Affirmations simultanées ou alternes
63. Si
et
sont des
, leur intersection
«
» est aussi une
[39] ; par suite,
«
» est une condition explicite par rapport à
[60], qui est égale à l’affirmation simultanée des conditions «
» et «
» ; en effet [60], l’ensemble des
qui vérifient à la fois ces deux conditions est égal à l’ensemble des
qui vérifient la condition «
», c’est-à-dire [58
] à la
«
».
C’est pourquoi on donne au signe «
» le rôle de symbole d’affirmation simultanée (entre deux conditions, tandis qu’entre deux
il reste le symbole d’intersection), en lui conservant la lecture « et ». Donc, en symboles :
![{\displaystyle x\;\varepsilon \;a\,.\;\smallfrown \;.\,x\;\varepsilon \;b\;:\,=\,:\;x\;\varepsilon \;(a\;\smallfrown \;b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d526ad515dd519f89cd2d35ce2c5a920cad3853)
ou bien
![{\displaystyle x\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19d9db5c9a6544bf5e20f4a51ac44e7cdfee0099)
![{\displaystyle \varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173)
![{\displaystyle \;(x\;\varepsilon \;a\;.\,\smallfrown \,.\;x\;\varepsilon \;b)\;=\;a\;\smallfrown \;b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d298a7cd6bca8ab379474cbc164356d1765c0eba)
64. Lorsque le signe «
» se trouverait placé entre des écritures qui, par leur forme, sont nécessairement des conditions, on a l’habitude de le sous-entendre ; mais sa place reste marquée par un des points ou des groupes de points qui se trouvaient à ses côtés. Donc,
2.
Par suite, les deux dernières formules s’écrivent ainsi :
3.
![{\displaystyle x\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19d9db5c9a6544bf5e20f4a51ac44e7cdfee0099)
![{\displaystyle \varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173)
(3)
65. La
3 nous apprend a condenser en une seule deux appartenances ayant le même sujet, et cela d’une manière conforme au langage courant ; en effet, par ex., au lieu de l’affirmation simultanée
« Homère était un poète et Homère était un Grec »,
on dit
« Homère était un poète grec », (4)
où poète grec est bien l’intersection des deux
conjointes
« poète » et « grec » [41].
De même, le langage courant condense en une seule deux appartenances ayant le même prédicat ; par ex., au lieu de l’affirmation simultanée :
« Homère était un poète » et « Virgile était un poète »,
on dit
« Homère et Virgile étaient des poètes ».(5)
Mais cet « et », qui vient lier deux sujets (c’est-à-dire deux individus), est bien différent de l’ « et » qui lierait deux prédicats (c’est-à-dire deux
), car ce nouveau « et » n’est pas assurément un signe d’intersection [39] ; et par suite nous ne pouvons pas le représenter par le signe «
».
Puisque nous n’employons pas la virgule «
» comme signe de ponctuation [57], nous allons l’employer comme symbole, en lui confiant seulement le rôle déclaré.
Par suite, sans nous soucier des flexions, nous écrivons ainsi les (4), (5)
Homère
![{\displaystyle \varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173)
(poète
![{\displaystyle \smallfrown }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a0aa640ae22bee94f1c095e334959758d6d65d2)
grec)
Homère
![{\displaystyle \,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a7e7bc438767308ddd0711f6617a665100c25d5)
Virgile
![{\displaystyle \varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173)
poète
Donc [
2], la signification du symbole «
» est établi par la
4.
d’où, en particulier,
5.
66. Dans le Formulaire la
4 est précédée par l’
«
» qui me parait superflue, car pour moi l’affirmation «
» implique que «
», c’est-à-dire
6.
D’ailleurs, la
4 dit seulement qu’on peut toujours remplacer l’une par l’autre deux écritures de la forme «
» et «
», ce qui est permis sans exception.
Et de même pour la
2 [64] ; en ajoutant que, comme on admet que
7.
(c’est-à-dire, en éliminant les variables apparentes, que « l’intersection de deux
est aussi une
»), ainsi j’admets la
(qu’on ne trouve pas dans le Formulaire) :
8.
Pour justifier cette P, j’analyse le symbole «
» dans ses deux rôles [39, 63], en déclarant qu’il n’en aura pas d’autres ; or, selon qu’on le place entre deux
ou entre deux conditions, on obtient une
ou une condition ; donc, selon que «
» est une
ou une condition, on a le droit de conclure que
et
sont aussi, respectivement, des
ou des conditions ; d’où la
8.
Mais par rapport a la formule (l) [62] la chose est différente ; en effet, tandis que
9.
pour que «
» implique «
» il faut que
et
soient des
; donc
10.
On peut faire des distinctions analogues au sujet des formules (2) [62] et (3) [64], qui donnent les
11.
12.
13.
67. Nous savons que, si
et
sont des
, leur réunion simple
«
» est aussi une
[39], c’est-à-dire que l’on a :
14.
(
7)[1]
Par suite, si «
», l’écriture «
» est une condition explicite par rapport à
[60] qui est égale a l’affirmation alterne des conditions «
» et «
» ; en effet [60], l’ensemble des
qui vérifient une au moins de ces conditions est égal à l’ensemble des
qui vérifient la condition «
», c’est-à-dire [58
1]
à la
«
».
C’est pourquoi on donne au signe «
» le rôle de symbole d’affirmation alterne (entre deux conditions, tandis qu’entre deux
il reste le symbole de réunion simple) en lui conservant la lecture « ou » (au sens du latin « vel » [42]).
Donc en symboles :
15.
(
3[
2])
16.
(
13)
Comme au symbole «
» on ne donnera pas d’autres rôles, par des considérations analogues à celle que je viens de faire pour le symbole «
» [66]
je suis amené à admettre que
17.
(
8)[2]
68. Voici des applications des symboles que nous connaissons, tirées de la Logique et de l’Arithmétique et qui sont propres à relever encore une fois l’analogie partielle entre ces deux sciences [49] :
18. ![{\displaystyle a\smallsmile b=\land :=:a=\land .b=\land }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f40cb2a45a56a1270972a0b7f80488a36034a9d)
savoir [37, 39, 64] « la réunion de deux
est rien, toutes les fois que chacune d’elles est rien, de même que
![{\displaystyle a,b\;\varepsilon \;\mathrm {N} \;.^{\,\cdot }.\;\,\supset \,.^{\,\cdot }.\;a+b=0:\,=\,:\;a=0\,.\,b=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/551533ceefed7eabafe70f43bc91dca9cb00cafe)
savoir [35] « la somme de deux
(absolus) est zéro toutes les fois que chacun d’eux est zéro » ;
19. ![{\displaystyle a\;\smallfrown \;b=\lor :=:a=\lor .b=\lor }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f38ae55108a664dc223a2c7d15cefb9129d4ef5)
savoir « l’intersection de deux
est tout, toutes les fois que
chacune d’elles est tout », de même que
![{\displaystyle a,b\;\varepsilon \;\mathrm {N} \;.^{\,\cdot }.\;\,\supset \,.^{\,\cdot }.\;a\times b=1\;:\,=\,:\;a=1\,.\,b=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a72e460b86ecfdb457d2c8f5bb94936c0cb25bf1)
savoir [35] « le produit de deux
(entiers) est un, toutes les fois que chacun d’eux est un ».
Comme [37 et
5]
20. ![{\displaystyle \lor ,\;\land \;\varepsilon \;\mathrm {Cls} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28c3e2da6635b28823a5b18ec420f460b1b377e2)
il est inutile de placer devant les
18, 19 l’
«
» [
17 et
8].
Boole avait decouvert les
18, 19 et les avait exprimées par les signes arithmetiques analogues et par le langage ordinaire. Mais l’analogie n’est pas complète ; en effet, tandis que :
![{\displaystyle a,b~\varepsilon ~\mathrm {N} ~\therefore \,\supset \,\therefore a\times b=0:=:a=0.\smallsmile .b=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c9e443b20ffe1b53de78d52825ed390d8de2254)
![{\displaystyle a,b~\varepsilon ~\mathrm {N} ~::\,\supset \,::a+b=1\therefore \,=\,\therefore a=1.b=0:\smallsmile :a=0.b=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e8afef224867fa4c8a4524ef1aab3aba979a16e)
savoir « le produit de deux
est zéro, toutes les fois qu’au moins un d’eux est zéro » et « la somme de deux
est un, toutes les fois qu’un d’eux est un et que l’autre est zéro », les propriétés logiques analogues ne subsistent pas[3].