Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 5/Proposition 21
C. F. Patris, (1, p. 329-330).
| ΠΡΟΤΣIΣ καʹ. | PROPOSITIO XXI. |
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Ἐὰν ἢ τρία μεγέθη. . καὶ ἀλλα αὐτοῖς ἰσώ πὸ πλῆθος σύνδυο λαμξαγόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λογῷ. . δὲ τεταραγμενῆ αυὐτῶν ἢ αναλογίας διίσου δὲ τὸ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον " καὶ τὸ τέταρτοὸν τοῦ ἐκτου μειζον ἐσται" κΚαν ΙσῸΨ. ἰσογ" καν ἐλασσον, ἐλασσον. |
Si sint tres magnitudines, et alie ipsis z- quales multitudine, bine sumpte et in cádem ralione, sit autem perturbata carum proportio, ex 2quo autem prima tertiá major sit, et quarta sextà major erit ; et s1 zquals, equals ; et si minor, minor. |
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Ἑστῶὼ τρία μεγεθη τὰ Α. Β. Τ, καὶ ἄλλα αὑτοῖς ἰσὰ τὸ πλῆθος τὰ Δ. Ε. Ζ συνδυο λαμ- |
Sint tres magnitudines A, B, Tʼ, et alic ipsis equales multitudine A, E, Z, binæ sumptæ et |
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ξανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λογῳ. ἐστὼω δὲ τετα- ράγμενη αὐτῶν ἢ ανωλογία. ὡς μὲν Ττὸ Α σρὸς τὸ Βούτως ΤΟ Ἑ πρὸς τὸ Ζ. ὡς δὲ τὸ Β πρὸς τὸ |
in eádem ratione, sit autem perturbata earum proportio, ut A quidem ad B ita E ad Z, ut vero B ad T ita A ad E, ex zquo autem
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Τ οὕτως τὸ Δ πρὸς Ττὸ Ἐ. διίσου δὲ τὸ Α τοῦ Τʼ μεῖζον ἔστω" λεγὼ ὁτι καὶ τὸ Δ τοῦ Ζ μεῖζον ἐσται" καἀν Ισὸν, καν Ισογ" καν ἐλαττον, ἐλαττον. |
A ipsá P major sit ; dico et A ipsá Z majorem fore ; et si equalis, equalem ; et si minor, Ininorem. |
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Ἐπεὶ γαρ μεῖζόν ἔστι τὸ Α τοῦ Τ΄. ἄλλο δὲ τι τὸ Βʼ τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β μείζονα λόγον ἔχε ! ἥπερ τὸ Τ πρὸς τὸ Β. Αλλʼ ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ ; ὡς δὲ τὸ Τ πρὸς |
Quoniam enim major est A ipsá Tʼ, alia Vero quedam B ; ergo A ad B majorem rationem habet quam PF ad B. Sed ut A quidem ad g ita E ad Z, ut vero T ad B per inversionem ita |
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τὸ Β ἀνάπαλιν οὕτως τὸ Ἑ σπρὸς τὸ Δʼ καὶ Τὸ Β ἄρα πρὸς τὸ Ζ μείζονα λόγον ἔχει, ἥπερ τὸ Ἑ πρὸς τὸ Δ. Πρὸς ὃ δὲ τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἐχε ! ςἐκεινο ἐλασσον ἐστιν" ἐλᾶσσον ἀρὰ ἐστι τὸ Ζ τοῦ Δʼ μεῖζοόν ἐστι3 ἄρα τὸ Δ τοῦ Ζ. Ὁμοίὼς δὴ ειξομεν 0ΤΙ καν ἰσον" ἢ ΤΟΑ τῷ Τ. ἰσὸν ἐσται καὶ τὸ Δ τῷ Ζ᾽ κἀν ἐλασσον. ἔλασσον. Ἐὰν ἄρα ῃ πτρία. καὶ τὰ ἐξῇς. |
E ad A ; et E igitur ad Z majorem rationem habet quam E ad A. Ad quam autem eadem majorem rationem habet, illa minor est ; minor igitur est. Z 1ipsá A ; major est igitur A lpsá 2, Similiter utique ostendemus et si cqualis sit A ipsi I. æqualem fore et A ipsi Z ; et si minor, minorem. Si igitur tres, etc. |
Si l’on a trois grandeurs, et d’autres grandeurs égales en nombre aux premières, ces grandeurs étant prises deux à deux, et en même raison, si leur proportion est troublée, et si par égalité la première est plus grande que la troisième, la quatrième sera plus grande que la sixième ; et si la première est égale à la troisième, la quatrième sera égale à la sixième ; et si la première est plus petite que la troisième, la quatrième sera plus petite que la sixième.
Soient les trois grandeurs A, B, Tr, et d’autres grandeurs A, E, Z2 égales aux premières, ces grandeurs étant prises deux à deux, et en même raison ; que leur raison soit troublée, c’est-à-dire que A soit à B comme, E est à Z, que B soit à T Comme A est à E, et que par égalité A soit plus grand que r je dis que A sera plus grand que Z ; que si A est égal à r, A sera égal à 7, et que si A est plus petit que Tr, A sera plus petit que z.
Puisque À est plus grand que Tr, et que B est une autre grandeur, A aura avec B une plus grande raison que r avec B (8. 5). Mais A est à B comme E est à Z, et par inversion, T est à B comme E est à A ; donc E a avec Z une plus grande raison que E avec A. Mais la grandeur avec laquelle une même grandeur a une raison plus grande est la plus petite (10, 5) ; donc Z est plus petit que À ; donc A est plus grand que z. Nous démontrerons semblablement que si A est égal à T, A sera égal à Z, et que si A est plus petit que T, À sera plus petit que Z. Donc, etc.