La Logique déductive dans sa dernière phase de développement/2/08

Alessandro Padoa

La Logique déductive dans sa dernière phase de développement

Gauthier-Villars, 1912 (p. 35-38).

Réunion et intersection de classes, Réunion disjonctive

39. Nous écrirons « $\smallsmile$ » le symbole entre deux $\mathrm {Cls}$ pour obtenir leur « réunion », c’est-à-dire l’ensemble des individus qui appartiennent à une au moins de deux $\mathrm {Cls}$, savoir à l’une ou à l’autre ; par suite, le signe « $\smallsmile$ » pourra être lu « ou ».

Par ex.,

vertébré $\;\smallsmile \;$ invertébré $=$ animal
$\mathrm {4N\;\smallsmile \;6N\;\supset \;2N}$

(c’est-à-dire : tous les nombres divisibles par 4 ou par 6, sont pairs).

Nous écrirons le symbole « $\smallfrown$ » entre deux $\mathrm {Cls}$ pour obtenir leur « intersection », c’est-à-dire l’ensemble des individus qui appartiennent aux deux $\mathrm {Cls}$ à la fois, savoir à l’une et à l’autre ; par suite le signe « $\smallfrown$ » pourra être lu « et ».

Par ex. :

losange $\;\smallfrown \;$ rectangle $=$ carré

(c’est-à-dire : les quadrilatères qui sont en même temps des losanges, savoir qui sont équilatéraux, et des rectangles, savoir qui sont équiangles, sont les quadrilatères réguliers, qu’on appelle carrés) ;

$\mathrm {4N\;\smallfrown \;6N\supset 12N}$

(c’est-à-dire : tous les nombres qui sont divisibles en même temps par 4 et par 6, le sont aussi par 12).

Leibniz et ses disciples — ayant remarqué des analogies entre la réunion de deux $\mathrm {Cls}$ et la somme de deux $\mathrm {N}$, ainsi qu’entre l’intersection de deux $\mathrm {Cls}$ et le produit de deux $\mathrm {N}$ [49] — employèrent les signes « $+$ » et « $\times$ » (renfermés parfois entre des petits cercles) aussi entre des $\mathrm {Cls}$, en leur donnant la signification que nous venons d’attribuer aux signes « $\smallsmile$ » et « $\smallfrown$ ». C’est pourquoi, dans les notes explicatives du Formulaire on a conservé les dénominations somme et produit de deux $\mathrm {Cls}$, auxquelles je préfère celle de réunion et d’intersection, qui me semblent plus expressives et plus claires.

Boole appela « élection » l’intersection des $\mathrm {Cls}$ ; c’est une autre dénomination convenable de la même opération, car elle nous impose de choisir les individus qui appartiennent en même temps aux deux $\mathrm {Cls}$ données. Mais lui aussi représentait cette opération par le signe arithmétique « $\times$ ».

Or, la question des noms de ces opérations est indifférente, pourvu [30] qu’au lieu des signes arithmétiques « $+$ » et « $\times$ », on emploie les signes spéciaux « $\smallsmile$ » et « $\smallfrown$ » ; dont le premier est la lettre « o » de l’alphabet sténographique de Gabelsberger (car, justement le mot français « ou » est la traduction du mot italien « o ») et le second est le même signe renversé.

40. Nous dirons que deux $\mathrm {Cls}$ sont disjointes lorsque leur intersection [39] est rien [37] ; autrement nous dirons qu’elles sont conjointes.

Par ex., « vertébré » et « invertébré » sont les noms de deux $\mathrm {Cls}$ disjointes, car

vertébré $\;\smallfrown \;$ invertébré $=\;\land$

Ainsi, par ex., la proposition arithmétique (énoncée en 992 par l’astronome arabe Alchodschandî et démontrée rigoureusement par Euler en 1760):

« la somme de deux cubes n’est jamais un cube »

s’écrit

$\mathrm {\left(N^{3}+N^{3}\right)\;\smallfrown \;N^{3}=\land }$

Mais, par ex., « polygone équilatéral » et « polygone équiangle » sont les noms de deux $\mathrm {Cls}$ conjointes ; car, en complétant l’écriture symbolique (au point de vue logique) d’une proposition que nous avons déjà vue [23] :

polygone régulier $\;=\;$ polygone équilatéral $\;\smallfrown \;$ polygone équiangle

41. Souvent, dans le langage courant, entre un nom et un adjectif on sous-entend l’idée représentée par le signe « $\smallfrown$ » ; par ex. :

peintre italien $\;=\;$ peintre $\;\smallfrown \;$ italien

Mais pas toujours ; par ex., les phrases « nombre négatif », « nombre premier », « polygone régulier », « angle aigu », etc. représentent des $\mathrm {Cls}$ dont chacune est contenue respectivement en celle indiquée par le nom seulement ; mais en ces cas l’adjectif ne suffit pas à désigner une $\mathrm {Cls}$ bien déterminée (en effet — tandis que les phrases « … est un nombre », « … est un polygone », « … est un angle » ont un sens précis — le sens de ces autres serait très incertain : « … est un négatif », « … est un premier », « … est un régulier », « … est un aigu »).

42. Boole employait le signe « $+$ » entre deux $\mathrm {Cls}$ pour indiquer leur réunion [39], mais seulement si elles étaient disjointes [40] ; cette application plus restreinte de l’opération logique dont il est question lui permettait de conserver une analogie plus étroite entre l’addition des $\mathrm {Cls}$ et celle des nombres.

Notre symbole « $\smallsmile$ » [39], ainsi que le « $+$ » des disciples de Leibniz, s’emploie indifféremment entre deux $\mathrm {Cls}$ conjointes ou disjointes et par suite a une application plus vaste.

Mais, avec Jevons, on pourrait désirer de former l’ensemble des individus qui appartiennent à une seule de deux $\mathrm {Cls}$ données, qu’elles soient conjointes ou disjointes ; en ce cas on dira que l’on forme la « réunion disjonctive » des deux $\mathrm {Cls}$, et on la représentera en écrivant entre les deux $\mathrm {Cls}$ le symbole
« $\mathrm {o}$ ».

Le français et l’italien ne permettent pas de lire différemment les deux symboles « $\smallsmile$ » et « $\mathrm {o}$ » ; pour tous les deux en français il n’y a que le mot « ou » et en italien que le mot « o ». Mais le latin nous offre deux mots qui correspondent à ces deux symboles, savoir les mots « vel » et « aut ». Par suite (en réservant la lecture « ou » pour le signe « $\smallsmile$ », d’usage plus fréquent) le signe « $\mathrm {o}$ » pourra être lu « aut ».

La réunion simple [39] et la réunion disjonctive de deux $\mathrm {Cls}$ diffèrent entre elles en ce que l’une inclut et l’autre exclut leur intersection [39] ; par ex., des deux $\mathrm {Cls}$

losange $\;\smallsmile \;$ rectangle
losange $\;\mathrm {o} \;$ rectangle

la première contient les « carrés » et la seconde les exclut.

Mais, pour cela même, la réunion simple et la réunion disjonctive de deux $\mathrm {Cls}$ disjointes [40] sont la même chose ; et par suite, en ce cas, on peut employer indifféremment l’un ou l’autre des deux symboles « $\smallsmile$ » et « $\mathrm {o}$ » ; par ex. :

vertébré $\;\mathrm {o} \;$ invertébré $\;=\;$ vertébré $\;\smallsmile \;$ invertébré

parce que

vertébré $\;\smallfrown \;$ invertébré $\;=\;\land$

Cette remarque permet toujours de transformer la réunion disjonctive de deux $\mathrm {Cls}$ conjointes dans la réunion simple de deux $\mathrm {Cls}$ disjointes.

Considérons par ex. les $\mathrm {Cls}$ « dur » et « transparent » qui sont conjointes (car la vitre, par ex., est « dure $\;\smallfrown \;$ transparente »). Leur réunion disjonctive est l’ensemble des individus dont chacun est dur sans être transparent (savoir « dur $\;\smallfrown \;$ opaque ») ou transparent sans être dur (savoir « transparent $\;\smallfrown \;$ mou ») ; donc :

dur $\;\mathrm {o} \;$ transparent $\;=\;$ (dur $\;\smallfrown \;$ opaque) $\;\smallsmile \;$ (transparent $\;\smallfrown \;$ mou)

Comme on peut éviter aisément le symbole $\;\mathrm {o} \;$, il fut abandonné dans les dernières éditions du Formulaire, mais il a des propriétés qui pourraient intéresser par elles-mêmes.

43. La partie hachée dans les fig. 3, 4, 5 représente [34] respectivement

Fig. 3.

Fig. 4.

l’intersection « a $\;\smallfrown \;$ b » [39], la réunion simple « a $\;\smallsmile \;$ b » [39] et disjonctive « a $\;\mathrm {o} \;$ b » [42] de deux $\mathrm {Cls}$ conjointes [40] ; la partie hachée dans la fig. 6 représente en même temps la réunion simple et la réunion disjonctive de deux

Fig. 5.

Fig. 6.

$\mathrm {Cls}$ disjointes (dont l’intersection manque [40, 42]).