Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 4/Proposition 6
C. F. Patris, (1, p. 257-258).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ϛʹ. | PROPOSITIO VI. |
|---|---|
|
Εἰς τὸν δοθέντα κύκλον τετράγωνον ἐγγράψαι. Εστω ὁ δοθεῖς κύκλος ὁ ΑΒΓΔ. δεῖ δὴ εἰς τὸνῖϊ ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον ἐγγράψαι. |
In dato circulo quadratum inscribere. Sit datus circulus ABΓΔ ; oportet igitur in ABΓΔ circulo quadratum inscribere. |
|
Ἡχθωσαν τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου δύοβξ δεάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΑΓ, ΒΔ. καὶ ἐπεζεύχθω. - αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ. |
Ducantur ipsius ABΓΔ circuli duæ diametri AΓ, BΔ ad rectos inter se, et jungantur AB, BΓ, ΓΔ, AR. |
|
Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΔ, κέντρον γὰρ τὸ 1, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΕΑ. βάσις ἄρα ἡ ΑΒ βάσει τῇ ΑΔ ἴση ἐστί. Διὰ3 τὰ αὐτὰ |
Et quoniam æqualis est BE ipsi EΔ, centrum enim E, communis autem et ad rectos ipsa EA ; basis igitur AB basi AΔ æqualis est. Propter
|
|
δὴ καὶ ἐκατέρα τῶν ΒΓ, ΓΔ ἐκατέρᾳ τῶν ΒΑ, ΑΔ ἴση ἐστίνἍ ἰσοπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ τετράπλευρον. Λέγω δὴ ὅτι καὶ ὀρθογώνιον. Επεὶ γὰρ ἡ Βὰ εὐθεῖα διάμετρὸς ἐστι του ΑΒΓΔ χυ- κλου, ἠμικυκλιον ἀραὰ ἐστὶ τὸ ΒΑΔ. ὔ αρθη σρά ἡ ὑπὸ ΒΑΔ γωνίαῖ : Διὰ τὰ αὐυτὰ δὴ καὶ ἐκαστη τῶν ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΔ, ΓΔΑ οὀρθὴ ἐστιν". ὀρθογω- |
eadem utique et utraque ipsarum BΓ, ΓΔ utri- que ipsarum BΔ, AΔ æqualis est ; æquilaterum igitur est ABΓΔ quadrilaterum. Dico autem et rectangulum. Quoniam enim BA recta diame. ter est ipsius ABΓΔ circuli, , semicirculum igi tur est BAΔ ; rectus igitur BA |
|
νιον ἄρὰ ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ τετράπλευρον. Εδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον. τετράγωνον ἄρα ἐστί. Καὶ ἐγγέγραπται εἰς τὸν δοθέντα ΑΒΓΔ κύκλον39, |
BΓΔ, ΓAA rectus est ; rectangulum igitur eit ABΓΔ quadrilaterum. Ostensum est autem et æquilaterum ; quadratum igitur est. Et inscrip- tum est in date ABΓΔ circulo. |
|
Εἰς ἄρα δοθένταθ κύκλον τὸν ΑΒΓΔ τετράγω- νον ἐγγέγραπται τὸ ΑΒΓΔ. Οπερ ἔδει ποιῆσαι. |
In dato igitur circulo ABΓA quadratum ins criptum est ABΓΔ. Quod oportebat facere. |
Inscrire un quarré dans un cercle donné.
Soit ΑΒΓΔ le cercle donné ; il faut inscrire un quarré dans le cercle ΑΒΓΔ.
Menons les diamètres ΑΓ, BA du cercle ΑΒΓΔ perpendiculaires l’un à l’autre (11. 1) , et joignons ΑΒ, BΓ, ΓΔ, ΔΑ.
Puisque BE est égal à EB, car le point E est le centre, et que la droite EA est commune et à angles droits, la base ΑΒ est égale àla base ΑΔ (4. 1) . Par la même raison, chacune des droites ΒΓ, ΓΔ est égale à chacune des droites BA, AΔ ; donc le quadrilatère ΑΒΓΔ est équilatéral. Je dis aussi qu’il est rectangle. Car puisque la droite ΒΔ est un diamètre du cercle ΑΒΓΔ, la figure BAB est un demi-cercle. Donc l’angle BAB est droit (21. 1) . Par la même raison, chacun des angles ΑΒΓ, ΒΓΔ, ΓΔΑ est droit aussi ; donc le quadrilatère ΑΒΓΔ est rectangle. Mais on a démontré qu’il est équilatéral ; donc ce quadrilatère est un quarré. Et ce quarré est inscrit dans le cercle ΑΒΓΔ.
Donc on a inscrit le quarré ΑΒΓΔ dans le cercle donné ABΓΔ. Ce qu’il fallait faire.