Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 5/Proposition 2
C. F. Patris, (1, p. 291-292).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ β΄. | PROPOSITIO II. |
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Ἐὰν πρῶτον δευτέρου ἰσάκις ἢ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τετάρτου, ἦ δὲ καὶ πέμπτον δευτέρου ἰσάκις πολλαπλάσιον καὶ ἕκτον τετάρτου" καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον δευτέρου ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τε- τάρτου. |
Si prima secundz eque sit multiplex ac tertia quartz , sit aulem et quinta secunde eque mul- tiplex ac sexta quarta ; et simul sumpta prima et quinta secunde zque erunt multiplices ac tertia et sexta quartæ. |
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Πρῶτον γὰρ τὸ ΑΒ δευτέρου τοῦ Τὶ ἰσάκις ἔστω πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τὸ ΔῈ τετάρτου τοῦ |
Prima enim AB secunde T eque sit multiplex ac lerlia AE quariz Z , sit autem et quinta BH |
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Z, ἔστω δὲ καὶ πεμπτὸν τὸ ΒΗ δευτέρου τοῦ Τ ἰσάκις πολλαπλάσιον καὶ ἵκτον τὸ ΕΘ τετάρτου τοῦ 2" λέγω ὅτι καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον τὸ ΑΗ δευτέρου τοῦ Τ' ἰσάκις ἔσται πολλαπλά- σιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τὸ ΔΘ τετάρτου τοῦ 2. |
secundæ T æque multiplex ac sexta EG quartæ Z ; dico et simul sumptas primam et quintam AH secunde T sque fore multiplices ac ter- tiam et sextam AO ipsius Z.
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Ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ ποῦ Υ καὶ τὸ ΔῈ τοῦ 2" ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ μεγέθη! ἴσα τῷ Τ, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΔῈ ἴσα τῷ 1. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὅσα ἐστὶν ἐν τῷ ΒΗ ἴσα τῷ Τ,, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ἘΘ ἴσα τῷ 2" ὅσα ἄρα ἰστὶν ἐν ὅλῳ τῷ ΑΗ ἴσα τῷ Γ, τοσαῦτα καὶ |
Quoniam enim æque est multiplex A ipsius T ac AE ipsius Z ; quot igitur sunt in AR map. nitudines zquales ipsi P, tot et in AE æquales ipsi Z. Propter eadem utique et quot sunt in zg equales ipsi 7, tot et in EO quales ipsi Z ; quot igitur sunt in totà AH equales ipsi ', tot etin |
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ἐν ὅλῳ τῷ ΔΘ ἴσα τῷ 2᾽ ὁσαπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΗ τοῦ Γ, τοσαυταπλάσιον ἔσται καὶ τὸ ΔΘ τοῦ Z" καὶ συντεθὲν ἄρα" πρῶτον καὶ πέμ- πτον τὸ ΑἩ δευτέρου τοῦ Τὶ ἰσάκις ἔσται πολλα- πλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἐκτὸν τὸ ΔΘ τετάρτου τοῦ 2. Ἐὰν ἄρα πρῶτον, καὶ τὰ ἑξῆς. |
totà AO zquales ipsi Z; quam multiplex igitur. est AB ipsius T, tam mulüplex erit et AO ipsi Z; et simul sumptz igitur prima et quinta AH secundæ T zque erunt mulliplices ac tertia et sexta AO quartz Z. Si igitur prima , etc. |
Si la première est le même multiple de la seconde que la troisième l’est de la quatrième, et si la cinquième est le même multiple de la seconde que la sixième l'est de la quatrième, la somme de la première et de la cinquième sera le même multiple de la seconde que la somme de la troisième et de la sixième l’est de la quatrième.
Que la première AB soit le même multiple de la seconde Γ que la troisième ΔE l’est de la quatrième Z, et que la cinquième BH soit le même multiple de la seconde r que la sixième EΘ l’est de la quatrième Z; je dis que la somme de la première et de la cinquième AH sera le même multiple de la seconde Γ que la somme de la troisième et de la sixième Δθ l’est de la quatrième Z. Puisque AB est le même multiple de r que AE l’est de z, il y a dans AB autant de grandeurs égales à r qu’il y a dans AE de grandeurs égales à z, Par la même raison, il y a dans BH autant de grandeurs égales à r qu’il y a dans 5e de grandeurs égales à z. Il y a donc dans la grandeur entière AH autant de grandeurs égales à r qu’il y a dans la grandeur entière 46 de grandeurs égales à z. Donc AH est le même multiple de r que 4@ l'est de z; donc la somme de la première et de la cinquième AH sera le même multiple de la seconde r que la somme de la troisième et de la sixième 4e l'est de la quatrième Z. Donc, etc.