Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 5/Proposition 25
C. F. Patris, (1, p. 337-338).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ κεʹ. | PROPOSITIO XXV. |
|---|---|
|
Ἐὰν τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ἢ9 τὸ μέγιστον καὶ τὸ ἐλάχιστονʼ ! δύο τῶν λοιπῶν μείζονά ἐστιν. |
Si qualuor magnitudines proportionales sint, maxima et minima duabus reliquis majores sunt. |
|
Ἑστω τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον - τὰ ΑΒ. ΓΔυ Ἑ. 2. ὡς τὸ ΑΒ πρὃς τὸ ΤΔ οὕτως Τ Ε ’πρὄς τὸ Ζ, ἔστω δὲ μέγιστον μὲν ; αὐτῶν τὸ ΑΒ, ἐλά- χιστον δὲ τὸ 2" λέγω ὅτι τὰ ΑΒ, Ζ τῶν ΤΔ ; Ε μείζονά ἔστιις |
Sint quatuor magnitudines proportionales AB, TA, E, Z, ut AB ad TA ita E ad Z ; sit autem maxima quidem ipsarum AB, minima vcroZ ; dico AB, Z ipsis TA, E majores esse. |
|
Κείσθω γὼρ τῷ μὲν Ἑ ἴσον τὸ ΑΗ, τῷ δὲ Ζ ἴσον τὸ ΓΘ. |
Ponatur enim 1psi quidem E zqualis AH, 1psi vero Z equalis ΓΘ. |
|
Ἐπεὶ οὖν" ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ ʼπρὄς τὸ ΤΔ οὕτως Τὸ Ε πρὖς τὸ Ζ. -. ἴσον δὲ τὸ μἓν Ε τῷ ΑΗ. τὸ ὅς 2 τῷ ΤΘί- ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΤΔ οὕτως τὸ ΑΗ ʼπρὄς τὸ ΤΘ, Καὶ ἐπεί ἐστιν ὦς ὅλον τὸ ΑΒ ’πΡὄς ὅλον τὸ ΓΔ οὕτως ἆφω : ρεθἔν τὸ ΑΗ ’πΡὃς |
Quomam igitur est ut AB ad TA ita Ead Z, wquals autem ipsa quidem E ipsi AH, ipsa vero Z ipsi TʼO ; est igitur ut AB ad TA ita. AH ad TO. Et quoniam est ut tota AB ad totam LIA ita ablata AH ad ablatam TʼO ; et reliqua
|
|
ἀφαιρεθεν τὸ ΓΘʼ καὶ λοπὸν ἀρα τὸ ΗΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΘΔᾺ ἔσται ὡς ὅλον τὸ ΑΒ ʼπρἆς ὅλον τό ΓΔ. Μεῖζον δὲ τὸ ΑΒ τοῦ ΤΔʼ μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΗΒ τοῦ ΘΔ. Καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΔΗ τῷ Ἐ, τὸ δὲ ΤΘ τῷ Ζ’ τὼ ἄρα ΑΗ, Ζ ἴσα ἐστὶ) τος ΓΘ. Ε, Καὶ ἐπεῖὶ ἐὰν ἀνίσοις ἴσα προστεθτῃ, |
igitur HB ad reliquam 94 erit ut tota Ag ad lotam DA. bDiajor autem AB 1psà DA ; ma. jor jgitur et. HB ipsá 0A. Et quoniam £qualis est AH. quidem ipsi E, TlʼO vero ipsi Z ; ipsa igitur AH, Z zquales sunt ipsis TO, E, Et quo- niam si inæqualibus æqualia addantur, ot |
|
τὰ ὁλὼ ἀνίσα εἐστίν"" ἐῶν ἄρα τῶν ΗΒ. ΘΔ ανέ- σων ὄντων, καὶ μείζονος τοῦ ΗΒ. τῷ μὲνῦ ΗΒ προστεθῇ τά ΑΗ, Ζ. τῷ δὲ ΘΔ προστεβῇ τὰ ΤΘ. Ε- συναγετῶι τ ΑΒ. 2 μειζοιʼοι τῶν ΓὰΔ. ς Ἑ. Ἐαν ἀρὰ τέσσαρῶ 5 καὶ τὰ εξης. |
inæqualia sunt ; si igitur ipsis HB, OA inzqua- lhbus existentibus, et. majore ipsà HB, Ipsi quidem HB addantur AH, Z, ipsi vero 0A addantur TO, E, fient AB, Z majores ipsis TA, E. Si igitur quatuor, etc. |
Si quatre grandeurs sont proportionnelles, la plus grande et la plus petite sont plus grandes que les deux autres.
Que les quatre grandeurs AB, TA, E, Z soient proportionnelles, c’est-à-dire que AB soit à TA comme E est à Z ; que AB soit la plus grande, et z la plus petite ; Je dis que les grandeurs AB, Z sont plus grandes que les grandeurs TA, E.
Faisons AH égal à E, et ro égal à z.
Puisque 4B est à TA comme E est à Z, et que AH est égal à E, et r© égal à Z, AB est à TA comme AH est à ©, et puisque la grandeur entière 4B est à la grandeur entière rA comme la grandeur retranchée 4H est à la grandeur retranchée rΘ, la grandeur restante HB sera à la grandeur restante ΘA comme la grandeur entière 4B est à la grandeur entière ra (19. 5) . Mais AB est plus grand que rA ; donc HB est plus grand que Θ4. Mais AH est égal à E, etro à Z ; donc les grandeurs AH, Z sont égales aux grandeurs rΘ, E. Mais si on ajoute des grandeurs égales à des grandeurs inégales, les grandeurs entières sont inégales ; donc, puisque les grandeurs HB, Θ4 sont inégales, et que HB est la plus grande, si lʼon ajoute à HB les grandeurs AH, Z, et à ΘA les grandeurs T6, E, les grandeurs A3, Z seront plus grandes que les grandeurs ra, E. Donc, etc.