Germain de Montauzan - Les Aqueducs antiques/Chapitre 5 - §2

Camille Germain de Montauzan

Les Aqueducs antiques de Lyon : étude comparée d'archéologie romaine (1908)

Leroux (p. 371-390).

§ II. — Mesure du débit et de la distribution.

Avant de chercher à évaluer approximativement le débit des divers aqueducs lyonnais décrits, il est bon de rappeler comment les Romains déterminaient eux-mêmes et calculaient pour chaque usage le débit de toutes les branches d’une canalisation ramifiée presque à l’infini.

Divers systèmes modulaires. — Les modules, ou unités de mesure des eaux, étaient établis d’après l’unité de section des tuyaux de conduite, suivant ce que dit expressément Frontin^[1]. Les unités fondamentales étaient primitivement le doigt et l’once, le doigt étant la seizième partie du pied^[2] et l’once la douzième. On distinguait la section carrée et la section ronde, et l’unité de section était celle qui avait l’unité de longueur pour côté ou pour diamètre. Frontin note en passant la différence entre les deux sections, et son calcul est juste^[3].

Une, autre espèce d’unité de section, dit Frontin, fut inaugurée, soit par Agrippa, soit par l’architecte Vitruve^[4], et devint bientôt le module le plus usuel : ce fut le quart de doigt. Mais le tuyau le plus petit façonné d’après cette unité fut le quinaire, dont le diamètre était de cinq unités, soit cinq quarts de doigt. Le tuyau de six quarts de doigt fut appelé sénaire, celui de sept quarts le septénaire, et ainsi de suite jusqu’au vicenaire, d’un diamètre égal à vingt quarts de doigt, soit à cinq doigts^[5].

A partir du vicenaire, la section des tuyaux fut évaluée, non plus par le nombre de quarts de doigt que mesurait le diamètre, ni par le nombre de quinaires contenus dans cette section, mais par le nombre de doigts carrés qu’elle comprenait. Le tuyau dont l’aire contenait 25 doigts carrés fut appelé tuyau de 25 (vicesimum quinum), et ainsi de suite, le trentenaire contenant 30 doigts carrés, jusqu’au tuyau de 120 doigts carrés (centenum vicesimum).

Le tuyau vicenaire empruntait son nom aux deux manières de compter. En effet, un cercle, de 20 doigts carrés et un cercle de 20 quarts de doigt ou 5 doigts de diamètre donnent deux surfaces à peu près égales, la première étant un peu plus grande^[6].

Il y avait, en tout, vingt-cinq modules, dont sept avant le vicenaire, et les autres obtenus en comptant de 5 en 5 depuis

TUYAUX	DIAMÈTRE DE FRONTIN	Réduction en décimales	PÉRIMÈTRE DE FRONTIN	CAPACITÉ DE FRONTIN	Réduction en décimales	section en doigts carrés		DIAMÈTRE DE FRONTIN
Quinaria . . . . . .	Digitum i, quadrantem	1.250	Digitos iii, denncem, scripula iii	Capit quinariam unam	1.000	1.222	Les noms des tuyaux expriment les quarts de doigt de diamètre	In usu non est.
Senaria . . . . . .	Digitum i, semis	1.500	Digitos iv, bessem, semi-unciam, scripula ii	Quin i, quincuncem, scripula vii	1.368	1.756
Septenaria . . . .	Digitum i, dodrantem	1.750	Digitos v, semis	Quin i, deuncem, semiunciam	1.961	2.406
Octonaria . . . .	Digitos ii, . . .	2,000	Digitos vi, quadrantem, scriptula x	Quin ii, semis, semiunciam, scripula v	2.361	3.143
Denaria . . . .	Digitos ii, semis	2.500	Digitos vi, dextantem, scripula vii	Quin iv	4.000	4.910
Duodenaria . . . .	Digitos iii	3.000	Digitos ix, quincuncem, scripula iii	Quin v, dodraniem, scripula iii	5.760	7.071		In usu non est : alia apud aquarios habebat diametri digitos iii, semiunciam, scripula vi, capacitatis, qumarias vi.
Quinum denum . .	Digitos iii, dodrantem	3.750	Digitos xi, dodrantem, scripula x	Quin ix	9.000	11.049
Vicenaria . . . .	Digitos v	5.000	Digitos xv, dextantem, scripula vi	Quin xvi, quadrantem, semiunciam	16.291	19.625		apud aquarios habebat diametri digitos iv, semis, capacitatis quinarias xiii.
						20.000
Quinum denum . .	Digitos iii, dodrantem	3.750	Digitos xi, dodrantem, scripula x	Quin ix	9.000	11.049

celui-ci jusqu’au module de 120 doigts carrés. Frontin indique leur valeur en fonction du diamètre, du périmètre et du nombre de quinaires qu’ils représentent^[7]. Le tableau de la page 329. permettra d’avoir une vue d’ensemble sur la valeur de ces divers modules. Il est emprunté à l’ouvrage de M. Lanciani^[8].

Le grand défaut de ce système résidait dans le changement d’unité à partir du vicenaire, et l’anomalie est d’autant plus évidente que c’était toujours par le nombre de quinaires que les débits s’évaluaient, malgré le nom chiffré des tuyaux. C’était une source continuelle d’erreurs et de fraudes. Les fontainiers profitaient de la confusion pour diminuer ou augmenter, suivant leur intérêt, le diamètre des tuyaux les plus usuels. Comme l’eau arrivait aux châteaux secondaires généralement par des tuyaux de 100 et de 120, ils en augmentaient un peu le diamètre, tandis qu’ils diminuaient, celui du vicenaire. Recevant ainsi plus qu’ils ne distribuaient aux concessionnaires légitimes, ils vendaient le surplus à leur profit, comptant sur l’excuse de l’erreur s’ils étaient pris en faute. Nous verrons plus loin qu’on prit contre ce genre de fraude des mesures sévères.

Evaluation du quinaire, unité modulaire de Frontin. — Reste à expliquer comment le quinaire, qui n’apparaît, d’après le texte de Frontin, que comme une mesure de surface, ou si l’on veut, de section tubulaire, et non comme une mesure de capacité, servait à évaluer le débit.

Des tubes de prise d’eau, en bronze^[9], dont les centres étaient placés sur une même ligne horizontale, traversaient la paroi de chaque château d’eau. Ces tubes, nommés calices, étaient de modules définis divers, d’après le système du quinaire, qui vient d’être exposé. Ils se continuaient par des tuyaux de plomb, qui allaient, comme il a été dit aussi, soit aux établissements de César ou du public, soit aux châteaux d’eau privés. Là, nouvelle distribution, avec calices du même genre, chaque abonné ayant le sien, à la suite duquel s’adaptait le tuyau de plomb aboutissant à son domicile^[10].

Or, il n’y a pas bien longtemps de cela, au milieu du siècle dernier, la manière de mesurer et de distribuer l’eau dans nos villes et notamment à Paris, était, à ce qu’il semble au premier abord, fort assimilable à ce procédé romain, sauf que l’on n’employait qu’un seul module, le pouce d’eau ou pouce de fontainier. Chaque tuyau de prise d’eau était d’un pouce de diamètre (0^m, 2707) ; tous étaient rangés sur une même ligne de niveau et perpendiculaires à la face du château d’eau auquel ils étaient adaptés. Il fallait que le bord supérieur de chaque orifice fût à une ligne seulement (1/12 de pouce, 0^m, 00226) au-dessous du niveau de l’eau dans le réservoir. Le centre était donc à 7 lignes au-dessous de cette surface. Dans ces conditions, le produit de cet orifice (du pouce d’eau), était de 672 pouces cubes par minute, soit environ 13 litres.

On avait un moyen de distribuer l’eau régulièrement, sans que la longueur du tuyau de conduite ni son diamètre pussent influer sur la quantité d’eau distribuée par les petits tuyaux à pouce d’eau servant de jauge. L’eau tombait à gueule bée dans des cases qui recevaient un nombre de polices d’eau déterminé pour chacune, c’est-à—dire que dans chacune d’elles se déversaient un ou plusieurs des petits tuyaux. Au fond de ces cases étaient soudés les tuyaux qui menaient l’eau à sa destination^[11]. Le château d’eau était divisé en deux compartiments par une cloison qui s’opposait au courant de l’eau. Cette cloison ne touchait pas le fond du réservoir, en sorte que l’eau passait, en remontant sans agitation, du premier compartiment dans le second où étaient les tuyaux de jauge. Opinions opposées de Rondelet et de Belgrand. — Or, pouvons-nous assimiler vraiment la distribution romaine à celle-ci ? Rondelet prétend que oui et Belgrand soutient le contraire. D’après ce dernier, les calices ne pouvaient être des orifices de jauge. Cela viendrait de ce que les Romains n’avaient pas trouvé, pour régulariser le débit, la modification bien simple appliquée dans les châteaux d’eau modernes et qui consiste, non seulement à soumettre ces calices à une charge déterminée et constante, mais encore à les faire déboucher à l’air libre, dans ces cases dont l’usage vient d’être expliqué.

« La conduite de distribution chez les Romains, dit Belgrand^[12], étant adaptée à l’extrémité du calice et se prolongeant sans solution de continuité jusqu’au domaine du concessionnaire, le produit d’un module était déterminé, non pas seulement par son diamètre, mais encore par le diamètre de la conduite d’eau qui y faisait suite, par la longueur de cette conduite, et par la différence de niveau qui existait entre le plan d’eau du château d’eau et le centre de l’orifice de sortie chez le concessionnaire. Le volume d’eau que recevaient les concessionnaires avec le même calice, variait avec ces quatre éléments. »

Belgrand estime donc qu’en raison des grandes différences de dénivellations et de longueurs de conduites dans les canalisations dépendant d’un même château d’eau, l’adaptation des calices sur une même ligne horizontale ne pouvait que très imparfaitement régulariser le débit. « Cette disposition, ajoute-il, était néanmoins indispensable. Si les calices avaient été posés à des niveaux différents, les plus élevés auraient pu n’être plus couverts d’eau en temps de sécheresse, et, par conséquent, n’auraient plus rien débité, tandis que les autres auraient fourni presque le même volume d’eau. »

D’ailleurs, une remarque de Frontin lui-même montre bien qu’il se rendait compte de la variation de débit suivant la différence de niveau.

« Meminerimus omnem aquam, quoties ex altiore loco venit, et intra breve spatium in castellum cadit, non tantum respondere modulo suo, sed etiam insuperare. Quoties vero exhumiliore, id est minore pressura, longius ducatur, segnilia ductus modum quoque deperdere ; ideo secundum hanc rationem, ant onerandam esse erogationem, aut relevandam^[13].  »

Les raisons de Belgrand se confirment par le rappel d’un autre passage de Frontin^[14] d’où il ressort avec évidence que le calcul fait par le curateur romain du nombre de quinaires qu’apportait l’aqueduc Appia ne tient aucun compte de la vitesse d’écoulement de l’eau et prouve, par suite, le peu de précision que comportait cette unité de mesure, en tant que mesure de débit.

« Cependant, m’étant transporté aux Gémelles…, j’ai trouvé que la venue d’eau qui coulait dans l’aqueduc avait 1 pied 3/4 (0^m, 51968) de largeur sur 5 pieds (1^m, 4848) de hauteur, ce qui donne une superficie de 8 pieds 3/5 (0^m2, 77162) ou de 2.240 doigts carrés, qui font 1.825 quinaires. »

En effet, en divisant la section fluide 0^m2, 77162 par 0^m2, 000423, section de l’orifice du quinaire, on trouve bien pour quotient 1.820. Donc, dans l’équation Q = Ω V, qui exprime le débit, le second terme V est supposé égal à l’unité, quelle que soit la mesure prise. Ainsi Q est dans ces évaluations un chiffre absolument fictif.

Voyons, d’autre part, quel est le raisonnement de Rondelet.

Il compare^[15] le tuyau quinaire au tuyau de jauge de Rome usité de son temps (vers 1829), l’once d’eau, et remarque que le diamètre de ce tuyau est d’une once et sa longueur de 15 onces ; de plus, que le centre de l’orifice est à 15 onces au-dessous de la superficie de l’eau du réservoir. Dans la conviction que cette égalité entre la longueur du module et la hauteur d’eau au-dessus de son centre provient des traditions antiques, il suppose que, puisque Frontin assigne 12 doigts à la longueur des calices, la hauteur d’eau au-dessus de leurs centres était aussi de 12 doigts. Dès lors, en supposant cette hauteur constante et en ne tenant pas compte des tuyaux adaptés aux calices, le quinaire donnerait par seconde o lit.,693, soit 60 mètres cubes par 24 heures environ^[16].

Or, il faut observer que Frontin ne dit rien de cette hauteur d’eau au-dessus du centre des orifices, et de plus, qu’il donne pour les modules la longueur de 12 doigts comme un minimum^[17], et non comme une dimension fixe. L’hypothèse pèche donc par la base. Et d’ailleurs d’autres raisonnements formulés par Rondelet dans la suite de son ouvrage, montrent qu’il se rendait compte lui-même de la fragilité de celle-ci^[18]. On ne saurait donc se fonder sur un résultat ainsi obtenu.

Essai d’évaluation a posteriori, et par les formules usuelles. Valeur moyenne. — Mais ne peut-on arriver à calculer la valeur du quinaire en prenant le nombre de quinaires indiqué par Frontin pour le débit de l’un des aqueducs, et en comparant ce chiffre à celui qu’on obtient par l’évaluation ordinaire : multiplication de l’aire de la section mouillée par la vitesse d’écoulement ? Un maximum de vitesse de la Marcia a été calculé dans un des chapitres ci-dessus^[19] pour une section mouillée de 1^m,70 de large sur 0^m,60 de hauteur d’eau^[20], non loin de la source, avec la pente de 2 mètres environ, adoptée par Rondelet. Cette vitesse serait de 2^m,30. Dans ces conditions, le débit serait :

1^m,70 × 0^m,60 × 2^m,30 = 2.346 litres,

soit 2 mètres cubes, 346 litres par seconde, et par 24 heures 202.694 mètres cubes. Or, d’après Frontin, le débit de la Marcia à l’origine est de 4.690 quinaires. Le quinaire représenterait donc, par seconde ${\tfrac {2.346litres}{4.690}}=0lit.,500$ par seconde, et par 24 heures 43^m3,200.

J’ai déjà fait observer^[21] que le nivellement, de Rondelet entre les sources et Tivoli donnait une pente moyenne bien trop forte, parce qu’il n’avait pas tenu compte des chutes ; la vitesse de 2^m,30 est donc un maximum qui n’a certainement pas été atteint. Il en résulte que le chiffre de 0 lit.,500 pour le quinaire est trop fort et à plus forte raison celui de 0 lit.,693, que donnait Rondelet. C’est par ses propres données qu’il est convaincu d’erreur.

Les calculs du colonel Blumensthil, constructeur de l’aqueduc Marcia nouveau, et premier directeur de la Compagnie des Eaux Pia Marcia, donnent pour le quinaire une valeur encore bien plus faible que o,500. Il a évalué le débit dans une section connue, par la formule de Darcy et Bazin^[22]. Les restes de l’aqueduc Marcia, dit-il, sont assez bien conservés pour permettre de mesurer avec exactitude la section et la pente. Le périmètre mouillé se déduit avec une suffisante précision de la hauteur des incrustations. Ces éléments ainsi déterminés, si l’on suppose qu’au temps de Frontin l’aqueduc était en parfait état ; si l’on prend pour le niveau de l’eau la ligne la plus élevée des incrustations à un mètre au-dessus du radier ; si l’on adopte aussi la pente moyenne de 0^m,46 pour 800 mètres, on aura pour vitesse d’écoulement, d’après la formule^[23] :

$V=63,25{\sqrt {\tfrac {LHl}{L+2H}}}$

$=63,25{\sqrt {\tfrac {1.50*1.00*0.46}{3.50*800}}}$

$=63,25*0.0155=0.987$

L étant la largeur du canal, 1^m,50, H la hauteur de l’eau, 1 mètre, et I la pente par mètre $={\tfrac {0.46}{800}}$

La vitesse était donc sensiblement de 1 mètre par seconde. En multipliant 0,987 par la section mouillée 1^m,50, on obtient pour le débit 1.480 litres à la seconde, ce qui, mis en regard du chiffre de Frontin, 4.690 quinaires, donne pour le quinaire 0 lit.,315 et 27.216 mètres cubes par 24 heures.

Cette fois, le chiffre paraît un peu faible, ce qui est dû, je crois, à la valeur réduite du coefficient C. Si, comme le dit Blumensthil, l’aqueduc doit être considéré comme en parfait état au temps de Frontin, il faudrait plutôt prendre le coefficient des parois très lisses donné par les tables pour un rayon moyen de 0^m,44 $={\tfrac {1.50}{3.50}}$

Ce coefficient est, d’après les tables de Bazin, de 79 à 80, et non 63,25. La vitesse est alors de 1^m,24, le débit de 1.870 litres par seconde, et la valeur du quinaire de 0 lit.,396, soit 34^m3,216 par 24 heures.

Donc, en raison de la différence arbitraire d’appréciation sur ce coefficient, de même qu’en raison de la hauteur d’eau variable dans le canal, on ne saurait fixer de valeur absolue pour le quinaire par le moyen de cette formule. Cette valeur oscillerait entre 0 lit.,300 et 0 lit.,400 par seconde.

D’autre part, bien que Frontin ne donne théoriquement au quinaire qu’une valeur d’unité de surface, il est bien évident que pour lui et pour tous ceux à qui il s’adressait, ce mot représentait une certaine moyenne de débit. Il dit d’ailleurs expressément : « Omnis autem modulus colligitur aut diametro, aut perimetro, aut areae mensura : ex quibus et capacitas apparet^[24]. »

Lui-même nous fait comprendre qu’il n’effectuait, ses opérations de jaugeage qu’aux points où la vitesse n’était ni trop lente ni trop rapide. Il déclare n’avoir pu mesurer l’eau Virgo à son point de départ, parce qu’elle y coule trop lentement^[25] ; il insiste à plusieurs reprises sur les mesures prises aux piscines, vers le vii^e milliaire de la voie latine : « Modus mensuris posilis.., manifestis mensuris.., » initur^[26]. » Là, on pouvait régler à volonté la vitesse du courant à travers les jauges, et la rendre moyenne par conséquent. Il est donc très légitime, pour obtenir la valeur moyenne du quinaire telle qu’elle apparaissait à Frontin, de multiplier cette surface unité par une vitesse moyenne. En doigts carrés, elle est de 222, ce qui équivaut, en système métrique à 418 millimètres carrés. Or, si nous considérons, d’après l’usage courant, la vitesse moyenne comme comprise entre 0^m,75 par seconde et 1 mètre, le quinaire moyen sera compris entre ^m2,000418 × 0^m,75 et 0^m2,000418 × 1 mètre, soit entre 0 lit., 313 et 0 lit.,418 par seconde, ce qui est précisément, la moyenne trouvée tout à l’heure par les formules.

Nous pouvons donc définitivement adopter pour valeur moyenne du quinaire 0 litre, 350 par seconde, et par 24 heures 30^m3,240, soit trente mètres cubes en chiffre rond, moitié de la valeur indiquée par Rondelet.

Par suite, en prenant les chiffres de Frontin, nous aurons, pour la quantité d’eau distribuée en moyenne par 24 heures^[27], dans Rome ou hors de Rome :

Anio vetus . . .    4.398 quinaires   131.940 mètres cubes.
Appia . . . . . . .   1.825     ——       54.750      ——
Marcia . . . . . . .  4.690     ——     140.700     ——
Tepula et Julia .   1.368      ——      41.040     ——
Virgo . . . . . . . .  2.004     ——       70.120     ——
Alsietina . . . . . .   392^[28]   ——       11.760     ——
Claudia . . . . . .   4.607     ——     138.210     ——
Anio novus . . . .  4.738     ——     142.140     ——
                        24.522 quinaires   735.660 mètres cubes.

Procédés employés à Rome pour régulariser la distribution. — Belgrand fait un certain nombre de remarques des plus justes sur la variation du débit suivant les saisons, et suivant la situation des usagers par rapport au château d’eau.

« La hauteur du plan d’eau au-dessus de la ligne des centres des calices était nécessairement variable, et plus grande en temps de hautes eaux qu’en temps de sécheresse extraordinaire… Ces petites variations de niveau n’avaient pas une action bien sensible sur les débits tant que les calices ne se découvraient pas, parce que les vitesses d’écoulement sont proportionnelles à la racine carrée des charges ; par exemple, le volume d’eau reçu par l’usager dont l’orifice de sortie était à 2 mètres au-dessous du plan d’eau moyen du château d’eau, variait de 5 % à peine, lorsque ce plan d’eau s’élevait ou s’abaissait de 10 centimètres. Il en était de même lorsque les bords des calices commençaient à se montrer : un petit abaissement ne diminuait pas considérablement le débit de la prise d’eau… Les centres des orifices étant sur la même ligne horizontale, les premiers calices qui paraissaient au—dessus de l’eau, en temps de sécheresse extraordinaire, étaient ceux d’un grand diamètre… Dans ce cas, les grands usagers étaient les premiers à souffrir ; les diminutions relatives des débits des divers modules n’étaient sans doute pas très importantes, mais enfin la quantité d’eau reçue par les petits concessionnaires était un peu moins variable ; ils étaient mieux protégés^[29]. »

Certain règlement était aussi une mesure de protection en faveur des petits concessionnaires en même temps qu’une précaution contre un usage de l’eau excédant la valeur nominale de la concession. Je veux parler du sénatus-consulte cité par Frontin, et qui eut pour but de diminuer l’influence du diamètre de la conduite adaptée au calice et conduisant au domaine de l’usager. Toute conduite dut désormais être établie, sur une longueur d’au moins 50 pieds (14^m, 85) à partir du calice, avec le même diamètre que celui-ci^[30]. Au delà, l’on pouvait prolonger sa conduite avec tel diamètre qu’on voulait. Un tube de forte dimension adapté tout de suite au calice avait forcément pour résultat d’augmenter le débit ; cette augmentation au contraire devenait insignifiante, quand le grossissement de section se produisait à cette distance d’une quinzaine de mètres. Ainsi l’État se protégeait contre une manœuvre abusive, et protégeait en même temps les petits usagers qui ne pouvaient faire comme les riches une forte dépense de tuyaux.

En somme, pour résumer tout ce qui vient d’être dit, la valeur nominale d’une concession dans les distributions d’eau romaines ne correspondait pas à un volume d’eau par jour absolument fixe. Le débit général variant dans le cours de l’année, tous les débits partiels variaient en conséquence. D’autre part, les volumes d’eau pour deux concessions de même valeur nominale variaient dans une certaine mesure tenant à la situation de l’usager par rapport au château d’eau. L’habileté de l’ingénieur qui établissait le réseau consistait donc à relier les châteaux, soit entre eux, soit avec les divers établissements publics et les divers domiciles, de manière à compenser toutes ces inégalités^[31]. Ainsi devait se faire l’équilibre entre les quinaires fournis par l’aqueduc et les quinaires distribués.

Tel était le principe appliqué à Rome ; tel fut probablement celui qu’on suivit à Lyon. Nous ne savons pas d’ailleurs si les modules y étaient les mêmes qu’à Rome, si l’on comptait, d’après le système du quinaire, ou d’après tout autre système local. Aucune mention n’existe sur les tuyaux retrouvés, soit à Rome, soit ailleurs, qui permette de déterminer à quel ordre de mesures légales se rapporte leur capacité^[32]. Il est bien intéressant toutefois de remarquer que, le plus petit module usuel à Rome étant le quinaire, le moindre concessionnaire recevait en moyenne ses 30 mètres cubes d’eau par jour, et au minimum 20 à 25^[33]. Enfin, la faculté de puiser à toutes les fontaines publiques donnait au peuple l’eau à discrétion. La connaissance exacte du débit des aqueducs de Lyon nous permettrait de dire si l’on y distribuait l’eau avec autant de largesse.

Calcul du débit des aqueducs de Lyon. — Nous ne pouvons déterminer ce débit directement par la mesure du périmètre mouillé et de la pente, car le premier de ces éléments ne peut être précisé en aucun point des quatre aqueducs. Nulle part, même à l’aqueduc du Mont-d’Or, les dépôts ne se voient assez nettement le long des parois pour que l’on puisse estimer ainsi la hauteur moyenne de la tranche d’eau.

1^o Pour l’aqueduc du Gier. — Mais il existe heureusement, au moins pour l’aqueduc du Gier, un autre procédé de calcul, que les aqueducs de Rome ne permettaient pas d’employer. C’est celui qui ressort de l’étude des conditions d’écoulement dans les siphons. Un de ces siphons, celui de Soucieu, est en effet suffisamment conservé dans ses éléments essentiels pour que l’on puisse établir la formule d’usage.

Cette formule est celle de Prony, concernant le mouvement permanent de l’eau dans un tuyau de conduite. Elle a été très heureusement appliquée ici par Gasparin^[34], dont je me suis contenté de refaire le calcul.

V étant la vitesse inconnue, D le diamètre de la conduite, L sa longueur, J la perte de charge par unité de longueur, a et b des coefficients déterminés par l’expérience, on a :

$aV+bV^{2}=1/4DJ$

Or, $a=0,0000173$

$b=0,000348$

D, diamètre intérieur adopté par Gasparin, est de 0^m,196, chiffre qui diffère assez peu de celui que nous avons trouvé^[35] 0^m,198, pour que ce très léger écart soit insignifiant dans le résultat.

J s’obtient en divisant par L la différence de niveau Z entre l’entrée et la sortie de l’eau, augmentée de la différence H—H’ des charges sur l’entrée et la sortie des orifices.

$J={\tfrac {1}{4}}D{\tfrac {Z+H-H'}{L}}$

J = 8^m,844   L = 1204^m

et l’équation (1) devient

$0,0000173V+0,000348V^{2}={\tfrac {1}{4}}*0.196*{\tfrac {8.844+H-H'}{1204}}$

Les hauteurs H et H’ ne sont pas connues a priori ; mais on peut déterminer un minimum et un maximum de débit suivant la valeur minima ou maxima de H — H’.

On peut considérer que le minimum a lieu quand H = H’, la pente étant toujours disposée à la sortie de manière à ce que l’on n’ait pas H' > H. En particulier au siphon de Soucieu, la pente à la sortie du réservoir de fuite est de 0,0015 par mètre, ce qui est très supérieur à la pente moyenne.

Or, en supposant H = H’, nous avons pour le second terme de l’équation la valeur 0,0003599; la valeur correspondante de V tirée des tables de Prony est de 0^m,998. J’admets comme Gasparin la vitesse de 1 mètre pour simplifier les calculs, et le débit d’un tuyau par seconde sera :

${\tfrac {\pi D^{2}}{4}}V=0m^{3},030184$

ce qui donne finalement pour le débit des 9 tuyaux 0^m3,271.056 par seconde au minimum.

Le maximum de débit avait lieu quand l’eau s’élevait à la plus grande hauteur possible dans le réservoir de chasse, c’est-à-dire quand H — H’ était un maximum, H étant limité par la moindre hauteur de la couche de ciment dans le réservoir de chasse et dans l’aqueduc qui y aboutit. Cette moindre hauteur est de 1^m,30. H’ est déterminé par les conditions de l’écoulement dans le canal de fuite. Or, nous avons une première valeur approchée de la quantité d’eau qui passait dans ce canal par la détermination qui vient d’être faite du minimum de débit. Cette valeur est d’environ 0^m3,271 ; le canal a 0^m,57 de largeur, et sa pente à la sortie du réservoir de fuite est 0^m,0015.

Le débit est égal à la section multipliée par la vitesse ; la section est égale à la base multipliée par la hauteur H’ ; on a donc :

$0.57*H'*V=0.271$

$H'V={\tfrac {0.271}{0.57}}=0.4755$

$V={\tfrac {0.4755}{H'}}$

On peut se servir de plusieurs formules pour le mouvement uniforme de l’eau dans les canaux découverts ; la plus usitée est celle de Bazin. Gasparin emploie ici celle de Prony.

(2) $V=aV+bV^{2}=RI$

où R est le rayon moyen $V={\tfrac {\omega }{\chi }}={\tfrac {\text{section}}{\text{périmètre mouillé}}}$, I la pente.

En donnant à a et b les valeurs données par Eytelwein, il vient :

$0,0000242651*{\tfrac {0.4755}{H'}}+0,000365543*{\tfrac {0.4755^{2}}{H'^{2}}}={\tfrac {0.57*H'}{0.57+2H'}}*0.0015$

On en tire l’équation du 3° degré.

$H'^{3}-0.027h'^{2}-0.201H'-0.0551=0$

dont la racine positive est H’= 0,56. La valeur maxima de H — H’ est donc 1^m,30 — 0,56, soit 0,74.

Remettant cette valeur dans la formule du mouvement permanent dans les tuyaux, on trouve au moyen des tables V = 1^m,04, vitesse maxima.

Le débit maximum d’un tuyau est donc :

${\frac {\pi D^{2}}{4}}V'=0^{m^{3}},0314$ ; et pour les neuf tuyaux : $0^{m^{3}},2826$

Le débit minimum d’un tuyau étant 0^m,0302, la différence entre les deux n’est que d’un trentième et l’on peut, avec une grande approximation, adopter le chiffre voisin du maximum, soit 0^m3,280, pour les neuf tuyaux.

Il résulte donc de ce calcul que le siphon de Soucieu, c’est-à-dire l’aqueduc du Gier, débitait par seconde 0^m3,280, soit 24.192 mètres cubes ou en chiffre rond 24.000 mètres cubes par 24 heures^[36], ce qui correspondrait à 800 quinaires, d’après la valeur moyenne de 30 mètres cubes par jour, attribuée ci-dessus à cette unité.

2^o Pour les trois autres aqueducs. — L’eau s’élevait dans le canal à une hauteur plus ou moins grande suivant la pente plus ou moins faible. Gasparin calcule que pour une pente de 0^m,0005 par mètre elle ne s’élevait pas au-dessus de 0^m,96^[37]. Comme à aucun endroit l’enduit de ciment ne descendait au-dessous de 1^m,22, la portée de l’aqueduc était plus que suffisante pour des pentes çà et là encore plus faibles.

La détermination du débit pour les trois autres aqueducs est beaucoup plus difficile, car nous sommes privés du moyen qui nous était offert à l’aqueduc du Gier. Nous ne connaissons pour aucun des siphons interposés sur le parcours de ces diverses conduites le diamètre et le nombre des tuyaux. Comme indices sommaires nous avons, à l’aqueduc de La Brévenne, la largeur du pont-siphon de Grange-Blanche, 8^m,75, et celle du rampant de son réservoir de fuite 6^m,30. Si nous comparons ces dimensions aux largeurs correspondantes du siphon de Beaunant, dont la longueur est à peu près la même, trouvant à ce dernier 7^m,35 et 5^m,35, nous pourrions en conclure pour La Brévenne à un ou deux tuyaux de plus; en supposant, comme il est vraisemblable, les diamètres sensiblement les mêmes, ce nombre maximum de douze tuyaux donnerait, comparé aux dix tuyaux de Beaunant, un surplus de débit d’un sixième, ce qui nous conduirait à 28.000 mètres cubes par 24 heures au lieu de 24.000.

Ce calcul serait confirmé par l’examen de la section et des pentes moyennes dans les fractions du parcours où ne se trouvent pas de chutes, par exemple dans la première, de l’origine à la Valsonnière, où la pente est de 0,0013 à 0,0015, c’est-à-dire un peu supérieure à la pente moyenne de l’aqueduc du Gier, mais avec une largeur sensiblement la même (Voir les profils en long, PL. IV et V, à la fin du volume).

À l’aqueduc de Craponne, les données pour une évaluation du débit sont encore plus vagues, la pente moyenne ne pouvant être évaluée. C’est aussi d’après ce qui reste du siphon qu’on peut essayer de se guider. Le rampant du réservoir des tourillons devait avoir, suivant l’usage, sensiblement la largeur intérieure de ce réservoir lui-même. Celle-ci était égale à la largeur extérieure 4^m,25, diminuée de la double épaisseur des parois. En supposant que cette double épaisseur fût de 1 mètre, nous aurions 3^m,25 pour la largeur du rampant, ce qui équivaut aux 3/5 environ de celle du rampant de Beaunant. Si nous admettons une proportionnalité approximative entre le débit, le nombre des tuyaux et ces largeurs, l’aqueduc de Craponne aurait fourni de 13 à 15.000 mètres cubes par 24 heures.

L’aqueduc du Mont-d’Or n’ayant plus aucun vestige de siphon, c’est sur sa pente et sa section qu’il faut essayer de se fonder. Partant de la cote 350, à la fontaine de Toux, pour arriver à Ecully à la cote 270, il s’abaisse donc de 80 mètres pour un parcours de 22 kilomètres, ce qui fait une moyenne de 4 mètres environ par kilomètre ou 0,004 par mètre^[38]. Le maximum est 0,007. Peut-être y avait-il quelques chutes pour remplacer cette forte pente par une inclinaison plus modérée. Il faut remarquer aussi que la section étant réduite, le rayon moyen est faible, ce qui rachète dans une certaine mesure l’influence de la pente. On a vu que la largeur de cette section était de 49 ou 50 centimètres pour une hauteur pareille sous les dalles de recouvrement. Si l’on admet qu’en temps ordinaire l’eau ne montait nulle part au-dessus de la moitié de la hauteur, le calcul nous donnera, en adoptant la pente moyenne, 14.000 mètres cubes par 24 heures^[39], et si on la suppose partout égale au minimum (0^m,001 à 0,002), 8 à 10.000 mètres cubes. Il faudrait pouvoir s’assurer, par un nivellement opéré sur plusieurs fractions de parcours ininterrompues, si la pente en effet n’est pas partout voisine de ce minimum, la dénivellation étant obtenue par des chutes : car le chiffre de 14.000 est, a priori, bien fort. Mais il n’y a guère moyen de faire cette vérification. La question reste donc incertaine et je doute qu’on puisse jamais la trancher. En résumé, voici quels seraient les volumes d’eau amenés à Lyon par les quatre aqueducs, en 24 heures. Sauf pour l’aqueduc du Gier, ce ne sont que des valeurs approchées :

Aqueduc du Mont-d’Or . . . . . 8 à 15.000 mètres cubes.
     ——    de Craponne . . . . 12 à 15.000       ——
     ——    de La Brévenne . . .28.000         ——
     ——    du Gier . . . . . . . . .24.000         ——

L’ensemble fait une somme de 72 à 82.000 mètres cubes. En fixant la moyenne à 75.000, nous avons de grandes chances d’être dans le vrai. C’est d’ailleurs à cette conclusion que nous étions parvenu déjà par l’étude des conditions hydrologiques de la région lyonnaise^[40].

1. De Aquis, 24.
2. C’est-à-dire 0^m, 0185 ; l’once = 0^m, 02464.
3. Archimède évaluant à 22/7 le rapport de la circonférence au diamètre, on trouve que le carré est bien, comme dit Frontin, de 3/14 de ses parties plus grand que le rond, et celui-ci de 3/11 des siennes plus petit que le carré.
4. Il n’est pas sûr que ce soit l’auteur du célèbre traité. En effet, nous avons vu (p. 179, 180) que Vitruve mesurait les tuyaux d’après la longueur du périmètre, ce qui est un système tout à fait différent. D’après lui, le tuyau cinquantenaire est formé d’une lame qui, avant d’être repliée, a une largeur de 50 doigts et qui, repliée, a par conséquent un périmètre moyen de 50 doigts. « Ex lalitudine autem lamnarum, quot digitos habuerint, antequam in rotundationem flectantur, magnitudinum ita nomina concipiunt fistulae : namque quae lamna fuerit digitorum quinquaginta cum fistula perficielur ex ea lamna, vocabitur quinquagenaria, similiterque reliquae (viii, 7). » Or, si nous nous reportons au tableau ci-contre, p. 329, nous verrons que le périmètre du cinquantenaire, d’après Frontin, est d’un peu plus de 25 doigts seulement.
5. De Aquis, 28. On comptait aussi par le nombre de quinaires que comportait une section (De Aq., 27).
6. En effet, la surface du tuyau de 5 doigts de diamètre est égale à ${\dfrac {\pi *25}{4}}=19.625$. Le tuyau vicenaire calculé d’après l’autre système avait donc un cinquantième de plus environ.
7. De Aquis, 39 à 63.
8. Ouvr. cité, p. 358-359. Ce tableau est fait exactement d’après le texte de Frontin. Je n’ai pas reproduit les chiffres représentant le poids des tuyaux de 10 mètres de long ; aussi bien Frontin ne les donne-t-il pas, ce qui est naturel, car l’épaisseur pouvait varier suivant la charge que ces tuyaux avaient à supporter. Les évaluations en mètres cubes par 24 heures ne sont pas transcrites non plus, la valeur du quinaire en débit n’étant pas rigoureusement fixée.
9. « Excogilatus videtur (modulus æneus), quoniam rigore æris difficiliore ad flexum non timeri potest laxari vel coaretari formulas modulorum. »
   « On a imaginé de faire ces modules en bronze, parce que, grâce à la dureté de ce métal qui ploie difficilement, on n’a pas à craindre que les tuyaux s’élargissent ou se resserrent. » (De Aquis, 36.)
10. On pouvait dans certains cas (pour les concessions suburbaines sans doute), adapter le calice aux parois du canal. (Ibid.)
11. Le château d’eau de la fontaine Gaillon, à Paris, est le dernier qui ait été construit d’après ce système.
12. Ouvr. cit., p. 85.
13. « Nous nous souviendrons que toute eau qui part d’un lieu plus élevé et arrive au château d’eau en parcourant un court espace, non seulement donne un volume qui correspond à son module, mais même dépasse ce volume, et qu’au contraire celle qui part d’un lieu moins élevé, et parcourt un espace plus grand, devient paresseuse et arrive en quantité moindre. Il faut donc, suivant le cas, augmenter ou diminuer la concession. » (De Aq., 112.)
14. De Aquis, 65.
15. Commentaire de Frontin. Notions préliminaires, p. xiv.
16. Prony, peut-être par suite d’un raisonnement analogue, indique pour la valeur du quinaire 0 lit. ,653 par seconde et 56^m3,420 litres en 24 heures.
17. « Longitudo ejus habere debet digitos non minus decem. » (De Aquis, 36.)
18. « Il semble que du temps de Frontin, dit-il, on avait un moyen de vérifier la quantité d’eau autrement que par la superficie de l’orifice du module qui la fournissait, peut-être en recevant cette eau dans une mesure qui devait être remplie dans un temps donné, indiqué par des clepsydres, c’est-à-dire qu’on parvenait à fournir la quantité d’eau en un temps donné en plaçant le calice plus ou moins éloigné de la surface de l’eau du canal ou du réservoir qui la fournissait. » (Traduction du commentaire de Frontin, note page 42.)
    Et ailleurs :
    « Ce ne pouvait être qu’une espèce de tâtonnement indiqué par l’usage qui faisait placer le module un peu plus haut ou un peu plus bas, pour parvenir à lui faire fournir dans un temps fixé la quantité d’eau que comportait le module, reçue dans un vaisseau dont la capacité était connue. » (Addition au commentaire de Frontin, p. 69.)
19. P. 172.
20. Ces dimensions sont données par Belgrand, p. 62, d’après le colonel Blumensthil.
21. Voir ci-dessus, p. 170, note 2.
22. C’est celle que j’ai donnée plus haut (p. 172) $U=C{\sqrt {Rl}}$ ou $V=C{\sqrt {\tfrac {LHl}{L+2H}}}$ ce qui revient au même. Cette formule, par suite de fautes d’impression, est inexactement transcrite dans l’ouvrage de M. Lanciani (p. 361) où se trouve relaté ce calcul, et celui-ci en devient peu intelligible.
23. 63,25 est le coefficient C adopté par Blumensthil.
24. De Aquis, 26.
25. Ibid., 50.
26. De Aquis, 19, 66 et suiv.
27. Je suppose que les fraudes signalées par Frontin (De Aquis, 66 à 74) ont été entièrement réprimées, et que toute l’eau se distribue régulièrement.
28. Ce chiffre ne correspond qu’à la quantité d’eau distribuée, car l’aqueduc donnait bien davantage ; la presque totalité s’en allait, non jaugée, à la naumachie d’Auguste. (De Aquis, 22 et 71.)
29. Belgrand, ouvr. cité, p. 99.
30. (De Aquis, 106) « Ne cui corum quibus aqua ducetur publica jus esset intra quinquaginta pedes ejus castelli ex quo aquam ducerent laxiorem fistulam subjicere quam quinariam. » Ce sont les termes du décret ; mais il faut probablement ne pas prendre quinariam dans son sens rigoureux, car Frontin dit quelques lignes plus haut d’une façon plus générale : « Verum ejusdem luminis, quo calix signalas est. » Quinariam signifierait donc ici tuyau de jauge réglementaire, étalonné suivant le système quinaire.
31. Frontin laisse bien entendre (De Aquis, 36) que suivant la position du calice, horizontale ou un peu inclinée dans un sens ou dans l’autre, on pouvait faire varier le débit, et que suivant la charge dont disposait le concessionnaire, on pouvait lui relever son débit, ou le diminuer (Ibid., 35).
32. M . Lanciani (ouvr. cité, p. 357) s’est demandé si les chiffres imprimés sur certains tuyaux indiquaient le nombre de quinaires, ou une abréviation des dénominations numérales (sénaire, septénaire, etc.) que portaient les divers modules. Mais il a trouvé aussi que le diamètre, la section, le périmètre ne donnaient, d’après quelque unité usuelle qu’on prit la mesure, aucune coïncidence avec ces chiffres. On en est donc réduit sur ce point à la plus complète incertitude. Peut-être s’agissait-il d’un numérotage de quartiers, d’insulae, de maisons. La question, après tout, n’a pas une bien grande importance.
33. Une ordonnance rendue en l’an 382 par les empereurs Gratien, Valentinien et Théodose, fixe à 2 ou 3 onces les concessions pour de grandes maisons, à 1 once 1/2 celles des maisons ordinaires, et à 1/2 once celles des petites. L’once étant égale à 1 quinaire 12 centièmes, les plus petites maisons recevaient donc encore aux derniers temps de l’empire au moins 12 à 15 mètres cubes par 24 heures.
34. Ouvr. cité, p. 31. J’ai rétabli ce calcul, que les innombrables fautes d’impression rendent inintelligible dans la brochure.
35. V. ci dessus, p 206.
36. Ce serait le débit en temps normal. Aux époques de diminution notable, on pouvait, sans doute, pour assurer le bon fonctionnement des siphons, fermer un certain nombre d’orifices.
37. Il suffit de poser l’équation (2), en prenant H pour inconnue au lieu de H’.
    $aV+bV^{2}={\tfrac {0.57*H}{0.57+2H}}=0,0005$
    Or, $V={\tfrac {0.28}{0.57*H}}={\tfrac {Q}{\omega }}$

    Substituant la valeur de V dans l’équation on a l’équation du 3^e degré

    $V=H^{3}-0,0836h^{2}-0,6427H-0.1764=0$

    dont la racine positive est

    $H=0.96.$
38. Je rappelle que la pente est plus forte dans la première section du parcours jusqu’à Collonges (v. Pi,. III).
39. Dans la formule $U=C{\sqrt {RI}}$
    R, rayon moyen, est égal à ${\tfrac {0.50*0.25}{0.50+0.50}}=0.125$
    I = 0,004 C = 60
    $U=60*{\sqrt {0.125*0.004}}$
    $=60*{\sqrt {0.0005}}$
    $=60*0.0223$
    $=1.32$
    $\omega U=0.125*1.32=0m^{3}.165$ par seconde, et 14.000^m3 par 24 heures.
40. V . ci-dessus, p. 39.— La quantité d’eau disponible était ainsi dix fois moindre qu’à Rome, pour une population qui n’était sans doute pas dix fois plus petite. (V. ci-dessus, p. 32-33.) Rome était donc encore mieux approvisionnée.