LEÇON SEIZIÈME.
Équations dérivées qui ont des équations primitives singulières données. Analyse d’une classe d’équations de tous les ordres qui ont toujours nécessairement des équations primitives singulières.
Si les équations primitives singulières ont moins d’étendue que les équations primitives proprement dites, parce qu’elles ne renferment aucune constante arbitraire, on peut les regarder, sous un autre point de vue, comme plus générales que celles-ci, parce qu’une même équation primitive singulière peut répondre à une infinité d’équations dérivées ; et c’est un problème indéterminé de trouver une équation dérivée qui ait une équation primitive singulière donnée. Comme ce problème est curieux, et qu’il peut être utile dans plusieurs occasions, nous allons en donner ici une solution, pour servir de complément à notre théorie des équations primitives singulières.
Représentons par

une équation primitive entre
et deux constantes
et
dont l’une soit une fonction quelconque de l’autre, ou qui dépendent, en général, l’une de l’autre par l’équation

On aura l’équation dérivée qui en résulte, en éliminant ces deux constantes au moyen des trois équations

Donc, si l’on tire des deux premières les valeurs de
et
en fonctions de
et qu’on désigne ces valeurs par

on aura l’équation dérivée en substituant ces fonctions à la place de
et
dans l’équation de condition

Ainsi, en mettant simplement
et
pour les fonctions dont il s’agit, l’équation dérivée sera

Donc, réciproquement, toute équation dérivée de cette forme aura pour équation primitive

les deux constantes
et
étant liées par l’équation

et l’on aura en même temps les deux équations

Donc toute valeur de
en
qui satisfera à la même équation

et qui ne rendra pas les fonctions
et
constantes, ne pourra pas être comprise dans l’équation primitive générale, et sera par conséquent une valeur singulière.
Soit

cette valeur singulière,
étant une fonction donnée de
en substituant
et
au lieu de
et
dans les fonctions et, elles deviendront de simples fonctions de
et, éliminant
entre elles, on aura une équation
et
qu’on prendra pour l’équation

ainsi l’équation

satisfera à l’équation

mais, ne rendant pas les fonctions
et
constantes, elle ne sera pas comprise dans l’équation primitive générale, et ne sera, par conséquent, qu’une équation primitive singulière.
La solution se réduit donc à ceci : soit

la valeur singulière donmée de
en fonction de
Ayant pris une équation quelconque

en
et deux constantes
et
de cette équation et de son équation dérivée

on tirera les valeurs de
et
en fonctions de
on substituera dans ces valeurs
et
à la place de
et
on aura deux équations qui, par l’élimination de
en donneront une en
et
que je représente par

Si maintenant on substitue dans cette équation à la place de
et
leurs premières valeurs en fonctions de
on aura l’équation dérivée dont

sera l’équation primitive singulière, et dont

sera l’équation primitive ordinaire, les constantes
et
étant l’une fonction de l’autre déterminée par l’équation

Prenons, par exemple, l’équation

son équation dérivée sera

et l’on tire de ces deux équations

Supposons maintenant que l’on ait l’équation primitive singulière

elle donne

donc

et

de sorte que, par ces substitutions, les valeurs de
et
deviendront

d’où l’on tire, en éliminant
cette équation en
et 

savoir,

Donc, substituant ici les premières valeurs de
et
en
on aura l’équation du premier ordre

dont celle-ci

sera l’équation primitive singulière.
Son équation primitive ordinaire sera

en supposant entre

et

l’équation ci-dessus

de sorte que, comme cette équation donne

l’équation primitive sera

étant la constante arbitraire.
En effet, si l’on cherche l’équation primitive singulière d’après celle-ci, on aura, en prenant les fonctions dérivées par rapport à

d’où l’on tire

Substituant cette valeur dans la même équation, on aura

ce qui donne

où les signes ambigus sont à volonté.
En général, il est facile de voir qu’on aura le même résultat

en substituant d’abord, dans l’équation supposée

la valeur donnée

et éliminant ensuite
par le moyen de son équation prime, relative à 
Or si l’équation

donne

et qu’on substitue cette valeur à la place de
il s’ensuivra que l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} \left[x,\Sigma (x),a,\psi (a)\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24092633b29d1b16be996dad5fbcc06bfeb4c1df)
aura lieu en même temps que son équation prime relative à
Mais,
étant alors une fonction de
l’équation prime relative à
et
doit avoir lieu ; donc la partie relative à
aura lieu aussi en particulier ; ce qui est le caractère de l’équation primitive singulière.
Ainsi, ayant pris une équation primitive quelconque en
et
il n’y aura qu’à éliminery au moyen de l’équation primitive singulière donnée, ensuite éliminer
par celle-ci et par son équation prime relative à
on aura sur-le-champ une équation en
et
qui sera l’équation de condition

par laquelle il faudra déterminer l’une des deux constantes
ou
par l’autre. Ensuite on pourra, d’après la même équation primitive, chercher, si l’on veut, l’équation dérivée par l’élimination de la constante arbitraire.
Dans l’exemple précédent, en substituant
pour
dans l’équation

on a

dont l’équation prime est

celle-ci donne

et cette valeur, substituée dans la première, donne sur-le-champ l’équation de condition

comme plus haut.
En prenant d’autres équations en
et opérant de la même manière, on trouvera autant d’équations du premier ordre qu’on voudra, dont la même équation

sera l’équation primitive singulière.
On voit aussi que la même équation en
et
pourra donner telle équation primitive singulière qu’on voudra, suivant la relation qu’on établira entre les constantes
et
Enfin on voit que, par ce problème, on peut toujours trouver la relation entre deux constantes
d’une équation donnée en
et
pour que cette équation soit l’équation primitive ordinaire et complète, répondant à une équation primitive singulière donnée.
On peut appliquer la même méthode à la recherche des équations du second ordre ou des ordres supérieurs dont l’équation primitive singulière sera donnée.
Supposons que cette équation soit du premier ordre et représentée par

On prendra une équation quelconque en
et trois constantes arbitraires
On tirera de cette équation et de ses équations prime et seconde les valeurs de
en fonctions de
et
On substituera dans ces fonctions les valeurs de
et
en
et
tirées de l’équation primitive donnée, c’est-à-dire
à la place de
et
à la place de
on aura
exprimées en fonctions de
et
ce qui donnera trois équations, d’où, éliminant
et
il résultera une équation en
que je représenterai par

Cette équation, en y substituant les premières valeurs de
en fonctions de
sera l’équation du second ordre dont la proposée

sera l’équation primitive singulière, et l’équation en

en sera l’équation primitive en

et

en supposant entre les trois constantes

la relation donnée par l’équation

Si l’équation singulière donnée était du second ordre, on prendrait une équation en
et
et quatre constantes
et ainsi de suite.
Supposons que l’équation primitive singulière soit

et prenons l’équation

d’où l’on tire les deux dérivées, prime et seconde,

ces trois équations donnent

Mais la proposée donne

donc, substituant ces valeurs, on aura

Éliminant
et
on trouve l’équation

dans laquelle, en substituant les premières valeurs de
il vient l’équation du second ordre

dont la proposée
sera l’équation primitive singulière, et
l’équation supposée

sera l’équation primitive en
et
en supposant l’équation

de sorte que, comme cette équation donne

on aura

et
étant les deux constantes arbitraires.
Les équations de la forme

que nous venons de considérer, dans lesquelles les quantités
sont les valeurs en
des constantes
tirées d’une équation primitive

et de ses dérivées

constituent une classe remarquable d’équations dérivées qui ont toujours une équation primitive singulière, parce que la dérivée d’une équation de cette classe a nécessairement un facteur du même ordre que l’équation.
Pour le démontrer, soit d’abord

une équation quelconque en
et deux constantes
et 
En regardant ces constantes comme arbitraires, l’équation dont il s’agit sera la primitive d’une équation du second ordre en
et
qui résultera de l’élimination de
et
au moyen des deux équations dérivées

et cette équation pourra toujours, comme nous l’avons vu, se mettre sous la forme

Maintenant, si l’on commence par tirer les valeurs de
et
des deux équations

et que ces valeurs soient représentées par les fonctions

et il est clair que les deux équations

où
et
sont des constantes arbitraires, seront les deux équations primitives du premier ordre de l’équation précédente

par conséquent, leurs dérivées

devront coïncider avec cette même équation, en donnant la même valeur de
en
et 
Or

et

suivant la notation abrégée que nous avons adoptée ; donc on aura

expressions de
qui seront nécessairement identiques.
On aura donc

par conséquent, si l’on substitue ces valeurs dans les expressions précédentes des fonctions dérivées

c’est-à-dire de

et

et, regardant maintenant

et

comme fonctions de

on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}a'=&\varphi '(y')\left[y''+f(x,y,y')\right],\\b'=&\psi '(y')\left[y''+f(x,y,y')\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6d6ca38f4e41fad89791fb1a5efa07b48fe6581)
Cela posé, soit
une équation du premier ordre ; sa dérivée sera

et, par la substitution des valeurs de
qu’on vient de trouver, elle deviendra
![{\displaystyle \left[\varphi '(y)\Phi '(a)+\psi '(y')\Phi '(b)\right]\left[y''+f(x,y,y')\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f7a70f431c9894caa33898fe9e1314466221889)
Cette équation a, comme l’on voit, deux facteurs, l’un qui n’est que du premier ordre, comme l’équation proposée ; l’autre qui contient
et qui donne proprement l’équation dérivée du second ordre.
Celui-ci donne l’équation

de laquelle résultent

par les formules trouvées plus liaut, de sorte que les fonctions
et
seront constantes.
Prenant donc
et
pour des constantes arbitraires, on aura ces deux équations primitives du premier ordre

d’où, éliminant la fonction dérivée
on aura une équation en
et
qui sera l’équation primitive de la proposée, et qui sera évidemment la même que l’équation

d’où l’on avait déduit les fonctions
et 
Mais il faudra que les constantes
et
de cette équation satisfassent à la condition

donnée par l’équation proposée ; ce qui les réduira a une seule, qui sera par conséquent la constante arbitraire de l’équation primitive de la proposée.
Le facteur du premier ordre

donnera, de son côté, l’équation en
et 

en supposant qu’on y mette pour
et
leurs valeurs
et
et cette équation, d’après la théorie exposée dans la Leçon précédente, donnera sur-le-champ l’équation primitive singulière de la même équation proposée, en éliminant
par le moyen de ces deux équations.
Or il est facile de voir que, si l’on représente par

la fonction donnée
dans laquelle

et

le facteur dont il s’agit se réduira simplement à
puisque les expressions
et
ne sont que les fonctions dérivées de
et
prises par rapport à
seule.
Ainsi on aura la primitive singulière de l’équation

dans le cas où elle est réductible à la forme

en éliminant

de cette équation au moyen de sa dérivée, prise relativement à

seule.
En appliquant les mêmes principes aux équations des ordres supérieurs, on prouvera que, si l’on a une équation du second ordre, représentée par

dont le premier membre puisse être une fonction quelconque
de trois fonctions
déterminées par une équation quelconque

entre
et par ses deux équations dérivées

prises en regardant
comme constantes, l’équation proposée aura nécessairement une primitive singulière du premier ordre, qui sera le résultat de l’élimination de
au moyen de son équation dérivée

relative à 
Et l’on aura l’équation primitive en
et
par l’équation même

en prenant les constantes
de manière qu’elles satisfassent à l’équation donnée

de sorte qu’il en restera deux d’arbitraires.
Et de même pour les équations des ordres supérieurs.
Prenons l’équation

sa dérivée sera

de ces deux équations on tire

Si maintenant on prend, pour l’équation
celle-ci,
à une constante, on aura l’équation du premier ordre

où
est une constante quelconque.
Ainsi on aura tout de suite sa primitive singulière, en éliminant
au moyen de l’équation dérivée prise relativement à
laquelle sera

d’où l’on tire

en substituant cette valeur de
on a

comme on l’a déjà trouvé par d’autres voies.
Prenons encore l’équation

on aura les deux dérivées

d’où l’on tire

Soit, par exemple,

on aura l’équation du second ordre

dont la primitive singulière résultera de l’élimination de
au moyen
de sa dérivée relative à

savoir,

ce qui revient à ce que nous avons déjà trouvé.
Lorsqu’on connaît l’équation primitive

avec l’équation

qui donne la relation entre les quantités
on peut trouver directement l’équation primitive singulière sans connaître les valeurs de ces quantités en fonctions de
car, ayant réduit les quantités
à une de moins par le moyen de l’équation de condition

il n’y aura qu’à appliquer à l’équation primitive

la méthode générale exposée dans la Leçon quinzième.
Mais la difficulté consiste à reconnaître a posteriori si des fonctions données, dont une équation proposée est composée, dépendent d’une même équation primitive, de manière qu’elles puissent représenter les valeurs des constantes tirées de cette équation et de ses dérivées.
Pour la résoudre, j’observe que la propriété caractéristique de ces sortes de fonctions est que leurs dérivées ont entre elles des rapports exprimés par des fonctions du même ordre que les fonctions dont il s’agit. En effet, relativement aux fonctions du premier ordre, nous avons déjà vu plus haut que les fonctions
et
qui représentent les valeurs des constantes
et
tirées de l’équation générale

et de sa dérivée

sont telles que leurs dérivées

et

que nous avons désignées par

et

ont la forme suivante :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi '(x,y,y')=&\varphi '(y')\left[y''+f(x,y,y')\right],\\\psi '(x,y,y')=&\psi '(y')\left[y''+f(x,y,y')\right]\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47f0d33e6a8ab2b91c2947650fb233211a00ab05)
de sorte que l’on a simplement

où l’on voit que les fonctions dont il s’agit ont la propriété que la fonction seconde
disparaît du rapport de leurs dérivées, et que ce rapport est le même que si l’on prenait ces dérivées relativement à la variable
seule.
Soit, par exemple, l’équation à la ligne droite

sa dérivée sera

ainsi on aura

On aura donc, en dénotant simplement par
et
ces expressions de
et

prenant les fonctions dérivées, il viendra

donc

Si l’on ne prenait
et
que relativement à
on aurait

comme précédemment.
Soit encore l’équation

qui est à un cercle dont le rayon
et dont le centre est dans l’axe des abscisses à la distance
de leur origine.
La dérivée sera

d’où l’on tire

de là on aura, par les substitutions,

Si maintenant on prend les dérivées de
et
on aura

et de là

Si l’on ne prenait les dérivées
et
que relativement à
on aurait

donc

comme ci-dessus.
On pourrait prouver, par une analyse semblable, que les fonctions de
et
qui expriment les valeurs des quantités
tirées d’une équation

et de ses deux dérivées

dans lesquelles ces quantités sont traitées comme constantes, ont des dérivées dont les rapports sont indépendants de la fonction tierce 
et qui sont les mêmes que si l’on ne prenait ces dérivées que relativement à la fonction seconde

parce qu’en désignant ces fonctions par

les trois équations

où
seraient des constantes arbitraires, seront les trois primitives d’une même équation du troisième ordre, telle que

à laquelle les dérivées de ces équations devront par conséquent satisfaire et de même pour les fonctions du même genre des ordres supérieurs. Mais on peut s’en convaincre encore d’une manière plus directe que voici :
En dénotant simplement par
et
les fonctions
qui expriment les valeurs des constantes
et
tirées de l’équation

et de sa dérivée

il est clair que l’équation

sera identique ; que, par conséquent, sa dérivée

aura lieu d’elle-même ; mais on a déjà

donc on aura séparément l’équation

laquelle donne

Or, comme
et
ne contiennent que
et
il est visible que la valeur de
ne sera qu’une fonction du premier ordre.
Ainsi, dans le dernier exemple, où

si l’on change
en
et
en
on aura

donc

par conséquent

comme nous l’avons trouvé par une autre voie.
De même, si
sont les fonctions de
et
qui expriment les valeurs des constantes
tirées de l’équation

et de ses deux dérivées

en substituant ces fonctions à la place de
on aura des équations identiques, dont, par conséquent, les dérivées auront lieu aussi.
On aura donc, en premier lieu,

et, par conséquent aussi,

mais on a déjà

donc on aura l’équation

Ensuite, comme l’équation

contient, outre les quantités
les trois fonctions
si on la dénote par
on aura l’équation identique

et, par conséquent, la dérivée

mais on a déjà

puisqu’il est visible que
est la même chose que
donc on aura aussi l’équation

Si l’on combine cette équation avec la précédente, il est clair que, puisque les quantités
n’y sont qu’à la première dimension, et en multiplient tous les termes, il est clair, dis-je, qu’on en tirera les valeurs de
et de
en fonctions des quantités
et
de sorte que ces fonctions ne passeront pas le second ordre, et ainsi de suite.
Si les fonctions
et
exprimaient les valeurs des constantes
et
tirées de l’équation du premier ordre

et de sa dérivée

ces fonctions seraient alors du second ordre ; et l’on trouverait, par le même raisonnement, que le rapport
de leurs dérivées serait exprimé également par
de sorte que ce rapport serait une fonction du second ordre, et, par conséquent, du même ordre que les fonctions
et 
En général, il résulte de l’analyse précédente que, si
sont des fonctions d’un ordre quelconque, qui expriment les valeurs des constantes
tirées d’une équation en
et de ses dérivées successives, les dérivées de ces fonctions auront toujours entre elles des rapports du même ordre que les fonctions elles-mêmes.
Je dis maintenant que, si des fonctions quelconques de
sont telles que leurs dérivées aient entre elles des rapports du même ordre que les fonctions elles-mêmes, c’est-à-dire, dans lesquels il n’entre que des fonctions dérivées de
du même ordre, ces fonctions pourront toujours exprimer les valeurs d’autant de constantes tirées d’une équation primitive et de ses dérivées successives ; et il sera alors facile de retrouver cette équation primitive génératrice.
Car, si l’on désigne par
les fonctions dont il s’agit, et que
soient les valeurs des rapports des dérivées
à la dérivée
ces valeurs étant, par l’hypothèse, des fonctions du même ordre que les fonctions données
on aura donc les équations

Supposons

on aura donc aussi

donc

étant des constantes.
Ces différentes équations seront donc autant d’équations primitives de la même équation

puisqu’elles ont lieu en même temps qu’elle ; par conséquent ; en éliminant de ces mêmes équations

les plus hautes fonctions dérivées de la variable
on aura une équa-
tion primitive d’un ordre inférieur, qui contiendra les constantes

et qui sera l’équation primitive génératrice de la forme

d’où résultent les fonctions
en les prenant pour les valeurs des constantes
tirées de cette équation et de ses dérivées successives

Ainsi, si l’on avait entre ces fonctions une équation quelconque

et que l’on reconnût que leurs dérivées
ont entre elles des rapports du même ordre que ces fonctions, on aurait tout de suite les équations primitives

et de là l’équation primitive principale

dans laquelle les constantes
seraient arbitraires, hors une, qui devrait être déterminée par l’équation donnée, laquelle se réduit alors à

On aurait ensuite l’équation primitive singulière par les méthodes exposées plus haut.
Par exemple, si l’on proposait l’équation du premier ordre

sans qu’on sût que les deux quantités qui sont sous la fonction peuvent exprimer les constantes tirées d’une équation primitive et de sa dérivée, on examinerait d’abord leurs dérivées, qui sont

comme celle-ci se réduit à

on voit d’abord que son rapport à la première sera exprimé simplement par

sans que la fonction seconde

puisse y entrer. On est donc assuré par là que les deux fonctions

et

peuvent provenir d’une équation primitive qu’on trouvera en faisant les deux équations

et éliminant
ce qui donne celle-ci

laquelle coïncide avec celle d’où nous avions déduit les expressions de
et
dans le dernier exemple.
Maintenant l’équation proposée deviendra simplement

par laquelle on déterminera
en
de sorte que l’équation précédente ne contiendra plus que la constante arbitraire
et sera alors la primitive complète de la proposée.
On pourra tirer de là la primitive singulière, en éliminant
au moyen de la dérivée prise par rapport à
seul, suivant la méthode de la Leçon quinzième, ou bien il n’y aura qu’à éliminer
de la proposée, au moyen de sa dérivée prise par rapport à
seule, comme nous l’avons vu plus haut relativement aux équations de ce genre.