Mon édition de la Mécanique analytique (Paris, 1815) renfermant plusieurs fautes typographiques, je vais reprendre les calculs de Lagrange à la page 91 du Tome II[1].
Lagrange veut calculer l’angle de rotation du pendule autour de la verticale, et il écrit que, et étant les amplitudes maximum et minimum, l’amplitude variable avec le temps, et un angle auxiliaire donné par la formule
on aura
On a d’ailleurs
Il s’agit d’intégrer de à ou, ce qui revient au même, de à en tenant compte des termes du second ordre et négligeant ceux du quatrième ordre. Le calcul du premier des deux termes qui composent la valeur de \int n’offre aucune difficulté ; on peut poser
on trouve alors, pour ce premier terme,
et, intégrant,
Le calcul du second terme est plus compliqué, parce que le dénominateur renferme le facteur qui est lui-même du second ordre.
Faites, avec Lagrange,
vous aurez
ou plus simplement, en supprimant les termes en lesquels doivent disparaître par l’intégration,
Dans cette formule, on a d’ailleurs
ce qui change le terme à calculer en
En intégrant de à ce terme devient
Si l’on néglige les quantités du quatrième ordre en [2]), le premier facteur aura pour valeur
le deuxième facteur sera
le troisième facteur sera
le quatrième facteur sera égal à
le cinquième facteur sera égal à
Le produit total sera donc
et, en lui ajoutant on trouvera
étant la différence des valeurs de la variable entre les limites et
Lagrange a trouvé
son erreur provient de ce que, dans le second terme de il a écrit, par mégarde, au dénominateur, au lieu de erreur qui a fait disparaître le facteur et par cette suppression le facteur provenant de On peut s’étonner que Lagrange n’ait pas reconnu une telle erreur ; car la formule
donne pour l’orbite du mobile, comme Lagrange en fait lui-même la remarque, une courbe festonnée, dans laquelle le rapport de l’amplitude angulaire des festons à la demi-circonférence peut varier d’une manière quelconque entre et or il suffit de jeter les yeux sur un pendule oscillant elliptiquement, et, par exemple, sur un fil à plomb ordinaire, pour reconnaître que ce résultat est complètement contredit par l’observation. Tant il est vrai que l’erreur est tellement humaine, qu’elle peut se glisser sous la plume du plus illustre géomètre[3] !