Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 5/Proposition 24
C. F. Patris, (1, p. 335-336).
| ΠΡΟIΤΑΣΙΣ κδʹ. | PROPOSITIO XXIV. |
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Ἐαν πρῶτον πρὸς ἆευτε, : ον τὸν αὐτὸν ἐχῇ λὺ- γον καὶ τρίτον πρὸς τεέτάρτον. ἐχῇ ε καὶ πίμπτον πρῦς ἆευτερον τὸν αὐὑτὸν λόγον καὶ ἐκ- τὸν πρὸς τεταρτον" καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον πρὸς δεύτερον τὸν αὑτὸν ἐξε ; λόγον καὶ τρίτον καὶ ἐκτοῦ πρὸς τέταρτογ. |
$1 prima ad secundam eamdem habeat ra- tionem quam tertia ad quartam ; habeat autem et quinta ad secundam eamdem rationem quam sexta ad quartam ; et simul sumpte prima et quinta ad secundam eamdem rationem habebunt quam tertia et sexta ad quartam.
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Πρῶτον μὲν" γάρ τὸ ΑΒ πρὸς δεύτερον τὸ Γ τὸν αὖτον ἐχέτω λογον καὶ τρίτον τὸ ΔῈ πρός τέταρ- τον τὸ Ζ" ἐχέτω δὲ καὶ πέμπτον τὸ ΒΗ πρὸς δεύτερον τὸ Τ τὸν αὐτὸν λόγον καὶ ἐκτον τὸ ΕΘ πρὸς τεταρτὸν τὸ Ζ2" λεγὼ οτι καὶ συντεῦεν" σπρρὼ- τὸον καὶ πέμπτον τὸ ΔΗ πρὸς δεύτερον τὸ Τʼ τὸν ἀὐυτον εξει λογὸν καὶ τρίτον καὶ ἘΤΟΡ 1ὸ ΔΘ πρὸς τεταρτον Τὸ Ζ. |
Prima quidem enim A8 ad secundamr eamdem habeat rationem quam tertia AE ad quartam Z ; habeat vero et quinta BH ad secundam p eamdem rationem quam sexta EO ad quartam Z ; dico et simul sumptas primam et quintam AR ad secundam Tʼ eamdem habituras csse rationeg, quam tcrtia et sexta AO ad quartam Z. |
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Επεὶ γοἱρ ἐστιν ὡς τὸ ΒΗ πρὄς τὸ Τ οὕτως τὸ ΕΘ ʼπρὄς το Ζ" ἀνάπαλιεν ο᾽ι΄͵εα ὡς τὸ Τ πρὄς τὸ ΒΗ οὗτως τὸ Ζ πρὄς τὸ ἘΘ. Επεὶ εὖν ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ ΄πρὃς τὸτ οὕτως τὸ ΔΕ ͵ ; ’τρὃς τὸ 2. ὡς δὲ τὸ Τ ’πρἆς τὸ ΒΗ οὕτως τὸ Ζ πρὄς τὸ ἘΘ’ διῆσου ἆ’ροι ἐστὶν ὡς τὸ ΑΒ πρὄς τὸ ΒΗ οὕτως τὸ ΔῈ πρὸς τὸ ΕΘ. Καὶ ἐπεὶ διηρημένα μεγέϑη ἀνειλογὸν ἐστι. καὶ συντεθέντα ἀνάλογον ἔσται" ἐστιν ἄρα ὦς’-’ἰ τὸ ΔΗ π’ρὃς τὸ ΒΗ οὖτως τὸ ΔΘ ’πρὃς τὸ ΘΕ. Ἐστὶ δὲ καὶ ὡς τὸ ΒΗ ’πρὄς τὸΤ οὕτως τὸ ΕΘ πρὄς πὸ Ζ διίσου ο’ι’ρα ἐστὶν ὡς τὸ ΑΗ ʼπρὲς τὸ Τ οὕτως τὸ ΔΘ σρὸς τὸ Ζ. Ἐὰν ἀρὰ πρώταν. 5 καὶ τὰ φξῆς. |
Quoniam enim est ut BH. ad Tʼ ita EO ad 2 ; per Inversionem igitur ut T ad BH ita Z ad Eo. Et quoniam est ut AB ad T ita AE ad Z, ut autem Lad BH ita Z ad EO ; ex squo igitur est ut AB ad BH ita AE ad EO. Et quoniam divise maguitudines proporüonales sunt, et compo- sil proportionales crunt ; ut igitur AH ad BH ita A9 ad OE. Est autem et ut BH ad T ita EG ad Z ; ex zquo igitur estut AH ad Tʼ ita 49 ad Z. 9i igitur prima, etc. |
Si la première a avec la seconde la même raison que la troisième avec la quatrième, et si la cinquième a avec la seconde la même raison que la sixième avec la quatrième, la somme de la première et de la cinquième aura la même raison avec la seconde que la somme de la troisième et de la sixième avec la quatrième. Que la première 4B ait avec la seconde r la même raison que la troisième AE a avec la quatrième Z, et que la cinquième BH ait avec la seconde r la même raison que. la sixième EΘ avec la quatrième Z ; je dis que la somme de la première et de la cinquième AH aura avec la seconde Tr la même raison que la somme de la troisième et de la sixième 4Θ a avec la quatrième z.
Puisque BH est à Tr comme E@ est à Z, par inversion, I est à BH comme Z est à E9 (cor. 4. 5). Mais AB est à T comme AE est a Z, et T est à BH comme Z est à EΘ ; donc, par égalité, AB est à BH comme AE est à EΘ (22. 5) ; donc, puisque ces grandeurs étant divisées sont proportionnelles, ces grandeurs étant composées seront proportionnelles (18. 5) ; donc AH est à BH comme 40 est à @E. Mais BH est à T comme EΘ@ est à Z ; donc, par égalité, AH est à r comme 46 est à Z (22. 5). Donc, etc.