Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 15/Géométrie élémentaire, article 15

Note sur la détermination de l’aire d’un triangle en fonction de ses trois côtés ; par M. Gerono.

Annales de mathématiques pures et appliquées, Tome 15, 1821 (p. 305-307).

GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE.

Note sur la détermination de l’aire d’un triangle rectiligne
en fonction de ses trois côtés ;

Par M. G. C. Gerono.

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Soient $\mathrm {A,B,C}$ les trois sommets d’un triangle rectiligne, et $a,b,c$ les côtés respectivement opposés. Posons

${\frac {1}{2}}(a+b+c)=s\,:$

d’où

${\frac {1}{2}}(b+c-a)=s-a,$

${\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}(c+a-b)=s-b\\&{\frac {1}{2}}(a+b-c)=s-c.\end{aligned}}$

Soit inscrit au triangle proposé un cercle dont $O$ soit le centre ; et soient $\mathrm {A',B',C'}$ respectivement les points de contact de ce cercle avec les côtés $a,b,c\,;$ il est connu, et il est d’ailleurs facile de démontrer qu’on aura

$\mathrm {AB} '=s-a,\qquad \mathrm {BC} '=s-b,\qquad \mathrm {CA} '=s-c.$

En conséquence, en désignant par $r$ le rayon du cercle, on aura

$\operatorname {Tang} .\mathrm {AOB} '={\frac {s-a}{r}},\ \operatorname {Tang} .\mathrm {BOC} '={\frac {s-b}{r}},\ \operatorname {Tang} .\mathrm {COA} '={\frac {s-c}{r}}\,;$

mais, parce que ces angles sont les moitiés respectives des angles $\mathrm {B'OC',C'OA',A'OB'} ,$ dont la somme est quatre angles droits, leur somme doit valoir deux angles droits, et conséquemment on doit avoir, par un théorème connu et d’ailleurs facile à démontrer,

$\operatorname {Tang} .\mathrm {AOB} '+\operatorname {Tang} .\mathrm {BOC} '+\operatorname {Tang} .\mathrm {COA} '$

$=\operatorname {Tang} .\mathrm {AOB} '.\operatorname {Tang} .\mathrm {BOC} '.\operatorname {Tang} .\mathrm {COA} '\,;$

c’est-à-dire, en substituant,

${\frac {s-a}{r}}+{\frac {s-b}{r}}+{\frac {s-c}{r}}={\frac {s-a}{r}}.{\frac {s-b}{r}}.{\frac {s-c}{r}},$

d’où

$r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}\,;$

mais, en désignant par $\mathrm {T}$ l’aire du triangle, on a

$\mathrm {T} =rs\,;$

donc, en substituant,

$\mathrm {T} ={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.$

Agréez, etc.

Du Château des Tuileries, le 18 janvier 1825.