Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 5/Proposition 1
C. F. Patris, (1, p. 289-290).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ αʹ. | PROPOSITIO I. |
|---|---|
|
Ἑὰν ζὁποσαοῦν μεγέθη ὁποσωνοῦν μεγεθῶν' ἴσων πὸ πλῆθος, ἕκαστον ἑκάστου ἰσάκις πολλαπλά- σιον" ὁσαπλάσιόν ἔστιν ἕν τῶν μεγεθῶν ἑνὸς, το- σαυταπλάσια ἔσται καὶ τὰ παντὰ τῶν πάντων. |
Si sint quotcunque magnitudines quotcunque magnitudinum xqualium multitudine, singulze singularum zque multiplices, quam multiplex est una magniludinum unius, tam multiplices erunt et omnes omnium. |
|
Ἑστω οποσαοῦν μεγέθη τὰ 4Β. ΤΔ ὁποσωνοῦν μεγεθῶν τῶν Ἑ, 2 ἴσων τὸ πλῆθος, ἕκαστον ἑκάσ- του ἰσακις πολλαπλάσιον" λέγω ὅτι ὁσαπλείσιόν ἰστι τὸ ΑΒ τοῦ Ἑ, τοσαυταπλάσια ἔσται καὶ τὰ ΑΒ, ΓΔ τῶν Ε, Z. |
Sint quotcunque magnitudines AB, TIʼA quot cunque magnitudinum E, Z equalium multitudine, singulz singularum eque multiplices ; dico quam mulüplex est AB ipsius E, tam multiplices esse et AB, TʼA ipsarum E, Z. |
|
Ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἰστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ ποῦ Ἑ, καὶ τὸ ΓΔ τοῦ 2" ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ |
Quoniam enim zqueest multiplex AB ipsius E ac ΓΔ ipsius Z ; quot igilur sunt in AB magni-
|
|
ΑΒ μεγέθη" ἴσα τῷ Ἑ, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΤΔ ἤσα τῷ 1. διῃρήσθω τὸ μὲν ΑΒ εἰς τὰ τῷ Ἑ μυ- γέθη ἴσα τὰ ΑἩ, ΗΒ, τὸ δὲ ΓΔ εἰς τὰ τῷ Ζ ἴσα τὰ ΤΘ, ΘΔ᾽ ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ πλήθει τῶν ΓΘ, ΘΔ". Καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΑἩ τῷ Ε, τὸ δὲ ΓΘ τῷ 2" ἔσα ἄρα καὶ τὰ ΑἩ, ΓΘ τοῖς Ε, 2. Διὰ τὰ αὐτὰ δὲ |
tudines equales ipsi E, tot suntet in TA gqu. les ipsi Z. Dividatur AB quidemin magnitudino, AH, HB aquales ipsi E , ipsa vero TA in ipsas TO , GA zquales ipsi Z ; erit utique zqualis mul. titudo ipsarum AH, HB multitudini ipsarum Te, OA. Et quoniam zqualis est AH quidem. ipsi z, ipsa vero DO ipsi Z ; equalis igitur et AH , re |
|
ἴσον ἐστὶ τὸ ἨΒ τῷ Ε, καὶ τὸ ΘΔ τῷ 2 ἴσα ἄρα καὶ τὰ ΗΒ, ΘΔ τοῖς Ε, 25" ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ ἴσα τῷ Ἑ, τοσαῦτα καὶ ἐν τοῖς ΑΒ, ΤΔ ἴσα τοῖς Ἑ, 2 ὁσαπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒ ποῦ Ἑ, τοσαυταπλάσια ἔσται καὶ τὰ ΑΒ, ΓΔ τῶν Ἑ, 1. Ἐὰν ἄρα ἦ ὁποσαοῦν, καὶ τὰ ἑ |
ipsis E, Z ; propter eadem utique zqualis est n ipsi E, et 6A ipsi Z; wequales igitur et HB, 6A ipsis E, Z; quot igitur sunt ín AB equales ipsi E, tot sunt et in AB, TA quales ipsis E, 2; quam multiplex igiturest A3 ipsius E , tam mulii plices erunt et AB , TA ipsarum E , Z. Si igitor quotcunque etc. |
Si lʼon a tant de grandeurs que l’on voudra, égales en nombre à dʼautres grandeurs, chacune des premières étant le même équimultiple de chacune des secondes, une des premières grandeurs sera le même multiple d’une des secondes que la somme des premières l’est de la somme des secondes.
Soient AB, TA (245), tant de grandeurs quʼon voudra égales en nombre à dʼautres grandeurs E, Z, chacune étant le même multiple de chacune ; je dis que AB est le même multiple de E, que la somme de AB et de rA lʼest de la somme de E et de z.
Puisque ab est multiple de E, que ra lʼest de Z, Il y aura dans AB autant de grandeurs égales à E, qu'il y a de grandeurs égales à z. Partageons 48 en grandeurs égales à E, et que ces grandeurs soient AH, HB; partageons aussi ra en grandeurs égales à Z, et que ces grandeurs soient re, @a. Le nombre des parties re, @4 sera égal au nombre des parties AH, HB. Mais AH est égal à E, et Γθ égal à z; donc la somme de 4H et de re sera égale à la somme de E et de Z. Par la même raison, HB est égal à E, et @A à z; donc la somme de HB et de θΔ est égale à la somme de E et de z. Il y a donc dans AB autant de grandeurs égales à E, qu'il y a dans la somme de 48 et de rA de grandeurs égales à la somme de E et de Z. Donc AB est le même multiple de E que la somme de 48 et rA l’est de la somme de E et de z. Donc, etc.