LEÇON SEIZIÈME.
Équations dérivées qui ont des équations primitives singulières données. Analyse d’une classe d’équations de tous les ordres qui ont toujours nécessairement des équations primitives singulières.
Si les équations primitives singulières ont moins d’étendue que les équations primitives proprement dites, parce qu’elles ne renferment aucune constante arbitraire, on peut les regarder, sous un autre point de vue, comme plus générales que celles-ci, parce qu’une même équation primitive singulière peut répondre à une infinité d’équations dérivées ; et c’est un problème indéterminé de trouver une équation dérivée qui ait une équation primitive singulière donnée. Comme ce problème est curieux, et qu’il peut être utile dans plusieurs occasions, nous allons en donner ici une solution, pour servir de complément à notre théorie des équations primitives singulières.
Représentons par
une équation primitive entre et deux constantes et dont l’une soit une fonction quelconque de l’autre, ou qui dépendent, en général, l’une de l’autre par l’équation
On aura l’équation dérivée qui en résulte, en éliminant ces deux constantes au moyen des trois équations
Donc, si l’on tire des deux premières les valeurs de et en fonctions de et qu’on désigne ces valeurs par
on aura l’équation dérivée en substituant ces fonctions à la place de et dans l’équation de condition
Ainsi, en mettant simplement et pour les fonctions dont il s’agit, l’équation dérivée sera
Donc, réciproquement, toute équation dérivée de cette forme aura pour équation primitive
les deux constantes et étant liées par l’équation
et l’on aura en même temps les deux équations
Donc toute valeur de en qui satisfera à la même équation
et qui ne rendra pas les fonctions et constantes, ne pourra pas être comprise dans l’équation primitive générale, et sera par conséquent une valeur singulière.
Soit
cette valeur singulière, étant une fonction donnée de en substituant et au lieu de et dans les fonctions et, elles deviendront de simples fonctions de et, éliminant entre elles, on aura une équation et qu’on prendra pour l’équation
ainsi l’équation
satisfera à l’équation
mais, ne rendant pas les fonctions et constantes, elle ne sera pas comprise dans l’équation primitive générale, et ne sera, par conséquent, qu’une équation primitive singulière.
La solution se réduit donc à ceci : soit
la valeur singulière donmée de en fonction de Ayant pris une équation quelconque
en et deux constantes et de cette équation et de son équation dérivée
on tirera les valeurs de et en fonctions de on substituera dans ces valeurs et à la place de et on aura deux équations qui, par l’élimination de en donneront une en et que je représente par
Si maintenant on substitue dans cette équation à la place de et leurs premières valeurs en fonctions de on aura l’équation dérivée dont
sera l’équation primitive singulière, et dont
sera l’équation primitive ordinaire, les constantes et étant l’une fonction de l’autre déterminée par l’équation
Prenons, par exemple, l’équation
son équation dérivée sera
et l’on tire de ces deux équations
Supposons maintenant que l’on ait l’équation primitive singulière
elle donne
donc
et
de sorte que, par ces substitutions, les valeurs de et deviendront
d’où l’on tire, en éliminant cette équation en et
savoir,
Donc, substituant ici les premières valeurs de et en on aura l’équation du premier ordre
dont celle-ci
sera l’équation primitive singulière.
Son équation primitive ordinaire sera
en supposant entre
et
l’équation ci-dessus
de sorte que, comme cette équation donne
l’équation primitive sera
étant la constante arbitraire.
En effet, si l’on cherche l’équation primitive singulière d’après celle-ci, on aura, en prenant les fonctions dérivées par rapport à
d’où l’on tire
Substituant cette valeur dans la même équation, on aura
ce qui donne
où les signes ambigus sont à volonté.
En général, il est facile de voir qu’on aura le même résultat
en substituant d’abord, dans l’équation supposée
la valeur donnée
et éliminant ensuite par le moyen de son équation prime, relative à
Or si l’équation
donne
et qu’on substitue cette valeur à la place de il s’ensuivra que l’équation
aura lieu en même temps que son équation prime relative à Mais, étant alors une fonction de l’équation prime relative à et doit avoir lieu ; donc la partie relative à aura lieu aussi en particulier ; ce qui est le caractère de l’équation primitive singulière.
Ainsi, ayant pris une équation primitive quelconque en et il n’y aura qu’à éliminery au moyen de l’équation primitive singulière donnée, ensuite éliminer par celle-ci et par son équation prime relative à on aura sur-le-champ une équation en et qui sera l’équation de condition
par laquelle il faudra déterminer l’une des deux constantes ou par l’autre. Ensuite on pourra, d’après la même équation primitive, chercher, si l’on veut, l’équation dérivée par l’élimination de la constante arbitraire.
Dans l’exemple précédent, en substituant pour dans l’équation
on a
dont l’équation prime est
celle-ci donne
et cette valeur, substituée dans la première, donne sur-le-champ l’équation de condition
comme plus haut.
En prenant d’autres équations en et opérant de la même manière, on trouvera autant d’équations du premier ordre qu’on voudra, dont la même équation
sera l’équation primitive singulière.
On voit aussi que la même équation en et pourra donner telle équation primitive singulière qu’on voudra, suivant la relation qu’on établira entre les constantes et
Enfin on voit que, par ce problème, on peut toujours trouver la relation entre deux constantes d’une équation donnée en et pour que cette équation soit l’équation primitive ordinaire et complète, répondant à une équation primitive singulière donnée.
On peut appliquer la même méthode à la recherche des équations du second ordre ou des ordres supérieurs dont l’équation primitive singulière sera donnée.
Supposons que cette équation soit du premier ordre et représentée par
On prendra une équation quelconque en et trois constantes arbitraires
On tirera de cette équation et de ses équations prime et seconde les valeurs de en fonctions de et
On substituera dans ces fonctions les valeurs de et en et tirées de l’équation primitive donnée, c’est-à-dire à la place de et à la place de on aura exprimées en fonctions de et ce qui donnera trois équations, d’où, éliminant et il résultera une équation en que je représenterai par
Cette équation, en y substituant les premières valeurs de en fonctions de sera l’équation du second ordre dont la proposée
sera l’équation primitive singulière, et l’équation en
en sera l’équation primitive en
et
en supposant entre les trois constantes
la relation donnée par l’équation
Si l’équation singulière donnée était du second ordre, on prendrait une équation en et et quatre constantes et ainsi de suite.
Supposons que l’équation primitive singulière soit
et prenons l’équation
d’où l’on tire les deux dérivées, prime et seconde,
ces trois équations donnent
Mais la proposée donne
donc, substituant ces valeurs, on aura
Éliminant et on trouve l’équation
dans laquelle, en substituant les premières valeurs de il vient l’équation du second ordre
dont la proposée sera l’équation primitive singulière, et
l’équation supposée
sera l’équation primitive en et en supposant l’équation
de sorte que, comme cette équation donne
on aura
et étant les deux constantes arbitraires.
Les équations de la forme
que nous venons de considérer, dans lesquelles les quantités sont les valeurs en des constantes tirées d’une équation primitive
et de ses dérivées
constituent une classe remarquable d’équations dérivées qui ont toujours une équation primitive singulière, parce que la dérivée d’une équation de cette classe a nécessairement un facteur du même ordre que l’équation.
Pour le démontrer, soit d’abord
une équation quelconque en et deux constantes et
En regardant ces constantes comme arbitraires, l’équation dont il s’agit sera la primitive d’une équation du second ordre en et qui résultera de l’élimination de et au moyen des deux équations dérivées
et cette équation pourra toujours, comme nous l’avons vu, se mettre sous la forme
Maintenant, si l’on commence par tirer les valeurs de et des deux équations
et que ces valeurs soient représentées par les fonctions
et il est clair que les deux équations
où et sont des constantes arbitraires, seront les deux équations primitives du premier ordre de l’équation précédente
par conséquent, leurs dérivées
devront coïncider avec cette même équation, en donnant la même valeur de en et
Or
et
suivant la notation abrégée que nous avons adoptée ; donc on aura
expressions de qui seront nécessairement identiques.
On aura donc
par conséquent, si l’on substitue ces valeurs dans les expressions précédentes des fonctions dérivées
c’est-à-dire de
et
et, regardant maintenant
et
comme fonctions de
on aura
Cela posé, soit une équation du premier ordre ; sa dérivée sera
et, par la substitution des valeurs de qu’on vient de trouver, elle deviendra
Cette équation a, comme l’on voit, deux facteurs, l’un qui n’est que du premier ordre, comme l’équation proposée ; l’autre qui contient et qui donne proprement l’équation dérivée du second ordre.
Celui-ci donne l’équation
de laquelle résultent
par les formules trouvées plus liaut, de sorte que les fonctions et seront constantes.
Prenant donc et pour des constantes arbitraires, on aura ces deux équations primitives du premier ordre
d’où, éliminant la fonction dérivée on aura une équation en et qui sera l’équation primitive de la proposée, et qui sera évidemment la même que l’équation
d’où l’on avait déduit les fonctions et
Mais il faudra que les constantes et de cette équation satisfassent à la condition
donnée par l’équation proposée ; ce qui les réduira a une seule, qui sera par conséquent la constante arbitraire de l’équation primitive de la proposée.
Le facteur du premier ordre
donnera, de son côté, l’équation en et
en supposant qu’on y mette pour et leurs valeurs et et cette équation, d’après la théorie exposée dans la Leçon précédente, donnera sur-le-champ l’équation primitive singulière de la même équation proposée, en éliminant par le moyen de ces deux équations.
Or il est facile de voir que, si l’on représente par
la fonction donnée dans laquelle
et
le facteur dont il s’agit se réduira simplement à puisque les expressions et ne sont que les fonctions dérivées de et prises par rapport à seule.
Ainsi on aura la primitive singulière de l’équation
dans le cas où elle est réductible à la forme
en éliminant
de cette équation au moyen de sa dérivée, prise relativement à
seule.
En appliquant les mêmes principes aux équations des ordres supérieurs, on prouvera que, si l’on a une équation du second ordre, représentée par
dont le premier membre puisse être une fonction quelconque de trois fonctions déterminées par une équation quelconque
entre et par ses deux équations dérivées
prises en regardant comme constantes, l’équation proposée aura nécessairement une primitive singulière du premier ordre, qui sera le résultat de l’élimination de au moyen de son équation dérivée
relative à
Et l’on aura l’équation primitive en et par l’équation même
en prenant les constantes de manière qu’elles satisfassent à l’équation donnée
de sorte qu’il en restera deux d’arbitraires.
Et de même pour les équations des ordres supérieurs.
Prenons l’équation
sa dérivée sera
de ces deux équations on tire
Si maintenant on prend, pour l’équation celle-ci, à une constante, on aura l’équation du premier ordre
où est une constante quelconque.
Ainsi on aura tout de suite sa primitive singulière, en éliminant au moyen de l’équation dérivée prise relativement à laquelle sera
d’où l’on tire
en substituant cette valeur de on a
comme on l’a déjà trouvé par d’autres voies.
Prenons encore l’équation
on aura les deux dérivées
d’où l’on tire
Soit, par exemple,
on aura l’équation du second ordre
dont la primitive singulière résultera de l’élimination de au moyen
de sa dérivée relative à
savoir,
ce qui revient à ce que nous avons déjà trouvé.
Lorsqu’on connaît l’équation primitive
avec l’équation
qui donne la relation entre les quantités on peut trouver directement l’équation primitive singulière sans connaître les valeurs de ces quantités en fonctions de car, ayant réduit les quantités à une de moins par le moyen de l’équation de condition
il n’y aura qu’à appliquer à l’équation primitive
la méthode générale exposée dans la Leçon quinzième.
Mais la difficulté consiste à reconnaître a posteriori si des fonctions données, dont une équation proposée est composée, dépendent d’une même équation primitive, de manière qu’elles puissent représenter les valeurs des constantes tirées de cette équation et de ses dérivées.
Pour la résoudre, j’observe que la propriété caractéristique de ces sortes de fonctions est que leurs dérivées ont entre elles des rapports exprimés par des fonctions du même ordre que les fonctions dont il s’agit. En effet, relativement aux fonctions du premier ordre, nous avons déjà vu plus haut que les fonctions et qui représentent les valeurs des constantes et tirées de l’équation générale
et de sa dérivée
sont telles que leurs dérivées
et
que nous avons désignées par
et
ont la forme suivante :
de sorte que l’on a simplement
où l’on voit que les fonctions dont il s’agit ont la propriété que la fonction seconde disparaît du rapport de leurs dérivées, et que ce rapport est le même que si l’on prenait ces dérivées relativement à la variable seule.
Soit, par exemple, l’équation à la ligne droite
sa dérivée sera
ainsi on aura
On aura donc, en dénotant simplement par et ces expressions de et
prenant les fonctions dérivées, il viendra
donc
Si l’on ne prenait et que relativement à on aurait
comme précédemment.
Soit encore l’équation
qui est à un cercle dont le rayon et dont le centre est dans l’axe des abscisses à la distance de leur origine.
La dérivée sera
d’où l’on tire
de là on aura, par les substitutions,
Si maintenant on prend les dérivées de et on aura
et de là
Si l’on ne prenait les dérivées et que relativement à on aurait
donc
comme ci-dessus.
On pourrait prouver, par une analyse semblable, que les fonctions de et qui expriment les valeurs des quantités tirées d’une équation
et de ses deux dérivées
dans lesquelles ces quantités sont traitées comme constantes, ont des dérivées dont les rapports sont indépendants de la fonction tierce
et qui sont les mêmes que si l’on ne prenait ces dérivées que relativement à la fonction seconde
parce qu’en désignant ces fonctions par
les trois équations
où seraient des constantes arbitraires, seront les trois primitives d’une même équation du troisième ordre, telle que
à laquelle les dérivées de ces équations devront par conséquent satisfaire et de même pour les fonctions du même genre des ordres supérieurs. Mais on peut s’en convaincre encore d’une manière plus directe que voici :
En dénotant simplement par et les fonctions qui expriment les valeurs des constantes et tirées de l’équation
et de sa dérivée
il est clair que l’équation
sera identique ; que, par conséquent, sa dérivée
aura lieu d’elle-même ; mais on a déjà
donc on aura séparément l’équation
laquelle donne
Or, comme et ne contiennent que et il est visible que la valeur de ne sera qu’une fonction du premier ordre.
Ainsi, dans le dernier exemple, où
si l’on change en et en on aura
donc
par conséquent
comme nous l’avons trouvé par une autre voie.
De même, si sont les fonctions de et qui expriment les valeurs des constantes tirées de l’équation
et de ses deux dérivées
en substituant ces fonctions à la place de on aura des équations identiques, dont, par conséquent, les dérivées auront lieu aussi.
On aura donc, en premier lieu,
et, par conséquent aussi,
mais on a déjà
donc on aura l’équation
Ensuite, comme l’équation
contient, outre les quantités les trois fonctions si on la dénote par on aura l’équation identique
et, par conséquent, la dérivée
mais on a déjà
puisqu’il est visible que est la même chose que donc on aura aussi l’équation
Si l’on combine cette équation avec la précédente, il est clair que, puisque les quantités n’y sont qu’à la première dimension, et en multiplient tous les termes, il est clair, dis-je, qu’on en tirera les valeurs de et de en fonctions des quantités et de sorte que ces fonctions ne passeront pas le second ordre, et ainsi de suite.
Si les fonctions et exprimaient les valeurs des constantes et tirées de l’équation du premier ordre
et de sa dérivée
ces fonctions seraient alors du second ordre ; et l’on trouverait, par le même raisonnement, que le rapport de leurs dérivées serait exprimé également par de sorte que ce rapport serait une fonction du second ordre, et, par conséquent, du même ordre que les fonctions et
En général, il résulte de l’analyse précédente que, si sont des fonctions d’un ordre quelconque, qui expriment les valeurs des constantes tirées d’une équation en et de ses dérivées successives, les dérivées de ces fonctions auront toujours entre elles des rapports du même ordre que les fonctions elles-mêmes.
Je dis maintenant que, si des fonctions quelconques de sont telles que leurs dérivées aient entre elles des rapports du même ordre que les fonctions elles-mêmes, c’est-à-dire, dans lesquels il n’entre que des fonctions dérivées de du même ordre, ces fonctions pourront toujours exprimer les valeurs d’autant de constantes tirées d’une équation primitive et de ses dérivées successives ; et il sera alors facile de retrouver cette équation primitive génératrice.
Car, si l’on désigne par les fonctions dont il s’agit, et que soient les valeurs des rapports des dérivées à la dérivée ces valeurs étant, par l’hypothèse, des fonctions du même ordre que les fonctions données on aura donc les équations
Supposons
on aura donc aussi
donc
étant des constantes.
Ces différentes équations seront donc autant d’équations primitives de la même équation
puisqu’elles ont lieu en même temps qu’elle ; par conséquent ; en éliminant de ces mêmes équations
les plus hautes fonctions dérivées de la variable on aura une équa-
tion primitive d’un ordre inférieur, qui contiendra les constantes
et qui sera l’équation primitive génératrice de la forme
d’où résultent les fonctions en les prenant pour les valeurs des constantes tirées de cette équation et de ses dérivées successives
Ainsi, si l’on avait entre ces fonctions une équation quelconque
et que l’on reconnût que leurs dérivées ont entre elles des rapports du même ordre que ces fonctions, on aurait tout de suite les équations primitives
et de là l’équation primitive principale
dans laquelle les constantes seraient arbitraires, hors une, qui devrait être déterminée par l’équation donnée, laquelle se réduit alors à
On aurait ensuite l’équation primitive singulière par les méthodes exposées plus haut.
Par exemple, si l’on proposait l’équation du premier ordre
sans qu’on sût que les deux quantités qui sont sous la fonction peuvent exprimer les constantes tirées d’une équation primitive et de sa dérivée, on examinerait d’abord leurs dérivées, qui sont
comme celle-ci se réduit à
on voit d’abord que son rapport à la première sera exprimé simplement par
sans que la fonction seconde
puisse y entrer. On est donc assuré par là que les deux fonctions
et
peuvent provenir d’une équation primitive qu’on trouvera en faisant les deux équations
et éliminant ce qui donne celle-ci
laquelle coïncide avec celle d’où nous avions déduit les expressions de et dans le dernier exemple.
Maintenant l’équation proposée deviendra simplement
par laquelle on déterminera en de sorte que l’équation précédente ne contiendra plus que la constante arbitraire et sera alors la primitive complète de la proposée.
On pourra tirer de là la primitive singulière, en éliminant au moyen de la dérivée prise par rapport à seul, suivant la méthode de la Leçon quinzième, ou bien il n’y aura qu’à éliminer de la proposée, au moyen de sa dérivée prise par rapport à seule, comme nous l’avons vu plus haut relativement aux équations de ce genre.