Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 2/Proposition 14
C. F. Patris, (1, p. 165-166).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιδʹ. | PROPOSITIO XIV. |
|---|---|
|
Τῳ δοῦεντι ευθυγραμμῳ ἰσοὸν τετραγῶνον συ- στήσασϑα. |
Dato rectlineo æquale quadratum consti- tuere. |
|
Ἑστω τὸ δοθὲν εὐθύγραμμον τὸ Α" δὲῖ δὴ τῷ. Α εὐθυγράμμῳ ἴσον τετρώγωνον συστήσασθαι. |
Sit datum rectilineum A ; oportet igitur ipsi A rectilineo æquale quadratum constituere. |
|
Συνεστάτω γαρ τῷ Α ευθυγραμμῳ ἐσὸν σπταρ- αλληλόγραμμον ὀρθογώνιον τὸ ΒΔ᾽ εἰ μὲν οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΒῈ τῇ ἘΔ. γεγονὸς ἀν εη τοεπιταχθέν, Συν- ἰσταται γαρ τῷ Α ευθυγράμμῳ ἴσὸν τετράγωνον |
Constituatur enim ipsi A rectilineo aequale parallelogrammum rectangulum BA. Si igitur equals est BE jpsi EA, factum erit proposi- tum ; constitutum est enim ipsi A rectilineo |
|
τὸ ΒΔ" εἰ δὲ οὐ, μία τῶν ΒΕ. ἘΔ μείζων ἐστίν, Ἔστω μείζων ἡ ΒΕ. καὶ ἐκξεύλήσθω ἐπὶ τὸ Ζ. καὶ κείσθω τῇ ἘΔ ἴση ἡ ἘΖ, καὶ τετμήσθω ἡ ΒΖ δῆχα κατὰ τὸ Ἡ, καὶ κέντρῳ μὲν" τῷ Ἡ, δὺα- στήματι δὲ ενὶ τῶν ΗΒ. ΗΖ ἡμικύκλιον γεγράφθω τὸ ΒΘΖ, καὶ ἐκ (εξλήσθω ἡ ΔΕ ἐπὶ τὸ Θ, καὶ επεζευχθω ἡ ΗΘ. |
wquale quadratum BA ; si autém non, una ip. sarum BE, EA major est, Sit major BE, ct producatur ad Z, et ponatur ipsi EA æqualis EZ, et secetur BZ bifariam in H, et centro quidem H, intervallo vero unà ipsarum HB, HZ semicirculus describatur BOZ, et produ- catur AE in O, et jungatur HO, |
|
Ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα η ΒΖ2 τέτμηται εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Ἡ ; εἰς δὲ ἁγισα κατὰ τὸ Ἐʼ τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΕ, |
Quoniam igilur BZ secta est 1n qualia qui- dem in H, in inæqualia vero in E ; ergo sub |
|
Ἐΐ σπτερίοχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ἨῈ τετραγῶνου ἐσὸν ἐστιί Τῷ αἀπὸ τῆς ΗΖ τετραγώνῳ- Ισὴ δὲ ἡ ἨΖ τῇ ΗΘ᾽ τὸ ἀρὰ ὑπὸ τῶν ΒΕ, EΖ μέτα του απὸο Τῆς ΠῈ ἔσον ἐστὶ τῷ ὡπὸ τῆς HΘ. ἸΤῷ δὲ ἀπὸ τῆς ἨΘ ἰσαὰ ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΘῈ, ΕΗ τετράγωνα" τὸ ἀρὰ ὑπὸ τῶν ΒΕ. ἘΖ μεέτα τοὺῦυ ὥστο ΄τ’ης3 ΗἨΞ {σὸν ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΘΕ : ΕΗ. Κοινὸν ἀφηρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΗΕ τετρώγωνον" λοι- |
BE, EZ contentum rectangulum cum ex HE quadrato æquale est ipsi ex HZ quadrato. JE. qualis autem HZ ipsi HO ; 1psum igitur sub BE, EZ cum ipso ex HE æquale est ipsi ex HO. Ipsi autem ex H9 æqualia sant ex 9E, EH qua- drata ; ipsum igitur sub BE, EZ cum lpso ex HE : equale est ipsis ex OE, EH. Commune au- feratur ex HE quadratum ; reliquum igitur. sub |
|
πὸν ἆ’ροι τὸ ὑπὸ τῶν ΒΕ, ἘΖ ’περ : εχὄμενον ὗρθογὧ- γιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἘΘ τετραγώνῳ. Αλλὰ τὸ ὑστὸ τῶν ΒΕ. ἘΖ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΕ, ΕΔ ἐστ) νῆ, ἰσὴ γὰρ ΖῈ τῇ ΕΔ᾿ τὸ ἄρα ΒΔ παραλληλόγραμμον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΘῈ Τετραγῶνῳ. Τσὸν δὲ τὸ ΒΔ τῷ Α εὐθυγράμμῳ" καὶ" τὸ Α ἀἄρα εὐθυγρώμμον ἴσον ἐστὶ τῷ « πὸ τῆς ἘΘ ἀναγραφομένῳ τετραγῶνῳ. |
BE, EZ contentum rectangulum æquale est ipsi ex EO quadrato. Sed ipsum sub BE, EZ ipsum sub BE, EA est, æqualis enim est EZ ipsi EA ; ergo BA parallelogrammum « quale est ipsi ex OE quadrato. /Equale autem est BA ipsi A rec- ülineo ; ct A igitur rectlineum quale est ipsi ex EO descripto quadrato. |
|
Τῶ ο’ἔροι δοθέντι εὗθυψροἱμωω τῷ Αʼ ἴσον τετροἔ- γῶνον συνίσταται. τὸ ἀπὸ τῆς Εῷ ἀναγραφησύ-- μένον. Οπερ ἔδει ποιῆδσαι. |
Ergo dato rectilinco A æquale quadratum conslituitur ex OE descriptum. Quod oportebat facere. |
Construire un quarré égal à une figure rectiligne donnée.
Soit A la figure rectiligne donnée ; il faut construire un quarré égal à cette figure rectiligne.
Construisons un parallélogramme rectangle BΔ égal à la figure rectiligne donnée À (45. 1) . Si BE était égal à EΔ, on aurait fait ce qui était proposé ; car le quarré BΔ aurait été construit égal à la figure rectiligne A. Si cela n’est point, l’un des côtés BE, EΔ est plus grand que l’autre. Que BE soit le plus grand, prolongeons-le vers Z, et faisons EZ égal à EΔ (3. 1) ; coupons BZ en deux parties égales au point H ; du centre H et d’un intervalle égal à l’une des droites HB, HZ, décrivons la demi-circonférence BΘZ (dem. 3) ; prolongeons ΔE vers Θ, et joignons HΘ.
Puisque Z est partagé en deux parties égales au point H, et en deux parties inégales au point E ; le rectangle compris sous BE, EZ avec le quarré de HE, est égal au quarré de HZ (5. 2) . Mais HZ est égal à HΘ ; donc le rectangle compris sous BE, EZ avec le quarré de HE est égal au quarré de HΘ. Mais les quarrés des droites ΘE, EH sont égaux au quarré de HΘ (47. 1) ; donc le rectangle compris sous BE, EZ avec le quarré de HE, est égal aux quarrés de droites ΘE, EH. Retranchons le quarré commun de HE ; le rectangle restant compris sous BE, EZ sera égal au quarré de E@. Mais le rectangle compris sous BE, EZ est le rectangle compris sous BE, EA, puisque la droite Ez est égale à la droite EA ; donc le parallélogramme BA est égal au quarré de @E. Mais BA est égal à la figure rectiligne A ; donc la figure rectiligne A est égale au quarré de EΘ.
Donc le quarré décrit avec E® a été construit égal à la figure rectiligne donnée A ; ce qu’il fallait faire.