TRIGONOMÉTRIE.
Note sur l’analise des sections angulaires ;
Par un Abonné.
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Soit posé, avec M. Poisson (Bulletin universel 1825, n.o 9, pag. 142),
![{\displaystyle {\begin{aligned}&X=\operatorname {Cos} .max+{\frac {m}{1}}\operatorname {Cos} .(m-2)x+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\operatorname {Cos} .(m-4)x+\ldots \\\\&X'=\operatorname {Sin} .max+{\frac {m}{1}}\operatorname {Sin} .(m-2)x+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\operatorname {Sin} .(m-4)x+\ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/211b1e2b669ad1986da8b5e7ba61380c50461d1b)
on aura comme l’on sait
![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)^{m}=X+X'{\sqrt {-1}},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f77a423ad5bcfe09f4f43cf4b10ef7ff0448d3a)
ou bien
![{\displaystyle \quad (2\operatorname {Cos} .x)^{m}=X-X'{\sqrt {-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff1cf388958c210c05bce8295f0838897dea23c5)
d’où il suit que le second membre de la première équation, en
changeant
en
devra être supposé identique avec le second membre de la seconde où on aurait changé
en
et
étant deux nombres entiers, compris entre
et
dénominateur de
et ces nombres entiers étant accouplés d’une manière convenable. On voit en effet que, par l’effet de cette substitution, les premiers membres Réprouvent aucun changement.
Mais alors
![{\displaystyle X+X'{\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71093d00a6dcf8f390035fcc7a766fbde6793252)
se change en
![{\displaystyle \left(X+X'{\sqrt {-1}}\right)\left(\operatorname {Cos} .2mi\varpi +{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2mi\varpi \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d1d19a74810f4637a220f013e97dde5dc04e77e)
![{\displaystyle X-X'{\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd82ac8af780e76f70eb39c21888237b87ad9f23)
se change en
![{\displaystyle \left(X-X'{\sqrt {-1}}\right)\left(\operatorname {Cos} .2mi'\varpi -{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2mi'\varpi \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aef81d2824916fbfb242c972aa53bdb0f4c8b71e)
donc, par un choix convenable des nombres
et
on doit avoir
![{\displaystyle \left(X+X'{\sqrt {-1}}\right)\left(\operatorname {Cos} .2mi\varpi +{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2mi\varpi \right)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4172826385c27175ecf55564fe8bbf625360cf3)
![{\displaystyle \left(X-X'{\sqrt {-1}}\right)\left(\operatorname {Cos} .2mi'\varpi -{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2mi'\varpi \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a7efb7329eb52f619486f30b5f2f1b4406ff746)
qui se réduit à
![{\displaystyle \left(X+X'{\sqrt {-1}}\right)\left(\operatorname {Cos} .2m(i+i')\varpi +{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2m(i+i')\varpi \right)=X-X'{\sqrt {-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a19a44359c06abd5b7dd2ce5353c14dffa384b8)
En désignant par
soit la somme
si elle est moindre que
soit le reste de la division de cette somme par
si elle est plus grande ; il viendra
![{\displaystyle \left(X+X'{\sqrt {-1}}\right)\left(\operatorname {Cos} .2mk\varpi +{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2mk\varpi \right)=X-X'{\sqrt {-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1696ce0a0171eebdad32de3b83aa03c7ad71ebf)
ou, en développant et égalant séparément entre elles les parties réelles et les parties imaginaires
![{\displaystyle X(1-\operatorname {Cos} .2mk\varpi )+X'\operatorname {Sin} .2mk\varpi =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e8e84efc8afdeed41f4982a2c7df4e4be6f1299)
![{\displaystyle X\operatorname {Sin} .2mk\varpi +X'(1+\operatorname {Cos} .2mk\varpi )=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afcc12c408e4f66fd75a58159a279b48f7a73b8a)
ou encore
![{\displaystyle 2X\operatorname {Sin} .^{2}mk\varpi +2X'\operatorname {Sin} .mk\varpi \operatorname {Cos} .mk\varpi =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cbbc8863cc4d835a52d7935cf436ac476d06eab)
![{\displaystyle 2X\operatorname {Sin} .mk\varpi \operatorname {Cos} .mk\varpi +2X'\operatorname {Cos} .^{2}mk\varpi =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e495b56037d16b54fbfb9e6086d9aeee77d43013)
équations qui donnent également, en réduisant,
![{\displaystyle X\operatorname {Sin} .mk\varpi +X'\operatorname {Cos} .mk\varpi =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04fed613104e397c0d760fed825c9c1551d9152c)
Cette relation très-simple permet d’éliminer, à volonté, de la valeur de
l’une quelconque des deux fonctions
et
Si, par exemple, on en veut élimiuer la dernière, on aura
![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)^{m}=X-X'{\sqrt {-1}}=X+X{\frac {\operatorname {Sin} .mk\varpi }{\operatorname {Cos} .mk\varpi }}{\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7d1a1f892e4deaafc38ee079bcf70be30ae2702)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)^{m}=X{\frac {\operatorname {Cos} .mk\varpi +{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .mk\varpi }{\operatorname {Cos} .mk\varpi }}=X{\frac {\left(\operatorname {Cos} .k\varpi +{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .k\varpi \right)^{m}}{\operatorname {Cos} .mk\varpi }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87bd5229f45c673fcb3efec8bfb009b9109d41f3)
et on trouve aussi, d’après cela,
![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)^{m}=-X'{\frac {\left(\operatorname {Cos} .k\varpi +{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .k\varpi \right)^{m}}{\operatorname {Sin} .mk\varpi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3927cce1b8bd423bb1616a0dcde1bd6758976348)
Ces deux formules, qu’on peut regarder comme fondamentales, s’accordent avec celles de M. Poinsot, et se prêtent à tous les développemens qu’il a donnés à l’article de l’examen de l’analise d’Euler (Recherches sur l’analise des sections angulaires, pag. 68).
Les géomètres qui se sont occupés de ce sujet dans les Annales[1] se sont principalement attachés, pour la plupart, à produire au jour les
valeurs de la formule
mais la transformation qui réduit l’expression à ne contenir que l’une ou l’autre des deux fonctions
et
entrait bien aussi un peu dans la question, et pourtant aucun d’eux ne s’en est occupé. On peut être surpris qu’elle soit échappée, en particulier à M. Crelle, qui a traité ce sujet avec le plus de profondeur et de développement, et qui paraissait destiner ce qu’il avait écrit sur ce sujet à servir de commentaire à une traduction allemande du Calcul des fonctions qu’il préparait.
Ceci explique, entr’autres, pourquoi l’équation différentielle de Lagrange admet les deux solutions qui étaient pour M. Lacroix une source d’embarras (Traité de calcul différentiel et de calcul intégral, tom. III, pag. 616).
Du reste cette relation entre
et
se trouve aux notations près, dans le mémoire de M. Poinsot ; mais la manière dont elle s’y trouve amenée et les nombreux détails au milieu desquels elle se trouve absorbée permettent à peine de l’apercevoir.