L’Encyclopédie/1re édition/EXTRÈME

La Chapelle

L’Encyclopédie, 1^re éd.

1751 (Tome 6, p. 338).

EXTRÈME, (Géom.) Quand une ligne est divisée, de maniere que la ligne entiere est à l’une de ses parties, comme cette même partie est à l’autre, on dit en Géométrie que cette ligne est divisée en moyenne & extrème raison. Voici comme on trouve cette division : Soit la ligne donnée AB = a (Pl. géom. fig. 64. n. 1.) ; soit le grand segment x, le petit sera a − x ; alors par l’hypothèse a : x ∷ x : a − x. Donc aa − ax = xx, par conséquent aa = xx + ax ; & en ajoûtant $\scriptstyle {\frac {1}{4}}aa$ de chaque côté, pour faire de $\scriptstyle xx+ax+{\frac {1}{4}}aa$ un quarré parfait, l’équation sera $\scriptstyle {\frac {1}{4}}aa=xx+ax+{\frac {1}{4}}aa$.

Or, puisque la derniere quantité est exactement un quarré, sa racine $\scriptstyle x+{\frac {1}{2}}a={\sqrt {{\frac {5}{4}}aa}}$ ; & par transposition on trouvera $\scriptstyle {\sqrt {{\frac {5}{4}}aa}}-{\frac {1}{2}}a=x$. Cela posé, sur AB=a, élevés à angles droits $\scriptstyle CB={\frac {1}{2}}a$ ; ensuite tirez CA, dont le quarré est égal à $\scriptstyle {\overline {AB}}^{2}+{\overline {CB}}^{2}={\frac {5}{4}}aa$. Donc $\scriptstyle AC={\sqrt {{\frac {5}{4}}aa}}$ ; avec AC décrivez l’arc AD, vous aurez CA=CD ; ainsi $\scriptstyle BD=CD-CB={\sqrt {{\frac {5}{4}}aa}}-{\frac {1}{2}}a=x$. Portez donc BD sur la ligne AB, depuis B jusqu’en E ; & la ligne AB sera coupée en moyenne & extrème raison au point E.

Cela ne peut pas se faire exactement par les nombres ; mais si on veut avoir une approximation raisonnable, il faut ajoûter ensemble le quarré d’un nombre quelconque, & le quarré de sa moitié, & extraire par approximation la racine quarrée de toute la somme ; d’où ôtant la moitié de la grandeur donnée, le reste sera le plus grand segment. Voyez Approximation, Extraction, & l’article Equation, &c. (E)

Extrèmes d’une proportion, sont le premier & le quatrieme terme. Voyez Proportion & Moyen.