LEÇON ONZIÈME.
Suite de l’analyse des sections angulaires, ou l’on démontre les formules générales des tables données dans la leçon précédente.
Reprenons les expressions générales de
et
données dans la Leçon précédente ; faisant

on aura

Nous observerons d’abord que ces formules sont toujours vraies, quel que soit le nombre
parce qu’elles ont été déduites de l’équation générale

élevée à la puissance
Ainsi les doutes qui pourraient rester à cet égard disparaissent ici entièrement.
Tout se réduit donc à développer, suivant les puissances de
l’expression

Comme les quantités
et
sont les deux racines de l’équation

je ferai usage du théorème que j’ai démontré dans la Note XI de la Résolution des équations numériques, sur la somme des puissances des racines des équations.
Suivant ce théorème, si l’on a une équation quelconque de la forme

où
est l’inconnue, la formule

n’étant continuée que tant qu’il y aura des puissances négatives de
donne la somme de toutes les racines élevées chacune à la puissance
mais, étant continuée à l’infini, elle ne donne que la même puissance de la plus petite des racines. Les quantités
sont le carré, le cube, etc. de
et les traits appliqués aux parenthèses désignent les fonctions dérivées des fonctions de
renfermées entre ces parenthèses.
Ainsi, dans notre cas, si l’on change
en
et qu’on divise l’équation par
coefficient de
elle deviendra

laquelle, étant comparée à

donne

donc

de manière que la série précédente deviendra

où il faudra faire
après avoir pris les fonctions dérivées désignées par les traits appliqués aux parenthèses.
Or

Ainsi la série deviendra

Faisons maintenant
et l’on aura la série

laquelle, étant continuée seulement tant qu’il y aura des puissances négatives de
c’est-à-dire des puissances positives de
exprimera la valeur de

à cause de

Ainsi, dans cet état, la série dont il s’agit donnera la valeur de
ce qui s’accorde avec la formule de la Table (A).
Mais, si l’on continue la série à l’infini, alors elle ne donnera que la valeur de

puisque
est la plus petite des deux racines ; ou, ce qui revient au même, elle donnera la valeur de

Pour nous convaincre en effet que la série précédente, prise dans toute son étendue, n’est que le développement de cette quantité, nous allons chercher ce développement par une marche directe, ce qui servira d’exemple de la manière d’employer les fonctions dérivées dans ces sortes de recherches.
Supposons donc qu’il s’agisse de développer l’expression

dans une série descendante de la forme

si l’on divise de part et d’autre par
et qu’on fasse
on aura

où l’on voit que la série ne peut avoir que des puissances paires de 
Ainsi, en faisant
on aura la fonction

à développer suivant les puissances de 
Donc, par la formule générale donnée à la fin de la Leçon IX, si l’on fait

on aura

où
sont les valeurs de
lorsque
et forment ici les coefficients 
Ainsi l’on trouvera d’abord
ensuite on aura

et de là

et ainsi de suite.
On peut de cette manière avoir successivement tous les coefficients de la série ; mais on n’en aura pas la loi, ce qui est le plus essentiel.
Pour la trouver d’une manière générale, je reprends la formule en
et je la suppose égale à
ce qui me donne l’équation

Je remarque maintenant qu’un des principaux avantages des fonctions dérivées est de pouvoir faire disparaître dans les équations les puissances et les radicaux. En effet, en prenant les fonctions dérivées par rapport à
et regardant
comme fonction de
on a

cette équation, divisée par l’équation primitive, donne

multipliant en croix et carrant, on aura

Prenant de nouveau les fonctions dérivées par rapport à
on obtiendra

d’où, en divisant par
résulte cette équation du second ordre en
et 

laquelle étant, comme l’on voit, linéaire par rapport à
et dégagée de radicaux, est très propre au développement de
en série.
En effet, il n’y a qu’à substituer pour
la série

et par conséquent pour 

et pour

Ordonnant les termes suivant les puissances de
on aura
![{\displaystyle \left[m^{2}\mathrm {A} -m\mathrm {A} -m(m-1)\mathrm {A} \right]p^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81dca5aadda6f1993a08235696c7964a65579a7f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&+\left[m^{2}\mathrm {B} -(m-1)\mathrm {B} -(m-1)(m-2)\mathrm {B} \right]p^{m-1}\\&+\left[m^{2}\mathrm {C} -(m-2)\mathrm {C} -(m-2)(m-3)\mathrm {C} +m(m-1)\mathrm {A} \right]p^{m-2}\\&+\left[m^{2}\mathrm {D} -(m-3)\mathrm {D} -(m-3)(m-4)\mathrm {D} +(m-1)(m-2)\mathrm {B} \right]p^{m-3}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots =0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef26ff541b7bdc16572a861c078a4c07227614f0)
Comme cette équation doit avoir lieu indépendamment de
il faudra égaler à zéro le coefficient de chaque terme.
Le coefficients de
disparaissant de lui-même, c’est une marque que le coefficient
demeure indéterminé.
Le coefficient de
se réduit à
qui ne peut devenir nul à moins de faire
Or,
étant nul, il est facile de voir que les coefficients de
ne pourront aussi devenir nuls qu’en faisant
Maintenant le coefficient de
se réduit à

celui de
se réduit de même à

et ainsi des autres.
On aura donc, en réduisant, les équations

lesquelles donnent la loi suivant laquelle les coefficients
dépendent les uns des autres.
On tire de ces équations

Or nous avons vu que le premier coefficient
est égal à
ainsi on aura ce développement


qui s’accorde avec la série trouvée ci-dessus.
Cherchons de même le développement de
Comme cette expression ne diffère de celle que nous venons de traiter que par le signe du radical, lequel ne se trouve plus dans l’équation dérivée en
dont nous avons fait usage, il s’ensuit que la même formule, que nous venons d’obtenir, pourra encore s’appliquer à ce développement. Il faut seulement remarquer que, comme les premiers termes du radical
sont
le premier terme du développement dont il s’agit sera
de sorte qu’ici il faudra prendre
négativement et, comme l’équation dérivée en
ne contient que
on aura nécessairement la même série en
changeant seulement
en
ce qui suit d’ailleurs aussi de ce que

on aura donc


Si maintenant on réunit ces deux séries, on aura la valeur de
donc


C’est le développementcomplet de
en puissances de
pour une valeur quelconque de
Si maintenant on fait ici
on a

où l’on voit que les deux séries se réduisent au premier terme 
En donnant à
d’autres valeurs entières et positives quelconques, on trouvera toujours que la seconde série, qui contient les puissances négatives de
servira à détruire dans la première série tous les termes qui contiendront ces mêmes puissances ; c’est ce qu’on peut démontrer en général par la loi même des deux séries ; de sorte que le résultat se réduira aux seuls termes de la première qui contiennent des puissances positives de
ce qui revient à ne conserver dans cette série que les termes où
est élevée à une puissance positive, ou nulle, comme nous l’avons trouvé plus haut a priori.
Mais lorsqu’on donne à
une valeur fractionnaire quelconque, les deux séries ne se détruisent plus, et leur réunion est nécessaire pour avoir la valeur complète de
En prenant la différence des deux séries au lieu de leur somme, on aurait la valeur de
mais
serait exprimé de cette manière par des séries infinies et imaginaires. Pour avoir une expression réelle, il suffit de considérer que la fonction dérivée de
est
et que celle de
est
puisque

de manière qu’en prenant les fonctions dérivées des séries trouvées
pour

on aura sur-le-champ, en changeant les signes et divisant par
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin mx=&\left[(2p)^{m-1}-(m-2)(2p)^{m-3}+{\frac {(m-3)(m-4)}{2}}(2p)^{m-5}-\ldots \right]q\\&-\left[(2p)^{-m-1}+(m+2)(2p)^{-m-3}+{\frac {(m+3)(m+4)}{2}}(2p)^{-m-5}+\ldots \right]q.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a620929472734bd9756a10c6a805287c6bd972)
Cette expression se réduit aussi à une forme finie, lorsque
est un nombre entier, par la destruction mutuelle des termes qui contiendraient des puissances négatives de
de sorte que,
étant un nombre positif entier, il suffira de prendre dans la première série les termes qui contiendront des puissances positives de
ce qui s’accorde avec la formule de la Table (B).
Lorsque
est un nombre fractionnaire, les deux séries vont à l’infini, et, jointes ensemble, elles donnent la vraie valeur de
développée suivant les puissances descendantes de
comme cela a lieu pour la valeur de
Euler a le premier reconnu cette espèce d’imperfection des formules connues des Tables (A) et (B) ; il a fait voir, par une analyse à peu près semblable à celle que nous venons de donner, que ces formules, pour être générales et applicables à des valeurs quelconques de
doivent être complétées par des valeurs semblables où l’exposant
est négatif.
J’ai cru devoir entrer dans ce détail pour l’instruction des jeunes analystes, et surtout pour montrer que, si l’Analyse paraît quelquefois en défaut, c’est toujours faute de l’envisager d’une manière assez étendue et de la traiter avec toute la généralité dont elle est susceptible. (Voyez le Tome IX des Nova Acta de l’Académie de Pétersbourg.)
Nous venons de développer les expressions

suivant les puissances descendantes de
on peut de même, et par le moyen de la même équation dérivée en
les développer suivant les puissances ascendantes de
ce qui nous donnera les formules des
Tables (C), (D), (E), (F), et pourra même servir à les compléter pour toutes les valeurs de
Supposons donc, en général,

Substituant dans la même équation, et ordonnant suivant les puissances de
on aura

Égalant donc à zéro chacun des coefficients des puissances de
on aura, en réduisant,

d’où l’on tire, en substituant successivement les valeurs précédentes,

Les coefficients
et
étant restés indéterminés, il faudra les déterminer par la nature de la fonction
Or il est visible qu’on a

en faisant
Ainsi, puisque la fonction
est égale à

on aura d’abord, en faisant 

Ensuite, en faisant
dans la fonction dérivée
trouvée ci-dessus, on aura

Substituant donc ces valeurs de
et
on aura le développement de l’expression

Pour avoir celui de l’expression

il n’y aura qu’à prendre le radical
en moins ; mais, comme ce radical n’entre plus dans l’équation dérivée en
par laquelle nous avons déterminé les coefficients de la série, il s’ensuit qu’on aura la même série pour cette dernière expression que pour la première, aux coefficients
et
près, qui pourront être différents ; et on trouvera ici, par le même procédé,

Donc, puisque la somme de ces deux expressions donne la valeur de
comme on l’a vu plus haut, on aura cette valeur en substituantdans la série
la place de
et
la somme des deux valeurs qu’on vient de trouver, c’est-à-dire en faisant

d’où il est facile de voir que, lorsque

est un nombre entier impair, on aura

et, lorsque

sera pair, on aura
Mais, pour avoir les valeurs de
et
dégagées d’imaginaires pour toutes les valeurs de
il n’y a qu’à employer la formule générale

et y supposer
égal à l’angle droit, car alors
et
ainsi, en adoptant l’angle droit pour l’unité des angles, et prenant le radical
en
et en
on aura

et les valeurs de
et
deviendraient

On aura donc en général, pour un nombre quelconque

![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left[1-{\frac {m^{2}}{2}}p^{2}+{\frac {m^{2}\left(m^{2}-4\right)}{2.3.4}}p^{4}-{\frac {m^{2}\left(m^{2}-4\right)\left(m^{2}-16\right)}{2.3.4.5.6}}p^{6}+\ldots \right]\cos m\\&+\left[mp-{\frac {m\left(m^{2}-1\right)}{2.3}}p^{3}+{\frac {m\left(m^{2}-1\right)\left(m^{2}-9\right)}{2.3.4.5}}p^{5}-\ldots \right]\cos(m-1).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f41988cc603edca50b3c9ff87bef95a97f4b210b)
Tel est le développement complet de
en série ascendante de
ou
On voit que, lorsque
est un nombre entier, il y a toujours une des deux séries partielles qui se termine, et que l’autre qui irait à l’infini disparaît parce qu’elle se trouve toute multipliée par un coefficient
ou
qui devient nul. On a alors l’unc ou l’autre des Tables (C) et (E). Mais, lorsque
est une fraction quelconque, les deux séries vont à l’infini, et leur réunion est nécessaire pour avoir la valeur complète de
ce que personne, ce me semble, n’avait encore observé.
En prenant les fonctions dérivées, comme on a fait plus haut, pour déduire la valeur de
de celle de
on aura aussi, à cause de
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin mx=&-\left[mp+{\frac {m\left(m^{2}-4\right)}{2.3}}p^{3}+{\frac {m\left(m^{2}-4\right)\left(m^{2}-16\right)}{2.3.4.5}}p^{5}-\ldots \right]q\cos m\\&+\left[1-{\frac {m^{2}-1}{2}}p^{2}+{\frac {\left(m^{2}-1\right)\left(m^{2}-9\right)}{2.3.4}}p^{4}-\ldots \right]q\cos(m-1)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cba88ffdb9b08111700be1bc861f9b6a227c762)
pour le développement complet de
quel que soit
ou l’on voit que, lorsque
est un nombre entier, on a les formules des Tables (D) et (F).
Il nous reste à considérer encore les développements de
et
suivant les puissances ascendantes de
conformément aux Tables (G), (H), (I), (K).
Pour cela nous remarquerons d’abord qu’en faisant
on a
et les expressions générales de
et
deviennent

Il ne s’agit donc que de développer les formules

en puissances ascendantes de 
Faisons

on aura, en prenant les fonctions dérivées par rapport à 

Divisant cette équation par l’équation primitive, on a

multipliant en croix et carrant, on aura

Prenant de nouveau les fonctions dérivées et divisant par
on obtiendra cette équation du second ordre en

qui est, comme l’on voit, entièrement semblable à l’équation en
et
trouvée plus haut.
Ainsi, en supposant

on trouvera les mêmes valeurs des coefficients ; mais, comme les deux premiers
et
demeurent indéterminés, ils pourront être différents, à raison de la diversité des fonctions
et
en
et en 
Pour trouver ici ces deux coefficients, ce qu’il y a de plus simple, c’est de chercher par le développementactuel les deux premiers termes de la série. Or, puisque
donne

il est évident que les deux premiers termes de

sont
ainsi l’on aura

Le développement de

sera le même en changeant seulement
en
ainsi l’on aura, relativement à ce développement,

Donc, pour avoir la somme des deux développements, il n’y aura qu’à prendre pour
et
la somme des deux valeurs correspondantes, ce qui donne

Et, pour avoir la différence des mêmes développements, on prendra la différence des valeurs correspondantes de
et
ce qui donnera

Faisant ces substitutions, on aura donc, en divisant par
et par

Ces formules sont, comme l’on voit, les mêmes que celles des Tables (I) et (H) ; mais, par la manière dont nous venons de les trouver, on voit en même temps qu’elles sont générales pour des valeurs quelconques de
Cependant, comme la première ne se termine que lorsque
est un nombre entier pair, et que la seconde ne se termine que lorsque
est un nombre entier impair, elles ne peuvent servir pour la section des angles que dans ces cas ; mais on peut, en prenant les fonctions dérivées, comme nous l’avons fait ci-dessus, déduire de ces mêmes formules d’autres formules qui se termineront justement dans les cas où celles-ci vont à l’infini. Pour cela, on se rappellera que les fonctions dérivées de
et
sont
et
et que celles de
et
sont
et
de sorte que les deux équations fourniront, par la dérivation, ces deux-ci :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin mx=&p\left[mq-{\frac {m\left(m^{2}-4\right)}{2.3}}q^{3}+{\frac {m\left(m^{2}-4\right)\left(m^{2}-16\right)}{2.3.4.5}}q^{5}-\ldots \right],\\\cos mx=&p\left[1-{\frac {m^{2}-1}{2}}q^{2}+{\frac {\left(m^{2}-1\right)\left(m^{2}-9\right)}{2.3.4}}q^{4}-\ldots \right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7623c7389054b76ccc347ca0d4679aed36a3e99)
qui répondent, comme l’on voit, aux formules des Tables (K) et (G), et qui sont par conséquent aussi générales pour des valeurs quelconques de
Ainsi toutes les formules de ces différentes Tables sont démontrées d’une manière générale.
Le théorème de Cotes est si intimement lié à la théorie des sections angulaires, que nous ne pouvons nous dispenser d’en dire un mot ici.
On ignore comment Cotes l’a trouvé, et on en a donné après sa mort différentes démonstrations plus ou moins simples, et même plus ou moins rigoureuses. Sans avoir recours aux expressions imaginaires comme on le fait communément, on peut le déduire directement des formules mêmes données par Viète, que nous avons rapportées dans la Table (A) ; et il est vraisemblableque c’est ainsi que Cotes y est parvenu.
En effet, si l’on multiplie ces formules par
et qu’on y suppose
elles se réduisent à cette forme simple

d’où il est facile de conclure, en général,

Pour se convaincre d’une manière plus directe de la généralité de cette formule, il suffit de considérer que si, dans l’équation

on fait

et qu’on suppose que deux termes consécutifs
et
soient de la forme

elle donnera

Ainsi, pourvu que les deux premiers termes
et
soient de la forme
en faisant
et
ce qui est en effet, tous les autres seront nécessairement de la même forme.
Maintenant les deux équations

donnent ces deux-ci

qui doivent donc avoir lieu en même temps ; par conséquent, il faut qu’elles aient une racine commune.
Ce dernier théorème a été donné par Moivre, sans démonstration, dans les Transactions philosophiques de 1722, année où a paru l’Harmonia mensurarum de Cotes, qui était mort six ans auparavant.
Soit maintenant
la racine commune à ces deux équations ; comme elles demeurent les mêmes en y changeant
en
il s’ensuit que
sera encore une racine commune aux mêmes équations ; mais l’équation

n’étant que du second degré, ne peut avoir que les deux racines

et

donc cette équation a toutes ses racines communes avec

par conséquent elle est nécessairement un diviseur de celle-ci.
Soit

il suit de ce qu’on vient de démontrer que la formule

a pour diviseur celle-ci :

étant un nombre quelconque entier.
Or, si
est la circonférence ou l’angle de quatre droites, on sait que
étant un nombre quelconque entier ; ainsi, en mettant
à la place de
et faisant successivement
on en conclura que la formule

a pour diviseurs les
formules suivantes :

De sorte que, comme ces diviseurs sont tous différentes entre eux et qu’ils sont au nombre de
la formule en question du
ième degré ne peut être que le produit de ces
formules du second degré.
Le théorème de Cotes n’est, comme l’on sait, qu’un cas particulier de ce théorème général, lorsqu’on y fait
ou
ce qui donne
et réduit la formule générale à

Le théorème général est dû à Moivre, comme on le voit par ses Miscellanea analytica.
Jusqu’ici nous-avons développé les cosinus et les sinus des angles multiples en puissances des cosinus ou des sinus de l’angle simple. On peut chercher réciproquement à développer les puissances des cosinus ou sinus de l’angle simple en cosinus ou sinus des angles multiples, et cette transformation, qui est toujours possible, est un des plus grands avantages de l’algorithme des sinus et cosinus, par la facilité qu’elle donne de passer des fonctions primitives aux fonctions dérivées, et de revenir de celles-ci aux primitives.
Nous pourrions la déduire des formules trouvées ci-dessus, mais nous aimons mieux la chercher directement par le moyen des fonctions dérivées, pour donner un nouvel exemple de leur usage dans la transformation des fonctions.
Considérons la puissance
et supposons cette fonction de
égale à
nous aurons ainsi

et, prenant les fonctions dérivées par rapport à
il viendra

cette équation, divisée par la précédente, donne

d’où l’on tire, en réduisant,

équation dérivée du premier ordre, qui a l’avantage de ne plus contenir la puissance indéterminée de 
Supposons maintenant, en général,

les coefficients
étant indéterminés, ainsi que
L’équation précédente deviendra par cette substitution
![{\displaystyle m\left[\mathrm {A} \cos nx+\mathrm {B} \cos(n-1)x+\mathrm {C} \cos(n-2)x+\ldots \right]\sin x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4fef005f6f4b61659d27d0a3745bdbfd83ec992)
![{\displaystyle -\left[n\mathrm {A} \sin nx+(n-1)\mathrm {B} \sin(n-1)x+(n-2)\mathrm {C} \sin(n-2)x+\ldots \right]\cos x=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/607f7264cf2f309aafa497b45de61818f7777774)
savoir, en développant les produits des sinus et cosinus, et ordonnant les termes suivant les sinus multiples :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&+\left[m\mathrm {A} -n\mathrm {A} \right]\sin(n+1)x\\&+\left[m\mathrm {B} -(n-1)\mathrm {B} \right]\sin nx\\&+\left[m\mathrm {C} -m\mathrm {A} -(n-2)\mathrm {C} -n\mathrm {A} \right]\sin(n-1)x\\&+\left[m\mathrm {D} -m\mathrm {B} -(n-3)\mathrm {D} -(n-1)\mathrm {B} \right]\sin(n-2)x\\&+\left[m\mathrm {E} \,-m\mathrm {C} -(n-4)\mathrm {E} -(n-2)\mathrm {C} \right]\sin(n-3)x\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots =0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b1bcbac38f4a3baa1db77ebc78cc75baab04bd1)
Égalant donc à zéro chacun des coefficients de ces différents termes, on aura

La première donne d’abord
et, substituant cette valeur, les autres deviennent

Ainsi le premier coefficient
demeure indéterminé ; ensuite on a

donc,

Ensuite,

On a donc en général, quel que soit l’exposant
![{\displaystyle \cos ^{m}x=\mathrm {A} \left[\cos mx+m\cos(m-2)x+{\frac {m(m-1)}{2}}\cos(m-4)x+\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b641847098556cf6bd38005d9ff4b5b22914b6cc)
Il reste à déterminer le coefficient
pour cela, supposant
on obtient
![{\displaystyle 1=\mathrm {A} \left[1+m+{\frac {m(m-1)}{2}}+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}+\ldots \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36b79ace9271257f3f73f44fd80d57e80f79be4b)

d’où l’on tire

Donc enfin, en multipliant toute l’équation par
on aura

série fort simple qui se termine toujours, comme celle du binôme, lorsque
est un nombre entier positif.
On peut déduire de cette formule un pareil développement pour
en changeant simplement
en
l’angle droit étant pris pour l’unité des angles.
Ainsi on aura de même


Nous venons de donner une théorie complète des sections angulaires, et nous avons en même temps montré, par différents exemples, combien l’algorithme des fonctions dérivées est utile pour la transformation des fonctions, en faisant disparaître des équations les puissances et les radicaux, qui rendent les développements difficiles et font perdre la loi et la dépendance mutuelle des termes.
On voit que tout se réduit à former d’abord des équations dérivées d’après l’équation ou les équations primitives données, et à déduire ensuite de ces équations dérivées d’autres équations primitives, qui seront les transformées des premières. Il est donc important de bien connaître la théorie de ces équations, et de se rendre familiers les différents artifices qui peuvent en faciliter le calcul.
Commençons par exposer les principes généraux de cette théorie.