Henri Poincaré, l’œuvre philosophique

Vito Volterra, Jacques Hadamard, Paul Langevin et Pierre Boutroux

Henri Poincaré, l’œuvre scientifique, l’œuvre philosophique

Félix Alcan, 1914 (p. 205-259).

L’ŒUVRE PHILOSOPHIQUE

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Lorsque l’on entreprend de classer les idées philosophiques d’Henri Poincaré et de situer exactement son œuvre^[1] parmi les doctrines contemporaines, il est nécessaire de procéder avec beaucoup de circonspection si l’on ne veut pas risquer de faire fausse route. Henri Poincaré était en philosophie un autodidacte, et il éprouvait à l’égard des systèmes une méfiance particulière. Il s’est défendu d’être nominaliste, mais toute autre qualification appliquée à sa doctrine l’eût également inquiété. Sur nombre de problèmes, en effet, qui divisent les partis philosophiques, il se déclare incapable de prendre aucun parti parce que, dit-il, pour un savant, la question ne se pose même pas. Pour bien comprendre Henri Poincaré, il faut se rappeler qu’il ne perd pas de vue les faits, et que, dans ses spéculations les plus audacieuses, les plus paradoxales en apparence, il y reste encore fermement attaché. Peu lui importe de savoir où il aboutira et si ses conclusions s’accorderont ou non avec les idées traditionnelles. Il cherche la vérité sans idée préconçue, en faisant soigneusement table rase de tout ce qu’il a pu lire ou entendre, en évitant même de communiquer ses pensées à autrui tant qu’elles ne sont pas définitivement formées. Comme s’il craignait de se laisser influencer et de contrarier le travail d’analyse qui s’accomplit au dedans de lui et, pour ainsi dire, indépendamment de lui, Poincaré médite seul et presque dans le secret. Puis brusquement l’idée jaillit, avec ces caractères de brièveté et d’irrésistibilité que nous retrouvons dans l’invention mathématique ; et désormais elle s’impose. Aux philosophes de trouver après coup des théories qui rendent compte de la vérité ainsi découverte ; ils n’ont pas plus le droit de la contester qu’ils ne peuvent nier la science : car la vérité au sens de Poincaré, ce n’est autre chose, en somme, que l’expression philosophique des conditions impliquées par l’existence effective des sciences positives.

Cet ensemble de faits objectifs, ces jalons que doit respecter toute théorie de la connaissance, Henri Poincaré y fut conduit tout naturellement par ses études mathématiques, et, du jour où il les aperçut, il en eut une compréhension complète et définitive. Le fond des idées d’Henri Poincaré sur la science et sur la recherche scientifique n’a jamais varié. C’est dans la forme seulement que ces idées se sont modifiées, prenant peu à peu un aspect moins technique et moins spécial à mesure que s’étendait leur champ d’application, s’épurant, d’autre part, et se cristallisant au contact des idées voisines ou opposées qui furent émises, durant les vingt dernières années, par divers penseurs éminents.

De bonne heure Henri Poincaré avait eu un goût très vif pour la controverse philosophique. Lorsque M. Xavier Léon, créant en 1893 la Revue de Métaphysique et de Morale, fit appel à son concours, il l’accorda avec empressement, et il ne cessa depuis lors d’être un collaborateur régulier de cette Revue. Il fut aussi l’un des premiers membres de la Société française de philosophie. C’est ainsi qu’il prit l’habitude de s’adresser au public philosophique et qu’il entra en discussion avec divers logiciens et métaphysiciens tels que MM. Couturat, Russell, Le Roy, Lalande. Au cours de cet échange d’idées, Henri Poincaré eut l’occasion de traiter des questions nouvelles qu’il ne s’était pas posées auparavant. Et cependant, au moment même où il est le plus intéressé et le plus entraîné par la discussion, il évite encore, comme nous le disions tout à l’heure, d’entrer proprement dans la lice philosophique. Il se demande simplement si, sous la forme précise que leur ont donnée leurs auteurs, les théories qu’on lui propose s’accordent ou non avec certains ensembles de faits. Puis il se replie de nouveau sur lui-même, et sa pensée, prenant possession de la pâture nouvelle qui lui est offerte, stimulée par les difficultés qu’on lui suscite, poursuit méthodiquement son travail de réflexion intérieure.

C’est le mouvement, c’est le progrès continu de cette pensée, qu’il faudrait étudier et suivre d’étape en étape, si l’on voulait pénétrer à fond l’œuvre philosophique d’Henri Poincaré. Bien entendu, nous ne pouvons prétendre, en ces quelques pages, accomplir un pareil travail. Nous nous bornerons à indiquer quelques points de repère, qui pourront peut-être aider à s’orienter les nombreux lecteurs du mathématicien philosophe.

I

C’est la géométrie non-euclidienne qui conduisit Henri Poincaré à ses premières réflexions philosophiques. Il s’aperçut que ses travaux d’analyse mathématique lui permettaient de jeter une nouvelle lumière sur l’antique question du postulat euclidien qui était encore et plus que jamais à l’ordre du jour.

On sait quelle est l’étrange conclusion à laquelle aboutit l’effort séculaire des mathématiciens qui tentèrent de démontrer le cinquième Postulat : Par un point pris hors d’une droite on peut mener une et une seule parallèle à cette droite. On constata qu’en partant d’une hypothèse contraire à celle que formule ce postulat, on peut construire un système logique de propositions susceptibles de se dérouler à l’infini sans se heurter jamais à aucune contradiction. Au regard de la logique pure, un tel système est une « géométrie » tout aussi valable que la géométrie euclidienne. Deux nouvelles géométries peuvent être ainsi créées, qui sont également légitimes : la géométrie de Lobatchewsky, dans laquelle par un point pris hors d’une droite on peut mener plusieurs parallèles à cette droite ; la géométrie de Riemann, où l’on ne peut mener aucune parallèle à la droite et dans laquelle, d’ailleurs, le concept traditionnel de ligne droite se trouve profondément altéré ; car cette géométrie jette par-dessus bord, avec le cinquième postulat d’Euclide, cet autre axiome classique : Par deux points on ne peut faire passer qu’une droite.

Cependant, tout en en admettant la possibilité théorique, on pouvait penser que les géométries non-euclidiennes étaient des constructions tout artificielles et sans rapports avec la géométrie réelle. Et, d’ailleurs, on pouvait leur adresser cette objection : vous dites que votre chaîne de théorèmes sera exempte (le contra-dictions quelque loin que vous la poursuiviez ; mais, comme cette chaîne est infinie, vous n’arriverez jamais au bout, vous n’aurez jamais fini de la dérouler, et qui me dit alors que la contradiction, évitée jusqu’ici, n’apparaîtra pas.à un moment donné ? À cette critique et à cette objection, Riemann et Beltrami répondirent en montrant que les théories géométriques dites non-euclidiennes peuvent toujours être considérées, si on le veut, comme des théories de géométrie euclidienne. Il n’y a que quelques dénominations à changer (ce qui n’altère nullement l’enchaînement des théorèmes) pour que les propriétés des droites non-euclidiennes deviennent tout simplement les propriétés de courbes d’un certain type tracées sur une surface d’un certain type. Les théorèmes non-euclidiens expriment donc des faits réels — dans un langage donné, il est vrai, — et leur légitimité n’est ni plus ni moins discutable que celle de la géométrie ordinaire.

Tel était l’état de la question lorsque les recherches d’Henri Poincaré sur les « fonctions fuchsiennes » le conduisirent, d’une manière tout à fait inattendue, à un nouveau mode de traduction des théorèmes non-euclidiens en propriétés de figures euclidiennes. Cette découverte apportait un complément précieux aux travaux de Riemann et de Beltrami, et elle était d’autant plus suggestive qu’elle renversait les rôles joués jusqu’alors par les deux géométries, euclidienne et non-euclidienne. Au lieu de se servir de la première pour donner un sens à la seconde, Poincaré utilise au contraire les propositions non-euclidiennes pour triompher des difficultés qu’il rencontre dans un problème de géométrie réelle. Il s’agissait de raisonner sur un réseau de triangles curvilignes formés d’arcs de cercle qui coupent orthogonalement un cercle fondamental donné. Or, les propriétés des arcs ainsi définis sont justement celles que la géométrie de Lobatschewsky attribue aux lignes droites. Ceci nous montre que cette géométrie logique n’est point un simple jeu de l’esprit. « Les théorèmes » de la géométrie de Lobatschewsky, — dit Poincaré^[2] — sont aussi vrais que ceux de la géométrie d’Euclide à la condition qu’on les interprète comme ils doivent l’être. Ainsi, par exemple, ces théorèmes ne sont pas vrais de la ligne droite telle que nous la concevons, mais ils le deviennent si partout où Lobatschewsky dit « une droite », nous disons « un cercle qui coupe orthogonalement le cercle fondamental ». Je me trouvais donc en présence de toute une théorie, imaginée il est vrai dans un but métaphysique, mais dont chaque proposition, convenablement interprétée, me fournissait un théorème applicable à la géométrie ordinaire ».

La conclusion de ces remarques s’impose d’elle-même : le cinquième postulat d’Euclide se réduit à une convention de langage. Nous sommes convenus de nommer « droite » une figure jouissant de certaines propriétés ; mais il est bien évident que nous serions libres d’appeler cette figure autrement et d’appliquer le nom de droite à, une figure différente : nous aurions alors une géométrie contraire au postulat d’Euclide.

Si l’on a bien compris ces faits, la discussion philosophique à laquelle a donné lieu le postulat euclidien se trouvera close ipso facto. Le postulat n’est point un jugement a priori ; car s’il était a priori, il aurait un caractère de nécessité ; or, nous venons de voir qu’il est conventionnel, et qui dit convention dit décision libre de l’esprit. Le postulat n’est pas non plus un jugement empirique ; car si la géométrie euclidienne est vraie pour le physicien, la géométrie non-euclidienne ne pourra pas être moins vraie.

Cette seconde assertion, cependant, avait besoin d’être précisée pour devenir tout à fait convaincante. Poincaré la développe sous une forme neuve et probablement définitive.

On sait que dans la géométrie euclidienne la somme des angles d’un triangle est égale à deux droits, tandis que cette somme est moindre que deux droits dans la géométrie lobatschewskienne. N’y a-t-il pas là un critère permettant de savoir quelle est celle des deux géométries qui est réalisée dans la nature ? Ne peut-on pas mesurer les angles d’un triangle très grand, ayant pour sommets des étoiles, et calculer directement la somme de ces angles ? L’idée était séduisante, mais les adversaires de l’empirisme n’eurent pas de peine à montrer qu’elle ne pouvait pas donner lieu à une expérience décisive. Les observations humaines, dirent-ils, ne sont jamais rigoureusement exactes ; tout ce que pourrait donc prouver la mesure proposée, c’est que les angles du triangle ont une somme très voisine de deux droits (que la différence entre cette somme et deux angles droits ne peut pas être appréciée par nos instruments), et que, par conséquent, la géométrie de la nature est extrêmement rapprochée de celle d’Euclide ; mais il est impossible d’établir que les deux géométries coïncident exactement.

L’argument est bon, mais il ne prouve pas assez, et il est nécessaire de le compléter. Il faut remarquer, en effet, que l’expérience dont nous venons de parler implique une définition physique de la ligne droite : la ligne droite est le chemin parcouru par un rayon lumineux. Or, il est impossible de justifier expérimentale-ment une pareille définition. Tout se tient dans l’univers ; et si, comme nous l’avons imaginé tout à l’heure, nous bouleversons notre vocabulaire de telle sorte que le mot « droite » cesse de désigner une droite, ce mot, peut-être, ne pourra plus servir non plus à caractériser le chemin d’un rayon lumineux. Pour couper court à tout malentendu, Henri Poincaré s’amuse à décrire un monde imaginaire dont les conditions physiques seraient telles que la géométrie lobatschewskienne s’imposât à ses habitants avec autant de force que la géométrie euclidienne s’impose à nous autres humains. Cette ingénieuse fiction de Poincaré ne tarda pas à faire fortune, et elle a été si souvent reproduite qu’il est sans doute inutile de la rappeler ici.

Ainsi, lorsqu’on a reconnu que le postulat d’Euclide est conventionnel, la question de son origine est tranchée. Cela ne veut pas dire bien entendu, que la convention sur laquelle repose ce postulat puisse se passer de justification. Poincaré a toujours soutenu — bien que, sur ce point, il n’ait pas tout de suite développé sa pensée, — que les conventions adoptées par les savants leur sont suggérées du dehors. Ne venons-nous pas de dire qu’à nous, qui vivons sur la terre et non dans le monde fictif de Poincaré, la géométrie euclidienne s’impose au point de vue pratique parce qu’étant données les conditions de notre globe, elle est incontestablement celle qui nous permet d’expliquer et de prévoir les phénomènes avec le moins d’effort. C’est parce que nous avons reconnu ce fait que nous adoptons l’axiome euclidien de préférence à un axiome contraire. Nous choisissons notre science entre plusieurs sciences possibles ; mais notre choix est guidé par notre expérience.

⁂

Les conclusions auxquelles l’avait conduit l’analyse du cinquième postulat, Henri Poincaré devait naturellement chercher à, les étendre aux autres axiomes de la géométrie. L’attention des mathématiciens se trouvait précisément attirée, aux environs de 1880, sur les théories de Sophus Lie, d’où résultait la possibilité et la validité logique de divers types de géométries. Poincaré, devenu lui-même l’un des principaux champions de la notion de groupe dont se servait Sophus Lie, s’efforça de classer ces géométries, et il parvint ainsi à quelques résultats précis qu’il fit connaître en 1887 dans le Bulletin de la Société mathématique de France (Sur les hypothèses fondamentales de la géométrie).

Une infinité de géométries sont logiquement possibles ; le nombre de ces géométries se restreindra cependant très rapidement si l’on y introduit progressivement certaines hypothèses particulières qui paraissent bien être la base fondamentale de notre science. Ces hypothèses sont celles d’où résulte la possibilité de déplacer dans l’espace^[3], sans les déformer, certains corps que nous appelons corps solides (si l’étude des déplacements ne pouvait pas être séparée de l’étude des changements de forme, il n’y aurait pas de géométries^[4]).

Admettons, — afin de pouvoir nous expliquer plus clairement — que nous sachions déjà ce que c’est qu’un point (pour être complet, il faudrait définir le point par les considérations analogues à celles qui vont nous servir à définir la droite). Puis considérons a priori une certaine catégorie de mouvements de points, constituant un groupe de transformations au sens mathématique du mot^[5]. Ces mouvements transforment les figures (composées de points) en d’autres figures ; mais nous ne savons pas s’ils les dé-forment ou non ; nous ne savons même pas encore ce que c’est que la forme d’une figure. Cependant, en raisonnant a priori, nous pouvons définir des groupes de mouvements satisfaisant à certaines conditions que Poincaré énumère. Or, nous constatons par expérience qu’il existe, dans la nature, des corps dont les mouvements satisfont à peu de choses près à ces mêmes conditions et se rapprochent tout particulièrement des mouvements de l’un des groupes que nous pouvons définir. Cette circonstance attire notre attention sur le groupe en question. Nous convenons de dire qu’une figure qui subit un mouvement faisant partie de ce groupe reste égale à elle-même. Nous convenons d’appeler droite tout ensemble de points que ne font pas bouger ceux des mouvements du groupe qui laissent immobiles deux de ces points au moins. Nous définissons d’une manière analogue le plan et les autres notions géométriques.

« Les hypothèses fondamentales de la géométrie — conclut Henri Poincaré — ne sont pas des faits expérimentaux : c’est cependant l’observation de certains phénomènes physiques qui les fait choisir parmi toutes les hypothèses possibles » (loc. cit., p. 215).

Si ces conclusions sont justes lorsqu’il s’agit de la géométrie, combien plus évidentes encore ne paraissent-elles pas être en physique ? Devenu en 1886 professeur de physique mathématique, Henri Poincaré s’était mis rapidement au courant des derniers progrès de cette science, et il assistait à un spectacle sans précédent dans l’histoire. Les théories qui semblaient le plus solidement assises s’écroulaient brusquement ; les hypothèses nouvelles se multipliaient et elles étaient de plus en plus disparates ; souvent elles se contredisaient les unes les autres. Les ondulations de Fresnel, par exemple, étaient abandonnées, tandis que la molécule électrisée, imaginée par Coulomb et rejetée par ses successeurs, réapparaissait sous le nom d’électron. Enfin, Maxwell survenait, qui bouleversait complètement l’idée que nous autres Français, en particulier, avions coutume de nous faire des théories physiques.

Nous reviendrons tout à l’heure sur la critique générale des lois de la physique qu’entreprit Henri Poincaré ; mais il nous faut dès maintenant signaler les réflexions que lui suggérèrent, dès 1890 environ, ses premiers travaux de physique mathématique et spécialement l’étude de Maxwell.

Maxwell ne cherche pas, remarque Poincaré, à construire un édifice unique, définitif et bien ordonné ; mais, plutôt, il élève un grand nombre de constructions provisoires et indépendantes, entre lesquelles les communications sont difficiles, sinon impossibles. On cessera de s’étonner de ces discordances si l’on comprend bien quel est le but du physicien anglais et quel est le résultat auquel ont abouti ses travaux. Maxwell se demande si certains phénomènes électriques comportent une explication mécanique ; pour qu’ils en admettent une, il faut et il suffit que les mouvements par lesquels ils se manifestent puis-sent être définis au moyen de certaines équations différentielles, dont les variables sont des paramètres accessibles à l’expérience, et dont la forme est celle que prévoit la mécanique rationnelle. Peu importe la nature des paramètres pourvu que les équations soient des équations de Lagrange. — Ayant ainsi posé le problème, Maxwell arrive à démontrer que si un phénomène comporte une explication mécanique, il en comportera une infinité d’autres ; pour le théoricien, d’ailleurs, toutes ces explications sont équivalentes ; elles ont la même valeur.

Ces considérations mettent en évidence la part de convention qu’il y a au fond des théories physiques et le rôle capital qu’y joue l’hypothèse. La science se développe en généralisant les faits observés : or, toute généralisation repose sur des hypothèses.

En réfléchissant sur la signification de ces hypothèses, Poincaré était conduit à des conclusions qu’il résumait ainsi dans une notice rédigée quelques années plus tard :

« Dans une théorie physique, il faut distinguer le fond et la forme. — Le fond, c’est l’existence de certains rapports entre des objets inaccessibles, car les rapports sont la seule réalité que nous puissions atteindre, et tout ce que nous pouvons demander, c’est qu’il y ait les mêmes rapports entre les objets réels inconnus et les images que nous mettons à leur place. — La forme n’est qu’une sorte de vêtement dont nous habillons ce squelette ; ce vêtement, nous le changeons fréquemment, à l’étonnement des gens du monde, que cette instabilité fait sourire, et qui proclament la faillite de la science. Mais, si la forme change, le fond reste.

« Les hypothèses relatives à ce que je viens d’appeler la forme ne peuvent pas être vraies ou fausses, elles ne peuvent être que commodes ou incommodes. Par exemple, l’existence de l’éther, celle même des objets extérieurs ne sont que des hypothèses commodes… C’est pour cela qu’il y a certaines catégories de faits qui s’expliquent également bien dans deux ou plusieurs théories différentes sans qu’aucune expérience puisse jamais décider entre elles. »

Ces conclusions sont-elles exagérées ? Certains l’ont pu penser naguère. Mais nous verrons tout à l’heure qu’elles paraissent aujourd’hui se confirmer de plus en plus.

Les réflexions d’Henri Poincaré sur la géométrie et sur la physique semblaient avoir pour conséquence de diminuer la part d’objectivité que l’on attribue généralement à la science et d’exalter par contre la puissance créatrice du savant. Elles impliquaient en tout cas une conception nouvelle des rôles respectifs de l’expérience et de l’esprit dans la constitution des théories scientifiques. Cette conception, qui s’accordait si bien avec les derniers progrès de la physique mathématique, Poincaré voulut l’éprouver dans le domaine où la science se présente au contraire sous la forme la plus abstraite : l’analyse mathématique. En 1893, dans le premier numéro de la Revue de Métaphysique, il publia une étude de philosophie critique sur le continu.

Deux doctrines sont en présence qui expliquent de manières opposées l’origine du continu des analystes. D’après les arithméticiens, tels que Dedekind et Kronecker, le continu mathématique est une pure création de l’esprit. Et, en effet, en partant de la seule notion de nombre entier, on parvient à construire, par des procédés purement logiques, une théorie qui renferme toutes les relations auxquelles peuvent donner lieu les nombres irrationnels ou grandeurs continues. Or, c’est là tout ce que le mathématicien a besoin de connaître touchant le nombre irrationnel ; car sa fonction n’est pas d’étudier les objets, mais seulement des relations entre les objets, et à ceux-ci il est libre de substituer des symboles quelconques.

La doctrine contraire pst celle des empiristes, d’après lesquels le continu mathématique dériverait de l’expérience physique.

Aucune des deux solutions proposées ne satisfait Henri Poincaré. L’arithmétisme de Dedekind est acceptable, sans doute, pour le logicien. Mais comment et pourquoi y a-t-on été conduit ? Jamais, bien évidemment, on n’aurait imaginé pareille théorie si l’on n’avait pas su déjà à peu près ce que c’est qu’une longueur non mesurable par un nombre entier. L’empirisme, d’autre part, est contredit par les faits, car l’expérience ne peut discerner que des quantités discontinues ; elle confond l’une avec l’autre deux sensations très rapprochées.

Empirisme et arithmétisme contiennent cependant, chacun, une part de vérité, et il suffira de les combiner peur expliquer d’une manière satisfaisante la genèse du continu. Henri Poincaré entreprend donc de décrire à son tour cette genèse, et il aboutit à la conclusion que nous aurions pu facilement prévoir : « l’esprit a la faculté de créer des symboles, et c’est ainsi qu’il a construit le continu mathématique qui n’est qu’un système de symboles. Sa puissance n’est limitée que par la nécessité d’éviter toute contradiction ; mais l’esprit n’en use que si l’expérience lui en fournit une raison ».

C’est ainsi qu’Henri Poincaré cherchait à déterminer, en étudiant des exemples typiques, la part qui revient à l’esprit dans l’édification des mathématiques. Il ne lui était pas possible de s’arrêter là. Pour que ses assertions eussent un sens précis, il fallait qu’il expliquât quelle idée au juste il se faisait de l’activité de l’esprit. Il publia donc un second article dans la Revue de Métaphysique, où il traita de la nature du raisonnement mathématique (1894).

Il est entendu — du moins l’admettrons-nous sans entrer dans plus d’explications — que le savant part de définitions et d’axiomes dont certains sont conventionnels. Il s’agit de savoir comment, avec ces éléments, on peut construire les mathématiques.

L’opinion du vulgaire est que le raisonnement du mathématicien est un raisonnement déductif conforme aux règles de la syllogistique aristotélicienne. Mais cette opinion est difficile à soutenir, et nombre de philosophes, déjà, ont cherché à. montrer que, même dans la science la plus théorique, tout n’est pas déduction. Qu’est-ce donc qui est inductif dans la démonstration mathématique ? La question comporterait, d’après Henri Poincaré, une réponse très simple et très précise. Ce qui est inductif, c’est un certain mode de raisonnement que l’on retrouve, sous des aspects divers, d’un bout à l’autre des mathématiques : c’est le raisonnement récurrent.^[6] : sait qu’une certaine proposition est vraie pour le nombre 1 ; on démontre que si elle est vraie pour le nombre n - 1, elle sera vraie pour le nombre n, et l’on conclut de là que la proposition est vraie pour tous les nombres.

Ainsi le mathématicien n’est pas un analyste au sens aristotélicien du mot. Il procède par construction, et il va du particulier au général. Ce qui n’empêche pas, bien entendu, qu’il ne raisonne toujours a priori. Kant est dans le vrai lorsqu’il dit que l’édifice mathématique repose sur des jugements synthétiques a priori. Mais il n’a pas vu avec exactitude quels sont et ce que sont ces jugements : ce sont des raisonnements récurrents.

⁂

On peut dire qu’à la suite des études que nous venons de passer rapidement en revue, les idées maîtresses de la philosophie d’Henri Poincaré se trouvèrent fixées d’une manière définitive. Si nous cherchons à les résumer, nous pourrons, semble-t-il, les formuler comme il suit.

Les philosophes ont distingué trois sortes de jugements : jugements analytiques, jugements synthétiques a priori, jugements empirique. Ces types de jugements interviennent tous trois dans les mathématiques, mais on ne les a pas toujours distingués et dosés d’une manière correcte.

D’autre part, ces jugements ne sont pas les seuls que l’on rencontre en mathématique et en physique. Il y a, dans ces sciences, certaines propositions qui ne sont ni a priori, ni empiriques : jugements conventionnels, librement consentis par notre esprit, mais fondés néanmoins sur l’expérience. En d’autres termes, il se trouve à la base de la science un certain nombre d’axiomes qui sont des définitions déguisées ; ils sont adoptés — provisoirement tout au moins — en raison de leur simplicité et parce qu’ils s’adaptent bien aux faits que nous observons.

Mais, demandera-t-on, ces deux conditions imposées aux axiomes, d’être simples au regard de l’intelligence, et de s’accorder avec l’expérience, sont-elles sûrement compatibles ? À cette question qui fut la pierre d’achoppement de tant de philosophies — Poincaré ne pense pas que I’on puisse répondre a priori. Nous constatons qu’une science relativement simple permet d’expliquer les phénomènes courants. C’est là une chance heureuse qui aurait pu fort bien ne pas se présenter. C’est ainsi que si le système solaire, au lieu d’être isolé, se trouvait voisin d’étoiles grosses et nombreuses, dont l’attraction sur notre monde viendrait s’ajouter à celle du soleil, l’étude du mouvement de la terre deviendrait pratiquement impossible^[7].

II

La doctrine que nous venons de résumer constitue le cadre dans lequel s’est déroulée la pensée philosophique d’Henri Poincaré à partir de 1895 environ. Nous allons maintenant signaler quelques-uns des résultats auxquels aboutit cette pensée.

Personne ne s’étonnera sans doute que les questions qui intéressent directement les progrès des sciences occupent la première place parmi les préoccupations d’Henri Poincaré. La plus grande partie de son œuvre philosophique est consacrée à la critique des notions scientifiques, faite du point de vue de la science elle-même.

Nous avons rappelé déjà comment Poincaré interpréta les axiomes fondamentaux de la géométrie. M. Bertrand Russell ayant donné en 1897 une nouvelle théorie de ces axiomes selon laquelle (lorsqu’ils ne sont pas empiriques) on pourrait les déduire analytiquement de notre croyance à la possibilité de l’expérience, Poincaré revint à la charge^[8]. Il expliqua avec des détails nouveaux pourquoi la plupart des axiomes doivent être regardés comme conventionnels. Il montra^[9] que pour diverses raisons — l’une des principales est la relativité de l’espace — nous ne pouvons avoir aucune intuition directe des notions en apparence les plus simples, telles que celles de, distance, de direction ou de ligne droite.

Mais, si l’on veut vraiment voir clair dans les origines de la géométrie, il ne faut pas étudier cette science isolément. La distinction des objets géométriques, mécaniques et physiques n’a point de sens pour le psychologue et pour le philosophe ; Poincaré envisage donc toutes les sciences à la fois, et c’est là sans doute l’un des traits les plus originaux de sa critique philosophique.

Ainsi, nous avons dit plus haut que les pro-positions d’Euclide ne sont ni plus ni moins vraies que les théorèmes non-euclidiens. Mais nous n’avons justifié cette assertion qu’à l’intérieur du domaine de la géométrie. Pourrons-nous la maintenir lorsque nous adjoindrons à ce domaine ceux de la mécanique et de la physique ? Supposons, en d’autres termes, que nous construisions une mécanique et une physique mathématiques qui aient pour base la géométrie non-euclidienne au lieu de la géométrie euclidienne. Sera-t-il encore possible de prétendre que ces sciences nouvelles sont aussi vraies que la mécanique et la physique ordinaires ? Ne violeront-elles pas certains principes dont la vérité est universellement admise ?

Voici par exemple, le principe de relativité^[10] d’après lequel l’état (température, potentiel électrique, etc.) d’un système de corps quelconques à un instant quelconque, et les distances mutuelles de ces corps, dépendent seulement de l’état initial des corps et de leurs distances mutuelles à l’instant initial, mais nullement de la position absolue initiale du système et de son orientation absolue initiale dans l’espace. Le principe s’impose à notre esprit parce qu’il est bien évident que nous ne pourrons jamais observer que des mouvements et des changements d’états relatifs. Nous l’érigeons donc en loi universelle de la nature. Eh bien ! Supposons que nous fassions une série d’expériences et que nous les interprétions dans l’hypothèse non-euclidienne (nous savons que dans cette hypothèse le mot « distance » n’a point le sens que lui donne la. géométrie ordinaire ; mais peu importe, du moment que notre langage a un sens conventionnel précis) : les expériences. ainsi interprétées seront-elles encore d’accord avec le principe de relativité ? Et, si l’accord n’a pas lieu, n’est-on pas en droit de dire que l’expérience a prouvé la fausseté de la géométrie non euclidienne ?

Henri Poincaré établit, par une analyse serrée, que cette éventualité ne pourra jamais se produire. Le principe de relativité s’appliquant par hypothèse à la totalité de l’univers, on ne pourrait le contrôler qu’en envisageant effectivement le monde tout entier, puisque les diverses parties de celui-ci réagissent toutes les unes sur les autres. Or, il est clair que si le système de corps que nous étudions est l’univers entier, aucune expérience ne pourra jamais nous renseigner sur sa position et son orientation absolues : ces mots même ne pourront plus avoir de sens. Le principe de relativité ne comporte, selon Poincaré, qu’un énoncé correct : « Les lectures que nous pouvons faire sur nos instruments à un instant quelconque dépendront seulement des lectures que nous aurions pu faire sur ces mêmes instruments à l’instant initial. » Or, un pareil énoncé est indépendant de toute interprétation des expériences. Si donc le principe est vrai dans l’interprétation euclidienne, il est également vrai dans l’interprétation non-euclidienne.

Tel est le point de vue auquel se place Henri Poincaré pour faire une critique définitive des notions géométriques. Ainsi, en particulier, nous avons dit tout à l’heure que c’étaient certaines expériences qui nous conduisaient à adopter les conventions traditionnelles de la géométrie de préférence à d’autres. Pour interpréter correctement les expériences dont il est ici question, il est indispensable de remarquer qu’elles ne sont point géométriques : ce sont des expériences de mécanique si l’on opère sur des corps solides ; ce sont des expériences d’optique si l’on opère sur des rayons lumineux ; ce ne sont jamais des expériences de géométrie. Et c’est là la raison profonde pour laquelle les conventions de la géométrie resteront toujours invérifiables.

⁂

Au premier congrès international de philosophie tenu à Paris en 1900, Henri Poincaré présenta un important mémoire^[11] où il étudie et discute les principes de la mécanique rationnelle.

Supposons admis, sous les réserves que nous avons déjà indiquées ou que nous indiquerons plus loin, les notions d’espace et de temps absolus et les théorèmes de la géométrie euclidienne ; et demandons-nous quels sont les postulats nouveaux introduits dans la science par la mécanique classique.

Cette mécanique — que l’on peut appeler « mécanique des forces centrales » parce qu’elle ramène tous les mouvements de la nature aux mouvements de points matériels agissant ou réagissant les uns sur les autres suivant les droites qui les joignent — cette mécanique repose sur certaines notions spéciales nouvelles (vitesse, accélération, masse, force) et sur certaines lois admises a priori telles que la loi d’inertie et la loi de l’accélération.

C’est sur ces deux lois que porte principalement la discussion d’Henri Poincaré.

La loi d’inertie, d’après laquelle le mouvement d’un corps qui n’est soumis à aucune force ne peut être que rectiligne et uniforme, se réduit en somme ; pour le mathématicien, à cette affirmation : les mouvements de toutes les molécules matérielles de l’univers dépendent d’équations différentielles du second ordre. Or, il est clair qu’a priori rien ne nous oblige à croire qu’il en soit ainsi. Seulement nous constatons que la loi se vérifie dans les cas particuliers qui se présentent à nous. Et cela suffit pour que nous puissions l’étendre sans crainte aux cas les plus généraux, parce que dans ces cas généraux la loi devient invérifiable. Comme nous l’avons remarqué déjà à propos du principe de relativité, il faudrait, pour infirmer ou confirmer la loi dans son acception générale, faire une expérience portant sur l’univers entier : or, cela est évidemment impossible.

L’étude de la loi de l’accélération, — d’après laquelle l’accélération d’un corps est égale à la force qui agit sur lui, divisée par sa masse — conduit à des conclusions semblables. La notion de force ne s’impose à nous ni subjectivement, ni objectivement. Les masses sont de simples coefficients qu’il est commode d’introduire dans les calculs. En somme, nous pouvons caractériser l’origine de toutes les notions et lois mécaniques par la formule suivante : ces notions et ces lois sont tirées de l’expérience, et cependant l’expérience ne pourra jamais ni les confirmer, ni les contredire.

La mécanique dont nous venons de parler est la mécanique pure, considérée en elle-même. Si nous appliquons maintenant cette science à la physique, la justesse des observations qui précèdent apparaîtra plus nettement encore.

En effet, pour expliquer mécaniquement les phénomènes physiques, on admet qu’ils sont liés aux mouvements de molécules que nous ne voyons pas.

Supposons alors qu’une loi mécanique, par exemple la loi d’inertie, semble contredite par une expérience. Il sera facile de la mettre à l’abri en imaginant qu’un nouveau corps invisible — que nous ne considérions pas tout d’abord — intervient dans le phénomène observé. « Si l’accélération d’un des corps que nous voyons nous paraît dépendre d’autre chose que des positions ou des vitesses des autres corps visibles ou des molécules invisibles dont cous avons été amenés à admettre l’existence, rien ne nous empêchera de supposer que cette autre chose est la position ou la vitesse d’autres molécules dont nous n’avions pas jusque-là soupçonné la présence. La loi se trouvera sauvegardée. »

Mais la physique fondée sur la mécanique des forces centrales n’est plus celle de nos contemporains. Une nouvelle physique, une nouvelle mécanique se sont constituées, qu’il est nécessaire d’examiner et de critiquer à leur tour.

En quoi consiste la transformation qui commença à s’opérer dans la science dès le début du siècle dernier ?

« On renonça — dit Poincaré — à pénétrer dans le détail de la structure de l’univers, à isoler les pièces de ce vaste mécanisme, à analyser une à une les. forces qui les mettent en branle, et on se contenta de prendre pour guides certains principes généraux qui ont précisément pour objet de nous dispenser de cette étude minutieuse.^[12] » Ces principes admis a priori sont, par exemple, le principe de la conservation de l’énergie, le principe de Carnot, le principe de la relativité. Que valent-ils au regard du raisonnement et devant l’expérience ?

Nous pouvons raisonner sur ces divers principes comme nous l’avons fait plus haut à propos du principe de relativité^[13] et de la loi d’inertie. Les principes ne peuvent pas être vérifiés. On ne pourrait en effet les éprouver par l’expérience et le raisonnement combinés qu’en leur donnant une valeur absolue, en les appliquant jusqu’au bout et à l’ensemble de l’Univers. Or, lorsque l’on donne aux principes une pareille extension, on s’aperçoit qu’ils ne peuvent plus être ni vrais ni faux. Ils s’évanouissent et se réduisent à de simples tautologies. Concluons de là que les principes sont hors de toute atteinte, mais aussi qu’il pourra être opportun de les abandonner un jour ou l’autre si nous avons à étudier des phénomènes qui nous obligent à étendre outre mesure leur champ d’application ; il se pourrait en effet que, dans ces conditions nouvelles, les principes perdissent toute leur fécondité.

C’est ainsi qu’à la suite d’une critique philosophique approfondie, Poincaré se trouvait amené aux idées que ses premières études de physique mathématique avaient à l’avance fait chez lui, et qu’il exposait déjà nettement dans la préface de sa Thermodynamique (1892). Ces idées étaient depuis longtemps, et complètement, arrêtées dans son esprit lorsque les découvertes inattendues que suscita l’étude du radium vinrent leur donner une nouvelle et bien remarquable confirmation.

Nous ne rappellerons pas ici les faits qui ont, depuis quelques années, bouleversé le monde savant. Ces faits sont aujourd’hui connus de tous. Henri Poincaré les discuta à plusieurs reprises et, en particulier, dans deux séries de conférences professées à Saint-Louis en 1904 puis à Göttingen en 1909. Il se complut à tirer des hypothèses proposées pour les expliquer toutes les conséquences qu’elles comportent. Avec la théorie d’Abraham, le principe de relativité est battu en brèche. Avec la théorie de Lorentz, c’est la notion même de masse qui s’évanouit. De toute façon, les principes sont assaillis de tous les côtés et certains d’entre eux sont d’ores et déjà condamnés. Poincaré prévoit l’objection qu’on va lui adresser^[14] : « N’avez-vous pas écrit que les principes, quoique d’origine expérimentale, sont maintenant hors des atteintes de l’expérience parce qu’ils sont devenus des conventions ? Et maintenant vous venez nous dire que les conquêtes les plus récentes de l’expérience mettent ces principes en danger. » Mais, pour ceux qui ont lu Poincaré, l’objection est sans valeur. En effet, Poincaré a toujours expressément prévu le cas où certains principes classiques de la science devraient être un jour abandonnés ; et nous avons justement indiqué tout à l’heure, a priori comment et dans quelles circonstances ce cas pourrait se présenter.

⁂

L’œuvre critique dont nous venons de retracer les grandes lignes aurait suffi peut-être à un penseur qui n’eût été qu’un mathématicien professionnel. Mais la curiosité d’Henri Poincaré ne s’arrêtait pas aux limites de la science exacte. Il regardait au delà. Au lieu d’accepter les définitions et les axiomes, à la manière de Hilbert, comme des décrets arbitraires dont on ne cherche pas à pénétrer le sens, il voulait en connaître les origines lointaines — prélogiques, pourrait-on dire — et la genèse psychologique. Il n’y a pas, écrit Poincaré, de logique et d’épistémologie indépendantes de la psychologie. Si donc nous voulons pénétrer à fond une notion telle que celle de l’espace, et comprendre les raisons des propriétés que le sens commun lui attribue, il nous faut recourir à l’introspection, analyser en détail nos sensations et chercher comment l’homme peut parvenir progressivement à former cette notion dans son esprit. Intéressante en elle-même, cette synthèse psychologique apportera d’ailleurs à la théorie de la science, telle que nous l’avons esquissée plus haut, un complément fort utile. Par exemple, nous avons dit que les hypothèses de notre géométrie nous étaient suggérées par les propriétés des corps solides. La psychologie nous apprendra que cette opinion est plus vraie encore que nous ne le pensions : car, si on va au fond des choses, on s’aperçoit de la raison principale pour laquelle la géométrie des corps solides nous paraît être commode, est que les différentes parties de notre corps jouissent précisément des propriétés des corps solides. Et les expériences qui légitiment cette géométrie sont avant tout des expériences de physiologie. portant, non sur les objets extérieurs, mais sur notre corps.

Henri Poincaré est revenu plusieurs dois sur la question de l’espace, apportant successivement divers compléments et faisant quelques retouches à la théorie fort ingénieuse qu’il avait proposée pour la première fois^[15] en 1895. C’est encore à cette théorie qu’est consacré son dernier article philosophique, celui que publia la Revue de Métaphysique en juillet 1912. Les résultats assez complexes auxquels est parvenu Poincaré ne peuvent pas être résumés en quelques lignes. Nous nous bornerons donc, sur ce point, à des indications très succinctes.

C’est, nous l’avons vu, l’étude des axiomes géométriques qui, de bonne heure, avait amené Poincaré à repousser la théorie kantienne de l’espace. L’espace n’est pas une forme a priori de notre sensibilité : Poincaré s’en était convaincu avant même d’avoir trouvé une explication satisfaisante de ce fait singulier, fort embarrassant pour les adversaires de Kant, que l’espace possède trois dimensions. D’autre part, Poincaré pensait avoir prouvé contre Russell que les propriétés de l’espace ne peuvent pas être déduites analytiquement de notre croyance à la possibilité de l’expérience. Il lui restait à expliquer à son tour la genèse de l’espace géométrique conformément à sa propre conception de la science ; il lui fallait établir que l’espace est construit par l’esprit, librement, mais à l’occasion de l’expérience ; et surtout il lui fallait faire comprendre pourquoi l’espace a trois dimensions (car si nous construisons l’espace librement, d’où vient que le nombre de ses dimensions nous soit imposé ?)

Poincaré se représente donc un être humain vierge de toute connaissance géométrique, et il se demande tout d’abord ce qu’est pour un tel être un continu physique, c’est-à-dire un continu ne jouissant encore d’aucune des propriétés qui caractérisent l’espace géométrique, il montre ensuite comment, en vertu d’iule Première convention (convention fondamentale), on peut distinguer plusieurs dimensions dans les continus physiques. Enfin, il fait voir comment, avec les éléments fournis par les continus physiques qui correspondent à ses divers sens, l’homme est en mesure de construire différents types d’espaces : espace visuel, espace tactile, — ou plutôt espaces tactiles, car nous pouvons utiliser tels ou tels de nos doigts espaces moteurs. Ce sont des sensations musculaires qui interviennent dans la construction de ces divers espaces (sans excepter l’espace visuel), et le point de départ de la construction est la distinction que nous établissons entre certaines modifications particulières des corps, appelées par nous « déplacements », et leurs autres modifications, lesquelles sont des « changements d’état ». C’est parce que les « déplacements » sont possibles (Poincaré explique longuement ce que signifie cette affirmation pour un homme qui ignore encore la géométrie), c’est parce que les déplacements sont possibles que la notion d’espace se forme en nous.

Cependant les divers espaces, visuel, tactiles ou moteurs, ne sont pas encore géométriques, et ils peuvent d’ailleurs avoir plus de trois dimensions^[16]. C’est en comparant et associant ces espaces entre eux que nous parvenons enfin à l’espace des géomètres, dont l’irrémédiable relativité^[17] se trouve ainsi établie sans contestation possible.

Pourquoi maintenant l’espace des géomètres a-t-il trois dimensions ? Ce n’est point par nécessité. Nous ne sommes pas forcés de donner trois dimensions à l’espace, mais cela nous est commode. — Fort bien, répondra-t-on, mais croyez-vous qu’il vous serait possible de faire autrement. — Oui, répliquait Poincaré sans hésiter dans son premier article sur la géométrie. Nous sommes sans doute attachés à l’espace à trois dimensions par une tradition et des habitudes ancestrales difficiles à vaincre ; mais « quelqu’un qui voudrait y consacrer sa vie arriverait à se figurer l’espace à quatre dimensions ». Et en effet, c’est l’observation de l’ordre dans lequel se succèdent nos sensations qui donne naissance, en fin de compte, à la notion d’espace. Or, s’il nous est impossible d’imaginer des sensations différentes de nos sensations normales, nous pouvons par contre, avec quelque effort, imaginer une succession de sensations, individuellement pareilles à nos sensations normales, mais se succédant dans un ordre anormal. Des êtres qui éprouveraient nos sensations normales dans cet ordre anormal construiraient un espace, différent du nôtre, qui pourrait avoir quatre dimensions.

Entendons-nous bien, cependant. En dépit de certaines formules, un peu paradoxales, que l’on s’est trop complu à relever dans ses livres, Poincaré n’a jamais soutenu que nous puissions effectivement, en renonçant volontairement à la simplicité de notre Science, construire un espace à quatre dimensions. Il pense au contraire que le continu physique particulier d’où est tirée notre notion d’espace est un continu à trois dimensions ; et c’est pour établir rigoureusement te fait qu’il écrivit son dernier article de la Revue de Métaphysique. Par contre, Poincaré admet que si notre faculté d’intuition avait été dirigée par l’expérience autrement qu’elle ne le fut, nous aurions peut-être donné quatre dimensions à l’espace.

Il n’y a, on le devine, que peu de choses à changer à la discussion qui vient d’être faite pour l’appliquer à la notion de temps, notion que Poincaré analyse à son tour afin d’en faire ressortir la relativité et le caractère conventionnel.

Nous n’avons pas l’intuition directe de la simultanéité, pas plus que celle de l’égalité de deux durées. Nous suppléons à ce défaut d’intuition en appliquant certaines règles, le plus souvent inconsciemment. D’ailleurs, nous choisissons ces règles de préférence à d’autres parce qu’elles sont les plus commodes. Elles sont le fruit d’un « opportunisme inconscient^[18] ».

Remarquons en outre que, dans la physique nouvelle, le temps paraît de plus en plus être assimilable à une quatrième dimension de l’espace^[19]. Tous les caractères de la notion d’espace se retrouvent donc dans celle du temps.

⁂

Tels sont, brièvement résumés, les résultats de la critique psychologique d’Henri Poincaré. L’une des conclusions les plus remarquables auxquelles conduit cette critique est sans doute la suivante : entre la plus grossière des connaissances fondées sur les sens, et les connaissances scientifiques, il n’y a point de fossé infranchissable. C’est par une élaboration progressive que la notion de continu tactile, par exemple, devient la notion géométrique de l’espace. C’est en vain que l’on chercherait à nier les origines roturières de la science.

Qu’on ne s’y trompe pas, cependant. En déclarant qu’il y a continuité entre les divers mode de connaissance, Poincaré n’entend pas abaisser la science. Il anoblit bien plutôt la connaissance vulgaire en la rapprochant du raisonnement mathématique ; car il n’y a selon lui qu’une seule manière de savoir, qui est la manière du savant. C’est là un trait qu’il importe de bien saisir si l’on veut comprendre les idées de Poincaré sur les rapports des sciences à la philosophie et le point de vue où il se place pour discuter les notions qui ne sont pas purement scientifiques.

Lorsque, par exemple, Poincaré décrit la genèse de la notion de temps, il spécifie bien qu’il ne considérera que le temps mesurable, le temps quantitatif ; quant à la durée bergsonienne, à supposer qu’elle soit quelque chose, il ne faut pas chercher à la connaître.

Lisons, d’autre part, pour prendre un autre exemple, le mémoire sur l’Évolution des lois présenté par Henri Poincaré au Congrès de philosophie de Bologne (1911).

Il s’agit de savoir si les lois de la nature peuvent changer, au sens historique ou chronologique du mot, c’est-à-dire peuvent être autres dans le présent qu’elles n’étaient dans le passé et qu’elles ne seront dans l’avenir. En appliquant à ce problème ses méthodes habituelles de raisonnement, Poincaré montre que le savant a toujours le droit d’admettre que les lois sont immuables. Si en effet il était un jour reconnu qu’une loi, regardée jusqu’alors comme absolue, n’a en réalité qu’une valeur transitoire, on imaginerait aussitôt une nouvelle loi, plus générale et plus compréhensive, dans laquelle viendrait se fondre la loi tombée en disgrâce. Les mathématiques nous donnent l’assurance que l’on pourra toujours procéder ainsi. En effet, l’ensemble des lois qui régissent un groupe de phénomènes s’expriment par un système d’équations différentielles ; par conséquent, déclarer que les lois varient avec le temps, c’est déclarer que les équations différentielles dépendent du temps, c’est-à-dire renferment la variable t (qui représente le temps) ; mais il est toujours possible de remplacer un système d’équations dépendant de t par un système équivalent qui ne contient pas t : ce nouveau système définira un ensemble de lois immuables dont les effets sont identiques aux lois variables d’où l’on est parti.

Cette argumentation nous montre que, pour Poincaré, le mot loi ne saurait avoir plusieurs sens. Les lois naturelles, selon lui, sont, comme toutes les lois, le fait du savant : affirmation un peu surprenante en apparence, car ce qu’on appelle d’ordinaire « loi naturelle », n’est-ce pas précisément ce qui n’est subjectif à aucun degré ? Mais la loi objective est quelque chose d’absolument inconnaissable, dont nous n’avons pas à nous occuper. « Les lois, considérées comme existant en dehors de l’esprit qui les crée ou qui les observe, sont-elles immuables en soi ? La question est insoluble. »

Ces réflexions, encore que Poincaré ne s’y arrête pas, sont intéressantes à relever. Elles mettent bien en lumière la physionomie générale de la philosophie que nous venons d’esquisser.

Henri Poincaré, nous l’avons dit, ne s’est point confiné dans le domaine des notions purement scientifiques. En revanche, il a toujours présent à l’esprit le schéma de la connaissance exacte avec lequel sa pensée s’est pour ainsi dire identifiée. Une matière qui n’offre aucune espèce de prise au raisonnement du type mathématique ne peut pas être, selon lui, objet de savoir.

III

Nous avons essayé de montrer, dans les pages qui précèdent, quel fut le point de départ des spéculations d’Henri Poincaré sur la philosophie des sciences, et où ces spéculations l’ont conduit. Nous pourrions nous arrêter là s’il était permis d’isoler la pensée de Poincaré des divers mouvements philosophiques dont notre époque a vu le flux et le reflux. En fait, les controverses auxquelles il fut mêlé l’ont amené, comme nous l’avons dit déjà, à préciser et à commenter certaines de ses conclusions, soient qu’elles aient été mal comprises, soient qu’elles n’aient pas paru suffisamment convaincantes. Il est donc indispensable de dire ici quelques mots de ces controverses.

Henri Poincaré avait déjà exposé depuis plusieurs années sa théorie de la convention mathématique lorsqu’il s’aperçut qu’un petit groupe de philosophes était en train de s’emparer du mot et de l’idée pour en faire un usage assez aventureux. Les affirmations catégoriques de ces philosophes ne pouvaient manquer de les faire regarder comme les représentants d’une école, et on les appelait « les nominalistes ». Poincaré allait-il, sans l’avoir voulu, être englobé dans cette école ? M. Le Roy écrivait, par exemple, que la.science tout entière repose sur des conventions, que ces conventions sont arbitraires, que ce sont des définitions déguisées, et qu’elles n’ont d’autre titre à être adoptées que leur commodité et leur utilité en vue de l’action. N’était-ce point là presque textuellement les paroles d’Henri Poincaré ? Ce les étaient si apparemment que lorsque Poincaré crut devoir prendre ouvertement parti contre les nominalistes et les pragmatistes, nombre de personnes crurent à un revirement de sa part ; à moins qu’elles ne préférassent continuer à le ranger, malgré luit parmi les adeptes de la nouvelle école.

Et, pourtant, Henri Poincaré n’avait aucune peine à montrer que ses idées avaient toujours été opposées à celles (les nominalistes. Il lui suffisait pour cela de citer et de discuter une petite phrase de M. Le Roy : « le savant crée le fait. » Non, déclare Henri Poincaré, le savant ne crée pas le fait ; il ne crée que le langage dans lequel il énonce les faits ; et c’est ce que j’ai toujours dit. J’ai expliqué que les géométries euclidienne et non-euclidienne parlaient des langues différentes, mais exprimaient les mêmes vérités et que l’on pouvait les traduire l’une dans l’autre comme on traduit de l’allemand en français, qu’il suffisait pour cela de construire une sorte de dictionnaire indiquant quels sont les termes des deux géométries qui se correspondent l’un à l’autre. Voilà qui est, semble-t-il, suffisamment précis. D’ailleurs, Poincaré n’a pas cessé de répéter que les conventions ne sont nullement arbitraires. Sans doute, ainsi qu’il l’a soutenu contre Russell, auteur des Fondements de la Géométrie, les notions scientifiques ne sont pas imposées par l’expérience ; mais le fait brut s’impose à nous.

À peine en avait-il fini avec les nominalistes que Poincaré engageait un nouveau débat, — contre les logiciens doctrinaires, cette fois, ceux que l’on a parfois appelés « les panlogiciens ».

D’après les panlogiciens, la science théorique tout entière se réduirait à la logique : toutes ses propositions pourraient être déduites analytiquement d’un petit nombre de notions et d’axiomes posés a priori. C’est là, en particulier, ce que soutiennent M. Russell — Russell auteur des Principes des Mathématiques — et les philosophes auxquels M. Couturat a donné le nom de « logisticiens ». C’est ce que veulent réaliser également certains mathématiciens logiciens qui cherchent à généraliser l’emploi de la méthode axiomatique de Hilbert.

À tous ces panlogiciens Poincaré objecte que les axiomes d’où part le savant ne peuvent pas être posés d’une manière quelconque. Leur choix ne serait indifférent que s’ils étaient tous, comme on le veut prétendre, des définitions déguisées : en ce cas, évidemment, ce seraient des décrets arbitraires, et il n’y aurait pas lieu de s’inquiéter de leur origine. Mais il en va autrement si les axiomes ne peuvent pas être assimilés à des définitions. La question fondamentale qui se pose au début de la science n’est point alors de savoir par quel processus se combinent notions et axiomes, mais bien comment ceux-ci sont obtenus, et comment nous sommes assurés qu’ils sont légitimes. Or, c’est là une question extra-logique.

Pourra-t-on du moins soutenir qu’une fois les premiers axiomes posés, toutes les mathématiques se font avec des définitions et des raisonnements analytiques ? Henri Poincaré ne pouvait l’admettre, lui qui avait mis en évidence le caractère synthétique du type de raisonnement spécialement mathématique : le raisonnement récurrent ou induction complète. C’est le principe de cette induction qui est, selon Poincaré, la pierre d’achoppement des panlogiciens ; certains prétendent s’en passer ou le considérer comme une définition. D’autres veulent le démontrer. Contre les uns et les autres, Poincaré maintient la spécificité du principe de l’induction complète^[20] ; et en cherchant à éclaircir les difficultés auxquelles ont donné lieu, récemment, la théorie des ensembles et la logique de l’infini, il est amené à souligner de plus en plus le rôle joué par ce principe. En somme, déclare Poincaré, il n’y a de science que du fini ; un objet qui ne pourrait être défini par un nombre limité de mots serait un pur néant, et les théories où il est question de l’infini actuel ne sont qu’une traduction, dans un langage commode, de certaines propriétés des quantités finies. Néanmoins, les mathématiciens ont en eux le pouvoir de s’élever au-dessus des combinaisons limitées qui ressortissent à la logique, et de raisonner sur l’infini virtuel : et ce pouvoir, c’est l’induction complète qui le leur donne.

⁂

Tandis qu’il discutait avec les logiciens, une remarque s’imposait de plus en plus à Henri Poincaré. L’erreur des panlogiciens provient de ce qu’ils ne veulent raisonner que sur la science déjà faite. Or, la science la plus instructive pour le philosophe, c’est la science qui se fait ; si nous voulons connaître les caractères les plus profonds de la pensée mathématique, c’est au moment de l’invention qu’il faut la saisir.

Poincaré ne s’était guère préoccupé du problème de l’invention darce ses premiers écrits, et nous comprenons facilement pourquoi. Il voulait faire de la critique objective, il voulait rester placé sur le terrain des faits scientifiques. Or, quoi de plus individuel, quoi de plus fuyant que l’invention ? Lorsque pour la première fois, dans une conférence faite à l’Institut psychologique en 1908, Poincaré aborda en face l’étude de cette faculté mystérieuse, il voulut donner aux remarques qu’il présentait un caractère personnel, pour ne pas dire auto-biographique. Il hésitait à généraliser ses observations, qui, disait-il, restaient malgré tout bien hypothétiques, aussi bien ne lui était-il pas possible de les expliquer complètement. À la suite d’un long travail inconscient ou subconscient, dit Poincaré, l’idée décisive jaillit tout à coup comme un éclair et elle s’impose immédiatement avec une certitude absolue. Pourquoi ? Comment ? Nous l’ignorons. Le psychologue doit se contenter de donner un nom à cette vision instantanée de l’esprit qui se manifeste dans l’invention : il l’appelle « intuition ». Cependant le mot « intuition » est ambigu. Henri Poincaré lui-même ne l’a pas toujours employé dans le même sens. L’intuition dont il parlait naguère était le plus souvent une intuition des sens, ou tout au moins de l’imagination, intuition qui ne peut nous donner ni la rigueur, ni même la certitude^[21]. Klein est un intuitif parce qu’il s’aide du geste pour penser ; il voit, il cherche à peindre. Hermite, au contraire, est du côté des logiciens avec Méray et Weierstrass. Poincaré nous avertit, il est vrai, qu’il existe une autre intuition que celle des sens ou de l’imagination : l’intuition du nombre pur ; mais il ne s’y arrête point dans ses premiers écrits.

Il y devait, cependant, revenir plus tard, et avec une grande insistance. C’est de l’intuition pure, c’est de l’intuition suprasensible qu’il veut parler lorsqu’il déclare que la logique ne peut rien sans le secours de l’intuition, que l’intuition est l’instrument essentiel de la pensée mathématique. Et alors, il est conduit à modifier sa classification primitive des mathématiciens ; il rangera désormais Hermite parmi les intuitifs, parmi ceux qui savent le mieux utiliser cette faculté de vision intellectuelle dont Platon déjà affirmait l’existence^[22].

Telles sont les vues qu’Henri Poincaré exprime avec une netteté de plus en plus grande dans ses derniers écrits. Il renonce à la certitude objective pour pénétrer plus avant dans le secret de la genèse des mathématiques. Déjà il avait tenté d’expliquer l’origine psychologique et physiologique de notre notion d’espace. Il cherche maintenant comment nous prenons possession des notions de l’analyse pure.

L’importance de ces dernières spéculations d’Henri Poincaré n’échappera pas au monde philosophique. À première vue, on pourrait être tenté de croire que Poincaré a surtout été un négateur. Il a montré avec beaucoup de force comment les opinions classiques sur la science sont contredites par les faits. Mais sa doctrine positive est-elle suffisamment complète ? Quelle idée doit-on se faire de ces principes scientifiques qui ne sont pas empiriques, mais sont néanmoins tirés de l’expérience qui ne sont pas synthétiques a priori, mais sont néanmoins créés par l’esprit, qui ne sont pas des définitions arbitraires, mais sont néanmoins des conventions ? Il était inévitable que Poincaré fût sollicité de préciser sa pensée. C’est ainsi qu’il a été amené à formuler — plus explicitement qu’il ne l’avait fait tout d’abord — ses idées sur l’intuition.

Henri Poincaré serait-il allé plus loin dans cette voie ? Aurait-il tenté de donner à sa philosophie de nouvelles bases psychologiques et même métaphysiques ? Cela est possible, cela est probable. Et cependant, telle qu’elle est, son œuvre se suffit : elle pose des points d’interrogation, mais, toutes les fois qu’elle affirme, il semble bien qu’elle puisse défier la critique et le temps, car elle s’appuie directement sur les faits. Grâce à la sûreté de sa méthode, Poincaré n’a jamais eu à revenir en arrière. Les philosophes ont eu beau inventer de nouveaux systèmes, et les savants découvrir de nouveaux phénomènes, il a pu rester sur ses positions, et sa doctrine n’a évolué que pour s’enrichir. Bien qu’il ne soit plus là, hélas ! pour la défendre, elle résistera sans nul doute aux assauts que lui réserve l’avenir.

Pierre Boutroux

1. L’essentiel de cette œuvre se trouve dans les volumes qu’a publiés la Bibliothèque de philosophie scientifique : Science et hypothèse (1902), La valeur de la science (1905), Science et méthode (1908), Dernières Pensées (1913).
2. H. Poincaré, Notice sur ses travaux scientifiques, mise à jour en 1902. Cette nouvelle rédaction de la notice d’Henri Poincaré est encore inédite. Elle paraîtra prochainement dans les Acta Mathematica.
3. Nous raisonnons ici comme si l’espace était absolu. Mais ce n’est là, comme nous le verrons plus loin, qu’une convention de langage, une manière de s’exprimer.
4. Helmholtz, on le sait, a soutenu une thèse analogue.
5. On dit qu’un ensemble déterminé de mouvements constitue un groupe, si toute combinaison de deux d’entre eux, équivaut à un mouvement unique faisant également partie de l’ensemble.
6. Ce raisonnement est souvent appelé aujourd’hui « induction complète ».
7. À la question que nous indiquons ici s’en rattache une autre plus générale. La science que considère Poincaré est uniquement, remarquons-le, celle à laquelle on peut donner la forme mathématique. Et, dès lors, un problème préliminaire se pose. Pourquoi les mathématiques sont-elles applicables à l’étude des phénomènes physiques ? C’est là, évidemment, un fait ; mais comment s’explique ce fait ? Henri Poincaré a traité cette question dans un mémoire présenté au Congrès international de Physique, en 1900. La physique mathématique est possible, dit-il, parce qu’il y a dans la nature de l’unité, de la simplicité et de la continuité. Ces trois caractères se manifestent dans les phénomènes que nous réussissons à observer. La croyance nait alors en nous qu’ils se retrouveront également dans les phénomènes non encore observés ; et c’est sur cette croyance qu’est fondée notre science. — Pour mieux comprendre la pensée d’Henri Poincaré sur ce point, nous pouvons la rapprocher de la remarquable théorie du hasard qu’il a exposée en 1907 (Revue du Mois, mars 1907, et La Valeur de la Science, chap. IV). L’homme attribue au hasard les événements qui sont produits par des causes très petites ou très complexes. Mais comment se fait-il que le hasard ait des lois ? Il n’y a pour cela aucune raison a priori. Si nous pouvons construire une science du hasard et l’étudier par le calcul, c’est parce que nous commençons par admettre que la probabilité d’un événement déterminé est une fonction continue de cet événement, et que, par conséquent, si l’événement varie très peu, sa probabilité varie également très peu ; deux événements très voisins l’un de l’autre sont à très peu de chose près également probables. Ainsi, ici encore, c’est la croyance à la continuité des phénomènes qui est à la base de la théorie édifiée par les savants ; et cette croyance est fondée sur l’expérience, quoiqu’elle ne soit pas prouvée par elle.
8. Des fondements de la géométrie à propos d’un livre de M. Russell (Revue de métaphores. et de Moi., 1899).
9. Voir, par exemple, Science et méthode, liv. II, ch. I. Nous reviendrons tout à l’heure sur la genèse de la notion d’espace. Nous ne parlerons actuellement que des concepts spécialement géométriques qui se greffent sur cette notion générale.
10. Il s’agit ici de la relativité que Poincaré a appelée physique dans ses dernières conférences (voir Scientia, septembre 1912 ; Cf. Dernières pensées, p. 42 et suiv.). La relativité à laquelle nous avons fait allusion ci-dessus à propos du livre de Russel sur les fondements de la géométrie, et dont il sera de nouveau question tout à l’heure, est une relativité beaucoup plus générale, que Poincaré appelle relativité psychologique.
11. Cf. Science et hypothèse, chap. VI.
12. La Valeur de la science, p. 175.
13. L’étude critique du principe de relativité pose une question délicate dont Henri Poincaré a fait une étude spéciale (Mémoire présenté au Congrès de philosophie, 1900, et Science et hypothèse, chap. VII). Ce principe, en effet, se heurte à d’assez graves difficultés au sein même de la mécanique rationnelle. Si, par exemple, nous faisons abstraction des corps célestes et étudions en eux-mêmes les mouvements terrestres, il semble que ces mouvements ne devraient pas dépendre du mouvement absolu, par conséquent de la rotation. de la terre : or, ils en dépendent ; faut-il donc abandonner le principe de relativité et admettre, comme Newton, que l’existence de l’espace absolu peut être démontrée ? Poincaré montre que la difficulté n’est qu’apparente et que la déduction de Newton n’est point rigoureuse. Sans doute, diverses considérations pratiques incitent les mécaniciens à raisonner et à calculer comme s’il existait un espace absolu ; mais ce n’est là qu’une hypothèse commode, et une hypothèse qui, au point de vue purement philosophique, n’est point même, semble-t-il, la plus satisfaisante qu’on puisse faire.
14. La Valeur de la science, p. 207.
15. Le premier article d’Henri Poincaré sur l’espace, légèrement remanié, est devenu le chapitre IV de Science et hypothèse. À ce chapitre font suite les chapitres III et IV de La Valeur de la science et le chapitre Ier de Science et méthode.
16. La Valeur de la science, p. 69 et suiv. ; Rev. de métaphore., 1912, p. 488 et suiv.
17. Relativité psychologique (vide supra p. 231, note 1)
18. La Valeur de la science, chap. II.
19. L’Espace et le temps, appui Scientia, septembre 1912, p. 170.
20. Il ne nous est pas possible d’entrer dans le détail de l’argumentation d’Henri Poincaré. Une grande partie de cette argumentation n’a d’ailleurs plus qu’un intérêt historique, car ceux contre qui elle est dirigée — Russell en particulier, — ont modifié leurs théories. Après Russell, ce sont principalement Hilbert et Zermelo qui sont visés par Poincaré.
21. La Valeur de la science, p. 17.
22. Cf. La Logique de l’infini apud Scientia, juillet 1912.