\theta {\sqrt {\frac {8(1+m)}{a^{3}}}},$

et les angles $t,\theta ,u,\varphi$ seront tous nuls à la fois dans le périhélie de 1661 ; ils seront positifs après ce périhélie, et négatifs avant.

À l’égard de la quantité $\delta a,$ elle devrait aussi être nulle lorsque $t=0,$ si la valeur de $a$ était exactement égale au grand axe de l’orbite non altérée de la comète ; mais, ayant supposé ci-dessus ${\frac {a}{2}}=25{,}43013,$ on aura (n^o 63), pour la vraie distance moyenne de l’orbite non altérée,

$25{,}43013\mp 0{,}13220n,$

laquelle doit être, par l’hypothèse, la même que celle de l’orbite troublée dans le périhélie de 1661, où $t=0.$ Or le grand axe de l’orbite troublée étant, en général, $a+\delta a$ (n^o 38), on aura donc, lorsque $t=0,$

${\frac {a+\delta a}{2}}=25{,}43013\mp 0{,}13220n\,;$

donc

${\frac {\delta a}{2}}=\mp 0{,}13220n.$

D’où l’on voit que cette valeur de $\delta a$ dépend du nombre $n$ qui est l’effet des perturbations dans la période précédente.

66. Considérons maintenant le retour de la comète au périhélie ; il est visible que, en faisant abstraction des perturbations, il n’y aura qu’à ajouter l’intervalle trouvé ci-dessus (n^o 62) de $128^{\text{a}}89^{\text{j}}1^{\text{h}}21^{\text{m}},$ à l’époque du passage par le périhélie de 1661, pour avoir le temps du retour au périhélie ; et il viendra (en se souvenant que l’année 1700 n’a pas été bissextile) le 26 avril 1789 $1^{\text{h}}11^{\text{m}},$ temps moyen au méridien de Paris. Mais, pour avoir exactement le temps du retour de la comète au périhélie dans l’orbite elliptique dont le demi-grand axe serait $25{,}43013,$ tel qu’on l’a déterminé dans le numéro cité, il faudra retrancher du temps qu’on vient de trouver $0^{\text{j}},70107,$ c’est-à-dire, $16^{\text{h}}49^{\text{m}}{\tfrac {1}{2}},$ par la raison expliquée dans ce même numéro, ce qui donnera le 25 avril 1789 $8^{\text{h}}21^{\text{m}}{\tfrac {1}{2}}.$

Cette détermination serait entièrement exacte, même en ayant égard aux perturbations, si les deux révolutions consécutives de 1532 à 1661, et de 1661 à 1789, étaient parfaitement égales, et par conséquent si l’effet des perturbations était le même dans ces deux périodes. Donc, si l’altération de ces deux périodes n’est pas la même, il est clair qu’il ne faudra qu’ajouter, au temps déterminé ci-dessus, l’excès de l’altération de la seconde période sur l’altération de la première.

Or nous avons donné, dans le n^o 41, la formule qui exprime, en général, l’altération de la révolution périodique de la comète ; appliquant donc ici cette formule, et marquant par un, deux, trois traits les quantités qui répondent aux trois périhélies consécutifs de 1532, 1661, 1789, on aura cette quantité, dans laquelle j’ai substitué au lieu $\delta \varepsilon$ sa valeur ${\frac {\delta g}{e}}$ (n^o 38),

${\frac {3\left(t'''\delta a'''-2t''\delta a''+t'\delta a'\right)}{2a}}-{\sqrt {\frac {a^{3}}{8(1+m)}}}\left(\delta i'''-2\delta i''+\delta i'\right)$

$-\left({\frac {2h}{1+c}}\right)^{2}{\frac {\left(\delta g'''-2\delta g''+\delta g'\right)}{c{\sqrt {2h(1+m)}}}}\,;$

c’est la correction du temps, c’est-à-dire, le temps qu’il faudra ajouter au 25 avril 1789 $8^{\text{h}}21^{\text{m}}{\tfrac {1}{2}}$ pour avoir l’instant du passage de la comète par la ligne du périhélie de 1661, dont la longitude était alors de $3^{\text{s}}25^{\circ }58'40'',$ et sera, en 1789 (à cause de la précession des équinoxes), de $3^{\text{s}}27^{\circ }46'16''.$

Il est bon de remarquer que la dernière partie de la quantité précédente, celle qui contient les quantités $\delta g',\delta g'',\delta g''',$ dépend uniquement du déplacement du périhélie, comme on peut le voir par le n^o 41 ; de sorte qu’en rejetant cette partie la quantité restante sera la correction du temps pour le passage de la comète par le vrai périhélie de 1789 ; mais il faudra alors ajouter cette correction au 26 avril 1789 $1^{\text{h}}11^{\text{m}},$ temps du passage par le périhélie, dans le cas où la révolution anomalistique de 1661 à 1789 serait égale à celle de 1532 à 1661.

Pour réduire ces quantités en temps, on se souviendra que nous exprimons le temps par le mouvement moyen du Soleil (n^o 20) ; de sorte que, si la quantité à réduire en temps est exprimée en angles, en la divisant par $360$ degrés, on aura des années sidérales de $365^{\text{j}}{,}25636\,;$ et, si elle est exprimée en nombres absolus (la moyenne distance du Soleil étant l’unité), il faudra la diviser par le rapport de la circonférence au rayon, c’est-à-dire, par $6{,}283185\ldots ,$ pour la réduire de même en années sidérales.

67. La formule précédente est générale ; mais, dans notre cas, on aura, par ce qu’on a établi dans le n^o 64,

$t''=0,\quad \delta i''=0,\quad \delta g''=0\,;$

de plus, à cause de $t=\theta {\sqrt {\frac {a^{3}}{8(1+m)}}}$ ($\theta$ étant l’anomalie moyenne de la comète), on aura

$t'''=360^{\circ }{\sqrt {\frac {a^{3}}{8(1+m)}}},\quad t'=-360^{\circ }{\sqrt {\frac {a^{3}}{8(1+m)}}}\,;$

de sorte que la première partie de la formule dont il s’agit se réduira à

${\frac {3.360^{\circ }}{4}}{\sqrt {\frac {a}{2(1+m)}}}\left(\delta a'''-\delta a'\right),$

où $\delta a'''$ sera l’intégrale totale de la différentielle $d\,\delta a$ pour la période entière de 1661 à 1789, en faisant $t$ positif, et où $\delta a'$ sera de même l’intégrale totale de $d\,\delta a$ pour la période de 1661 à 1532, en faisant $t$ négatif de sorte que, comme il n’y a que la différence de ces deux intégrales qui entre en ligne de compte, il n’y aura point de constantes à y ajou-

ter, et l’on pourra prendre chaque intégrale en sorte qu’elle commence au périhélie de 1661, où $t=0$.

Les deux autres parties de la même formule deviendront

$-{\sqrt {\frac {a^{3}}{8(1+m)}}}\left(\delta i'''+\delta i'\right)-\left({\frac {2h}{1+e}}\right)^{2}{\frac {\delta g'''+\delta g'}{e{\sqrt {2h(1+m)}}}},$

où (à cause de $\delta i''=0$ et $\delta g''=0$) il faudra prendre pour $\delta i'''$ et $\delta g'''$ les intégrales des quantités $d\,\delta i$ et $d\,\delta g$ depuis le périhélie de 1661 jusqu’à celui de 1789, et pour $\delta i'$ et $\delta g'$ les intégrales des mêmes quantités, mais depuis le périhélie de 1661 jusqu’à celui de 1532, en supposant $t$ négatif.

L’altération du temps périodique est celle qu’il est le plus important de déterminer dans la Théorie des perturbations des comètes.

Quant aux altérations des autres éléments de l’orbite, on les déterminera directement par l’intégration des quantités $d\,\delta h,d\,\delta a,d\,\delta g,d\,\delta b,d\,\delta c$ (n^os 38, 42 et suivants), en faisant commencer les intégrales au périhélie de 1661, et les étendant jusqu’au périhélie de 1789 ou de 1532, suivant qu’on voudra déterminer ces altérations pour la dernière période de la comète ou pour la période précédente.

68. Voilà toutes les données et les formules nécessaires pour calculer les perturbations causées à l’orbite de la comète dont il s’agit par l’action des planètes. Or, parmi toutes les planètes, il n’y a que Jupiter et Saturne dont l’action sur la comète puisse être sensible, tant parce que les masses des autres planètes sont trop petites, que parce qu’elles sont trop proches du Soleil. Ainsi l’on prendra successivement Jupiter et Saturne pour la planète perturbatrice dont on a supposé la masse $\mu ,$ et dont le rayon vecteur est $\rho ,$ et les coordonnées rectangles $\xi ,\eta ,\zeta .$ Les Tables astronomiques de Halley donneront toutes les valeurs des quantités qui dépendent des lieux de ces planètes dans un temps quelconque ; et nous ne croyons pas qu’il soit nécessaire d’entrer là-dessus dans aucun détail.

Comme la distance de Jupiter au Soleil est environ $5,$ et celle de Saturne environ $9{\tfrac {1}{2}},$ il est clair que, si l’on fait commencer la partie supérieure de l’orbite de la comète aux points de la moyenne-distance, c’est-à-dire, aux extrémités du petit axe, alors $r$ sera toujours beaucoup plus grand que $\rho ,$ et la méthode des n^os 48 et suivants aura toute l’exactitude qu’on peut désirer, en négligeant même tout à fait les termes qui dépendent du mouvement moyen de la planète perturbatrice dans les formules des quantités différentielles $d\,\delta d,d\,\delta a,\ldots ,$ et en ne tenant compte que des termes indépendants de l’angle $\upsilon ,$ que nous avons vus être toujours intégrables (n^os 52 et 56).

Il y aura encore un autre avantage à prendre ainsi la moitié supérieure de l’orbite pour ce que nous appelons la partie, supérieure, car on aura alors, pour le commencement de cette partie, $u=\pm 90,$ et, pour la fin, $u=\pm 270\,;$ de sorte que, à cause de

$x={\frac {a}{2}}(\cos u-e),\ \ y={\sqrt {ah}}\sin u,\ \ r={\frac {a}{2}}(1-e\cos u),\ \ dt={\sqrt {\frac {a}{2(1+m)}}}rdu$

($u$ étant l’anomalie excentrique comptée depuis le périhélie), on aura, pour le commencement de la partie supérieure,

$x=-{\frac {ae}{2}},\quad y=\pm {\sqrt {ah}},\quad r={\frac {a}{2}},$

${\frac {dx}{dt}}=\mp {\sqrt {\frac {2(1+m)}{a}}},\quad {\frac {dy}{dt}}=0,\quad {\frac {dr}{dt}}=\pm e{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a}}}$

et pour la fin

$x=-{\frac {ae}{2}},\quad y=\mp {\sqrt {ah}},\quad r={\frac {a}{2}},$

${\frac {dx}{dt}}=\pm {\sqrt {\frac {2(1+m)}{a}}},\quad {\frac {dy}{dt}}=0,\quad {\frac {dr}{dt}}=\mp e{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a}}}$

(les signes supérieurs étant pour le cas où l’on prendra les angles $t$ et $u$ positifs, c’est-à-dire, pour la période qui suit le périhélie de 1661, et les signes inférieurs étant pour le cas où $t$ et $u$ seront négatifs, c’est-à-dire, pour la période qui précède ce périhélie), ce qui simplifiera beaucoup

les valeurs des quantités $\mathrm {H',H'',A',A''} ,\ldots ,$ c’est-à-dire, les valeurs de $\mathrm {H,A} ,\ldots$ pour le commencement et pour la fin de la partie supérieure de l’orbite (n^o 48).

Quant à la masse $m$ de la comète, que nous avons conservée, pour plus d’exactitude et de généralité, dans les formules de ce Mémoire, elle est inconnue, et rien ne saurait conduire à la déterminer ; mais il est naturel de la supposer très-petite vis-à-vis de la masse du Soleil ; de sorte qu’on pourra négliger partout la quantité $m$ vis-à-vis de l’unité.