FRAGMENTS.
I.
Sur la détermination des orbites des comètes.
Soient
la distance de la comète à la Terre,
les trois coordonnées de la comète rapportées à la Terre, où
![{\displaystyle l^{2}+m^{2}+n^{2}=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/889730589aabdadfca69a4cf4d133a16cdb8b4b5)
les trois coordonnées de l’orbite de la comète autour du Soleil, et
son rayon vecteur ;
les trois coordonnées de l’orbite de la Terre, et
son rayon vecteur ; on aura
![{\displaystyle x=\xi +l\mathrm {R} ,\quad y=\eta +m\mathrm {R} ,\quad z=\zeta +n\mathrm {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a0adce71639989b88eff4da7b7e5da123e941eb)
Ensuite
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {x}{r^{3}}}=&0,\qquad &{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {y}{r^{3}}}=&0,\qquad &{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {z}{r^{3}}}=&0,\\{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+{\frac {\xi }{\rho ^{3}}}=&0,&{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}+{\frac {\eta }{\rho ^{3}}}=&0,&{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}+{\frac {\zeta }{\rho ^{3}}}=&0\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd5e7990c2e623f70b41444891a9547543a64d63)
donc, substituant, on aura
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&{\frac {d^{2}(l\mathrm {R} )}{dt^{2}}}&-&{\frac {\xi }{\rho ^{3}}}&+&{\frac {\xi +l\mathrm {R} }{r^{3}}}&=&0,\\&{\frac {d^{2}(m\mathrm {R} )}{dt^{2}}}&-&{\frac {\eta }{\rho ^{3}}}&+&{\frac {\eta +m\mathrm {R} }{r^{3}}}&=&0,\\&{\frac {d^{2}(n\mathrm {R} )}{dt^{2}}}&-&{\frac {\zeta }{\rho ^{3}}}&+&{\frac {\zeta +n\mathrm {R} }{r^{3}}}&=&0,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b813a45fe6c9d059b7d7373fa1c78abb102efbfc)
savoir
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}&l{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dt^{2}}}&+&2{\frac {dld\mathrm {R} }{dt^{2}}}&+&\mathrm {R} \left({\frac {d^{2}l}{dt^{2}}}+{\frac {l}{r^{3}}}\right)&+&\xi \left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{\rho ^{3}}}\right)&=&0,\\&m{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dt^{2}}}&+&2{\frac {dmd\mathrm {R} }{dt^{2}}}&+&\mathrm {R} \left({\frac {d^{2}m}{dt^{2}}}+{\frac {m}{r^{3}}}\right)&+&\eta \left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{\rho ^{3}}}\right)&=&0,\\&n{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dt^{2}}}&+&2{\frac {dnd\mathrm {R} }{dt^{2}}}&+&\mathrm {R} \left({\frac {d^{2}n}{dt^{2}}}+{\frac {n}{r^{3}}}\right)&+&\zeta \left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{\rho ^{3}}}\right)&=&0.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/330527eb8b94e485e4241b276b9d1f562622f746)
Multipliant la première par
la seconde par
la troisième par
et les ajoutant ensemble, on aura, à cause de
![{\displaystyle l(m\,dn-n\,dm)-m(l\,dn-n\,dl)+n(l\,dm-m\,dl)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cb804b6640e49a8a1551fe5c7bd3ff1d09deb70)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {R} &{\frac {(m\,dn-n\,dm)d^{2}l-(l\,dn-n\,dl)d^{2}m+(l\,dm-m\,dl)d^{2}n}{dt^{2}}}\\&+\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{\rho ^{3}}}\right)\left[\xi (m\,dn-n\,dm)-\eta (l\,dn-n\,dl)+\zeta (l\,dm-m\,dl)\right]=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d6a6f92b3872e7d48c65e392c8d0dd2af015ec1)
Ainsi l’on aura
![{\displaystyle \mathrm {R} =\mu \left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{\rho ^{3}}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dc75aab750da572040103837458cbf5ae81007e)
mais
![{\displaystyle r^{2}=\rho ^{2}+2(l\xi +m\eta +n\zeta )\mathrm {R+R} ^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beea16d40c5bcbb80154f90a1c40684d56dcd586)
donc
![{\displaystyle r^{2}=\rho ^{2}+2\mu (l\xi +m\eta +n\zeta )\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{\rho ^{3}}}\right)+\mu ^{2}\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{\rho ^{3}}}\right)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1cb53bce7205c4492d2486eece3c12decebe6e6)
savoir
![{\displaystyle \left(r^{2}-\rho ^{2}\right)\rho ^{6}r^{6}+2\mu (l\xi +m\eta +n\zeta )\left(r^{3}-\rho ^{3}\right)\rho ^{3}r^{3}-\mu ^{2}\left(r^{3}-\rho ^{3}\right)^{2}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ccd7e109367b37241e56eb6168aeeb3cde3886d)
équation du huitième degré, mais qui est évidemment divisible par
ce qui la rabaisse au septième.