Mécanique analytique/Notes du volume 1/Note 5

J. Bertrand

Mécanique analytique

Gauthier-Villars, 1868 (Œuvres de Lagrange. Tome XI, p. 466-468).

NOTE V.

Sur une équation signalée par Lagrange comme impossible.

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Lagrange a été conduit, page 293, à regarder comme impossible l’équation

(1)

$\scriptstyle \left\{{\begin{aligned}&\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle \left(x^{2}+y^{2}\right)\mathrm {Dm} \times \displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle \left(x^{2}+z^{2}\right)\mathrm {Dm} \times \displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle \left(y^{2}+z^{2}\right)\mathrm {Dm} \\=&\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle \left(x^{2}+y^{2}\right)\mathrm {Dm} \times \left(\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle xy\mathrm {Dm} \right)^{2}+\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle \left(x^{2}+z^{2}\right)\mathrm {Dm} \times \left(\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle xz\mathrm {Dm} \right)^{2}\\+&\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle \left(y^{2}+z^{2}\right)\mathrm {Dm} \times \left(\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle yz\mathrm {Dm} \right)^{2}+2\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle xy\mathrm {Dm} \times \displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle xz\mathrm {Dm} +\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle yz\mathrm {Dm} \,;\end{aligned}}\right.$

mais il ne s’est pas arrêté à démontrer cette impossibilité, qu’un premier aperçu lui faisait regarder comme difficile à établir. Le but de cette Note est de remplir cette lacune qui, du reste, a été déjà l’objet d’un travail de M. Binet. Posons

${\begin{alignedat}{3}\scriptstyle a=&\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle x^{2}\mathrm {Dm} ,&\qquad \scriptstyle b=&\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle y^{2}\mathrm {Dm} ,&\qquad \scriptstyle c=&\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle z^{2}\mathrm {Dm} ,\\\scriptstyle d=&\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle xy\mathrm {Dm} ,&\scriptstyle e=&\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle xz\mathrm {Dm} ,&\scriptstyle f=&\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle yz\mathrm {Dm} \,;\end{alignedat}}$

il faut prouver que l’égalité

(2)

$(a+b)(a+c)(b+c)=d^{2}(a+b)+e^{2}(a+c)+f^{2}(b+c)+2def$

ne peut avoir lieu dans aucun cas. Pour le faire voir, nous allons montrer que, en faisant passer tous les termes dans le premier membre, le résultat est essentiellement positif.

Or on obtient ainsi, pour premier membre,

${\begin{aligned}2abc&+b^{2}c+ac^{2}+bc^{2}+ca^{2}+ba^{2}+ab^{2}\\-&(b+c)f^{2}-(a+c)e^{2}-(a+b)d^{2}-2def,\end{aligned}}$

ce que l’on peut écrire de la manière suivante :

(3)

$\left\{{\begin{aligned}2&(abc-def)+\left(ab-d^{2}\right)(a+b)\\&+\left(ac-e^{2}\right)(a+c)+\left(bc-f^{2}\right)(b+c).\end{aligned}}\right.$

Or on a

$\scriptstyle {\begin{aligned}ab-d^{2}=&\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle x^{2}\mathrm {Dm} \times \displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle y^{2}\mathrm {Dm} -(\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle xy\mathrm {Dm} )^{2},\\ac-e^{2}=&\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle x^{2}\mathrm {Dm} \times \displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle z^{2}\mathrm {Dm} -(\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle xz\mathrm {Dm} )^{2},\\bc-f^{2}=&\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle y^{2}\mathrm {Dm} \times \displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle z^{2}\mathrm {Dm} -(\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle yz\mathrm {Dm} )^{2},\end{aligned}}$

et il est très facile de voir que ces trois différences sont positives ; de plus, des inégalités

(4)

$\left\{{\begin{aligned}ab>d^{2},\\ac>e^{2},\\bc>f^{2},\end{aligned}}\right.$

on déduira

$a^{2}b^{2}c^{2}>d^{2}e^{2}f^{2},$

et, par suite,

$abc>def\,;$

et l’on voit alors que tous les termes de l’expression (3) sont essentiellement positifs, et que, par conséquent, cette expression ne peut jamais s’annuler.

Nous avons admis les inégalités (4) comme évidentes. Si l’on suppose, en effet, que le nombre des points du système ait une valeur finie quelconque $n,$ la première de ces inégalités, qui ne diffère des deux autres que par des changements de lettres, devient

${\begin{aligned}&\left(m_{1}x_{1}^{2}+m_{2}x_{2}^{2}+\ldots +m_{n}x_{n}^{2}\right)\left(m_{1}y_{1}^{2}+m_{2}y_{2}^{2}+\ldots +m_{n}y_{n}^{2}\right)\\&\quad >\left(m_{1}x_{1}y_{1}+\ldots +m_{n}x_{n}y_{n}\right)^{2}\end{aligned}}$

or elle peut s’écrire

$\sum \sum m_{i}m_{i'}(x_{i}y_{i'}-x_{i'}y_{i})^{2}>0,$

et, sous cette forme, elle devient complètement évidente. Le seul cas d’exception serait celui où tous les éléments de la somme seraient nuls. Cette condition ne pourrait être remplie pour les trois inégalités (4) la fois que si tous les points du système se trouvaient sur une même ligne droite passant par l’origine.

(Note de M. J. Bertrand.)