ANALISE APPLIQUÉE.
Mémoire sur l’avantage du banquier au jeu de trente et quarante ;
Par
M. le B.
on Poisson, de l’académie royale des Sciences,
Conseiller au Conseil royal de l’instruction publique.
(Lu à l’Académie des Sciences le 13 mars 1820.)
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
L’évaluation des chances, dans les jeux de hasard, a été l’origine du calcul des probabilités, et l’objet des problèmes résolus d’abord par Pascal, Fermat, Huyghens et les autres géomètres qui se sont les premiers occupés de ce calcul. Ceux qui les ont suivis dans cette carrière, et particulièrement M. Laplace, ne se sont pas bornés à résoudre des problèmes de cette nature ; ils ont étendu les applications de ce calcul à des questions d’un plus grand intérêt ; et la théorie des probabilités est devenue une des branches les plus importantes des sciences mathématiques. Mais, parmi les nombreuses questions, d’espèces si différentes, qui dépendent de cette théorie, il en existe une qui n’a point encore fixé l’attention des géomètres, ou, du moins, je n’ai vu nulle part qu’ils se soient occupés du calcul des chances, dans le jeu connu indifféremment sous le nom de trente et quarante ou sous celui de trente et un. À la vérité, on trouve dans l’Encyclopédie, par ordre de matières, à la suite de la description de ce jeu, une évaluation numérique des chances qu’il présente, mais, avec un peu de réflexion, on s’assure aisément de l’inexactitude du principe sur lequel ce calcul est fondé. Cependant, le trente et un étant le jeu auquel on expose annuellement le plus d’argent, dans les jeux publics, il serait utile de reconnaître à priori l’avantage des personnes auxquelles la ville de Paris concède le privilège exclusif de ces jeux. Cette question d’ailleurs, par la complication des conditions du jeu, est un des problèmes de probabilité les plus curieux qu’on puisse se proposer. La plupart de ces problèmes se résolvent, comme on sait, par des méthodes uniformes, fondées sur l’intégration des équations aux différences finies et partielles ; mais, dans la question dont il s’agit ici, on ne tarde pas à reconnaître que l’usage de ces équations ne pourrait être d’aucun secours, et l’on est obligé, pour la résoudre, de recourir à de nouveaux moyens. Ceux que j’ai employés, dans ce mémoire, m’ont conduit à des formules dont le développement, suivant les puissances d’une ou de plusieurs variables, fera connaître toutes les chances du trente et quarante que l’on voudra déterminer ; de la même manière que, dans des questions moins compliquées, le développement de la puissance d’un binôme, ou d’un polynôme composé de plus de deux termes, sert à trouver la probabilité des événemens composés, d’après celle des événemens simples. La conséquence principale que j’en ai déduite est qu’au jeu du trente et quarante, l’avantage du banquier est à très-peu près égal aux onze millièmes de la somme des mises, ou, autrement dit, que, dans une très-longue suite de coups, celui que l’on nomme refait de trente et un, et pour lequel le banquier prend la demi-somme des mises, doit revenir, à très-peu près, vingt-deux fois pour un millier de coups ; la probabilité de cette proportion pouvant approcher de la certitude d’aussi près qu’on voudra, en prolongeant le jeu convenablement.
1. Le jeu de trente et quarante se joue avec six jeux de cartes complets, formant en tout
cartes. Les figures comptent pour dix, les as pour un, et chacune des autres cartes pour le nombre de ses points. Toutes les cartes étant mêlées, on tire successivement une, deux, trois, … cartes, jusqu’à ce que la somme des points des cartes tirées ait passé trente ; et l’on s’arrête aussitôt qu’elle a dépassé cette limite. On fait ensuite un second tirage, semblable au premier, c’est-à-dire, que l’on tire de même, sur les cartes restantes, une, deux, trois, … cartes, jusqu’à ce que la somme de leurs points ait surpassé trente. L’ensemble de ces deux tirages forme ce qu’on appelle un coup. Après le premier coup, on en joue un second, de la même manière, avec les cartes restantes ; après celui-ci un troisième ; et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on ait épuisé la totalité des cartes que l’on avait d’abord. Quand ces
cartes sont tirées, ou bien, quand il n’en reste plus assez pour faire un coup complet, on a achevé ce qu’on appelle une taille ; et le jeu peut ensuite recommencer, suivant les mêmes règles, avec les mêmes ou d’autres cartes.
Puisque l’on s’arrête, dans chaque tirage, dès qu’on a dépassé trente, et puisque
est le plus haut point qu’une carte puisse amener, il s’ensuit que chaque tirage ne peut présenter que
points différens, dont le plus petit sera
et le plus grand
En ajoutant les points de toutes les cartes qui composent six jeux complets, la somme est égale à
Chaque coup emploîra au plus
et au moins
de ces points ; le nombre des coups qui composeront une taille entière sera donc toujours compris entre
et
ou entre
et
Avant qu’un coup soit commencé, chaque joueur parie contre le banquier, pour l’un ou l’autre des deux tirages dont ce coup sera composé. Le tirage qui amène le plus petit point, ou le moins éloigné de trente, est celui qui gagne. Le banquier paye aux joueurs qui ont parié pour ce tirage une somme égale à celle qu’ils ont jouée, et il prend les mises des joueurs qui ont parié pour l’autre tirage[1]. Si les deux tirages amènent des points égaux, et supérieurs à
comme
et
et
et
le coup est nul : le banquier ne paye ni ne reçoit rien pour ces sortes de coups ; de sorte que s’il en était de même pour le coup
et
le banquier n’aurait évidemment aucun avantage, et le jeu serait parfaitement égal entre les joueurs et lui. Mais, lorsqu’il arrive ce qu’on appelle un refait de 31, ou autrement dit, si les deux tirages d’un même coup amènent ce nombre, le coup n’est pas réputé nul, et le banquier prend la moitié des mises de tous les joueurs. L’avantage du banquier, au jeu de trente et quarante, est donc égal, pour chaque coup, à la demi-somme de toutes les mises, multipliée par la probabilité du refait de 31, relative à ce coup. Ainsi, l’objet principal de ce mémoire consiste à déterminer cette probabilité. Mais nous allons, auparavant, résoudre plusieurs problèmes de hasard qui n’avaient point encore été traités jusqu’ici, et dont cette détermination ne sera plus qu’une application particulière.
2. Une urne renferme
portant le numéro
boules portant le numéro
boules portant le numéro
enfin
boules portant le numéro
le plus haut de tous ceux dont les boules sont marquées ; on tire successivement une, deux, trois, … boules, sans les remettre dans l’urne, après qu’elles en sont sorties ; cette suite de tirages se continue, jusqu’à ce que la somme des numéros amenés par les boules ait atteint ou surpassé un nombre donné
on demande la probabilité que cette somme sera égale au nombre
?
Soit
le nombre total des boules contenues dans l’urne ; en sorte qu’on ait
![{\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}+\ldots x_{i}=s.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76522279f08fab7950395f5874e89a2c8f9d2d18)
Désignons par
des nombres entiers ou nuls, respectivement moindres que
ou qui leur soient tout au plus égaux ; et faisons aussi
![{\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots a_{i}=n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1398954510601646ef24b62586c294872a1ba5a)
Par les premières règles du calcul des probabilités, si l’on fait un nombre
de tirages successifs, sans remettre les boules dans l’urne, la probabilité d’amener d’abord
boules n.o 1, ensuite
boules n.o 2, puis
boules n.o 3 …, enfin
boules n.o i, sera exprimée par
![{\displaystyle {\frac {(s-n)!}{s!}}.{\frac {x_{1}!}{(x_{1}-a_{1}-1)!}}.{\frac {x_{2}!}{(x_{2}-a_{2}-1)!}}.{\frac {x_{3}!}{(x_{3}-a_{3}-1)!}}.\ldots {\frac {x_{i}!}{(x_{i}-a_{i}-1)!}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3ad028fa0fb9365ae80a40f034c1a02f47fef2a)
en adoptant, en général, avec quelques géomètres, pour la commodité typographique, l’expression
comme le symbole de
Pour en déduire la probabilité d’amener, dans un ordre quelconque, en
tirages,
boule n.o 1,
boules n.o 2,
boules n.o 3 …
boules n.o i, il faudrait multiplier cette quantité par le nombre
de permutations dont sont susceptibles les
numéros amenés, si tous ces numéros étaient différens ; mais, à cause que les numéros égaux ne doivent pas être permutés entre eux, il faudra multiplier la probabilité précédemment obtenue seulement par
![{\displaystyle {\frac {n!}{a_{1}!a_{2}!a_{3}!\ldots a_{i}!}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36022b91289bb37a6234c9899118e1dd4d945e9b)
ce qui donnera un produit qui pourra s’écrire ainsi
![{\displaystyle {\frac {n!(s-n)!}{s!}}.{\frac {x_{1}!}{a_{1}!(x_{1}-a_{1}-1)!}}.{\frac {x_{2}!}{a_{2}!(x_{2}-a_{2}-1)!}}.\ldots {\frac {x_{i}!}{a_{i}!(x_{i}-a_{i}-1)!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d212ac20b4052ea71f58686930fb5f7a22b0d00)
Or, en intégrant, depuis
jusqu’à
on a
![{\displaystyle {\frac {n!(s-n)!}{s!}}=(s+1)\int (1-y)^{s-n}y^{n}ddy\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab067671d080880c1bc39aa0d23cd76b29c57809)
en faisant donc, pour abréger
![{\displaystyle {\frac {x_{1}!y^{a_{1}}}{a_{1}!(x_{1}-a_{1}-1)!(1-y)^{a_{1}}}}.{\frac {x_{2}!y^{a_{2}}}{a_{2}!(x_{2}-a_{2}-1)!(1-y)^{a_{2}}}}.\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/478539fb753c2df073a879404cacfc304eff9a25)
![{\displaystyle {\frac {x_{i}!y^{a_{i}}}{a_{i}!(x_{i}-a_{i}-1)!(1-y)^{a_{i}}}}=Y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8361964dd458ec94670de1d6449958334e89c82a)
et observant que la somme des exposans
est égale à
ce produit deviendra donc
![{\displaystyle (s+1)\int (1-y)^{s}Yddy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5514f57bbe34b61081ec8734086fddacde8e0d20)
La somme des numéros amenés par cette suite de tirages sera
or, d’après l’énoncé du problème, cette somme doit être égale à
la probabilité demandée par cet énoncé sera donc égale à la somme des valeurs que l’on déduira de l’expression
en y donnant aux nombres
toutes les valeurs, y compris zéro, qui satisfont à l’équation
![{\displaystyle a_{1}+2a_{2}+3a_{3}+\ldots +ia_{i}=x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5d3e0f49bf812e9fdc788af5706c59b17df29e1)
Donc, si nous désignons par
la somme de toutes les valeurs de
qui répondent à ces valeurs de
et par
la probabilité demandée, nous aurons
![{\displaystyle X=(s+1)\int (1-y)^{s}Y_{1}ddy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5737e459eee0b7c5c29849ad1599c816efd2255)
Maintenant, prenons une indéterminée
et supposons qu’on fasse le produit des séries suivantes :
![{\displaystyle 1+{\frac {x_{1}}{1}}.{\frac {yt}{1-y}}+{\frac {x_{1}}{1}}.{\frac {x_{1}-1}{2}}.{\frac {y^{2}t^{2}}{(1-y)^{2}}}+{\frac {x_{1}}{1}}.{\frac {x_{1}-1}{2}}.{\frac {x_{1}-2}{3}}.{\frac {y^{3}t^{3}}{(1-y)^{3}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b6792db0c11538999f0d2036953c7d0a4cb6658)
![{\displaystyle 1+{\frac {x_{2}}{1}}.{\frac {yt^{2}}{1-y}}+{\frac {x_{2}}{1}}.{\frac {x_{2}-1}{2}}.{\frac {y^{2}t^{4}}{(1-y)^{2}}}+{\frac {x_{2}}{1}}.{\frac {x_{2}-1}{2}}.{\frac {x_{2}-2}{3}}.{\frac {y^{3}t^{6}}{(1-y)^{3}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e303f1b8736283a10b9f24172c01c3e345d7d5)
![{\displaystyle 1+{\frac {x_{i}}{1}}.{\frac {yt^{i}}{1-y}}+{\frac {x_{i}}{1}}.{\frac {x_{i}-1}{2}}.{\frac {y^{2}t^{2i}}{(1-y)^{2}}}+{\frac {x_{i}}{1}}.{\frac {x_{i}-1}{2}}.{\frac {x_{i}-2}{3}}.{\frac {y^{3}t^{3i}}{(1-y)^{3}}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9757738fd09cfd8ad7cbac02eb8bda17f20650b8)
si l’on ordonne ce produit par rapport aux puissances de
il est évident, d’après la forme de
que la somme
des valeurs de cette quantité ne sera autre chose que le coefficient de
dans la série qu’on obtiendra ; d’ailleurs, les
facteurs du produit sont les développemens des puissances
![{\displaystyle \left(1+{\frac {yt}{1-y}}\right)^{x_{1}},\quad \left(1+{\frac {yt^{2}}{1-y}}\right)^{x_{2}},\ldots \left(1+{\frac {yt^{i}}{1-y}}\right)^{x_{i}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/486e74a1192afbe17eba6a085e402df8544d365d)
donc, à cause de
sera le coefficient de
dans le développement du produit
![{\displaystyle (1-y)^{s}(1-y+yt)^{x_{1}}\left(1-y+yt^{2}\right)^{x_{2}}\ldots \left(1-y+yt^{i}\right)^{x_{i}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f669fcc5b4d6b77da0ac2c3573f4918cdca7ed4a)
et par conséquent, la probabilité
sera aussi le coefficient de
dans le développement de
![{\displaystyle (s+1)\int (1-y+yt)^{x_{1}}\left(1-y+yt^{2}\right)^{x_{2}}\left(1-y+yt^{3}\right)^{x_{3}}\ldots \left(1-y+yt^{i}\right)^{x_{i}}\operatorname {d} y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e9680ef5a12fd08c6f8a67925ee5c9c74167c2a)
l’intégrale étant prise, comme précédemment, depuis
jusqu’à ![{\displaystyle y=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79ef7c33df0c4a9c6b609f8a1f2502d74e003f5f)
3. Pour résoudre le même problème par le moyen des équations aux différences finies, j’observe que la probabilité demandée est une fonction du nombre
et des nombres
et je la désigne par
Après le premier tirage, cette fonction deviendra l’une des quantités
![{\displaystyle {\begin{aligned}&Z_{x-1,x_{1}-1,x_{2},x_{3},\ldots x_{i}},\\&Z_{x-2,x_{1},x_{2}-1,x_{3},\ldots x_{i}},\\&Z_{x-3,x_{1},x_{2},x_{3}-1,\ldots x_{i}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&Z_{x-i,x_{1},x_{2},x_{3},\ldots x_{i}-1},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94596213eaaf3468378b8cbfcbeb790f5fb940ad)
suivant que la boule sortie portera quelqu’un des numéros
respectivement. Les probabilités de ces événemens sont d’ailleurs respectivement
![{\displaystyle {\frac {x_{1}}{s}},{\frac {x_{2}}{s}},{\frac {x_{3}}{s}},\ldots {\frac {x_{i}}{s}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc00108c2b0220e988839e3b6308d6868ec331c0)
or, il est évident que la probabilité avant le premier tirage est égale à la somme des probabilités qui auront lieu après, multipliées chacune par la probabilité de l’événement auquel elle répond : c’est ce principe qui sert à mettre en équation la plupart des problèmes de probabilité ; et, dans la question présente, il en résulte que nous aurons
![{\displaystyle Z_{x,x_{1},x_{2},x_{3},\ldots x_{i}}=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {x_{1}}{s}}Z_{x-1,x_{1}-1,x_{2},x_{3},\ldots x_{i}}\\+&{\frac {x_{2}}{s}}Z_{x-2,x_{1},x_{2}-1,x_{3},\ldots x_{i}}\\+&{\frac {x_{2}}{s}}Z_{x-3,x_{1},x_{2},x_{3}-1,\ldots x_{i}}\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&{\frac {x_{i}}{s}}Z_{x-i,x_{1},x_{2},x_{3},\ldots x_{i}-1}\end{aligned}}\right\}(1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea2a485841668b132294ebf12f961b0acba66e25)
Le même raisonnement montre que, si l’on a
étant plus petit que
on aura
![{\displaystyle Z_{a,x_{1},x_{2},x_{3},\ldots x_{i}}=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {x_{1}}{s}}Z_{a-1,x_{1}-1,x_{2},x_{3},\ldots x_{i}}\\+&{\frac {x_{2}}{s}}Z_{a-2,x_{1},x_{2}-1,x_{3},\ldots x_{i}}\\+&{\frac {x_{2}}{s}}Z_{a-3,x_{1},x_{2},x_{3}-1,\ldots x_{i}}\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&{\frac {x_{a-1}}{s}}Z_{1,x_{1},x_{2},x_{3},\ldots x_{a-1}-1\ldots x_{i}}+&{\frac {x_{a}}{s}}.\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ca072198d2f319ae8f66e3be8788361d903049c)
En comparant cette équation à la précédente, on voit que, pour qu’elle y soit comprise, et pour que l’équation (1) subsiste, pour toutes les valeurs de
il est nécessaire de supposer la fonction
égale à l’unité, quand
et nulle, pour toutes les valeurs négatives de
plus petites que
abstraction faite du signe, quelles que soient d’ailleurs les autres variables
Cela étant, en faisant successivement
dans l’équation (1), on en déduira
![{\displaystyle Z_{1,x_{1},x_{2},\ldots x_{i}}={\frac {x_{1}}{s}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dc06ce2b722731ace44c77185e5b142cbbd50c3)
![{\displaystyle Z_{2,x_{1},x_{2},\ldots x_{i}}={\frac {x_{1}}{s}}Z_{1,x_{1}-1,x_{2},\ldots x_{i}}+{\frac {x_{1}}{s}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1c61f3bea68a34197d1896cb69c526d2c5b3d2a)
![{\displaystyle Z_{3,x_{1},x_{2},\ldots x_{i}}={\frac {x_{1}}{s}}Z_{2,x_{1}-1,x_{2},\ldots x_{i}}+{\frac {x_{1}}{s}}Z_{3,x_{1},x_{2}-1,\ldots x_{i}}+{\frac {x_{1}}{s}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50b113e1959c0ee594bd830e52b734a14221fb2d)
mettant aussi successivement
à la place de
dans la première de ces équations, on pourra ensuite éliminer les quantités
![{\displaystyle {\begin{aligned}&Z_{1,x_{1}-1,x_{2},x_{3},\ldots x_{i}},\\&Z_{1,x_{1},x_{2}-1,x_{3},\ldots x_{i}},\\&Z_{1,x_{1},x_{2},x_{3}-1,\ldots x_{i}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3de5523107ec48d48b5035ff1ecdec90bc3636ec)
contenues dans les autres, et l’on aura
![{\displaystyle Z_{2,x_{1},x_{2},\ldots x_{i}}={\frac {x_{1}}{s}}.{\frac {x_{1}-1}{s-1}}+{\frac {x_{2}}{s}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ca651e65ec9e7670910608c9235294d696b8ff8)
![{\displaystyle Z_{3,x_{1},x_{2},\ldots x_{i}}={\frac {x_{1}}{s}}Z_{2,x_{1}-1,x_{2},\ldots x_{i}}+{\frac {x_{2}}{s}}.{\frac {x_{1}}{s-1}}+{\frac {x_{3}}{s}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cd525436c908618e0548746d290d2434a9153b3)
et de même, au moyen de celles-ci, on obtiendrait
![{\displaystyle Z_{3,x_{1},x_{2},\ldots x_{i}}={\frac {x_{1}}{s}}.{\frac {x_{1}-1}{s-1}}.{\frac {x_{1}-2}{s-2}}+2{\frac {x_{2}}{s}}.{\frac {x_{1}}{s-1}}+{\frac {x_{3}}{s}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c77f7f5a9895576d430063af9fb7ffbe987d34b0)
et ainsi de suite.
De cette manière, on calculera aisément la probabilité demandée, lorsque
sera un petit nombre ; mais le calcul deviendra impraticable, dès que ce nombre sera un peu considérable ; et il faudra alors recourir à l’intégrale générale de l’équation (1). Cette équation linéaire a ses coefficiens variables ; néanmoins, si l’on multiplie tous ses termes par
ses coefficiens ne renfermeront les variables qu’au premier degré ; circonstance d’après laquelle il sera possible d’intégrer l’équation (1) par le moyen des intégrales définies. Mais cette méthode ne conduirait que très-difficilement à la solution du problème que nous nous sommes proposé ; c’est pourquoi nous nous bornerons à vérifier que la solution que nous avons trouvée satisfait à l’équation (1).
4. Soit, pour y parvenir,
![{\displaystyle \Sigma t^{x}Z_{x,x_{1}-1,x_{2},x_{3},\ldots x_{i}}=T_{x_{1}-1,x_{2},x_{3},\ldots x_{i}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5803992aa05730d25ebd4958ac2072c1dd76cce)
indiquant une somme qui s’étend à toutes les valeurs entières et positives de
y compris
et jusqu’à
Les valeurs de la fonction
qui répondent à des
négatives étant nulles, d’après ce qu’on a dit plus haut, on aura
![{\displaystyle \Sigma t^{x}Z_{x-i',x_{1},x_{2},\ldots x_{i}}=t^{i'}T_{x_{1}-1,x_{2},\ldots x_{i}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f49c3a39665d8372a3d11724d862f24386b3f10)
étant un nombre entier et positif ; et, à cause que cette fonction
est égale à l’unité quand
le premier terme de la fonction
sera aussi égal à un. Si donc nous multiplions l’équation (1) par
que nous donnions ensuite à
toutes les valeurs comprises depuis
jusqu’à
et que nous fassions la somme de toutes les équations qui répondent à ces valeurs, nous aurons pour résultat
![{\displaystyle T_{x_{1}-1,x_{2},\ldots x_{i}}-1=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {tx_{1}}{s}}T_{x_{1}-1,x_{2},x_{3},\ldots x_{i}}\\+&{\frac {t^{2}x_{2}}{s}}T_{x_{1},x_{2}-1,x_{3},\ldots x_{i}}\\+&{\frac {t^{3}x_{3}}{s}}T_{x_{1},x_{2},x_{3}-1,\ldots x_{i}}\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&\qquad T_{x_{1},x_{2},x_{3},\ldots x_{i}-1}\end{aligned}}\right\}(2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a7e14a1f7d0d70367475a580bc346de6d2b422)
D’ailleurs, en ayant égard à l’expression de
trouvée à la fin du n.o 1, et qui doit aussi être la valeur de la fonction
on voit qu’on doit avoir
![{\displaystyle T_{x_{1},x_{2},x_{3},\ldots x_{i}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7034a8b06ce6d6fd6d71572c1c563dd1e28715a2)
![{\displaystyle (s+1)\int (1-y)^{s}(1-y+yt)^{x_{1}}\left(1-y+yt^{2}\right)^{x_{2}}\ldots \left(1-y+yt^{i}\right)^{x_{i}}\operatorname {d} y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb1cf935b271ca864216abe93461ea839f3ca908)
l’intégrale étant prise depuis
jusqu’à
la question consiste donc à vérifier que cette valeur de la fonction
satisfait à l’équation (2), quelle que soit la variable ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Or, je fais
![{\displaystyle {\frac {y}{1-y}}=u,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/487fdfbeffc90104b5fdf50032e3d956ad14245f)
ou
![{\displaystyle y={\frac {u}{1+u}},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd6dfde66b14698a7004401440ae07ab9ff820b)
et
![{\displaystyle \operatorname {d} y={\frac {\operatorname {d} u}{(1+u)^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd3d35e0ede73ff6a5f5a153acc1b43b37e20ad2)
et, pour abréger,
![{\displaystyle (1+ut)^{x_{1}}.(1+ut^{2})^{x_{2}}.(1+ut^{3})^{x_{3}}\ldots (1+ut^{i})^{x_{i}}=U\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13e89f217d7fbddc107a214d343e572f84a6696a)
l’équation précédente devient
![{\displaystyle T_{x_{1}-1,x_{2},x_{3},\ldots x_{i}}=(s+1)\int {\frac {U\operatorname {d} u}{(1+u)^{s+2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a61871785042d411e81ded31e51b63af66d147d)
et l’intégrale devra être prise depuis
0 jusqu’à
En mettant successivement, dans cette équation précédente ![{\displaystyle x_{1}-1,\ x_{2}-1,\ x_{3}-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbe5c15c47ee0351858c168fca85cb5f7a91d70e)
à la place de
et, en même temps,
à la place de
on aura
![{\displaystyle T_{x_{1}-1,x_{2},\ldots x_{i}}=s\int (1-y+yt)^{x_{1}-1}\left(1-y+yt^{2}\right)^{x_{2}}\ldots \left(1-y+yt^{i}\right)^{x_{i}}\operatorname {d} y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bfe8a480e7e70295734b87ca5ebf600ee378db5)
![{\displaystyle T_{x_{1},x_{2}-1,\ldots x_{i}}=s\int (1-y+yt)^{x_{1}}\left(1-y+yt^{2}\right)^{x_{2}-1}\ldots \left(1-y+yt^{i}\right)^{x_{i}}\operatorname {d} y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/702034a2c221a03a327d17a616574aa11cd5751d)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
![{\displaystyle T_{x_{1},x_{2},\ldots x_{i}-1}=s\int (1-y+yt)^{x_{1}}\left(1-y+yt^{2}\right)^{x_{2}}\ldots \left(1-y+yt^{i}\right)^{x_{i}-1}\operatorname {d} y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c3bd53a302eeb308ce85492200120f6cae302eb)
mais, en différentiant
par rapport à
on a
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} u}}=\left\{{\begin{aligned}&tx_{1}(1+ut)^{x_{1}-1}.\left(1+ut^{2}\right)^{x_{2}}\ldots \left(1+ut^{i}\right)^{x_{i}}\\\\+&t^{2}x_{2}(1+ut)^{x_{1}}.\left(1+ut^{2}\right)^{x_{2}-1}\ldots \left(1+ut^{i}\right)^{x_{i}}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&t^{i}x_{2}(1+ut)^{x_{1}}.\left(1+ut^{2}\right)^{x_{2}}\ldots \left(1+ut^{i}\right)^{x_{i}-1}\end{aligned}}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6260e912d251c4376446bcd8777233d3b8168b98)
et, si l’on compare cette équation aux précédentes, on en conclut facilement
![{\displaystyle s\int {\frac {\operatorname {d} U}{(1+u)^{s+1}}}=\left\{{\begin{aligned}&tx_{1}T_{x_{1}-1,x_{2},x_{3},\ldots x_{i}}\\+&t^{2}x_{2}T_{x_{1},x_{2}-1,x_{3},\ldots x_{i}}\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&t^{i}x_{i}T_{x_{1},x_{2},x_{3},\ldots x_{i}-1}\end{aligned}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddb0cc16f8fc15ee1962d6f0e21497ccdf062570)
Au moyen de ces résultats, l’équation (2) devient
![{\displaystyle (s+1)\int {\frac {U\operatorname {d} u}{(1+u)^{s+2}}}-1=\int {\frac {\operatorname {d} U}{(1+u)^{s+1}}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6360de69fd2450af1f73ec6171ce9adca17721c5)
(3)
mais, en intégrant par parties, il vient
![{\displaystyle \int {\frac {\operatorname {d} U}{(1+u)^{s+1}}}={\frac {U}{(1+u)^{s+1}}}+(s+1)\int {\frac {U\operatorname {d} u}{(1+u)^{s+2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e66abe1cec949cf328d21055795345b75864b667)
à la limite
on a
à la limite
on a
![{\displaystyle {\frac {U}{(1+u)^{s+1}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f322add003b01d53c65a2841f30b275002ae404)
parce que
est le produit de
facteurs du premier degré par rapport à
on aura donc
![{\displaystyle \int {\frac {\operatorname {d} U}{(1+u)^{s+1}}}=-1+(s+1)\int {\frac {U\operatorname {d} u}{(1+u)^{s+2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/082cd173ca2f464f2de471f682e6178f87f8fab9)
ce qui rend identique l’équation (3) qu’il s’agissait de vérifier.
5. Maintenant, proposons-nous ce second problème : les mêmes choses étant posées que dans le premier, on fait une première suite de tirages que l’on continue jusqu’à ce que la somme des numéros amenés ait atteint ou surpassé le nombre
ensuite, sans remettre les numéros sortis, on fait une seconde suite de tirages, que l’on prolonge jusqu’à ce que la somme des numéros amenés ait de même atteint ou surpassé un nombre aussi donné
on demande la probabilité qu’on obtiendra, à la fois, la somme
dans la première opération, et la somme
dans la seconde ?
Comme dans le premier problème, la probabilité d’amener, dans la première suite de tirages et dans un ordre quelconque,
boules n.o 1,
boules n.o 2,
boules n.o 3 …,
boules n.o i, sera exprimée par
![{\displaystyle {\frac {n!(s-n)!}{s!}}.{\frac {x_{1}!}{a_{1}!(x_{1}-a_{1})!}}.{\frac {x_{2}!}{a_{2}!(x_{2}-a_{2})!}}.\ldots {\frac {x_{i}!}{a_{i}!(x_{i}-a_{i})!}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/003de10918daa84e0f9b56086a760a87f58be6d0)
cet événement ayant eu lieu, la probabilité d’amener à la seconde suite de tirages, aussi dans un ordre quelconque,
boules n.o 1,
boules n.o 2,
n.o 3, …,
boules n.o i, sera
![{\displaystyle {\frac {n!(s-n-n')!}{(s-n)!}}.{\frac {(x_{1}-a_{1})!}{b_{1}!(x_{1}-a_{1}-b_{1})!}}.{\frac {(x_{2}-a_{2})!}{b_{2}!(x_{2}-a_{2}-b_{2})!}}.\ldots {\frac {(x_{i}-a_{i})!}{b_{i}!(x_{i}-a_{i}-b_{i})!}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3063567b6d9f9ab436380e9868aeb08507103d5b)
en désignant respectivement par
et
les nombres de numéros qui composent le premier et le second tirages, c’est-à-dire, en faisant
![{\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots a_{i}=n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cc547818eb8bc46458b404691d254d459ce51d4)
![{\displaystyle b_{1}+b_{2}+b_{3}+\ldots b_{i}=n'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e63e1f02a44c95a45f6c676be1ed5cd65316638)
La probabilité de la succession de ces deux événemens l’un à l’autre sera le produit des deux probabilités qui leur correspondent, lequel produit pourra s’écrire ainsi
![{\displaystyle {\frac {(n+n')!(s-n-n')!}{s!}}.{\frac {n!n'!}{(n+n')!}}\times }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/066a84c66d887d82595c4a4fb79e935d5409d722)
![{\displaystyle {\frac {x_{1}!}{a_{1}!b_{1}!(x_{1}-a_{1}-b_{1})!}}.{\frac {x_{2}!}{a_{2}!b_{2}!(x_{2}-a_{2}-b_{2})!}}.\ldots {\frac {x_{i}!}{a_{i}!b_{i}!(x_{i}-a_{i}-b_{i})!}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd6b3b9685dec65b38f289f218557cfb29bdf252)
or, en intégrant depuis
jusqu’à
et depuis
jusqu’à
nous avons
![{\displaystyle {\frac {(n+n')!(s-n-n')!}{s!}}.(s+1)=\int (1-y)^{s-n-n'}y^{n+n'}\operatorname {d} y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df30206a752bb7768010be965daff7c0b448faa8)
![{\displaystyle {\frac {n!n'!}{(n+n')!}}=(n+n'+1)\int (1-z)^{n'}z^{n}\operatorname {d} z\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e088526b306ca70872795ed87ffd27a7b285ca37)
de plus en faisant
après la différentiation, nous avons aussi
![{\displaystyle n+n'+1={\frac {\operatorname {d} .\alpha ^{n+n'+1}}{\operatorname {d} \alpha }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7bc036d2ef61cff7a19d02522657a7f589dd494)
ce qui change la dernière équation en celle-ci
![{\displaystyle {\frac {n!n'!}{(n+n')!}}={\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} \alpha }}\int (1-z)^{n'}z^{n}.\alpha ^{n+n'+1}\operatorname {d} z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a7c6d21a90b28e85a05734d7616e8af2a4a6d8)
et, au moyen de ces valeurs et de celles de
et
le précédent produit sera égal à
![{\displaystyle (s+1){\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} \alpha }}\iint P(1-y)^{s}\alpha \operatorname {d} y\operatorname {d} z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d255de446d85f6c623d7755ff7a6bb1144c4d35d)
en faisant, pour abréger
![{\displaystyle X_{1}.X_{2}.X_{3}\ldots X_{i}=P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6114484bdb147266e5c24b915a0ff2e9d9e0590)
où l’on désigne par
en général, le produit
![{\displaystyle {\frac {x_{m}!y^{a_{m}+b_{m}}(1-z)^{b_{m}}z^{a_{m}}\alpha ^{a_{m}+b_{m}}}{a_{m}!b_{m}!(x_{m}-a_{m}-b_{m})!(1-y)^{a_{m}+b_{m}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7016fdcb394e34cd0dbeedd8a4229d95a1a93578)
l’indice
étant un des nombres compris depuis
jusqu’à ![{\displaystyle i.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ffcf9ad7ad44f04fa43c5b604b4801e089981cb)
L’énoncé du problème exige que l’on ait
![{\displaystyle a_{1}+2a_{2}+3a_{3}+\ldots +ia_{i}=x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7b371776c919eb7135c2f6ac84c759e9549dd26)
![{\displaystyle b_{1}+2b_{2}+3b_{3}+\ldots +ib_{i}=x'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bad03abdbb6d053c05614f9a4dc74ab8854900c4)
donc, si l’on donne aux nombres entiers positifs
toutes les valeurs possibles qui satisfont à ces conditions, qu’on appelle
la somme des valeurs correspondantes de
et
la probabilité demandée par ce même énoncé, on aura
![{\displaystyle p=(s+1){\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} \alpha }}\iint (1-y)^{s}P_{1}\alpha \operatorname {d} y\operatorname {d} z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6492777a9358961be82101c8065370b143dd3878)
Mais,
et
étant deux indéterminées différentes, on peut regarder
comme le coefficient du produit
dans le développement de la puissance
![{\displaystyle \left\{1+{\frac {y\alpha }{1-y}}\left[zt^{m}+(1-z)\theta ^{m}\right]\right\}^{x_{m}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b667744d0f25096f61dc38d218289045c249834a)
d’où l’on conclut que
sera le coefficient de
dans le développement du produit
![{\displaystyle \left\{1+{\frac {y\alpha }{1-y}}\left[zt+(1-z)\theta \right]\right\}^{x_{1}}.\left\{1+{\frac {y\alpha }{1-y}}\left[zt^{2}+(1-z)\theta ^{2}\right]\right\}^{x_{2}}\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/898a004950d8240d94e5ca2d578d45689720ed46)
![{\displaystyle \left\{1+{\frac {y\alpha }{1-y}}\left[zt^{i}+(1-z)\theta ^{i}\right]\right\}^{x_{i}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6086dd719b5b6fa21296224d5b9df822f27c995f)
ordonné suivant les puissances et produits de puissances de
et
donc enfin, à cause de
la probabilité
qu’il s’agit de déterminer sera le coefficient de
dans le développement de cette quantité
![{\displaystyle (s+1){\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} \alpha }}\iint \left\{1-y+y\alpha \left[zt+(1-z)\theta \right]\right\}^{x_{1}}.\left\{1-y+y\alpha \left[zt^{2}+(1-z)\theta ^{2}\right]\right\}^{x_{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/134567f40a9849cbe8e2b96390de1927ce5aaea8)
![{\displaystyle \left\{1-y+y\alpha \left[zt^{i}+(1-z)\theta ^{i}\right]\right\}^{x_{i}}\alpha \operatorname {d} y\operatorname {d} z\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1571d020937948c0937876a7be79139c8b5a1cfd)
en se souvenant qu’on doit faire
après la différentiation indiquée, et prendre les intégrales depuis
et
jusqu’à
et ![{\displaystyle z=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cddec9f8d152f8fcb4ca00215b7bcc4d1c2c54d7)
Si, au lieu d’une ou de deux suites de tirages, comme dans le premier ou le second problème que nous venons de résoudre, il y en avait trois ou un plus grand nombre, l’analise précédente conduirait à la solution de la question ; mais il suffit à l’objet principal de ce mémoire d’avoir considéré le cas de deux suites de tirages, qui est en effet celui que présente le trente et quarante, d’après les règles de ce jeu, énoncées plus haut.
6. Pour appliquer la solution du second problème au calcul des différentes chances du trente et quarante, il suffit de remplacer les boules numérotées que nous avons considérées par des cartes qui porteront les numéros marqués par leur nombre de points, lesquels s’étendront, par conséquent, depuis
jusqu’à
les figures comptant pour ce dernier nombre. On aura, par exemple, la probabilité du refait de
à un coup quelconque de ce qu’on appelle une taille, en faisant
et prenant pour
les nombres de cartes de chaque espèce qui ne sont pas sorties aux coups précédens ; en sorte que cette probabilité, et l’avantage du banquier qui en dépend, varieront d’un coup à un autre d’une même taille, à raison des cartes déjà sorties. Mais il est important d’observer que, pour déterminer l’avantage du banquier, avant que le jeu commence, c’est-à-dire, la fraction de chaque mise qu’on devrait lui abandonner pour qu’il renonçât à cet avantage pendant toute la durée du jeu, il suffit de calculer la probabilité du refait de
au premier coup seulement, ou quand les six jeux de cartes avec lesquels on joue sont encore complets. En effet, lorsque ces cartes ont été mêlées, s’il existe une chance quelconque pour qu’un événement
arrive au premier coup et un événement
à un autre coup, au dixième, par exemple, il y a exactement la même chance pour que l’événement
arrive au premier coup et l’événement
au dixième ; car on peut former un autre arrangement de toutes les cartes, qui ne diffère de celui que le hasard a donné qu’en ce que les cartes qui sortent au premier coup sont remplacées par celles qui sortent au dixième, et vice versâ ; et, comme ces deux arrangemens sont également possibles, il en résulte qu’avant que le jeu commence la probabilité d’un refait de
est la même pour le premier coup, pour le dixième, ou pour tout autre coup. Elle ne varie, pendant la durée du jeu, que pour les joueurs qui ont la connaissance des cartes sorties ; mais un joueur qui ne les connaîtrait pas devrait parier la même somme à tous les coups, pour l’arrivée d’un refait de
Cette considération fort simple rend possible la détermination de l’avantage du banquier, en la réduisant au calcul de la seule chance qui a eu lieu au premier coup. Observons aussi qu’on pourrait déterminer cet avantage, en calculant la probabilité du refait de
à un autre coup choisi à volonté ; mais il faudrait faire une hypothèse sur les cartes sorties aux coups précédens, et multiplier la probabilité qu’on trouverait par celle de cette hypothèse, ce qui rendrait le calcul extrêmement compliqué.
7. Au premier coup, que nous nous bornons à considérer, les cartes sont au nombre de
les neuf premiers nombres
sont tous égaux à
le dixième seul
est différent, et quadruple de chacun des premiers. Ainsi, il faudra faire
![{\displaystyle s=312,\quad x_{1}=x_{2}=x_{3}=\ldots =x_{8}=x_{9}=24,\quad x_{10}=96.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b0b8398c38d98e48707eb6be5b1e4ca23203ddd)
Soient de plus, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}1-\alpha \left[zt+(1-z)\theta \right]&=z_{1},\\1-\alpha \left[zt^{2}+(1-z)\theta ^{2}\right]&=z_{2},\\1-\alpha \left[zt^{3}+(1-z)\theta ^{3}\right]&=z_{3},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \\1-\alpha \left[zt^{10}+(1-z)\theta ^{10}\right]&=z_{10}\,;\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab0c973aa507598bab54d89a038140c381a83e0c)
ensuite
![{\displaystyle (1-yz_{1})^{x_{1}}.(1-yz_{2})^{x_{2}}.(1-yz_{3})^{x_{3}}\ldots (1-yz_{10})^{x_{10}}=Y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/869178e848391aeb3d39d5f67c21f51741935c43)
et, enfin,
![{\displaystyle U=(s+1){\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} \alpha }}\iint Y\alpha \operatorname {d} y\operatorname {d} z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e8304331e5cda1a1beb18b71eace029b52c6c8d)
où l’on fera
après la différentiation, en intégrant ensuite depuis
et
jusqu’à
et
La question se réduira à calculer le coefficient de
dans le développement de cette quantité
suivant les puissances et produits de puissances de
et
Le nombre des facteurs de
et la grandeur de leurs exposans, rendraient impraticable le calcul rigoureux de ce coefficient ; mais on peut réduire l’intégrale
en une série convergente, au moyen de laquelle on obtiendra, à tel degré d’approximation qu’on voudra, la valeur du coefficient demandé.
Pour cela, soit
![{\displaystyle V=-{\frac {Y\operatorname {d} y}{\operatorname {d} Y}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48538a379c011ccee81db1fe028a37c82ba7ff41)
nous aurons
![{\displaystyle \int Y\operatorname {d} y=-\int V\operatorname {d} Y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05ae92bef6db56e6da6af7f2a29c584a4aba49bc)
et, par une suite d’intégrations par parties, nous en conclurons
![{\displaystyle Y\operatorname {d} y=\left\{{\begin{aligned}&Y_{0}\left[V_{0}+V_{0}{\frac {\operatorname {d} V_{0}}{\operatorname {d} y}}+V_{0}{\frac {\operatorname {d} \left(V_{0}{\frac {\operatorname {d} V_{0}}{\operatorname {d} y}}\right)}{\operatorname {d} y}}+V_{0}{\frac {\operatorname {d} \left(V_{0}{\frac {\operatorname {d} \left(V_{0}{\frac {\operatorname {d} V_{0}}{\operatorname {d} y}}\right)}{\operatorname {d} y}}\right)}{\operatorname {d} y}}+\ldots \right]\\\\-&Y_{1}\left[V_{1}+V_{1}{\frac {\operatorname {d} V_{1}}{\operatorname {d} y}}+V_{1}{\frac {\operatorname {d} \left(V_{1}{\frac {\operatorname {d} V_{1}}{\operatorname {d} y}}\right)}{\operatorname {d} y}}+V_{1}{\frac {\operatorname {d} \left(V_{1}{\frac {\operatorname {d} \left(V_{1}{\frac {\operatorname {d} V_{1}}{\operatorname {d} y}}\right)}{\operatorname {d} y}}\right)}{\operatorname {d} y}}+\ldots \right]\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00c83793f7eb6fb333a656001dc489a4da48ddc1)
les indices
et
indiquant respectivement qu’il faut faire
et
après différentions. Cette série est une de celles que M. Laplace a donné, pour calculer par approximation, les intégrales des fonctions de grands nombres. Il est aisé de s’assurer que la seconde partie, qui répond à
ne donnerait en la développant suivant les puissances et produits de puissances de
et
que des termes dans lesquels la somme des exposans de ces variables surpasseraient
en sorte que nous devons en faire abstraction dans la question présente ; donc, à cause de
nous aurons simplement
![{\displaystyle \int Y\operatorname {d} y=V_{0}\left\{1+{\frac {\operatorname {d} V_{0}}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \left(V_{0}{\frac {\operatorname {d} V_{0}}{\operatorname {d} y}}\right)}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \left(V_{0}{\frac {\operatorname {d} \left(V_{0}{\frac {\operatorname {d} V_{0}}{\operatorname {d} y}}\right)}{\operatorname {d} y}}\right)}{\operatorname {d} y}}+\ldots \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f997b9f53fbb75d2b6f5ec66af3a459173032405)
Nous aurons aussi
![{\displaystyle V={\frac {1}{{\frac {x_{1}z_{1}}{1-yz_{1}}}+{\frac {x_{2}z_{2}}{1-yz_{2}}}+{\frac {x_{3}z_{3}}{1-yz_{3}}}+\ldots {\frac {x_{10}z_{10}}{1-yz_{10}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26f2129104171fe8b3cf8b28cdde54a4f995f7fe)
Si donc nous développons le dénominateur de cette expression suivant les puissances de
et que,
étant un nombre quelconque, nous fassions
![{\displaystyle x_{1}z_{1}^{m}+x_{2}z_{2}^{m}+x_{3}z_{3}^{m}+\ldots x_{10}z_{10}^{m}=Z_{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/979f62adc2cc05644ef4fde35e0e2f9dd838e956)
il en résultera
![{\displaystyle V={\frac {1}{Z_{1}+Z_{2}y+Z_{3}y^{2}+Z_{4}y^{3}+\ldots }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b47f8e81eae1b894e55fbf1e5b0531ce9246b3b)
et, en substituant cette valeur dans celle de
on trouvera
![{\displaystyle \int Y\operatorname {d} y={\frac {1}{Z_{1}}}-{\frac {Z_{2}}{Z_{1}^{3}}}+{\frac {3Z_{2}^{2}-2Z_{1}Z_{3}}{Z_{1}^{5}}}-{\frac {15Z_{2}^{3}-20Z_{1}Z_{2}Z_{3}+6Z_{1}^{2}Z_{4}}{Z_{1}^{7}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1351f308fcbe10b0e57b2d3fa667641d861e6f2e)
À cause du nombre et de la grandeur des quantités
qu’elles renferment, les expressions
ont de grandes valeurs, et toutes du même ordre de grandeur, d’où il résulte que cette série est très-convergente, du moins dans ses premiers termes ; car les coefficiens numériques qui se trouvent à leurs numérateurs croissent indéfiniment, et finissent par rendre cette série divergente. Mais, en s’en tenant à la partie dans laquelle elle est convergente, on aura une expression très-approchée de
et, si nous nous bornons d’abord à son premier terme, nous aurons
![{\displaystyle U=(s+1){\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} \alpha }}\int {\frac {\alpha \operatorname {d} Z}{Z_{1}}}1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1b87bed0d4eab263c6dbb94b01c1564ebead06d)
pour la valeur correspondante de ![{\displaystyle U.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a305ef479ab152035f334467a2c314baa23eb36)
La valeur de
est la même chose que
![{\displaystyle Z_{1}=s-\alpha T-\alpha (1-z)\Theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22a49d15afe184648fdb32fe220be6491ce0d8ec)
en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle T=x_{1}t+x_{2}t^{2}+x_{3}t^{3}+\ldots x_{10}t^{10},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35d26b5c379b55797b8dc0503557dd1d0742b669)
![{\displaystyle \Theta =x_{1}\theta +x_{2}\theta ^{2}+x_{3}\theta ^{3}+\ldots x_{10}\theta ^{10},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5116122bc1dd97dcc7ef3fa2be62db6b79d3a6a5)
Si on la substitue dans
et que l’on y fasse
après avoir effectué la différentiation indiquée, on aura
![{\displaystyle U=\int {\frac {(1+s)s\operatorname {d} z}{\left[s-zT-(1-z)\Theta \right]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cefb253ba15999dca88c8d96ee4f328775e0cc34)
et, en intégrant, depuis
jusqu’à
il vient
![{\displaystyle U={\frac {(s+1)s}{T-\Theta }}\left({\frac {1}{s-T}}-{\frac {1}{s-\Theta }}\right)={\frac {s+1}{s}}\left(1-{\frac {T}{s}}\right)^{-1}.\left(1-{\frac {\Theta }{s}}\right)^{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/649491ddd94746ae7b8c51a67301ecd78c3bb746)
Or, les deux symboles
et
représentant des fonctions semblables de
et
les coefficiens des mêmes puissances de leurs variables respectives seront les mêmes dans les développemens des deux puissances
![{\displaystyle \left(1-{\frac {T}{s}}\right)^{-1},\qquad \left(1-{\frac {\Theta }{s}}\right)^{-1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24be7b2116303dc621e17adf3d6308cd3b46cbd5)
désignant donc par
le coefficient de
dans le premier des deux développemens, et appelant
la probabilité du refait de
ou le coefficient de
dans le développement de
nous aurons
![{\displaystyle p={\frac {s+1}{s}}k^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f003f86d0d3e7d18922630842cc97019c122834)
de sorte qu’il ne reste plus qu’à calculer la valeur numérique de ce coefficient ![{\displaystyle k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb6778a29f576eb23da1dbddffb73b2571359ac)
8. Avant d’effectuer ce calcul, nous observerons que la quantité
serait la probabilité de
simple, et, par conséquent,
celle du refait de
si l’on remettait les cartes dans le jeu, à mesure qu’elles sortent. En effet, dans cette hypothèse, il est aisé de voir, d’après la théorie des combinaisons, que la probabilité d’amener une somme donnée
dans un nombre déterminé
de tirages successifs, n’est autre chose que le coefficient de
, dans le développement de la puissance
![{\displaystyle \left({\frac {x_{1}}{s}}t+{\frac {x_{2}}{s}}t^{2}+{\frac {x_{3}}{s}}t^{3}+\ldots {\frac {x_{10}}{s}}t^{10}\right)^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d198183adc07ec99f4ae4410205b046d9a8beda2)
ou de
par conséquent, la probabilité d’amener cette même somme en un nombre quelconque de tirages sera le coefficient de
dans le développement de la série
![{\displaystyle {\frac {T}{s}}+{\frac {T^{2}}{s^{2}}}+{\frac {T^{3}}{s^{3}}}+{\frac {T^{4}}{s^{4}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ed6a74014af6eda519159a492d8c2213e53df75)
qu’on peut à volonté arrêter au x.me terme ou prolonger à l’infini ; on y peut aussi ajouter l’unité ; et alors elle devient égale à
ce qu’il fallait démontrer.
Il résulte de cette remarque qu’à raison du grand nombre de cartes que l’on emploie au trente et quarante, la probabilité du
au premier coup est peu différente de ce qu’elle serait, si l’on s’assujétissait à remettre les cartes dans le talon, à mesure quelles sont sorties. Ce résultat qui aurait aussi lieu au premier coup, pour toutes les autres chances du jeu, est évident en lui-même ; et on peut le considérer comme une vérification de la méthode d’approximation employée dans le numéro précédent.
9. Faisons usage présentement des valeurs numériques de
Nous aurons
![{\displaystyle {\frac {T}{s}}=a\left(t+t^{2}+t^{3}+\ldots +t^{9}a4+t^{10}\right)=a.{\frac {t-t^{11}}{1-t}}+3at^{10}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebf658c67526f5d88ec773a1f0ced78561ac9693)
où l’on a fait, pour abréger,
![{\displaystyle {\frac {24}{s}}={\frac {24}{213}}={\frac {1}{13}}=a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a58103084407df5f83905ea63b6b5b82e5c742e)
On conclut de là
![{\displaystyle {\frac {1}{1-{\frac {T}{s}}}}={\frac {1-t}{1-(1+a)t-a(3-4t)t^{10}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f7636bdf59b0b17e628f0a428bb826b1ce9d994)
et, en développant d’abord suivant les puissances de
il vient
![{\displaystyle {\frac {1}{1-{\frac {T}{s}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6691d17a6f02c50437ceb0fd93eed83c381177d)
![{\displaystyle ={\frac {1-t}{1-(1+a)t}}+{\frac {a(1-t)(3-4t)t^{10}}{\left[1-(1+a)t\right]^{2}}}+{\frac {a^{2}(1-t)(3-4t)^{2}t^{20}}{\left[1-(1+a)t\right]^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd9b804a61726aed0c7193132d7dd7a9d7b39e75)
![{\displaystyle +{\frac {a^{3}(1-t)(3-4t)^{3}t^{30}}{\left[1-(1+a)t\right]^{4}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b9ee18a7bb8a65865da27279004a7f5ae0a3698)
On rejette les termes suivans de cette série, qui contiendraient la puissance
et des puissances supérieures de
Il est aisé de prendre le coefficient de
dans chacun des quatre termes que l’on conserve ; et, en faisant la somme de ces quatre coefficiens, on aura la valeur exacte de
savoir :
![{\displaystyle k=a(1+a)^{30}+{\frac {a}{1}}.{\frac {\operatorname {d} \left[(1+a)^{20}(3a-1)a\right]}{\operatorname {d} a}}+{\frac {a^{2}}{1.2}}.{\frac {\operatorname {d} ^{2}\left[(1+a)^{10}(3a-1)^{2}a\right]}{\operatorname {d} a^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c238c428d3cb4c50f72c241adaa987c147a9021)
![{\displaystyle +{\frac {a^{3}}{1.2.3}}.{\frac {\operatorname {d} ^{3}\left[(3a-1)a\right]}{\operatorname {d} a^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0716e4123fd4c12318e5951e20a161191b1fed37)
J’effectue les différentiations indiquées ; puis au moyen de
je réduis cette formule en nombres ; et, en poussant l’approximation jusqu’aux décimales du sixième ordre, je trouve
![{\displaystyle k=0,148062\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b7933be422bcbee8a5c70df5194b51113d39587)
d’où il résulte
![{\displaystyle p={\frac {313}{312}}k^{2}=0,021993.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdcc0f0162a71d62d7d2e9282529b707f4168930)
Le calcul deviendrait très-pénible, si l’on voulait avoir égard au second terme, et aux termes suivans du développement de
que nous avons négligés. En tenant compte du second terme, j’ai trouvé que la première valeur approchée de
doit être diminuée de
les termes suivans ne changeraient pas cette valeur dans les six premières décimales ; ainsi, l’on peut prendre
![{\displaystyle p=0,021967,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c048b7942b4bb41ac58742bcc4d53c9fb893df59)
pour la probabilité du refait de 31, au commencement du jeu.
D’après ce qu’on a dit plus haut, on aura l’avantage du banquier, en multipliant cette valeur de
par la demi-somme de toutes les mises ; en sorte que, pour racheter cet avantage, avant que le jeu commence, chaque joueur devrait convenir de donner au banquier, à tous les coups, y compris les coups nuls, les onze millièmes, à très-peu près, de l’argent qu’il voudra exposer.
10. Les problèmes des numéros
et
comprennent aussi les autres chances du trente et quarante. Si l’on veut, par exemple, calculer la probabilité d’amener le nombre
on supposera d’abord, dans le problème du numéro
que l’on continue la suite des tirages, jusqu’à ce qu’on ait atteint ou dépassé
ainsi, on fera la limite
et on déterminera, par l’analise de ce numéro, la probabilité d’amener cette limite ; mais, cette probabilité ne sera pas encore celle qu’il faut connaître ; car, d’après les conditions du jeu, on doit amener le nombre
sans avoir passé par le nombre
Or, la probabilité de cet événement est évidemment égale à celle qu’on aura calculée, comme on vient de le dire, moins la probabilité d’amener d’abord
et ensuite
laquelle probabilité se calculera par l’analise du numéro, en prenant
et
Ces calculs, déjà très-longs par rapport au nombre
le seraient encore bien plus pour les nombres supérieurs
Mais, si l’on veut connaître les probabilités d’amener ces différens nombres, seulement au premier coup, on pourra supposer qu’on remet les cartes dans le jeu, à mesure qu’elles sont sorties (n.o 8) ; les calculs seront alors faciles à exécuter, et l’erreur que l’on commettra sera peu considérable, ainsi qu’on l’a vu par l’exemple du calcul relatif au
Adoptons donc cette hypothèse approximative, et désignons généralement par
le coefficient de
dans le développement de
étant un des nombres
Ce coefficient exprimera la probabilité d’amener
en continuant les tirages, jusqu’à ce qu’on ait atteint ou dépassé ce nombre. Soit, en même temps,
la probabilité d’amener ce même nombre, sans passer par l’un des nombres inférieurs
lorsque la quantité
aura été calculée pour les
valeurs de
comprises depuis
jusqu’à
il sera aisé d’en conclure les
valeurs correspondantes de
qui sont celles qu’il s’agit de déterminer.
En effet, puisqu’on remet les cartes dans le talon, à mesure qu’elles sortent, la probabilité d’amener un as, après avoir amené
sera égale à
par la règle ordinaire des événemens composés ; par conséquent, on aura
De même, la probabilité d’amener un as, après avoir amené
d’une manière quelconque, et celle d’amener un deux, après avoir amené
seront
et
or, en soustrayant ces deux probabilités de celle qui est représentée par
on aura la probabilité d’amener
sans avoir passé ni par
ni par
nous aurons donc
En continuant ce raisonnement, on formera cette suite d’équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}&p_{1}=k_{1},\\&p_{2}=k_{2}-{\frac {1}{13}}\left(k_{1}+k_{2}\right),\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa2f28bb2be486f3ba7b9e1309a89ebc883865aa)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&p_{3}=k_{3}-{\frac {1}{13}}\left(k_{1}+k_{2}+k_{3}\right),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&p_{10}=k_{10}-{\frac {1}{13}}\left(k_{1}+k_{2}+k_{3}+\ldots +k_{10}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2240bb8d65e8b9f092be88fe1d981e468ea384e2)
au moyen desquelles tout le calcul est réduit à déterminer les valeurs numériques des
quantités
dont la première est déjà connue.
11. Pour les obtenir, développons, comme dans le n.o 9 la fonction
suivant les puissances de
et continuons le développement, jusqu’à la puissance
inclusivement ; nous aurons
![{\displaystyle {\frac {1}{1-{\frac {T}{s}}}}={\frac {1-t}{1-(1+a)t}}+{\frac {a(1-t)(3-4t)t^{10}}{\left[1-(1+a)t\right]^{2}}}+{\frac {a^{2}(1-t)(3-4t)^{2}t^{20}}{\left[1-(1+a)t\right]^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eee7ba331e42192cfcd764e74d54452c212b84f)
![{\displaystyle +{\frac {a^{3}(1-t)(3-4t)^{3}t^{30}}{\left[1-(1+a)t\right]^{4}}}+{\frac {a^{4}(1-t)(3-4t)^{4}t^{40}}{\left[1-(1+a)t\right]^{5}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59a1c4d76fb96d218ef8c3ea4b61ea184ae53b63)
en faisant comme plus haut,
Développons ensuite chaque terme, suivant les puissances de
et prenons la somme des coefficiens de
il vient
![{\displaystyle k_{n}=a(1+a)^{30+n-1}+{\frac {a}{1}}{\frac {\operatorname {d} \left[(1+a)^{20+n-1}(3a-1)a\right]}{\operatorname {d} a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96cec69d6aed1b6afcee37661318ee058d34bb95)
![{\displaystyle +{\frac {a^{2}}{1.2}}.{\frac {\operatorname {d} ^{2}\left[(1+a)^{10+n-1}(3a-1)^{2}a\right]}{\operatorname {d} a^{2}}}++{\frac {a^{3}}{1.2.3}}.{\frac {\operatorname {d} ^{3}\left[(1+a)^{n-1}(3a-1)^{3}a\right]}{\operatorname {d} a^{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03c37ec99cecba16f8c0a54a8261f9425235db00)
si
est un des nombres
mais, dans le cas de
il faudra ajouter à cette valeur de
la quantité
égale
à un millionième près, laquelle provient du cinquième terme de l’expression précédente, qui a
pour premier terme de son développement suivant les puissances de ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Au moyen de cette formule, on trouvera, en s’arrêtant aux décimales du 5.e ordre
![{\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}&=0,14806,\\k_{2}&=0,14930,\\k_{3}&=0,15039,\\k_{4}&=0,15133,\\k_{5}&=0,15213,\\k_{6}&=0,15278,\\k_{7}&=0,15329,\\k_{8}&=0,15365,\\k_{9}&=0,15386,\\k_{10}&=0,15392+0,00284=0,15676\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/921ad02435242ddbf87521081c49a9b4b2823854)
d’où l’on conclut
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}p_{1}&=0,14806,\\p_{2}&=0,13791,\\p_{3}&=0,12751,\\p_{4}&=0,11689,\\p_{5}&=0,10605,\\p_{6}&=0,09500,\\p_{7}&=0,08375,\\p_{8}&=0,07232,\\p_{9}&=0,06072,\\p_{10}&=0,05178,\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15b3b12f51eb22d9e455cca0cfe87eaf6ffb4fa9)
Somme
[2] Comme un des dix événemens auxquels se rapportent ces probabilités doit nécessairement arriver, la somme de leurs valeurs doit être égale à l’unité, ce qui a effectivement lieu, à un cent millième près.
Ces valeurs de
serviront à régler le sort ou le parti des joueurs, après le premier des deux tirages dont un coup est composé. Supposons, par exemple, que ce tirage ait amené le point
et soit
la mise d’un joueur qui a parié pour le second tirage ; s’il arrive le point
au second tirage, le coup est nul, ce qui vaut
pour le joueur ; s’il arrive un point moindre que le point
le joueur aura gagné, et il recevra
enfin, s’il arrive un point supérieur à
il aura perdu et ne recevra rien. Ce qu’il faudrait lui donner, si l’on renonçait à jouer le second coup, calculé d’après la règle de l’espérance mathématique, est donc égal à
on a
ainsi, il aura déjà perdu
ou à peu près cinquante-six millièmes de sa mise. Quand le premier tirage a amené
le coup est à l’avantage des joueurs qui ont parié pour le second tirage, et leur parti est égal à
la mise étant toujours représentée par
Les carrés
seront les probabilités des coups nuls
et
et
et
et
calculées toujours dans l’hypothèse où l’on remet les cartes dans le jeu à mesure qu’elles sont sorties ; mais il sera plus exact de multiplier ces carrés par le rapport
comme nous l’avons fait
précédemment (n.o 7), en calculant la probabilité du
de refait. En appelant donc
la probabilité d’un coup nul quelconque, nous aurons
![{\displaystyle q=\left(p_{2}^{2}+p_{3}^{2}+p_{4}^{2}+\ldots +p_{10}^{2}\right){\frac {s+1}{s}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/709ac42ab4b963e0e827edfa575f29f2272d4bab)
ce qui donne, en effectuant le calcul numérique,
![{\displaystyle q=008810.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f4f922e86601e25861496a94301fed59c30ee9d)
12. Dans une longue suite de coups, les événemens arrivent, à très-peu près, proportionnellement à leurs probabilités respectives. Ainsi, le rapport du nombre des coups nuls au nombre total des coups s’écartera peu d’être celui de
à
et d’après la probabilité d’un refait de
que nous avons trouvée (n.o 7), le rapport du nombre des refaits au nombre des coups joués, y compris les coups nuls, sera, à très-peu près, égal à celui de
à
Mais ces proportions sont des limites dont les résultats du hasard devront s’approcher indéfiniment, à mesure que le nombre des coups deviendra plus grand ; et l’on peut déterminer, pour chaque nombre de coups, la probabilité que ces résultats ne s’écarteront pas de leurs limites au-delà d’une quantité donnée.
En désignant par
le nombre total des coups, par
celui des refaits de
par
la probabilité d’un refait, par
la probabilité que la différence
sera comprise entre deux limites données et représentées par
![{\displaystyle -{\frac {t{\sqrt {2p(1-p)}}}{\sqrt {n}}},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31055c5a71054f75ea0f3d726937493fdd51e4c8)
et
![{\displaystyle \quad +{\frac {t{\sqrt {2p(1-p)}}}{\sqrt {n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00b037487761fa2b6ea2ec3f1ba22b0feb511862)
on trouvera
[3]
l’intégrale commençant avec
étant la base des logarithmes népériens, et
le rapport de la circonférence au diamètre. Quand la variable
augmentera, la probabilité, approchera davantage de l’unité ou de la certitude ; mais, en même temps, les limites de la différence
seront plus étendues. Au contraire, lorsque
diminuera, ces limites seront plus étroites ; mais la probabilité
qui leur correspond s’affaiblira et finira par devenir très petite et peu différente de
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2p(1-p)n\varpi }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e248bb0c3660e2874092ab2f0b0c58920ff78875)
Quand elle sera égale à
on pourra indifféremment espérer que cette différence
tombera en dedans ou en dehors de ces limites. La variable
restant la même, si le nombre
augmente indéfiniment, la probabilité
variera très-peu, et les limites de la différence
décroîtront de plus en plus ; de manière qu’on pourra toujours prendre
assez grand pour que ces limites tombent au-dessous de toute quantité donnée. Si l’on considérait la différence
entre le nombre
des refaits observés, et le nombre
des refaits calculés d’après leur probabilité
les limites de cette différence seraient
![{\displaystyle \pm t{\sqrt {2p(1-p)n}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b273428c187c97dcbc6b74b3f1ab6b6a6476bd14)
la probabilité
étant la même que précédemment. Ces limites s’étendront de plus en plus, à mesure que le nombre
augmentera, mais elles croîtront moins rapidement que ce nombre, et seulement dans le rapport de sa racine carrée.
En mettant pour
la valeur
les limites de la différence
deviendront
![{\displaystyle \pm (0,2674)t{\sqrt {n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27343673d0d3191b4895bb2315bc4339cf6239da)
Si l’on a, par exemple,
et qu’on prenne
il y aura la probabilité
que le nombre
des refaits observés sera compris entre
![{\displaystyle 21967-622\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7abf268980304f7e9d3a6fb4b833fac6de3634c)
et
![{\displaystyle \quad 21967+622.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac221c6adb67045606f7415b761af08bb3dc3781)
Pour calculer la valeur de
on prendra d’abord l’intégrale que son expression renferme, depuis
jusqu’à
ce qui donne
![{\displaystyle \int e^{-t^{2}}\operatorname {d} t={\frac {1}{2}}{\sqrt {\varpi }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34c25c7756afe938cf2533e8d7d1817eafe010e5)
puis on retranchera de cette intégrale sa valeur prise depuis
jusqu’à
valeur qui sera donnée par la série
![{\displaystyle \int e^{-t^{2}}\operatorname {d} t=e^{-t^{2}}\left({\frac {1}{2t}}-{\frac {1.3}{2^{2}t^{3}}}+{\frac {1.3.5}{2^{3}t^{5}}}-{\frac {1.3.5.7}{2^{4}t^{7}}}+\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe4992056715c940bcb17b90f90c1f98ca0d4bf4)
dans laquelle on fera
On trouve, de cette manière,
![{\displaystyle r=0,9998\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d80497f3f201ac4fd37c776073b124304fce1c71)
de sorte qu’il y a près de
à parier contre
que, sur un million de coups, le nombre des refaits ne sera pas moindre que
et n’excédera pas
Si le nombre observé sortait de ces limites, il serait très-probable qu’il y a eu erreur involontaire, ou que quelqu’un a trompé au jeu.
On peut se demander quelle doit être la valeur de
pour laquelle on aurait
cette valeur sera donnée par l’équation
![{\displaystyle t-{\frac {t^{3}}{1.3}}+{\frac {t^{5}}{1.2.5}}-{\frac {t^{7}}{1.2.3.7}}-{\frac {t^{9}}{1.2.3.4.9}}-\ldots ={\frac {\sqrt {\varpi }}{4}}-{\frac {e^{-t^{2}}}{2(0,2074){\sqrt {n}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eccebadafaa61de40111cf36b858d5904eb3718)
En négligeant d’abord le second terme de son second membre, on trouve que la valeur de
est à très-peu près égale à
Si l’on fait ensuite
et que l’on détermine
en négligeant son carré et ses puissances supérieures, on trouve
![{\displaystyle t=0,4460-{\frac {1}{2(0,2074){\sqrt {n}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfe7866d6d678317d4df73de7e64e97d30b869b5)
d’où il résulte qu’il y a un contre un à parier que sur un grand nombre
de coups, le nombre
des refaits sera compris entre les deux limites
![{\displaystyle (0,021967)n\pm \left[(0,0924){\sqrt {n}}-{\frac {1}{2}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29bd4d8e88e6afeb56c527d136dc44808df80dbb)
Ainsi, sur un million de coups, par exemple, il sera indifférent de parier que le nombre de refaits différera de
en plus ou en moins, d’un nombre plus grand ou d’un nombre plus petit que ![{\displaystyle 92.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cf99441ef86cd3507656513088b5f7ec1839113)
En général, lorsque deux joueurs jouent l’un contre l’autre, à jeu égal, il y a la probabilité
que le nombre des parties que l’un des deux, sans désigner lequel, gagnera de plus que l’autre, sur un très-grand nombre de coups, n’excédera pas le double de
en faisant dans ce double
ce qui donne
Si donc on prend pour
la valeur qui répond à
il y aura un contre un à parier que la différence entre les nombres de parties gagnées par les deux joueurs n’excédera pas
![{\displaystyle (06307){\sqrt {n}}-1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5091e2e565d4f0765b7eb3465652021b4116c9f6)
ce qui fait
par chaque million de parties. Il y aurait donc du désavantage à parier, par exemple, que l’un des joueurs gagnerait moins de
parties de plus que l’autre, et de l’avantage à parier que la différence des parties gagnées n’excéderait pas
parties.