QUESTIONS RÉSOLUES.
Solution du premier des deux problèmes de géométrie,
énoncés à la page 244 du précédent volume ;
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PROBLÈME. À un cercle donné inscrire ou circonscrire un triangle, dont les trois côtés forment une proportion continue, par différence ou par quotient, dont la raison soit donnée ?
Cet énoncé renferme évidemment quatre problèmes que nous allons traiter successivement.
I. Triangle inscrit.
Soit le rayon d’un cercle auquel on propose d’inscrire un triangle dont les trois côtés forment une proportion continue. Soient les trois côtés du triangle, en désignant par l’aire de ce triangle, on aura
mais d’un autre côté on sait que
d’où
donc en substituant
(1)
Cela posé, 1.o si les trois côtés doivent former une proportion continue par différences, en désignant par la raison donnée de cette progression, on aura
ce qui donnera, en substituant et réduisant,
ou bien
d’où l’on voit que, si le problème est possible, il admettra deux solutions. On tire de là
de sorte que le problème ne sera possible qu’autant que la raison n’excédera pas la moitié du rayon du cercle donné.
Le côté étant déterminé par cette formule facile à construire, on en conclura et et la solution du problème s’achèvera sans difficulté.
2.o Si les trois côtés doivent former une proportion continue par quotiens, en désignant par la raison donnée de cette progression, on aura
ce qui donnera, en substituant dans l’équation (1) et réduisant
d’où
d’où l’on voit que le problème est toujours possible, et n’admet qu’une solution unique.
De la valeur de on conclura celles de et de et la solution du problème s’achèvera sans difficulté.
II. Triangle circonscrit.
Soit le rayon d’un cercle, auquel on propose de circonscrire un triangle dont les trois côtés forment une proportion continue. Soient les trois côtés du triangle ; en désignant par comme ci-dessus, l’aire de ce triangle, on aura
mais, d’un autre côté on sait que
d’où
donc, en substituant
(2)
Cela posé, 1.o si les trois côtés doivent former une proportion continue par différences, en désignant par la raison donnée de cette progression, on aura
ce qui donnera, en substituant et réduisant
et par suite
quantité facile à construire, si l’on remarque que est le quarré de la corde du tiers de la circonférence. On voit que le problème, toujours possible, n’admet qu’une solution unique.
De la valeur de on conclura celles de et de et la solution du problème s’achèvera sans difficulté.
2.o Si les trois côtés doivent former une proportion continue par quotiens ; en désignant par la raison de cette progression, on aura
ce qui donnera, en substituant dans (2) et réduisant,
et conséquemment
On voit que le problème, toujours possible, n’admet qu’une solution unique.
De la valeur de on conclura celles de et de et la solution du problème s’achèvera sans difficulté.