La Logique déductive dans sa dernière phase de développement/2/17

Négation, Classes contraires


69. Nous exprimerons le fait qu’une est fausse en écrivant devant elle le signe « - », qui est le symbole de la négation et qu’en ce cas on peut lire « il nest pas vrai que »[1] ; par ex.,

  et 

Mais il est préférable de transporter le signe de négation devant le symbole principal de la  ; en faisant ainsi, on se passe d’une parenthèse et on abrège la lecture qui devient simplement « ne … pas » ;
par ex.,   et 


qu’on lit :  n’est pas égal à 10


et n’est pas un .

Ce que je viens de dire pour les , peut se répéter pour les conditions [52] ; donc, en général :

21. 

22. 

70. Si «  », nous représenterons par «  » (qu’on lira « non a ») l’ensemble des individus qui ne sont pas des a [69], qu’on peut appeler la contraire à a. Donc [58] :

23. 

24. 

25. 
(Leibniz)

J’ajoute la

26. .

Si chacune des lettres et a une signification déterminée, il peut arriver que «  » pour deux raisons différentes : il peut se faire que «  », ou bien que «  » (ce qui implique que «  » [ 6] et par suite que «  » [ 26]) ; donc [67] :

27. 

28. 

De ce qui précède, il résulte que la négation d’une condition par rapport à [52] est aussi une condition par rapport à . En effet, si à la condition donnée on donne la forme explicite « » [60], alors « » [ 6] ; et par suite [ 22 et 28] les formules

« »  « »  «  »


ont toutes la même signification ; et la troisième est bien une condition explicite par rapport à [60].

71. L’équivalence entre les deux dernières formules confirme, encore une fois, la distinction faite entre les appartenances et les inclusions [33, 34] ; car, si «  », les formules

«  »  «  »

ont des significations différentes. En effet, tandis que la seconde dit [31 et 24] que « tout est un (non ), savoir que aucun n’est un , la première [69] dit seulement que quelque n’est pas un , ce qui peut bien arriver même si quelque est un .

Ainsi, par ex.,  Suisse Genevois


mais non  Suisse Genevois)


72. Dans le langage courant, lorsqu’il arrive souvent de considérer la contraire d’une donnee [70], on lui donne un nom exprès qu’on tire du premier moyennant des règles dont s’occupent les philologues ; mais ce n’est presque jamais la vraie contraire.

Par exemple, il n’est pas exact que :

 invertebré vertébré car, en parlant d’« invertébrés », on sous entend d’abord qu’il s’agit d’« animaux ». Ce n’est donc pas le « tout » qu’on partage en « vertébrés » et « invertébrés », mais seulement la des « animaux » ; par suite, il est plus exact d’énoncer que :

 invertébré = animal vertébré )


ou, en abrégeant,

 invertébré = animal vertébré

En général, nous convenons donc que

29. 


et cela même si a et b, au lieu d’être deux , étaient deux conditions.

Dans la fig. 5 [p. 38], les hachures désignent a gauche la «  et à droite la .

73. Par suite [42]

30. 

31. 

et cela si a et b sont des [2] et même si elles sont des conditions ; pourvu qu’en ce cas on convienne que représente leur affirmation disjonctive, par laquelle on demande qu’une seule des conditions a et b soit verifiée.

Mais les  30, 31 nous permettent de représenter le symbole (« aut »), dans ses deux rôles, par les signes « » ; c’est pourquoi il fut abandonné [43].

  1. Dans les manuscrits, pour éviter toute confusion avec le signe arithmétique «  » (« moins »), que Leibniz et Segner employaient aussi comme signe de négation, on lui préfère le signe «  », savoir la lettre « n » (initiale du mot « non ») de l’alphabet sténographique de Gabelsberger.
  2. Si a et b sont conjointes [40], il suffit de regarder la fig. 5 pour se convaincre de la vérité de la 30 ; et pour la 31 il suffit de faire une comparaison entre les fig. 3, 4, 5.
    xxxxMais si a et b sont disjointes [fig. 6], alors
    «  »  «   «  »
    en simplifiant par ces formules les 30 et 31, elles se réduisent toutes les deux à la formule
    
    ainsi que nous l’avons déjà énoncé [42]. (Pour la réduction de la  31 voir aussi les 36, 35 [74] et la 29.)