La Logique déductive dans sa dernière phase de développement/3/05

Alessandro Padoa

La Logique déductive dans sa dernière phase de développement

Gauthier-Villars, 1912 (p. 73-75).

Autres propositions remarquables

98. Les $\mathrm {P}$ 42, 47, 52 énoncent des propriétés du signe « $\supset$ » ont leurs analogues pour le double signe arithmétique « $\leq$ » (qui est l’affirmation alterne des signes « $<$ » et « $=$ »).

En effet : si « $a,\,b,\,c\,\varepsilon \,\mathrm {N}$ », alors

$a\leq a\quad a\leq b\,.\,b\leq c\,:\,\supset \,:\,a\leq c\quad a\leq b\,.\,b\leq a\,:\,\supset \,:\,a=b$

Il y a d’autres propriétés pour lesquelles subsiste cette analogie

(et celle, déjà remarquée, entre les signes logiques « $\smallsmile$ », « $\smallfrown$ » et les signes arithmétiques « $+$ », « $\times$ »).

Par ex., si « $a,\,b,\,c,\,d\,\varepsilon \,\mathrm {N}$ », alors

$a\leq b\,.\,\supset \,.\,a+c\leq b+c\qquad a\leq b\,.\,\supset \,.\,a\times c\leq b\times c$
                    $a\leq b\,.\,c\leq d\,:\,\supset \,:\,a+c\leq b+d$
                    $a\leq b\,.\,c\leq d\,:\,\supset \,:\,a\times c\leq b\times d$

Et de même, si a, b, c, d sont des $\mathrm {Cls}$ ou sont des conditions, alors (d’après Leibniz):

88.$a\supset b\,.\,\supset \,.\,a\smallsmile c\supset b\smallsmile c$          89.$a\supset b\,.\,\supset \,.\,a\smallfrown c\supset b\smallfrown c$
90.$a\supset b\,.\,c\supset d\,:\,\supset \,:\,a\smallsmile c\supset b\smallsmile d$
91.$a\supset b\,.\,c\supset d\,:\,\supset \,:\,a\smallfrown c\supset b\smallfrown d$

Fig. 14.

ainsi qu’il résulte de la fig. 11 pour les $\mathrm {P}$ 88, 89 et de la fig. 14 pour les $\mathrm {P}$ 90, 91.

Mais cette analogie n’est pas complète ; en effet, elle subsiste pour les deux premières des P

92.$a\supset a\smallsmile b$                    93.$b\supset a\smallsmile b$
94.$a\smallfrown b\supset a$                    95.$a\smallfrown b\supset b$

remarquées par Leibniz et qui sont valables soit pour des $\mathrm {Cls}$ que pour des conditions (et que, dans le premier cas, on voit vérifiées dans les fig. 3 et 4 [p. 38]), tandis que les deux autres n’ont pas leurs analogues dans l’Arithmétique^[1].

99. Si a est une $\mathrm {Cls}$, dire que « $b=\lnot a$ » signifie que « b est la $\mathrm {Cls}$ contraire de a » [70]. Cette dernière relation étant symétrique [81], il s’ensuit que :

96.                    $b=\lnot a\,.=\,.a=\lnot b$

Si a est une $\mathrm {Cls}$, dire que « $b\supset \lnot a$ » signifie que b est disjointe de a [40]. Cette dernière relation étant aussi symétrique, il s’ensuit que

97.                    $b\supset \lnot a\,.=\,.a\supset \lnot b$

Donc : tandis que chacun des deux couples de signes « $\lnot \ =$ » et « $=\ \lnot$ » forme une relation symétrique [$\mathrm {P}$ 45, 96], des deux couples « $\lnot \ \supset$ » et « $\supset \ \lnot$ » le second seulement est symétrique [$\mathrm {P}$ 97] ; car, par ex., « $\mathrm {N} \lnot =\mathrm {Np}$ » mais « $\mathrm {Np} \supset \mathrm {N}$ » [35].

En remplaçant a par « $\lnot a$ » et en se souvenant de la $\mathrm {P}$ 25 les $\mathrm {P}$ 96, 97 deviennent :

98.                    $b=a\,.=\,.\lnot a=\lnot b$

99.                    $b\supset a\,.=\,.\lnot a\supset \lnot b$

Ces quatre $\mathrm {P}$ (qui sont valables aussi bien pour des $\mathrm {Cls}$ que pour des conditions) et la $\mathrm {P}$ 25 énoncent des propriétés du signe logique « $\lnot$ » qui sont analogues à celles du signe arithmétique « $-$ » dans la théorie des nombres relatifs (signés), pourvu qu’on remplace « $\supset$ » par « $\leq$ » [98].

Mais, même ici on n’a pas une analogie complète. En effet, par exemple, la $\mathrm {P}$ arithmétique

$(-a)\times (-b)=a\times b$

n’a pas son analogue dans la logique ; car, si « $a,\,b\,\varepsilon \,\mathrm {Cls}$ », la $\mathrm {Cls}$ « $(\lnot a)\smallfrown (\lnot b)$ », au lieu d’être égale à la $\mathrm {Cls}$ « $a\smallfrown b$ », en est disjointe.

100. Nous verrons [105] que, dans quelques raisonnements faux, de l’$\mathrm {Hp}$ « $a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \,.a\supset b$ » on prétend tirer la $\mathrm {Ts}$ « $\exists \,b$ » [75] ; mais, pour que cette $\mathrm {Ts}$ soit légitime, il faut savoir aussi que « $\exists \,a$ » (ce qui rend superflu d’énoncer que « $a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls}$ » [$\mathrm {P}$ 39]), car autrement l’$\mathrm {Hp}$ pourrait être vérifiée par « $a=b=\wedge$ ». Donc :

100.                    $\exists \,a\,.\,a\supset b\,:\,\supset \,:\exists \,b$

c’est-à-dire : « s’il y a des a et si tout a est un b, alors il y a aussi des b ».

En général, on ne peut tirer une affirmation d’existence d’une $\mathrm {Hp}$ qui n’en renferme aucune, au moins dans la forme d’appartenance [$\mathrm {P}$ 63].

1. Des $\mathrm {P}$ 95, 93 on déduit (soit pour des $\mathrm {Cls}$ que pour des conditions), moyennant un syllogisme [$\mathrm {P}$ 47], que
   $a\smallfrown b\supset a\smallsmile b$