Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 2/Proposition 13
C. F. Patris, (1, p. 163-164).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιγ'. | PROPOSITIO XIII. |
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Ἐν τοῖς ὀξυγωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν δξεῖαν γω ; ίαν ὑποτεινούσης ’πλευρἆς τετροἔγωνον ἐλαττόν ἐστι τῶν ἀπὺ τῶν τὴν ὀξεῖαν γωγίαν ’πεΓ. χουσῶν πλευρῶν τετραγώνων. . τῷ περ : εχεαενω δὴς ὑπὸ τε μιᾶς τῶν περὶ τὴν ὀξεῖαν γωνίαν ἐφ ἣν ἢ κάθετος πίπτει. παὶ τῆς ἀπολαμξαγνομένης εὐτὸς ὑπὸ τὴς καθέτου πρὸς τῇ ὁξείᾳ γωνίᾳ. |
In acutangulis triangulis ex latere acutum an- gulum subtendente quadratum minus cst quam quadrata ex lateribus acutum angulum continen- übus contento bis sub uno ipsorum circa acu- tum angulum in quod perpendicularis cadit, et assumptà intus a perpendiculari ad acutum angulum. |
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Ἑστω ὀξυγώνιον τρίγωνον τὸ ΑΒΓ οξειαν εχοὸν τήν πρὸς τῷ Β γωνίαν, καὶ χθω ἀπὸ του Α ση- |
Sit acutangulum triangulum ABT acutum habens ad B angulum, et ducatur ab A puncto |
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ἐμείου ἐπὶ τὴν ΒΤΓ καάθετος ἡ ΑΔʼ λέγω ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς" ΑΤ τετράγωνον ἔἐλαττὸν ἐστὶ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΒ, ΒΑ τετραγωνῶν. τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ. ΒΔ περὶεχομενῳ ὀρθογωνέῳ. |
ad BD perpendicularis AA ; dico ez AT qua- dratum minus esse quam ex TB, BA qua- drata, ipso bis sul* ʼB, BA contento rectangulo.
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Ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα ἡ ΤΒ τετμήταιὼς ἐτυχε καταὰ τὸ Δʼ τὰ ἀρὰ ἀπὸ τῶν ΤΒ ; ΒΔ τετράγωνα ισὰ ἐστὶ τῷ τε δὴς ὑπὸ τῶν ΤΒ. - ΒΔ περιεχομένῳ ὁρ- θογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τῖϊςς ΔΙ τετραγῶνῳ. Κοινον προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΔΑ τετραγωνον" τῶ ἄρα ἀπὺ τῶν ΤΒ. ΒΔ. ΔΑ τετράγωνα ἰσὰα ἐστὶ τῷ τε δὶς ὑπὸ τῶν ΤΒ : ΒΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ |
Quoniam enim recta LlʼB secta est utcunque in A ; ergo ex IʼB, 8A quadrata equalia sunt et ipsi bis TB, BA contento rectangulo et Ipsi ex AIT quadrato. Commune addatur ex AA quadratum ; ergo ex TB, BA, AA quadrata equalia sunt et ipsi bis sub lʼB, BA contento rectangulo et ipsis ex AA, ATʼ quadratis. Sed |
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τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΔ. ΔΙ τετραγῶώνοις. Αλλὰ τοῖς μὲν ἀπὺὸ τῶν ΒΔ, ΔΑ ἴσον ἐστ ! " τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ, ὗρθᾗ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Δ γωνία" τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΙ ἴσον ἐστὶ ! τὸ ἀπὸ τῆς ΑΤ" τὰ ο’ι’ροι ἀπὸ τῶν ΤΒ. ΒΑ ἔσα ἐστὶ τῷ τε ἀπὸ τῆς ΑΤ καὶ τῷ δὲὶς ὑπὸ τῶν" ΓΒ, ΒΔ’ ὥὦστε μόνον τὸθ ἀπὸ τῆς ΑἹ ἔλαττόν ἐστʼ τῶν ἀπὸ τῶν ΤΒ. ΒΑ τετραγώτω, . τῷ δὲς ὑπὸ τῶν ΤΒ. ΒΔ περιεχομένῳ ὑῤθογωνίῳʼ Ἐν ἄρα τοῖς ὀξυγωνίοις, καὶ τὰ ἑξῆς, |
ipsis quidem ex 8A, AA mquale est ex AB, rectus enim est ad A angulus ; ipsis vero ex AA, AT æquale est 1psum ex AL ; ipsa igitur ex lʼB, BA aæqualia sunt et ipsi ex AUT, et ipsi bis sub UB, BA ; quare solum ex AT minus est quam ex TʼB, BA quadrata, ipso bis sub TB, BA contento rectangulo. Érgo in acutan- gulis, etc. |
Dans les triangles acutangles, le quarré du côté qui soutend un angle aigu est plus petit que les quarrés des côtés qui comprennent cet angle aigu, de deux fois le rectangle compris sous le côté de l’angle aigu sur lequel tombe la perpendiculaire, et sous la droite prise intérieurement de la perpendiculaire à cet angle aigu.
Soit le triangle acutangle ABr ayant lʼangle aigu en B ; du point A conduisons sur la droite Br la perpendiculaire 44 ; je dis que le quarré de ar est plus petit que les quarrés des droites TB, BA, de deux fois le rectangle compris sous IB, BA. Car puisque la droite rB est coupée d’une manière quelconque au point 4, les quarrés des‘droites TB, BA sont égaux à deux fuis le rectangle compris sous TB, BA et au quarré de AT (7. 2) . Ajoutons le quarré commun de 44 ; les quarrés des droites TB, BA, AA seront égaux à deux fois le rectangle compris sous TB, BA, et aux quarrés des droites AA, ar. Mais le quarré de AB est égal aux quarrés des droites BA, AA (47. 1) , car l’angle en 4 est droit, et le quarré de Ar est égal aux quarrés des droites AA, Ar ; donc les quarrés des droites TB, BA sont égaux au quarré de ar et à deux fois le rectangle compris sous TB, BA ; donc le seul quarré de ar est plus petit que les quarrés des droites rB, BA de deux fois le rectangle compris sous TB, BA. Donc, etc.