Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 5/Proposition 22
C. F. Patris, (1, p. 331-332).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ κβ´. | PROPOSITIO XXII. |
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Ἐὰν ἤ οποσαοῦν μεγεθη. καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἰσὰ τὸ πλῆθος σύνδυο λαμοαινομενα. καὶ ! ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ’ καὶ δίσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔστα. |
Si sint quotcunque magnitudines, et aliz ip- sis ; quales multitudine, binz sumpta et in cá- dem ratione ; et ex quo in eádem ratione erunt. |
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Ἑστω ὑποσαοῦν μεγέθη τὰ Α. Β. Τʼ καὶ ἄλλει αὐὑτοῖς ἰσὰ τὸ πλῆθος τὰ Δ. Ἐ. Ζ : σύνδυο λαμ- ξανέμενα ἐν τῷ αὐυὐτῷ λογῷ ὡς μὲν τὸ Α πρὸς 10 Β οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ε. ὡς δὲ τὸ Β πρὸς ΤΟΤ οὑτῶς Τὸ Ἑ πρὸς τὸ Ζ" λέγω ὅτι καὶ διίίσου ἐντῷ αὐτῷ λόγῷὼ ἐσται ! , ὡς Τὸ Α πρὸς ΤΟΤ οὔ- τῶς τὸ ἃ πρὸς τὸ Ζ2", |
Sint quotcunque magnitudines A, B, r, et aliz ipsis equales multitudine A, E, Z, bine sumpta in cádem ratione, ut A quidem ad B ita A ad E, ut B vero ad T ita E ad Z ; dico et ex equo 1n cádem ratione fore, ut A ad Tʼ ita A ad Z. |
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Εἰλήφθω γαρ τῶν μὲν Α. Δ ἰσάκις πολλα- πλάσια τὰ Ἡ. Θ. τῶν δὲ Β. Ε ἀλλα ἃ ἐτυΐχεν ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ. Δ. καὶ ἔτι τῶν Τ. Ζ ἄλλα ἃ εταὦσν. σακις σολλαπλάσια τὰ Μ. Ν. |
Sumantur enim ipsarum quidem A, A eque mulüplices H, O, Ipsarum vero B, E alix utcun- que æque multiplices K, A, et insuper ipsarum Γ, Z aliæ utcunque eque multiplices M, N.
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Καὶ ἐπεί ἐστινως ΤΟΑΛ πρὸς Τὸ Β ουτῶς τὸο Δ ʼπρος τὸ Ἐ Η καὶ εἰληπται τῶν μν Α. Δ ισʼοω’ις πολλαπλάσια τὰ Ἡ. Θ. τῶν δὲ Β. Ἑ ἄλλα ἃ ἔτυ- χεν ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ. Δ ἐστιν αρα ὡς τὸ ͵προς τὸ Καὶ ουτως τὸ Θ ’προς τὸ Δ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς τὸ Κὶ πρὸς τὸ Μ οὕτως τὸ Δ |
Et quoniam est ut A ad B ila A ad E, et sumpt sunt ipsarum quidem A, A aque multiplices H, 0O, Ipsarum vero B, E alim ut. cunque z&que multplices K, 4 ; estigitur ut H ad K ita O ad A. Propter eadem utique ct ut K ad M ita A ad N, Et quoniam tres magnitudi- |
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πρὸς τὸ Ν, Ἐπεὶ οὖν τρία μεγέθη ἐστὶ ΤΑ Ἡ. Κὶ, Μ. καὶ ὥλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος Θ. Δ. Ν σύνδυο λαμξανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ" δυῖσου ἄρὰ εἰ υπερέχέε ! Τὸ Η του Μ. υπερέχε ! καὶ τὸ Θ τοῦ Ν καὶ εἰ σον. ἐσον" παὶ εἰ ἐελᾶττον. εἐλατ- τον. Καὶ ἴστι τὰ μὲέν Η. Θ τῶν Α. Δ ἰσάκις πολλαπλάσια. τὰ δὲ Μ. Ν τῶν Γ. 2 ἀλλα ἃ ἔτυχεν ἰσάκις πολλαπλάσια" ἐστιν ἄρα ὡς Τ Α πρὸς ΤΟΤ οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ζ". Ἐὰν ἀρᾶὰ ἢ ἱποσαοῦν. . καὶ τὰ ἑξῆς. |
nessunt H, K, M, et ali ipsis quales mul- ütndineO, A, N bine sumpte et in eádem ra- tione ; cx zquo igitur si superat H ipsam M, superat et O ipsam N ; et si equalis, zqualis ; etsi minor, minor. Et sunt H, 9 quidem Ipsarum A, A zque mulüphces, ipse vero M, N lpsarum LIT, Z alie utcunque æque multiplices ; ost igitur ut A ad Iʼita A ad Z. Si igitur quotcunque, etc. |
Si l’on a tant de grandeurs que l’on voudra, et d’autres grandeurs égales en nombre aux premières, et si ces grandeurs, prises deux à deux, ont la même raison, elles auront la même raison par égalité.
Soient A, B, Γ tant de grandeurs que l’on voudra, et A, E, Z d’autres grandeurs égales en nombre aux premières ; que ces grandeurs, prises deux à deux, aient la même raison, c’est-à-dire que A soit à B comme Δ est à E, et que B soit à T comme E est à Z ; je dis que ces grandeurs auront là même raison par égalité, c’est-à-dire que A sera à T comme A est à z.
Prenons des équimultiples quelconques 4, © de A et de A ; prenons d’autres équimultiples quelconques K, À de 8 et de E, et enfin d’autres équimultiples quelconques M, N de r et de z. 2e Puisque A est à B comme 4 est à E, que l’on a pris des équimultiples quelconques H, Θ de A et de A, et d’autres équimultiples quelconques K, À dep et de E ; H est à K comme Θ est à À (4. 5). Par la même raison, K est à M comme A est à N. Donc, puisque l’on a trois grandeurs H, K, M, et d’autres grandeurs Θ, A, N égales en nombre aux premières, et que ces grandeurs, prises deux à deux, ont la même raison ; si, par égalité, H surpasse M, 0 surpasse N ; Si H est égal à M, Θ est égal à N, et si H est plus petit que M, Θ est plus petit que N (20. 5). Mais H, Θ sont des équimultiples quelconques de 4 et de A, et M, N dʼautres équimultiples quelconques de r et de z ; donc A est à T comme A est à Z (déf. 6 5). Donc, etc.