Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 4/Proposition 7
C. F. Patris, (1, p. 259-261).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ζ'. | PROPROSITIO VII. |
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Περὶ τὸν δοθέντα κύκλον τετράγωνον περι- γράψαι. |
Circa datum circulum quadratum circum- scribere. |
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Εστω δοθεὶς κὐύκλος οἱ ΑΒΓΔ. δεῖ δὴ περὶ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον περιγράψαι. |
Sit datus circulus ABΓΔ5 ; oportet igitur circa ABΓΔ circulum quadratum cireumscribere. |
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Ηχθωσαν τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου δώο διάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΑΓ, ΒΔ, καὶ διὰ τῶν Α, Β, Γ, Δ σημείων ἤχθωσαν ἐφαπτέμεναι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου αἱ ΖΗ, ΕΘ, ΘΚ, ΚΖ. |
Ducantur ABΓΔ circuli duæs diametri AΓ, BΔ ad rectos inter se, et per A, B, Γ, A punecta ducantur contingentes ABΓΔ circulum ipsæ ZH, HΘ, ΘK, KZ. |
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Επεὶ οὐν ἐφάπτεται ἡ ΖΗ͂ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, ἀπὸ δὲ τοῦ Ἐ κέντρου ἐπὶ τῆν κατὰ τὸ Α ἐπα- ῷην ἐπεζεύκται Ἵ ΒΕΑ9. αἱ ἀρὰ πρὸς τῷ Α γωνίαι ὄρθαι εἰσι. Διὰ τὰ αυτὰ δὴ καὶ3 αἱ πρὸς τοῖς Β, Γ, Δ σημείοις γωνίαι ὀρθαί εἰσι. Καὶ ἐπεὶ ὀρθὴ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΕΒ γωνία, ἔστι δὲ ὀρθὴ καὶ |
Quoniam igitur Ücontingit ZH ipsum ABΓΔ circulum, ab E autem centro ad contactum A ducitur EA ; ipsi igitur ad A angquli recti sunt. Bropter eadem utique et ad B, Γ, Δ puncta anguli recti sunt. Et quoniam rectus est AEB angulus, est autem rectus et EBH ; parallela
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ἡ ὑκὸὺ ΕΒΗ. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ τῇ ΑΓ. Διὰλ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΑΓ τῇ ΖΚ ἐστὶ παρ- ἀλληλοςῖ. Ωστε καὶ ἡ ΗΘ τῇ ΖΚ ἐστὶ παράλλη- λος35, Ομοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ ἐκατέρα τῶν ΗΖ, ΘΚ τῇ ΒΕΔ ἐστὶ παράλληλος. Παραλληλό- γραμμὰ ἐστὶ τὰ ΗΚ, ΗΓ, ΑΚ, ΖΒ, ΒΚ. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΗΖ τῇ ΘΚ, ἡ δὲ ΗΘ τἶ ΖΚ. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΒΔ, ἀλλὰ καὶ Ἀἡ μὲν ΑΓ ἐκατέρᾳ τῶν ΗΘ, ΖΚ7, ἡ δὲ ΒΔ ἐκα- |
igitur est HΘ ipsi AΓ. Propter eadem utique et AΓ ipsi ZK est parallela ; quare et H— ipsi ZK est parallela. Similiter utique ostendemus, t utramque ipsarum HZ, GK ipsi BEA ESSe paral- lelam. Parallelograma igitur sunt H, HΓ, AE, ZB, BEÉ ; æqualis igitur est HZ quidem Ipsi ek, ipsa vero H^ ipsi ZK. Et quoniam æqualis est AΓ ipsi B^, sed et ipsa quidem AΓ utrique ipsa- rum H-, ZÉ, ipsa vero EΔ utrique ipsarum |
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τέρᾳ τῶν ΗΖ, ΘΚ ἐστὶν ἴση" καὶ ἐκατέρα ἄρα τῶν ΗΘ, ΖΚ ἐκατέρᾳ τῶν ΗΖ, ΘΚ ἐστὶν ἴσηϑ, Ισόπλευρον. . ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΗΘΚ τετράπλευρην. Λέγω δὴ9 ὅτι καὶ ὀρθογώνιον. Ἐπεὶ γὰρ παράλλη- λόγραμμόν ἐστὶ τὸ ΗΒΕΑ, καὶ ἐστὶν ὀρθη ἡ ὑπὸ ΑΕΒ. ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΒ. Ομοίως δὴ δείζξο. Μμεν ὅτι καὶ αἱ πρὸς τοῖς Θ, Κ, Ζ γωνίαι ὀρθαί εἰ- σιν. ὀρρογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖζΖΗΘΚ τετραπλευρον10. |
HZ, GK est æqualis ; et uterque igitur ipsaruni HE, ZK utrique ipsarum HZ, QVK est æqualis. Aquilaterum igitur est ZHEK quaduilaterum. Dico et rectangulum. Quoniam enim paralle- logrammum est HBEA, et est rectus AEB ; rec tus igitur et AHB, Similiter utique ostendemus et ipsos ad &, K, Z angulos rectos esse ; rec tangulum igitur est ZHOK quadriilaterum. Os-.
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Εδείχθη δὲ καὶ ἰσοπλευρον. τετράγωνον ἄρὰ ἐστί. Καὶπεριγέγραπται περὶ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, |
tensum est autem et æquilaterum ; quadratum igitur est. Et eiecumseriptum est circa ABΓΔ cir- culum. |
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Περὶ τὸν δοθένστα ἄρα κύκλον τετράγωνον πε- ριγέγραπται. ΟΠερ ἔδοει ποιῆσαι. |
Circa datum igitur cireulum quadratum cir- cumseriptum est. Quod oportebat facere. |
Circonscrire un quarré à un cercle donné.
Soit ΑΒΓΔ le cercle donné ; il faut circonscrire un quarré au cercle ΑΒΓΔ.
Menons dans le cercle ΑΒγΔ, les deux diamètres ΑΓ, ΒΔ. perpendiculaires l’un à l’autre, et par les points n, B, Γ, Δ menons les droites ΖΗ, ΗΘ, ΘΚ, ΚΖ tangentes au cercle ABΓb (17. 5) .
Puisque la droite ZH est tangente au cercle ΑΒΓΔ, et que la droite EA a été menée du centre E an point de contact A, les angles sont droits en Α (28. 3) . Par la même raison, les angles sont droits aux points B, Γ, Δ. Et puisque l’angle ΑΕΒ est droit, et que l’angle EBH est droit aussi, la droite HΘ est parallèle à la droite ΑΓ (28. 1) . Par la même raison, la droite ΑΓ est parallèle à la droite ΖΚ. Donc ΗΘ est parallèle à ΖΚ. Nous démontrerons semblablement que l’une et l’autre des droites HZ, ΘΚ est parallèle à la droite BEñ. Donc les figures HK, ΗΓ, ΑΚ, ZB, BK sont des parallélogrammes ; donc ΗΖ est égal à ex (34. 1) , et HΘ égal à ZK ; et puisque ΑΓ est égal à BA, que. AΓest égal à l’une et à l’autre des droites ΗΘ, ZK, et que ΒΔ est égal à l’une et à l’autre des droites HZ, ΘΚ, les droites ΗΘ, ZK sont égales aux droites HZ, œk. Donc le quadrilatère ΖΗΘΚ est équilatéral. Je dis aussi qu’il est rectangle, car puisque HBEA est un parallélogramme, et que l’angle ΑEB est droit, l’angle AHB est droit aussi (34. 1) . Nous démontrerons semblablement que les angles sont droits en Θ, K, Z ; donc le quadrilatère ΖΗΘΚ est rectangle ; mais on a démontré qu’il est équilatéral ; donc ce quadrilatère est un quarré, et il est circonscrit au cercle ΑΒΓΔ.
On a donc circonscrit un quarré à un cercle donné. Ce qu’il fallait faire.