Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 14

Euclide

Les Éléments - Livre 1

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 77-78).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιδʼ.	PROPOSITIO XIV.
Ἐὰν προς τινι εὐθείᾳ. καὶ τῳ ’προς αὐτῇ σημείῳ. , δύο εὐθεῖαι. μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μθρπ πειμενοω, τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαῆς ἴσας ποιῶσιν. ἐπὶ εὐθείας ἔσονται ἀλλήλαις αἱ εὐθεῖαι.	Si ad aliquam rectam, et ad punctum in ed, duse recte, non ad easdem partes posite, deinceps angulos duobus rectis quales faciant, in directum erunt sibi ipsis recte.
Πρὺς -γαρ τινι εὐθείᾳ τῇ ΑΒ. καὶ τῷ ΄7 : ʼρω ; αὐτῇ σʼΜμειω τῷ Β : δὺύο εὐθεῖαι αἱ ΒΓ. ΒΔ : μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι". τὰς ἐφεξῆς γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΒΔ δυσὶ ὀρθαῖς ἴσας ποιείτωσαν" λέγω ὅτι ἐπὶ εὐθείας ἐστὶ τῇ ΓΒ ἡ ΒΔ.	Ad aliquam enim rectam AB, et ad punctum in eá B, dux recte Bl, BA, non ad easdem partes posite, deinceps angulos ABD, ABA duobus rectis quales faciant ; dico in direc- tum esse ipsi IʼB ipsam BA.
Εἰ γὰρ μή ἐστι τῇ ΒΓ ἐπὶ εὐθείας ἡ ΒΔ, ἔστω τῇ ΤΒ ἐπ᾿ εὐθείας ἡ ΒΕ.	Si enim non est ipsi BT in directum BA, sit ipsi FB in directum BE.

Ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἢ ΑΒ ἐπ εὐθεῖαν τὴν ΓΒῈΕ. ς ν] « ε λ 7 Ν ἐφεστήηκεν5 αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ. ΑΒΕ γωνίαι δυσὶὴν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν" εἰσὶ δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ. , ΑΒΔ	Quoniam igitur recta AB super rectam IʼBE insisüt, ABI, ABE anguli duobus rectis equa- les sunt ; sunt autem et ABL, ABA duobus
δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι" αἱ ἀρα ὑπὸ ΤΒΑ. ΑΒῈΕ ταῖς ὑπὸτΒᾷΑ. , ΑΒΔ ἴσαι εἰσί, Κοινὴ αφῃρτἷσθω ἡ ὑπὸ ΓΒΑ" λοιπὴ ἀρα ἡ ὑπὸ ΑΒΕ λο, πῇ τῇ ὑπὸ ΑΒΔ ἀδύνατον. Οὐκ ἄρα ἐπ᾿ εὐθείας ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΒΓ. Ομοίως δὴ δείξομεν. ὁτι οὐδὲ ἄλλη τις πλὴν τῆς ΒΔ ἐπὶ εὐθείας ἄρὰ ἐστὶν Ἡ ΤΒ τῇ ΒΔ. Ἐὰν ἀρὰ, καὶ τὰ ἑξῆς.	rectis zquales ; ergo LlʼBA, ABE ipsis TBA ; ABA zquales sunt. Communis auferatur TBA ; reliquus igitur ABE reliquo ABA est equalis, minor majori, quod est impossibile. Non igitur in directum est BE ipsi BT. Similiter autem ostendemus neque esse aliam quamdam prater BA ; in directum igitur est IʼB ipsi BA. $i igitur, etc.

PROPOSITION XIV.

Si à une droite, et à un point de cette droite, deux droites, non placées du même côté font les angles de suite égaux à deux droits, ces deux droites seront dans la même direction.

Qu’à une droite 48, et à un point B de cette droite, les deux droites Br, BA, non placées du même côté, fassent les angles de suite ABT, ABA égaux à deux droits ; je dis que BA est dans la direction de rs.

Car si BA n’est point dans la direction de Br, que BE soit dans la direction de re (dem. 2 }.

Puisque la droite AB est placée sur la droite TBE, les angles ABT, ABE sont égaux à deux droits (13) ; mais les angles ABT, ABA sont égaux à deux droits ; donc les angles TBA, ABE sont égaux aux angles TBA, ABA. Retranchons l’angle commun TBA, l’angle restant ABE sera égal à l’angle restant ABA, le plus petit au plus grand ; ce qui est impossible. BE n’est donc pas dans la direction de zr. Nous démontrerons semblablement qu’il n’y en a point d’autre excepté Ba ; donc ΓB est dans la direction de BΔ. Donc, etc.